خانه / گال/ یاکوف پرلمن ریاضیدان: کمک به علم. گریگوری پرلمن، ریاضیدان مشهور روسی. ریاضیدان روسی گریگوری یاکولوویچ پرلمن، که حدس پوانکاره را ثابت کرد: بیوگرافی، زندگی شخصی، حقایق جالب

یاکوف پرلمن ریاضیدان: کمک به علم. گریگوری پرلمن، ریاضیدان مشهور روسی. ریاضیدان روسی گریگوری یاکولوویچ پرلمن، که حدس پوانکاره را ثابت کرد: بیوگرافی، زندگی شخصی، حقایق جالب

قضیه پوانکاره – فرمول ریاضی"جهان". گریگوری پرلمن. قسمت 1 (از مجموعه "مرد واقعی در علم")

هانری پوانکاره (1854-1912)، یکی از بزرگترین ریاضیدانان، در سال 1904 ایده معروف یک کره سه بعدی تغییر شکل یافته را فرموله کرد و به شکل یک یادداشت کوچک در حاشیه قرار داده شده در انتهای مقاله 65 صفحه ای که به موضوعی کاملاً متفاوت اختصاص داشت، چند مورد را خط خطی کرد. خطوطی از یک فرضیه نسبتاً عجیب با این کلمات: "خب، این سوال ممکن است ما را خیلی دور کند "...

مارکوس دو سوتوی از دانشگاه آکسفورد معتقد است که قضیه پوانکاره «است مشکل اصلی ریاضی و فیزیک، تلاشی برای درک چه شکلیشاید کائنات، نزدیک شدن به او بسیار دشوار است."

گریگوری پرلمن هفته ای یک بار به پرینستون سفر می کرد تا در سمیناری در موسسه مطالعات پیشرفته شرکت کند. در این سمینار، یکی از ریاضیدانان دانشگاه هاروارد به سوال پرلمن پاسخ می دهد: "نظریه ویلیام ترستون (1946-2012، ریاضیدان، که در زمینه "هندسه و توپولوژی سه بعدی" کار می کند)، به نام فرضیه هندسه، همه را توصیف می کند. سطوح سه بعدی ممکن است و یک گام به جلو در مقایسه با حدس پوانکاره است. اگر فرضیه ویلیام ترستون را ثابت کنید، حدس پوانکاره همه درهای خود را به روی شما باز خواهد کرد و علاوه بر آن راه حل آن کل چشم انداز توپولوژیکی علم مدرن را تغییر خواهد داد».

در مارس 2003، شش دانشگاه پیشرو آمریکایی از پرلمن دعوت کردند تا مجموعه ای از سخنرانی ها را در توضیح کارش ارائه دهد. در آوریل 2003، پرلمن یک سفر علمی انجام داد. سخنرانی های او به یک رویداد علمی برجسته تبدیل می شود. جان بال (رئیس اتحادیه بین المللی ریاضیات)، اندرو وایلز (ریاضیدان، کار در زمینه محاسبات منحنی بیضوی، قضیه فرما را در سال 1994 اثبات کرد) برای گوش دادن به او به پرینستون آمدند. جان نش(ریاضیدان شاغل در زمینه تئوری بازی ها و هندسه دیفرانسیل).

گریگوری پرلمن موفق شد یکی از مشکلات هفت هزاره را حل کندو ریاضی را توصیف کنیدباصطلاح فرمول کیهان، حدس پوانکاره را ثابت کنید. باهوش ترین ذهن ها بیش از 100 سال است که با این فرضیه دست و پنجه نرم می کنند و برای اثبات آن جامعه ریاضی جهان (موسسه ریاضی Clay) وعده 1 میلیون دلاری داده است. ارائه آن در 8 ژوئن 2010 انجام شد. گریگوری پرلمن ظاهر نشد. در آن، و جامعه جهانی ریاضی "آرواره ها افتاد."

در سال 2006، ریاضیدان بالاترین جایزه ریاضی - مدال فیلدز - را برای حل حدس پوانکاره دریافت کرد. جان بال شخصاً از سنت پترزبورگ بازدید کرد تا او را متقاعد به پذیرش جایزه کند. او با این جمله از پذیرش آن امتناع کرد: "جامعه بعید است که بتواند کار من را به طور جدی ارزیابی کند."

مدال فیلدز (و مدال) هر 4 سال یک بار در هر کنگره بین المللی ریاضی به دانشمندان جوان (زیر 40 سال) که سهم قابل توجهی در توسعه ریاضیات داشته اند اعطا می شود. علاوه بر مدال، 15 هزار دلار کانادا (13000 دلار) به دریافت کنندگان جایزه تعلق می گیرد.

در فرمول اولیه خود، حدس پوانکاره چنین می‌خواند: «هر منیفولد سه‌بعدی فشرده به‌سادگی متصل بدون مرز، همومورفیک به یک کره سه‌بعدی است». ترجمه شده به زبان رایج، به این معنی است که هر جسم سه بعدی، به عنوان مثال، یک لیوان، می تواند به تنهایی با تغییر شکل به یک توپ تبدیل شود، یعنی نیازی به برش یا چسباندن آن نخواهد بود. به عبارت دیگر، پوانکاره این را فرض کرد فضا سه بعدی نیست، اما به طور قابل توجهی شامل است تعداد بزرگتراندازه گیری هاو پرلمن 100 سال بعد ریاضی آن را ثابت کرد.

بیان قضیه پوانکاره توسط گریگوری پرلمن در مورد تبدیل ماده به حالت، شکلی دیگر، مشابه دانش ارائه شده در کتاب «سنسی چهارم» آناستازیا نوویخ است: «در واقع، کل این جهان، بی نهایت برای ما، میلیاردها بار فضایی را اشغال می کند. کوچک‌تر از نوک نازک‌ترین سوزن‌های پزشکی». و همچنین توانایی کنترل جهان مادی از طریق دگرگونی های معرفی شده توسط مشاهده گر از ابعاد کنترل کننده بالای ششم (از 7 تا 72 شامل) (گزارش "PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS" مبحث "شبکه ازواسمی").

گریگوری پرلمن با زهد زندگی و شدت خواسته های اخلاقی که هم بر خود و هم برای دیگران گذاشته بود متمایز بود. با نگاه کردن به او احساس می شود که او عادل است بدنی زندگی می کندبه طور کلی با همه معاصران دیگر فضا، آ از نظر روحی به گونه ای دیگر، جایی که حتی به ازای 1 میلیون دلار که به آن نمی روندبی گناه ترین سازش با وجدان. و این چه فضایی است و آیا می توان حتی با گوشه چشم به آن نگاه کرد؟

اهمیت استثنایی فرضیه ای که حدود یک قرن پیش توسط ریاضیدان پوانکاره مطرح شد، مربوط به ساختارهای سه بعدی است و عنصر کلیدی تحقیقات مدرن پایه های کیهان. به گفته کارشناسان موسسه Clay، این معما یکی از هفت معما است که اساساً برای توسعه ریاضیات آینده مهم است.

پرلمن با رد مدال ها و جوایز می پرسد: "چرا به آنها نیاز دارم؟ اصلا برای من فایده ای ندارند. همه می‌دانند که اگر شواهد درست باشد، دیگر نیازی به شناسایی نیست. تا زمانی که مشکوک شدم، این انتخاب را داشتم که یا با صدای بلند درباره از هم پاشیدگی جامعه ریاضی به دلیل سطح اخلاقی پایین آن صحبت کنم، یا چیزی نگویم و اجازه بدهم با من مانند گاو رفتار شود. اکنون که بیش از حد مشکوک شده‌ام، نمی‌توانم گاو باقی بمانم و به سکوت ادامه دهم، بنابراین تنها کاری که می‌توانم انجام دهم ترک است.»

برای درگیر شدن در ریاضیات مدرن، باید ذهنی کاملاً پاک داشته باشید، بدون کوچکترین ترکیبی که آن را متلاشی می کند، آن را منحرف می کند، ارزش ها را جایگزین می کند و پذیرش این جایزه به معنای نشان دادن ضعف است. یک دانشمند ایده آل فقط به علم مشغول است، به هیچ چیز دیگری (قدرت و سرمایه) اهمیت نمی دهد، باید ذهنی پاک داشته باشد و برای پرلمن هیچ اهمیتی بالاتر از زندگی مطابق با این آرمان نیست. آیا کل این ایده میلیونی برای ریاضیات مفید است و آیا یک دانشمند واقعی به چنین انگیزه ای نیاز دارد؟ و آیا این میل سرمایه به خرید و انقیاد همه چیز در این جهان توهین آمیز نیست؟ یا می توانید بفروشید پاکی توبرای یک میلیون؟ پول هر چقدر هم باشد معادل است حقیقت روح? بالاخره ما با یک ارزیابی پیشینی از مشکلاتی سروکار داریم که پول به سادگی نباید به آنها ربطی داشته باشد، اینطور نیست؟! ساختن چیزی شبیه به یک میلیون لوتو یا شرط بندی از این همه به معنای افراط در فروپاشی علم است، و جامعه انسانی به عنوان یک کل(به گزارش "PRIMODIUM PHYSICS OF ALLATRA" و در کتاب "AllatRa" 50 صفحه آخر در مورد مسیر ساخت جامعه خلاق مراجعه کنید). و پول نقد(انرژی) که تاجران حاضرند در صورت نیاز به استفاده صحیح و یا چیزی دیگر بدون تحقیر به علم بدهند. روح خدمت واقعیمهم نیست که چگونه به آن نگاه کنید، از نظر پولی بسیار ارزشمند است: یک میلیون در مقایسه چیست؟، با خلوص یا عظمت آن کره ها (درباره ابعاد کیهان جهانی و در مورد دنیای معنویکتاب را ببینید"AllatRa" و گزارش دهید"PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS")، که در آن قادر به نفوذ نیستحتی انسان تخیل (ذهن)؟! یک میلیون آسمان پرستاره برای زمان چیست؟!»

اجازه دهید تفسیری از اصطلاحات باقی مانده در فرمول بندی فرضیه ارائه دهیم:

توپولوژی - (از یونانی topos - مکان و logos - آموزش) - شاخه ای از ریاضیات که خواص توپولوژیکی شکل ها را مطالعه می کند. خواصی که تحت هیچ تغییر شکلی بدون شکستگی و چسباندن (به طور دقیق تر، با نگاشت یک به یک و پیوسته) تغییر نمی کنند. نمونه هایی از خواص توپولوژیکی شکل ها عبارتند از: بعد، تعداد منحنی های محدود کننده یک ناحیه معین و غیره. بنابراین، یک دایره، یک بیضی، و طرح کلی یک مربع دارای خواص توپولوژیکی یکسانی هستند، زیرا این خطوط می توانند به روشی که در بالا توضیح داده شد به یکدیگر تغییر شکل دهند. در عین حال، حلقه و دایره دارای خواص توپولوژیکی متفاوتی هستند: دایره با یک کانتور و حلقه با دو محدود می شود.

هومومورفیسم (یونانی ομοιο - مشابه، μορφη - شکل) مطابقت یک به یک بین دو فضای توپولوژیکی است که در آن هر دو نقشه معکوس متقابل تعریف شده توسط این تناظر پیوسته هستند. این نگاشتها را هومومورفیک یا نگاشتهای توپولوژیکی و همچنین هومئومورفیسم می نامند و گفته می شود که فضاها به همان نوع توپولوژیک تعلق دارند و هومومورفیک یا از نظر توپولوژیکی معادل نامیده می شوند.

منیفولد سه بعدی بدون لبه. این یک شی هندسی است که در آن هر نقطه یک همسایگی به شکل یک توپ سه بعدی دارد. نمونه‌هایی از 3 منیفولد شامل، اولاً، کل فضای سه‌بعدی است که با R3 نشان داده می‌شود، و همچنین هر مجموعه باز از نقاط در R3، به عنوان مثال، داخل یک چنبره جامد (دونات). اگر یک چنبره جامد بسته را در نظر بگیریم، i.e. نقاط مرزی آن (سطح چنبره) را اضافه کنید، سپس یک منیفولد با لبه به دست می آوریم - نقاط لبه به شکل توپ دارای همسایگی نیستند، بلکه فقط به شکل نیم توپ هستند.

چنبره جامد (چنبره جامد) یک جسم هندسی همومورف به حاصل ضرب یک دیسک دو بعدی و یک دایره D2 * S1 است. به طور غیررسمی، یک چنبره جامد یک دونات است، در حالی که یک چنبره فقط سطح آن (محفظه توخالی یک چرخ) است.

همبند ساده. این بدان معناست که هر منحنی بسته پیوسته ای که به طور کامل در یک منیفولد معین قرار دارد، می تواند بدون خروج از این منیفولد به آرامی تا یک نقطه منقبض شود. به عنوان مثال، یک کره دو بعدی معمولی در R3 به سادگی متصل می شود (یک نوار لاستیکی که به هر شکلی روی سطح سیب قرار می گیرد، می تواند به آرامی به یک نقطه کشیده شود بدون اینکه نوار لاستیکی از روی سیب پاره شود). از سوی دیگر، دایره و چنبره به سادگی به هم متصل نیستند.

فشرده - جمع و جور. یک منیفولد فشرده است اگر هر یک از تصاویر همومورف آن دارای ابعاد محدود باشد. به عنوان مثال، یک بازه باز روی یک خط (تمام نقاط یک پاره به جز انتهای آن) فشرده نیست، زیرا می توان آن را به طور مداوم تا یک خط بی نهایت گسترش داد. اما یک قطعه بسته (با انتهای) یک منیفولد فشرده با لبه است: برای هر تغییر شکل پیوسته، انتهای آن به برخی از نقاط خاص می رود و کل قطعه باید به یک منحنی محدود برود که این نقاط را به هم متصل می کند.

ادامه دارد...

ایلناز بشاروف

ادبیات:

- گزارش "فیزیک اولیه آلاترا" توسط یک گروه بین المللی از دانشمندان بین المللی حرکت اجتماعیآلاترا، ویرایش. آناستازیا نوویخ، 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- جدید. A. "AllatRa"، K.: AllatRa، 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- جدید. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– سرگئی دوژین، دکترای فیزیک و ریاضیات. علوم، محقق ارشد در واحد سنت پترزبورگ موسسه ریاضی آکادمی علوم روسیه

بازی ذهن

تا همین اواخر، ریاضیات به "کشیشان" خود نه شهرت و نه ثروت را وعده نمی داد. حتی جایزه نوبل هم به آنها داده نشد. چنین نامزدی وجود ندارد. از این گذشته ، طبق یک افسانه بسیار محبوب ، همسر نوبل یک بار با یک ریاضیدان به او خیانت کرد. و در تلافی، مرد ثروتمند همه برادران متقلب آنها را از احترام و جایزه خود محروم کرد.

وضعیت در سال 2000 تغییر کرد. مؤسسه خصوصی ریاضی مؤسسه ریاضیات Clay هفت مورد از دشوارترین مسائل را انتخاب کرد. و او قول داد که به هر نفر یک میلیون دلار برای تصمیم خود بپردازد. آنها با احترام به ریاضیدانان نگاه می کردند. در سال 2001 حتی فیلم "ذهن زیبا" اکران شد که شخصیت اصلی آن یک ریاضیدان بود.

اکنون فقط افرادی که از تمدن دور هستند آگاه نیستند: یکی از میلیون ها نفر - اولین مورد - قبلاً جایزه داده شده است. این جایزه به گریگوری پرلمن، شهروند روسی، ساکن سن پترزبورگ، برای حل حدس پوانکاره، که با تلاش های او به یک قضیه تبدیل شد، اهدا شد. مرد 44 ساله ریش بینی تمام دنیا را پاک کرده است. و اکنون همچنان آن را - جهان - را در حالت تعلیق نگه می دارد. از آنجایی که معلوم نیست ریاضیدان میلیون دلاری را که صادقانه سزاوار است می گیرد یا رد می کند. عموم مردم مترقی در بسیاری از کشورها به طور طبیعی نگران هستند. حداقل روزنامه ها در تمام قاره ها توطئه مالی و ریاضی را شرح می دهند.

و در پس زمینه این فعالیت های جذاب - فال گیری و تقسیم پول دیگران - معنای دستاورد پرلمن به نوعی از بین رفت. البته جیم کارلسون، رئیس مؤسسه Clay، زمانی اظهار داشت که هدف صندوق جایزه آنقدر جستجوی پاسخ نیست، بلکه تلاشی برای افزایش اعتبار علم ریاضی و علاقه مند کردن جوانان به آن است. اما با این حال، نکته چیست؟

فرضیه POINCARE - آن چیست؟

معمای حل شده توسط نابغه روسی به مبانی شاخه ای از ریاضیات به نام توپولوژی می پردازد. توپولوژی آن اغلب "هندسه ورق لاستیکی" نامیده می شود. به خواص اشکال هندسی می پردازد که اگر شکل کشیده، پیچ خورده یا خمیده شود، حفظ می شوند. به عبارت دیگر بدون پارگی، بریدگی و چسباندن تغییر شکل می دهد.

توپولوژی برای فیزیک ریاضی مهم است زیرا به ما اجازه می دهد تا ویژگی های فضا را درک کنیم. یا بدون اینکه بتوانید از بیرون به شکل این فضا نگاه کنید، آن را ارزیابی کنید. به عنوان مثال، به جهان ما.

هنگام توضیح حدس پوانکاره، آنها اینگونه شروع می کنند: یک کره دو بعدی را تصور کنید - یک دیسک لاستیکی بردارید و آن را روی توپ بکشید. به طوری که محیط دیسک در یک نقطه جمع می شود. به روشی مشابه، به عنوان مثال، می توانید یک کوله پشتی ورزشی را با طناب ببندید. نتیجه یک کره است: برای ما - سه بعدی، اما از نقطه نظر ریاضیات - فقط دو بعدی.

سپس آنها پیشنهاد می کنند که همان دیسک را روی یک دونات بکشند. به نظر می رسد که نتیجه خواهد گرفت. اما لبه های دیسک به یک دایره همگرا می شود که دیگر نمی توان آن را به نقطه ای کشید - دونات را برش می دهد.

همانطور که یکی دیگر از ریاضیدانان روسی، ولادیمیر اوسپنسکی، در کتاب محبوب خود می نویسد: «بر خلاف کره های دو بعدی، کره های سه بعدی برای مشاهده مستقیم ما غیرقابل دسترس هستند و تصور آنها برای ما به همان اندازه دشوار است که برای واسیلی ایوانوویچ تصور می شود. مثلث مربع از جوک معروف.

بنابراین، طبق فرضیه پوانکاره، یک کره سه بعدی تنها چیز سه بعدی است که سطح آن را می توان توسط یک "هیپرکورد" فرضی به یک نقطه کشید.

ژول هانری پوانکاره این را در سال 1904 پیشنهاد کرد. اکنون پرلمن همه کسانی را که می‌دانند حق با توپولوژیست فرانسوی است را متقاعد کرده است. و فرضیه خود را به یک قضیه تبدیل کرد.

اثبات کمک می کند تا بفهمیم کیهان ما چه شکلی دارد. و به ما این امکان را می دهد که خیلی منطقی فرض کنیم که همان کره سه بعدی است. اما اگر جهان تنها «شکل»ی باشد که می‌تواند به نقطه‌ای منقبض شود، احتمالاً می‌توان آن را از یک نقطه کشیده شد. آنچه به عنوان تأیید غیر مستقیم نظریه عمل می کند مهبانگ، که بیان می کند: از این نقطه بود که کیهان پدید آمد.

معلوم می شود که پرلمن همراه با پوانکاره، به اصطلاح آفرینش گرایان - حامیان آغاز الهی جهان را ناراحت کرده است. و آنها به آسیاب فیزیکدانان ماتریالیست خمیدند.

و در این زمان

نابغه هنوز یک میلیون دلار را رها نکرده است

این ریاضیدان سرسختانه از برقراری ارتباط با روزنامه نگاران امتناع می کند. برای ما - کاملاً: او حتی صدایش را هم بلند نمی کند. غربی ها - اظهارات را از در بسته پرتاب می کند. لایک منو تنها بذار به نظر می رسد که این نابغه فقط با رئیس موسسه Clay، جیم کارلسون، ارتباط برقرار می کند.

بلافاصله پس از اینکه درباره میلیون دلاری گریگوری پرلمن مشخص شد، کارلسون به این سوال پاسخ داد که "نابغه چه تصمیمی گرفت؟" پاسخ داد: به موقع به من اطلاع خواهد داد. یعنی اشاره کرد که با گریگوری در ارتباط است.

روز گذشته پیام جدیدی از رئیس جمهور دریافت کردیم. روزنامه انگلیسی تلگراف به مردم گزارش داد: «او گفت که تصمیم خود را در مقطعی به من اطلاع خواهد داد. اما او حداقل به طور تقریبی نگفت که این چه زمانی خواهد بود. فکر نمی‌کنم فردا درست باشد.»

به گفته رئیس جمهور، نابغه خشک اما مؤدبانه صحبت کرد. مختصر بود در دفاع از پرلمن، کارلسون خاطرنشان کرد: "هر روز نیست که شخصی حتی به شوخی به احتمال تسلیم شدن یک میلیون دلار فکر کند."

راستی

دیگر چرا یک میلیون دلار بدهند؟

1. مشکل کوک

تعیین اینکه آیا بررسی درستی راه حل یک مشکل می تواند بیشتر از دستیابی به خود راه حل طول بکشد، ضروری است. این وظیفه منطقی برای متخصصان رمزنگاری - رمزگذاری داده ها مهم است.

2. فرضیه ریمان

به اصطلاح اعداد اول مانند 2، 3، 5، 7 و غیره وجود دارند که فقط بر خودشان بخش پذیرند. تعداد آنها مشخص نیست. ریمان معتقد بود که می توان این را تعیین کرد و الگوی توزیع آنها را یافت. هر کس آن را پیدا کند خدمات رمزنگاری نیز ارائه خواهد کرد.

3. حدس توس و سوینرتون-دایر

این مسئله شامل حل معادلات با سه مجهول است که به توان ها تبدیل شده اند. شما باید بفهمید که چگونه آنها را بدون توجه به پیچیدگی حل کنید.

4. حدس هاج

در قرن بیستم، ریاضیدانان روشی را برای مطالعه شکل اجسام پیچیده کشف کردند. ایده استفاده از آجرهای ساده به جای خود شی است که به هم چسبیده و شبیه آن را تشکیل می دهند. باید ثابت کرد که این همیشه جایز است.

5. ناویر - معادلات استوکس

ارزش به یاد آوردن آنها را در هواپیما دارد. معادلات جریان هوا را که آن را در هوا نگه می دارد توصیف می کند. اکنون معادلات تقریباً با استفاده از فرمول های تقریبی حل می شوند. ما باید دقیق آن ها را پیدا کنیم و ثابت کنیم که در فضای سه بعدی یک راه حل برای معادلات وجود دارد که همیشه درست است.

6. معادلات یانگ - میلز

در دنیای فیزیک یک فرضیه وجود دارد: اگر یک ذره بنیادی جرم داشته باشد، پس حد پایین‌تری برای آن وجود دارد. اما کدام یک نامشخص است. ما باید به او برسیم. این شاید سخت ترین کار باشد. برای حل آن، لازم است یک "نظریه همه چیز" ایجاد شود - معادلاتی که همه نیروها و تعاملات موجود در طبیعت را متحد می کند. هر کسی که بتواند این کار را انجام دهد احتمالاً جایزه نوبل دریافت خواهد کرد.

عکس از N. Chetverikova آخرین دستاورد بزرگ ریاضیات محض اثبات توسط گریگوری پرلمن ساکن سن پترزبورگ در سال 2002-2003 از حدس پوانکاره است که در سال 1904 بیان شد و بیان کرد: "هر منیفولد سه بعدی فشرده، به سادگی متصل، متصل است. بدون مرز به کره S 3 همومورف است.

چندین اصطلاح در این عبارت وجود دارد که سعی خواهم کرد به گونه ای توضیح دهم که معنای کلی آنها برای غیر ریاضیدانان روشن شود (فرض می کنم خواننده کامل کرده باشد. دبیرستانو هنوز چیزی از ریاضیات مدرسه به یاد می آورد).

بیایید با مفهوم همومورفیسم شروع کنیم، که در توپولوژی مرکزی است. به طور کلی، توپولوژی اغلب به عنوان "هندسه لاستیکی" تعریف می شود، یعنی علم خواص تصاویر هندسی است که در طول تغییر شکل های صاف بدون شکستگی و چسباندن تغییر نمی کنند، یا به طور دقیق تر، اگر امکان ایجاد یک به یک وجود داشته باشد. - یک تناظر متقابل و پیوسته بین دو شی.

توضیح ایده اصلی با استفاده از مثال کلاسیک لیوان و دونات ساده تر است. اولی را می‌توان با تغییر شکل پیوسته به دومی تبدیل کرد: این شکل‌ها به وضوح نشان می‌دهند که یک لیوان همومورفیک به دونات است و این واقعیت هم برای سطوح آن (منیفولدهای دو بعدی به نام چنبره) و هم برای بدن‌های پر شده (سه عدد) صادق است. منیفولدهای بعدی با لبه).

اجازه دهید تفسیری از اصطلاحات باقی مانده در فرمول بندی فرضیه ارائه دهیم.

1. منیفولد سه بعدی بدون لبه.این یک شی هندسی است که در آن هر نقطه یک همسایگی به شکل یک توپ سه بعدی دارد. نمونه‌هایی از منیفولدهای 3 شامل، اولاً، کل فضای سه‌بعدی، که با R3 نشان داده می‌شود، و همچنین هر مجموعه باز از نقاط در R3، برای مثال، داخل یک چنبره جامد (دونات) است. اگر یک چنبره کامل بسته را در نظر بگیریم، یعنی نقاط مرزی آن (سطح چنبره) را اضافه کنیم، سپس یک منیفولد با لبه به دست می آوریم - نقاط لبه به شکل توپ دارای همسایگی نیستند، بلکه فقط به شکل هستند. از یک نیم توپ

2. متصل است.مفهوم اتصال در اینجا ساده ترین است. منیفولد در صورتی به هم متصل می شود که از یک قطعه تشکیل شده باشد، یا، چیزی مشابه، هر دو نقطه آن را می توان با یک خط پیوسته که از مرزهای آن فراتر نمی رود، متصل کرد.

3. به سادگی متصل است.مفهوم اتصال ساده پیچیده تر است. این بدان معناست که هر منحنی بسته پیوسته ای که به طور کامل در یک منیفولد معین قرار دارد، می تواند بدون خروج از این منیفولد به آرامی تا یک نقطه منقبض شود. به عنوان مثال، یک کره دو بعدی معمولی در R3 به سادگی متصل است (یک نوار لاستیکی که به هر شکلی روی سطح سیب قرار می گیرد، می تواند به آرامی با تغییر شکل صاف به یک نقطه کشیده شود بدون اینکه نوار لاستیکی از روی سیب پاره شود). . از سوی دیگر، دایره و چنبره به سادگی به هم متصل نیستند.

4. فشرده.اگر هر یک از تصاویر همومورفیک آن دارای ابعاد محدود باشد، یک تنوع فشرده است. به عنوان مثال، یک بازه باز روی یک خط (تمام نقاط یک پاره به جز انتهای آن) فشرده نیست، زیرا می توان آن را به طور مداوم تا یک خط بی نهایت گسترش داد. اما یک قطعه بسته (با انتهای) یک منیفولد فشرده با یک مرز است: برای هر تغییر شکل پیوسته، انتهای آن به برخی از نقاط خاص می رود و کل قطعه باید به یک منحنی محدود که این نقاط را به هم متصل می کند، برود.

بعد، ابعاد، اندازهیک منیفولد تعداد درجات آزادی نقطه ای است که روی آن زندگی می کند. هر نقطه دارای یک همسایگی به شکل یک دیسک با ابعاد مربوطه است، یعنی یک فاصله از یک خط در یک حالت یک بعدی، یک دایره در یک صفحه در دو بعد، یک توپ در سه بعدی، و غیره از نقطه. از نظر توپولوژی، تنها دو منیفولد متصل یک بعدی بدون لبه وجود دارد: یک خط و یک دایره. از این میان، فقط دایره فشرده است.

مثالی از فضایی که منیفولد نیست، مثلاً یک جفت خط متقاطع است - بالاخره در نقطه تلاقی دو خط، هر محله ای شکل صلیب دارد، همسایگی ندارد که خود صرفاً یک بازه است (و همه نقاط دیگر چنین همسایگی هایی دارند). در چنین مواقعی ریاضیدانان می گویند ما با تنوع خاصی روبرو هستیم که یک نکته خاص دارد.

منیفولدهای فشرده دو بعدی به خوبی شناخته شده اند. اگر فقط در نظر بگیریم جهت یابی 1منیفولدهای بدون مرز، سپس از نقطه نظر توپولوژیکی یک لیست ساده و البته بی نهایت تشکیل می دهند: و غیره. هر یک از این منیفولدها از یک کره با چسباندن چندین دسته که به تعداد آنها جنس سطح می گویند به دست می آید.

1 به دلیل کمبود فضا، من در مورد منیفولدهای غیر قابل جهت‌گیری صحبت نمی‌کنم، نمونه‌ای از آن بطری معروف کلاین است - سطحی که نمی‌توان آن را بدون خود تقاطع در فضا جاسازی کرد.

شکل سطوحی از جنس 0، 1، 2 و 3 را نشان می دهد. چه چیزی کره را از تمام سطوح این لیست متمایز می کند؟ معلوم می شود که به سادگی متصل است: در یک کره، هر منحنی بسته را می توان به یک نقطه منقبض کرد، اما در هر سطح دیگری همیشه می توان منحنی را نشان داد که نمی تواند به یک نقطه در امتداد سطح منقبض شود.

عجیب است که منیفولدهای فشرده سه بعدی بدون مرز را می توان به یک معنا طبقه بندی کرد، یعنی در یک لیست خاص مرتب شده است، اگرچه نه به سادگی در مورد دو بعدی، اما دارای ساختار نسبتاً پیچیده ای است. با این حال، کره سه بعدی S 3 در این لیست مانند کره دو بعدی در لیست بالا برجسته است. این واقعیت که هر منحنی در S 3 به یک نقطه منقبض می شود به سادگی در مورد دو بعدی ثابت می شود. اما گزاره مخالف، یعنی اینکه این ویژگی به طور خاص برای کره منحصر به فرد است، یعنی اینکه روی هر منیفولد سه بعدی دیگر منحنی های غیر قابل انقباض وجود دارد، بسیار دشوار است و دقیقاً محتوای حدس پوانکاره را تشکیل می دهد که در مورد آن صحبت می کنیم. .

درک این نکته مهم است که تنوع می تواند به خودی خود زندگی کند؛ می توان آن را به عنوان یک شی مستقل در نظر گرفت، نه در جایی تودرتو. (تصور کنید که به عنوان موجوداتی دو بعدی روی سطح یک کره معمولی زندگی می کنید و از وجود بعد سوم غافل هستید.) خوشبختانه، تمام سطوح دو بعدی لیست بالا را می توان در فضای معمولی R3 تودرتو کرد و آنها را آسان تر کرد. تجسم کردن برای کره سه بعدی S 3 (و به طور کلی برای هر منیفولد سه بعدی فشرده بدون مرز) این دیگر صدق نمی کند، بنابراین برای درک ساختار آن کمی تلاش لازم است.

ظاهرا ساده ترین راهبرای توضیح ساختار توپولوژیکی کره سه بعدی S 3 با کمک فشرده سازی یک نقطه ای است. یعنی، کره سه بعدی S 3 فشرده سازی یک نقطه ای از فضای معمولی سه بعدی (نامحدود) R 3 است.

اجازه دهید ابتدا این ساختار را با استفاده از مثال‌های ساده توضیح دهیم. بیایید یک خط مستقیم بی نهایت معمولی (یک آنالوگ یک بعدی از فضا) بگیریم و یک نقطه "بی نهایت دور" به آن اضافه کنیم، با این فرض که وقتی در امتداد یک خط مستقیم به سمت راست یا چپ حرکت می کنیم، در نهایت به این نقطه می رسیم. از نقطه نظر توپولوژیکی، هیچ تفاوتی بین یک خط بی نهایت و یک پاره خط باز محدود (بدون نقاط انتهایی) وجود ندارد. چنین قطعه ای را می توان به صورت یک قوس به طور مداوم خم کرد، انتهای آن را نزدیکتر کرد و نقطه از دست رفته را در محل اتصال چسباند. بدیهی است که یک دایره - یک آنالوگ یک بعدی از یک کره به دست خواهیم آورد.

به همین ترتیب، اگر یک صفحه بینهایت را بگیرم و یک نقطه را در بی نهایت اضافه کنم، که تمام خطوط مستقیم صفحه اصلی که از هر جهتی می گذرند، به آن گرایش دارند، یک کره دو بعدی (معمولی) S 2 به دست می آوریم. این روش را می توان با استفاده از یک برجستگی استریوگرافی مشاهده کرد، که به هر نقطه P، کره، به استثنای قطب شمال N، نقطه خاصی در صفحه P را اختصاص می دهد:

بنابراین، یک کره بدون یک نقطه از نظر توپولوژیکی همان صفحه است و اضافه کردن یک نقطه صفحه را به یک کره تبدیل می کند.

اصولاً دقیقاً همان ساخت و ساز برای یک کره سه بعدی و فضای سه بعدی قابل اجرا است، فقط برای اجرای آن باید وارد بعد چهارم شد و این به این راحتی در یک نقاشی به تصویر کشیده نمی شود. بنابراین، من خودم را به توصیف شفاهی فشرده سازی یک نقطه ای فضای R 3 محدود می کنم.

تصور کنید که به فضای فیزیکی ما (که ما به تبعیت از نیوتن آن را یک فضای اقلیدسی نامحدود با سه مختصات x، y، z در نظر می گیریم) یک نقطه "در بی نهایت" اضافه شود به گونه ای که هنگام حرکت در یک خط مستقیم در هر جهتی که به آنجا می رسید (یعنی هر خط فضایی به صورت دایره ای بسته می شود). سپس یک منیفولد سه بعدی فشرده بدست می آوریم که طبق تعریف کره S 3 است.

به راحتی می توان فهمید که کره S 3 به سادگی متصل است. در واقع هر منحنی بسته روی این کره را می توان کمی جابجا کرد تا از نقطه اضافه شده عبور نکند. سپس یک منحنی در فضای معمولی R 3 به دست می آوریم که به راحتی از طریق همگن ها به یک نقطه منقبض می شود، یعنی فشرده سازی مداوم در هر سه جهت.

برای درک چگونگی ساختار واریته S 3، در نظر گرفتن تقسیم بندی آن به دو توری جامد بسیار آموزنده است. اگر چنبره جامد را از فضای R 3 برداریم، چیزی که خیلی واضح نیست باقی می ماند. و اگر فضا به یک کره فشرده شود، این مکمل نیز به یک چنبره جامد تبدیل می شود. یعنی کره S 3 به دو توری جامد تقسیم می شود مرز مشترک- چنبره

در اینجا نحوه درک آن است. بیایید مثل همیشه چنبره را به شکل یک دونات گرد در R 3 جاسازی کنیم و یک خط عمودی - محور چرخش این دونات - بکشیم. اجازه دهید یک صفحه دلخواه را از طریق محور رسم کنیم؛ آن چنبره جامد ما را در امتداد دو دایره نشان داده شده در شکل قطع می کند. سبز، و قسمت اضافی هواپیما به یک خانواده پیوسته از دایره های قرمز تقسیم می شود. اینها شامل محور مرکزی است که با جسارت بیشتری برجسته می شود، زیرا در کره S 3 خط مستقیم به یک دایره بسته می شود. یک تصویر سه بعدی از این تصویر دو بعدی با چرخش حول یک محور به دست می آید. مجموعه کاملی از دایره‌های چرخانده یک جسم سه‌بعدی را پر می‌کند، همومورفیک به یک چنبره جامد، که فقط غیرعادی به نظر می‌رسد.

در واقع، محور مرکزی یک دایره محوری در آن خواهد بود و بقیه نقش موازی ها را بازی می کنند - دایره هایی که یک چنبره جامد معمولی را تشکیل می دهند.

برای اینکه بتوان 3 کره را با آن مقایسه کرد، مثال دیگری از 3 منیفولد جمع و جور، یعنی چنبره سه بعدی را می زنم. یک چنبره سه بعدی را می توان به صورت زیر ساخت. بیایید یک مکعب سه بعدی معمولی را به عنوان ماده اولیه در نظر بگیریم:

دارای سه جفت لبه است: چپ و راست، بالا و پایین، جلو و عقب. در هر جفت وجه موازی، نقاط به دست آمده از یکدیگر را با انتقال در امتداد لبه مکعب به صورت جفت شناسایی می کنیم. یعنی فرض می کنیم (به صورت کاملاً انتزاعی و بدون استفاده از تغییر شکل های فیزیکی) که مثلاً A و A یک نقطه هستند و B و B نیز یک نقطه هستند اما با نقطه A متفاوت هستند. همه نقاط داخلی از مکعب ما آن را به طور معمول در نظر می گیریم. خود مکعب یک منیفولد با لبه است، اما پس از اتمام چسباندن، لبه روی خود بسته می شود و ناپدید می شود. در واقع، همسایگی نقاط A و A در مکعب (روی وجه های سایه دار چپ و راست قرار دارند) نیمی از توپ ها هستند که پس از چسباندن چهره ها به هم، به یک توپ کامل تبدیل می شوند که به عنوان یک همسایگی عمل می کند. نقطه متناظر چنبره سه بعدی.

برای احساس ساختار یک 3-torus بر اساس ایده های روزمره در مورد فضای فیزیکی، باید سه جهت عمود بر یکدیگر را انتخاب کنید: جلو، چپ و بالا - و به طور ذهنی، مانند داستان های علمی تخیلی، در نظر بگیرید که هنگام حرکت در هر یک از این جهت ها در یک زمان نسبتا طولانی اما محدود، به نقطه شروع باز خواهیم گشت، اما از جهت مخالف.

مسیرهای غیر قابل انقباض بر روی یک چنبره سه بعدی وجود دارد. به عنوان مثال، این قطعه AA" در شکل است (روی یک چنبره نشان دهنده یک مسیر بسته است). نمی توان آن را منقبض کرد، زیرا برای هر تغییر شکل پیوسته، نقاط A و A" باید در امتداد صورت خود حرکت کنند و کاملاً در مقابل یکدیگر باقی بمانند. در غیر این صورت منحنی باز می شود).

بنابراین، می بینیم که سه منیفولدهای فشرده به سادگی متصل و غیر متصل وجود دارند. پرلمن ثابت کرد که منیفولد ساده متصل دقیقاً یکی است.

ایده اولیه اثبات استفاده از به اصطلاح "جریان ریچی" است: ما یک 3 منیفولد فشرده به سادگی متصل می کنیم، به آن هندسه دلخواه می دهیم (یعنی مقداری متریک با فواصل و زوایا معرفی می کنیم) و سپس در نظر می گیریم. تکامل آن در امتداد جریان ریچی. ریچارد همیلتون، که این ایده را در سال 1981 ارائه کرد، امیدوار بود که این تکامل، تنوع ما را به یک کره تبدیل کند. معلوم شد که این درست نیست - در مورد سه بعدی، جریان ریچی می تواند یک منیفولد را خراب کند، یعنی آن را غیر منیفولد کند (چیزی با نقاط منفرد، مانند مثال بالا از خطوط متقاطع) . پرلمن با غلبه بر مشکلات فنی باورنکردنی، با استفاده از دستگاه سنگین معادلات دیفرانسیل جزئی، توانست اصلاحاتی را در جریان ریچی در نزدیکی نقاط منفرد ایجاد کند، به گونه ای که در طول تکامل توپولوژی منیفولد تغییر نکند، هیچ نقطه منفردی ایجاد نشود. در نهایت به یک کره گرد تبدیل می شود. اما در نهایت باید توضیح دهیم که این جریان ریچی چیست. جریان های استفاده شده توسط همیلتون و پرلمن به تغییرات در متریک ذاتی در یک منیفولد انتزاعی اشاره دارد، و توضیح این موضوع بسیار دشوار است، بنابراین من خودم را به توصیف جریان ریچی "خارجی" بر روی منیفولدهای یک بعدی تعبیه شده در صفحه محدود می کنم.

اجازه دهید یک منحنی بسته صاف را روی صفحه اقلیدسی تصور کنیم، جهتی را روی آن انتخاب کنیم و بردار مماس واحد طول را در هر نقطه در نظر بگیریم. سپس هنگام دور زدن منحنی در جهت انتخاب شده، این بردار با سرعت زاویه ای می چرخد که به آن انحنا می گویند. در جاهایی که منحنی تندتر است، انحنا (در مقدار مطلق) بیشتر خواهد بود و در جاهایی که صاف تر است، انحنا کمتر خواهد بود.

اگر بردار سرعت به سمت قسمت داخلی صفحه بچرخد که با منحنی ما به دو قسمت تقسیم شود، انحنا را مثبت و اگر به سمت بیرون بچرخد منفی در نظر می گیریم. این توافق به جهتی که منحنی در آن طی می شود بستگی ندارد. در نقاط عطف، جایی که چرخش جهت تغییر می کند، انحنای 0 خواهد بود. برای مثال، دایره ای با شعاع 1 دارای انحنای مثبت ثابت 1 است (اگر بر حسب رادیان اندازه گیری شود).

حالا بیایید بردارهای مماس را فراموش کنیم و برعکس، به هر نقطه از منحنی برداری عمود بر آن بچسبانیم که طول آن برابر با انحنای یک نقطه معین باشد و در صورت مثبت بودن انحنا به سمت داخل و در صورت منفی بودن به سمت بیرون به سمت خارج باشد. و سپس هر نقطه را با سرعت متناسب با طول آن در جهت بردار مربوطه حرکت دهید. در اینجا یک مثال است:

معلوم می شود که هر منحنی بسته روی یک صفحه در طول چنین تکاملی به روشی مشابه رفتار می کند، یعنی در نهایت به یک دایره تبدیل می شود. این اثباتی بر آنالوگ یک بعدی حدس پوانکاره با استفاده از جریان ریچی است (اما، خود این گزاره در این مورد از قبل واضح است، فقط روش اثبات آنچه را که در بعد 3 اتفاق می افتد نشان می دهد).

اجازه دهید در پایان یادآور شویم که استدلال پرلمن نه تنها حدس پوانکاره، بلکه حدس هندسی بسیار کلی تر تورستون را نیز اثبات می کند، که به نوعی ساختار همه منیفولدهای سه بعدی به طور کلی فشرده را توصیف می کند. اما این موضوع از حوصله این مقاله ابتدایی خارج است.

سرگئی دوژین،
دکترای فیزیک و ریاضی علوم،
پژوهشگر ارشد
شعبه سنت پترزبورگ
موسسه ریاضی آکادمی علوم روسیه

در سال 1904، هانری پوانکاره پیشنهاد کرد که هر جسم سه بعدی که دارای ویژگی های مشخصی از یک 3 کره باشد، می تواند به یک کره 3 تبدیل شود. اثبات این فرضیه 99 سال طول کشید. (هشدار! کره سه بعدی آن چیزی نیست که شما فکر می کنید.) ریاضیدان روسی حدس پوانکاره را که یک قرن پیش بیان شده بود اثبات کرد و ایجاد فهرستی از اشکال فضاهای سه بعدی را تکمیل کرد. شاید او یک میلیون دلار پاداش دریافت کند.

نگاهی به اطراف بنداز. اجسام اطراف شما، مانند خود شما، مجموعه ای از ذرات هستند که در فضای سه بعدی (3 چندگانه) در حال حرکت هستند که در تمام جهات برای چندین میلیارد سال نوری امتداد دارند.

منیفولدها ساختارهای ریاضی هستند. از زمان گالیله و کپلر، دانشمندان با موفقیت واقعیت را بر اساس یکی از شاخه‌های ریاضیات توصیف کرده‌اند. فیزیکدانان بر این باورند که همه چیز در جهان در فضای سه بعدی اتفاق می افتد و موقعیت هر ذره را می توان با سه عدد به عنوان مثال، طول، طول و عرض جغرافیایی مشخص کرد (اجازه دهید فعلاً فرضی را که در نظریه ریسمان مطرح شده است کنار بگذاریم. به سه بعد که مشاهده می کنیم، چندین بعدی دیگر وجود دارد).

طبق فیزیک کوانتومی کلاسیک و سنتی، فضا ثابت و بدون تغییر است. در عین حال، نظریه نسبیت عام آن را به عنوان یک شرکت کننده فعال در رویدادها در نظر می گیرد: فاصله بین دو نقطه به عبور امواج گرانشی و میزان ماده و انرژی در نزدیکی آن بستگی دارد. اما هم در فیزیک نیوتنی و هم در فیزیک اینشتینی، فضا - بی نهایت یا متناهی - در هر صورت یک 3 چندگانه است. بنابراین، برای درک کامل اصولی که تقریباً همه علم مدرن، درک ویژگی های 3 منیفولد ضروری است (4 منیفولد کمتر مورد توجه نیست ، زیرا مکان و زمان با هم یکی از آنها را تشکیل می دهند).

شاخه ای از ریاضیات که در آن منیفولدها مطالعه می شوند توپولوژی نامیده می شود. توپولوژیست ها ابتدا سؤالات اساسی پرسیدند: ساده ترین (یعنی کم پیچیده ترین) نوع 3 منیفولد چیست؟ آیا برادران به همان اندازه ساده دارد یا منحصر به فرد است؟ چه نوع 3 منیفولد وجود دارد؟

پاسخ سوال اول از قدیم معلوم بود: ساده ترین 3 منیفولد فشرده فضایی است به نام 3 کره (منیفولدهای غیر فشرده بی نهایت هستند یا لبه دارند. در زیر فقط منیفولدهای فشرده در نظر گرفته شده است). دو سوال دیگر برای یک قرن باز باقی ماند. تنها در سال 2002 توسط ریاضیدان روسی گریگوری پرلمن که ظاهراً توانست حدس پوانکاره را ثابت کند به آنها پاسخ داده شد.

درست صد سال پیش، هانری پوانکاره، ریاضی‌دان فرانسوی، پیشنهاد کرد که 3 کره منحصربه‌فرد است و هیچ 3 منیفولد فشرده دیگری این ویژگی را ندارد که آن را به این سادگی کند. 3 منیفولدهای پیچیده تر دارای مرزهایی هستند که مانند یک دیوار آجری بلند می شوند، یا اتصالات متعددی بین مناطق خاص دارند، مانند مسیر جنگلی که منشعب می شود و دوباره به هم می پیوندد. هر جسم سه بعدی با ویژگی های یک کره 3 می تواند به خود آن تبدیل شود، بنابراین از نظر توپولوژیست ها به نظر می رسد که صرفاً یک کپی از آن باشد. اثبات پرلمن همچنین به ما اجازه می دهد به سوال سوم پاسخ دهیم و تمام 3 منیفولدهای موجود را طبقه بندی کنیم.

برای تصور یک کره 3 به مقدار مناسبی از تخیل نیاز دارید (به موسیقی چند بعدی کره ها مراجعه کنید). خوشبختانه، شباهت های زیادی با کره 2 دارد، که یک نمونه معمولی آن لاستیک یک بالن گرد است: دو بعدی است، زیرا هر نقطه روی آن تنها با دو مختصات - عرض و طول جغرافیایی - تعریف می شود. اگر ناحیه نسبتاً کوچکی از آن را زیر ذره بین قدرتمند بررسی کنید، مانند یک تکه ورق صاف به نظر می رسد. برای یک حشره کوچک که روی بالون می خزد، سطحی صاف به نظر می رسد. اما اگر بوگر به اندازه کافی در یک خط مستقیم حرکت کند، در نهایت به نقطه عزیمت خود باز خواهد گشت. به همین ترتیب، ما یک کره 3 به اندازه کیهان خود را به عنوان فضای سه بعدی "معمولی" درک می کنیم. با پرواز به اندازه کافی در هر جهتی، در نهایت آن را دور می زدیم و به نقطه شروع خود بازمی گشتیم.

همانطور که ممکن است حدس بزنید، یک کره n بعدی، یک کره n نامیده می شود. به عنوان مثال، کره 1 برای همه آشنا است: این فقط یک دایره است.

گریگوری پرلمن اثبات خود را بر حدس پوانکاره و تکمیل برنامه هندسه‌سازی تورستون در سمیناری در دانشگاه پرینستون در آوریل 2003 ارائه می‌کند.

آزمون فرضیه ها

نیم قرن گذشت تا موضوع حدس پوانکاره از بین رفت. در دهه 60 قرن XX ریاضیدانان اظهارات مشابه او را برای کره های پنج بعدی یا بیشتر ثابت کرده اند. در هر مورد، n-کره در واقع تنها و ساده ترین n-منیفولد است. به اندازه کافی عجیب، به دست آوردن نتایج برای کره های چند بعدی آسان تر از کره های 3 و 4 بود. اثبات چهار بعد در سال 1982 ظاهر شد. و تنها حدس اولیه پوانکاره در مورد کره 3 تایید نشده باقی ماند.

گام تعیین کننده در نوامبر 2002 برداشته شد، زمانی که گریگوری پرلمن، ریاضیدان از شعبه سنت پترزبورگ موسسه ریاضیات. Steklov، مقاله را به وب سایت www.arxiv.org ارسال کرد، جایی که فیزیکدانان و ریاضیدانان از سراسر جهان در مورد نتایج خود بحث می کنند. فعالیت علمی. توپولوژیست ها بلافاصله ارتباط بین کار دانشمند روسی و حدس پوانکاره را درک کردند، اگرچه نویسنده مستقیماً به آن اشاره نکرده است. در مارس 2003، پرلمن مقاله دوم را منتشر کرد و در بهار همان سال از ایالات متحده بازدید کرد و سمینارهای متعددی را در مؤسسه فناوری ماساچوست و دانشگاه ایالتی نیویورک در استونی بروک برگزار کرد. چندین گروه از ریاضیدانان در مؤسسات پیشرو بلافاصله مطالعه دقیق آثار ارسال شده و جستجوی خطاها را آغاز کردند.

بررسی: اثبات فرضیه POINCARES

برای یک قرن تمام، ریاضیدانان تلاش کردند تا فرضیه هانری پوانکاره را در مورد سادگی استثنایی و منحصر به فرد بودن کره 3 در بین تمام اشیاء سه بعدی اثبات کنند.
منطق حدس پوانکاره سرانجام در کار ریاضیدان جوان روسی گریگوری پرلمن ظاهر شد. او همچنین یک برنامه گسترده طبقه بندی منیفولدهای سه بعدی را تکمیل کرد.
شاید جهان ما به شکل یک کره 3 باشد. پیوندهای جالب دیگری بین ریاضیات و فیزیک ذرات و نسبیت عام وجود دارد.

در استونی بروک، پرلمن چندین سخنرانی در طول دو هفته ارائه کرد و از سه تا شش ساعت در روز سخنرانی کرد. مطالب را خیلی واضح ارائه کرد و به تمام سوالاتی که پیش آمد پاسخ داد. هنوز یک قدم کوچک تا حصول نتیجه نهایی باقی مانده است، اما شکی نیست که در شرف انجام است. مقاله اول خواننده را با ایده های اساسی آشنا می کند و کاملاً تأیید شده در نظر گرفته می شود. مقاله دوم مسائل کاربردی و تفاوت های ظریف فنی را پوشش می دهد. هنوز همان اعتماد به نفس کامل قبلی خود را القا نمی کند.

در سال 2000، موسسه ریاضیات به نام. کلی در کمبریج، ماساچوست، یک جایزه یک میلیون دلاری برای اثبات هر یک از هفت مسئله هزاره تعیین کرده است، که یکی از آنها حدس پوانکاره است. قبل از اینکه یک دانشمند بتواند ادعای جایزه کند، مدرک او باید منتشر شود و به مدت دو سال به دقت بررسی شود.

کار پرلمن برنامه تحقیقاتی انجام شده در دهه 90 را گسترش داده و تکمیل می کند. قرن گذشته توسط ریچارد اس. همیلتون از دانشگاه کلمبیا. در پایان سال 2003، کار می کند ریاضیدان آمریکاییجایزه موسسه Clay را دریافت کردند. پرلمن موفق شد به طرز درخشانی بر تعدادی از موانع که همیلتون قادر به مقابله با آنها نبود غلبه کند.

در واقع، برهان پرلمن، که هنوز هیچ کس نتوانسته است صحت آن را زیر سوال ببرد، طیف وسیع تری از مسائل را نسبت به خود حدس پوانکاره حل می کند. روش هندسی پیشنهاد شده توسط ویلیام پی. تورستون از دانشگاه کرنل، امکان طبقه بندی کامل 3 منیفولدها را بر اساس 3 کره فراهم می کند که در سادگی عالی آن منحصر به فرد است. اگر حدس پوانکاره نادرست بود، یعنی. اگر فضاهای زیادی به سادگی یک کره وجود داشت، طبقه بندی 3 منیفولد به چیزی بی نهایت پیچیده تر تبدیل می شد. به لطف پرلمن و ترستون، ما یک کاتالوگ کامل از تمام اشکال ریاضی ممکن فضای سه بعدی داریم که جهان ما می تواند داشته باشد (اگر فقط فضا را بدون زمان در نظر بگیریم).

نان شیرینی لاستیکی

برای درک بهتر حدس پوانکاره و اثبات پرلمن، باید نگاهی دقیق تر به توپولوژی بیندازید. در این شاخه از ریاضیات، شکل یک جسم مهم نیست، گویی از خمیری ساخته شده است که به هر شکلی می توان آن را کشیده، فشرده و خم کرد. چرا باید به چیزها یا فضاهای ساخته شده از خمیر خیالی فکر کنیم؟ واقعیت این است که شکل دقیق یک جسم - فاصله بین تمام نقاط آن - به سطح ساختاری به نام هندسه اشاره دارد. توپولوژیست ها با بررسی یک شی از خمیر، ویژگی های اساسی آن را که به ساختار هندسی بستگی ندارد، شناسایی می کنند. مطالعه توپولوژی شبیه به جستجوی رایج ترین ویژگی هایی است که افراد با نگاه کردن به یک "مرد پلاستیکی" دارند که می تواند به هر فرد خاصی تبدیل شود.

در ادبیات عامه پسند، غالباً یک جمله هک شده وجود دارد که از نقطه نظر توپولوژیکی، یک فنجان هیچ تفاوتی با دونات ندارد. واقعیت این است که یک فنجان خمیر را می توان با خرد کردن مواد به دونات تبدیل کرد. بدون کور کردن چیزی یا ایجاد سوراخ (به TOPOLOGY سطح مراجعه کنید). از طرفی برای درست کردن دونات از توپ، حتما باید سوراخی روی آن ایجاد کنید یا آن را به شکل استوانه درآورید و انتهای آن را قالب بزنید، پس توپ اصلا دونات نیست.

توپولوژیست ها بیشتر به کره و سطوح دونات علاقه دارند. بنابراین، به جای اجسام جامد، باید بالن ها را تصور کنید. توپولوژی آنها هنوز متفاوت است زیرا یک بالون کروی را نمی توان به بالون حلقه ای شکل تبدیل کرد که به آن چنبره می گویند. ابتدا، دانشمندان تصمیم گرفتند که بفهمند چند جسم با توپولوژی های مختلف وجود دارد و چگونه می توان آنها را مشخص کرد. برای منیفولدهای 2، که ما به فراخوانی سطوح عادت داریم، پاسخ ظریف و ساده است: همه چیز با تعداد "سوراخ ها" یا همان تعداد دستگیره ها تعیین می شود (به TOPOLOGY OF SURFACES مراجعه کنید). پایان قرن 19 ریاضیدانان چگونگی طبقه بندی سطوح را کشف کردند و تشخیص دادند که ساده ترین آنها کره است. به طور طبیعی، توپولوژیست ها شروع به فکر کردن در مورد 3-منیفولد کردند: آیا 3-کره از نظر سادگی منحصر به فرد است؟ تاریخچه صد ساله جستجوی پاسخ پر از اشتباهات و شواهد ناقص است.

هانری پوانکاره این موضوع را از نزدیک بررسی کرد. او یکی از دو ریاضی دان قدرتمند اوایل قرن بیستم بود. (دیگر دیوید گیلبرت بود). او آخرین جهانی گرا نامیده شد - او با موفقیت در تمام زمینه های ریاضیات محض و کاربردی کار کرد. علاوه بر این، پوانکاره در توسعه مکانیک سماوی، نظریه الکترومغناطیس، و همچنین در فلسفه علم که چندین کتاب مشهور در مورد آن نوشت، کمک های زیادی کرد.

پوانکاره بنیانگذار توپولوژی جبری شد و با استفاده از روش های آن در سال 1900 یک ویژگی توپولوژیکی یک شی را به نام هموتوپی فرموله کرد. برای تعیین هموتوپی یک منیفولد، باید به صورت ذهنی یک حلقه بسته را در آن غوطه ور کنید (به توپولوژی سطوح مراجعه کنید). سپس باید دریابید که آیا همیشه می توان حلقه را با حرکت دادن آن در داخل منیفولد به یک نقطه منقبض کرد. برای یک چنبره، پاسخ منفی خواهد بود: اگر یک حلقه در اطراف چنبره قرار دهید، نمی توانید آن را تا یک نقطه سفت کنید، زیرا "سوراخ" دونات سر راه قرار خواهد گرفت. هموتوپی تعداد مسیرهای مختلفی است که می تواند از انقباض یک حلقه جلوگیری کند.

موسیقی چند بعدی حوزه ها

تصور 3 کره چندان آسان نیست. ریاضیدانانی که قضایای فضاهای با ابعاد بالاتر را اثبات می‌کنند، مجبور نیستند هدف مورد مطالعه را تصور کنند: آنها با ویژگی‌های انتزاعی سروکار دارند، که توسط شهود مبتنی بر قیاس‌هایی با ابعاد کمتر هدایت می‌شوند (این گونه قیاس‌ها باید با احتیاط برخورد شوند و به معنای واقعی کلمه برداشت نشوند). ما همچنین 3 کره را بر اساس خواص اجسام با ابعاد کمتر در نظر خواهیم گرفت.

1. بیایید با نگاه کردن به یک دایره و دایره محصور آن شروع کنیم. برای ریاضیدانان، دایره یک توپ دو بعدی است و دایره یک کره یک بعدی است. علاوه بر این، یک توپ با هر اندازه ای یک جسم پر شده است، که یادآور هندوانه است، و یک کره سطح آن است، بیشتر شبیه یک بادکنک. یک دایره یک بعدی است زیرا موقعیت یک نقطه روی آن را می توان با یک عدد مشخص کرد.

2. از دو دایره می توانیم یک کره دو بعدی بسازیم که یکی از آنها را به نیمکره شمالی و دیگری را به نیمکره جنوبی تبدیل کنیم. تنها چیزی که باقی می ماند چسباندن آنها به هم است و کره 2 آماده است.

3. بیایید مورچه ای را تصور کنیم که از قطب شمال در امتداد دایره بزرگی که توسط نصف النهار اول و 180 تشکیل شده است (سمت چپ) می خزد. اگر مسیر خود را روی دو دایره اصلی (در سمت راست) ترسیم کنیم، خواهیم دید که حشره در یک خط مستقیم (1) تا لبه دایره شمالی (a) حرکت می کند، سپس از مرز عبور می کند و به پایان می رسد. نقطه مربوطه در دایره جنوبیو به دنبال یک خط مستقیم (2 و 3) ادامه می دهد. سپس مورچه دوباره به لبه (ب) می رسد، از آن عبور می کند و دوباره خود را در دایره شمالی می یابد و به سمت نقطه شروع - قطب شمال (4) می شتابد. لطفا توجه داشته باشید که در طول سفر به دور دنیادر امتداد 2 کره، هنگام حرکت از یک دایره به دایره دیگر، جهت حرکت به سمت مخالف تغییر می کند.

4. حالا 2 کره خود و حجم آن (یک توپ سه بعدی) را در نظر بگیرید و با آنها مانند دایره و دایره انجام دهید: دو کپی از توپ بردارید و مرزهای آنها را به هم بچسبانید. غیر ممکن و ضروری نیست که به وضوح نشان دهیم که چگونه توپ ها در چهار بعد تحریف می شوند و به آنالوگ نیمکره ها تبدیل می شوند. کافی است بدانید که نقاط مربوطه روی سطوح، i.e. 2-کره ها مانند دایره ها به یکدیگر متصل می شوند. نتیجه اتصال دو توپ یک کره 3 - سطح یک توپ چهار بعدی است. (در چهار بعد، جایی که یک توپ 3 و یک توپ 4 وجود دارد، سطح یک جسم سه بعدی است.) یک توپ را نیمکره شمالی و دیگری را نیمکره جنوبی بنامیم. بر اساس قیاس با دایره ها، قطب ها اکنون در مرکز توپ ها قرار دارند.

5. تصور کنید که توپ های مورد نظر مناطق خالی بزرگی از فضا هستند. فرض کنید یک فضانورد با موشک از قطب شمال به راه می افتد. با گذشت زمان، به استوا (1) می رسد، که اکنون کره ای است که گوی شمالی را احاطه کرده است. با عبور از آن، موشک وارد نیمکره جنوبی می شود و در یک خط مستقیم از مرکز خود - قطب جنوب - به سمت مخالف خط استوا حرکت می کند (2 و 3). در آنجا انتقال به نیمکره شمالی دوباره اتفاق می افتد، و مسافر به قطب شمال باز می گردد، یعنی. به نقطه شروع (4). این سناریوی سفر به دور دنیا بر روی سطح یک توپ 4 بعدی است! کره سه بعدی در نظر گرفته شده، فضایی است که در حدس پوانکاره به آن اشاره شده است. شاید جهان ما دقیقاً یک 3 کره باشد.
استدلال را می توان به پنج بعد گسترش داد و یک کره 4 را ساخت، اما تصور این بسیار دشوار است. اگر دو توپ n را در امتداد کره های (n–1) که آنها را احاطه کرده اند بچسبانید، یک کره n خواهید داشت که توپ (n+1) را محدود می کند.

در کره n، هر حلقه، حتی یک حلقه پیچیده، همیشه می تواند باز شود و تا یک نقطه به هم کشیده شود. (حلقه مجاز است از خودش عبور کند.) پوانکاره فرض کرد که 3 کره تنها 3 منیفولدی است که هر حلقه ای را می توان به یک نقطه منقبض کرد. متأسفانه او هرگز نتوانست حدس خود را که بعدها به حدس پوانکاره معروف شد، اثبات کند. در طول صد سال گذشته، بسیاری نسخه خود را از اثبات ارائه کرده‌اند، اما فقط برای اینکه از اشتباه بودن آن متقاعد شوند. (برای سهولت در نمایش، از دو مورد خاص غافل می شوم: منیفولدهای به اصطلاح غیر قابل جهت گیری و منیفولدهای لبه دار. به عنوان مثال، یک کره با یک قطعه بریده شده از آن یک لبه دارد و یک حلقه موبیوس نه تنها دارای لبه است. ، اما غیر جهت‌پذیر است.)

هندسه سازی

تجزیه و تحلیل پرلمن از 3 منیفولد ارتباط نزدیکی با روش هندسی دارد. هندسه به شکل واقعی اشیا و منیفولدها می پردازد که دیگر از خمیر ساخته نمی شوند، بلکه از سرامیک ساخته می شوند. به عنوان مثال، یک فنجان و یک دونات از نظر هندسی متفاوت هستند، زیرا سطوح آنها به طور متفاوتی منحنی است. گفته می شود که یک فنجان و یک دونات دو نمونه از چنبره توپولوژیکی هستند که اشکال هندسی متفاوتی به آنها داده شده است.

برای درک اینکه چرا پرلمن از هندسه استفاده می کند، طبقه بندی 2 منیفولد را در نظر بگیرید. به هر سطح توپولوژیکی یک هندسه منحصر به فرد اختصاص داده می شود که انحنای آن به طور مساوی در سراسر منیفولد توزیع می شود. به عنوان مثال، برای یک کره، این یک سطح کاملا کروی است. هندسه احتمالی دیگر برای یک کره توپولوژیکی یک تخم است، اما انحنای آن در همه جا به طور مساوی توزیع نشده است: انتهای تیز منحنی تر از انتهای صاف است.

2-منیفولدها سه نوع هندسی را تشکیل می دهند (به ژئومتریزاسیون مراجعه کنید). کره با انحنای مثبت مشخص می شود. یک چنبره هندسی مسطح و دارای انحنای صفر است. همه 2 منیفولدهای دیگر با دو یا چند "سوراخ" دارای انحنای منفی هستند. آنها مربوط به سطحی شبیه به زین هستند که در جلو و عقب به سمت بالا و در سمت چپ و راست به سمت پایین خم می شوند. پوانکاره این طبقه بندی هندسی (هندسی) 2 منیفولد را همراه با پل کوبی و فلیکس کلاین، که بطری کلاین به نام آنها نامگذاری شده است، توسعه داد.

تمایل طبیعی به اعمال روشی مشابه برای 3 منیفولد وجود دارد. آیا می توان برای هر یک از آنها یک پیکربندی منحصر به فرد پیدا کرد که در آن انحنای به طور مساوی در کل تنوع توزیع شود؟

مشخص شد که منیفولدهای 3 بسیار پیچیده‌تر از همتایان دو بعدی خود هستند و نمی‌توان هندسه‌ای همگن به اکثر آنها اختصاص داد. آنها باید به قسمت هایی تقسیم شوند که مطابق با یکی از هشت هندسه متعارف باشد. این روش یادآور تجزیه یک عدد به فاکتورهای اول است.

توپولوژی سطحی

در توپولوژی شکل دقیق، یعنی. هندسه بی ربط است: با اشیا به گونه ای رفتار می شود که گویی از خمیر ساخته شده اند و می توان آنها را کشیده، فشرده و پیچاند. با این حال، هیچ چیز را نمی توان برش داد یا چسباند. بنابراین، هر جسم با یک سوراخ، مانند فنجان قهوه (سمت چپ)، معادل یک دونات یا چنبره (راست) است.

هر منیفولد یا سطح دو بعدی (محدود به اجسام قابل جهت گیری فشرده) را می توان با افزودن دستگیره ها به کره (a) ساخت. بیایید یکی را بچسبانیم و یک سطح از نوع 1 درست کنیم. یک چنبره یا یک دونات (بالا سمت راست)، یک دومی اضافه کنید - سطحی از نوع دوم (b) را دریافت می کنیم.

منحصر به فرد 2 کره در بین سطوح این است که هر حلقه بسته تعبیه شده در آن می تواند به نقطه (a) منقبض شود. در یک چنبره، می توان از سوراخ وسط (b) جلوگیری کرد. هر سطحی به جز 2 کره دارای دسته هایی است که از سفت شدن حلقه جلوگیری می کند. پوانکاره پیشنهاد کرد که 3 کره در میان منیفولدهای سه بعدی منحصر به فرد است: فقط روی آن می توان هر حلقه ای را به یک نقطه منقبض کرد.

این روش طبقه بندی اولین بار توسط تورستون در اواخر دهه 70 ارائه شد. قرن آخر. او به اتفاق همکارانش بیشتر آن را ثابت کرد، اما اثبات برخی را امتیاز کلیدی(از جمله حدس پوانکاره) معلوم شد که فراتر از توان آنهاست. آیا 3 کره منحصر به فرد است؟ پاسخ قابل اعتمادی به این سوال برای اولین بار در مقالات پرلمن ظاهر شد.

چگونه می توان یک منیفولد را هندسی کرد و در همه جا انحنای یکنواخت داد؟ شما باید هندسه دلخواه خود را با برآمدگی ها و فرورفتگی های مختلف بگیرید و سپس تمام بی نظمی ها را صاف کنید. در اوایل دهه 90. قرن XX همیلتون شروع به تجزیه و تحلیل 3 منیفولد با استفاده از معادله جریان ریچی کرد که به نام ریاضیدان گرگوریو ریچی-کورباسترو نامگذاری شده است. تا حدودی شبیه معادله رسانش گرما است که جریان گرما را در جسمی که به طور نامساوی گرم شده جریان می‌یابد تا زمانی که دمای آن در همه جا یکسان شود، توصیف می‌کند. به همین ترتیب، معادله جریان ریچی تغییری در انحنای منیفولد را مشخص می‌کند که منجر به تراز همه برآمدگی‌ها و فرورفتگی‌ها می‌شود. به عنوان مثال، اگر با تخم مرغ شروع کنید، به تدریج کروی می شود.

هندسه سنجی

برای طبقه بندی 2 منیفولد، می توانید از یکنواختی یا هندسه سازی استفاده کنید: هندسه خاصی را به آنها اختصاص دهید، یک فرم سفت و سخت. به طور خاص، هر منیفولد را می توان به گونه ای تبدیل کرد که انحنای آن به طور یکنواخت توزیع شود. کره (الف) شکلی منحصر به فرد با انحنای مثبت ثابت است: در همه جا مانند بالای تپه خمیده است. چنبره (ب) را می توان مسطح ساخت، یعنی. همه جا انحنای صفر دارند. برای این کار باید آن را برش دهید و صاف کنید. استوانه به دست آمده باید از طول بریده شود و باز شود تا یک صفحه مستطیلی شکل بگیرد. به عبارت دیگر، یک چنبره را می توان بر روی یک هواپیما ترسیم کرد. سطوح نوع 2 و بالاتر (c) را می توان یک انحنای منفی ثابت داد و هندسه آنها به تعداد دستگیره ها بستگی دارد. در زیر یک سطح زینی شکل با انحنای منفی ثابت وجود دارد.

طبقه بندی 3-واریته بسیار دشوارتر است. منیفولد 3 باید به بخش‌هایی تقسیم شود که هر کدام می‌توانند به یکی از هشت هندسه 3 بعدی متعارف تبدیل شوند. مثال زیر (برای سادگی به صورت 2 منیفولد نشان داده شده است) از رنگ آبی) از 3 هندسه با انحنای مثبت (a)، صفر (b) و ثابت منفی (c) و همچنین "محصولات" یک کره 2 و یک دایره (d) و یک سطح با انحنای منفی تشکیل شده است. یک دایره (e).

با این حال، همیلتون با مشکلات خاصی مواجه شد: در برخی موارد، جریان ریچی منجر به فشرده شدن منیفولد و تشکیل یک گردن بی‌نهایت نازک می‌شود. (این با جریان گرما متفاوت است: در نقاط پیچش دما بی نهایت بالا خواهد بود.) یک مثال منیفولد دمبلی شکل است. کره ها با کشیدن مواد از روی پل رشد می کنند، که به نقطه ای در وسط مخروطی می شود (به ویژگی های مبارزه مراجعه کنید). در مورد دیگر، هنگامی که یک میله نازک از منیفولد بیرون می زند، جریان ریچی باعث ظاهر شدن یک تکینگی به اصطلاح سیگاری شکل می شود. در یک منیفولد 3 معمولی، همسایگی هر نقطه، تکه ای از فضای سه بعدی معمولی است که نمی توان آن را در مورد نقاط پینچ منفرد گفت. کار یک ریاضیدان روسی به غلبه بر این مشکل کمک کرد.

در سال 1992، پرلمن پس از دفاع از تز دکترای خود، وارد ایالات متحده شد و چندین ترم را در دانشگاه ایالتی نیویورک در استونی بروک و سپس دو سال را در دانشگاه کالیفرنیا در برکلی گذراند. او به سرعت به عنوان یک ستاره در حال ظهور شهرت یافت و چندین نتیجه مهم و عمیق در یکی از شاخه های هندسه به دست آورد. به پرلمن جایزه ای از انجمن ریاضی اروپا اعطا شد (که او آن را رد کرد) و دعوت نامه معتبری برای سخنرانی در کنگره بین المللی ریاضیدانان دریافت کرد (که او پذیرفت).

در بهار سال 1995، موقعیت هایی در چندین مؤسسه ریاضی برجسته به او پیشنهاد شد، اما او تصمیم گرفت به زادگاهش سنت پترزبورگ بازگردد و اساساً از نظر ناپدید شد. سال‌ها تنها نشانه‌ی فعالیت او نامه‌هایی به همکاران سابق بود که نشان‌دهنده اشتباهاتی بود که در مقالات منتشر می‌کردند. پرس و جو درباره وضعیت آثار خودش بی پاسخ ماند. و سپس در پایان سال 2002، چندین نفر ایمیلی از پرلمن دریافت کردند که در آن مقاله ای را که او به یک سرور ریاضی ارسال کرده بود، به آنها اطلاع داد. بنابراین حمله او به حدس پوانکاره آغاز شد.

مبارزه با ویژگی ها

تلاش برای استفادهمعادله جریان ریچی برای اثبات حدس پوانکاره و هندسه 3 منیفولد، دانشمندان با مشکلاتی مواجه شدند که گریگوری پرلمن توانست بر آنها غلبه کند. استفاده از جریان Ricci برای تغییر تدریجی شکل یک منیفولد 3 گاهی منجر به تکینگی می شود. به عنوان مثال، هنگامی که بخشی از یک جسم به شکل دمبل (a) باشد، ممکن است لوله بین کره‌ها به یک بخش نقطه‌ای گیر کرده و ویژگی‌های منیفولد (b) را نقض کند. همچنین ممکن است ویژگی به اصطلاح سیگار شکل ظاهر شود.

پرلمن نشان داد، که "جراحی ها" را می توان بر روی ویژگی ها انجام داد. هنگامی که منیفولد شروع به گیرکردن کرد، بخش‌های کوچکی را در دو طرف نقطه انقباض (c) برش دهید، نقاط برش را با کره‌های کوچک بپوشانید و سپس دوباره از جریان Ricci استفاده کنید (d). اگر نیشگون گرفتن دوباره اتفاق افتاد، این روش باید تکرار شود. پرلمن همچنین ثابت کرد که ویژگی سیگاری شکل هرگز ظاهر نمی شود.

پرلمن یک عبارت جدید به معادله جریان ریچی اضافه کرد. این تغییر مشکل ویژگی را از بین نبرد، اما امکان تجزیه و تحلیل بسیار عمیق تر را فراهم کرد. یک دانشمند روسی نشان داده است که یک عمل جراحی "جراحی" را می توان روی یک منیفولد دمبلی شکل انجام داد: یک لوله نازک را در دو طرف انقباض در حال ظهور برش دهید و لوله های باز بیرون زده از توپ ها را با کلاهک های کروی ببندید. سپس باید تغییر منیفولد "عملکرد شده" را مطابق با معادله جریان ریچی ادامه داد و رویه فوق را برای همه انقباضات در حال ظهور اعمال کرد. پرلمن همچنین نشان داد که ویژگی های سیگار شکل نمی توانند ظاهر شوند. بنابراین، هر 3 منیفولد را می توان به مجموعه ای از قطعات با هندسه همگن کاهش داد.

وقتی ریچی جریان دارد و عمل جراحی" برای همه 3 منیفولدهای ممکن اعمال می شود، هر یک از آنها، اگر به اندازه 3 کره ساده باشد (به عبارت دیگر، با همان هموتوپی مشخص می شود)، لزوماً به همان هندسه همگن 3 کره کاهش می یابد. این به این معنی است که از دیدگاه توپولوژیکی، منیفولد مورد نظر یک کره 3 است. بنابراین، 3 کره منحصر به فرد است.

ارزش مقالات پرلمن تنها در اثبات حدس پوانکاره نیست، بلکه در روش های جدید تحلیل نیز هست. دانشمندان در سراسر جهان در حال حاضر از نتایج به دست آمده توسط ریاضیدان روسی در کار خود استفاده می کنند و روش هایی را که او توسعه داده است در زمینه های دیگر به کار می برند. مشخص شد که جریان ریچی با گروه به اصطلاح عادی سازی مجدد همراه است، که تعیین می کند چگونه قدرت برهمکنش ها بسته به انرژی برخورد ذرات تغییر می کند. به عنوان مثال، در انرژی های پایین، قدرت برهمکنش الکترومغناطیسی با عدد 0.0073 (تقریباً 1/137) مشخص می شود. با این حال، هنگامی که دو الکترون با سرعتی تقریباً به سرعت نور با هم برخورد می کنند، نیرو به 0.0078 نزدیک می شود. ریاضیاتی که تغییر در نیروهای فیزیکی را توصیف می کند بسیار شبیه ریاضیاتی است که هندسه منیفولدها را توصیف می کند.

افزایش انرژی برخورد معادل مطالعه نیرو در فواصل کوچکتر است. بنابراین، گروه عادی سازی مجدد شبیه یک میکروسکوپ با ضریب بزرگنمایی متغیر است که به شما امکان می دهد فرآیند را در سطوح مختلفجزئیات به همین ترتیب، جریان Ricci یک میکروسکوپ برای مشاهده منیفولدها است. برجستگی ها و فرورفتگی های قابل مشاهده در یک بزرگنمایی در دیگری ناپدید می شوند. این احتمال وجود دارد که در مقیاس طول پلانک (حدود 10 ^(-35) دلار متر) فضایی که در آن زندگی می کنیم مانند فوم با ساختار توپولوژیکی پیچیده به نظر می رسد (به مقاله "اتم های فضا و زمان"، "در جهان مراجعه کنید". علم»، شماره 4، 2004). علاوه بر این، معادلات نسبیت عام که ویژگی های گرانش و ساختار بزرگ مقیاس کیهان را توصیف می کند، ارتباط نزدیکی با معادله جریان ریچی دارد. به طور متناقض، اصطلاح پرلمن که به عبارت استفاده شده توسط همیلتون اضافه شده است، از نظریه ریسمان سرچشمه می گیرد، که ادعا می کند یک نظریه کوانتومی گرانش است. این امکان وجود دارد که در مقالات ریاضیدان روسی، دانشمندان نه تنها در مورد 3 منیفولدهای انتزاعی، بلکه در مورد فضایی که در آن زندگی می کنیم نیز اطلاعات مفید بیشتری پیدا کنند.

گراهام پی کالینز، دکترا، ویراستار ساینتیفیک امریکن است. اطلاعات بیشتر در مورد قضیه پوانکاره در www.sciam.com/ontheweb موجود است.

ادبیات اضافی:

حدس پوانکار 99 سال بعد: گزارش پیشرفت جان دبلیو میلنور. فوریه 2003. موجود در www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
ژول هانری پوانکار (بیوگرافی). اکتبر 2003. موجود در www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
مشکلات هزاره موسسه ریاضیات خاک رس: www.claymath.org/millennium/
یادداشت ها و توضیحاتی درباره مقالات جریان پرلمن ریچی. گردآوری شده توسط بروس کلینر و جان لات. موجود در www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
توپولوژی. Eric W. Weiststein در Mathworld-A Wolfram Web Resource. موجود در

فرضیه پوانکار و ویژگی های ذهنیت روسی.

به طور خلاصه: یک استاد بیکار که فقط 40 سال دارد یکی از 7 مشکل سخت بشریت را حل کرده است، با مادرش در خانه ای در حومه شهر زندگی می کند و به جای دریافت جایزه ای که همه ریاضیدانان در رویای جهانی و یک میلیون دلار برای بوت کردن، او قارچ ها را جمع آوری کرد و از او خواست که مزاحم او نشود.

و اکنون با جزئیات بیشتر:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

روزنامه گاردین گزارش می دهد که گریگوری پرلمن، که حدس پوانکاره را ثابت کرده است، از جوایز متعدد و جوایز نقدی که به خاطر این دستاورد به او تعلق می گیرد، خودداری می کند. پس از بررسی گسترده شواهد، که تقریباً چهار سال به طول انجامید، جامعه علمی به این نتیجه رسیدند که راه حل پرلمن صحیح است.

حدس پوانکاره یکی از هفت مسئله مهم ریاضی هزاره است که برای حل هر یک از آنها موسسه ریاضیات Clay جایزه یک میلیون دلاری اعطا کرد بنابراین، پرلمن باید جایزه دریافت کند. با مطبوعات، اما روزنامه تبدیل شد مشخص شده است که پرلمن نمی خواهد این پول را بگیرد.به گفته این ریاضیدان، کمیته ای که این جایزه را اعطا کرده است واجد شرایط کافی برای ارزیابی کار او نیست.

جامعه حرفه ای به شوخی دلیل دیگری را برای رفتار غیرمعمول پرلمن نشان می دهد: "در سن پترزبورگ داشتن یک میلیون دلار امن نیست." نایجل هیچین، استاد ریاضیات دانشگاه آکسفورد، در این باره به روزنامه گفت.

طبق شنیده ها هفته آینده اعلام می شود که پرلمن موفق به دریافت معتبرترین مدال بین المللی فیلدز در این رشته متشکل از یک مدال گرانبها و پاداش پولی. مدال فیلدز معادل ریاضی جایزه نوبل در نظر گرفته می شود. این جایزه هر چهار سال یک بار در کنگره بین المللی ریاضی اعطا می شود و سن برندگان این جایزه نباید از 40 سال بیشتر باشد. پرلمن که در سال 2006 چهل ساله می شود و شانس دریافت این جایزه را از دست می دهد، نمی خواهد این جایزه را نیز بپذیرد.

از مدت ها قبل در مورد پرلمن شناخته شده بود که او از رویدادهای رسمی اجتناب می کند و دوست ندارد او را تحسین کنند. اما در شرایط کنونی، رفتار دانشمند فراتر از غیرمرکزی بودن یک نظریه پرداز صندلی راحتی است. پرلمن قبلاً کار آکادمیک خود را ترک کرده است و از انجام وظایف استادی خودداری می کند. اکنون او می خواهد از به رسمیت شناختن خدمات خود به ریاضیات - کار زندگی خود - پنهان بماند.

گریگوری پرلمن هشت سال بر روی اثبات قضیه پوانکاره کار کرد. در سال 2002، او راه حلی برای این مشکل در وب سایت پیش چاپ آزمایشگاه علمی لوس آلاموس ارسال کرد. تا به حال، او هرگز کار خود را در یک مجله معتبر منتشر نکرده است، که پیش نیاز اکثر جوایز است.

پرلمن را می توان نمونه ای استاندارد از محصولات آموزش شوروی دانست. او در سال 1966 در لنینگراد به دنیا آمد. او هنوز در این شهر زندگی می کند. پرلمن در مدرسه تخصصی شماره 239 با مطالعه عمیق ریاضیات تحصیل کرد. او در المپیک های بی شماری قهرمان شد. من بدون آزمون در رشته ریاضی و مکانیک در دانشگاه دولتی لنینگراد ثبت نام کردم. بورسیه لنین دریافت کرد. پس از دانشگاه، او وارد مقطع کارشناسی ارشد در شعبه لنینگراد موسسه ریاضی V.A. Steklov شد و در آنجا کار کرد. در اواخر دهه هشتاد، پرلمن به ایالات متحده نقل مکان کرد، در چندین دانشگاه تدریس کرد و سپس به محل قبلی خود بازگشت.

وضعیت عمارت سن پترزبورگ کنت موراویف در فونتانکا، جایی که مؤسسه ریاضیات در آن قرار دارد، کمبود نقره پرلمن را به خصوص ناکافی می کند. بنا به گزارش روزنامه ایزوستیا، این ساختمان هر لحظه ممکن است فرو بریزد و به رودخانه بیفتد. خرید تجهیزات کامپیوتری (تنها تجهیزات مورد نیاز ریاضیدانان) همچنان با کمک کمک های مختلف تامین می شود، اما موسسات خیریه آماده نیستند. پرداخت هزینه مرمت بنای تاریخی

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

یک ریاضیدان گوشه نشین که یکی از دشوارترین فرضیه های علمی، قضیه پوانکاره را اثبات کرد، کمتر از خود مسئله اسرارآمیز نیست.

اطلاعات کمی در مورد او وجود دارد. من بر اساس نتایج المپیادهای مدارس وارد مؤسسه شدم و بورسیه لنین دریافت کردم. در مدرسه ویژه سن پترزبورگ شماره 239، از او به عنوان پسر یاکوف پرلمن، نویسنده کتاب درسی معروف "فیزیک سرگرم کننده" یاد می شود. عکس گریشا پرلمن - در هیئت بزرگان در کنار لوباچفسکی و لایب نیتس.

معلمش تامارا افیمووا، مدیر لیسه فیزیک و ریاضی 239 در مصاحبه با کانال یک، به یاد می آورد: "او دانش آموز بسیار عالی بود، فقط در تربیت بدنی... وگرنه یک مدال می رسید."

او همیشه طرفدار علم ناب، علیه تشریفات بود - اینها سخنان معلم سابق مدرسه او است، یکی از معدود افرادی که پرلمن در طول هشت سال جستجوی خود با او در تماس بود. همانطور که خودش می گوید، ریاضیدان مجبور شد کار خود را ترک کند زیرا باید مقاله و گزارش می نوشت و پوانکر تمام وقت خود را جذب می کرد. ریاضی حرف اول را می زند.

پرلمن هشت سال از عمر خود را صرف حل یکی از هفت مسئله حل نشدنی ریاضی کرد. او به تنهایی، جایی در اتاق زیر شیروانی، مخفیانه کار می کرد. او در آمریکا سخنرانی کرد تا بتواند در خانه زندگی خود را تامین کند. او شغلی را ترک کرد که او را از هدف اصلی منحرف کرد، به تماس ها پاسخ نمی دهد و با مطبوعات ارتباط برقرار نمی کند.

یک میلیون دلار برای حل یکی از هفت مسئله حل نشدنی ریاضی تعلق می گیرد؛ این مدال فیلدز است، جایزه نوبل برای ریاضیدانان. گریگوری پرلمن نامزد اصلی دریافت آن شد.

دانشمند این را می داند، اما، ظاهرا، او به وضوح علاقه ای به شناسایی پولی ندارد. به گفته همکاران، او حتی اسنادی را برای جایزه ارائه نکرده است.

ایلدار ابراگیموف، آکادمیسین آکادمی علوم روسیه، می‌گوید: «همانطور که می‌دانم، گریگوری یاکولوویچ خود اصلاً به یک میلیون اهمیت نمی‌دهد. در واقع، افرادی که قادر به حل این مشکلات هستند، اکثراً افرادی هستند که کار نمی‌کنند. به خاطر این پول. آنها نگران چیزی کاملاً متفاوت خواهم بود."

پرلمن سه سال پیش کار خود را در مورد حدس پوانکاره برای تنها بار در اینترنت منتشر کرد. به احتمال زیاد حتی یک اثر نیست، بلکه طرحی 39 صفحه ای است. او موافق نوشتن گزارش مفصل تر با شواهد دقیق نیست. حتی نایب رئیس انجمن جهانی ریاضی که مخصوصاً برای یافتن پرلمن به سن پترزبورگ آمده بود، نتوانست این کار را انجام دهد.

در طول سه سال گذشته، طبق مقررات جایزه فیلدز، هیچ کس نتوانسته است خطایی در محاسبات پرلمن پیدا کند. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

روند اثبات حدس پوانکاره ظاهراً اکنون وارد مرحله نهایی خود می شود. سه گروه از ریاضیدانان سرانجام ایده های گریگوری پرلمن را کشف کردند و در طی چند ماه گذشته نسخه های خود را از اثبات کامل این فرضیه ارائه کردند.

حدسی که توسط پوانکاره در سال 1904 صورت‌بندی شد، بیان می‌کند که تمام سطوح سه‌بعدی در فضای چهاربعدی که از نظر همتوپیک معادل یک کره هستند، با آن همومورف هستند. صحبت كردن به زبان ساده، اگر یک سطح سه بعدی تا حدودی شبیه به یک کره باشد، اگر صاف شود، فقط می تواند به یک کره تبدیل شود نه چیز دیگری. برای جزئیات بیشتر در مورد این حدس و تاریخچه اثبات آن، مقاله محبوب مشکلات سال 2000: حدس پوانکاره در مجله Computerra را بخوانید.

برای اثبات حدس پوانکاره، موسسه ریاضی. به کلی جایزه یک میلیون دلاری داده شد که شاید تعجب آور به نظر برسد: بالاخره ما در مورد یک واقعیت بسیار خصوصی و غیر جالب صحبت می کنیم. در واقع، آنچه برای ریاضیدانان مهم است، خواص یک سطح سه بعدی نیست، بلکه این واقعیت است که اثبات خود دشوار است. این مسئله به شکلی متمرکز آنچه را که نمی‌توان با استفاده از ایده‌ها و روش‌های هندسه و توپولوژی قبلی اثبات کرد، فرموله می‌کند. این به شما امکان می دهد در سطح عمیق تری نگاه کنید، به لایه ای از مشکلات که فقط با کمک ایده های "نسل جدید" قابل حل است.

همانطور که در مورد قضیه فرما، مشخص شد که حدس پوانکاره یک مورد خاص از یک بیانیه بسیار کلی تر در مورد خواص هندسی سطوح سه بعدی دلخواه است - حدس هندسی تورستون. بنابراین، تلاش های ریاضیدانان برای این منظور نبود حل این مورد خاص، اما برای ساختن یک رویکرد ریاضی جدید که بتواند با چنین مسائلی کنار بیاید.

این پیشرفت در سالهای 2002-2003 توسط ریاضیدان روسی گریگوری پرلمن انجام شد. او در سه مقاله math.DG/0211159، math.DG/0303109، math.DG/0307245، با ارائه تعدادی ایده جدید، روشی را که در دهه 1980 توسط ریچارد همیلتون پیشنهاد شده بود، توسعه داد و تکمیل کرد. پرلمن در آثار خود ادعا می کند که نظریه ای که ساخته است نه تنها حدس پوانکاره، بلکه فرضیه هندسه را نیز ممکن می سازد.

ماهیت روش این است که برای اجسام هندسی می توان معادله ای از "تکامل هموار" را مشابه معادله گروه عادی سازی مجدد در فیزیک نظری تعریف کرد. سطح اولیه در طول این تکامل تغییر شکل می‌دهد و همانطور که پرلمن نشان داد، در نهایت به آرامی به یک کره تبدیل می‌شود. نقطه قوت این رویکرد این است که، با دور زدن تمام لحظات میانی، می توانید بلافاصله به "بی نهایت"، در انتهای تکامل نگاه کنید و یک کره را در آنجا کشف کنید.

آثار پرلمن آغاز فتنه بود. در مقالات خود توسعه داد نظریه عمومیو نکات کلیدی اثبات نه تنها حدس پوانکاره، بلکه همچنین در مورد فرضیه هندسه را بیان کرد. پرلمن با تمام جزئیات دلیل کاملی ارائه نکرد، اگرچه ادعا کرد که هر دو فرضیه را ثابت کرده است. همچنین در سال 2003، پرلمن با مجموعه‌ای از سخنرانی‌ها به ایالات متحده سفر کرد و در طی آن به سؤالات فنی شنوندگان به وضوح و با جزئیات پاسخ داد.

بلافاصله پس از انتشار پیش‌چاپ‌های پرلمن، کارشناسان شروع به بررسی نکات کلیدی نظریه او کردند و هنوز حتی یک خطا پیدا نشده است. علاوه بر این، در طول سال‌های گذشته، چندین تیم از ریاضیدانان توانسته‌اند ایده‌های پیشنهادی پرلمن را به حدی جذب کنند که شروع به نوشتن اثبات کامل «به شکل واضح» کردند.

در می 2006، مقاله ای از B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667 ظاهر شد که در آن مشتق دقیقی از نقاط حذف شده در اثبات پرلمن ارائه شد. (به هر حال، این نویسندگان یک صفحه وب اختصاص داده شده به مقالات پرلمن و کارهای مرتبط دارند.)

سپس در ژوئن 2006، مجله آسیایی ریاضیات مقاله ای 327 صفحه ای توسط ریاضیدانان چینی Huai-Dong Cao و Xi-Ping Zhu با عنوان "اثبات کامل حدسیات پوانکاره و هندسه - کاربرد نظریه همیلتون-پرلمن ریچی" منتشر کرد. جریان می یابد." خود نویسندگان ادعا نمی کنند که مدرک کاملاً جدیدی دارند، بلکه فقط ادعا می کنند که رویکرد پرلمن واقعاً کار می کند.

سرانجام، روز گذشته مقاله ای 473 صفحه ای (یا این کتاب قبلاً یک کتاب است؟) توسط J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607 منتشر شد که در آن نویسندگان به دنبال پرلمن، مطالب خود را ارائه می کنند. اثبات حدس پوانکاره (و نه فرضیه هندسه کلی تر). جان مورگان را یکی از کارشناسان اصلی این مشکل می‌دانند و پس از انتشار اثر او، ظاهراً می‌توان حدس پوانکاره را در نهایت اثبات کرد.

اتفاقاً جالب است که در ابتدا مقاله ریاضیدانان چینی فقط در نسخه کاغذی با قیمت 69 دلار توزیع می شد ، بنابراین همه این فرصت را نداشتند که به آن نگاه کنند. اما درست روز بعد از اینکه مقاله مورگان تیان در آرشیو پیش چاپ ظاهر شد، وب سایت آسیایی ژورنال ریاضیات نیز ظاهر شد. نسخه الکترونیکیمقالات

زمان نشان خواهد داد که چه کسی پالایش شواهد پرلمن دقیق تر و شفاف تر است. این امکان وجود دارد که در سال های آینده، همانطور که با قضیه فرما اتفاق افتاد، ساده تر شود. تاکنون فقط می‌توانیم شاهد افزایش حجم انتشار باشیم: از مقالات 30 صفحه‌ای پرلمن تا کتابی قطور از مورگان و تیان، اما این به دلیل پیچیدگی اثبات نیست، بلکه به دلیل استنتاج دقیق‌تر است. از تمام مراحل میانی