شرط لازم و کافی برای عطف یک تابع. فواصل تحدب و تقعر نمودار یک تابع

هنگام مطالعه یک تابع و ساختن نمودار آن، در یک مرحله نقاط عطف و فواصل تحدب را تعیین می کنیم. این داده ها همراه با فواصل افزایش و کاهش، نمایش شماتیک نمودار تابع مورد مطالعه را ممکن می سازد.

ارائه بعدی فرض می‌کند که می‌توانید سفارش‌ها و انواع مختلف را انجام دهید.

بیایید مطالعه مطالب را با تعاریف و مفاهیم لازم آغاز کنیم. در مرحله بعد، ارتباط بین مقدار مشتق دوم یک تابع در یک بازه مشخص و جهت تحدب آن را صدا خواهیم کرد. پس از این به سراغ شرایطی می رویم که به ما امکان می دهد نقاط عطف نمودار تابع را تعیین کنیم. در طول متن مثال های معمولی با راه حل های دقیق ارائه خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تحدب، تقعر تابع، نقطه عطف.

تعریف.

محدب به پاییندر بازه X اگر نمودار آن در هیچ نقطه ای از بازه X کمتر از مماس بر آن نباشد.

تعریف.

تابعی که باید متمایز شود نامیده می شود محدبدر بازه X اگر نمودار آن در هیچ نقطه ای از بازه X بالاتر از مماس بر آن نباشد.

یک تابع محدب رو به بالا اغلب نامیده می شود محدب، و محدب به پایین - مقعر.

به نقاشی که این تعاریف را نشان می دهد نگاه کنید.

تعریف.

نقطه نامیده می شود نقطه عطف نمودار تابع y=f(x)، اگر در یک نقطه مماس بر نمودار تابع وجود داشته باشد (می تواند با محور Oy موازی باشد) و همسایگی نقطه ای وجود داشته باشد که در داخل آن در سمت چپ و راست نقطه قرار دارد. M نمودار تابع دارد جهت های مختلفبرآمدگی می کند.

به عبارت دیگر، نقطه M را نقطه عطف نمودار یک تابع می نامند که در این نقطه مماس وجود داشته باشد و نمودار تابع جهت تحدب را تغییر دهد و از آن عبور کند.

در صورت لزوم به بخش یادآوری شرایط وجود مماس غیر عمودی و عمودی مراجعه کنید.

شکل زیر چند نمونه از نقاط عطف را نشان می دهد (که با نقاط قرمز مشخص شده اند). توجه داشته باشید که برخی از توابع ممکن است نقطه عطف نداشته باشند، در حالی که برخی دیگر ممکن است یک، چند یا بی نهایت نقطه عطف داشته باشند.

یافتن فواصل تحدب یک تابع.

اجازه دهید یک قضیه را فرموله کنیم که به ما امکان می دهد فواصل تحدب یک تابع را تعیین کنیم.

قضیه.

اگر تابع y=f(x) یک مشتق دوم محدود در بازه X داشته باشد و اگر نابرابری برقرار باشد ()، سپس نمودار تابع دارای تحدب است که توسط X به سمت پایین (بالا) هدایت می شود.

این قضیه به شما این امکان را می دهد که فواصل تقعر و تحدب یک تابع را پیدا کنید؛ فقط باید نابرابری ها و به ترتیب در حوزه تعریف تابع اصلی را حل کنید.

لازم به ذکر است که نقاطی که تابع y=f(x) تعریف شده و مشتق دوم وجود ندارد در بازه های تقعر و تحدب قرار می گیرند.

بیایید با یک مثال این را بفهمیم.

مثال.

فواصل زمانی که نمودار تابع در آن قرار دارد را بیابید دارای یک تحدب به سمت بالا و یک تحدب به سمت پایین است.

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم.

دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه تعریف تابع اصلی منطبق است، بنابراین برای پی بردن به فواصل تقعر و تحدب کافی است و بر این اساس حل شود.

بنابراین، تابع در بازه به سمت پایین محدب و در بازه به سمت بالا محدب است.

تصویر گرافیکی.

بخشی از نمودار تابع در بازه محدب با رنگ آبی و در فاصله تقعر با رنگ قرمز نشان داده شده است.

حال بیایید مثالی را در نظر بگیریم که دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه تعریف تابع مطابقت ندارد. در این مورد، همانطور که قبلاً اشاره کردیم، نقاطی از حوزه تعریف که در آنها مشتق دوم محدودی وجود ندارد باید در فواصل تحدب و (یا) تقعر گنجانده شوند.

مثال.

فواصل تحدب و تقعر نمودار تابع را بیابید.

راه حل.

بیایید با دامنه تابع شروع کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم:

دامنه تعریف مشتق دوم مجموعه است . همانطور که می بینید x=0 به دامنه تابع اصلی تعلق دارد، اما به دامنه مشتق دوم تعلق ندارد. این نکته را فراموش نکنید؛ باید در فاصله تحدب و (یا) تقعر گنجانده شود.

اکنون نابرابری ها را در دامنه تعریف تابع اصلی حل می کنیم. بیایید درخواست کنیم. شمارش بیان به صفر می رسد یا ، مخرج - در x = 0 یا x = 1. این نقاط را به صورت شماتیک روی خط اعداد رسم می کنیم و علامت عبارت را در هر یک از بازه های موجود در دامنه تعریف تابع اصلی پیدا می کنیم (به صورت یک ناحیه سایه دار در خط عددی پایین نشان داده شده است). برای مقدار مثبت علامت مثبت و برای مقدار منفی علامت منفی قرار می دهیم.

بدین ترتیب،

و

بنابراین با درج نقطه x=0 به جواب می رسیم.

در نمودار تابع دارای تحدب به سمت پایین است، با - تحدب به سمت بالا.

تصویر گرافیکی.

بخشی از نمودار تابع در فاصله تحدب به رنگ آبی نشان داده شده است، در فواصل تقعر - با رنگ قرمز، خط نقطه چین سیاه مجانبی عمودی است.

شرایط لازم و کافی برای عطف.

شرط لازم برای عطف.

فرمول بندی کنیم شرط لازم برای عطفگرافیک تابع

اجازه دهید نمودار تابع y=f(x) در یک نقطه عطف داشته باشد و مشتق دوم پیوسته داشته باشد، پس تساوی برقرار است.

از این شرط نتیجه می شود که ابسیسا نقاط عطف را باید در میان نقاطی جستجو کرد که در آنها مشتق دوم تابع ناپدید می شود. اما این شرط کافی نیست، یعنی همه مقادیری که مشتق دوم برابر با صفر است، ابسیساهای نقاط عطف نیستند.

همچنین باید توجه داشت که تعریف نقطه عطف مستلزم وجود یک خط مماس یا یک خط عمودی است. این یعنی چی؟ و این به معنای زیر است: ابسیساهای نقاط عطف می توانند همه چیز از حوزه تعریف تابعی باشند که برای آن و . اینها معمولاً نقاطی هستند که مخرج اولین مشتق در آنها ناپدید می شود.

اولین شرط کافی برای عطف.

پس از یافتن تمام مواردی که می‌توانند ابسیساهای نقاط عطف باشند، باید از آن استفاده کنید اولین شرط کافی برای عطفگرافیک تابع

اجازه دهید تابع y=f(x) در نقطه ممتد باشد، یک مماس (احتمالاً عمودی) در آن داشته باشد، و اجازه دهید این تابع مشتق دومی در نزدیکی نقطه داشته باشد. سپس، اگر در داخل این همسایگی در سمت چپ و راست از، مشتق دوم است نشانه های مختلف، سپس نقطه عطف نمودار تابع است.

همانطور که می بینید شرط کافی اول مستلزم وجود مشتق دوم در خود نقطه نیست، بلکه مستلزم وجود آن در همسایگی نقطه است.

حال بیایید تمام اطلاعات را در قالب یک الگوریتم خلاصه کنیم.

الگوریتم یافتن نقاط عطف یک تابع.

ما تمام ابسیساهای نقاط عطف احتمالی نمودار تابع (یا و ) و با عبور از کدام علامت مشتق دوم تغییر می کند. چنین مقادیری ابسیسا نقاط عطف و نقاط مربوطه نقاط عطف نمودار تابع خواهند بود.

بیایید به دو مثال از یافتن نقاط عطف برای روشن شدن نگاه کنیم.

مثال.

نقاط عطف و فواصل تحدب و تقعر نمودار یک تابع را بیابید .

راه حل.

دامنه یک تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.

بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم:

دامنه تعریف مشتق اول نیز کل مجموعه اعداد حقیقی است، بنابراین برابری ها و برای هیچ کدام برآورده نمی شود.

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم:

بیایید دریابیم که در چه مقادیری از آرگومان x مشتق دوم به صفر می رسد:

بنابراین، ابسیساهای نقاط عطف احتمالی x=-2 و x=3 هستند.

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند بررسی است علامت کافیعطف، در کدام یک از این نقاط، مشتق دوم علامت را تغییر می دهد. برای انجام این کار، نقاط x=-2 و x=3 را روی محور اعداد رسم کنید و مانند شکل زیر روش بازه تعمیم یافته، علامت های مشتق دوم را روی هر بازه قرار می دهیم. در هر بازه، جهت تحدب نمودار تابع به صورت شماتیک با کمان نشان داده شده است.

مشتق دوم علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد و از نقطه x=-2 از چپ به راست می گذرد و علامت منفی را به مثبت تغییر می دهد و از x=3 می گذرد. بنابراین، هر دو x=-2 و x=3 ابسیساهای نقاط عطف نمودار تابع هستند. آنها با نقاط نمودار مطابقت دارند و .

با نگاهی دوباره به خط اعداد و نشانه های مشتق دوم در فواصل آن، می توان در مورد فواصل تحدب و تقعر نتیجه گرفت. نمودار یک تابع روی بازه محدب و روی بازه ها مقعر است.

تصویر گرافیکی.

بخشی از نمودار تابع در فاصله محدب به رنگ آبی، در فاصله تقعر - با رنگ قرمز و نقاط عطف به صورت نقاط سیاه نشان داده شده است.

مثال.

ابسیسا تمام نقاط عطف نمودار تابع را پیدا کنید .

راه حل.

دامنه تعریف این تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.

بیایید مشتق را پیدا کنیم.

مشتق اول، برخلاف تابع اصلی، در x=3 تعریف نشده است. ولی و . بنابراین، در نقطه با ابسیسا x=3 یک مماس عمودی بر نمودار تابع اصلی وجود دارد. بنابراین، x=3 می تواند آبسیسا نقطه عطف نمودار تابع باشد.

مشتق دوم، حوزه تعریف آن و نقاطی که در آن ناپدید می شود را می یابیم:

ما دو ابسیسا ممکن دیگر از نقاط عطف به دست آوردیم. هر سه نقطه روی خط اعداد را علامت گذاری می کنیم و علامت مشتق دوم را در هر یک از فواصل حاصل مشخص می کنیم.

مشتق دوم هنگام عبور از هر یک از نقاط علامت تغییر می دهد، بنابراین، همه آنها آبسیس نقاط عطف هستند.

باقی مانده است که در نظر گرفته شود تحدب، تقعر و پیچ خوردگی نمودار. بیایید با سایت هایی که بازدیدکنندگان بسیار دوست دارند شروع کنیم تمرین فیزیکی. لطفا بایستید و به جلو یا عقب خم شوید. این یک برآمدگی است. حالا دست‌هایتان را جلوی خود دراز کنید، کف دست‌ها را بالا بکشید و تصور کنید که یک کنده بزرگ روی سینه‌تان گرفته‌اید... ...خب، اگر چوب را دوست ندارید، بگذارید کاری/کس دیگری انجامش دهد = ) این تقعر است. تعدادی از منابع حاوی اصطلاحات مترادف هستند برآمدگیو برآمدگی پایین، اما من طرفدار عناوین کوتاه هستم.

! توجه : برخی از نویسندگان تحدب و تقعر را دقیقاً برعکس تعیین کنید. این نیز از نظر ریاضی و منطقی صحیح است، اما اغلب از نقطه نظر ماهوی، از جمله در سطح درک افراد غیر عادی ما از اصطلاحات، کاملاً نادرست است. بنابراین، به عنوان مثال، عدسی با غده، عدسی دو محدب نامیده می شود، اما نه با فرورفتگی (دو مقعر).
و مثلاً یک تخت "مقعر" - هنوز به وضوح "چسبیده" نیست =) (با این حال ، اگر از زیر آن بالا بروید ، ما قبلاً در مورد تحدب صحبت خواهیم کرد؛ =)) من به رویکردی پایبند هستم که مطابق با طبیعی است انجمن های انسانی

تعریف رسمی تحدب و تقعر یک نمودار برای یک قوری بسیار دشوار است، بنابراین ما خود را به تفسیر هندسی این مفهوم محدود می کنیم. نمونه های خاص. نمودار تابعی را در نظر بگیرید که مداومدر کل خط شماره:

ساختن با آن آسان است تحولات هندسیو احتمالاً بسیاری از خوانندگان از چگونگی بدست آوردن آن از سهمی مکعبی آگاه هستند.

بیا تماس بگیریم وتراتصال خط دو نقاط مختلف هنرهای گرافیکی

نمودار یک تابع است محدبدر فواصل زمانی، اگر قرار داشته باشد نه کمترهر وتر از یک بازه معین. خط آزمایشی محدب است، و بدیهی است که در اینجا هر بخشی از نمودار در بالای آن قرار دارد. وتر. برای توضیح تعریف، سه خط مشکی کشیدم.

توابع نمودار هستند مقعردر فاصله زمانی، اگر واقع شده باشد بالاتر نیستهر وتر این فاصله در مثال مورد بررسی، بیمار در فاصله زمانی مقعر است. یک جفت بخش قهوه ای به طور قانع کننده ای نشان می دهد که در اینجا هر قطعه ای از نمودار در زیر آن قرار دارد. وتر.

نقطه ای از نمودار که در آن از محدب به مقعر تغییر می کند یاتقعر به تحدب نامیده می شود نقطه عطف. ما آن را در یک کپی داریم (مورد اول)، و در عمل، با نقطه عطف می توانیم هم نقطه سبز متعلق به خود خط و هم مقدار "X" را معنی کنیم.

مهم!پیچ خوردگی های نمودار باید با دقت ترسیم شوند و بسیار صاف. انواع "بی نظمی" و "زبری" غیرقابل قبول است. فقط کمی آموزش می خواهد.

رویکرد دوم برای تعیین تحدب / تقعر در تئوری از طریق مماس ارائه شده است:

محدبدر فاصله زمانی که نمودار قرار دارد بالاتر نیستمماس کشیده شده به آن در یک نقطه دلخواه از یک بازه معین. مقعردر نمودار فاصله - نه کمترهر مماس در این بازه

هذلولی روی بازه مقعر و در موارد زیر محدب است:

هنگام عبور از مبدأ مختصات، تقعر به تحدب تغییر می کند، اما نقطه حساب نکننقطه عطف، از تابع مشخص نشدهدر آن

گزاره ها و قضایای دقیق تر در مورد موضوع را می توان در کتاب درسی یافت، و ما به بخش عملی شدید می رویم:

نحوه یافتن فواصل تحدب، فواصل تقعر
و نقاط عطف نمودار؟

این ماده ساده، شابلون شده و از نظر ساختاری تکرار می شود مطالعه یک تابع برای یک اکستروم.

تحدب / تقعر نمودار مشخص می شودمشتق دوم کارکرد.

اجازه دهید تابع در برخی بازه ها دو بار متمایز شود. سپس:

- اگر مشتق دوم روی یک بازه باشد، نمودار تابع در این بازه محدب است.

– اگر مشتق دوم روی یک بازه باشد، نمودار تابع در این بازه مقعر است.

در مورد نشانه های مشتق دوم نسبت به فضاها موسسات آموزشییک انجمن ماقبل تاریخ در حال قدم زدن است: "-" نشان می دهد که "شما نمی توانید آب را در نمودار یک تابع بریزید" (تحدب)،
و "+" - "چنین فرصتی می دهد" (تعریف).

شرط لازم عطف

اگر در نقطه ای یک نقطه عطف در نمودار تابع وجود داشته باشد، این که:
یا ارزش وجود ندارد(بیایید آن را مرتب کنیم، بخوانید!).

این عبارت نشان می دهد که تابع مداومدر یک نقطه و در مورد - دو برابر در محله ای از آن متمایز است.

وجوب شرط حاکی از آن است که عکس آن همیشه صادق نیست. یعنی از برابری (یا عدم وجود ارزش) هنوز نبایدوجود یک عطف در نمودار یک تابع در نقطه . اما در هر دو حالت تماس می گیرند نقطه بحرانی مشتق دوم.

شرط کافی برای عطف

اگر مشتق دوم هنگام عبور از نقطه ای علامت آن را تغییر دهد، در این نقطه یک عطف در نمودار تابع وجود دارد.

ممکن است اصلاً نقطه عطف وجود نداشته باشد (نمونه ای قبلاً دیده شده است) و از این نظر برخی از مثال های ابتدایی نشان دهنده هستند. بیایید مشتق دوم تابع را تجزیه و تحلیل کنیم:

یک تابع ثابت مثبت به دست می آید، یعنی برای هر مقدار "x". حقایق روی سطح: سهمی در سرتاسر مقعر است حوزه تعریف، هیچ نقطه عطفی وجود ندارد. به راحتی می توان متوجه شد که ضریب منفی سهمی را معکوس می کند و آن را محدب می کند (همانطور که مشتق دوم، تابع ثابت منفی، به ما خواهد گفت).

تابع نماییهمچنین مقعر در:

برای هر مقدار "x".

البته نمودار نقطه عطف ندارد.

ما نمودار را از نظر تحدب / تقعر بررسی می کنیم تابع لگاریتمی :

بنابراین، شاخه لگاریتم روی بازه محدب است. مشتق دوم نیز بر روی بازه تعریف شده است، اما آن را در نظر بگیرید ممنوع است، از آنجایی که این فاصله در آن گنجانده نشده است دامنهکارکرد الزام واضح است - از آنجایی که هیچ نمودار لگاریتمی در آنجا وجود ندارد، طبیعتاً صحبتی در مورد هیچ تحدب / تقعر / انحراف وجود ندارد.

همانطور که می بینید، همه چیز واقعاً یادآور داستان با است افزایش، کاهش و حداکثر عملکرد. شبیه خودم الگوریتمی برای مطالعه نمودار یک تابعبرای تحدب، تقعر و وجود پیچ ​​خوردگی:

2) ما به دنبال ارزش های بحرانی هستیم. برای این کار، مشتق دوم را بگیرید و معادله را حل کنید. نقاطی که در آنها مشتق دوم وجود ندارد، اما در دامنه تعریف خود تابع قرار می گیرند، نیز بحرانی در نظر گرفته می شوند!

3) روی خط اعداد تمام نقاط شکست یافت شده و نقاط بحرانی را علامت بزنید ( ممکن است نه یکی وجود داشته باشد و نه دیگری - پس نیازی به ترسیم چیزی نیست (مانند مورد بسیار ساده)، کافی است خود را به یک نظر کتبی محدود کنید). روش فاصلهعلائم در فواصل حاصل را تعیین کنید. همانطور که توضیح داده شد، باید در نظر گرفت فقط آنهایی کهفواصل زمانی که در حوزه تعریف تابع گنجانده شده است. ما در مورد نقاط تحدب / تقعر و عطف نمودار تابع نتیجه گیری می کنیم. ما جواب را می دهیم.

سعی کنید الگوریتم را به صورت شفاهی روی توابع اعمال کنید . اتفاقاً در مورد دوم، مثالی وجود دارد که نقطه عطفی در نمودار در نقطه بحرانی وجود ندارد. با این حال، اجازه دهید با کارهای کمی دشوارتر شروع کنیم:

مثال 1

راه حل:
1) تابع در کل خط اعداد تعریف شده و پیوسته است. خیلی خوب.

2) مشتق دوم را پیدا می کنیم. ابتدا می توانید ساخت مکعب را انجام دهید، اما استفاده از آن بسیار سودآورتر است قانون تمایز توابع پیچیده:

لطفا توجه داشته باشید که ، به این معنی که تابع است بدون کاهش. اگرچه این امر به کار مربوط نمی شود، اما همیشه توصیه می شود به چنین حقایقی توجه کنید.

بیایید نقاط بحرانی مشتق دوم را پیدا کنیم:

- نقطه بحرانی

3) بررسی کنیم که آیا شرط عطف کافی برآورده شده است یا خیر. اجازه دهید علائم مشتق دوم را در فواصل حاصل مشخص کنیم.

توجه!اکنون ما با مشتق دوم کار می کنیم (و نه با یک تابع!)

در نتیجه یک نقطه بحرانی به دست آمد: .

3) دو نقطه ناپیوستگی را روی خط عدد علامت گذاری کنید، یک نقطه بحرانی، و علائم مشتق دوم را در فواصل حاصل مشخص کنید:

یک تکنیک مهم را به شما یادآوری می کنم روش فاصله، به شما امکان می دهد راه حل را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. مشتق دوم معلوم شد که بسیار دست و پا گیر است، بنابراین لازم نیست مقادیر آن را محاسبه کنید، کافی است در هر بازه یک "تخمین" انجام دهید. اجازه دهید، برای مثال، یک نقطه متعلق به بازه سمت چپ را انتخاب کنیم،
و تعویض را انجام دهید:

حالا بیایید ضرب کننده ها را تجزیه و تحلیل کنیم:

دو "منهای" و "بعلاوه" "پلاس" می دهند، بنابراین، به این معنی که مشتق دوم در کل بازه مثبت است.

اعمال نظر به صورت شفاهی آسان است. علاوه بر این، نادیده گرفتن عامل به طور کلی سودمند است - برای هر "x" مثبت است و بر علائم مشتق دوم ما تأثیر نمی گذارد.

خب، چه اطلاعاتی در اختیار ما گذاشتید؟

پاسخ: نمودار تابع در مقعر است و محدب روی . در مبدا (معلوم است که)یک نقطه عطف در نمودار وجود دارد.

هنگام عبور از نقاط، مشتق دوم نیز تغییر علامت می دهد، اما آنها نقاط عطف در نظر گرفته نمی شوند، زیرا تابع در آنها آسیب می بیند. استراحت های بی پایان.

در مثال مورد تجزیه و تحلیل، اولین مشتق ما را در مورد رشد تابع در سراسر مطلع می کند حوزه تعریف. همیشه چنین رایگانی وجود دارد =) علاوه بر این، واضح است که سه مورد وجود دارد مجانبی. داده های زیادی به دست آمده است که اجازه می دهد درجه بالاقابلیت اطمینان فعلی ظاهرهنرهای گرافیکی برای پشته، تابع نیز فرد است. بر اساس حقایق ثابت شده، سعی کنید یک طرح تقریبی ایجاد کنید. تصویر انتهای درس.

تکلیف برای تصمیم مستقل:

مثال 6

نمودار یک تابع را از نظر تحدب، تقعر بررسی کنید و نقاط عطف نمودار را در صورت وجود پیدا کنید.

هیچ نقاشی در نمونه وجود ندارد، اما ارائه یک فرضیه ممنوع نیست؛)

مواد را بدون شماره گذاری نقاط الگوریتم آسیاب می کنیم:

مثال 7

نمودار یک تابع را از نظر تحدب، تقعر بررسی کنید و نقاط عطف را در صورت وجود پیدا کنید.

راه حل: عملکرد را تحمل می کند شکاف بی پایاندر نقطه .

طبق معمول، همه چیز با ما خوب است:

مشتقات سخت ترین نیستند، نکته اصلی این است که مراقب "مدل مو" آنها باشید.
در ماراتن القایی، دو نقطه بحرانی از مشتق دوم آشکار می شود:

اجازه دهید علائم را در فواصل حاصل مشخص کنیم:

در یک نقطه یک نقطه عطف در نمودار وجود دارد؛ بیایید ترتیب نقطه را پیدا کنیم:

هنگام عبور از یک نقطه، مشتق دوم تغییر علامت نمی دهد، بنابراین، هیچ عطفی در نمودار وجود ندارد.

پاسخ: فواصل تحدب: ; فاصله تقعر: ; نقطه عطف: .

بیایید به نمونه های نهایی با زنگ ها و سوت های اضافی نگاه کنیم:

مثال 8

فواصل تحدب، تقعر و نقاط عطف نمودار را بیابید

راه حل: با یافتن حوزه تعریفمشکل خاصی وجود ندارد:
، در حالی که تابع در نقاط دچار ناپیوستگی می شود.

بیایید مسیر شکست خورده را طی کنیم:

- نقطه بحرانی.

بیایید علائم را تعریف کنیم و فواصل را در نظر بگیریم فقط از دامنه تابع:

یک نقطه عطف در نمودار در یک نقطه وجود دارد؛ بیایید اردیت را محاسبه کنیم:

دستورالعمل ها

نکته ها عطف کارکردباید به حوزه تعریف آن تعلق داشته باشد که ابتدا باید آن را پیدا کرد. برنامه کارکردخطی است که می تواند پیوسته باشد یا دارای شکست، یکنواخت کاهش یا افزایش، حداقل یا حداکثر باشد نکته ها( مجانبی )، محدب یا مقعر باشد. تغییر ناگهانی دو آخرین ایالت هاو عطف نامیده می شود.

شرط لازم وجود عطف کارکردعبارت است از تساوی دوم به صفر. بنابراین، با دوبار افتراق تابع و برابر کردن عبارت حاصل با صفر، می‌توانیم ابسیسا نقاط ممکن را پیدا کنیم. عطف.

این شرط از تعریف ویژگی های تحدب و تقعر نمودار به دست می آید کارکرد، یعنی منفی و ارزش مثبتمشتق دوم در نقطه عطفتغییر شدید در این ویژگی ها به این معنی است که مشتق از علامت صفر عبور می کند. با این حال، مساوی بودن با صفر هنوز برای نشان دادن یک عطف کافی نیست.

دو شرط کافی وجود دارد که آبسیسه یافت شده در مرحله قبل متعلق به نقطه باشد عطف:از طریق این نقطه می توانید مماس بر آن رسم کنید کارکرد. مشتق دوم دارای علائم متفاوتی در سمت راست و چپ مشتق مورد انتظار است نکته ها عطف. بنابراین وجود آن در خود نقطه ضروری نیست، کافی است مشخص شود که در آن نقطه تغییر علامت می دهد. کارکردبرابر با صفر است و سومی نیست.

راه حل: پیدا کنید. در این مورد هیچ محدودیتی وجود ندارد، بنابراین، کل فضای اعداد حقیقی است. اولین مشتق را محاسبه کنید: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

توجه کن به . از این نتیجه می شود که دامنه تعریف مشتق محدود است. نقطه x = 5 سوراخ است، به این معنی که یک مماس می تواند از آن عبور کند، که تا حدی با اولین علامت کفایت مطابقت دارد. عطف.

عبارت حاصل را برای x → 5 – 0 و x → 5 + 0 تعیین کنید. آنها برابر با -∞ و +∞ هستند. شما ثابت کرده اید که یک مماس عمودی از نقطه x=5 می گذرد. این نکته ممکن است یک نکته باشد عطف، اما ابتدا مشتق دوم را محاسبه کنید: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

مخرج را حذف کنید زیرا قبلاً نقطه x = 5 را در نظر گرفته اید. معادله 2 x – 22 = 0 را حل کنید. یک ریشه دارد x = 11. آخرین مرحله تأیید این است که نکته ها x=5 و x=11 امتیاز هستند عطف. رفتار مشتق دوم را در مجاورت آنها تجزیه و تحلیل کنید. بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت "+" به "-" و در نقطه x = 11 - برعکس تغییر می کند. نتیجه گیری: هر دو نکته هاامتیاز هستند عطف. اولین شرط کافی برآورده می شود.

وقتی یک تابع را نمودار می کنیم، شناسایی فواصل تحدب و نقاط عطف مهم است. ما به آنها، همراه با فواصل کاهش و افزایش، نیاز داریم تا عملکرد را به صورت گرافیکی به وضوح نشان دهند.

درک این موضوع مستلزم دانش مشتق یک تابع و نحوه ارزیابی آن به ترتیب و همچنین توانایی حل است. انواع متفاوتنابرابری ها

در ابتدای مقاله مفاهیم اساسی تعریف شده است. سپس نشان خواهیم داد که چه رابطه ای بین جهت تحدب و مقدار مشتق دوم در یک بازه زمانی مشخص وجود دارد. در مرحله بعد، شرایطی را که تحت آن نقاط عطف نمودار تعیین می شود را مشخص می کنیم. همه استدلال‌ها با مثال‌هایی از راه‌حل‌های مسئله نشان داده می‌شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

در جهت رو به پایین در یک بازه معین در صورتی که نمودار آن در هیچ نقطه ای از این بازه کمتر از مماس بر آن نباشد.

تعریف 2

تابعی که باید متمایز شود محدب استاگر نمودار یک تابع معین در هیچ نقطه ای از این بازه بالاتر از مماس بر آن نباشد، در یک بازه معین به سمت بالا حرکت کند.

تابع محدب رو به پایین را می توان تابع مقعر نیز نامید. هر دو تعریف به وضوح در نمودار زیر نشان داده شده است:

تعریف 3

نقطه عطف یک تابع- این یک نقطه M است (x 0 ؛ f (x 0))، که در آن مماس بر نمودار تابع وجود دارد، مشروط به وجود مشتق در مجاورت نقطه x 0، در سمت چپ و سمت راست نمودار تابع جهات مختلف تحدب می گیرد.

به بیان ساده، نقطه عطف، مکانی در نمودار است که در آن مماس وجود دارد و جهت تحدب نمودار هنگام عبور از این مکان، جهت تحدب را تغییر می دهد. اگر به خاطر ندارید که در چه شرایطی وجود مماس عمودی و غیر عمودی امکان پذیر است، توصیه می کنیم قسمت مماس نمودار یک تابع را در یک نقطه تکرار کنید.

در زیر نمودار تابعی است که دارای چندین نقطه عطف است که با رنگ قرمز مشخص شده اند. اجازه دهید توضیح دهیم که وجود نقاط عطف اجباری نیست. در نمودار یک تابع می تواند یک، دو، چند، بی نهایت زیاد یا هیچ وجود داشته باشد.

در این قسمت در مورد قضیه ای صحبت می کنیم که با آن می توانید فواصل تحدب را در نمودار یک تابع خاص تعیین کنید.

تعریف 4

اگر تابع مربوطه y = f (x) مشتق متناهی دوم در بازه مشخص x داشته باشد، نمودار یک تابع به سمت پایین یا رو به بالا محدب خواهد بود، مشروط بر اینکه نابرابری f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) درست خواهد بود.

با استفاده از این قضیه می توانید فواصل تقعر و تحدب را در هر نمودار یک تابع پیدا کنید. برای انجام این کار، شما فقط باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 را در دامنه تعریف تابع مربوطه حل کنید.

اجازه دهید روشن کنیم که آن نقاطی که مشتق دوم در آنها وجود ندارد، اما تابع y = f (x) تعریف شده است، در فواصل تحدب و تقعر قرار خواهند گرفت.

بیایید به مثالی از یک مسئله خاص نگاه کنیم تا نحوه اجرای صحیح این قضیه را ببینیم.

مثال 1

وضعیت:با توجه به تابع y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . تعیین کنید نمودار آن در چه فواصلی دارای تحدب و تقعر باشد.

راه حل

دامنه تعریف این تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است. بیایید با محاسبه مشتق دوم شروع کنیم.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

می بینیم که دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه خود تابع منطبق است، به این معنی که برای شناسایی فواصل تحدب، باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) را حل کنیم. ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

ما آن برنامه را دریافت کردیم عملکرد داده شدهبر روی قطعه یک فرورفتگی خواهد داشت [2; + ∞) و تحدب روی قطعه (- ∞؛ 2 ] .

برای وضوح، بیایید نموداری از تابع رسم کنیم و قسمت محدب را با رنگ آبی و قسمت مقعر را با رنگ قرمز مشخص کنیم.

پاسخ:نمودار تابع داده شده دارای یک تقعر بر روی قطعه [2; + ∞) و تحدب روی قطعه (- ∞؛ 2 ] .

اما اگر دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه تعریف تابع مطابقت نداشته باشد چه باید کرد؟ در اینجا نکته ای که در بالا بیان شد برای ما مفید خواهد بود: ما همچنین نقاطی را که مشتق دوم محدود در بخش های مقعر و محدب وجود ندارد را شامل می کنیم.

مثال 2

وضعیت:با توجه به تابع y = 8 x x - 1 . تعیین کنید که نمودار آن در کدام فواصل مقعر و در کدام فواصل محدب باشد.

راه حل

ابتدا اجازه دهید دامنه تعریف تابع را دریابیم.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

اکنون مشتق دوم را محاسبه می کنیم:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

دامنه تعریف مشتق دوم مجموعه x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) است. می بینیم که x برابر با صفر به دامنه تابع اصلی تعلق دارد، اما به دامنه مشتق دوم تعلق ندارد. این نقطه باید در قسمت مقعر یا محدب گنجانده شود.

پس از این، باید نابرابری های f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 را در دامنه تعریف تابع داده شده حل کنیم. ما از روش فاصله برای این استفاده می کنیم: با x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2، 1547 یا x = - 1 + 2 3 ≈ 0، 1547 عدد 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 می شود 0 و مخرج در x 0 است، برابر با صفریا واحد

بیایید نقاط به دست آمده را روی نمودار رسم کنیم و علامت عبارت را در تمام فواصل زمانی که در دامنه تعریف تابع اصلی گنجانده می شود تعیین کنیم. این ناحیه با سایه زدن روی نمودار نشان داده می شود. اگر مقدار مثبت باشد، بازه را با یک مثبت، اگر منفی، سپس با منفی مشخص می کنیم.

از این رو،

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , و f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

نقطه x = 0 قبلا علامت گذاری شده را وارد می کنیم و پاسخ مورد نظر را می گیریم. نمودار تابع اصلی در 0 به سمت پایین محدب خواهد بود. - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) و رو به بالا – برای x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

بیایید یک نمودار رسم کنیم و قسمت محدب را با رنگ آبی و قسمت مقعر را با قرمز مشخص کنیم. مجانب عمودی با یک خط نقطه سیاه مشخص شده است.

پاسخ:نمودار تابع اصلی در 0 به سمت پایین محدب خواهد بود. - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) و رو به بالا – برای x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

شرایط عطف یک نمودار تابع

بیایید با فرمول بندی شرط لازم برای عطف نمودار یک تابع خاص شروع کنیم.

تعریف 5

فرض کنید یک تابع y = f (x) داریم که نمودار آن نقطه عطف دارد. در x = x 0 یک مشتق دوم پیوسته دارد، بنابراین برابری f "" (x 0) = 0 برقرار خواهد بود.

با توجه به این شرایط، ما باید به دنبال نقاط عطف در میان نقاطی باشیم که در آن مشتق دوم به 0 تبدیل می شود. این شرط کافی نخواهد بود: همه چنین نکاتی برای ما مناسب نیستند.

همچنین توجه داشته باشید که طبق تعریف کلی، به یک خط مماس، عمودی یا غیر عمودی نیاز خواهیم داشت. در عمل، این بدان معنی است که برای یافتن نقاط عطف، باید نقاطی را انتخاب کنید که در آنها مشتق دوم یک تابع معین به 0 تبدیل شود. بنابراین، برای یافتن آبسیسا نقاط عطف، باید تمام x 0 را از دامنه تعریف تابع بگیریم، جایی که lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞. اغلب، اینها نقاطی هستند که مخرج اولین مشتق 0 می شود.

اولین شرط کافی برای وجود نقطه عطف در نمودار یک تابع

ما تمام مقادیر x 0 را پیدا کرده ایم که می توان آنها را به عنوان ابسیسا نقاط عطف در نظر گرفت. پس از این، باید اولین شرط عطف کافی را اعمال کنیم.

تعریف 6

فرض کنید یک تابع y = f (x) داریم که در نقطه M پیوسته است (x 0 ؛ f (x 0)). علاوه بر این، در این نقطه دارای مماس است و خود تابع دارای مشتق دوم در مجاورت این نقطه x 0 است. در این صورت، اگر در سمت چپ و راست مشتق دوم علائم مخالف به دست آورد، این نقطه را می توان نقطه عطف در نظر گرفت.

می بینیم که این شرط مستلزم این نیست که یک مشتق دوم لزوماً در این نقطه وجود داشته باشد، وجود آن در مجاورت نقطه x 0 کافی است.

راحت است که همه چیزهایی که در بالا گفته شد در قالب دنباله ای از اقدامات ارائه شود.

1. ابتدا باید تمام ابسیساهای x 0 نقاط عطف ممکن را پیدا کنید، جایی که f "" (x 0) = 0، lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞، lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ .
2. بیایید دریابیم که مشتق در چه نقاطی علامت را تغییر می دهد. این مقادیر ابسیساهای نقاط عطف هستند و نقاط M (x 0 ؛ f (x 0)) مربوط به آنها خود نقاط عطف هستند.

برای وضوح، ما دو مشکل را تحلیل خواهیم کرد.

مثال 3

وضعیت:با توجه به تابع y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. تعیین کنید که نمودار این تابع در کجا دارای نقاط عطف و نقاط تحدب باشد.

راه حل

تابع مشخص شده روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف می شود. ما مشتق اول را محاسبه می کنیم:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

حال بیایید دامنه تعریف مشتق اول را پیدا کنیم. همچنین مجموعه تمام اعداد حقیقی است. این بدان معنی است که برابری های lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ برای هیچ مقدار x 0 نمی توانند برآورده شوند.

مشتق دوم را محاسبه می کنیم:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2، x 2 = 1 + 25 2 = 3

ما ابسیسا دو نقطه عطف احتمالی را پیدا کردیم - 2 و 3. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که بررسی کنیم مشتق در چه نقطه ای علامت خود را تغییر می دهد. یک خط عددی رسم می کنیم و این نقاط را روی آن رسم می کنیم و بعد از آن علامت های مشتق دوم را روی فواصل حاصل قرار می دهیم.

قوس ها جهت تحدب نمودار را در هر بازه نشان می دهند.

مشتق دوم در نقطه ای با آبسیسا 3 علامت مخالف (از مثبت به منفی) را تغییر می دهد و از چپ به راست از آن می گذرد و همچنین این کار را (از منفی به مثبت) در نقطه با آبسیسا 3 انجام می دهد. این بدان معنی است که می توانیم نتیجه بگیریم که x = - 2 و x = 3 ابسیساهای نقاط عطف نمودار تابع هستند. آنها با نقاط نمودار مطابقت دارند - 2. - 4 3 و 3; - 15 8 .

بیایید دوباره به تصویر محور اعداد و علائم حاصل در فواصل زمانی نگاهی بیندازیم تا در مورد مکان های تقعر و تحدب نتیجه گیری کنیم. به نظر می رسد که تحدب در قسمت - 2 قرار خواهد گرفت. 3، و تقعر روی قطعات (- ∞؛ - 2 ] و [ 3; + ∞).

راه حل مشکل به وضوح در نمودار نشان داده شده است: رنگ ابی- تحدب، قرمز - تقعر، رنگ سیاه به معنی نقاط عطف است.

پاسخ:تحدب در قسمت - 2 قرار خواهد گرفت. 3، و تقعر روی قطعات (- ∞؛ - 2 ] و [ 3; + ∞).

مثال 4

وضعیت:ابسیسا تمام نقاط عطف نمودار تابع y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 را محاسبه کنید.

راه حل

دامنه تعریف یک تابع معین مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است. مشتق را محاسبه می کنیم:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

برخلاف یک تابع، اولین مشتق آن در مقدار x برابر با 3 تعریف نمی شود، اما:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

به این معنی که یک مماس عمودی بر نمودار از این نقطه عبور می کند. بنابراین، 3 ممکن است آبسیسه نقطه عطف باشد.

مشتق دوم را محاسبه می کنیم. همچنین دامنه تعریف آن و نقاطی که در آن به 0 تبدیل می شود را پیدا می کنیم:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3، 4556، x 2 = 51 - 1509 0.4675

اکنون دو نقطه عطف احتمالی دیگر داریم. بیایید همه آنها را روی خط اعداد رسم کنیم و فواصل حاصل را با علائم مشخص کنیم:

هنگام عبور از هر نقطه نشان داده شده علامت تغییر می کند، به این معنی که همه آنها نقاط عطف هستند.

پاسخ:بیایید نموداری از تابع رسم کنیم، تقعرها را با قرمز، محدب ها را با آبی و نقاط عطف را با سیاه مشخص کنیم:

با دانستن اولین شرط کافی برای عطف، می‌توانیم نقاط ضروری را تعیین کنیم که حضور مشتق دوم در آنها ضروری نیست. بر این اساس، شرط اول را می توان جهانی ترین و مناسب ترین شرط برای حل انواع مختلف مسائل دانست.

توجه داشته باشید که دو شرط عطف دیگر وجود دارد، اما آنها فقط زمانی می توانند اعمال شوند که یک مشتق محدود در نقطه مشخص شده وجود داشته باشد.

اگر f "" (x 0) = 0 و f """ (x 0) ≠ 0 داشته باشیم، آنگاه x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار y = f (x) خواهد بود.

مثال 5

وضعیت:تابع y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 داده شده است. تعیین کنید که آیا نمودار تابع در نقطه 3 نقطه عطف خواهد داشت یا خیر. 4 5 .

راه حل

اولین کاری که باید انجام دهید این است که مطمئن شوید که این نقطه به طور کلی به نمودار این تابع تعلق دارد.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

تابع داده شده برای همه آرگومان هایی که اعداد واقعی هستند تعریف شده است. بیایید مشتق اول و دوم را محاسبه کنیم:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

دریافتیم که اگر x برابر 0 باشد، مشتق دوم به 0 خواهد رفت. بدین معنی که شرط عطف لازم برای این نقطه برآورده می شود. حال از شرط دوم استفاده می کنیم: مشتق سوم را پیدا کنید و بفهمید که آیا در 3 به 0 تبدیل می شود یا خیر:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

مشتق سوم برای هیچ مقدار x از بین نمی رود. بنابراین می توان نتیجه گرفت که این نقطه نقطه عطف نمودار تابع خواهد بود.

پاسخ:بیایید راه حل را در تصویر نشان دهیم:

فرض کنید f "(x 0) = 0، f "" (x 0) = 0، ...، f (n) (x 0) = 0 و f (n + 1) (x 0) ≠ 0 در این حالت، برای زوج n، بدست می آوریم که x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار y = f (x) است.

مثال 6

وضعیت:با توجه به تابع y = (x - 3) 5 + 1. نقاط عطف نمودار آن را محاسبه کنید.

راه حل

این تابع بر روی کل مجموعه اعداد واقعی تعریف شده است. ما مشتق را محاسبه می کنیم: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . از آنجایی که برای تمام مقادیر واقعی آرگومان نیز تعریف خواهد شد، یک مماس غیر عمودی در هر نقطه از نمودار آن وجود خواهد داشت.

حالا بیایید محاسبه کنیم که مشتق دوم در چه مقادیری به 0 تبدیل می شود:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

ما دریافتیم که در x = 3 نمودار تابع ممکن است یک نقطه عطف داشته باشد. برای تایید این موضوع از شرط سوم استفاده می کنیم:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) ، y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 ، y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

در سومین شرط کافی، n = 4 داریم. این عدد زوج، به این معنی که x = 3 آبسیسا نقطه عطف خواهد بود و نقطه نمودار تابع (3; 1) با آن مطابقت دارد.

پاسخ:در اینجا نموداری از این تابع با تحدب، تقعر و نقطه عطف مشخص شده است:

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

با استفاده از یک ماشین حساب آنلاین می توانید پیدا کنید نقاط عطف و فواصل تحدب نمودار تابعبا طراحی راه حل در Word. محدب بودن تابعی از دو متغیر f(x1,x2) با استفاده از ماتریس Hessian تعیین می شود.

y =

قوانین برای وارد کردن توابع:

جهت تحدب نمودار یک تابع. نقاط عطف

تعریف: منحنی y=f(x) در بازه (a;b) به سمت پایین محدب نامیده می شود که در هر نقطه از این بازه بالاتر از مماس قرار گیرد.

تعریف: به منحنی y=f(x) گفته می شود که در بازه (a; b) به سمت بالا محدب است اگر در هر نقطه از این بازه زیر مماس قرار گیرد.

تعریف: به فواصلی که نمودار یک تابع به بالا یا پایین محدب است، فواصل تحدب نمودار تابع نامیده می شود.

تحدب به سمت پایین یا بالا منحنی که نمودار تابع y=f(x) است با علامت مشتق دوم آن مشخص می شود: اگر در یک بازه معین f''(x) > 0 باشد، آنگاه منحنی محدب است. در این بازه به سمت پایین اگر f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

تعریف: نقطه روی نمودار تابع y=f(x) که فواصل تحدب جهات مخالف این نمودار را از هم جدا می کند، نقطه عطف نامیده می شود.

فقط نقاط بحرانی نوع دوم می توانند به عنوان نقاط عطف عمل کنند، یعنی. نقاط متعلق به دامنه تعریف تابع y = f(x) که در آن مشتق دوم f''(x) ناپدید می شود یا دارای ناپیوستگی است.

قانون یافتن نقاط عطف در نمودار یک تابع y = f(x)

1. مشتق دوم f''(x) را بیابید.
2. نقاط بحرانی نوع دوم تابع y=f(x) را پیدا کنید. نقطه ای که در آن f''(x) ناپدید می شود یا یک ناپیوستگی را تجربه می کند.
3. علامت مشتق دوم f''(x) را در بازه‌ای که نقاط بحرانی یافت شده دامنه تعریف تابع f(x) را به آن تقسیم می‌کنند، بررسی کنید. اگر نقطه بحرانی x 0 فواصل تحدب جهات مخالف را از هم جدا کند، آنگاه x 0 آبسیسا نقطه عطف نمودار تابع است.
4. مقادیر تابع را در نقاط عطف محاسبه کنید.

مثال 1. فواصل تحدب و نقاط عطف منحنی زیر را بیابید: f(x) = 6x 2 –x 3.
راه حل: f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x را پیدا کنید.
با حل معادله 12-6x=0 نقاط بحرانی مشتق دوم را پیدا می کنیم. x=2.


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
پاسخ: تابع برای x∈(2; +∞) به سمت بالا محدب است. تابع در x∈(-∞; 2) به سمت پایین محدب است. نقطه عطف (2;16) .

مثال 2. آیا تابع دارای نقاط عطف است: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

مثال 3. فواصل زمانی که نمودار تابع محدب و منحنی است را بیابید: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4