تعاریف تانژانت مماس کسینوس سینوسی چیست؟ نمودار تابع مماس، y = tan x. محاسبه سینوس با استفاده از سایر توابع مثلثاتی

مثلثات شاخه ای از علوم ریاضی است که به مطالعه توابع مثلثاتی و کاربرد آنها در هندسه می پردازد. توسعه مثلثات در همان روزها آغاز شد یونان باستان. در قرون وسطی، دانشمندان خاورمیانه و هند سهم مهمی در توسعه این علم داشتند.

این مقاله به مفاهیم اساسیو تعاریف مثلثات در مورد تعاریف توابع مثلثاتی اساسی بحث می کند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت. معنای آنها در زمینه هندسه توضیح و نشان داده شده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا تعاریف توابع مثلثاتی که استدلال آنها زاویه است بر حسب نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه بیان شد.

تعاریف توابع مثلثاتی

سینوس یک زاویه (sin α) نسبت پای مقابل این زاویه به هیپوتنوز است.

کسینوس زاویه (cos α) - نسبت پای مجاور به هیپوتنوز.

مماس زاویه (t g α) - نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت زاویه (c t g α) - نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

این تعاریف برای زاویه حادراست گوشه!

بیایید یک تصویر ارائه دهیم.

در مثلث ABC با زاویه قائمه C، سینوس زاویه A برابر است با نسبت پایه BC به هیپوتنوز AB.

تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به شما این امکان را می دهد که مقادیر این توابع را با استفاده از طول های شناخته شدهاضلاع مثلث

مهم به یاد داشته باشید!

محدوده مقادیر سینوس و کسینوس از -1 تا 1 است. به عبارت دیگر سینوس و کسینوس مقادیری از -1 تا 1 می گیرند. محدوده مقادیر مماس و کوتانژانت کل خط اعداد است. یعنی این توابع می توانند هر مقداری را بگیرند.

تعاریف ارائه شده در بالا برای زوایای حاد اعمال می شود. در مثلثات مفهوم زاویه چرخش مطرح می شود که مقدار آن بر خلاف زاویه حاد به 0 تا 90 درجه محدود نمی شود.زاویه چرخش بر حسب درجه یا رادیان با هر عدد واقعی از - ∞ تا + ∞ بیان می شود. .

در این زمینه می‌توان سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را با زاویه‌ای با بزرگی دلخواه تعریف کرد. اجازه دهید یک دایره واحد را تصور کنیم که مرکز آن در مبدأ سیستم مختصات دکارتی است.

نقطه شروع A با مختصات (1، 0) به دور مرکز می چرخد دایره واحدبه یک زاویه α و به نقطه A 1 می رود. تعریف بر حسب مختصات نقطه A 1 (x,y) داده شده است.

سینوس (سین) زاویه چرخش

سینوس زاویه چرخش α، مختص نقطه A 1 (x,y) است. sin α = y

کسینوس (cos) زاویه چرخش

کسینوس زاویه چرخش α آبسیسا نقطه A 1 (x,y) است. cos α = x

مماس (tg) زاویه چرخش

مماس زاویه چرخش α نسبت مختصات نقطه A 1 (x, y) به آبسیسا آن است. t g α = y x

کوتانژانت (ctg) زاویه چرخش

کوتانژانت زاویه چرخش α نسبت آبسیسا نقطه A 1 (x, y) به مختصات آن است. c t g α = x y

سینوس و کسینوس برای هر زاویه چرخشی تعریف می شوند. این منطقی است، زیرا ابسیسا و مختصات یک نقطه پس از چرخش را می توان در هر زاویه ای تعیین کرد. وضعیت با مماس و کتانژانت متفاوت است. مماس زمانی تعریف نشده است که یک نقطه پس از چرخش به نقطه ای با آبسیسا صفر (0، 1) و (0، - 1) می رود. در چنین مواردی، بیان مماس t g α = y x به سادگی معنی ندارد، زیرا شامل تقسیم بر صفر است. وضعیت مشابه با کوتانژانت است. با این تفاوت که کوتانژانت در مواردی که رده یک نقطه به صفر می رسد تعریف نمی شود.

مهم به یاد داشته باشید!

سینوس و کسینوس برای هر زاویه α تعریف می شوند.

مماس برای همه زوایا به جز α = 90 درجه + 180 درجه k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تعریف می شود.

کوتانژانت برای همه زوایا به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

هنگام تصمیم گیری نمونه های عملی"سینوس زاویه چرخش α" را نگویید. کلمات "زاویه چرخش" به سادگی حذف شده اند، به این معنی که از قبل از متن آنچه مورد بحث قرار می گیرد، واضح است.

شماره

تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد و نه زاویه چرخش چیست؟

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک عدد

سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک عدد تیعددی است که به ترتیب برابر با سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در است تیرادیان

به عنوان مثال، سینوس عدد 10 π برابر با سینوس زاویه چرخش 10 π راد است.

روش دیگری برای تعیین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک عدد وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم.

هر عدد واقعی تییک نقطه روی دایره واحد با مرکز در مبدأ سیستم مختصات دکارتی مستطیلی مرتبط است. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت از طریق مختصات این نقطه تعیین می شوند.

نقطه شروع روی دایره نقطه A با مختصات (1، 0) است.

عدد مثبت تی

عدد منفی تیمربوط به نقطه ای است که نقطه شروع اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت در اطراف دایره حرکت کند و از مسیر t عبور کند، به آن می رسد.

اکنون که ارتباط بین عدد و نقطه روی یک دایره برقرار شد، به سراغ تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت می رویم.

سینوس (گناه) از t

سینوس یک عدد تی- ترتیب یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی sin t = y

کسینوس (cos) از t

کسینوس یک عدد تی- آبسیسا نقطه دایره واحد مربوط به عدد تی cos t = x

مماس (tg) t

مماس یک عدد تی- نسبت مختصات به ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد مربوط به عدد تی t g t = y x = گناه t cos t

آخرین تعاریف مطابق با تعریف ارائه شده در ابتدای این بند بوده و مغایرتی ندارد. روی دایره مربوط به عدد اشاره کنید تی، منطبق بر نقطه ای است که نقطه شروع پس از چرخش با یک زاویه به آن می رود تیرادیان

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای و عددی

هر مقدار از زاویه α مربوط به مقدار مشخصی از سینوس و کسینوس این زاویه است. درست مانند تمام زوایای α غیر از α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) با مقدار مماس خاصی مطابقت دارد. همانطور که در بالا گفته شد، کوتانژانت برای همه α به جز α = 180 درجه k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z) تعریف شده است.

می توان گفت sin α، cos α، tg α، c tg α توابعی از زاویه آلفا یا توابعی از آرگومان زاویه ای هستند.

به طور مشابه، ما می توانیم در مورد سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان توابعی از یک استدلال عددی صحبت کنیم. هر عدد واقعی تیمربوط به مقدار معینی از سینوس یا کسینوس یک عدد است تی. همه اعداد غیر از π 2 + π · k، k ∈ Z، مربوط به یک مقدار مماس هستند. کتانژانت، به طور مشابه، برای همه اعداد به جز π · k، k ∈ Z تعریف شده است.

توابع اصلی مثلثات

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع اصلی مثلثاتی هستند.

معمولاً از زمینه مشخص می شود که با کدام آرگومان تابع مثلثاتی (آگومان زاویه ای یا آرگومان عددی) سروکار داریم.

بیایید به تعاریف ارائه شده در همان ابتدا و زاویه آلفا که در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد، برگردیم. تعاریف مثلثاتیسینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت کاملاً با تعاریف هندسی ارائه شده با استفاده از نسبت اضلاع یک مثلث قائم الزاویه مطابقت دارند. بیایید آن را نشان دهیم.

بیایید یک دایره واحد با یک مرکز در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی را در نظر بگیریم. بیایید نقطه شروع A (1, 0) را با زاویه 90 درجه بچرخانیم و از نقطه حاصل A 1 (x, y) عمود بر محور آبسیسا بکشیم. در دریافتی راست گوشهزاویه A 1 O H برابر با زاویهچرخش α، طول ساق O H برابر است با آبسیسا نقطه A 1 (x,y). طول پایه مقابل زاویه برابر است با مختص نقطه A 1 (x, y) و طول هیپوتانوس برابر با یک است زیرا شعاع دایره واحد است.

مطابق با تعریف هندسه، سینوس زاویه α برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

این بدان معنی است که تعیین سینوس یک زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه از طریق نسبت ابعاد معادل با تعیین سینوس زاویه چرخش α است که آلفا در محدوده 0 تا 90 درجه قرار دارد.

به طور مشابه، مطابقت تعاریف را می توان برای کسینوس، مماس و کوتانژانت نشان داد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

سخنرانی: سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت زاویه دلخواه

سینوس، کسینوس با زاویه دلخواه

برای اینکه بفهمیم توابع مثلثاتی چیست، به دایره ای با شعاع واحد نگاه می کنیم. این دایره دارای یک مرکز در مبدا در صفحه مختصات است. برای تعیین توابع مشخص شدهما از بردار شعاع استفاده خواهیم کرد یا، که از مرکز دایره شروع می شود و نقطه آریک نقطه روی دایره است. این بردار شعاع یک زاویه آلفا با محور تشکیل می دهد اوه. از آنجایی که یک دایره شعاع دارد، برابر با یک، آن OR = R = 1.

اگر از نقطه آرعمود بر محور را پایین بیاورید اوه، یک مثلث قائم الزاویه با هیپوتانوس برابر با یک بدست می آوریم.

اگر بردار شعاع در جهت عقربه های ساعت حرکت کند، این جهت نامیده می شود منفی، اگر خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت کند - مثبت.

سینوس زاویه یا، ترتیب نقطه است آربردار روی دایره

یعنی برای به دست آوردن مقدار سینوس یک زاویه داده شده آلفا، باید مختصات را تعیین کرد Uروی سطح

این مقدار چگونه به دست آمد؟ از آنجایی که می دانیم سینوس یک زاویه دلخواه در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است، به این نتیجه می رسیم که

و از R=1، آن sin(α) = y 0 .

در یک دایره واحد، مقدار ارتین نمی تواند کمتر از -1 و بزرگتر از 1 باشد، که به این معنی است

سینوس قبول می کند ارزش مثبتدر ربع اول و دوم دایره واحد، و در سوم و چهارم - منفی.

کسینوس زاویهدایره داده شده توسط بردار شعاع تشکیل شده است یا، ابسیسه نقطه است آربردار روی دایره

یعنی برای بدست آوردن مقدار کسینوس یک زاویه آلفای معین، باید مختصات را تعیین کرد ایکسروی سطح

کسینوس یک زاویه دلخواه در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت پایه مجاور به هیپوتنوز است، ما دریافت می کنیم که

و از R=1، آن cos(α) = x 0 .

در دایره واحد، مقدار آبسیسا نمی تواند کمتر از -1 و بزرگتر از 1 باشد، به این معنی

کسینوس در ربع اول و چهارم دایره واحد یک مقدار مثبت و در دوم و سوم مقدار منفی می گیرد.

مماسزاویه دلخواهنسبت سینوس به کسینوس محاسبه می شود.

اگر یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیریم، این نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است. اگر ما در مورددر مورد دایره واحد، پس این نسبت مجمل به ابسیسا است.

با قضاوت بر اساس این روابط، می توان فهمید که اگر مقدار آبسیسا صفر باشد، یعنی در زاویه 90 درجه، مماس وجود ندارد. مماس می تواند تمام مقادیر دیگر را بگیرد.

مماس در ربع اول و سوم دایره واحد مثبت و در ربع دوم و چهارم منفی است.

داده های مرجع برای مماس (tg x) و کوتانژانت (ctg x). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول مماس ها و کوتانژانت ها، مشتقات، انتگرال ها، بسط سری. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده ارتباط با توابع هذلولی

تعریف هندسی

|BD| - طول قوس دایره ای با مرکز در نقطه A.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

مماس ( قهوهای مایل به زرد α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول پای مجاور |AB| .

کوتانژانت ( ctg α) تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول پای مقابل |پیش از میلاد| .

مماس

جایی که n- کل

در ادبیات غرب، مماس را به صورت زیر نشان می دهند:
.
;
;
.

نمودار تابع مماس، y = tan x

کوتانژانت

جایی که n- کل

در ادبیات غربی، کوتانژانت به صورت زیر نشان داده می شود:
.
نمادهای زیر نیز پذیرفته شده است:
;
;
.

نمودار تابع کتانژانت، y = ctg x

خواص مماس و کوتانژانت

دوره ای

توابع y = tg xو y = ctg xتناوبی با دوره π هستند.

برابری

توابع مماس و کتانژانت فرد هستند.

حوزه های تعریف و ارزش، افزایش، کاهش

توابع مماس و کتانژانت در حوزه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی مماس و کوتانژانت در جدول ارائه شده است ( n- کل).

	y = tg x	y = ctg x
دامنه و تداوم
محدوده ارزش ها	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
در حال افزایش است		-
نزولی	-
افراط	-	-
صفر، y = 0
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	y = 0	-

فرمول ها

عبارات با استفاده از سینوس و کسینوس

; ;
; ;
;

فرمول های مماس و کتانژانت از مجموع و تفاوت

به عنوان مثال، فرمول های باقی مانده به راحتی به دست می آیند

محصول مماس ها

فرمول مجموع و تفاضل مماس ها

این جدول مقادیر مماس ها و کوتانژانت ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد.

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

;
;

مشتقات

; .

.
مشتق از مرتبه n با توجه به متغیر x تابع:
.
استخراج فرمول های مماس > > > ; برای کوتانژانت > > >

انتگرال ها

گسترش سری

برای به دست آوردن انبساط مماس در توان های x، باید چندین ترم از بسط در سری پاوربرای توابع گناه xو cos xو این چند جمله ای ها را بر یکدیگر تقسیم کنید، . این فرمول های زیر را تولید می کند.

در .

در .
جایی که Bn- اعداد برنولی آنها یا از رابطه عود تعیین می شوند:
;
;
جایی که .
یا طبق فرمول لاپلاس:

توابع معکوس

توابع معکوسبه مماس و کوتانژانت به ترتیب قوس و مماس هستند.

Arctangent، arctg

، جایی که n- کل

Arccotangent، arcctg

، جایی که n- کل

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
جی کورن، کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان، 2012.

درس با موضوع "سینوس، کسینوس و مماس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه"

اهداف درس:

آموزشی - مفهوم سینوس، کسینوس، مماس زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه را معرفی کنید، وابستگی ها و روابط بین این مقادیر را بررسی کنید.

در حال توسعه - شکل گیری مفهوم سینوس، کسینوس، مماس به عنوان توابع یک زاویه، حوزه تعریف توابع مثلثاتی، توسعه تفکر منطقی، توسعه گفتار صحیح ریاضی.

آموزشی - توسعه مهارت های کار مستقل، فرهنگ رفتار، دقت در ثبت سوابق.

پیشرفت درس:

1. زمان سازماندهی

«آموزش تعداد دروسی نیست که گرفته می شود، بلکه تعداد درسی است که فهمیده می شود. بنابراین، اگر می‌خواهید جلو بروید، آهسته عجله کنید و مراقب باشید.»

2. انگیزه درس.

حکیمی گفت: بالاترین تجلی روح، ذهن است. بالاترین تجلی عقل هندسه است. سلول هندسی یک مثلث است. به اندازه کائنات تمام نشدنی است. دایره روح هندسه است. دایره را بشناسید و نه تنها روح هندسه را خواهید شناخت، بلکه روح خود را نیز تعالی خواهید بخشید.»

ما سعی می کنیم با شما کمی تحقیق کنیم. بیایید ایده های خود را که به ذهنتان می رسد به اشتراک بگذارید و از اشتباه کردن نترسید، هر فکری می تواند به ما مسیر جدیدی برای جستجو بدهد. دستاوردهای ما ممکن است برای کسی عالی به نظر نرسند، اما آنها دستاوردهای خود ما خواهند بود!

3. به روز رسانی دانش پایه.

چه زوایایی می تواند وجود داشته باشد؟

مثلث ها چیست؟

عناصر اصلی که یک مثلث را تعریف می کنند کدامند؟

بسته به اضلاع چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟

بسته به زوایای آن چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟

پا چیست؟

هیپوتانوز چیست؟

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟

چه رابطه هایی بین اضلاع و زوایای این مثلث می شناسید؟

چرا باید روابط بین اضلاع و زوایا را بدانید؟

چه مشکلاتی در زندگی می تواند منجر به نیاز به محاسبه اضلاع مجهول در مثلث شود؟

اصطلاح "hypotenuse" از کلمه یونانی "hyponeinouse" به معنای "کشش روی چیزی"، "انقباض" گرفته شده است. این کلمه از تصویر چنگ‌های یونان باستان سرچشمه می‌گیرد که روی آن‌ها سیم‌ها در انتهای دو پایه عمود بر هم کشیده شده‌اند. اصطلاح "کاتتوس" از کلمه یونانی "kathetos" گرفته شده است که به معنای آغاز یک "شققچه"، "عمود بر" است.

اقلیدس گفت: "پاها اضلاعی هستند که زاویه قائمه را محصور می کنند."

که در یونان باستانروشی برای ساختن مثلث قائم الزاویه روی زمین قبلاً شناخته شده بود. برای این کار از طنابی استفاده می کردند که 13 گره روی آن بسته می شد، به همان فاصله از یکدیگر. در زمان ساخت اهرام در مصر، مثلث های قائم الزاویه به این صورت ساخته شد. احتمالاً به همین دلیل است که مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3،4،5 را مثلث مصری می نامند.

4. مطالعه مطالب جدید.

در زمان‌های قدیم، مردم ستاره‌ها را تماشا می‌کردند و بر اساس این مشاهدات، تقویم، تاریخ کاشت و زمان طغیان رودخانه‌ها را محاسبه می‌کردند. کشتی ها در دریا و کاروان ها در خشکی سفر خود را با ستاره ها طی می کردند. همه اینها منجر به نیاز به یادگیری نحوه محاسبه اضلاع در یک مثلث شد که دو رأس آن روی زمین است و سومی با نقطه ای در آسمان پرستاره نشان داده می شود. بر اساس این نیاز، علم مثلثات به وجود آمد - علمی که به بررسی اتصالات بین اضلاع یک مثلث می پردازد.

آیا فکر می کنید روابطی که از قبل می شناسیم برای حل چنین مشکلاتی کافی است؟

هدف از درس امروز کشف ارتباطات و وابستگی های جدید، استخراج روابط است که با استفاده از آنها در درس های هندسه بعدی قادر به حل چنین مسائلی خواهید بود.

بیایید خود را در نقش دانشمندان احساس کنیم و با پیروی از نابغه های باستانی تالس، اقلیدس، فیثاغورث، مسیر جستجوی حقیقت را طی کنیم.

برای این ما به یک مبنای نظری نیاز داریم.

زاویه A و پای BC را با رنگ قرمز برجسته کنید.

برجسته سبز AC پا

بیایید محاسبه کنیم که ضلع مقابل یک زاویه تند A نسبت به هیپوتانوز آن کدام قسمت است؛ برای انجام این کار، نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس را می‌سازیم:

این نسبت یک نام خاص دارد - به طوری که هر فرد در هر نقطه از سیاره می فهمد که ما در مورد عددی صحبت می کنیم که نشان دهنده نسبت طرف مقابل یک زاویه حاد به هیپوتانوس است. این کلمه سینوس است. آن را بنویسید. از آنجایی که کلمه سینوس بدون نام زاویه معنی خود را از دست می دهد، نماد ریاضی به شرح زیر است:

اکنون نسبت پای مجاور به هیپوتنوز را برای زاویه حاد A بنویسید:

این نسبت کسینوس نامیده می شود. نماد ریاضی آن:

بیایید نسبت دیگری را برای یک زاویه حاد A در نظر بگیریم: نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور:

این نسبت مماس نامیده می شود. نماد ریاضی آن:

5. تلفیق مواد جدید.

بیایید اکتشافات میانی خود را تثبیت کنیم.

سینوس است...

کسینوس است ...

مماس است ...

گناه A =	گناه در باره =	گناه A 1 =
cos A =	cos در باره =	cos A 1 =
قهوهای مایل به زرد A =	tg در باره =	قهوهای مایل به زرد A 1 =

حل شفاهی شماره 88، 889، 892 (دو نفره کار کنید).

استفاده از دانش به دست آمده برای حل یک مشکل عملی:

از برج فانوس دریایی به ارتفاع 70 متر، یک کشتی با زاویه 3 درجه نسبت به افق قابل مشاهده است. چه جوریه

فاصله از فانوس دریایی تا کشتی؟

مشکل از جلو حل می شود. در حین بحث، نقاشی و یادداشت های لازم را روی تخته و در دفترچه ها انجام می دهیم.

هنگام حل مشکل از جداول Bradis استفاده می شود.

راه حل مسئله را در نظر بگیرید ص 175.

حل شماره 902 (1).

6. ورزش برای چشم.

بدون اینکه سر خود را بچرخانید، به اطراف دیوار کلاس درس در اطراف محیط در جهت عقربه‌های ساعت، تخته سیاه در اطراف محیط در خلاف جهت عقربه‌های ساعت، مثلث تصویر شده روی پایه در جهت عقربه‌های ساعت و مثلث مساوی در خلاف جهت عقربه‌های ساعت نگاه کنید. سر خود را به سمت چپ بچرخانید و به خط افق و اکنون به نوک بینی خود نگاه کنید. چشمانت را ببند، تا 5 بشمار، چشمانت را باز کن و...

کف دستمان را روی چشمانمان می گذاریم،
بیایید پاهای قوی خود را باز کنیم.
چرخش به سمت راست
بیایید با شکوه به اطراف نگاه کنیم.
و شما نیز باید به سمت چپ بروید
از زیر کف دستت نگاه کن
و - به سمت راست! و بیشتر
بالای شانه چپت!
حالا بیایید کار را ادامه دهیم.

7. کار مستقلدانش آموزان.

حل کنید نه

8. خلاصه درس. انعکاس. D/z.

چه چیزهای جدیدی یاد گرفته اید؟ در درس:

آیا در نظر گرفته ای...

تحلیل کردی...

دریافت کردی…

نتیجه گرفتی...

شما دایره لغات خود را با عبارات زیر گسترش داده اید...

علم جهان با هندسه آغاز شد. اگر انسان در مدرسه هندسه نخوانده باشد، نمی تواند واقعاً از نظر فرهنگی و معنوی رشد کند. هندسه نه تنها از نیازهای عملی، بلکه از نیازهای روحی انسان برخاسته است.

او عشق خود به هندسه را اینگونه بیان کرد

من عاشق هندسه هستم...

هندسه درس می دهم چون دوستش دارم

ما به هندسه نیاز داریم، بدون آن نمی توانیم به جایی برسیم.

سینوس، کسینوس، محیط - همه چیز در اینجا مهم است،

اینجا همه چیز مورد نیاز است

شما فقط باید همه چیز را خیلی واضح یاد بگیرید و درک کنید،

تکالیف و تست ها را به موقع انجام دهید.

سینوسیزاویه تند α یک مثلث قائم الزاویه نسبت است مقابلپا به هیپوتانوز.
به صورت زیر نشان داده می شود: sin α.

کسینوسزاویه تند α یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ساق مجاور به هیپوتنوز است.
به صورت زیر تعیین می شود: cos α.

مماسزاویه تند α نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور است.
به صورت زیر تعیین می شود: tg α.

کوتانژانتزاویه تند α نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل است.
به صورت زیر تعیین می شود: ctg α.

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه فقط به اندازه زاویه بستگی دارد.

قوانین:

پایه ای هویت های مثلثاتیدر مثلث قائم الزاویه:

(α - زاویه حاد در مقابل ساق پا ب و در مجاورت ساق پا آ . سمت با - هیپوتنوئوس. β - زاویه حاد دوم).

ب گناه α = - ج	sin 2 α + cos 2 α = 1
آ cos α = - ج	1 1 + قهوهای مایل به زرد 2 α = -- cos 2 α
ب قهوهای مایل به زرد α = - آ	1 1 + ctg 2 α = -- گناه 2 α
آ ctg α = - ب	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
گناه α tg α = -- cos α

با افزایش زاویه حادگناه α وافزایش قهوهای مایل به زرد α، وcos α کاهش می یابد.

برای هر زاویه تند α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

مثال-توضیح:

یک مثلث قائم الزاویه ABC را بگذارید
AB = 6،
قبل از میلاد = 3،
زاویه A = 30 درجه.

بیایید سینوس زاویه A و کسینوس زاویه B را دریابیم.

راه حل .

1) ابتدا مقدار زاویه B را پیدا می کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: از آنجایی که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع زوایای تند 90 درجه است، سپس زاویه B = 60 درجه است:

B = 90º - 30º = 60º.

2) بیایید sin A را محاسبه کنیم. می دانیم که سینوس برابر است با نسبت طرف مقابل به هیپوتانوس. برای زاویه A پای مخالفسمت خورشید است بنابراین:

قبل از میلاد 3 1
گناه A = -- = - = -
AB 6 2

3) حال بیایید cos B را محاسبه کنیم. می دانیم که کسینوس برابر است با نسبت پای مجاور به هیپوتانوس. برای زاویه B پای مجاورهنوز همان سمت خورشید است این بدان معنی است که ما دوباره باید BC را بر AB تقسیم کنیم - یعنی همان اقداماتی را که هنگام محاسبه سینوس زاویه A انجام می دهیم:

قبل از میلاد 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

نتیجه این است:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

از این نتیجه می شود که در یک مثلث قائم الزاویه، سینوس یک زاویه حاد برابر با کسینوس یک زاویه حاد دیگر است - و بالعکس. این دقیقاً همان معنایی است که دو فرمول ما دارند:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

بیایید دوباره از این مطمئن شویم:

1) بگذارید α = 60 درجه. با جایگزینی مقدار α به فرمول سینوس، دریافت می کنیم:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) بگذارید α = 30 درجه باشد. با جایگزینی مقدار α در فرمول کسینوس، به دست می‌آییم:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(برای اطلاعات بیشتر در مورد مثلثات به بخش جبر مراجعه کنید)