نحوه یادگیری حل مشتقات پیچیده قانون تمایز یک تابع پیچیده

مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق قدرت تابع نمایی

ما همچنان به بهبود تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس مطالبی را که پوشش داده‌ایم ادغام می‌کنیم، مشتقات پیچیده‌تر را بررسی می‌کنیم و همچنین با تکنیک‌ها و ترفندهای جدید برای یافتن مشتق، به ویژه با مشتق لگاریتمی آشنا می‌شویم.

به خوانندگانی که دارند سطح پایینآماده سازی، باید به مقاله مراجعه کنید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل ها، که به شما امکان می دهد مهارت های خود را تقریباً از ابتدا بالا ببرید. در مرحله بعد، باید صفحه را به دقت مطالعه کنید مشتق تابع مختلط، درک کنید و حل کنید همهمثال هایی که زدم این درس از نظر منطقی سومین درس متوالی است و پس از تسلط بر آن، با اطمینان توابع نسبتاً پیچیده را متمایز خواهید کرد. این نامطلوب است که موضع "کجا دیگر؟ بله، کافی است! "، زیرا همه مثال ها و راه حل ها از واقعی گرفته شده است تست هاو اغلب در عمل با آن مواجه می شوند.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس مشتق تابع مختلطما به تعدادی از نمونه ها با نظرات دقیق نگاه کردیم. در طول مطالعه حساب دیفرانسیل و بخش های دیگر تجزیه و تحلیل ریاضی- شما مجبور خواهید بود خیلی اوقات از هم متمایز شوید، و توصیف نمونه ها با جزئیات زیاد همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست). بنابراین مشتق یابی را به صورت شفاهی تمرین می کنیم. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقاتی از ساده ترین توابع پیچیده هستند، به عنوان مثال:

طبق قاعده تمایز توابع پیچیده :

هنگام مطالعه سایر موضوعات ماتان در آینده، چنین ضبط دقیقی اغلب مورد نیاز نیست؛ فرض بر این است که دانش آموز می داند چگونه چنین مشتقاتی را در خلبان خودکار پیدا کند. بیایید تصور کنیم که در ساعت 3 صبح وجود دارد تماس تلفنیو صدای دلنشینی پرسید: مشتق مماس دو X چیست؟ این باید با یک پاسخ تقریباً فوری و مودبانه دنبال شود: .

مثال اول بلافاصله برای راه حل مستقل در نظر گرفته می شود.

مثال 1

مشتقات زیر را به صورت شفاهی در یک عمل بیابید، به عنوان مثال: . برای تکمیل کار فقط باید از آن استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی(اگر هنوز آن را به خاطر نیاورده اید). اگر مشکلی دارید، توصیه می کنم دوباره درس را بخوانید مشتق تابع مختلط.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با 3-4-5 تودرتو عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. دو مثال زیر ممکن است برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً هر چیز دیگری در حساب دیفرانسیل شبیه شوخی کودکانه به نظر می رسد.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستسرمایه گذاری های خود را درک کنید در مواردی که شک و تردید وجود دارد، یک تکنیک مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را در نظر می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا در پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مجموع عمیق ترین جاسازی است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم تفاوت:

6) و در نهایت، خارجی ترین عملکرد است ریشه دوم:

فرمول تمایز یک تابع پیچیده استفاده خواهد شد در به صورت برعکس، از بیرونی ترین عملکرد تا درونی ترین. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر می رسد هیچ خطایی وجود ندارد ...

(1) مشتق جذر را بگیرید.

(2) ما مشتق تفاوت را با استفاده از قانون می گیریم

(3) مشتق ثلاث صفر است. در جمله دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

(4) مشتق کسینوس را بگیرید.

(5) مشتق لگاریتم را بگیرید.

(6) و در نهایت، مشتق عمیق ترین تعبیه را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از زیبایی و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در یک امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای شما قابل حل است.

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به سراغ چیزهای کوچکتر و زیباتر بروید.
غیر معمول نیست که یک مثال حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع را نشان دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا نگاه می کنیم، آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در حاصلضرب داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در مثال مورد بررسی، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به صورت متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو برابر

ترفند این است که با "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم: و با "ve" لگاریتم را نشان می دهیم: . چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا واقعا – این حاصل دو عامل نیست و قاعده کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما همچنین می توانید پیچ ​​خورده و چیزی را خارج از پرانتز قرار دهید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را دقیقاً به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال مورد نظر را می توان به روش دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است؛ در نمونه با استفاده از روش اول حل می شود.

در نظر بگیریم نمونه های مشابهبا کسری

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

چندین راه وجود دارد که می توانید به اینجا بروید:

یا مثل این:

اما اگر ابتدا از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، راه حل فشرده تر نوشته می شود ، در نظر گرفتن کل صورتگر:

در اصل مثال حل می شود و اگر به حال خود رها شود خطا نخواهد بود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می‌شود پیش‌نویس را بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان پاسخ را ساده کرد؟ بیایید بیان عدد را به یک مخرج مشترک و کاهش دهیم بیایید از شر کسری سه طبقه خلاص شویم:

ضرر ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه در هنگام یافتن مشتق، بلکه در طول تحولات پیش پا افتاده مدرسه، خطر اشتباه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی:

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.

مثال 8

مشتق یک تابع را پیدا کنید

در اینجا می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، راه طولانی را طی کنید:

اما اولین قدم بلافاصله شما را در ناامیدی فرو می برد - باید مشتق ناخوشایند را بگیرید توان کسریو سپس از کسری.

از همین رو قبل ازچگونه مشتق یک لگاریتم "پیچیده" را بگیریم، ابتدا با استفاده از ویژگی های معروف مدرسه ساده شده است:

! اگر دفترچه تمرینی در دست دارید، این فرمول ها را مستقیماً در آنجا کپی کنید. اگر دفتری ندارید، آنها را روی یک تکه کاغذ کپی کنید، زیرا نمونه های باقی مانده درس حول این فرمول ها می چرخد.

خود راه حل را می توان چیزی شبیه به این نوشت:

بیایید تابع را تبدیل کنیم:

یافتن مشتق:

پیش تبدیل تابع به خودی خود راه حل را بسیار ساده کرد. بنابراین، زمانی که لگاریتمی مشابه برای تمایز پیشنهاد می‌شود، همیشه توصیه می‌شود که آن را تجزیه کنید.

و حالا چند مثال ساده برای حل کردن خودتان:

مثال 9

مشتق یک تابع را پیدا کنید

مثال 10

مشتق یک تابع را پیدا کنید

تمامی دگرگونی ها و پاسخ ها در انتهای درس آمده است.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق لگاریتم چنین موسیقی شیرینی باشد، این سوال پیش می آید: آیا در برخی موارد می توان لگاریتم را به طور مصنوعی سازماندهی کرد؟ می توان! و حتی ضروری است.

مثال 11

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما اخیراً نمونه های مشابه را بررسی کردیم. چه باید کرد؟ می توانید به ترتیب قانون تمایز ضریب و سپس قانون تمایز محصول را اعمال کنید. عیب این روش این است که شما با یک کسری بزرگ سه طبقه روبرو می شوید که اصلاً نمی خواهید با آن مقابله کنید.

اما در تئوری و عمل چیز شگفت انگیزی به عنوان مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها را می توان با "آویزاندن" آنها در هر دو طرف به طور مصنوعی سازماندهی کرد:

اکنون باید لگاریتم سمت راست را تا حد امکان "تجزیه" کنید (فرمول های جلوی چشمان خود؟). من این فرآیند را با جزئیات کامل شرح خواهم داد:

بیایید با تمایز شروع کنیم.
ما هر دو بخش را در قسمت اول نتیجه می گیریم:

مشتق سمت راست کاملاً ساده است، من در مورد آن اظهار نظر نمی کنم، زیرا اگر در حال خواندن این متن هستید، باید بتوانید با اطمینان از آن استفاده کنید.

سمت چپ چطور؟

در سمت چپ ما داریم تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یک حرف "Y" زیر لگاریتم وجود دارد؟"

واقعیت این است که این "بازی یک حرف" - خود یک تابع است(اگر خیلی واضح نیست به مقاله مشتق تابعی که بطور ضمنی مشخص شده است مراجعه کنید). بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی و "y" یک تابع داخلی است. و از قانون برای متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

در سمت چپ، گویی با جادو عصای جادوییمشتق داریم . بعد، طبق قانون تناسب، "y" را از مخرج سمت چپ به بالای سمت راست منتقل می کنیم:

و حالا بیایید به یاد بیاوریم که در طول تمایز در مورد چه نوع عملکرد "بازیکن" صحبت کردیم؟ بیایید شرایط را بررسی کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نمونه طراحی نمونه از این نوعدر پایان درس

با استفاده از مشتق لگاریتمی می‌توان هر یک از مثال‌های شماره 4-7 را حل کرد، نکته دیگر این است که توابع در آنجا ساده‌تر هستند و شاید استفاده از مشتق لگاریتمی چندان موجه نباشد.

مشتق تابع توان-نمایی

ما هنوز این تابع را در نظر نگرفته ایم. تابع توان-نمایی تابعی است که برای آن هم درجه و هم پایه به "x" بستگی دارند. یک مثال کلاسیک که در هر کتاب درسی یا سخنرانی به شما داده می شود:

چگونه مشتق تابع توان-نمایی را پیدا کنیم؟

لازم است از تکنیکی که در مورد آن بحث شد - مشتق لگاریتمی استفاده شود. لگاریتم ها را در دو طرف آویزان می کنیم:

به عنوان یک قاعده، در سمت راست، درجه از زیر لگاریتم خارج می شود:

در نتیجه در سمت راست حاصل ضرب دو تابع داریم که طبق فرمول استاندارد متمایز می شوند. .

ما مشتق را پیدا می کنیم؛ برای انجام این کار، هر دو قسمت را زیر strokes قرار می دهیم:

اقدامات بعدی ساده هستند:

سرانجام:

اگر هر تبدیل کاملاً واضح نیست، لطفاً توضیحات مثال شماره 11 را مجدداً با دقت بخوانید.

در کارهای عملی، تابع توان-نمایی همیشه پیچیده تر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده است.

مثال 13

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما از مشتق لگاریتمی استفاده می کنیم.

در سمت راست ما یک ثابت و حاصلضرب دو عامل داریم - "x" و "لگاریتم لگاریتم x" (لگاریتم دیگری زیر لگاریتم تو در تو است). هنگام تمایز، همانطور که به یاد داریم، بهتر است بلافاصله ثابت را از علامت مشتق خارج کنیم تا مانع از آن نشود. و البته قانون آشنا را اعمال می کنیم :

همانطور که می بینید، الگوریتم استفاده از مشتق لگاریتمی حاوی هیچ ترفند یا ترفند خاصی نیست و یافتن مشتق تابع توان-نمایی معمولاً با "عذاب" مرتبط نیست.

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای جامع (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلا می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت هنوز علاوه بر اینچه اتفاقی خواهد افتاد. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بی نهایت به این معنا نیست برابر با صفر. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، وقتی یک تابع افزایش می‌یابد، مشتق مثبت و زمانی که کاهش می‌یابد منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده هیچ جا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین بین منفی و ارزش های مثبتقطعا باید وجود داشته باشد این جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرورفتگی نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

1. افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
2. همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این به این معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در این مورد بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

1. (به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

1. . باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
   بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
   این بدان معنی است که جذر ما فقط یک توان با یک توان است:
   .
   با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:

   اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)

2. . حال توان:

   و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
   ;
   .
   اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
   .

3. . ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

1. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
2. مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

1. ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به تابع توان. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
   نمای عادی:
   .
   عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

نما و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

اساس این تابع یک ثابت است - بی نهایت است اعشاری، یعنی عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: غرفه دار و لگاریتم طبیعی- توابع از نظر مشتقات به طور منحصر به فردی ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر بسپارید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x) \) در یک بازه زمانی مشخص که حاوی نقطه \(x_0\) در درون خود است تعریف شود. بیایید به آرگومان یک افزایش \(\Delta x\) بدهیم به طوری که از این بازه خارج نشود. بیایید افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام حرکت از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کرده و رابطه \(\frac(\Delta) را بسازیم. y) (\ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \(\Delta x \rightarrow 0\ وجود داشته باشد، آنگاه حد مشخص شده فراخوانی می شود. مشتق از یک تابع\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی مربوط به تابع y = f(x) است، که در تمام نقاط x تعریف شده است که در آن حد بالا وجود دارد. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f(x).

معنای هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر بتوان یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x=a رسم کرد که با محور y موازی نیست، آنگاه f(a) شیب مماس را بیان می کند. :
\(k = f"(a)\)

از آنجایی که \(k = tg(a) \)، پس برابری \(f"(a) = tan(a) \) صادق است.

حال بیایید تعریف مشتق را از دیدگاه برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، یعنی \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). معنی معنی دار برابری تقریبی حاصل به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در نقطه داده شدهایکس. برای مثال، برای تابع \(y = x^2\) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) معتبر است. اگر تعریف مشتق را به دقت تحلیل کنیم، متوجه خواهیم شد که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.

بیایید آن را فرموله کنیم.

چگونه مشتق تابع y = f(x) را پیدا کنیم؟

1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x)\) را پیدا کنید
2. به آرگومان \(x\) یک افزایش \(\Delta x\ بدهید، به یک نقطه جدید بروید \(x+ \Delta x\)، پیدا کنید \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ایجاد کنید
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع در نقطه x است.

اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x آن را متمایز می نامند. روش یافتن مشتق تابع y = f(x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).

اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: تداوم و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه با یکدیگر مرتبط هستند؟

اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M(x; f(x) رسم کرد، و به یاد بیاورید که ضریب زاویه ای مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکن" کند. در نقطه M، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.

اینها استدلال های "دستی" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. اگر در این برابری \(\Delta x \) به سمت صفر میل می کند، سپس \(\Delta y \) به سمت صفر میل می کند و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.

بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه پیوسته است.

جمله معکوس درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس را نتوان روی نمودار یک تابع رسم کرد، آنگاه مشتق در آن نقطه وجود ندارد.

یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x)\) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است، یعنی بر محور آبسیسا عمود است، معادله آن به شکل x = 0 است. ضریب شیبچنین خطی وجود ندارد، به این معنی که \(f"(0) \) نیز وجود ندارد

بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان از نمودار یک تابع نتیجه گرفت که قابل تمایز است؟

پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور آبسیسا نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار یک تابع وجود نداشته باشد یا بر محور آبسیسا عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.

قوانین تمایز

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضریب، مجموع، حاصلضرب توابع و همچنین "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را آسان تر می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ مشتق یک تابع مختلط:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

جدول مشتقات برخی از توابع

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

و قضیه مشتق تابع مختلط که فرمول آن به صورت زیر است:

اجازه دهید 1) تابع $u=\varphi (x)$ در نقطه ای از $x_0$ مشتق $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ باشد، 2) تابع $y=f(u)$ در نقطه مربوطه در نقطه $u_0=\varphi (x_0)$ مشتق $y_(u)"=f"(u)$ باشد. سپس تابع مختلط $y=f\left(\varphi (x) \right)$ در نقطه مذکور نیز مشتقی برابر حاصلضرب مشتقات توابع $f(u)$ و $\varphi خواهد داشت. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

یا به صورت کوتاه تر: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

در مثال‌های این بخش، همه توابع به شکل $y=f(x)$ هستند (یعنی فقط توابع یک متغیر $x$ را در نظر می‌گیریم). بر این اساس، در همه مثال‌ها مشتق $y"$ با توجه به متغیر $x$ گرفته شده است. برای تاکید بر اینکه مشتق با توجه به متغیر $x$ گرفته شده است، $y"_x$ اغلب به جای $y نوشته می‌شود. "$.

مثال های شماره 1، شماره 2 و شماره 3 روند دقیق برای یافتن مشتق توابع پیچیده را تشریح می کنند. مثال شماره 4 برای درک کاملتر جدول مشتق در نظر گرفته شده است و منطقی است که با آن آشنا شوید.

توصیه می شود پس از مطالعه مطالب در مثال های شماره 1-3 به سراغ آن بروید تصمیم مستقلنمونه های شماره 5، شماره 6 و شماره 7. نمونه های شماره 5، شماره 6 و شماره 7 شامل راه حل کوتاهتا خواننده صحت نتیجه خود را بررسی کند.

مثال شماره 1

مشتق تابع $y=e^(\cos x)$ را بیابید.

ما باید مشتق یک تابع مختلط $y"$ را پیدا کنیم. از آنجایی که $y=e^(\cos x)$، سپس $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. به مشتق $ \left(e^(\cos x)\right)"$ را پیدا کنید ما از فرمول شماره 6 از جدول مشتقات استفاده می کنیم. برای استفاده از فرمول شماره 6، باید این را در نظر بگیریم که در مورد ما $u=\cos x$. راه حل دیگر عبارت است از جایگزین کردن عبارت $\cos x$ به جای $u$ در فرمول شماره 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \راست)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \برچسب (1.1)$$

اکنون باید مقدار عبارت $(\cos x)"$ را پیدا کنیم. دوباره به جدول مشتقات می رویم و فرمول شماره 10 را از آن انتخاب می کنیم. با جایگزینی $u=x$ به فرمول شماره 10، داریم : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. حالا بیایید برابری (1.1) را ادامه دهیم و آن را با نتیجه یافت شده تکمیل کنیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \برچسب (1.2) $$

از آنجایی که $x"=1$، برابری (1.2) را ادامه می دهیم:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \برچسب (1.3) $$

بنابراین، از برابری (1.3) داریم: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. طبیعتاً از توضیحات و برابری های میانی معمولاً صرف نظر می شود و یافته های مشتق را در یک خط یادداشت می کنیم. همانطور که در برابری (1.3) بنابراین، مشتق یک تابع مختلط پیدا شده است، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است.

پاسخ: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

مثال شماره 2

مشتق تابع $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ را بیابید.

ما باید مشتق $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ را محاسبه کنیم. برای شروع، توجه می کنیم که ثابت (یعنی عدد 9) را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

حال به عبارت $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ می‌پردازیم. برای سهولت در انتخاب فرمول مورد نظر از جدول مشتقات، عبارت را ارائه می‌کنم. سوال به این شکل: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. اکنون مشخص است که باید از فرمول شماره 2 استفاده کرد، i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. بیایید $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ و $\alpha=12$ را در این فرمول جایگزین کنیم:

با تکمیل برابری (2.1) با نتیجه به دست آمده، داریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \برچسب (2.2) $$

در این شرایط، زمانی که حل کننده در مرحله اول، فرمول $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ را به جای فرمول انتخاب می کند، اغلب اشتباه می شود. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. نکته این است که مشتق تابع خارجی باید اول باشد. برای درک اینکه کدام تابع خارج از عبارت $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ خواهد بود، تصور کنید که مقدار عبارت $\arctg^(12)(4\cdot 5^) را محاسبه می کنید. x)$ با مقداری $x$. ابتدا مقدار $5^x$ را محاسبه می کنید، سپس نتیجه را در 4 ضرب می کنید و $4\cdot 5^x$ را بدست می آورید. حالا تانژانت را از این نتیجه می گیریم و $\arctg(4\cdot 5^x)$ را به دست می آوریم. سپس عدد حاصل را به توان دوازدهم می‌رسانیم و $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ را می‌گیریم. آخرین عمل، یعنی. افزایش به توان 12 یک تابع خارجی خواهد بود. و از اینجاست که باید شروع به یافتن مشتق کنیم که در برابری انجام شد (2.2).

اکنون باید $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ را پیدا کنیم. از فرمول شماره 19 جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=4\cdot \ln x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

بیایید با در نظر گرفتن $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$، عبارت حاصل را کمی ساده کنیم.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

برابری (2.2) اکنون تبدیل خواهد شد:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ برچسب (2.3) $$

باقی مانده است که $(4\cdot \ln x)"$ را پیدا کنیم. بیایید ثابت (یعنی 4) را از علامت مشتق خارج کنیم: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. برای برای پیدا کردن $(\ln x)"$ از فرمول شماره 8 استفاده می کنیم و $u=x$ را جایگزین آن می کنیم: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. از آنجایی که $x"=1$، پس $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ با جایگزینی نتیجه به دست آمده به فرمول (2.3)، به دست می آوریم:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \راست)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که مشتق یک تابع مختلط اغلب در یک خط یافت می شود، همانطور که در آخرین برابری نوشته شده است. بنابراین، هنگام تهیه محاسبات استاندارد یا کارهای کنترلی، اصلاً نیازی به توصیف راه حل با چنین جزئیاتی نیست.

پاسخ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

مثال شماره 3

$y"$ تابع $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ را پیدا کنید.

ابتدا، اجازه دهید کمی تابع $y$ را تبدیل کنیم و رادیکال (ریشه) را به عنوان یک توان بیان کنیم: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \راست)^(\frac(3)(7))$. حالا بیایید شروع به یافتن مشتق کنیم. از آنجایی که $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$، پس:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \برچسب (3.1) $$

بیایید از فرمول شماره 2 از جدول مشتقات استفاده کنیم و $u=\sin(5\cdot 9^x)$ و $\alpha=\frac(3)(7)$ را جایگزین آن کنیم:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

اجازه دهید برابری (3.1) را با استفاده از نتیجه به دست آمده ادامه دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \برچسب (3.2) $$

اکنون باید $(\sin(5\cdot 9^x))"$ را پیدا کنیم. برای این کار از فرمول شماره 9 از جدول مشتقات استفاده می کنیم و $u=5\cdot 9^x$ را جایگزین آن می کنیم:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

با تکمیل برابری (3.2) با نتیجه به دست آمده، داریم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \برچسب (3.3) $$

باقی مانده است که $(5\cdot 9^x)"$ را پیدا کنیم. ابتدا ثابت (عدد $5$) را خارج از علامت مشتق بگیریم، یعنی $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. برای پیدا کردن مشتق $(9^x)"$، فرمول شماره 5 جدول مشتقات را اعمال کنید و $a=9$ و $u=x$ را جایگزین آن کنید: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. از آنجایی که $x"=1$، سپس $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. اکنون می‌توانیم برابری (3.3) را ادامه دهیم:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

می‌توانیم دوباره از قدرت‌ها به رادیکال‌ها (یعنی ریشه‌ها) برگردیم و $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ را به شکل $\ بنویسیم. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. سپس مشتق به این شکل نوشته می شود:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

پاسخ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

مثال شماره 4

نشان دهید که فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتقات مورد خاصی از فرمول شماره 2 این جدول هستند.

فرمول شماره 2 جدول مشتقات مشتق تابع $u^\alpha$ است. با جایگزینی $\alpha=-1$ به فرمول شماره 2، دریافت می کنیم:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

از آنجایی که $u^(-1)=\frac(1)(u)$ و $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$، پس برابری (4.1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. این فرمول شماره 3 جدول مشتقات است.

اجازه دهید دوباره به فرمول شماره 2 جدول مشتقات بپردازیم. بیایید $\alpha=\frac(1)(2)$ را در آن جایگزین کنیم:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

از آنجایی که $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ و $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$، سپس برابری (4.2) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

برابری حاصل $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ فرمول شماره 4 جدول مشتقات است. همانطور که مشاهده می کنید فرمول های شماره 3 و شماره 4 جدول مشتق از فرمول شماره 2 با جایگزینی مقدار $\alpha$ مربوطه به دست می آیند.

تصميم گرفتن وظایف فیزیکییا مثال در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیمتجزیه و تحلیل ریاضی ما تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، فیزیکی آن چیست و معنی هندسیچگونه مشتق یک تابع را محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین محدودیتی چه فایده ای دارد؟ و در اینجا چیست:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکیمشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسطبرای مدت معین:

برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.

در مثال بالا به این عبارت برخورد می کنیم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.