چگونه y صفر را در یک تابع درجه دوم پیدا کنیم. نمودار یک تابع درجه دوم

ارائه و درس با موضوع:
"نمودار تابع $y=ax^2+bx+c$. خواص"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس 8
کتابچه راهنمای کتاب درسی توسط Dorofeev G.V. راهنمای کتاب درسی توسط Nikolsky S.M.

بچه ها، در آخرین درس هاما ساختیم تعداد زیادی ازنمودارها، از جمله بسیاری از سهمی ها. امروز دانشی را که به دست آورده‌ایم خلاصه می‌کنیم و یاد می‌گیریم که چگونه این تابع را در کلی‌ترین شکل آن ترسیم کنیم.
بیایید به مثلث درجه دوم $a*x^2+b*x+c$ نگاه کنیم. $a,b,c$ ضرایب نامیده می شوند. آنها می توانند هر عددی باشند، اما $a≠0$. $a*x^2$ اصطلاح اصلی نامیده می شود، $a$ ضریب پیشرو است. شایان ذکر است که ضرایب $b$ و $c$ می توانند باشند برابر با صفریعنی سه جمله ای از دو جمله تشکیل شده و سومی برابر با صفر است.

بیایید به تابع $y=a*x^2+b*x+c$ نگاه کنیم. این تابع "مربع" نامیده می شود زیرا بالاترین توان دوم است، یعنی مربع. ضرایب همان است که در بالا تعریف شده است.

در آخرین درس، در آخرین مثال، به ترسیم نمودار یک تابع مشابه نگاه کردیم.
بیایید ثابت کنیم که هر تابع درجه دوم را می توان به شکل $y=a(x+l)^2+m$ کاهش داد.

نمودار چنین تابعی با استفاده از سیستم اضافیمختصات در ریاضیات بزرگ، اعداد بسیار نادر هستند. تقریباً هر مشکلی باید در کلی ترین حالت اثبات شود. امروز به یکی از این شواهد نگاه خواهیم کرد. بچه ها، شما می توانید قدرت کامل دستگاه ریاضی، بلکه پیچیدگی آن را نیز ببینید.

برجسته کنیم مربع کاملاز یک مثلث درجه دوم:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$$= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
ما به آنچه می خواستیم رسیدیم.
هر تابع درجه دوم را می توان به صورت زیر نشان داد:
$y=a(x+l)^2+m$، که در آن $l=\frac(b)(2a)$، $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

برای رسم نمودار $y=a(x+l)^2+m$، باید تابع $y=ax^2$ را رسم کنید. علاوه بر این، راس سهمی در نقطه ای با مختصات $(-l;m)$ قرار خواهد گرفت.
بنابراین، تابع $y=a*x^2+b*x+c$ ما یک سهمی است.
محور سهمی خط مستقیم $x=-\frac(b)(2a)$ خواهد بود و مختصات راس سهمی در امتداد محور آبسیسا، همانطور که می بینیم، با فرمول $ محاسبه می شود. x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
برای محاسبه مختصات محور y راس سهمی، می توانید:

• از فرمول استفاده کنید: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$،
• مستقیماً مختصات راس را در امتداد $x$ به تابع اصلی جایگزین کنید: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

ترتیب یک راس را چگونه محاسبه کنیم؟ باز هم، انتخاب با شماست، اما معمولاً روش دوم برای محاسبه آسان تر خواهد بود.
اگر نیاز به توصیف برخی از ویژگی ها یا پاسخ به برخی سؤالات خاص دارید، همیشه نیازی به ایجاد نموداری از تابع ندارید. سوالات اصلی را که بدون ساخت و ساز می توان به آنها پاسخ داد در مثال زیر بررسی خواهیم کرد.

مثال 1.
بدون ترسیم نمودار تابع $y=4x^2-6x-3$، پاسخ دهید سوالات بعدی:

راه حل.
الف) محور سهمی خط مستقیم است $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) ) (4) دلار.
ب) آبسیسا راس را بالای $x_(c)=\frac(3)(4)$ پیدا کردیم.
ترتیب راس را با جایگزینی مستقیم به تابع اصلی پیدا می کنیم:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
ج) نمودار تابع مورد نیاز با انتقال موازی گراف $y=4x^2$ بدست خواهد آمد. شاخه های آن به سمت بالا نگاه می کنند، به این معنی که شاخه های سهمی تابع اصلی نیز به سمت بالا نگاه می کنند.
به طور کلی، اگر ضریب $a>0$ باشد، اگر ضریب $a باشد، شاخه ها به سمت بالا نگاه می کنند.
مثال 2.
نمودار تابع: $y=2x^2+4x-6$.

راه حل.
بیایید مختصات راس سهمی را پیدا کنیم:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
مختصات راس را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم. در این مرحله، گویی در سیستم جدیدمختصات ما یک سهمی $y=2x^2$ خواهیم ساخت.

راه های زیادی برای ساده سازی ساخت نمودار سهمی وجود دارد.

• ما می توانیم دو نقطه متقارن را پیدا کنیم، مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنیم، آنها را در صفحه مختصات علامت گذاری کنیم و آنها را به راس منحنی توصیف کننده سهمی متصل کنیم.
• می توانیم شاخه ای از سهمی را در سمت راست یا چپ راس بسازیم و سپس آن را منعکس کنیم.
• ما می توانیم نقطه به نقطه بسازیم.

مثال 3.
پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین ارزشتوابع: $y=-x^2+6x+4$ در بازه $[-1;6]$.

راه حل.
بیایید یک نمودار از این تابع بسازیم، بازه مورد نیاز را انتخاب کنیم و پایین ترین و بالاترین نقطه نمودار خود را پیدا کنیم.
بیایید مختصات راس سهمی را پیدا کنیم:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
در نقطه ای با مختصات $(3;13)$ یک سهمی $y=-x^2$ می سازیم. بیایید بازه مورد نیاز را انتخاب کنیم. پایین ترین نقطه دارای مختصات -3، بیشترین است نقطه اوج- مختصات 13.
$y_(name)=-3$; $y_(حداکثر)=13$.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. بدون ترسیم نمودار تابع $y=-3x^2+12x-4$، به سوالات زیر پاسخ دهید:
الف) خط مستقیمی را که به عنوان محور سهمی عمل می کند، مشخص کنید.
ب) مختصات راس را بیابید.
ج) سهمی به کدام سمت (بالا یا پایین) اشاره می کند؟
2. نموداری از تابع بسازید: $y=2x^2-6x+2$.
3. نمودار تابع: $y=-x^2+8x-4$.
4. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید: $y=x^2+4x-3$ در بخش $[-5;2]$.

تابع درجه دوم تابعی از شکل زیر است:
y=a*(x^2)+b*x+c،
که در آن a ضریب بالاترین درجه مجهول x است،
b - ضریب برای x مجهول،
و c یک عضو رایگان است.
نمودار یک تابع درجه دوم منحنی است که سهمی نامیده می شود. نمای کلی سهمی در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 1 نمای کلی سهمی.

مقدار کمی وجود دارد به طرق مختلفرسم تابع درجه دوم ما به اصلی ترین و کلی ترین آنها خواهیم پرداخت.

الگوریتم رسم تابع درجه دوم y=a*(x^2)+b*x+c

1. یک سیستم مختصات بسازید، یک قطعه واحد را علامت بزنید و محورهای مختصات را برچسب بزنید.

2. جهت شاخه های سهمی (بالا یا پایین) را تعیین کنید.
برای این کار باید به علامت ضریب a نگاه کنید. اگر مثبت وجود داشته باشد، شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، اگر منفی وجود دارد، شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند.

3. مختصات x راس سهمی را تعیین کنید.
برای این کار باید از فرمول Xvertex = -b/2*a استفاده کنید.

4. مختصات راس سهمی را تعیین کنید.
برای انجام این کار، به جای x، مقدار Xverhiny را که در مرحله قبل یافت شد، جایگزین معادله Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c کنید.

5. نقطه به دست آمده را روی نمودار رسم کنید و یک محور تقارن را از میان آن رسم کنید، موازی با محور مختصات Oy.

6. نقاط تقاطع نمودار را با محور Ox بیابید.
برای این کار باید معادله درجه دوم a*(x^2)+b*x+c = 0 را با استفاده از یکی از روش های شناخته شده حل کنید. اگر معادله ریشه واقعی نداشته باشد، نمودار تابع محور Ox را قطع نمی کند.

7. مختصات نقطه تقاطع نمودار با محور Oy را بیابید.
برای این کار مقدار x=0 را جایگزین معادله می کنیم و مقدار y را محاسبه می کنیم. این و یک نقطه متقارن با آن را در نمودار علامت گذاری می کنیم.

8. مختصات یک نقطه دلخواه A(x,y) را پیدا کنید.
برای انجام این کار، یک مقدار دلخواه برای مختصات x انتخاب کنید و آن را در معادله خود جایگزین کنید. در این مرحله مقدار y را بدست می آوریم. نقطه را روی نمودار رسم کنید. و همچنین نقطه ای را در نمودار مشخص کنید که با نقطه A(x,y) متقارن باشد.

9. نقاط به دست آمده روی نمودار را با یک خط صاف به هم وصل کرده و نمودار را فراتر از آن ادامه دهید نقاط افراطی، تا انتهای محور مختصات. گراف را روی لیدر یا در صورت اجازه فضا در امتداد خود نمودار برچسب بزنید.

نمونه نقشه کشی

به عنوان مثال، اجازه دهید یک تابع درجه دوم را رسم کنیم توسط معادله داده شده است y=x^2+4*x-1
1. محورهای مختصات را رسم کنید، آنها را برچسب بزنید و یک قطعه واحد را علامت بزنید.
2. مقادیر ضرایب a=1، b=4، c= -1. از آنجایی که a=1 که بزرگتر از صفر است، شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.
3. مختصات X راس سهمی را تعیین کنید Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. مختصات Y راس سهمی را تعیین کنید
رئوس = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. راس را علامت گذاری کنید و محور تقارن را رسم کنید.
6. نقاط تلاقی نمودار تابع درجه دوم را با محور Ox بیابید. معادله درجه دوم x^2+4*x-1=0 را حل می کنیم.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. مقادیر به دست آمده را روی نمودار علامت گذاری می کنیم.
7. نقاط تقاطع نمودار با محور Oy را بیابید.
x=0; y=-1
8. یک نقطه دلخواه B را انتخاب کنید. بگذارید مختصات x=1 داشته باشد.
سپس y=(1)^2 + 4*(1)-1=4.
9. نقاط به دست آمده را به هم وصل کرده و نمودار را امضا کنید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

همانطور که تمرین نشان می دهد، وظایف مربوط به ویژگی ها و نمودارهای یک تابع درجه دوم مشکلات جدی ایجاد می کند. این کاملاً عجیب است، زیرا آنها تابع درجه دوم را در کلاس هشتم مطالعه می کنند و سپس در طول سه ماهه اول کلاس نهم ویژگی های سهمی را "عذاب" می کنند و نمودارهای آن را برای پارامترهای مختلف می سازند.

این به این دلیل است که هنگام وادار کردن دانش آموزان به ساخت سهمی، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که پس از ساخت یک دوجین یا دو نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و فرمول را کشف و فرموله خواهد کرد. ظاهرهنرهای گرافیکی در عمل این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است، که البته اکثر دانش آموزان کلاس نهم از آن بی بهره هستند. در همین حال، سازمان بازرسی دولتی پیشنهاد می کند که علائم ضرایب را با استفاده از برنامه تعیین کند.

ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه خواهیم داد.

بنابراین، تابعی از فرم y = تبر 2 + bx + cبه نام درجه دوم، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، اصطلاح اصلی است تبر 2. به این معنا که آنباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقیمانده ( بو با) می تواند برابر با صفر باشد.

بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر یک سهمی تأثیر می گذارد.

ساده ترین وابستگی برای ضریب آ. اکثر دانش‌آموزان با اطمینان پاسخ می‌دهند: «اگر آ> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر آ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой آ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

در این مورد آ = 0,5

و اکنون برای آ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

در این مورد آ = - 0,5

تاثیر ضریب بادنبال کردن آن نیز بسیار آسان است. بیایید تصور کنیم که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:

y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. به این معنا که بامنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به طور معمول، این نقطه به راحتی در نمودار پیدا می شود. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. به این معنا که با> 0 یا با < 0.

با > 0:

y = x 2 + 4x + 3

با < 0

y = x 2 + 4x - 3

بر این اساس، اگر با= 0، پس سهمی لزوماً از مبدا عبور می کند:

y = x 2 + 4x

با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از آ. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x در = - b/(2a). بدین ترتیب، b = - 2x اینچ. یعنی به صورت زیر عمل می کنیم: راس سهمی را روی نمودار پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.

با این حال، این همه چیز نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم آ. یعنی ببینید شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2x اینچعلامت را تعیین کنید ب.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، یعنی آ> 0، سهمی محور را قطع می کند درزیر صفر یعنی با < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2x اینچ = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: آ > 0, ب < 0, با < 0.