ریشه طبیعی و خواص آن ریشه دوم. راهنمای جامع (2019)

در این مقاله به معرفی می پردازیم مفهوم ریشه یک عدد. ما به ترتیب عمل خواهیم کرد: با ریشه دوم شروع می کنیم، از آن به شرح ریشه مکعب می رویم، پس از آن با تعریف ریشه درجه n مفهوم ریشه را تعمیم می دهیم. ضمناً به معرفی تعاریف، نشانه گذاری، مثال هایی از ریشه و توضیحات و نظرات لازم می پردازیم.

جذر، جذر حسابی

برای درک تعریف ریشه یک عدد، و به طور خاص جذر، باید . در این مرحله، ما اغلب با قدرت دوم یک عدد - مربع یک عدد - مواجه خواهیم شد.

بیا شروع کنیم با تعاریف ریشه مربع.

تعریف

جذر aعددی است که مربع آن a است.

به منظور آوردن مثال ها ریشه های مربع ، چندین عدد را به عنوان مثال 5، −0.3، 0.3، 0 در نظر بگیرید و آنها را مربع کنید، به ترتیب اعداد 25، 0.09، 0.09 و 0 را بدست می آوریم (5 2 = 5 5 = 25، (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09، (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 و 0 2 =0 0=0). سپس طبق تعریف بالا، 5 جذر 25 است، 0.3- و 0.3 جذر 0.09 و 0 جذر صفر است.

لازم به ذکر است که برای هیچ عددی a وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. یعنی برای هر عدد منفی a هیچ عدد حقیقی b وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. در واقع، برابری a=b 2 برای هر منفی a غیرممکن است، زیرا b 2 نیست عدد منفیبرای هر ب. به این ترتیب، در مجموعه اعداد حقیقی هیچ جذری از یک عدد منفی وجود ندارد. به عبارت دیگر، روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریف نشده و معنایی ندارد.

از این رو به شرح زیر است سوال منطقی: "و برای هر غیر منفی a یک جذر a وجود دارد"؟ پاسخ بله است. دلیل این واقعیت را می توان روشی سازنده در نظر گرفت که برای یافتن مقدار جذر استفاده می شود.

سپس سؤال منطقی زیر مطرح می شود: "تعداد تمام ریشه های مربع یک عدد غیر منفی a - یک، دو، سه یا حتی بیشتر" چقدر است؟ پاسخ آن این است: اگر a صفر باشد، تنها جذر صفر صفر است. اگر a عددی مثبت باشد، تعداد ریشه‌های مربع از عدد a برابر با دو است و ریشه‌ها برابر هستند. بیایید این را ثابت کنیم.

بیایید با حالت a=0 شروع کنیم. اجازه دهید ابتدا نشان دهیم که صفر در واقع جذر صفر است. این از برابری آشکار 0 2 = 0·0=0 و تعریف جذر به دست می آید.

حالا بیایید ثابت کنیم که 0 تنها جذر صفر است. از روش مخالف استفاده کنیم. بیایید فرض کنیم یک عدد غیر صفر b وجود دارد که جذر صفر است. سپس شرط b 2 = 0 باید برآورده شود، که غیرممکن است، زیرا برای هر b غیر صفر مقدار عبارت b 2 مثبت است. ما به یک تناقض رسیده ایم. این ثابت می کند که 0 تنها جذر صفر است.

بیایید به مواردی برویم که a یک عدد مثبت است. در بالا گفتیم که همیشه یک جذر از هر عدد غیر منفی وجود دارد، اجازه دهید b جذر a باشد. فرض کنید یک عدد c وجود دارد که آن هم جذر a است. سپس، با تعریف جذر، تساوی b 2 =a و c 2 =a معتبر هستند که از آن نتیجه می شود که b 2 −c 2 =a−a=0، اما چون b 2 −c 2 =( b−c) (b+c)، سپس (b−c) (b+c)=0. برابری حاصل در قوه ویژگی های اعمال با اعداد واقعیتنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b+c=0 باشد. بنابراین اعداد b و c برابر یا مخالف هستند.

اگر فرض کنیم که یک عدد d وجود داشته باشد که جذر دیگری از عدد a است، با استدلالی مشابه آنچه قبلا داده شد، ثابت می شود که d برابر با عدد b یا عدد c است. بنابراین، تعداد ریشه های مربع یک عدد مثبت دو است و ریشه های مربع اعداد متضاد هستند.

برای راحتی کار با ریشه های مربع، ریشه منفی از مثبت "جدا" می شود. برای این منظور معرفی می کند تعریف جذر حسابی.

تعریف

جذر حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

برای جذر حسابی عدد a، نماد پذیرفته می شود. علامت را علامت جذر حسابی می نامند. به آن علامت رادیکال نیز می گویند. بنابراین، تا حدی می توانید هر دو "ریشه" و "رادیکال" را بشنوید، که به معنای یک شی است.

عدد زیر علامت جذر حسابی نامیده می شود شماره ریشهو عبارت زیر علامت ریشه - بیان رادیکال، در حالی که اصطلاح "عدد رادیکال" اغلب با "بیان رادیکال" جایگزین می شود. به عنوان مثال، در نماد، عدد 151 یک عدد رادیکال است و در نماد، عبارت a یک عبارت رادیکال است.

هنگام خواندن، اغلب کلمه "حساب" حذف می شود، برای مثال، مدخل به عنوان "ریشه دوم هفت نقطه بیست و نه صدم" خوانده می شود. فقط زمانی از کلمه "حساب" استفاده می شود که بخواهند بر آن تاکید کنند ما در مورد صحبت می کنیمدر مورد جذر مثبت یک عدد

با توجه به نماد معرفی شده، از تعریف جذر حسابی چنین بر می آید که برای هر عدد غیر منفی a.

جذر یک عدد مثبت a با علامت جذر حسابی به صورت و نوشته می شود. برای مثال، جذرهای 13 عبارتند از و. جذر حسابی صفر صفر، به این معنا که، . برای اعداد منفی a، تا زمانی که مطالعه نکنیم، معنی را به مدخل ها اضافه نمی کنیم اعداد مختلط. به عنوان مثال، عبارات و بی معنی هستند.

بر اساس تعریف ریشه مربع، خواص ریشه مربع ثابت می شود که اغلب در عمل استفاده می شود.

برای نتیجه‌گیری این بخش، توجه می‌کنیم که ریشه‌های مربع یک عدد با توجه به متغیر x جواب‌هایی به شکل x 2 =a هستند.

ریشه مکعبی از

تعریف ریشه مکعبیعدد a به روشی مشابه با تعریف جذر داده شده است. فقط بر اساس مفهوم مکعب یک عدد است نه مربع.

تعریف

ریشه مکعبی aعددی که مکعب آن برابر با a باشد نامیده می شود.

بیاوریم نمونه هایی از ریشه های مکعبی. برای انجام این کار، چندین عدد را بگیرید، به عنوان مثال، 7، 0، −2/3، و آنها را مکعب کنید: 7 3 = 7 7 7=343، 0 3 =0 0 0=0، . سپس بر اساس تعریف ریشه مکعب می توان استدلال کرد که عدد 7 است ریشه مکعبیاز 343، 0 ریشه مکعبی صفر و 2/3 ریشه مکعبی 27/8- است.

می توان نشان داد که ریشه مکعبی عدد a، برخلاف جذر، همیشه وجود دارد و نه تنها برای غیرمنفی a، بلکه برای هر عدد حقیقی a نیز وجود دارد. برای این کار می توانید از همان روشی که در هنگام مطالعه جذر گفتیم استفاده کنید.

علاوه بر این، تنها یک ریشه مکعبی از یک عدد معین a وجود دارد. اجازه دهید ادعای آخر را ثابت کنیم. برای این کار سه حالت را جداگانه در نظر بگیرید: a یک عدد مثبت، a=0 و a یک عدد منفی است.

به راحتی می توان نشان داد که برای a مثبت، ریشه مکعب a نمی تواند منفی یا صفر باشد. در واقع، اجازه دهید b ریشه مکعب a باشد، سپس با تعریف می توانیم برابری b 3 =a را بنویسیم. واضح است که این برابری نمی تواند برای منفی b و b=0 صادق باشد، زیرا در این موارد b 3 =b·b·b به ترتیب یک عدد منفی یا صفر خواهد بود. بنابراین ریشه مکعب یک عدد مثبت a یک عدد مثبت است.

حال فرض کنید علاوه بر عدد b یک ریشه مکعبی دیگر از عدد a وجود داشته باشد، آن را به c نشان می دهیم. سپس c 3 =a. بنابراین، b 3 −c 3 =a−a=0، اما b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(این فرمول ضرب اختصاری است تفاوت مکعب هااز آنجا (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . برابری حاصل تنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b 2 +b c+c 2 =0 باشد. از تساوی اول b=c داریم و تساوی دوم هیچ جوابی ندارد، زیرا سمت چپ آن یک عدد مثبت برای هر عدد مثبت b و c به عنوان مجموع سه جمله مثبت b 2 , b c و c 2 است. این منحصر به فرد بودن ریشه مکعب یک عدد مثبت a را ثابت می کند.

برای a=0، تنها ریشه مکعبی a صفر است. در واقع، اگر فرض کنیم که یک عدد b وجود دارد، که یک ریشه مکعبی غیر صفر صفر است، باید برابری b 3 = 0 برقرار باشد، که فقط زمانی ممکن است که b=0 باشد.

برای a منفی، می توان مشابه حالت a مثبت استدلال کرد. ابتدا نشان می دهیم که ریشه مکعب یک عدد منفی نمی تواند برابر با عدد مثبت یا صفر باشد. ثانیاً، فرض می کنیم که یک ریشه مکعب دوم از یک عدد منفی وجود دارد و نشان می دهیم که لزوماً با عدد اول منطبق خواهد شد.

بنابراین، همیشه یک ریشه مکعبی از هر عدد واقعی داده شده a وجود دارد، و فقط یک.

بدهیم تعریف ریشه مکعب حسابی.

تعریف

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی aعدد غیر منفی که مکعب آن برابر با a باشد نامیده می شود.

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی a را به صورت نشان می دهند، علامت را علامت ریشه مکعب حسابی می نامند، عدد 3 در این نماد نامیده می شود. نشانگر ریشه. عدد زیر علامت ریشه است شماره ریشه، عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال.

اگرچه ریشه مکعب حسابی فقط برای اعداد غیر منفی a تعریف می شود، اما استفاده از ورودی هایی که در آنها اعداد منفی زیر علامت ریشه مکعب حسابی قرار دارند نیز راحت است. ما آنها را به صورت زیر درک خواهیم کرد: ، که در آن a یک عدد مثبت است. مثلا، .

در مقاله کلی خواص ریشه در مورد خواص ریشه مکعبی صحبت خواهیم کرد.

محاسبه مقدار ریشه مکعب استخراج ریشه مکعب نامیده می شود، این عمل در مقاله استخراج ریشه ها: روش ها، مثال ها، راه حل ها مورد بحث قرار گرفته است.

برای نتیجه گیری این بخش فرعی، می گوییم که ریشه مکعب a حلی به شکل x 3 =a است.

ریشه N ام، ریشه حسابی n

ما مفهوم ریشه را از یک عدد تعمیم می دهیم - معرفی می کنیم تعیین ریشه nبرای n.

تعریف

ریشه n ام aعددی است که توان n آن برابر با a است.

از جانب این تعریفواضح است که ریشه درجه اول از عدد a خود عدد a است ، زیرا هنگام مطالعه درجه با یک شاخص طبیعی ، 1 \u003d a گرفتیم.

در بالا، موارد خاصی از ریشه درجه n را برای n=2 و n=3 در نظر گرفتیم - ریشه مربع و ریشه مکعب. یعنی ریشه دوم ریشه درجه دوم و ریشه مکعب ریشه درجه سوم است. برای مطالعه ریشه های درجه n برای n=4، 5، 6، ...، راحت است که آنها را به دو گروه تقسیم کنیم: گروه اول - ریشه های درجات زوج (یعنی برای n=4، 6 ، 8، ...)، گروه دوم - ریشه ها درجات فرد (یعنی برای n=5، 7، 9، ... ). این به این دلیل است که ریشه های درجات زوج شبیه به جذر و ریشه های درجات فرد شبیه به ریشه مکعب است. بیایید به نوبه خود با آنها برخورد کنیم.

ما با ریشه هایی شروع می کنیم که قدرت آن ها هستند اعداد زوج 4، 6، 8، ... همانطور که قبلاً گفتیم، آنها مشابه جذر a هستند. یعنی ریشه هر درجه زوج از عدد a فقط برای غیر منفی a وجود دارد. علاوه بر این، اگر a=0 باشد، ریشه a یکتا و برابر با صفر است و اگر a>0 باشد، دو ریشه با درجه زوج از عدد a وجود دارد که اعداد متضاد هستند.

اجازه دهید ادعای آخر را توجیه کنیم. فرض کنید b یک ریشه با درجه زوج باشد (آن را 2 m نشان می دهیم که m مقداری است عدد طبیعی) از شماره a . فرض کنید یک عدد c وجود دارد - 2 متر ریشه دیگر a. سپس b 2 m −c 2 m =a−a=0 . اما ما از شکل b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) می دانیم. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)، سپس (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. از این تساوی نتیجه می شود که b−c=0 یا b+c=0 یا b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. دو برابر اول به این معنی است که اعداد b و c مساوی هستند یا b و c مقابل یکدیگر. و آخرین تساوی فقط برای b=c=0 معتبر است، زیرا سمت چپ آن شامل عبارتی است که برای هر b و c به عنوان مجموع اعداد غیر منفی غیر منفی است.

در مورد ریشه های درجه n برای n فرد، آنها شبیه به ریشه مکعب هستند. یعنی ریشه هر درجه فرد از عدد a برای هر عدد واقعی a وجود دارد و برای عدد معین a منحصر به فرد است.

منحصر به فرد بودن ریشه درجه فرد 2·m+1 از عدد a با قیاس با اثبات منحصر به فرد بودن ریشه مکعب از a ثابت می شود. فقط اینجا به جای برابری a 3-b 3 =(a-b) (a 2 +a b+c 2)برابری به شکل b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b-c) (b 2 m + b 2 m-1 c+b 2 m-2 c 2 +… +c 2 m). عبارت در پرانتز آخر را می توان به صورت بازنویسی کرد b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). مثلا برای m=2 داریم b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 + c 4) = (b−c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). وقتی a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی هستند، حاصل ضرب آنها یک عدد مثبت است، سپس عبارت b 2 + c 2 + b c است که در داخل پرانتز است. درجه بالاتودرتو به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت است. حال، با حرکت متوالی به عبارات داخل پرانتز درجات قبلی تودرتو، مطمئن می شویم که آنها نیز به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت باشند. در نتیجه، برابری b 2 m+1 -c 2 m+1 = را بدست می آوریم (b−c) (b 2 m + b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0تنها زمانی ممکن است که b−c=0 باشد، یعنی زمانی که عدد b برابر با عدد c باشد.

وقت آن است که به علامت گذاری ریشه های درجه n بپردازیم. برای این، داده می شود تعیین ریشه حسابی درجه n.

تعریف

ریشه حسابی درجه n یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی نامیده می شود که توان n آن برابر با a است.

ویژگی های اصلی تابع توان، از جمله فرمول ها و خواص ریشه ها آورده شده است. مشتق، انتگرال، بسط در سری پاورو نمایش با استفاده از اعداد مختلط یک تابع توان.

تعریف

تعریف
تابع توان با توان pتابع f است (x) = xp، که مقدار آن در نقطه x برابر با مقدار تابع نمایی با پایه x در نقطه p است.
علاوه بر این، f (0) = 0 p = 0برای p > 0 .

برای ارزش های طبیعیتوان، تابع توان حاصل ضرب n عدد برابر با x است:
.
برای همه واقعی تعریف شده است.

برای مقادیر گویا مثبت توان، تابع توان حاصل ضرب n ریشه درجه m از عدد x است:
.
برای m فرد، برای تمام x واقعی تعریف می شود. برای حتی m، تابع توان برای غیر منفی تعریف شده است.

برای منفی، تابع توان با فرمول تعریف می شود:
.
بنابراین، در نقطه تعریف نشده است.

برای مقادیر غیر منطقی توان p، تابع نمایی با فرمول تعیین می شود:
,
که در آن a یک عدد مثبت دلخواه است، نه برابر با یک: .
برای، برای تعریف شده است.
برای، تابع قدرت برای تعریف شده است.

تداوم. یک تابع توان در دامنه تعریف خود پیوسته است.

ویژگی ها و فرمول های تابع توان برای x ≥ 0

در اینجا ویژگی های تابع توان را برای not در نظر می گیریم مقادیر منفیآرگومان x همانطور که در بالا ذکر شد، برای برخی از مقادیر توان p، تابع نمایی نیز برای مقادیر منفی x تعریف شده است. در این حالت، می‌توان ویژگی‌های آن را با استفاده از برابری زوج یا فرد از ویژگی‌های در به دست آورد. این موارد در صفحه "" به تفصیل مورد بحث و بررسی قرار گرفته است.

یک تابع توان، y = x p، با توان p دارای ویژگی های زیر است:
(1.1) تعریف شده و پیوسته روی مجموعه
در
در ;
(1.2) معانی زیادی دارد
در
در ;
(1.3) به شدت افزایش می یابد،
به شدت کاهش می یابد در ;
(1.4) در ;
در ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

اثبات خواص در صفحه تابع قدرت (اثبات تداوم و خواص) آورده شده است.

ریشه ها - تعریف، فرمول ها، خواص

تعریف
ریشه x به توان nعددی است که افزایش آن به توان n x را به دست می دهد:
.
در اینجا n = 2, 3, 4, ... یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است.

همچنین می توان گفت که ریشه عدد x از درجه n، ریشه (یعنی جواب) معادله است.
.
توجه داشته باشید که تابع معکوس تابع است.

جذر xریشه درجه 2 است: .

ریشه مکعب xریشه درجه 3 است: .

حتی مدرک

برای توان های زوج n = 2 متر، ریشه برای x ≥ تعریف شده است 0 . فرمول پرکاربرد برای x مثبت و منفی معتبر است:
.
برای ریشه مربع:
.

ترتیب انجام عملیات در اینجا مهم است - یعنی ابتدا مربع کردن انجام می شود و در نتیجه یک عدد غیر منفی به دست می آید و سپس ریشه از آن استخراج می شود (از یک عدد غیر منفی می توانید ریشه دوم را استخراج کنید. ). اگر ترتیب: را تغییر دهیم، آنگاه برای x منفی ریشه تعریف نشده خواهد بود و با آن کل عبارت تعریف نشده خواهد بود.

درجه عجیب و غریب

برای توان های فرد، ریشه برای تمام x ها تعریف می شود:
;
.

خواص و فرمول ریشه ها

ریشه x یک تابع توان است:
.
برای x ≥ 0 فرمول های زیر برقرار است:
;
;
, ;
.

این فرمول ها را می توان برای مقادیر منفی متغیرها نیز اعمال کرد. فقط باید اطمینان حاصل شود که بیان رادیکال حتی قدرت ها منفی نیست.

ارزش های خصوصی

ریشه 0 برابر 0 است: .
ریشه 1 برابر 1 است: .
جذر 0 برابر 0 است: .
جذر 1 برابر است با 1: .

مثال. ریشه از ریشه

مثالی از جذر ریشه ها را در نظر بگیرید:
.
با استفاده از فرمول های بالا، جذر داخلی را تبدیل کنید:
.
حالا بیایید ریشه اصلی را تبدیل کنیم:
.
بنابراین،
.

y = x p برای مقادیر مختلف توان p.

در اینجا نمودارهای تابع برای مقادیر غیر منفی آرگومان x آمده است. نمودارهای تابع توان تعریف شده برای مقادیر منفی x در صفحه "تابع قدرت، خواص و نمودارهای آن" آورده شده است.

تابع معکوس

معکوس تابع توان با توان p یک تابع توان با توان 1/p است.

اگر پس از آن .

مشتق تابع قدرت

مشتق از مرتبه n:
;

اشتقاق فرمول ها > > >

انتگرال یک تابع قدرت

P≠- 1 ;
.

گسترش سری پاور

در - 1 < x < 1 تجزیه زیر انجام می شود:

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابعی از متغیر مختلط z را در نظر بگیرید:
f (z) = z t.
متغیر مختلط z را بر حسب مدول r و آرگومان φ (r = |z| ) بیان می کنیم:
z = r e i φ .
عدد مختلط t را به صورت قطعات واقعی و خیالی نشان می دهیم:
t = p + i q .
ما داریم:

علاوه بر این، ما در نظر می گیریم که آرگومان φ به طور یکتا تعریف نشده است:
,

موردی را در نظر بگیرید که q = 0 ، یعنی توان یک عدد واقعی است، t = p. سپس
.

اگر p یک عدد صحیح باشد، kp نیز یک عدد صحیح است. سپس به دلیل تناوب توابع مثلثاتی:
.
به این معنا که تابع نماییبا یک توان صحیح، برای z معین، فقط یک مقدار دارد و بنابراین تک مقدار است.

اگر p غیر منطقی است، پس حاصلضرب kp برای هیچ k عدد صحیحی به دست نمی دهد. از آنجایی که k از یک سری نامتناهی از مقادیر عبور می کند k = 0، 1، 2، 3، ...، سپس تابع z p دارای مقادیر بی نهایت زیادی است. هر زمان که آرگومان z افزایش یابد 2 π(یک نوبت)، به شاخه جدیدی از تابع می رویم.

اگر p منطقی باشد، می توان آن را به صورت زیر نشان داد:
، جایی که m، nاعداد صحیح بدون مقسوم علیه مشترک هستند. سپس
.
n مقدار اول، برای k = k 0 = 0، 1، 2، ... n-1، داده شده معانی مختلف kp:
.
با این حال، مقادیر بعدی مقادیری را ارائه می دهند که با مقادیر قبلی با یک عدد صحیح متفاوت است. به عنوان مثال، برای k = k 0+nما داریم:
.
توابع مثلثاتی، که آرگومان های آن چندین برابر متفاوت است 2 پی، دارند مقادیر مساوی. بنابراین، با افزایش بیشتر k، همان مقادیر z p را برای k = k به دست می آوریم 0 = 0، 1، 2، ... n-1.

بنابراین، یک تابع نمایی با یک توان گویا چند ارزشی است و دارای n مقدار (شاخه) است. هر زمان که آرگومان z افزایش یابد 2 پی(یک نوبت)، به شاخه جدیدی از تابع می رویم. پس از n دور چنین چرخشی، به اولین شاخه ای که شمارش معکوس از آن شروع شد، باز می گردیم.

به طور خاص، ریشه درجه n دارای n مقدار است. به عنوان مثال، ریشه n یک عدد مثبت واقعی z = x را در نظر بگیرید. در این مورد φ 0 = 0، z = r = |z| = x, .
.
بنابراین، برای جذر، n = 2 ,
.
حتی برای k (- 1 ) k = 1. برای k فرد، (- 1 ) k = - 1.
یعنی جذر دو معنی دارد: + و -.

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

متن درس در کلاس 11 با موضوع:

ریشه n ام یک عدد واقعی. »

هدف از درس:شکل گیری دیدگاه کل نگر از ریشه در دانش آموزان nدرجه ام و ریشه حسابی درجه نهم، شکل گیری مهارت های محاسباتی، مهارت های خودآگاه و استفاده منطقیخواص ریشه در حل مسائل مختلف حاوی رادیکال. برای بررسی میزان تسلط دانش آموزان به سوالات موضوع.

موضوع:ایجاد شرایط معنادار و سازمانی برای جذب مطالب در مورد موضوع "عبارات عددی و الفبایی » در سطح ادراک، درک و حفظ اولیه؛ برای ایجاد توانایی اعمال این اطلاعات هنگام محاسبه ریشه درجه n از یک عدد واقعی.

فرا موضوع:ترویج توسعه مهارت های محاسباتی؛ توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، نتیجه گیری؛

شخصی:پرورش توانایی بیان دیدگاه خود، گوش دادن به پاسخ های دیگران، شرکت در گفتگو، ایجاد توانایی همکاری مثبت.

نتیجه برنامه ریزی شده

موضوع: قادر به اعمال خواص ریشه درجه n از یک عدد واقعی در فرآیند یک موقعیت واقعی در هنگام محاسبه ریشه ها، حل معادلات باشد.

شخصی: ایجاد توجه و دقت در محاسبات ، نگرش خواستار نسبت به خود و کار خود ، پرورش حس کمک متقابل.

نوع درس: درس مطالعه و تثبیت اولیه دانش جدید

انگیزه فعالیت های یادگیری:

حکمت شرقی می گوید: «می توانی اسب را به آب بکشی، اما نمی توانی او را بنوشی». و غیرممکن است که فرد را وادار به مطالعه خوب کنیم، اگر خودش تلاشی برای یادگیری بیشتر نداشته باشد، تمایلی به کار روی رشد ذهنی خود نداشته باشد. از این گذشته، دانش تنها زمانی دانش است که با تلاش فکر فرد به دست بیاید، نه تنها با حافظه.

درس ما با این شعار برگزار می شود: "هر قله ای را اگر برای آن تلاش کنیم فتح خواهیم کرد." در طول درس، من و شما باید برای غلبه بر چندین قله زمان داشته باشیم و هر یک از شما باید تمام تلاش خود را برای فتح این قله ها به کار گیرید.

"امروز درسی داریم که در آن باید با مفهوم جدیدی آشنا شویم: "ریشه درجه n" و یاد بگیریم که چگونه این مفهوم را در تبدیل عبارات مختلف به کار ببریم.

هدف شما بر اساس آن است اشکال گوناگونبرای فعال کردن دانش موجود، کمک به مطالعه مطالب و کسب نمرات خوب کار کنید.
ما جذر یک عدد واقعی را در کلاس هشتم مطالعه کردیم. جذر به تابع view مربوط می شود y=ایکس 2. بچه ها یادتون هست ریشه های مربع رو چجوری حساب کردیم و چه خواصی داشت؟
الف) نظرسنجی فردی:

این بیان چیست

جذر چیست

جذر حسابی چیست

خواص جذر را فهرست کنید

ب) دوتایی کار کنید: محاسبه کنید.

-

2. به روز رسانی دانش و ایجاد یک موقعیت مشکل:معادله x 4 = 1 را حل کنید. چگونه ما میتوانیم این را حل کنیم؟ (تحلیلی و گرافیکی). بیایید آن را به صورت گرافیکی حل کنیم. برای انجام این کار، در یک سیستم مختصات، نموداری از تابع y \u003d x 4 خط مستقیم y \u003d 1 می سازیم (شکل 164 a). آنها در دو نقطه متقاطع می شوند: A (-1;1) و B(1;1). ابسیساهای نقاط A و B، i.e. x 1 \u003d -1،

x 2 \u003d 1، ریشه های معادله x 4 \u003d 1 هستند.
با استدلال به همین روش ، ریشه های معادله x 4 \u003d 16 را پیدا می کنیم: اکنون بیایید سعی کنیم معادله x 4 \u003d 5 را حل کنیم. تصویر هندسی در شکل نشان داده شده است. 164 ب. واضح است که معادله دارای دو ریشه x 1 و x 2 است و این اعداد مانند دو مورد قبلی متقابل یکدیگر هستند. اما برای دو معادله اول، ریشه ها بدون مشکل پیدا شدند (آنها را می توان بدون استفاده از نمودارها پیدا کرد)، و مشکلاتی در رابطه با معادله x 4 \u003d 5 وجود دارد: طبق نقشه، ما نمی توانیم مقادیر را نشان دهیم. از ریشه ها، اما ما فقط می توانیم ثابت کنیم که یک ریشه در سمت چپ -1 و دومی - در سمت راست نقطه 1 قرار دارد.

x 2 \u003d - (بخوانید: "ریشه چهارم از پنج").

ما در مورد معادله x 4 \u003d a صحبت کردیم، جایی که a 0 است. با موفقیت یکسان، می‌توانیم در مورد معادله x 4 \u003d a صحبت کنیم، که در آن 0 و n هر عدد طبیعی است. به عنوان مثال، با حل گرافیکی معادله x 5 \u003d 1، x \u003d 1 را پیدا می کنیم (شکل 165). با حل معادله x 5 "= 7، مشخص می کنیم که معادله یک ریشه x 1 دارد که روی محور x کمی در سمت راست نقطه 1 قرار دارد (شکل 165 را ببینید). برای عدد x 1، ما نشانه گذاری.

تعریف 1. ریشه n-امدرجه از یک عدد غیر منفی a (n = 2، 3،4، 5، ...) یک عدد غیر منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد نشان داده می شود، عدد a را عدد ریشه و عدد n شاخص ریشه نامیده می شود.
اگر n=2 باشد، معمولاً نمی‌گویند ریشه درجه دوم، بلکه می‌گویند «ریشه مربع» در این صورت نمی‌نویسند. درس جبر درجه

اگر n \u003d 3 باشد، به جای "ریشه درجه سوم" اغلب می گویند "ریشه مکعب". اولین آشنایی شما با ریشه مکعب نیز در درس جبر پایه هشتم صورت گرفت. در درس جبر پایه نهم از ریشه مکعب استفاده کردیم.

بنابراین، اگر a ≥0، n= 2،3،4،5،…، آنگاه 1) ≥ 0; 2) () n = a.

به طور کلی ، \u003d b و b n \u003d a - همان رابطه بین اعداد غیر منفی a و b است ، اما فقط دومی بیشتر توضیح داده شده است. زبان ساده(از کاراکترهای ساده تری استفاده می کند) نسبت به اولی.

عملیات یافتن ریشه یک عدد غیر منفی را معمولاً استخراج ریشه می نامند. این عملیات معکوس افزایش به توان مربوطه است. مقایسه کنید:

یک بار دیگر توجه کنید: فقط اعداد مثبت در جدول ظاهر می شوند، زیرا این در تعریف 1 آمده است. و اگرچه، برای مثال، (-6) 6 \u003d 36 برابری صحیح است، از آن به علامت گذاری با استفاده از ریشه مربع بروید. یعنی آنچه را که نمی توانید بنویسید طبق تعریف - یک عدد مثبت، بنابراین = 6 (و نه -6). به همین ترتیب ، اگرچه 2 4 \u003d 16 ، m (-2) 4 \u003d 16 ، با عبور از علائم ریشه ها ، باید \u003d 2 (و در همان زمان ≠-2) بنویسیم.

گاهی اوقات این عبارت رادیکال نامیده می شود (از کلمه لاتین gadix - "ریشه"). در زبان روسی، اصطلاح رادیکال اغلب استفاده می شود، به عنوان مثال، "تغییرات رادیکال" به معنای "تغییرات رادیکال" است. به هر حال، نام ریشه یادآور کلمه gadix است: نماد یک حرف تلطیف شده r است.

عملیات استخراج ریشه نیز برای یک عدد ریشه منفی تعیین می شود، اما فقط در مورد توان ریشه فرد. به عبارت دیگر، معادله (-2) 5 = -32 را می توان به شکل معادل به صورت =-2 بازنویسی کرد. در اینجا از تعریف زیر استفاده شده است.

تعریف 2.ریشه یک درجه فرد n از یک عدد منفی a (n = 3.5، ...) یک عدد منفی است که وقتی به توان n افزایش یابد، عدد a به دست می آید.

این عدد، مانند تعریف 1، با نشان داده می شود، عدد a عدد ریشه است، عدد n شاخص ریشه است.
بنابراین، اگر a، n=،5،7،…، آنگاه: 1) 0; 2) () n = a.

بنابراین، یک ریشه زوج فقط برای یک عبارت رادیکال غیر منفی معنا دارد (یعنی تعریف شده است). یک ریشه عجیب و غریب برای هر عبارت رادیکال منطقی است.

5. تحکیم اولیه دانش:

1. محاسبه: شماره شماره 33.5; 33.6; 33.74 33.8 شفاهی a) ; ب)؛ که در) ؛ ز) .

د) برخلاف مثال‌های قبلی، نمی‌توانیم مقدار دقیق عدد را مشخص کنیم. فقط مشخص است که بزرگ‌تر از 2، اما کمتر از 3 است، زیرا 2 4 = 16 (این کمتر از 17 است) و 3 4 \u003d 81 (این بیش از 17). توجه داشته باشید که 24 بسیار نزدیکتر به 17 از 34 است، بنابراین دلیلی وجود دارد که از علامت تقریبی مساوی استفاده کنید:
2. مقادیر عبارات زیر را بیابید.

حرف مربوطه را در کنار مثال قرار دهید.

اطلاعات کمی در مورد دانشمند بزرگ. رنه دکارت (1596-1650) نجیب زاده، ریاضیدان، فیلسوف، فیزیولوژیست، متفکر فرانسوی. رنه دکارت پایه های هندسه تحلیلی را بنیان نهاد و حروف x 2 , y 3 را معرفی کرد. همه مختصات دکارتی را می شناسند که تابعی از یک متغیر را تعریف می کنند.

3 . حل معادلات: a) = -2; ب) = 1; ج) = -4

تصمیم:الف) اگر = -2، y = -8. در واقع هر دو بخش معادله داده شدهباید مکعب کنیم دریافت می کنیم: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. ب) با استدلال مانند مثال a)، دو طرف معادله را تا توان چهارم بالا می بریم. دریافت می کنیم: x=1.

ج) در اینجا نیازی به بالا بردن به توان چهارم نیست، این معادله هیچ راه حلی ندارد. چرا؟ زیرا طبق تعریف 1، ریشه یک درجه زوج یک عدد غیر منفی است.
چندین کار برای توجه شما وجود دارد. وقتی این کارها را انجام دادید، نام و نام خانوادگی ریاضیدان بزرگ را خواهید آموخت. این دانشمند در سال 1637 اولین کسی بود که علامت ریشه را معرفی کرد.

6. بیایید کمی استراحت کنیم.

کلاس دستان خود را بالا می برد - این "زمان" است.

سر چرخید - "دو" است.

دست پایین، به جلو نگاه کنید - این "سه" است.

دست‌ها در "چهار" به طرفین بازتر شدند،

فشار دادن آنها بر روی دستان خود با قدرت "پنج" است.

همه بچه ها باید بنشینند - این "شش" است.

7. کار مستقل:

گزینه: 2 گزینه:

ب) 3-. ب) 12 -6.

2. معادله را حل کنید: a) x 4 \u003d -16; ب) 0.02x6 -1.28=0; الف) x 8 \u003d -3؛ ب) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0؛

ج) = -2; ج) = 2

8- تکرار:ریشه معادله = - x را پیدا کنید. اگر معادله بیش از یک ریشه دارد، در پاسخ، ریشه های کوچکتر را بنویسید.

9. بازتاب:در درس چه چیزی یاد گرفتید؟ چه جالب بود؟ چه چیزی سخت بود؟

این مقاله مجموعه ای از اطلاعات دقیق است که به موضوع خواص ریشه می پردازد. با توجه به موضوع، از خواص شروع می کنیم، تمام فرمول ها را مطالعه می کنیم و اثبات می کنیم. برای تجمیع موضوع، ویژگی های درجه n را در نظر می گیریم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ویژگی های ریشه

ما در مورد خواص صحبت خواهیم کرد.

1. ویژگی اعداد ضرب شده آو ب، که به عنوان برابری a · b = a · b نشان داده می شود. می توان آن را به صورت ضریب، مثبت یا مساوی صفر نشان داد a 1 , a 2 , … , a kبه عنوان 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. از خصوصی a: b =   a: b، a ≥ 0، b > 0، همچنین می توان آن را به این شکل a b = a b نوشت.
3. خاصیت از توان یک عدد آبا توان زوج a 2 m = a m برای هر عدد آبه عنوان مثال، یک ویژگی از مربع یک عدد a 2 = a .

در هر یک از معادلات ارائه شده، می توانید قسمت های قبل و بعد از علامت خط تیره را تعویض کنید، به عنوان مثال، تساوی a · b = a · b به صورت a · b = a · b تبدیل می شود. خواص برابری اغلب برای ساده کردن معادلات پیچیده استفاده می شود.

اثبات خواص اول بر اساس تعریف جذر و خواص توان های دارای توان طبیعی است. برای اثبات خاصیت سوم باید به تعریف مدول عدد مراجعه کرد.

اول از همه، لازم است خواص جذر a · b = a · b را اثبات کنیم. با توجه به تعریف، باید در نظر گرفت که a b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است که برابر با a بدر طول ساخت و ساز به یک مربع مقدار عبارت a · b مثبت یا برابر صفر به عنوان حاصل ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت درجه اعداد ضرب شده به ما امکان می دهد برابری را به شکل (a · b) 2 = a 2 · b 2 نشان دهیم. با تعریف ریشه مربع a 2 \u003d a و b 2 \u003d b ، سپس a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

به روشی مشابه، می توان آن را از محصول ثابت کرد کضرب کننده ها a 1 , a 2 , … , a kبرابر حاصل ضرب جذر این عوامل خواهد بود. در واقع، a 1 · a 2 · ... · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · ... · ak 2 = a 1 · a 2 · ... · a k .

از این تساوی نتیجه می شود که a 1 · a 2 · ... · a k = a 1 · a 2 · ... · a k .

بیایید به چند مثال برای تقویت موضوع نگاه کنیم.

مثال 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 و 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

باید خاصیت جذر حسابی ضریب را ثابت کرد: a: b = a: b، a ≥ 0، b > 0. این ویژگی به شما اجازه می دهد تا تساوی a را بنویسید: b 2 = a 2: b 2 و a 2: b 2 = a: b، در حالی که a: b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است. این بیان دلیل خواهد بود.

برای مثال، 0:16 = 0:16، 80:5 = 80:5 و 30، 121 = 30، 121.

خاصیت جذر مربع یک عدد را در نظر بگیرید. می توان آن را به صورت تساوی به صورت 2 = a نوشت برای اثبات این خاصیت، لازم است چندین برابری را به تفصیل در نظر بگیریم. a ≥ 0و در آ< 0 .

بدیهی است که برای ≥ 0 برابری a 2 = a درست است. در آ< 0 برابری a 2 = - a درست خواهد بود. در واقع، در این مورد - a > 0و (- a) 2 = a 2 . می توانیم نتیجه بگیریم که a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 2

5 2 = 5 = 5 و - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

ویژگی اثبات شده به توجیه 2 m = a m کمک می کند، جایی که آ- واقعی، و متر-عدد طبیعی. در واقع، ویژگی توان به ما اجازه می دهد تا درجه را جایگزین کنیم یک 2 متراصطلاح (صبح) 2، سپس a 2 · m = (a m) 2 = a m .

مثال 3

3 8 = 3 4 = 3 4 و (- 8، 3) 14 = - 8، 3 7 = (8، 3) 7.

خواص ریشه n ام

ابتدا باید ویژگی های اصلی ریشه های درجه n را در نظر بگیرید:

1. خاصیت حاصل از حاصل ضرب اعداد آو بکه مثبت یا مساوی صفر هستند را می توان به صورت برابری a b n = a n b n بیان کرد، این خاصیت برای محصول معتبر است. کشماره a 1 , a 2 , … , a kبه عنوان 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. از جانب عدد کسریدارای خاصیت a b n = a n b n است که در آن آهر عدد حقیقی است که مثبت یا مساوی صفر باشد و بیک عدد واقعی مثبت است.
3. برای هرچی آو اعداد زوج n = 2 متر a 2 m 2 m = a درست است و برای فرد n = 2 متر - 1برابری a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a برآورده می شود.
4. خاصیت استخراج از m n = a n m ، جایی که آ- هر عدد، مثبت یا مساوی صفر، nو متراعداد طبیعی هستند، این ویژگی را نیز می توان به صورت نمایش داد . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. برای هر غیر منفی و دلخواه nو مترکه طبیعی هستند، می توان برابری منصفانه را نیز تعریف کرد a m n · m = a n ;
6. دارایی درجه nاز توان یک عدد آکه مثبت یا مساوی صفر است، درجه طبیعی مترتعریف شده توسط برابری a m n = a n m ;
7. ویژگی مقایسه ای که دارد همین شاخص ها: برای هر عدد مثبت آو ببه طوری که آ< b ، نابرابری a n< b n ;
8. خاصیت مقایسه هایی که در زیر ریشه اعداد یکسانی دارند: اگر مترو n-اعداد طبیعی که m > n، سپس در 0 < a < 1 نابرابری a m > a n معتبر است و برای a > 1صبح< a n .

معادلات فوق در صورتی معتبر هستند که قسمت های قبل و بعد از علامت تساوی معکوس شوند. آنها را می توان در این فرم نیز استفاده کرد. این اغلب در هنگام ساده سازی یا تبدیل عبارات استفاده می شود.

اثبات ویژگی های فوق ریشه بر اساس تعریف، ویژگی های درجه و تعریف مدول یک عدد است. این خواص باید ثابت شود. اما همه چیز مرتب است.

1. اول از همه، خواص ریشه درجه n را از حاصل ضرب a · b n = a n · b n اثبات می کنیم. برای آو ب، کههستند مثبت یا صفر , مقدار a n · b n نیز مثبت یا برابر با صفر است، زیرا نتیجه ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت حاصلضرب توان طبیعی به ما اجازه می دهد تا برابری a n · b n n = a n n · b n n را بنویسیم. با تعریف ریشه nدرجه ام a n n = a و b n n = b ، بنابراین a n · b n n = a · b . برابری حاصل دقیقاً همان چیزی است که باید ثابت شود.

این ویژگی به طور مشابه برای محصول ثابت شده است کعوامل: برای اعداد غیر منفی a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

در اینجا نمونه هایی از استفاده از ویژگی root آورده شده است nدهمین توان حاصل از محصول: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 و 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. اجازه دهید ویژگی ریشه ضریب a b n = a n b n را ثابت کنیم. در a ≥ 0و b > 0شرط a n b n ≥ 0 برآورده می شود و a n b n n = a n n b n n = a b .

بیایید نمونه هایی را نشان دهیم:

مثال 4

8 27 3 = 8 3 27 3 و 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. برای مرحله بعد باید خواص درجه n را از عدد به درجه اثبات کرد n. ما این را به عنوان یک برابری 2 m 2 m = a و 2 m - 1 2 m - 1 = a برای هر واقعی نشان می دهیم آو طبیعی متر. در a ≥ 0 a = a و a 2 m = a 2 m بدست می آوریم که برابری a 2 m 2 m = a را ثابت می کند و برابری a 2 m - 1 2 m - 1 = a واضح است. در آ< 0 به ترتیب a = - a و a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . آخرین تبدیل عدد با توجه به خاصیت مدرک معتبر است. این همان چیزی است که برابری a 2 m 2 m \u003d a و 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a درست است، زیرا - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m برای فرد در نظر گرفته می شود. درجه - 1 برای هر عدد جمثبت یا مساوی صفر

به منظور تجمیع اطلاعات دریافتی، چند مثال را با استفاده از ویژگی در نظر بگیرید:

مثال 5

7 4 4 = 7 = 7، (- 5) 12 12 = - 5 = 5، 0 8 8 = 0 = 0، 6 3 3 = 6 و (- 3، 39) 5 5 = - 3، 39.

1. اجازه دهید برابری زیر را ثابت کنیم a m n = a n · m . برای این کار باید اعداد را قبل از علامت مساوی و بعد از آن را در جاهایی a n · m = a m n تغییر دهید. این ورودی صحیح را نشان می دهد. برای آ ،که مثبت است یا برابر با صفر , از شکل a m n عددی مثبت یا برابر با صفر است. اجازه دهید به ویژگی افزایش قدرت به یک قدرت و تعریف بپردازیم. با کمک آنها می توانید برابری ها را به شکل a m n n · m = a m n n m = a m m = a تبدیل کنید. این ویژگی در نظر گرفته شده یک ریشه از یک ریشه را ثابت می کند.

سایر خواص نیز به همین ترتیب ثابت شده است. واقعا، . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a.

به عنوان مثال، 7 3 5 = 7 5 3 و 0، 0009 6 = 0، 0009 2 2 6 = 0، 0009 24.

1. اجازه دهید ویژگی زیر a m n · m = a n را ثابت کنیم. برای این کار باید نشان داد که a n عددی است که مثبت یا مساوی صفر است. هنگامی که به توان n m است صبح. اگر شماره آپس مثبت یا صفر است nدرجه ام از میان آیک عدد مثبت یا برابر با صفر است به علاوه، a n · m n = a n n m که قرار بود ثابت شود.

به منظور تجمیع دانش به دست آمده، چند مثال را در نظر بگیرید.

1. اجازه دهید ویژگی زیر را ثابت کنیم - خاصیت ریشه قدرت شکل a m n = a n m . بدیهی است که در a ≥ 0درجه a n m عددی غیر منفی است. علاوه بر این، او nدرجه -ام برابر است با صبحدر واقع، a n m n = a n m · n = a n n m = a m. این ویژگی در نظر گرفته شده مدرک را ثابت می کند.

به عنوان مثال، 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. ما باید آن را برای هر عدد مثبت ثابت کنیم آو ب آ< b . نابرابری a n را در نظر بگیرید< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию آ< b . بنابراین، یک n< b n при آ< b .

مثلاً 12 4 می دهیم< 15 2 3 4 .

1. ویژگی root را در نظر بگیرید n- درجه ابتدا قسمت اول نابرابری را در نظر بگیرید. در m > nو 0 < a < 1 درست a m > a n . a m ≤ a n را فرض کنید. ویژگی ها عبارت را به n m · n ≤ a m m · n ساده می کنند. سپس با توجه به خصوصیات یک درجه با توان طبیعی، نابرابری a n m n m n ≤ a m m n m n برآورده می شود، یعنی: a n ≤ a m. مقدار بدست آمده در m > nو 0 < a < 1 با خواص بالا مطابقت ندارد

به همین ترتیب می توان این را ثابت کرد m > nو a > 1شرط a m< a n .

به منظور رفع خواص فوق، چند مورد را در نظر بگیرید نمونه های عینی. نابرابری ها را با استفاده از اعداد خاص در نظر بگیرید.

مثال 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

درجه ریشه nاز یک عدد واقعی آ، جایی که n- یک عدد طبیعی، چنین عدد واقعی نامیده می شود ایکس, nکه توان آن برابر است با آ.

ریشه درجه nاز شماره آبا نماد نشان داده شده است. طبق این تعریف.

یافتن ریشه nدرجه ام از میان آاستخراج ریشه نامیده می شود. عدد آیک عدد ریشه (عبارت) نامیده می شود. n- نشانگر ریشه برای فرد nیک ریشه وجود دارد nتوان -ام برای هر عدد واقعی آ. زوج nیک ریشه وجود دارد nدرجه -ام فقط برای عدد غیر منفی آ. برای رفع ابهام ریشه nدرجه ام از میان آ، مفهوم ریشه حسابی معرفی می شود nدرجه ام از میان آ.

مفهوم ریشه حسابی درجه N

اگر n- عدد طبیعی بزرگتر از 1 ، پس وجود دارد، و فقط یک عدد غیر منفی وجود دارد ایکس، به گونه ای که برابری برقرار است. این شماره ایکسریشه حسابی نامیده می شود nتوان یک عدد غیر منفی آو نشان داده می شود. عدد آشماره ریشه نامیده می شود n- نشانگر ریشه

بنابراین، طبق تعریف، علامت , Where , اولاً به این معنی است که و ثانیاً به این معنی است که . .

مفهوم درجه با توان منطقی

درجه با توان طبیعی: اجازه دهید آیک عدد واقعی است و nیک عدد طبیعی بزرگتر از یک است n-ام قدرت یک عدد آبه کار زنگ بزن nضریب هایی که هر کدام برابر است آ، یعنی . عدد آ- پایه مدرک، n- توان نما با توان صفر: طبق تعریف، اگر، آنگاه . توان صفر یک عدد 0 معنی ندارد توان با توان عدد صحیح منفی: طبق تعریف، اگر و nیک عدد طبیعی است، پس . درجه با توان کسری: طبق تعریف، اگر و n- عدد طبیعی، متریک عدد صحیح است، پس

عملیات با ریشه

در تمام فرمول های زیر، نماد به معنای ریشه حسابی است (عبارت رادیکال مثبت است).

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه نسبت برابر است با نسبت ریشه تقسیم و مقسوم:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است که عدد ریشه را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه را n برابر افزایش دهید و همزمان عدد ریشه را به توان n برسانید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

5. اگر درجه ریشه را n برابر کاهش دهید و همزمان ریشه درجه n را از عدد رادیکال استخراج کنید، مقدار ریشه تغییر نمی کند:

بسط مفهوم درجه. ما تا کنون درجات را فقط با یک شاخص طبیعی در نظر گرفته ایم. اما عملیات با توان و ریشه نیز می تواند به توان منفی، صفر و کسری منجر شود. همه این نماها نیاز به یک تعریف اضافی دارند.

درجه با توان منفی. توان برخی از اعداد با یک توان منفی (عدد صحیح) به صورت یک تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلق توان منفی تعریف می شود:

اکنون فرمول a m: a n \u003d a m - n را می توان نه تنها برای m بزرگتر از n، بلکه برای m کمتر از n نیز استفاده کرد.

مثال a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

اگر بخواهیم فرمول a m: a n = a m - n برای m = n معتبر باشد، باید درجه صفر را تعریف کنیم.

درجه با توان صفر. درجه هر عدد غیر صفر با توان صفر 1 است.

مثال ها. 2 0 = 1، (- 5) 0 = 1، (- 3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری. برای اینکه یک عدد واقعی a را به توان m/n برسانید، باید ریشه درجه n را از توان mth این عدد a استخراج کنید:

در مورد عباراتی که معنی ندارند. چند عبارت از این قبیل وجود دارد.

مورد 1

جایی که یک ≠ 0 وجود ندارد.

در واقع، اگر x عدد معینی را فرض کنیم، مطابق با تعریف عملیات تقسیم، داریم: a = 0 · x، یعنی. a = 0، که با این شرط تناقض دارد: a ≠ 0

مورد 2

هر عددی

در واقع، اگر فرض کنیم که این عبارت برابر با مقداری x باشد، طبق تعریف عملیات تقسیم، داریم: 0 = 0 · x . اما این برابری برای هر عدد x که باید ثابت می شد صادق است.

واقعا،

راه حل: سه مورد اصلی را در نظر بگیرید:

1) x = 0 - این مقدار این معادله را برآورده نمی کند

2) برای x > 0 دریافت می کنیم: x / x = 1، یعنی. 1 = 1، از این رو چنین است که x هر عددی است. اما با توجه به اینکه در مورد ما x > 0، پاسخ x > 0 است.

3) در x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

در این مورد هیچ راه حلی وجود ندارد. بنابراین x> 0.