اعداد صحیح بخش پذیری اعداد طبیعی علائم بخش پذیری اعداد طبیعی

همانطور که قبلاً اشاره شد، یک عدد طبیعی a بر یک عدد طبیعی b بخش پذیر است اگر یک عدد طبیعی c وجود داشته باشد که وقتی در b ضرب شود a به دست می آید:

کلمه "به طور کامل" معمولاً به خاطر اختصار حذف می شود.

اگر a بر b بخش پذیر باشد، همچنین می گویند a مضرب b است. مثلاً عدد 48 مضرب 24 است.

قضیه 1. اگر یکی از عوامل بر عدد معینی بخش پذیر باشد، حاصلضرب بر این عدد نیز بخش پذیر است..

به عنوان مثال، 15 بر 3 بخش پذیر است، یعنی 15∙11 بر 3 بخش پذیر است، زیرا 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

این استدلال ها در مورد کلی نیز صدق می کند. اجازه دهید عدد a بر c بخش پذیر باشد، سپس یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که a = n∙c. حاصل ضرب عدد a و یک عدد طبیعی دلخواه b را در نظر بگیرید. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. از اینجا، طبق تعریف، نتیجه می شود که حاصل ضرب a∙b بر c نیز قابل بخش است. Q.E.D.

قضیه 2. اگر عدد اول بر عدد دوم بخش پذیر باشد و عدد دوم بر عدد سوم بخش پذیر باشد عدد اول بر عدد سوم بخش پذیر است..

به عنوان مثال، 777 بر 111 بخش پذیر است زیرا 777 = 7∙111، و 111 بر 3 بخش پذیر است زیرا 111 = 3∙37. از این نتیجه می شود که 777 بر 3 بخش پذیر است، زیرا 777 = 3∙(37∙7).

در حالت کلی، این استدلال ها را می توان تقریباً کلمه به کلمه تکرار کرد. بگذارید عدد a بر عدد b تقسیم شود و عدد b بر عدد c تقسیم شود. این بدان معناست که اعداد طبیعی n و m وجود دارند به طوری که a = n∙b و b = m∙c. سپس عدد a را می توان به صورت: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c نشان داد. تساوی a = (n∙m)∙c به این معنی است که عدد a بر c نیز بخش پذیر است.

قضیه 3. اگر هر یک از دو عدد بر عدد معینی بخش پذیر باشد، مجموع و تفاضل آنها بر این عدد بخش پذیر است..

به عنوان مثال، 100 بر 4 بخش پذیر است زیرا 100=25∙4; 36 نیز بر 4 بخش پذیر است، زیرا 36 = 9∙4. نتیجه می شود که 136 بر 4 بخش پذیر است زیرا

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

همچنین می توان نتیجه گرفت که عدد 64 بر 4 بخش پذیر است زیرا

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

اجازه دهید قضیه را در حالت کلی ثابت کنیم. بگذارید هر یک از اعداد a و b بر عدد c بخش پذیر باشند. سپس طبق تعریف، اعداد طبیعی n و m وجود دارند که
a = n∙c و b = m∙c. مجموع اعداد a و b را در نظر بگیرید.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

نتیجه این است که a + b بر c بخش پذیر است.

به طور مشابه، a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. بنابراین، a – b بر c تقسیم می شود.

قضیه 4. اگر یکی از دو عدد بر عدد معینی بخش پذیر باشد و دیگری بر آن بخش پذیر نباشد، مجموع و تفاضل آنها بر این عدد بخش پذیر نیست.

به عنوان مثال، 148 بر 37 بخش پذیر است زیرا 148 = 4∙37، و 11 بر 37 بخش پذیر نیست. بدیهی است که مجموع 148 + 11 و اختلاف 148 – 11 بر 37 بخش پذیر نیست، در غیر این صورت این با خاصیت 3 منافات دارد. .

نشانه های تقسیم پذیری

اگر عددی به 0 ختم شود بر 10 بخش پذیر است.

به عنوان مثال، عدد 4560 به عدد 0 ختم می شود، می توان آن را به صورت حاصل ضرب 456∙10 نشان داد که بر 10 تقسیم می شود (طبق قضیه 1).

عدد 4561 بر 10 بخش پذیر نیست، زیرا 4561 = 4560+1 حاصل جمع عدد 4560 است که بر 10 بخش پذیر است و عدد 1 بر 10 بخش پذیر نیست (با قضیه 4).

اگر عددی به یکی از ارقام 0 یا 5 ختم شود، بر 5 بخش پذیر است.

به عنوان مثال، عدد 2300 بر 5 بخش پذیر است زیرا این عدد بر 10 بخش پذیر است و 10 بر 5 بخش پذیر است (با قضیه 2).

عدد 2305 با عدد 5 به پایان می رسد، بر 5 بخش پذیر است، زیرا می توان آن را به عنوان مجموع اعداد بخش پذیر بر 5 نوشت: 2300 + 5 (طبق قضیه 3).

عدد 52 بر 5 بخش پذیر نیست، زیرا 52 = 50 + 2 حاصل جمع عدد 50 است که بر 5 بخش پذیر است و عدد 2 بر 5 بخش پذیر نیست (با قضیه 4).

اگر عددی به یکی از ارقام 0، 2، 4، 6، 8 ختم شود، بر 2 بخش پذیر است.

به عنوان مثال، عدد 130 به 0 ختم می شود، بر 10 بخش پذیر است و 10 بر 2 بخش پذیر است، بنابراین 130 بر 2 بخش پذیر است.

عدد 136 با عدد 6 به پایان می رسد، بر 2 بخش پذیر است، زیرا می توان آن را به عنوان مجموع اعداد بخش پذیر بر 2 نوشت: 130 + 6 (طبق قضیه 3).

عدد 137 بر 2 بخش پذیر نیست، زیرا 137 = 130 + 7 حاصل جمع عدد 130 است که بر 2 بخش پذیر است و عدد 7 بر 2 بخش پذیر نیست (با قضیه 4).

عددی که بر 2 بخش پذیر باشد زوج نامیده می شود.

عددی که بر 2 بخش پذیر نباشد فرد نامیده می شود.

مثلاً اعداد 152 و 790 زوج و اعداد 111 و 293 فرد هستند.

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، خود آن عدد بر 9 بخش پذیر است..

به عنوان مثال، مجموع ارقام 7 + 2 + 4 + 5 = 18 عدد 7245 بر 9 بخش پذیر است.
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5)، که در آن مجموع پرانتزهای اول بر 9 بخش پذیر است و در پرانتزهای دوم - مجموع ارقام یک عدد معین - نیز بر 9 تقسیم می شود ( مطابق قضیه 3).

عدد 375 بر 9 بخش پذیر نیست، زیرا مجموع ارقام آن 3 + 7 + 5=15 بر 9 بخش پذیر نیست. این را می توان به صورت زیر ثابت کرد: 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5)، که در آن مجموع کروشه های اول بر 9 بخش پذیر است و در کروشه های دوم - مجموع ارقام عدد 375 - قابل بخش نیست. توسط 9 (طبق قضیه 4).

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، خود آن عدد بر 3 بخش پذیر است..

به عنوان مثال، عدد 375 دارای مجموع ارقام 3 + 7 + 5 = 15 است که بر 3 بخش پذیر است و خودش بر 3 بخش پذیر است زیرا 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5) جایی که مجموع در پرانتز اول است بر 3 بخش پذیر است و در پرانتز دوم - مجموع ارقام عدد 375 - نیز بر 3 بخش پذیر است.

مجموع ارقام عدد 679 برابر با 6 + 7 + 9 = 22 بر 3 بخش پذیر نیست و خود عدد نیز بر 3 بخش پذیر نیست زیرا 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9)، که در آن مجموع پرانتزهای اول بر 3 بخش پذیر است و در پرانتزهای دوم - مجموع ارقام عدد 679 - بر 3 بخش پذیر نیست.

توجه داشته باشید. وقتی می گویند "عددی به یک رقم ختم می شود..." منظورشان این است که "اعشاری یک عدد به یک رقم ختم می شود..."

اعداد اول و مرکب

هر عدد طبیعی p بر 1 و خودش بخش پذیر است:

p:1=p، p:p=1.

عدد اول عددی طبیعی است که بزرگتر از یک باشد و فقط بر 1 و خودش بخش پذیر باشد..

در اینجا ده عدد اول اول آمده است:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

اعداد طبیعی غیر اول، واحدهای بزرگ را مرکب می نامند. هر عدد مرکب بر 1، خود و حداقل یک عدد طبیعی دیگر بخش پذیر است.

در اینجا تمام اعداد ترکیبی کمتر از 20 آمده است:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

بنابراین، مجموعه ای از همه اعداد طبیعیاز اعداد اول، اعداد مرکب و یک تشکیل شده است.

تعداد نامتناهی اعداد اول وجود دارد، یک عدد اول وجود دارد - 2، اما آخرین عدد اول وجود ندارد.

مقسوم علیه اعداد طبیعی

اگر یک عدد طبیعی a بر عدد طبیعی b بخش پذیر باشد، عدد b می باشد تقسیم کننده نامیده می شوداعداد الف.

به عنوان مثال مقسوم علیه های عدد 13 اعداد 1 و 13، مقسوم علیه های عدد 4 اعداد 1، 2، 4 و مقسوم علیه های عدد 12 اعداد 1، 2، 3، 4، 6 هستند. ، 12.

هر عدد اول فقط دو مقسوم علیه دارد - یک و خودش، و هر عدد مرکب، به جز یک و خودش، مقسوم علیه های دیگری دارد.

اگر مقسوم علیه عدد اول باشد به آن مقسوم علیه اول می گویند. برای مثال، عدد 13 دارای ضریب اول 13، عدد 4 دارای ضریب اول 2 و عدد 12 دارای ضریب اول 2 و 3 است.

هر عدد مرکب را می توان به عنوان حاصلضرب مقسوم علیه های اول آن نشان داد. مثلا،

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

ضلع سمت راست تساوی های حاصل را فاکتورسازی اول اعداد 28، 22، 81 و 100 می نامند.

فاکتور کردن یک عدد مرکب معین در ضرایب اول به معنای نمایش آن به عنوان حاصلضرب عوامل اول مختلف یا توان آنهاست.

بیایید نشان دهیم که چگونه می توانید عدد 90 را به عوامل اول تبدیل کنید.

1) 90 بر 2 تقسیم می شود، 90:2 = 45;

2) 45 بر 2 بخش پذیر نیست، اما بر 3 بخش پذیر است، 45:3 = 15;

3) 15 بر 3 تقسیم می شود، 15:3 = 5;

4) 5 بر 5 بخش پذیر است، 5:5 = 1.

بنابراین، 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

عدد 12 دارای فاکتورهای 1، 2، 3، 4، 12 است. عدد 54 دارای عوامل 1، 2، 3، 6، 9، 18، 27، 54 است. می بینیم که اعداد 12 و 54 دارای فاکتورهای مشترک 1، 2 هستند. ، 3 ، 6.

بزرگترین مقسوم علیه اعداد 12 و 54 عدد 6 است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد a و b با gcd (a, b) نشان داده می شود.

به عنوان مثال، GCD (12، 54) = 6.

کمترین مضرب مشترک

به عددی که بر 12 بخش پذیر باشد مضرب 12 می گویند. عدد 12 مضرب 12، 24، 36، 48، 60، 72، 84، 96، 108 و غیره است. عدد 18 مضرب 18، 36، 54، 72، 90، 108، 126 و غیره است.

می بینیم که اعدادی هستند که مضرب 12 و 18 هستند مثلاً 36، 72، 108، .... به این اعداد مضرب مشترک 12 و 18 می گویند.

کوچکترین مضرب مشترک اعداد طبیعی a و b کوچکترین عدد طبیعی است که بر a و b بخش پذیر است. این عدد با LOC (a, b) نشان داده می شود.

کمترین مضرب مشترک دو عدد معمولاً به یکی از دو روش یافت می شود. بیایید به آنها نگاه کنیم.

بیایید LCM (18، 24) را پیدا کنیم.

روش I ما اعدادی را که مضرب 24 هستند (بزرگتر از این اعداد) یادداشت می کنیم و بررسی می کنیم که آیا هر کدام از آنها بر 18 بخش پذیر است یا خیر: 24∙1=24 - بر 18 بخش پذیر نیست، 24∙2 = 48 - قابل تقسیم بر 18 نیست. 24∙3 = 72 - بر 18 بخش پذیر است، بنابراین LCM (24، 18) =
= 72.

روش II. بیایید اعداد 24 و 18 را به ضرایب اول تبدیل کنیم: 24 = 2∙2∙2∙3،
18 = 2∙3∙3.

LCM(24، 18) باید بر هر دو 24 و 18 بخش پذیر باشد. بنابراین، عدد مورد نیاز شامل تمام عوامل اول است بیشتر 24 (یعنی اعداد 2، 2، 2، 3) و هنوز عوامل گمشده از بسط عدد کوچکتر 18 (عدد 3 دیگر). بنابراین LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

از آنجایی که اعداد همزمان اول هیچ عامل اول مشترکی ندارند، حداقل مضرب مشترک آنها برابر با حاصلضرب این اعداد است. به عنوان مثال، 24 و 25 اعداد نسبتا اول هستند. بنابراین LCM (24، 25) = 24∙25 = 600.

اگر یکی از دو عدد بر دیگری بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد با بزرگتر آنها برابر است. به عنوان مثال، 120 بر 24 بخش پذیر است، بنابراین LCM (120، 24) = 120.

تمام اعداد

یادآور. اعدادی که برای شمارش تعداد اشیاء استفاده می شوند نامیده می شوند اعداد طبیعی. صفر یک عدد طبیعی محسوب نمی شود. اعداد طبیعی و صفر که به ترتیب صعودی و بدون شکاف نوشته می شوند، یک سری اعداد صحیح غیر منفی را تشکیل می دهند:

شماره های جدید در این بخش معرفی خواهند شد - اعداد صحیح منفی.

اعداد صحیح منفی

یک مثال اساسی در زندگی واقعی یک دماسنج است. فرض کنید دمای 7 درجه سانتیگراد را نشان می دهد. اگر دما 4 درجه کاهش یابد، دماسنج 3 درجه گرما را نشان می دهد. کاهش دما مربوط به عمل تفریق است: 7 - 4 = 3. اگر دما 7 درجه کاهش یابد، دماسنج 0 درجه را نشان می دهد: 7 - 7 = 0.

اگر دما 8 درجه کاهش یابد، دماسنج -1 درجه (1 درجه زیر صفر) را نشان می دهد. اما نتیجه تفریق 7 تا 8 را نمی توان با اعداد طبیعی و صفر نوشت، اگرچه معنای واقعی دارد.

شمردن 8 عدد از عدد 7 به سمت چپ در یک سری اعداد صحیح غیر منفی غیرممکن است. برای عملی کردن عمل 7 تا 8، اجازه دهید دامنه اعداد صحیح غیر منفی را گسترش دهیم. برای انجام این کار، در سمت چپ صفر، همه اعداد طبیعی را به ترتیب (از راست به چپ) می نویسیم و به هر یک از آنها یک علامت "-" اضافه می کنیم که نشان می دهد این عدد در سمت چپ صفر است.

ورودی های –1، –2، –3، ... عبارتند از «منهای 1»، «منهای 2»، «منهای 3» و غیره:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

سری اعداد حاصل را یک سری اعداد صحیح می نامند. نقطه‌های سمت چپ و راست در این ورودی به این معنی است که می‌توان سریال را به‌طور نامحدود به راست و چپ ادامه داد.

در سمت راست عدد 0 در این ردیف اعدادی قرار دارند که به آنها اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت می گویند.

این مقاله با مطالب آغاز می شود نظریه تقسیم پذیری اعداد صحیح. در اینجا مفهوم تقسیم پذیری را معرفی می کنیم و اصطلاحات و نمادهای پذیرفته شده را نشان می دهیم. این به ما امکان می دهد تا ویژگی های اصلی تقسیم پذیری را فهرست کرده و توجیه کنیم.

پیمایش صفحه.

مفهوم تقسیم پذیری

مفهوم تقسیم پذیرییکی از مفاهیم اساسی حساب و نظریه اعداد است. ما در مورد بخش پذیری و در موارد خاص - در مورد بخش پذیری صحبت خواهیم کرد. بنابراین، بیایید یک ایده از تقسیم پذیری در مجموعه اعداد صحیح ارائه دهیم.

عدد صحیح a سهامبا یک عدد صحیح b که با صفر متفاوت است، اگر یک عدد صحیح وجود داشته باشد (آن را با q نشان دهید) به طوری که برابری a=b·q درست باشد. در این مورد نیز می گوییم که ب تقسیم می کندآ. در این حالت عدد صحیح b فراخوانی می شود تقسیم کنندهاعداد a، عدد صحیح a فراخوانی می شود مضربعدد b (برای اطلاعات بیشتر در مورد مقسوم علیه ها و مضرب ها به مقاله مقسوم علیه ها و مضرب ها مراجعه کنید) و عدد صحیح q نامیده می شود. خصوصی.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح ب به معنای بالا بخش پذیر باشد، می توان گفت a بر b بخش پذیر است. به صورت کامل. کلمه "کاملا" در این مورد بیشتر تأکید می کند که ضریب تقسیم عدد صحیح a بر عدد صحیح b یک عدد صحیح است.

در برخی موارد، برای اعداد صحیح a و b، هیچ عدد صحیح q وجود ندارد که برابری a=b·q برای آن صادق باشد. در چنین مواردی می گوییم عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر نیست (یعنی a بر b قابل بخش نیست). با این حال، در این موارد آنها متوسل می شوند.

بیایید با استفاده از مثال مفهوم تقسیم پذیری را درک کنیم.

هر عدد صحیح a بر عدد a، بر عدد -a، a، بر یک و بر عدد -1 بخش پذیر است.

اجازه دهید این خاصیت تقسیم پذیری را اثبات کنیم.

برای هر عدد صحیح a، تساوی a=a·1 و a=1·a معتبر است که از آن نتیجه می شود که a بر a بخش پذیر است و ضریب آن برابر با یک است و a بر 1 بخش پذیر است و ضریب برابر با a است. برای هر عدد صحیح a، برابری های a=(-a)·(-1) و a=(-1)·(-a) نیز معتبر هستند، که از آن نتیجه می شود که a بر عدد مقابل a بخش پذیر است. همچنین a بر منهای واحد بخش پذیر است.

توجه داشته باشید که خاصیت بخش پذیری یک عدد صحیح a به خودی خود خاصیت بازتاب نامیده می شود.

خاصیت بعدی بخش پذیری بیان می کند که صفر بر هر عدد صحیح b بخش پذیر است.

در واقع، از آنجایی که 0=b·0 برای هر عدد صحیح b، پس صفر بر هر عدد صحیح بخش پذیر است.

به طور خاص، صفر بر صفر نیز بخش پذیر است. این تساوی 0=0·q را تأیید می کند، جایی که q هر عدد صحیحی است. از این تساوی نتیجه می شود که ضریب صفر تقسیم بر صفر هر عدد صحیحی است.

همچنین باید توجه داشت که هیچ عدد صحیح دیگری غیر از صفر بر 0 بخش پذیر نیست. بیایید این را توضیح دهیم. اگر صفر یک عدد صحیح متفاوت از صفر را تقسیم کرد، تساوی a=0·q باید درست باشد، جایی که q مقداری صحیح است، و آخرین تساوی تنها در صورتی امکان پذیر است که a=0 باشد.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد و a کمتر از مدول b باشد، a برابر با صفر است. این خاصیت تقسیم پذیری به صورت لغوی به صورت زیر نوشته می شود: اگر ab و 0 باشد، a=0.

اثبات

از آنجایی که a بر b بخش پذیر است، یک عدد صحیح q وجود دارد که برابری a=b·q برای آن صادق است. پس برابری نیز باید صادق باشد، و به حکمت برابری شکل نیز باید صادق باشد. اگر q برابر با صفر نباشد، نتیجه می شود که . با در نظر گرفتن نابرابری به دست آمده، از برابری به دست می آید که . اما این با شرط منافات دارد. بنابراین، q فقط می تواند برابر با صفر باشد، و ما a=b·q=b·0=0 را به دست می آوریم، که برای اثبات آن نیاز داشتیم.

اگر یک عدد صحیح a غیر صفر باشد و بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، مدول a کمتر از مدول b نیست. یعنی اگر a≠0 و ab، آنگاه . این خاصیت تقسیم پذیری مستقیماً از ویژگی قبلی پیروی می کند.

تنها مقسوم‌کننده‌های وحدت اعداد صحیح 1 و −1 هستند.

ابتدا، اجازه دهید نشان دهیم که 1 بر 1 و -1 بخش پذیر است. این از برابری های 1=1·1 و 1=(-1)·(-1) به دست می آید.

باید ثابت کنیم که هیچ عدد صحیح دیگری مقسوم کننده وحدت نیست.

فرض کنید یک عدد صحیح b، متفاوت از 1 و −1، مقسوم علیه وحدت باشد. از آنجایی که وحدت بر b بخش پذیر است، پس به دلیل خاصیت تقسیم پذیری قبلی، نابرابری باید برآورده شود که معادل نامساوی است. این نابرابری تنها با سه عدد صحیح برآورده می شود: 1، 0، و -1. از آنجایی که فرض کردیم b با 1 و −1 متفاوت است، پس فقط b=0 باقی می ماند. اما b=0 نمی‌تواند مقسوم‌کننده وحدت باشد (همانطور که در هنگام توصیف خاصیت دوم تقسیم‌پذیری نشان دادیم). این ثابت می کند که هیچ عددی به جز 1 و 1 مقسوم علیه وحدت نیستند.

برای اینکه یک عدد صحیح a بر عدد صحیح ب بخش پذیر باشد لازم و کافی است که مدول عدد a بر مدول عدد b بخش پذیر باشد.

اجازه دهید ابتدا ضرورت را اثبات کنیم.

بگذارید a بر b تقسیم شود، سپس یک عدد صحیح q وجود دارد که a=b·q. سپس . از آنجایی که یک عدد صحیح است، تساوی نشان می دهد که مدول عدد a بر مدول عدد b بخش پذیر است.

حالا کفایت.

بگذارید مدول عدد a بر مدول عدد b تقسیم شود، آنگاه یک عدد صحیح q وجود دارد که . اگر اعداد a و b مثبت باشند، برابری a=b·q درست است که بخش پذیری a بر b را ثابت می کند. اگر a و b منفی باشند، برابری −a=(−b)·q درست است که می توان آن را به صورت a=b·q بازنویسی کرد. اگر a یک عدد منفی و b مثبت باشد، −a=b·q داریم، این برابری معادل برابری a=b·(−q) است. اگر a مثبت و b منفی باشد، a=(−b)·q و a=b·(−q) داریم. از آنجایی که q و −q هر دو اعداد صحیح هستند، تساوی های حاصل ثابت می کنند که a بر b بخش پذیر است.

نتیجه 1.

اگر یک عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر باشد، a نیز بر عدد مقابل −b بخش پذیر است.

نتیجه 2.

اگر یک عدد صحیح a بر عدد صحیح b بخش پذیر باشد، −a نیز بر b قابل بخش است.

اهمیت خاصیت بخش پذیری که به تازگی مورد بحث قرار گرفت، به سختی قابل برآورد است - نظریه تقسیم پذیری را می توان بر روی مجموعه اعداد صحیح مثبت توصیف کرد، و این خاصیت تقسیم پذیری آن را به اعداد صحیح منفی گسترش می دهد.

بخش پذیری دارای خاصیت گذر است: اگر یک عدد صحیح a بر مقداری صحیح m بخش پذیر باشد و عدد m نیز به نوبه خود بر عدد صحیح b تقسیم شود، آنگاه a بر b بخش پذیر است. یعنی اگر am و mb پس ab.

اجازه دهید برای این خاصیت تقسیم پذیری اثبات کنیم.

از آنجایی که a بر m بخش پذیر است، یک عدد صحیح a 1 وجود دارد به طوری که a=m·a 1. به همین ترتیب، از آنجایی که m بر b بخش پذیر است، مقداری عدد صحیح m 1 وجود دارد که m=b·m 1 است. سپس a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). از آنجایی که حاصل ضرب دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، پس m 1 ·a 1 مقداری صحیح است. با نشان دادن آن به q به تساوی a=b·q می رسیم که خاصیت تقسیم پذیری مورد بررسی را ثابت می کند.

بخش پذیری خاصیت ضد تقارن دارد، یعنی اگر a بر b تقسیم شود و در همان زمان b بر a تقسیم شود، یا اعداد صحیح a و b یا اعداد a و −b برابر هستند.

از بخش پذیری a بر b و b بر a می توان در مورد وجود اعداد صحیح q 1 و q 2 صحبت کرد به طوری که a=b·q 1 و b=a·q 2. با جایگزینی b·q 1 به جای a به تساوی دوم، یا جایگزینی a·q 2 به جای b به تساوی اول، به دست می آوریم که q 1 ·q 2 = 1، و با توجه به اینکه q 1 و q 2 اعداد صحیح هستند، این فقط در صورتی امکان پذیر است که q 1 =q 2 = 1 یا زمانی که q 1 =q 2 =−1 باشد. نتیجه این است که a=b یا a=−b (یا همان چیزی که b=a یا b=−a است).

برای هر عدد صحیح و غیرصفر b یک عدد صحیح a وجود دارد که برابر b نیست که بر b بخش پذیر است.

این عدد هر یک از اعداد a=b·q خواهد بود، جایی که q هر عدد صحیحی است، نه برابر با یک. می توانیم به ویژگی بعدی تقسیم پذیری برویم.

اگر هر یک از دو جمله a و b بر یک عدد صحیح c بخش پذیر باشد، مجموع a+b نیز بر c قابل بخش است.

از آنجایی که a و b بر c بخش پذیر هستند، می توانیم a=c·q 1 و b=c·q 2 بنویسیم. سپس a+b=c q 1 + c q 2 = c (q 1 + q 2)(آخرین انتقال به دلیل امکان پذیر است). از آنجایی که مجموع دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، تساوی a+b=c·(q 1 +q 2) بخش پذیری مجموع a+b بر c را ثابت می کند.

این ویژگی را می توان تا مجموع سه، چهار یا چند ترم افزایش داد.

اگر همچنین به یاد داشته باشیم که تفریق یک عدد صحیح b از یک عدد صحیح a جمع عدد a با عدد -b است (نگاه کنید به)، پس این خاصیت بخش پذیری برای تفاوت اعداد نیز صادق است. به عنوان مثال، اگر اعداد صحیح a و b بر c بخش پذیر باشند، تفاوت a-b نیز بر c قابل بخش است.

اگر معلوم شود که در تساوی به شکل k+l+…+n=p+q+…+s همه عبارت‌ها به جز یکی بر مقداری صحیح b بخش‌پذیر هستند، این یک جمله بر b نیز قابل بخش است.

فرض کنید این عبارت p است (می‌توانیم هر یک از شرایط برابری را بگیریم که بر استدلال تأثیری نخواهد داشت). سپس p=k+l+…+n−q−…−s . عبارت به دست آمده در سمت راست برابری به دلیل خاصیت قبلی بر b تقسیم می شود. بنابراین عدد p بر b نیز بخش پذیر است.

اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، حاصل ضرب a·k که k یک عدد صحیح دلخواه است، بر b تقسیم می شود.

از آنجایی که a بر b بخش پذیر است، برابری a=b·q درست است، جایی که q مقداری صحیح است. سپس a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (آخرین انتقال به دلیل انجام شد). از آنجایی که حاصل ضرب دو عدد صحیح یک عدد صحیح است، برابری a·k=b·(q·k) تقسیم پذیری حاصلضرب a·k بر b را ثابت می کند.

نتیجه: اگر یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b بخش پذیر باشد، حاصل ضرب a·k 1 ·k 2 ·…·k n که k 1، k 2، ...، k n برخی اعداد صحیح هستند، بر b قابل بخش است.

اگر اعداد صحیح a و b بر c بخش پذیر باشند، مجموع حاصل از a·u و b·v شکل a·u+b·v که u و v اعداد صحیح دلخواه هستند بر c تقسیم می شود.

اثبات این خاصیت تقسیم پذیری مشابه دو مورد قبلی است. از شرط a=c·q 1 و b=c·q 2 داریم. سپس a u+b v=(c q 1) u+ (c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). از آنجایی که مجموع q 1 ·u+q 2 ·v یک عدد صحیح است، پس تساوی شکل a u+b v=c (q 1 u+q 2 v)ثابت می کند که a·u+b·v بر c بخش پذیر است.

این بررسی ما را در مورد ویژگی های اساسی تقسیم پذیری به پایان می رساند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ویلنکین N.Ya. و دیگران. ریاضیات. پایه ششم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.
• وینوگرادوف I.M. مبانی نظریه اعداد.
• میخلوویچ ش.ح. نظریه اعداد
• کولیکوف ال.یا. و دیگران مجموعه مسائل جبر و نظریه اعداد: آموزشبرای دانشجویان فیزیک و ریاضی تخصص های موسسات آموزشی.

نیکیتینا الیزاوتا

در این کار، دانش آموز دانش خود را در مورد علائم بخش پذیری اعداد طبیعی سیستماتیک کرد و موارد جدیدی را در ادبیات اضافی یافت و مثال های زیادی از کاربرد آنها ارائه داد.

دانلود:

پیش نمایش:

مسابقه طراحی و پژوهش منطقه ای

و کارهای خلاقانهدانش آموزان.

رشته تحصیلی: علوم طبیعی.

بخش: "ریاضیات"

کار پژوهشی با موضوع:

"علائم بخش پذیری اعداد طبیعی"

دانش آموز کلاس هشتم

سرپرست:

تسپیلووا E. A.

معلم ریاضی.

2014

1. معرفی

2. تاریخچه بخش پذیری اعداد طبیعی

3. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، بر 3، بر 9، بر 5، بر 10، مورد مطالعه در

درس ریاضی مدرسه

4. علائم تقسیم پذیری بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 که در منابع مختلف شرح داده شده است.

5. تست های بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25 که به طور مستقل به دست آمده اند.

7. نتیجه گیری.

1. معرفی

ارتباط: هنگام مطالعه موضوع: "علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، 3، 5، 9، 10" به سوال تقسیم پذیری اعداد علاقه مند شدم. مشخص است که یک عدد طبیعی همیشه بدون باقیمانده بر عدد طبیعی دیگر بخش پذیر نیست. هنگام تقسیم اعداد طبیعی اشتباه می کنیم و در نتیجه زمان را تلف می کنیم. تست های بخش پذیری کمک می کند تا بدون انجام تقسیم، مشخص شود که آیا یک عدد طبیعی بر دیگری بخش پذیر است یا خیر. در درس انتخابی به برخی دیگر از نشانه های بخش پذیری اعداد طبیعی نگاه کردیم. من فکر کردم که آیا هنوز هم می توان خودم علائم جدیدی از تقسیم پذیری را بدست آورد؟ موضوع کار پژوهشی من اینگونه مطرح شد.

فرضیه: اگر بتوان بخش پذیری اعداد طبیعی را بر 2، 3، 5، 9، 10 تعیین کرد، باید نشانه هایی وجود داشته باشد که با آن بتوان تقسیم پذیری اعداد طبیعی را بر اعداد دیگر تعیین کرد.

موضوع مطالعه:تقسیم پذیری اعداد طبیعی

موضوع مطالعه:علائم بخش پذیری اعداد طبیعی

هدف: علائم شناخته شده تقسیم پذیری اعداد طبیعی را که در مدرسه مطالعه شده است تکمیل کنید.

وظایف:

1. تاریخچه ظهور علائم تقسیم پذیری را مطالعه کنید.
2. تکرار علائم تقسیم بر 2، 3. 5، 9، 10، در مدرسه مطالعه شده است.
3. ادبیات تکمیلی را مطالعه کنید که صحت فرضیه وجود سایر علائم بخش پذیری اعداد طبیعی و درستی علائم بخش پذیری را که من شناسایی کرده ام تأیید می کند.
4. به طور مستقل علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25 را بدست آورید.
5. از ادبیات اضافی نشانه های بخش پذیری اعداد طبیعی بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 را بیابید.
6. نتیجه گیری کنید.

تازگی: در طول پروژه، دانش خود را در مورد علائم بخش پذیری اعداد طبیعی گسترش دادم.

روش های پژوهش:جمع آوری مواد، پردازش داده ها، مشاهده، مقایسه، تجزیه و تحلیل، سنتز.

1. از تاریخ.

آزمون بخش پذیری قانونی است که به موجب آن، بدون انجام تقسیم، می توان تعیین کرد که آیا یک عدد طبیعی بر دیگری بخش پذیر است یا خیر. نشانه های تقسیم پذیری همیشه دانشمندان را مورد توجه قرار داده است کشورهای مختلفو بارها

علائم بخش پذیری بر 2، 3، 5، 9، 10 از زمان های قدیم شناخته شده است. علامت بخش پذیری بر 2 برای مصریان باستان 2 هزار سال قبل از میلاد شناخته شده بود و علائم تقسیم پذیری بر 2، 3، 5 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی (1170-1228) به تفصیل شرح داده شد.

مسائل بخش پذیری اعداد مورد توجه فیثاغورثی ها و دیگران بود.

بلز پاسکال

بلز پاسکال (1623-1662) کمک زیادی به مطالعه علائم تقسیم پذیری اعداد کرد. بلیز جوان خیلی زود توانایی‌های ریاضی فوق‌العاده‌ای را نشان داد و قبل از اینکه بتواند بخواند، شمارش را یاد گرفت. او اولین رساله ریاضی خود را با عنوان "تجربه ای در نظریه برش های مخروطی" در سن 24 سالگی نوشت. تقریباً در همان زمان، او یک ماشین افزودن مکانیکی را طراحی کرد که نمونه اولیه ماشین اضافه بود. که در دوره اولیهاین دانشمند همه کاره در کار خلاقانه خود (1640-1650)، الگوریتمی برای یافتن نشانه های تقسیم پذیری هر عدد صحیح بر هر عدد صحیح دیگری یافت که همه علائم خاص از آن پیروی می کنند. علامت آن به این صورت است: عدد طبیعیآ بر عدد طبیعی دیگری تقسیم خواهد شدب فقط در صورتی که مجموع حاصل از ارقام عدد باشدآ به باقیمانده های مربوطه که از تقسیم واحدهای رقمی بر عدد بدست می آیندب بر این عدد تقسیم می شود.

1. معیارهای بخش پذیری برای اعداد طبیعی، مورد مطالعه در مدرسه.

هنگام مطالعه این مبحث باید مفاهیم مقسوم علیه، مضرب، اول و اعداد مرکب را بدانید.

مقسوم علیه یک عدد طبیعیآ با یک شماره طبیعی تماس بگیریدب، که به آن a بدون باقی مانده تقسیم می شود.

اغلب عبارتی در مورد بخش پذیری یک عددآ با عدد b در کلمات معادل دیگر بیان می شود: a مضرب b، b مقسوم علیه a، b تقسیم کننده a است.

اعداد اول اعداد طبیعی هستند که دارای دو مقسوم علیه 1 و خود عدد هستند. به عنوان مثال، اعداد 5،7،19 اول هستند زیرا بر 1 و خودش بخش پذیرند.

اعدادی که بیش از دو مقسوم علیه دارند، اعداد مرکب نامیده می شوند. به عنوان مثال، عدد 14 دارای 4 مقسوم علیه است: 1، 2، 7، 14، یعنی ترکیبی است.

1. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 که در منابع مختلف توضیح داده شده است.

از ادبیات اضافی، تأیید صحت معیارهایی را که برای بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25 فرموله کردم، یافتم.

بیایید چندین نشانه تقسیم پذیری را در نظر بگیریم:

یک عدد طبیعی بر 7 بخش پذیر است که مجموع دو برابر عدد در ده ها و عدد باقی مانده بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

4592 بر 7 بخش پذیر است زیرا 45·2=90، 90+92=182، 182 بر 7 بخش پذیر است.

57384 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 573·2=1146، 1146+84=1230، 1230 بر 7 بخش پذیر نیست.

اعدادی بر 11 بخش پذیر است که اختلاف بین مجموع ارقام مکان های فرد و مجموع ارقام مکان های زوج مضرب 11 باشد.

تفاوت می تواند یک عدد منفی یا 0 باشد، اما باید مضرب 11 باشد. شماره گذاری از چپ به راست انجام می شود.

مثال:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16، 1+5+0=6، 16-6=10، 10 مضرب 11 نیست، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر نیست.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19، 3+2+3=8، 19-8=11، 11 مضرب 11 است، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر است.

یک عدد طبیعی بر 12 بخش پذیر است اگر و فقط اگر همزمان بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

636 بر 3 و 4 بخش پذیر است، یعنی بر 12 بخش پذیر است.

587 بر 3 یا 4 بخش پذیر نیست، یعنی بر 12 بخش پذیر نیست.

27126 بر 3 بخش پذیر است اما بر 4 بخش پذیر نیست، یعنی بر 12 بخش پذیر نیست.

یک عدد طبیعی بر 13 بخش پذیر است اگر تفاوت بین عدد هزاران و عددی که از سه رقم آخر تشکیل می شود بر 13 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

عدد 465400 بر 13 بخش پذیر است زیرا ... 465 - 400 = 65، 65 تقسیم بر 13.

عدد 256184 بر 13 بخش پذیر نیست زیرا ... 256 - 184 = 72، 72 بر 13 بخش پذیر نیست.

یک عدد طبیعی بر 14 بخش پذیر است اگر و فقط اگر همزمان بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

عدد 45826 بر 2 بخش پذیر است اما بر 7 بخش پذیر نیست، یعنی بر 14 بخش پذیر نیست.

عدد 1771 بر 7 بخش پذیر است اما بر 2 بخش پذیر نیست، یعنی بر 14 بخش پذیر نیست.

عدد 35882 بر 2 و 7 بخش پذیر است، یعنی بر 14 بخش پذیر است.

یک عدد طبیعی بدون باقیمانده بر 19 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که تعداد ده ها آن به دو برابر تعداد واحدها اضافه شود بر 19 بخش پذیر باشد.

باید در نظر داشت که تعداد ده ها در یک عدد نه با رقم موجود در محل ده ها، بلکه با تعداد کل ده ها در کل عدد محاسبه شود.

مثال ها:

153 4 ده ها-153، 4·2=8، 153+8=161، 161 بر 19 بخش پذیر نیست، یعنی 1534 بر 19 بخش پذیر نیست.

182 4 182+4·2=190، 190/19، یعنی عدد 1824/19 است.

یک عدد طبیعی بر 37 بخش پذیر است اگر مجموع اعدادی که از سه گانه ارقام عدد داده شده در نماد اعشاری تشکیل می شوند به ترتیب بر 37 بخش پذیر باشند.

مثال: تعیین کنید که آیا عدد 100048 بر 37 بخش پذیر است یا خیر.

100/048 100+48=148، 148 بر 37 بخش پذیر است، یعنی عدد بر 37 بخش پذیر است.

1. تست های بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25 که به طور مستقل به دست آمده است..

با انجام عملیات تقسیم و ضرب اعداد طبیعی، با مشاهده نتایج اعمال، الگوهایی را یافتم و علائم تقسیم پذیری زیر را دریافت کردم.

25·4=1 00; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00; ...

هنگام ضرب اعداد طبیعی در 4 متوجه شدم که اعدادی که از دو رقم آخر عدد به دست می آیند بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیرند.

آزمون بخش پذیری بر 4 به این صورت است:

طبیعی h یک عدد بر 4 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که دو رقم آخر آن 0 باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 4 بخش پذیر باشد.

توجه داشته باشید که 6=2·3 بخش پذیری بر 6 را تست کنید:

اگر یک عدد طبیعی هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشد، بر 6 بخش پذیر است.

مثال ها:

216 بر 2 بخش پذیر است (به 6 ختم می شود) و بر 3 بخش پذیر است (8+1+6=15, 153) یعنی عدد بر 6 بخش پذیر است.

625 بر 2 یا 3 بخش پذیر نیست، یعنی بر 6 بخش پذیر نیست.

2120 بر 2 بخش پذیر است (به 0 ختم می شود) اما بر 3 بخش پذیر نیست (2+1+2+0=5، 5 بر 3 بخش پذیر نیست) یعنی عدد بر 6 بخش پذیر نیست.

279 بر 3 بخش پذیر است (2+7+9=18، 18:3)، اما بر 2 بخش پذیر نیست (به یک رقم فرد ختم می شود)، یعنی عدد بر 6 بخش پذیر نیست.

125·8=1000; 242·8=1,936; 512·8=4096; 600·8=4 800; 1234·8=9872; 122875·8=983000 ;…

هنگام ضرب یک عدد طبیعی در 8، متوجه این الگو شدم: اعداد به سه 0 ختم می شوند یا سه رقم آخر عددی را تشکیل می دهند که بر 8 بخش پذیر است.

پس این نشانه است.

طبیعی h یک عدد بر 8 بخش پذیر است اگر و فقط اگر سه رقم آخر آن 0 یا عددی بر 8 بخش پذیر باشد.

توجه داشته باشید که 15=3·5

اگر یک عدد طبیعی بر 5 و 3 بخش پذیر باشد، بر 15 بخش پذیر است.

مثال ها:

346725 بر 5 بخش پذیر است (به 5 ختم می شود) و بر 3 بخش پذیر است (3+4+6+7+2+5=24، 24:3)، یعنی عدد بر 15 بخش پذیر است.

48732 بر 3 بخش پذیر است (4+8+7+3+2=24، 24:3)، اما بر 5 بخش پذیر نیست، یعنی عدد بر 15 بخش پذیر نیست.

87565 بر 5 بخش پذیر است (با 5 به پایان می رسد)، اما بر 3 بخش پذیر نیست (8+7+5+6+5=31، 31 بر 3 بخش پذیر نیست)،

هنگام ضرب اعداد طبیعی مختلف در 25، الگوی زیر را دیدم: حاصلضرب ها به 00، 25، 50، 75 ختم می شوند.

پس طبیعی است یک عدد اگر به 00، 25، 50، 75 ختم شود بر 25 بخش پذیر است.

تمام علائم ذکر شده در بخش پذیری اعداد طبیعی را می توان به 4 گروه تقسیم کرد:

گروه 1 - وقتی تقسیم پذیری اعداد با آخرین رقم (های) تعیین می شود - اینها نشانه های تقسیم پذیری بر 2، بر 5، بر 4، بر 8، بر 25 هستند.

گروه 2 - وقتی تقسیم پذیری اعداد با مجموع ارقام عدد تعیین می شود - اینها نشانه های بخش پذیری بر 3، بر 9، بر 7، بر 37 هستند.

گروه 3 - وقتی تقسیم پذیری اعداد پس از انجام برخی اقدامات روی ارقام عدد مشخص می شود - اینها نشانه های تقسیم پذیری بر 7، بر 11، بر 13، بر 19 هستند.

گروه 4 - وقتی از سایر علائم بخش پذیری برای تعیین تقسیم پذیری یک عدد استفاده می شود - اینها نشانه های بخش پذیری بر 6، بر 15، بر 12، بر 14 هستند.

6. استفاده از آزمون های بخش پذیری برای اعداد طبیعی در حل مسائل.

معیارهای تقسیم پذیری هنگام یافتن GCD و LCM و همچنین هنگام حل مسائل کلمه با استفاده از GCD و LCM استفاده می شود.

وظیفه 1: (استفاده از مقسوم علیه مشترک و gcd)

دانش آموزان کلاس ششم 203 کتاب درسی خریدند. همه به همین تعداد کتاب خریدند. چند دانش آموز کلاس پنجمی بودند و هر کدام چند کتاب درسی خریدند؟

راه حل: هر دو کمیتی که باید تعیین شوند باید اعداد صحیح باشند، یعنی. در میان مقسوم‌کننده‌های عدد 203 باشید. با فاکتورگیری 203، به دست می‌آییم:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

به دلایل عملیبنابراین نمی توان 29 کتاب درسی داشته باشد و همچنین تعداد کتاب های درسی نمی تواند برابر باشد1، زیرا در این صورت 203 دانش آموز خواهند بود یعنی 29 دانش آموز کلاس پنجمی هستند که هر کدام 7 کتاب درسی خریده اند..

پاسخ : 29 کلاس ششم; 7 کتاب درسی

وظیفه 2. 60 پرتقال، 165 آجیل و 225 آب نبات وجود دارد. کدام بزرگترین عددآیا می توان از این استوک هدایای مشابه برای کودکان تهیه کرد؟ در هر مجموعه چه چیزی گنجانده شده است؟

راه حل:

تعداد هدایا باید مقسوم هر یک از اعدادی باشد که تعداد پرتقال، شیرینی و آجیل و بزرگترین آنها را بیان می کند. بنابراین، باید gcd این اعداد را پیدا کنیم. GCD (60، 175، 225) = 15. هر هدیه شامل: 60: 15 = 4 - پرتقال،175: 15 = 11 - آجیل و 225: 15 = 15 - آب نبات.

پاسخ: یک هدیه شامل 4 پرتقال، 11 آجیل، 15 آب نبات است.

وظیفه 3: در کلاس نهم برای تست 1/7 دانش آموزان A's، 1/3 - B's, 1/2 - C's دریافت کردند. بقیه کارها رضایت بخش نبود. چند اثر از این دست وجود داشت؟

راه حل: راه حل مسئله باید عددی باشد که مضربی از اعداد: 7، 3، 2 باشد. ابتدا کوچکترین این اعداد را پیدا می کنیم. LCM (7، 3، 2) = 42. شما می توانید یک عبارت با توجه به شرایط مسئله ایجاد کنید: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ناموفق.

روابط ریاضی مسئله فرض می کند که تعداد دانش آموزان کلاس 84، 126 و غیره باشد. انسان. اما به دلایلی حس مشترکبنابراین قابل قبول ترین پاسخ عدد 42 است.

پاسخ: 1 شغل.

وظیفه 4.

70 دانش آموز در دو کلاس با هم هستند. در یک کلاس 17/7 دانش آموز در کلاس حاضر نشدند و در کلاس دیگر 9/2 در درس ریاضی نمرات عالی گرفتند. در هر کلاس چند دانش آموز وجود دارد؟

راه حل : در کلاس اول از این کلاس ها می تواند وجود داشته باشد: 17، 34، 51... - اعداد مضرب 17. در کلاس دوم: 9، 18، 27، 36، 45، 54... - اعدادی که مضرب هستند. از 9. ما باید 1 عدد را از دنباله اول انتخاب کنیم و 2 عددی از دومی است به طوری که جمع آنها به 70 برسد. علاوه بر این، در این دنباله ها فقط تعداد کمی از عبارت ها می توانند تعداد احتمالی فرزندان را بیان کنند. کلاس این توجه به طور قابل توجهی انتخاب گزینه ها را محدود می کند. تنها گزینه ممکن جفت (34، 36) بود.

پاسخ: در کلاس اول 34 دانش آموز و در پایه دوم 36 دانش آموز تحصیل می کنند.

وظیفه 5.

دو اتوبوس از یک میدان در مسیرهای مختلف حرکت می کنند. یکی از اتوبوس ها 48 دقیقه به آنجا و برگشت و دیگری 1 ساعت و 12 دقیقه طول می کشد. چقدر طول می کشد تا اتوبوس ها دوباره در همان میدان به هم برسند؟

راه حل: NOC(48، 72) = 144 (دقیقه). 144 دقیقه = 2 ساعت و 24 دقیقه

پاسخ: پس از 2 ساعت و 24 دقیقه اتوبوس ها دوباره در همان میدان به هم می رسند.

وظیفه 6.

وانیا یک ایده ساده دارد عدد سه رقمی، که همه اعداد آنها متفاوت است. اگر آخرین رقم آن برابر با مجموع دو عدد اول باشد، به چه رقمی ختم می شود؟ نمونه هایی از این اعداد را ذکر کنید.

پاسخ: فقط می تواند با عدد 7 خاتمه یابد. 4 عدد وجود دارد: 167، 257، 347، 527.

7. نتیجه گیری.

نتیجه گیری:

در حین انجام کار، با تاریخچه توسعه علائم بخش پذیری آشنا شدم، علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25 را فرموله کردم و تأییدی بر این موضوع از ادبیات اضافی یافتم. من همچنین متقاعد شدم که نشانه های دیگری از بخش پذیری اعداد طبیعی (با 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37) وجود دارد که صحت فرضیه وجود سایر علائم تقسیم پذیری اعداد طبیعی را تأیید می کند.

فهرست ادبیات مورد استفاده (منابع):

1. گالکین V.A. مسائل مربوط به موضوع "معیارهای تقسیم پذیری". // ریاضیات، 1999.-№5.-P.9.
2. Gusev V.A.، Orlov A.I.، Rosenthal A.L. کار فوق برنامه در ریاضیات در پایه های 6-8. - M.: آموزش و پرورش، 1984.
3. کاپلان ال.ام. GCD و LCM در مشکلات. // ریاضیات، 1378.- شماره 7. - ص 4-6.
4. پلمن یا.آی. ریاضیات جالبه! – M.: TERRA – Book Club, 2006.
5. فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان./ Comp. ساوین A.P. – م.: پداگوژی، 1368. – ص 352.
6. منابع - اینترنت.

اعداد مورد استفاده برای شمارش را نام ببرید. هر تعداد اقلام قابل شمارش با یک عدد طبیعی خاص مطابقت دارد. اگر اشیایی برای شمارش وجود نداشته باشد، از عدد 0 استفاده می شود، اما هنگام شمارش اشیا هرگز از 0 شروع نمی کنیم و بر این اساس عدد 0 را نمی توان به عنوان طبیعی طبقه بندی کرد. واضح است که کوچکترین عدد طبیعی یک است. بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، زیرا مهم نیست که یک عدد چقدر بزرگ باشد، همیشه می توانید 1 را به آن اضافه کنید و عدد طبیعی بعدی را بنویسید.

بیایید آن را مرتب کنیم ساده ترین مثالتقسیم: عدد 30 را بر عدد 5 تقسیم کنید (باقیمانده هنگام تقسیم عدد 30 بر عدد 5 0 است)، زیرا 30 = 5 است. 6. پس عدد 30 بر عدد 5 بخش پذیر است. عدد 5 است تقسیم کنندهعدد 30 و عدد 30 است چندگانهشماره 5.

عدد طبیعی ک n، اگر چنین عدد طبیعی وجود داشته باشد متر، که برای آن برابری برقرار است ک = n . متر.

یا به عبارت دیگر , برای تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، باید عدد سومی را پیدا کنید که وقتی در عدد دوم ضرب می شود، عدد اول را به دست می دهد.

اگر یک عدد طبیعی است کبر یک عدد طبیعی بخش پذیر است n، سپس شماره کتماس گرفت مضرب عدد,

عدد n — مقسوم علیه یک عدد ک.

اعداد 1، 2، 3، 6، 10، 15، 30 نیز مقسوم علیه 30 هستند و 30 مضرب هر یک از این اعداد است. توجه داشته باشید که عدد 30 بر مثلا عدد 7 بخش پذیر نیست بنابراین عدد 7 مقسوم علیه عدد 30 نیست و عدد 30 مضرب عدد 7 نیست.

پس از انجام عملیات تقسیم می گویند: «عدد کقابل تقسیم بر عدد n"، "عدد nمقسوم علیه یک عدد است ک"، "عدد کمضرب عدد n"، "عدد کمضرب عدد است n».

به راحتی می توان تمام مقسوم علیه های عدد 6 را یادداشت کرد. اینها اعداد 1، 2، 3 و 6 هستند. آیا می توان تمام اعدادی را که مضرب عدد 6 هستند فهرست کرد؟ اعداد 6. 1، 6. 2، 6. 3، 6. 4، 6. 5 و غیره مضرب عدد 6 هستند. در می یابیم که تعداد بی نهایت اعداد مضربی از عدد 6 وجود دارد. بنابراین، فهرست کردن همه آنها غیرممکن است.

به طور کلی برای هر عدد طبیعی کهر یک از اعداد

ک . 1, ک . 2, ک . 3, ک . 4 , ...

مضرب عدد است ک.

حداقل مقسوم علیههر عدد طبیعی کعدد 1 است و بزرگترین مقسوم علیه- خود شماره ک.

از جمله اعدادی که مضرب هستند ک، بزرگترین وجود ندارد، اما کوچکترین وجود دارد - این خود عدد است ک.

هر یک از اعداد 21 و 36 بر عدد 3 بخش پذیرند و مجموع آنها یعنی عدد 57 نیز بر عدد 3 بخش پذیر است. بطور کلی اگر هر یک از اعداد کو nقابل تقسیم بر عدد متر، سپس مجموع k+nبر عدد نیز بخش پذیر است متر.

هر کدام از اعداد 4 و 8 نیستند سهامیک عدد صحیح بر عدد 3 است و مجموع آنها یعنی عدد 12 بر عدد 3 به طور مساوی بخش پذیر نیست. به طور مساوی بر عدد 5 بخش پذیر نیست ک، بدون شماره nبه طور مساوی بر یک عدد بخش پذیر نیستند متر، سپس مجموع ک + nممکن است بر یک عدد کامل بخش پذیر باشد یا نباشد متر

عدد 35 بدون باقیمانده بر عدد 7 بخش پذیر است اما عدد 17 بر عدد 7 بخش پذیر نیست. مجموع 35 + 17 نیز بر عدد 7 بخش پذیر نیست. به طور کلی، اگر تعداد کقابل تقسیم بر عدد مترو شماره nبر عدد بخش پذیر نیست متر، سپس مجموع ک + nبر عدد بخش پذیر نیست متر

اعداد صحیح

مجموعه ای از اعداد طبیعی که برای شمارش یا انتقال استفاده می شود.

به طور رسمی، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از سیستم بدیهی Peano تعریف کرد.

باسیستم بدیهیات Peano

1 واحد - عدد طبیعی که از هیچ عددی پیروی نمی کند.

2. برای هر عدد طبیعی وجود دارد مفرد
که بلافاصله دنبال می شود.

3. هر عدد طبیعی
بلافاصله فقط یک عدد را دنبال می کند.

4. اگر برخی از مجموعه
شامل و همراه با هر عدد طبیعی شامل عدد بلافاصله پس از آن است
(اصول القاء).

عملیات روی یک مجموعه

ضرب

منها کردن :

خصوصیات تفریق: اگر
که

اگر
که

بخش پذیری اعداد طبیعی

بخش : تقسیم بر
به طوری که

خواصعملیات:

1. اگر
تقسیم می شوند که
تقسیم بر

2. اگر
و
تقسیم می شوند که
تقسیم بر

3. اگر
و بر آن بخش پذیر است

4. اگر تا آن زمان قابل تقسیم باشد
تقسیم بر

5. اگر
بر a تقسیم می شوند به این و آن تقسیم نمی شوند
قابل تقسیم بر

6. اگر یا با آن تقسیم می شود
تقسیم بر

7. اگر قابل تقسیم بر
سپس تقسیم بر و تقسیم می شود

قضیهدر مورد تقسیم با باقی ماندهبرای هر عدد طبیعی
فقط یکی وجود دارد اعداد مثبت
به طوری که
و

اثبات. اجازه دهید
الگوریتم زیر را در نظر بگیرید:

	اگر اگر سپس یک تفریق دیگر انجام می دهیم فرآیند تفریق را تا زمانی ادامه می دهیم که باقی مانده باشد تعداد کمتر یک عدد وجود دارد به طوری که
	بیایید تمام خطوط این الگوریتم را جمع کنیم و عبارت مورد نیاز را به دست آوریم

ما منحصر به فرد بودن نمایش را با تضاد اثبات خواهیم کرد.

فرض کنید دو نمایش وجود دارد

و
یک عبارت را از دیگری کم کنید و
آخرین برابری در اعداد صحیح فقط در مورد از آن زمان ممکن است
در
□

نتیجه 1. هر عدد طبیعی را می توان به صورت زیر نشان داد:
یا یا

نتیجه 2. اگر
اعداد طبیعی متوالی، پس یکی از آنها بر بخش پذیر است

نتیجه 3. اگر
دو عدد زوج متوالی، پس یکی از آنها بر بخش پذیر است

تعریف. عدد طبیعی اگر مقسوم علیه دیگری جز یک و خودش نداشته باشد اول نامیده می شود.

نتیجه4. هر عدد اول شکلی دارد
یا

در واقع، هر عددی را می توان به شکل نمایش داد؛ با این حال، تمام اعداد در این سری به جز
قطعا کامپوزیت هستند □

نتیجه5 . اگر
پس عدد اول
تقسیم بر

واقعا،
سه عدد طبیعی متوالی و
حتی، و
عدد اول عجیب و غریب بنابراین یکی از اعداد زوج است
و
بر 4 بخش پذیر است و یک نیز بر 4 بخش پذیر است □

مثال 2 . عبارات زیر درست است:

1. مجذور یک عدد فرد با تقسیم بر 8 باقیمانده می دهد

2. برای هیچ عدد طبیعی n عدد n 2 +1 بر 3 بخش پذیر نیست.

3. تنها با استفاده از اعداد 2، 3، 7، 8 (احتمالاً چندین بار)، نمی توان یک عدد طبیعی را مربع کرد.

اثبات1. همه جور چیز عدد فردرا می توان در فرم نشان داد
یا
بیایید هر یک از این اعداد را مربع کنیم و عبارت مورد نیاز را بدست آوریم.

اثبات 2.هر عدد طبیعی را می توان به صورت نمایش داد
سپس بیان
برابر یکی از عبارات خواهد بود
که به آنها تقسیم نمی شوند

اثبات3. در واقع، آخرین رقم مربع یک عدد طبیعی نمی تواند به هیچ یک از این ارقام ختم شود.

نشانه های تقسیم پذیری

تعریف. نمایش اعشاری یک عدد طبیعی، نمایش یک عدد به شکل است

علامت اختصاری

نشانه های تقسیم پذیری به

تایید شده 6اجازه دهید
نمایش دهدهی عدد سپس:

1. عدد بر بخش پذیر است
وقتی شماره - زوج؛

2. عدد بر بخش پذیر است وقتی عدد دو رقمی باشد
تقسیم بر

3. عدد بر بخش پذیر است چه زمانی
یا

4. عدد بر بخش پذیر است
چه زمانی

5. عدد بر بخش پذیر است
وقتی عدد دو رقمی باشد
- تقسیم بر

6. عدد بر بخش پذیر است

7. عدد بر بخش پذیر است وقتی مجموع ارقام یک عدد تقسیم شود

8. عدد بر بخش پذیر است
وقتی مجموع ارقام یک عدد با علائم متناوب تقسیم بر

اثباتاثبات علائم 1)-5) به راحتی از نماد اعشاری عدد بدست می آید. اجازه دهید 6) و 7 را ثابت کنیم. واقعا،

نتیجه این است که اگر بخش پذیر باشد (یا
پس مجموع ارقام عدد نیز بر آن بخش پذیر است

بگذارید 11 را ثابت کنیم). بگذارید بر بخش پذیر باشد اجازه دهید عدد را در شکل نمایش دهیم

از آنجایی که تمام مجموع جمع شده بر تقسیم می شوند
سپس مقدار نیز بر □ تقسیم می شود

مثال 3 . تمام اعداد پنج رقمی فرم را پیدا کنید
که بر 45 بخش پذیرند.

اثبات
بنابراین، عدد بر 5 بخش پذیر است و رقم آخر آن 0 یا 5 است، یعنی.
یا
عدد اصلی نیز بر 9 بخش پذیر است، بنابراین بر 9 بخش پذیر است، یعنی.
یا قابل تقسیم بر 9، یعنی.

پاسخ:

آزمون تقسیم پذیریبر و

تایید شده 7اجازه دهید نمایش دهدهی عدد Number Number بر بخش پذیر باشد
وقتی تفاوت بین یک عدد بدون سه رقم آخر و یک عدد ساخته شده از سه رقم آخر تقسیم بر

اثباتبیایید آن را به شکل Since the number نشان دهیم
تقسیم بر و
که
قابل تقسیم بر و □

مثال 4 . اجازه دهید
سپس
بر عدد و در نتیجه بخش پذیر است
تقسیم بر

اجازه دهید
سپس

بخش پذیر بر سپس عدد
تقسیم بر

اعداد اول

غربال اراتوستن

(الگوریتم ساده برای بدست آوردن تمام اعداد اول)

الگوریتم.همه اعداد از 1 تا 100 را یادداشت می کنیم و ابتدا همه زوج ها را خط می زنیم. سپس، از بقیه موارد، آنهایی را که بر 3، 5، 7 و غیره تقسیم می شوند خط می زنیم. در نتیجه فقط اعداد اول باقی خواهند ماند.

قضیه اقلیدس. تعداد اعداد اول بی نهایت است.

اثبات"با تناقض." بگذارید تعداد اعداد اول متناهی باشد -
عدد را در نظر بگیرید
سوال: شماره - ساده یا مرکب؟

اگر یک عدد مرکب باشد، بر تعدادی عدد اول بخش پذیر است و بنابراین یک بر این عدد اول تقسیم می شود. تناقض.

اگر عدد اول است، پس از هر عدد اولی بزرگتر است
و همه اعداد اول را نوشتیم و شماره گذاری کردیم. باز هم تناقض □

تایید شده 8اگر عددی مرکب باشد، مقسوم علیه اول دارد به طوری که

اثباتاگر کوچکترین مقسوم علیه عدد مرکب است
که

نتیجه.برای تعیین اینکه یک عدد اول است یا خیر، باید تعیین کنید که آیا آن ضرایب اول دارد یا خیر

مثال 5 . اجازه دهید
برای بررسی اینکه آیا یک عدد وجود دارد یا خیر
ساده، باید بررسی کنید که آیا بر اعداد اول بخش پذیر است یا خیر پاسخ: عدد
ساده.

مولد اعداد اول

فرضیه:تمام شماره های فرم
ساده.

در
- اینها اعداد اول هستند
برای
به صورت دستی و با کمک کامپیوتر ثابت شده است که همه اعداد ترکیبی هستند.

به عنوان مثال، (اویلر)

فرضیه:تمام شماره های فرم
ساده.

در
این درست است، آه
قابل تقسیم بر 17

فرضیه: تمام شماره های فرم
ساده.

در
این درست است، آه

فرضیه:همه اعداد فرم اول هستند. در
این درست است، آه

قضیه.(روش فاکتورگیری فرمت) عدد صحیح فرد اول نیست
اعداد طبیعی وجود دارند که
اثبات

□

مثال 6 . اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید

مثال 7 . فاکتور یک عدد
این عدد بر 3 بخش پذیر است
علاوه بر این، با توجه به روش انتخاب عوامل،

مثال 8 . در چه اعداد صحیح

ساده؟

توجه داشته باشید که از زمان
ساده، سپس هر دو
یا
پاسخ:

تایید شده 10آیا یک عدد طبیعی زمانی که یک مربع کامل باشد تعداد فرد مقسوم علیه دارد؟

اثباتاگر
مقسم
سپس دارای دو جفت مقسوم علیه مختلف است
و
و وقتی که
هر دو جفت برابر خواهند بود.

مثال 9 . اعداد دقیقاً 99 مقسوم علیه دارند. آیا یک عدد می تواند دقیقا 100 مقسوم علیه داشته باشد؟

پاسخ: خیر معتبر با خاصیت قبلی و - مربع های کامل، اما کار آنها نیست.

مثال 10 . شماره
ساده. پیدا کردن

راه حل.هر عددی را می توان به صورت نمایش داد
اگر
سپس سه عدد اول بدست می آورید
ارضای شرایط مشکل اگر
که
کامپوزیت. اگر
آن عدد
تقسیم بر و اگر
آن عدد
بر بخش پذیر است بنابراین در تمام گزینه های در نظر گرفته شده سه عدد اول به دست نمی آید. پاسخ:

تعریف. عدد بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد نامیده می شود و اگر تقسیم شود و بزرگترین این اعداد باشد.

تعیین:

تعریف . اعداد و گفته می شود که اگر نسبتا اول هستند

مثال 1 2 . معادله را با اعداد طبیعی حل کنید

راه حل.اجازه دهید

بنابراین، معادله به نظر می رسد پاسخ: هیچ راه حلی وجود ندارد.

در بارهقضیه اساسی حساب

قضیه.هر عدد طبیعی بزرگتر یا عدد اول است یا می توان آن را به صورت حاصل ضرب اعداد اول نوشت و این حاصل ضرب تا ترتیب ضرایب منحصر به فرد است.

نتیجه 1.اجازه دهید

سپس
برابر است با حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک با کمترین توان.

نتیجه 2.اجازه دهید
سپس
برابر است با حاصلضرب همه عوامل اول مختلف با بیشترین توان. تقسیم بر

10. رقم آخر عدد 7 2011 + 9 2011 را بیابید.

11. تمام اعداد طبیعی را که در صورت قرار دادن صفر بین رقم واحد و رقم ده ها، 9 برابر می شوند، بیابید.

12.به برخی عدد دو رقمیچپ و راست یکی اختصاص داده شد. نتیجه عددی 23 برابر بزرگتر از نسخه اصلی بود. این شماره را پیدا کنید

سوالاتی در مورد تئوری یا تمرینات را می توان از والری پتروویچ چواکوف پرسید

chv @ uriit . ru

ادبیات اضافی

1. Vilenkin N.Ya. و دیگران پشت صفحات کتاب ریاضی. حسابی. جبر. -M.: آموزش و پرورش، 2008.

2. سوریوکوف P.F. آمادگی برای حل مسائل المپیاد در ریاضیات. -M.: Ilexa، 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya.، Kovaldzhi A.K. چگونه تصمیم می گیرند وظایف غیر استاندارد. - م. MCNMO، 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. المپیادهای ریاضی منطقه مسکو. – م.: فیزمتکنگا، 2006

5. گورباچف ​​N.V. مجموعه مسائل المپیاد، –M.:MCNMO، 2004

سخنرانی

نکات سخنرانی برای درس "نظریه اعداد"

سخنرانی

بخش های زیر از نظریه شماره: تئوری تقسیم پذیری، ساده و مرکب ... قضیه. اجازه دهید x>0، xR، dN. تعداد طبیعیشمارهمضرب d که از x تجاوز نکند برابر است با... سخنرانی 12 13 سخنرانی 13 15 ادبیات. 17 خلاصهسخنرانی هادر درس "نظریه ها" شماره" ...

یادداشت های سخنرانی در مورد علم شناسی

خلاصه

پاولیوچنکوف خلاصهسخنرانی هادر مطالعات فرهنگی ... ناهموار و وجود داشت در داخل طبیعیمزارع در پولیس است ... تحقیق بینهایت کوچک شمارهتا حد زیادی خلقت را تکمیل کرده اند... در حالی که ماده قابل تقسیمتا بی نهایت. معنوی...

یادداشت های سخنرانی منطق شادرین

خلاصه

نمایندگی می کند خلاصهسخنرانی هادر رشته "منطق". خلاصهسخنرانی هاگردآوری شده در ... این تعریف است طبیعیشماره. بنابراین، اگر 1 - طبیعیعدد و n - طبیعیشماره، سپس 1 ... تمام حجم را خسته کنید قابل تقسیممفاهیم، ​​پس ...