درس "معادلات مثلثاتی همگن". معادلات مثلثاتی همگن (درجه 10)

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

اولین متغیر در توان با مقداری ضریب باید اول باشد. در مورد ما اینطور است

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، این بدان معنی است که درجه در متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم تا درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول توان و متغیر دوم مربع با ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها باید مجموع درجات مجهولات یکسان باشد.

مجموع درجات برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع درجات برابر است.

همانطور که می بینید همه چیز مناسب است!!!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با فاکتورگیری هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2.

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با انجام جایگزینی، یک معادله درجه دوم ساده بدست می آوریم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3.

بیایید معادله را بر (شرط) تقسیم کنیم.

پاسخ:

مثال 4.

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما باید تقسیم نکنید، بلکه ضرب کنید. بیایید کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس، پاسخ را دریافت می کنیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن با روش های حل توضیح داده شده در بالا تفاوتی ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و بتواند تصمیم بگیرد معادلات مثلثاتی(برای این می توانید بخش را بخوانید).

بیایید با استفاده از مثال به چنین معادلاتی نگاه کنیم.

مثال 5.

معادله را حل کنید.

ما یک معادله همگن معمولی می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل چنین معادلات همگن دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: , so. اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله داده شده است، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6.

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. بیایید این مورد را در نظر بگیریم که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. از همین رو.

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

بیایید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت حل می شوند. اگر فراموش کردید که چگونه تصمیم بگیرید معادلات نمایی- به بخش مربوطه () نگاه کنید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، با انجام جایگزینی، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم (نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح متوسط

ابتدا با استفاده از مثال یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

حل مشکل:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و، - اکنون متغیر در معادله مقدار مورد نظر است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که به راحتی با استفاده از قضیه ویتا قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که هر جمله آن مجموع قدرت مجهولات یکسانی دارد. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات به این درجه حل می شوند:

و جایگزینی متعاقب متغیرها: . بنابراین ما یک معادله توان با یک مجهول بدست می آوریم:

اغلب ما با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تنها زمانی می توانیم کل معادله را بر یک متغیر تقسیم (و ضرب) کنیم که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم که از آنجایی که امکان تقسیم وجود ندارد. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما، قبل از تقسیم بر و بدست آوردن یک نسبی معادله درجه دوم، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این صورت معادله به شکل: . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه: . بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

اما در اینجا باید به جای تقسیم، ضرب کنیم:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را نگرفته اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر تقسیم کنیم، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که صد نیست برابر با صفر:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات توان و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

آخرین جزئیات، نحوه حل وظایف C1 از آزمون دولتی واحد در ریاضیات - حل معادلات مثلثاتی همگننحوه حل آنها را در این درس آخر به شما خواهیم گفت.

این معادلات چیست؟ بیایید آنها را به صورت کلی بنویسیم.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

که در آن "a" و "b" برخی از ثابت ها هستند. این معادله معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله مثلثاتی همگن درجه یک

برای حل چنین معادله ای باید آن را بر '\cos x' تقسیم کنید. سپس فرم به خود می گیرد

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

پاسخ چنین معادله ای به راحتی با استفاده از مماس قوس نوشته می شود.

توجه داشته باشید که `\cos x ≠0`. برای تأیید این موضوع، به جای کسینوس، صفر را در معادله جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که سینوس نیز باید برابر با صفر باشد. با این حال، آنها نمی توانند در همان زمان برابر با صفر باشند، به این معنی که کسینوس صفر نیست.

برخی از سوالات امتحان واقعی امسال شامل یک معادله مثلثاتی همگن بود. لینک را دنبال کنید. ما یک نسخه کمی ساده شده از مشکل را در نظر خواهیم گرفت.

مثال اول حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول

$$\sin x + \cos x = 0.$$

تقسیم بر '\cos x'.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

تکرار می کنم، کار مشابهی در آزمون یکپارچه دولتی بود :) البته، شما هنوز هم باید ریشه ها را انتخاب کنید، اما این نیز نباید مشکل خاصی ایجاد کند.

حال به سراغ نوع بعدی از معادله می رویم.

معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

به طور کلی به نظر می رسد این است:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

که در آن "a، b، c" برخی از ثابت ها هستند.

چنین معادلاتی با تقسیم بر '\cos^2 x' (که باز هم صفر نیست) حل می شود. بیایید فوراً به یک مثال نگاه کنیم.

مثال دوم حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$\sin^2 x - 2\sin x \، \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

بیایید «t = \tg x» را جایگزین کنیم.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3،\t_2 = -1.$$

تعویض معکوس

$$\tg x = 3، \text(یا ) \tg x = -1،$$

$$x = \arctan(3)+\pi k، \text(یا ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

پاسخ دریافت شده است.

مثال سوم. حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

همه چیز خوب خواهد بود، اما این معادله همگن نیست - «-2» در سمت راست با ما تداخل دارد. چه باید کرد؟ بیایید از هویت مثلثاتی اولیه استفاده کنیم و با استفاده از آن «-2» بنویسیم.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ) $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0، $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

جایگزینی `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3)،\ t_2 = -\sqrt(3).$$

پس از انجام تعویض معکوس، دریافت می کنیم:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(یا ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

این آخرین نمونه در این آموزش است.

طبق معمول، اجازه دهید یادآوری کنم: تمرین برای ما همه چیز است. مهم نیست که یک فرد چقدر باهوش باشد، مهارت ها بدون آموزش رشد نمی کنند. در طول امتحان، این مملو از اضطراب، اشتباهات و از دست دادن زمان است (این لیست را خودتان ادامه دهید). حتما درس بخون!

وظایف آموزشی

حل معادلات:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. این یک تکلیف از آزمون واقعی یکپارچه دولتی 2013 است.
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. فرمول درس هفت مفید خواهد بود.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

همین. و طبق معمول، در نهایت: سوالات خود را در نظرات بپرسید، لایک کنید، ویدیوها را تماشا کنید، یاد بگیرید که چگونه آزمون دولتی واحد را حل کنید.

"عظمت انسان در توانایی او در تفکر است."
بلز پاسکال

اهداف درس:

1) آموزشی- دانش‌آموزان را با معادلات همگن آشنا کنید، روش‌هایی را برای حل آنها در نظر بگیرید و رشد مهارت‌های حل معادلات مثلثاتی را که قبلاً مطالعه شده‌اند، ارتقا دهید.

2) رشدی- توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، فعالیت های شناختی آنها، تفکر منطقی، حافظه ، توانایی کار در موقعیت مشکل ، دستیابی به توانایی بیان صحیح ، مداوم ، منطقی افکار ، گسترش افق دانش آموزان و افزایش سطح فرهنگ ریاضی آنها.

3) آموزشی- پرورش میل به خودسازی، کار سخت، توسعه توانایی انجام صحیح و دقیق یادداشت های ریاضی، پرورش فعالیت، کمک به تحریک علاقه به ریاضیات.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

1. کارت پانچ برای شش دانش آموز.
2. کارت های مستقل و کار فردیدانش آموزان.
3. مخفف "حل معادلات مثلثاتی"، "دایره واحد عددی".
4. جداول مثلثاتی برق دار
5. ارائه برای درس (پیوست 1).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی (2 دقیقه)

سلام متقابل؛ بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس ( محل کار, ظاهر) سازمان توجه

معلم موضوع درس، اهداف را به دانش آموزان می گوید (اسلاید 2)و توضیح می دهد که در طول درس از جزوه هایی که روی میز است استفاده می شود.

2. تکرار مطالب تئوری (15 دقیقه)

کارهای کارت پانچ(6 نفر) . زمان کار با استفاده از کارت های پانچ - 10 دقیقه (پیوست 2)

پس از حل تکالیف، دانش آموزان می آموزند که کجا درخواست می کنند محاسبات مثلثاتی. پاسخ‌های زیر به دست می‌آیند: مثلث‌سازی (تکنیکی که به فرد اجازه می‌دهد تا فاصله ستاره‌های نزدیک را در نجوم اندازه‌گیری کند)، آکوستیک، اولتراسوند، توموگرافی، ژئودزی، رمزنگاری.

(اسلاید 5)

بررسی از جلو.

1. به چه معادلاتی مثلثاتی می گویند؟
2. چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟
3. ساده ترین معادلات مثلثاتی به چه معادلاتی گفته می شود؟
4. به چه معادلاتی مثلثاتی درجه دوم می گویند؟
5. تعریف آرکسین a را فرموله کنید.
6. تعریف کسینوس قوس a را فرموله کنید.
7. تعریف قاعده الف را فرموله کنید.
8. تعریف کوتانژانت قوس عدد a را فرموله کنید.

بازی "حدس بزن کلمه رمزگذاری شده"

بلز پاسکال زمانی گفت که ریاضیات آنقدر علمی جدی است که نباید فرصتی را از دست داد تا کمی سرگرم کننده تر شود. به همین دلیل بازی کردن را پیشنهاد می کنم. پس از حل مثال ها، دنباله اعداد مورد استفاده برای نوشتن کلمه رمزگذاری شده را تعیین کنید. در لاتین این کلمه به معنای "سینوس" است. (اسلاید 3)

2) قوس tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

پاسخ: "خم شدن"

بازی "ریاضیدان انتزاعی"»

وظایف کار شفاهی روی صفحه نمایش داده می شود:

بررسی کنید که معادلات به درستی حل شده باشند.(پاسخ صحیح پس از پاسخ دانش آموز در اسلاید ظاهر می شود). (اسلاید 4)

	پاسخ هایی با خطا	پاسخ های درست
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	ایکس = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1، x = π/4+πn
	x = ± π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn	x = (-1)n arcsin1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2، x = ± π/3+2πn

معاینه مشق شب.

معلم صحت و آگاهی از تکمیل تکالیف را توسط همه دانش آموزان مشخص می کند. شکاف های دانش را شناسایی می کند. دانش، مهارت و توانایی دانش آموزان در زمینه حل معادلات مثلثاتی ساده را بهبود می بخشد.

1 معادله دانش آموز در مورد جواب معادله که خطوط آن به ترتیب نظر در اسلاید ظاهر می شود نظر می دهد). (اسلاید 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= آرکتان 1/√3 +πn, n ∈ز.

2х= π/6 +πn, n ∈ز.

x= π/12 + π/2 n n ∈ز.

2 معادله. راه حل ساعتبرای دانش آموزان روی تخته نوشته شده است.

2 گناه 2 x + 3 cosx = 0.

3. به روز رسانی دانش جدید (3 دقیقه)

دانش آموزان به درخواست معلم راه های حل معادلات مثلثاتی را به یاد می آورند. آنها معادلاتی را انتخاب می کنند که از قبل می دانند چگونه حل کنند، روش حل معادله و نتیجه حاصل را نام می برند. . پاسخ ها در اسلاید ظاهر می شوند. (اسلاید 7) .

معرفی یک متغیر جدید:

شماره 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

بگذارید sinx = t، سپس:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

فاکتورسازی:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 یا 3 sinx - 1 = 0; ...

شماره 3. 2 sinx – 3 cosx = 0،

شماره 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

معلم:شما هنوز نمی دانید که چگونه دو نوع معادله آخر را حل کنید. آنها هر دو یک گونه هستند. آنها را نمی توان به معادله ای برای توابع sinx یا cosx تقلیل داد. نامیده می شوند معادلات مثلثاتی همگناما فقط اولی معادله همگن درجه اول و دومی معادله همگن درجه دوم است. امروز در درس با چنین معادلاتی آشنا می شویم و نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

4. توضیح مطالب جدید (25 دقیقه)

معلم تعاریفی از معادلات مثلثاتی همگن به دانش آموزان می دهد و روش هایی را برای حل آنها معرفی می کند.

تعریف.معادله ای به شکل a sinx + b cosx = 0 که a ≠ 0، b ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی همگن درجه اول.(اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 3 است. ما آن را می نویسیم فرم کلیمعادله و تجزیه و تحلیل آن

a sinx + b cosx = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

- آیا چنین وضعیتی ممکن است رخ دهد؟

- نه ما یک تناقض با هویت مثلثاتی اساسی به دست آورده ایم.

این به معنای cosx ≠ 0 است. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cosx انجام دهیم:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a- ساده ترین معادله مثلثاتی

نتیجه:معادلات مثلثاتی همگن درجه اول با تقسیم دو طرف معادله بر cosx (sinx) حل می شوند.

مثلا: 2 sinx – 3 cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

tgx = 3/2 ;

x = آرکتان (3/2) +πn، n ∈Z.

تعریف.معادله ای به شکل a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 که a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی درجه دوم (اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 4 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

باز هم با هویت مثلثاتی اصلی تناقض داشتیم.

این به معنای cosx ≠ 0 است. اجازه دهید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 x انجام دهیم:

و tg 2 x + b tgx + c = 0 معادله ای است که به درجه دوم کاهش می یابد.

نتیجه گیری: اوهمعادلات مثلثاتی همگن درجه دوم با تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x (sin 2 x) حل می شوند.

مثلا: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (از دانش آموز دعوت کنید تا به تخته برود و معادله را به طور مستقل کامل کند).

جایگزینی: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 یا y 2 = 1/3

tgx = 1 یا tgx = 1/3

x = آرکتان (1/3) + πn، n ∈Z.

x = آرکتان + πn، n ∈Z.

x = π/4 + πn، n ∈Z.

5. مرحله بررسی درک دانش آموزان از مطالب جدید (1 دقیقه).

فرد فرد را انتخاب کنید:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(اسلاید 9)

6. ادغام مواد جدید (24 دقیقه).

دانش آموزان به همراه پاسخ دهندگان معادلات را روی تخته حل می کنند مواد جدید. کارها در اسلاید به شکل جدول نوشته می شوند. هنگام حل یک معادله، قسمت مربوطه از تصویر در اسلاید باز می شود. در نتیجه تکمیل 4 معادله، تصویری از یک ریاضیدان به دانش آموزان ارائه می شود که تأثیر قابل توجهی در توسعه مثلثات داشته است. (دانش آموزان پرتره فرانسوا ویتا، ریاضیدان بزرگی را که سهم بزرگی در مثلثات داشت، که خاصیت ریشه های کاهش یافته را کشف کرد، تشخیص خواهند داد. معادله درجه دومو در رمزنگاری کار می کرد) . (اسلاید 10)

1) √3sinx + cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = آرکتان (–1/√3) + πn، n ∈Z.

x = –π/6 + πn، n∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

جایگزینی: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 یا y 2 = 3

tgx = 7 یا tgx = 3

x = arctan7 + πn، n ∈Z

x = arctan3 + πn، n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

زیرا cos 2 2x ≠ 0، سپس 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

جایگزینی: tg2x = y.

3 در 2 - 6 درجه + 5 = 0

D = 36 - 20 = 16

y 1 = 5 یا y 2 = 1

tg2x = 5 یا tg2x = 1

2х = arctan5 + πn، n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n، n∈Z

2х = arctan1 + πn، n ∈Z

x = π/8 + π/2 n، n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠0، سپس 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

جایگزینی: tg x = y.

5у 2 + 4у - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 یا y 2 = -1

tg x = 1/5 یا tg x = -1

x = arctan1/5 + πn، n∈Z

x = آرکتان (–1) + πn، n∈Z

x = –π/4 + πn، n∈Z

علاوه بر این (روی کارت):

معادله را حل کنید و با انتخاب یک گزینه از چهار گزینه پیشنهادی، نام ریاضیدانی که فرمول های کاهش را به دست آورده است را حدس بزنید:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

پاسخ های ممکن:

x = arctan2 + 2πn، n ∈Z x = –π/2 + πn، n ∈Z – P. Chebyshev

x = آرکتان 12.5 + 2πn، n ∈Z x = -3π/4 + πn، n ∈Z - اقلیدس

x = آرکتان 5 + πn، n ∈Z x = –π/3 + πn، n ∈Z – سوفیا کووالوسکایا

x = arctan2.5 + πn، n ∈Z x = –π/4 + πn، n ∈Z – لئونارد اویلر

پاسخ صحیح: لئونارد اویلر.

7. کار مستقل متمایز (8 دقیقه)

ریاضیدان و فیلسوف بزرگ بیش از 2500 سال پیش راهی برای توسعه پیشنهاد کرد توانایی های تفکر. او گفت: «تفکر با شگفتی شروع می شود. امروز بارها دیدیم که این سخنان درست است. با تکمیل کار مستقل روی 2 گزینه، می توانید نشان دهید که چگونه بر مطالب تسلط دارید و نام این ریاضیدان را دریابید. برای کارهای مستقل، از جزوه هایی که روی میزهایتان هستند استفاده کنید. شما می توانید یکی از سه معادله پیشنهادی را خودتان انتخاب کنید. اما به یاد داشته باشید که با حل معادله مربوط به رنگ زرد، فقط می توانید "3" را با حل معادله مربوط به رنگ سبز - "4" ، رنگ قرمز - "5" بدست آورید. (پیوست 3)

دانش آموزان هر سطح از دشواری را انتخاب کنند، پس از آن تصمیم درستنسخه اول معادله کلمه "ARIST" را تولید می کند، نسخه دوم - "HOTEL". کلمه روی اسلاید این است: "ARIST-HOTEL". (اسلاید 11)

برگ با کار مستقلبرای تأیید ارائه می شوند. (پیوست 4)

8. ضبط تکالیف (1 دقیقه)

D/Z: §7.17. 2 معادله همگن درجه اول و 1 معادله همگن درجه دوم را بنویسید و حل کنید (برای نوشتن از قضیه ویتا استفاده کنید). (اسلاید 12)

9. جمع بندی درس، نمره گذاری (2 دقیقه)

معلم یک بار دیگر توجه را به آن دسته از معادلات و آن واقعیت های نظری که در درس یادآور شد، جلب می کند و در مورد نیاز به یادگیری آنها صحبت می کند.

دانش آموزان به سوالات پاسخ می دهند:

1. با چه نوع معادلات مثلثاتی آشنا هستیم؟
2. این معادلات چگونه حل می شوند؟

معلم موفق ترین کار دانش آموزان را در درس یادداشت می کند و نمره می دهد.

امروز به بررسی معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم. ابتدا بیایید به اصطلاح نگاه کنیم: معادله مثلثاتی همگن چیست. دارای ویژگی های زیر است:

1. باید شامل چندین اصطلاح باشد.
2. همه اصطلاحات باید دارای مدرک یکسان باشند.
3. همه توابع موجود در یک هویت مثلثاتی همگن باید لزوماً آرگومان یکسانی داشته باشند.

الگوریتم حل

بیایید شرایط را انتخاب کنیم

و اگر همه چیز با نکته اول روشن است، پس ارزش آن را دارد که در مورد دوم با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. یعنی چی همان درجهمقررات؟ بیایید به مشکل اول نگاه کنیم:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

اولین جمله در این معادله است 3cosx 3\cos x. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا فقط یک تابع مثلثاتی وجود دارد - cosx\cos x - و هیچ توابع مثلثاتی دیگری در اینجا وجود ندارد، بنابراین درجه این عبارت 1 است. با دومی یکسان است - 5سینکس 5\sin x - در اینجا فقط سینوس وجود دارد، یعنی درجه این عبارت نیز برابر با یک است. بنابراین، ما یک هویت متشکل از دو عنصر داریم که هر کدام شامل یک تابع مثلثاتی و فقط یک عنصر است. این یک معادله درجه یک است.

بریم سراغ عبارت دوم:

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

اولین عضو این بنا است 4گناه2 ایکس 4((\sin )^(2))x.

اکنون می توانیم راه حل زیر را بنویسیم:

گناه2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

به عبارت دیگر، عبارت اول شامل دو مورد است توابع مثلثاتییعنی درجه آن برابر با دو است. بیایید به عنصر دوم بپردازیم - sin2x\ sin 2x. بیایید این فرمول را به یاد بیاوریم - فرمول زاویه دوتایی:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

و دوباره، در فرمول حاصل دو تابع مثلثاتی داریم - سینوس و کسینوس. بنابراین، مقدار توان این عبارت از ساخت و ساز نیز برابر با دو است.

بریم سراغ عنصر سوم - 3. از درس ریاضی دبیرستانبه یاد می آوریم که هر عددی را می توان در 1 ضرب کرد، بنابراین آن را یادداشت می کنیم:

˜ 3=3⋅1

واحدی که از اصلی استفاده می کند هویت مثلثاتیرا می توان به شکل زیر نوشت:

1=گناه2 x⋅ cos2 ایکس

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

بنابراین، می توانیم 3 را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3=3(گناه2 x⋅ cos2 ایکس)=3گناه2 x+3 cos2 ایکس

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

بنابراین عبارت 3 ما به دو عنصر تقسیم می شود که هر کدام همگن هستند و درجه دوم دارند. سینوس در جمله اول دو بار و کسینوس در جمله دوم نیز دو بار رخ می دهد. بنابراین، 3 را می توان به عنوان یک عبارت با توان دو نشان داد.

عبارت سوم هم همینطور:

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

بیایید نگاهی بیندازیم. ترم اول است گناه3 ایکس((\sin )^(3))x یک تابع مثلثاتی درجه سوم است. عنصر دوم - گناه2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

گناه2 ((\sin )^(2)) یک پیوند با مقدار توان دو ضرب در است cosx\cos x اولین عبارت است. در مجموع، عبارت سوم نیز دارای مقدار توان سه است. در نهایت، در سمت راست پیوند دیگری وجود دارد - 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x یک عنصر درجه سوم است. بنابراین، ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم داریم.

ما سه هویت در درجات مختلف داریم که نوشته شده است. دوباره به عبارت دوم توجه کنید. در سوابق اصلی، یکی از اعضا بحث دارد 2 برابر 2 برابر ما مجبور هستیم با تبدیل آن با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی از شر این آرگومان خلاص شویم، زیرا همه توابع موجود در هویت ما لزوماً باید آرگومان یکسانی داشته باشند. و این یک نیاز برای معادلات مثلثاتی همگن است.

از فرمول هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم و جواب نهایی را یادداشت می کنیم

ما شرایط را مرتب کردیم، بیایید به راه حل برویم. صرف نظر از توان توان، حل برابری های این نوع همیشه در دو مرحله انجام می شود:

1) ثابت کنید که

cosx≠0

\cos x\ne 0. برای این کار کافی است فرمول هویت مثلثاتی اصلی را به خاطر بیاورید. (گناه2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \راست) و به این فرمول جایگزین کنید cosx=0\cos x=0. عبارت زیر را دریافت خواهیم کرد:

گناه2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end (تراز کردن)

جایگزینی مقادیر به دست آمده، یعنی به جای cosx\cos x صفر است و در عوض سینکس\sin x — 1 یا -1، در عبارت اصلی، یک برابری عددی نادرست دریافت خواهیم کرد. این توجیهی است که

cosx≠0

2) مرحله دوم به طور منطقی از مرحله اول پیروی می کند. از آنجا که

cosx≠0

\cos x\ne 0، هر دو طرف ساختارمان را بر تقسیم می کنیم cosnایکس((\cos )^(n))x، که در آن n n توان خود معادله مثلثاتی همگن است. این چه چیزی به ما می دهد:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

سینکسcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end (تراز کردن) \\() \\ \پایان(آرایه)\]

به لطف این، ساخت اولیه دست و پا گیر ما به معادله کاهش می یابد n n درجه نسبت به مماس که جواب آن را می توان به راحتی با تغییر متغیر نوشت. این کل الگوریتم است. بیایید ببینیم در عمل چگونه کار می کند.

ما مشکلات واقعی را حل می کنیم

وظیفه شماره 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

قبلاً متوجه شده ایم که این یک معادله مثلثاتی همگن با توانی برابر با یک است. بنابراین، اول از همه، بیایید آن را دریابیم cosx≠0\cos x\ne 0. فرض کنید برعکس، که

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

مقدار به دست آمده را با عبارت خود جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end (تراز کردن)

بر این اساس می توان گفت که cosx≠0\cos x\ne 0. معادله خود را بر تقسیم کنید cosx\cos x، زیرا کل عبارت ما دارای مقدار توان است، برابر با یک. ما گرفتیم:

3(cosxcosx) +5(سینکسcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (تراز کردن)

این یک مقدار جدول نیست، بنابراین پاسخ شامل خواهد شد arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

از آنجا که arctg arctg arctg یک تابع فرد است، ما می توانیم "منهای" را از آرگومان خارج کنیم و آن را در مقابل arctg قرار دهیم. جواب نهایی را می گیریم:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

وظیفه شماره 2

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

همانطور که به یاد دارید، قبل از شروع حل آن، باید تغییراتی را انجام دهید. ما تحولات را انجام می دهیم:

4گناه2 x+2sinxcosx-3 (گناه2 x+ cos2 ایکس)=0 4گناه2 x+2sinxcosx-3 گناه2 x-3 cos2 x=0گناه2 x+2sinxcosx-3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2)x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\پایان (تراز کردن)

ما ساختاری متشکل از سه عنصر دریافت کردیم. در ترم اول می بینیم گناه2 ((\sin )^(2))، یعنی مقدار توان آن دو است. در ترم دوم می بینیم سینکس\sin x و cosx\cos x - دوباره دو تابع وجود دارد، آنها ضرب می شوند، بنابراین درجه کل دوباره دو است. در لینک سوم می بینیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x - مشابه مقدار اول.

این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 راه حلی برای این ساختار نیست. برای انجام این کار، بیایید برعکس را فرض کنیم:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\پایان(آرایه)\]

ما این را ثابت کرده ایم cosx=0\cos x=0 نمی تواند یک راه حل باشد. بیایید به مرحله دوم برویم - کل عبارت خود را بر آن تقسیم کنیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x. چرا مربع؟ چون توان این نما معادله همگنبرابر با دو:

گناه2 ایکسcos2 ایکس+2sinxcosxcos2 ایکس−3=0 تی g2 x+2tgx-3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2)x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end (تراز کردن)

آیا می توان این عبارت را با استفاده از ممیز حل کرد؟ البته که می توانی. اما من پیشنهاد می‌کنم قضیه برعکس قضیه ویتا را یادآوری کنیم، و دریافتیم که می‌توانیم این چند جمله‌ای را به شکل دو چند جمله‌ای ساده نشان دهیم، یعنی:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text()k,k\in Z \\\end(تراز کردن)

بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند که آیا ارزش نوشتن ضرایب جداگانه برای هر گروه از راه‌حل‌های هویت‌ها را دارد یا آزار نمی‌دهد و ضرایب یکسان را در همه جا نوشت؟ شخصاً فکر می کنم استفاده از آن بهتر و قابل اعتمادتر است حروف مختلفبه طوری که اگر وارد یک دانشگاه فنی جدی با تست های اضافی در ریاضی شوید، ممتحنین در پاسخ ایراد نگیرند.

وظیفه شماره 3

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ما قبلاً می دانیم که این یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم است، هیچ فرمول خاصی مورد نیاز نیست و تنها چیزی که از ما لازم است این است که عبارت را جابجا کنیم. 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x در سمت چپ. بیایید بازنویسی کنیم:

گناه3 x+ گناه2 xcosx-2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

می بینیم که هر عنصر شامل سه تابع مثلثاتی است، بنابراین این معادله دارای مقدار توان سه است. حلش کنیم اول از همه باید این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 یک ریشه نیست:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(آرایه)\]

بیایید این اعداد را در ساختار اصلی خود جایگزین کنیم:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end (تراز کردن)

از این رو، cosx=0\cos x=0 راه حلی نیست. ما این را ثابت کرده ایم cosx≠0\cos x\ne 0. حالا که این را ثابت کردیم، اجازه دهید معادله اصلی خود را بر تقسیم کنیم cos3 ایکس((\cos )^(3))x. چرا در مکعب؟ زیرا ما به تازگی ثابت کردیم که معادله اصلی ما دارای توان سوم است:

گناه3 ایکسcos3 ایکس+گناه2 xcosxcos3 ایکس−2=0 تی g3 x+t g2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\پایان (تراز کردن)

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

tgx=t

بیایید ساختار را بازنویسی کنیم:

تی3 +تی2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

ما یک معادله مکعب داریم. چگونه آن را حل کنیم؟ در ابتدا، زمانی که این آموزش ویدیویی را جمع آوری می کردم، قصد داشتم ابتدا در مورد فاکتورگیری چند جمله ای ها و تکنیک های دیگر صحبت کنم. اما در این مورد همه چیز بسیار ساده تر است. به هویت داده شده ما نگاهی بیندازید، با عبارت با بالاترین درجه ارزش 1. علاوه بر این، همه ضرایب اعداد صحیح هستند. این بدان معناست که می‌توانیم از نتیجه‌ای از قضیه بزوت استفاده کنیم، که بیان می‌کند همه ریشه‌ها مقسوم‌کننده‌های عدد -2 هستند، یعنی عبارت آزاد.

این سؤال مطرح می شود: -2 بر چه چیزی تقسیم می شود؟ از آنجایی که 2 یک عدد اول است، گزینه های زیادی وجود ندارد. اینها می توانند اعداد زیر باشند: 1; 2 -1؛ -2. ریشه های منفی بلافاصله ناپدید می شوند. چرا؟ زیرا هر دوی آنها در مقدار مطلق بزرگتر از 0 هستند، بنابراین تی3 ((t)^(3)) از لحاظ مدول بزرگتر از تی2 ((t)^(2)). و از آنجایی که مکعب یک تابع فرد است، بنابراین عدد در مکعب منفی خواهد بود، و تی2 ((t)^(2)) - مثبت، و این کل ساخت، با t=−1 t=-1 و t=-2 t=-2، بیشتر از 0 نخواهد بود. -2 را از آن کم کنید و عددی به دست آورید که مطمئناً کمتر از 0 است. فقط 1 و 2 باقی می مانند. بیایید هر یک از این اعداد را جایگزین کنیم:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

برابری عددی صحیح را بدست آورده ایم. از این رو، t=1 t=1 ریشه است.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 یک ریشه نیست.

طبق نتیجه و همان قضیه بزوت، هر چند جمله ای که ریشه آن باشد ایکس0 ((x)_(0))، آن را به شکل زیر نشان دهید:

Q(x)=(x= ایکس0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

در مورد ما، در نقش ایکس x یک متغیر است تیتی، و در نقش ایکس0 ((x)_(0)) ریشه ای برابر با 1 است.

تی3 +تی2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

چگونه یک چند جمله ای را پیدا کنیم پ (t) P\ چپ (t\ راست)؟ بدیهی است که باید موارد زیر را انجام دهید:

P(t)= تی3 +تی2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

بیایید جایگزین کنیم:

تی3 +تی2 +0⋅t−2t-1=تی2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

بنابراین، چند جمله ای اصلی ما بدون باقیمانده تقسیم می شود. بنابراین، می توانیم برابری اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(t-1)( تی2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ما قبلاً ضریب اول را در نظر گرفته ایم. بیایید به مورد دوم نگاه کنیم:

تی2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

احتمالاً دانش‌آموزان باتجربه قبلاً متوجه شده‌اند که این ساختار ریشه‌ای ندارد، اما بیایید همچنان تمایز را محاسبه کنیم.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

متمایز کمتر از 0 است، بنابراین عبارت ریشه ندارد. در کل، ساخت و ساز عظیم به برابری معمول کاهش یافت:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(آرایه)\]

در پایان، من می خواهم چند نظر در مورد آخرین کار اضافه کنم:

1. آیا شرط همیشه برآورده می شود؟ cosx≠0\cos x\ne 0، و آیا اصلاً ارزش انجام این بررسی را دارد؟ البته نه همیشه. در مواردی که cosx=0\cos x=0 راه حلی برای برابری ما است، باید آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس یک معادله همگن تمام عیار در پرانتز باقی می ماند.
2. تقسیم یک چند جمله ای به چند جمله ای چیست؟ در واقع، اکثر مدارس این موضوع را مطالعه نمی‌کنند، و وقتی دانش‌آموزان برای اولین بار چنین طرحی را می‌بینند، یک شوک خفیف را تجربه می‌کنند. اما، در واقع، این یک تکنیک ساده و زیبا است که حل معادلات را بسیار آسان می کند درجات بالاتر. البته آموزش تصویری جداگانه ای به آن اختصاص داده خواهد شد که در آینده نزدیک منتشر خواهم کرد.

امتیاز کلیدی

معادلات مثلثاتی همگن یک موضوع مورد علاقه در همه انواع هستند تست ها. آنها را می توان خیلی ساده حل کرد - فقط یک بار تمرین کنید. برای اینکه مشخص شود در مورد چه چیزی صحبت می کنیم، اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم.

معادله مثلثاتی همگن معادله ای است که در آن هر جمله غیر صفر از تعداد یکسانی از عوامل مثلثاتی تشکیل شده باشد. اینها می توانند سینوس، کسینوس یا ترکیبی از آنها باشند - روش حل همیشه یکسان است.

درجه یک معادله مثلثاتی همگن تعداد عوامل مثلثاتی است که در عبارات غیر صفر گنجانده شده است. مثالها:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - هویت درجه 1.

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - درجه 2;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - درجه 3;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - و این معادله همگن نیست، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد - یک جمله غیر صفر که در آن هیچ عامل مثلثاتی وجود ندارد.

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 نیز یک معادله ناهمگن است. عنصر sin2x\sin 2x درجه دوم است (زیرا می توان آن را نشان داد

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x) 2sinx 2\sin x اولین است و عبارت 3 به طور کلی صفر است، زیرا هیچ سینوس یا کسینوس در آن وجود ندارد.

طرح راه حل کلی

طرح راه حل همیشه یکسان است:

بیایید وانمود کنیم که cosx=0\cos x=0. سپس sinx=±1\sin x=\pm 1 - این از هویت اصلی ناشی می شود. جایگزین کنیم سینکس\sin x و cosx\cos x به عبارت اصلی وارد شود، و اگر نتیجه مزخرف باشد (به عنوان مثال، عبارت 5=0 5=0)، به نقطه دوم بروید.

همه چیز را بر توان کسینوس تقسیم می کنیم: cosx، cos2x، cos3x... - بستگی به مقدار توان معادله دارد. برابری معمول را با مماس ها به دست می آوریم که پس از جایگزینی tgx=t می توان آن را با خیال راحت حل کرد.

tgx=tریشه های یافت شده پاسخی به عبارت اصلی خواهند بود.