EntréeDiviser un polynôme par un diagramme de Horner polynomial. Présentation sur le thème "circuit Horner"
Lors de la résolution d’équations et d’inéquations, il est souvent nécessaire de factoriser un polynôme dont le degré est égal ou supérieur à trois. Dans cet article, nous examinerons la manière la plus simple de procéder.
Comme d'habitude, tournons-nous vers la théorie pour obtenir de l'aide.
Théorème de Bezout déclare que le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme est .
Mais ce qui est important pour nous, ce n'est pas le théorème lui-même, mais corollaire de celui-ci :
Si le nombre est la racine d’un polynôme, alors le polynôme est divisible par le binôme sans reste.
Nous sommes confrontés à la tâche de trouver d'une manière ou d'une autre au moins une racine du polynôme, puis de diviser le polynôme par , où est la racine du polynôme. En conséquence, nous obtenons un polynôme dont le degré est inférieur de un au degré d'origine. Et puis, si nécessaire, vous pouvez répéter le processus.
Cette tâche se décompose en deux : comment trouver la racine d'un polynôme et comment diviser un polynôme par un binôme.
Examinons ces points de plus près.
1. Comment trouver la racine d'un polynôme.
Tout d’abord, nous vérifions si les nombres 1 et -1 sont des racines du polynôme.
Les faits suivants nous aideront ici :
Si la somme de tous les coefficients d’un polynôme est nulle, alors le nombre est la racine du polynôme.
Par exemple, dans un polynôme la somme des coefficients est nulle : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si la somme des coefficients d’un polynôme aux puissances paires est égale à la somme des coefficients aux puissances impaires, alors le nombre est la racine du polynôme. Le terme libre est considéré comme un coefficient pour un degré pair, puisque , a est un nombre pair.
Par exemple, dans un polynôme, la somme des coefficients des puissances paires est : , et la somme des coefficients des puissances impaires est : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si ni 1 ni -1 ne sont des racines du polynôme, alors nous passons à autre chose.
Pour un polynôme de degré réduit (c'est-à-dire un polynôme dans lequel le coefficient principal est le coefficient à - égal à un) La formule de Vieta est valable :
Où sont les racines du polynôme.
Il existe également des formules Vieta concernant les coefficients restants du polynôme, mais celle-ci nous intéresse.
De cette formule Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont des nombres entiers, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également un nombre entier.
Basé sur ceci, nous devons factoriser le terme libre du polynôme en facteurs, et séquentiellement, du plus petit au plus grand, vérifier lequel des facteurs est la racine du polynôme.
Prenons par exemple le polynôme
Diviseurs du terme libre : ; ; ;
La somme de tous les coefficients d'un polynôme est égale à , donc le nombre 1 n'est pas la racine du polynôme.
Somme des coefficients pour les puissances paires :
Somme des coefficients pour les puissances impaires :
Par conséquent, le nombre -1 n’est pas non plus une racine du polynôme.
Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme : le nombre 2 est donc la racine du polynôme. Cela signifie que, selon le théorème de Bezout, le polynôme est divisible par un binôme sans reste.
2. Comment diviser un polynôme en un binôme.
Un polynôme peut être divisé en binôme par une colonne.
Divisez le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne :
Il existe une autre façon de diviser un polynôme par un binôme : le schéma de Horner.
Regardez cette vidéo pour comprendre comment diviser un polynôme par un binôme avec une colonne, et en utilisant le schéma de Horner.
Je remarque que si, lors de la division par colonne, un certain degré d'inconnu manque dans le polynôme d'origine, nous écrivons 0 à sa place - de la même manière que lors de la compilation d'un tableau pour le schéma de Horner.
Ainsi, si nous devons diviser un polynôme par un binôme et qu'à la suite de la division nous obtenons un polynôme, alors nous pouvons trouver les coefficients du polynôme en utilisant le schéma de Horner :
Nous pouvons également utiliser Schéma Horner afin de vérifier si un nombre donné est une racine d'un polynôme : si le nombre est une racine d'un polynôme, alors le reste en divisant le polynôme par égal à zéro, c’est-à-dire que dans la dernière colonne de la deuxième ligne du schéma de Horner, nous obtenons 0.
En utilisant le schéma de Horner, on « fait d'une pierre deux coups » : on vérifie simultanément si le nombre est la racine d'un polynôme et on divise ce polynôme par un binôme.
Exemple. Résous l'équation:
1. Écrivons les diviseurs du terme libre et cherchons les racines du polynôme parmi les diviseurs du terme libre.
Diviseurs de 24 :
2. Vérifions si le nombre 1 est la racine du polynôme.
La somme des coefficients d'un polynôme, donc le nombre 1 est la racine du polynôme.
3. Divisez le polynôme d'origine en un binôme en utilisant le schéma de Horner.
A) Écrivons les coefficients du polynôme d’origine dans la première ligne du tableau.
Comme le terme contenant est manquant, dans la colonne du tableau dans laquelle le coefficient doit être écrit, nous écrivons 0. À gauche, nous écrivons la racine trouvée : le nombre 1.
B) Remplissez la première ligne du tableau.
Dans la dernière colonne, comme prévu, nous avons obtenu zéro ; nous avons divisé le polynôme d'origine par un binôme sans reste. Les coefficients du polynôme issu de la division sont indiqués en bleu dans la deuxième ligne du tableau :
Il est facile de vérifier que les nombres 1 et -1 ne sont pas des racines du polynôme
B) Continuons le tableau. Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme :
Ainsi, le degré du polynôme, obtenu à la suite d'une division par un, est inférieur au degré du polynôme d'origine, par conséquent, le nombre de coefficients et le nombre de colonnes sont un de moins.
Dans la dernière colonne, nous avons -40 - un nombre qui n'est pas égal à zéro, donc le polynôme est divisible par un binôme avec un reste et le nombre 2 n'est pas la racine du polynôme.
C) Vérifions si le nombre -2 est la racine du polynôme. La tentative précédente ayant échoué, pour éviter toute confusion avec les coefficients, j'effacerai la ligne correspondant à cette tentative :
Super! Nous avons obtenu zéro comme reste, donc le polynôme a été divisé en un binôme sans reste, donc le nombre -2 est la racine du polynôme. Les coefficients du polynôme obtenu en divisant un polynôme par un binôme sont indiqués en vert dans le tableau.
À la suite de la division, nous avons obtenu trinôme quadratique 
, dont les racines peuvent facilement être trouvées à l’aide du théorème de Vieta :
Ainsi, les racines de l’équation originale sont :
{
}
Répondre: ( 
}
Schéma de Horner - une méthode de division d'un polynôme
$$P_n(x)=\somme\limites_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
sur le binôme $x-a$. Vous devrez travailler avec un tableau dont la première ligne contient les coefficients d'un polynôme donné. Le premier élément de la deuxième ligne sera le nombre $a$, tiré du binôme $x-a$ :
Après avoir divisé un polynôme de nième degré par un binôme $x-a$, on obtient un polynôme dont le degré est inférieur de un à celui d'origine, c'est-à-dire est égal à $n-1$. L’application directe du schéma de Horner est plus facile à démontrer à l’aide d’exemples.
Exemple n°1
Divisez $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$ en utilisant le schéma de Horner.
Faisons un tableau de deux lignes : dans la première ligne nous notons les coefficients du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$, classés par ordre décroissant des puissances de la variable $x$. Notez que ce polynôme ne contient pas $x$ au premier degré, c'est-à-dire le coefficient de $x$ à la première puissance est 0. Puisque nous divisons par $x-1$, nous écrivons un dans la deuxième ligne :
Commençons par remplir les cellules vides de la deuxième ligne. Dans la deuxième cellule de la deuxième ligne, nous écrivons le nombre $5$, en le déplaçant simplement de la cellule correspondante de la première ligne :
Remplissons la cellule suivante selon ce principe : $1\cdot 5+5=10$ :
Remplissons la quatrième cellule de la deuxième ligne de la même manière : $1\cdot 10+1=11$ :
Pour la cinquième cellule on obtient : $1\cdot 11+0=11$ :
Et enfin, pour la dernière, sixième cellule, on a : $1\cdot 11+(-11)=0$ :
Le problème est résolu, il ne reste plus qu'à écrire la réponse :
Comme vous pouvez le constater, les nombres situés sur la deuxième ligne (entre un et zéro) sont les coefficients du polynôme obtenu après avoir divisé $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Naturellement, puisque le degré du polynôme d'origine $5x^4+5x^3+x^2-11$ était égal à quatre, le degré du polynôme résultant $5x^3+10x^2+11x+11$ est un moins, c'est-à-dire . est égal à trois. Le dernier nombre de la deuxième ligne (zéro) signifie le reste lorsque l'on divise le polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ par $x-1$. Dans notre cas, le reste est nul, c'est-à-dire les polynômes sont également divisibles. Ce résultat peut également être caractérisé comme suit : la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ pour $x=1$ est égale à zéro.
La conclusion peut aussi être formulée sous cette forme : puisque la valeur du polynôme $5x^4+5x^3+x^2-11$ à $x=1$ est égale à zéro, alors l'unité est la racine du polynôme 5 $^4+5x^3+ x^2-11 $.
Exemple n°2
Divisez le polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ en utilisant le schéma de Horner.
Précisons immédiatement que l'expression $x+3$ doit être présentée sous la forme $x-(-3)$. Le projet de Horner impliquera exactement -3$. Puisque le degré du polynôme d'origine $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ est égal à quatre, alors par division nous obtenons un polynôme du troisième degré :
Le résultat signifie que
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Dans cette situation, le reste en divisant $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ par $x+3$ est de 4$. Ou, ce qui revient au même, la valeur du polynôme $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pour $x=-3$ est égale à $4$. À propos, cela est facile à vérifier en remplaçant directement $x=-3$ dans le polynôme donné :
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Ceux. Le schéma de Horner peut être utilisé si vous devez trouver la valeur d'un polynôme pour une valeur donnée d'une variable. Si notre objectif est de trouver toutes les racines d’un polynôme, alors le schéma de Horner peut être appliqué plusieurs fois de suite jusqu’à épuiser toutes les racines, comme discuté dans l’exemple n°3.
Exemple n°3
Trouvez toutes les racines entières du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ en utilisant le schéma de Horner.
Les coefficients du polynôme en question sont des nombres entiers et le coefficient de la puissance la plus élevée de la variable (c'est-à-dire $x^6$) est égal à un. Dans ce cas, les racines entières du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre, c'est-à-dire parmi les diviseurs du nombre 45. Pour un polynôme donné, ces racines peuvent être les nombres $45 ; \; 15 ; \; 9 ; \; 5 ; \; 3 ; \; 1$ et -45$; \; -15 ; \; -9 ; \; -5 ; \; -3 ; \; -1$. Vérifions, par exemple, le nombre $1$ :
Comme vous pouvez le voir, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ avec $x=1$ est égale à $192$ (le dernier nombre dans la deuxième ligne), et non $0 $, donc l'unité n'est pas la racine de ce polynôme. Puisque la vérification a échoué, vérifions la valeur $x=-1$. Nous ne créerons pas de nouvelle table pour cela, mais continuerons à utiliser la table. N° 1, en y ajoutant une nouvelle (troisième) ligne. La deuxième ligne, dans laquelle la valeur de $1$ a été cochée, sera surlignée en rouge et ne sera plus utilisée dans les discussions ultérieures.
Vous pouvez bien sûr simplement réécrire le tableau, mais le remplir manuellement prendra beaucoup de temps. De plus, il peut y avoir plusieurs nombres dont la vérification échouera, et il est difficile d'écrire un nouveau tableau à chaque fois. Lors du calcul « sur papier », les lignes rouges peuvent simplement être barrées.
Ainsi, la valeur du polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ à $x=-1$ est égale à zéro, c'est-à-dire le nombre $-1$ est la racine de ce polynôme. Après avoir divisé le polynôme $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ par le binôme $x-(-1)=x+1$ on obtient le polynôme $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, dont les coefficients sont tirés de la troisième ligne du tableau. N°2 (voir exemple n°1). Le résultat des calculs peut également être présenté sous cette forme :
\begin(équation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\fin(équation)
Continuons la recherche de racines entières. Nous devons maintenant rechercher les racines du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Là encore, les racines entières de ce polynôme sont recherchées parmi les diviseurs de son terme libre, les nombres $45$. Essayons de vérifier à nouveau le nombre $-1$. Nous ne créerons pas de nouveau tableau, mais continuerons à utiliser le tableau précédent. N ° 2, c'est-à-dire Ajoutons-y une ligne supplémentaire :
Ainsi, le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (2), l'égalité (1) peut être réécrite sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Il faut maintenant chercher les racines du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$ - naturellement, parmi les diviseurs de son terme libre (les nombres $45$). Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le nombre $-1$ est la racine du polynôme $x^4-22x^2+24x+45$. Ce résultat peut s'écrire ainsi :
\begin(équation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(équation)
Compte tenu de l'égalité (4), on réécrit l'égalité (3) sous la forme suivante :
\begin(équation)\begin(aligné) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\fin(aligné)\fin(équation)
Nous recherchons maintenant les racines du polynôme $x^3-x^2-21x+45$. Vérifions à nouveau le nombre $-1$ :
Le contrôle s'est soldé par un échec. Soulignons la sixième ligne en rouge et essayons de vérifier un autre nombre, par exemple le nombre $3$ :
Le reste est nul, donc le nombre $3$ est la racine du polynôme en question. Donc, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Maintenant, l'égalité (5) peut être réécrite comme suit.
Avec ce programme mathématique, vous pouvez diviser des polynômes par colonne.
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Diviser des polynômes Il a été découvert que certains scripts nécessaires à la résolution de ce problème n'étaient pas chargés et que le programme pouvait ne pas fonctionner.
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Un peu de théorie.
Diviser un polynôme en un polynôme (binôme) par une colonne (coin)
En algèbre diviser des polynômes avec une colonne (coin)- un algorithme de division d'un polynôme f(x) par un polynôme (binôme) g(x) dont le degré est inférieur ou égal au degré du polynôme f(x).
L'algorithme de division polynôme par polynôme est une forme généralisée de division de nombres en colonnes qui peut être facilement implémentée à la main.
Pour tout polynôme \(f(x) \) et \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), il existe des polynômes uniques \(q(x) \) et \(r( x ) \), tel que
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
et \(r(x)\) a un degré inférieur à \(g(x)\).
Le but de l'algorithme de division de polynômes en colonne (coin) est de trouver le quotient \(q(x) \) et le reste \(r(x) \) pour un dividende donné \(f(x) \) et diviseur non nul \(g(x) \)
Exemple
Divisons un polynôme par un autre polynôme (binôme) à l'aide d'une colonne (coin) :
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Le quotient et le reste de ces polynômes peuvent être trouvés en effectuant les étapes suivantes :
1. Divisez le premier élément du dividende par l'élément le plus élevé du diviseur, placez le résultat sous la ligne \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Soustrayez le polynôme obtenu après multiplication du dividende, écrivez le résultat sous la ligne \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42)\)
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|
4. Répétez les 3 étapes précédentes en utilisant le polynôme écrit sous la ligne comme dividende.
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5. Répétez l'étape 4.
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|
6. Fin de l'algorithme.
Ainsi, le polynôme \(q(x)=x^2-9x-27\) est le quotient de la division des polynômes, et \(r(x)=-123\) est le reste de la division des polynômes.
Le résultat de la division de polynômes peut s'écrire sous la forme de deux égalités :
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
ou
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)
Le site « Professional Mathematics Tutor » poursuit la série d'articles méthodologiques sur l'enseignement. Je publie des descriptions des méthodes de mon travail sur les sujets les plus complexes et problématiques du programme scolaire. Ce matériel sera utile aux enseignants et tuteurs en mathématiques travaillant avec des élèves de la 8e à la 11e année tant dans le programme régulier que dans le programme des cours de mathématiques.
Un professeur de mathématiques ne peut pas toujours expliquer des éléments mal présentés dans le manuel. Malheureusement, ces sujets sont de plus en plus nombreux et des erreurs de présentation suivant les auteurs des manuels sont commises en masse. Cela s'applique non seulement aux professeurs de mathématiques débutants et aux tuteurs à temps partiel (les tuteurs sont des étudiants et des tuteurs universitaires), mais également aux enseignants expérimentés, aux tuteurs professionnels, aux tuteurs expérimentés et qualifiés. Tous les professeurs de mathématiques n’ont pas le talent nécessaire pour corriger avec compétence les aspérités des manuels scolaires. Tout le monde ne comprend pas non plus que ces corrections (ou ajouts) sont nécessaires. Peu d'enfants participent à l'adaptation du matériel pour sa perception qualitative par les enfants. Malheureusement, le temps est révolu où les professeurs de mathématiques, en collaboration avec les méthodologistes et les auteurs de publications, discutaient en masse de chaque lettre du manuel. Auparavant, avant de diffuser un manuel dans les écoles, des analyses et des études sérieuses sur les résultats d'apprentissage étaient réalisées. Le temps est venu pour les amateurs qui s'efforcent de rendre les manuels universels, en les ajustant aux normes de cours de mathématiques solides.
La course à l'augmentation de la quantité d'informations ne conduit qu'à une diminution de la qualité de son assimilation et, par conséquent, à une diminution du niveau de connaissance réelle en mathématiques. Mais personne n’y prête attention. Et nos enfants sont obligés, dès la 8e, d'étudier ce que nous avons étudié à l'institut : théorie des probabilités, résolution d'équations diplômes élevés et quelque chose d'autre. L’adaptation du matériel contenu dans les livres pour une perception complète de l’enfant laisse beaucoup à désirer, et un professeur de mathématiques est obligé de s’en occuper d’une manière ou d’une autre.
Parlons de la méthodologie pour enseigner un sujet aussi spécifique que « diviser un polynôme par un polynôme par un coin », mieux connu en mathématiques pour adultes sous le nom de « théorème de Bezout et schéma de Horner ». Il y a quelques années à peine, la question n'était pas si pressante pour un professeur de mathématiques, car cela ne faisait pas partie du programme scolaire principal. Aujourd'hui, les auteurs respectés du manuel, édité par Telyakovsky, ont apporté des modifications à dernière édition le meilleur manuel, à mon avis, et, l'ayant complètement gâché, n'a fait qu'ajouter des soucis inutiles au tuteur. Les enseignants des écoles et des classes qui n'ont pas le statut de mathématiques, se concentrant sur les innovations des auteurs, ont commencé à inclure plus souvent des paragraphes supplémentaires dans leurs cours, et les enfants curieux, regardant les belles pages de leur manuel de mathématiques, demandent de plus en plus au tuteur : « Qu'est-ce que cette division par un coin ? Allons-nous vivre cela ? Comment partager un coin ? Il n’est plus possible de se cacher de questions aussi directes. Le tuteur devra dire quelque chose à l'enfant.
Mais comme ? Je n'aurais probablement pas décrit la méthode de travail sur le sujet s'il avait été présenté avec compétence dans les manuels. Comment ça se passe chez nous ? Les manuels doivent être imprimés et vendus. Et pour cela, ils doivent être mis à jour régulièrement. Les professeurs d'université se plaignent-ils que les enfants viennent à eux la tête vide, sans connaissances ni compétences ? Les exigences en matière de connaissances mathématiques augmentent-elles ? Super! Supprimons certains exercices et insérons à la place des sujets étudiés dans d'autres programmes. Pourquoi notre manuel est-il pire ? Nous inclurons quelques chapitres supplémentaires. Les écoliers ne connaissent pas la règle de diviser un coin ? Ce sont des mathématiques de base. Ce paragraphe devrait être rendu facultatif, intitulé « pour ceux qui veulent en savoir plus ». Les tuteurs sont contre ? Pourquoi nous soucions-nous des tuteurs en général ? Les méthodologistes et les enseignants des écoles sont également contre ? Nous ne compliquerons pas le matériel et considérerons sa partie la plus simple.
Et c'est là que ça commence. La simplicité du sujet et la qualité de son assimilation résident avant tout dans la compréhension de sa logique, et non dans la réalisation, conformément aux instructions des auteurs du manuel, d'un certain ensemble d'opérations qui ne sont pas clairement liées les unes aux autres. . Sinon, il y aura du brouillard dans la tête de l’élève. Si les auteurs ciblent des étudiants relativement forts (mais qui étudient dans un programme régulier), vous ne devez pas présenter le sujet sous forme de commande. Que voit-on dans le manuel ? Les enfants, nous devons diviser selon cette règle. Obtenez le polynôme sous l'angle. Ainsi, le polynôme original sera factorisé. Cependant, il n'est pas clair de comprendre pourquoi les termes sous le coin sont sélectionnés exactement de cette manière, pourquoi ils doivent être multipliés par le polynôme au-dessus du coin, puis soustraits du reste actuel. Et surtout, on ne sait pas pourquoi les monômes sélectionnés doivent finalement être ajoutés et pourquoi les parenthèses résultantes seront une expansion du polynôme d'origine. Tout mathématicien compétent mettra un point d’interrogation audacieux sur les explications données dans le manuel.
J'attire l'attention des tuteurs et des professeurs de mathématiques sur ma solution au problème, qui rend pratiquement évident pour l'élève tout ce qui est énoncé dans le manuel. En fait, nous prouverons le théorème de Bezout : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors ce polynôme peut être décomposé en facteurs, dont l'un est x-a, et le second est obtenu à partir de l'original de l'une des trois manières suivantes : en isolant un facteur linéaire par des transformations, en divisant par un coin ou par le schéma de Horner. C'est avec cette formulation qu'il sera plus facile pour un professeur de mathématiques de travailler.
Qu’est-ce que la méthodologie pédagogique ? Tout d'abord, il s'agit d'un ordre clair dans la séquence d'explications et d'exemples sur la base desquels des conclusions mathématiques sont tirées. Ce sujet pas une exception. Il est très important qu’un tuteur en mathématiques initie l’enfant au théorème de Bezout. avant de diviser par un coin. Il est très important! La meilleure façon de parvenir à la compréhension est de exemple spécifique. Prenons un polynôme avec une racine sélectionnée et montrons la technique de sa factorisation en facteurs en utilisant une méthode familière aux écoliers depuis la 7e année transformations identitaires. Avec des explications appropriées, des accents et des conseils d'un tuteur en mathématiques, il est tout à fait possible de transmettre le matériel sans calculs mathématiques généraux, coefficients et puissances arbitraires.
Conseils importants pour un professeur de mathématiques- suivez les instructions du début à la fin et ne modifiez pas cet ordre.
Disons donc que nous avons un polynôme. Si on remplace le nombre 1 par son X, alors la valeur du polynôme sera égale à zéro. Donc x=1 est sa racine. Essayons de le décomposer en deux termes pour que l'un d'eux soit le produit d'une expression linéaire et d'un monôme, et que le second ait un degré inférieur à . Autrement dit, représentons-le sous la forme
Nous sélectionnons le monôme pour le champ rouge de sorte que lorsqu'il est multiplié par le terme principal, il coïncide complètement avec le terme principal du polynôme d'origine. Si l'élève n'est pas le plus faible, alors il sera tout à fait capable de dire au professeur de mathématiques l'expression recherchée : . Il faut immédiatement demander au tuteur de l'insérer dans le champ rouge et de montrer ce qui se passera une fois ouverts. Il est préférable de signer ce polynôme temporaire virtuel sous les flèches (sous la petite photo), en le soulignant avec une couleur, par exemple du bleu. Cela vous aidera à sélectionner un terme pour le champ rouge, appelé reste de la sélection. Je conseillerais aux professeurs de préciser ici que ce reste peut être trouvé par soustraction. En effectuant cette opération on obtient :
Le professeur de mathématiques doit attirer l'attention de l'élève sur le fait qu'en substituant un dans cette égalité, on est assuré d'obtenir zéro à son côté gauche (puisque 1 est la racine du polynôme d'origine), et à droite, évidemment, on mettra également à zéro le premier terme. Cela signifie que sans aucune vérification on peut dire que l’un est la racine du « reste vert ».
Traitons-le de la même manière que nous l'avons fait avec le polynôme d'origine, en en isolant le même facteur linéaire. Le professeur de mathématiques dessine deux cadres devant l'élève et lui demande de les remplir de gauche à droite.
L'étudiant sélectionne pour le tuteur un monôme pour le champ rouge de sorte que, multiplié par le terme principal de l'expression linéaire, il donne le terme principal du polynôme expansif. Nous l'insérons dans le cadre, ouvrons immédiatement le support et mettons en évidence en bleu l'expression qui doit être soustraite de celle pliée. En effectuant cette opération on obtient
Et enfin, faire de même avec le dernier reste
nous l'aurons enfin
Retirons maintenant l'expression des parenthèses et nous verrons la décomposition du polynôme d'origine en facteurs, dont l'un est « x moins la racine sélectionnée ».
Pour éviter que l'élève ne pense que le dernier « reste vert » a été accidentellement décomposé en facteurs requis, le professeur de mathématiques doit souligner propriété importante de tous les restes verts - chacun d'eux a la racine 1. Puisque les degrés de ces restes diminuent, alors quel que soit le degré du polynôme initial qui nous est donné, tôt ou tard, nous obtiendrons un « reste vert » linéaire avec la racine 1, et il sera donc nécessairement décomposé en produit en un certain nombre et en une certaine expression.
Après un tel travail préparatoire, il ne sera pas difficile pour un professeur de mathématiques d'expliquer à l'étudiant ce qui se passe lors d'une division par un coin. Il s'agit du même processus, mais sous une forme plus courte et plus compacte, sans signes égaux et sans réécrire les mêmes termes mis en évidence. Le polynôme dont le facteur linéaire est extrait est écrit à gauche du coin, les monômes rouges sélectionnés sont rassemblés sous un angle (il devient maintenant clair pourquoi ils doivent s'additionner), pour obtenir les « polynômes bleus », les « polynômes rouges » " Les uns doivent être multipliés par x-1, puis soustraits de ceux actuellement sélectionnés, comme cela se fait dans la division habituelle des nombres en colonne (voici une analogie avec ce qui a été étudié précédemment). Les « résidus verts » résultants sont soumis à un nouvel isolement et à une nouvelle sélection de « monômes rouges ». Et ainsi de suite jusqu’à obtenir un « solde vert » nul. Le plus important est que l'élève comprenne autre sort polynômes écrits au-dessus et en dessous de l'angle. Évidemment, ce sont des parenthèses dont le produit est égal au polynôme d'origine.
La prochaine étape du travail d’un professeur de mathématiques est la formulation du théorème de Bezout. En fait, sa formulation avec cette approche du tuteur devient évidente : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors il peut être factorisé, dont l'un est , et l'autre est obtenu à partir du nombre original de l'une des trois manières suivantes :
- décomposition directe (analogue à la méthode de regroupement)
- diviser par un coin (dans une colonne)
- via le circuit de Horner
Il faut dire que tous les professeurs de mathématiques ne montrent pas le diagramme de Horner à leurs élèves, et que tous les professeurs des écoles (heureusement pour les tuteurs eux-mêmes) n'approfondissent pas aussi profondément le sujet pendant les cours. Cependant, pour un étudiant en cours de mathématiques, je ne vois aucune raison de s'arrêter à la division longue. De plus, le plus pratique et rapide La technique de décomposition est basée précisément sur le schéma de Horner. Pour expliquer à un enfant d'où il vient, il suffit de retracer, à l'aide de l'exemple de la division par un coin, l'apparition de coefficients plus élevés dans les restes verts. Il devient clair que le coefficient dominant du polynôme initial est reporté dans le coefficient du premier « monôme rouge », et plus loin du deuxième coefficient du polynôme supérieur actuel déduit le résultat de la multiplication du coefficient actuel du « monôme rouge » par . Il est donc possible ajouter le résultat de la multiplication par . Après avoir concentré l'attention de l'élève sur les spécificités des actions avec des coefficients, un tuteur en mathématiques peut montrer comment ces actions sont habituellement effectuées sans enregistrer les variables elles-mêmes. Pour ce faire, il convient de saisir la racine et les coefficients du polynôme d'origine par ordre de priorité dans le tableau suivant :
Si un degré manque dans un polynôme, son coefficient zéro est forcé dans le tableau. Les coefficients des « polynômes rouges » sont écrits tour à tour dans la ligne du bas selon la règle du « crochet » : 
La racine est multipliée par le dernier coefficient rouge, ajouté au coefficient suivant sur la ligne du haut, et le résultat est inscrit sur la ligne du bas. Dans la dernière colonne, nous sommes assurés d'obtenir le coefficient le plus élevé du dernier « reste vert », c'est-à-dire zéro. Une fois le processus terminé, les chiffres pris en sandwich entre la racine correspondante et le reste zéro s'avèrent être des coefficients du deuxième facteur (non linéaire).
Puisque la racine a donne un zéro à la fin de la ligne du bas, le schéma de Horner peut être utilisé pour vérifier les nombres pour le titre de la racine d'un polynôme. S'il s'agit d'un théorème spécial sur la sélection d'une racine rationnelle. Tous les candidats à ce titre obtenus grâce à son aide sont simplement insérés tour à tour depuis la gauche dans le diagramme de Horner. Dès que nous obtiendrons zéro, le nombre testé sera une racine, et en même temps nous obtiendrons les coefficients de factorisation du polynôme d'origine sur sa droite. Très confortablement.
En conclusion, je voudrais noter que pour présenter avec précision le schéma de Horner, ainsi que pour consolider pratiquement le sujet, un tuteur en mathématiques doit disposer d'un nombre d'heures suffisant. Un tuteur travaillant avec le régime « une fois par semaine » ne devrait pas s'engager dans la division des coins. À l'examen d'État unifié de mathématiques et à l'Académie d'État de mathématiques en mathématiques, il est peu probable que dans la première partie vous rencontriez un jour une équation du troisième degré pouvant être résolue par de tels moyens. Si un tuteur prépare un enfant à un examen de mathématiques à l'Université d'État de Moscou, l'étude du sujet devient obligatoire. Les professeurs d'université, contrairement aux compilateurs de l'examen d'État unifié, aiment vraiment tester la profondeur des connaissances d'un candidat.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, professeur de mathématiques Moscou, Stroguino
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Type de cours: Une leçon de maîtrise et de consolidation des connaissances primaires.
Le but de la leçon :
- Présentez aux élèves le concept des racines d’un polynôme et apprenez-leur à les trouver. Améliorez vos compétences en utilisant le schéma de Horner pour développer un polynôme par des puissances et diviser un polynôme par un binôme.
- Apprenez à trouver les racines d'une équation en utilisant le schéma de Horner.
- Développer la pensée abstraite.
- Favoriser une culture informatique.
- Développement de liens interdisciplinaires.
Pendant les cours
1. Moment organisationnel.
Informez le sujet de la leçon, formulez des objectifs.
2. Vérification des devoirs.
3. Étudier du nouveau matériel.
Soit Fn(x) = une n x n + une n-1 x n-1 +...+ une 1 x + une 0 - un polynôme pour x de degré n, où a 0 , a 1 ,...,an sont donnés des nombres, et a 0 n'est pas égal à 0. Si le polynôme F n (x) est divisé avec le reste par le binôme x-a , alors le quotient (quotient incomplet) est un polynôme Q n-1 (x) de degré n-1, le reste R est un nombre, et l'égalité est vraie F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) +R. Le polynôme F n (x) n'est divisible par le binôme (x-a) que dans le cas de R=0.
Théorème de Bezout : Reste R lors de la division d'un polynôme F n (x) par un binôme (x-a) égale à la valeur polynôme F n (x) pour x=a, c'est-à-dire R = Pn(a).
Un peu d'histoire. Le théorème de Bezout, malgré son apparente simplicité et son évidence, est l'un des théorèmes fondamentaux de la théorie des polynômes. Ce théorème relie les propriétés algébriques des polynômes (qui permettent de traiter les polynômes comme des entiers) avec leurs propriétés fonctionnelles (qui permettent de traiter les polynômes comme des fonctions). Une façon de résoudre des équations de degré supérieur consiste à factoriser le polynôme du côté gauche de l’équation. Le calcul des coefficients du polynôme et du reste s'écrit sous la forme d'un tableau appelé schéma de Horner.
Le schéma de Horner est un algorithme de division de polynômes, écrit pour le cas particulier où le quotient est égal à un binôme x–un.
Horner William George (1786 - 1837), mathématicien anglais. La recherche fondamentale est liée à la théorie équations algébriques. Développement d'une méthode de résolution approximative d'équations de tout degré. En 1819, il introduisit une méthode algèbre importante consistant à diviser un polynôme par un binôme x - a (schéma de Horner).
Conclusion formule générale pour le plan de Horner.
Diviser un polynôme f(x) avec un reste par un binôme (x-c) signifie trouver un polynôme q(x) et un nombre r tel que f(x)=(x-c)q(x)+r
Écrivons cette égalité en détail :
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Égalisons les coefficients aux mêmes degrés :
xn : f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1 : f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2 : f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0 : f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Démonstration du circuit de Horner à l'aide d'un exemple.
Exercice 1. En utilisant le schéma de Horner, nous divisons le polynôme f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 avec le reste par le binôme x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, où g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 reste.
Développement d'un polynôme en puissances d'un binôme.
En utilisant le schéma de Horner, nous développons le polynôme f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 en puissances du binôme (x+2).
En conséquence, nous devrions obtenir le développement f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Le schéma de Horner est souvent utilisé lors de la résolution d'équations des troisième, quatrième degrés et supérieurs, lorsqu'il est pratique de développer le polynôme en un binôme x-a. Nombre un appelé racine du polynôme F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, si à x=une la valeur du polynôme F n (x) est égale à zéro : F n (a)=0, soit si le polynôme est divisible par le binôme x-a.
Par exemple, le nombre 2 est la racine du polynôme F 3 (x)=3x 3 -2x-20, puisque F 3 (2)=0. ça veut dire. Que la factorisation de ce polynôme contient un facteur x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Tout polynôme F n(x) de degré n Je ne peux plus en avoir n de vraies racines.
Toute racine entière d’une équation à coefficients entiers est un diviseur de son terme libre.
Si le coefficient dominant de l’équation est 1, alors tout racines rationnelles les équations, si elles existent, sont entières.
Consolidation du matériel étudié.
Pour consolider le nouveau matériel, les élèves sont invités à compléter les numéros du manuel 2.41 et 2.42 (p. 65).
(2 élèves résolvent au tableau, et les autres, après avoir décidé, vérifient les devoirs dans le cahier avec les réponses au tableau).
Résumer.
Après avoir compris la structure et le principe de fonctionnement du schéma Horner, il peut également être utilisé dans les cours d'informatique, lorsque la question de la conversion d'entiers du système décimal en système binaire et vice versa est envisagée. La base du transfert d'un système numérique à un autre est le théorème général suivant
Théorème. Pour convertir un nombre entier Ap depuis p-système de numérotation aire vers système de numérotation de base d nécessaire Ap diviser séquentiellement avec le reste par nombre d, écrit de la même manière p-ary système jusqu'à ce que le quotient résultant devienne égal à zéro. Les restes de la division seront d-chiffres numériques Annonce, en commençant par la catégorie la plus jeune jusqu'à la catégorie la plus senior. Toutes les actions doivent être réalisées dans p-système de numérotation aire. Pour une personne, cette règle n'est pratique que lorsque p= 10, soit en traduisant depuis système décimal. Quant à l’ordinateur, au contraire, il est « plus pratique » pour lui d’effectuer des calculs dans le système binaire. Par conséquent, pour convertir « 2 en 10 », une division séquentielle par dix dans le système binaire est utilisée, et « 10 en 2 » est l'addition de puissances de dix. Pour optimiser les calculs de la procédure « 10 en 2 », l'ordinateur utilise le schéma informatique économique de Horner.
Devoirs. Il est proposé d'accomplir deux tâches.
1er. En utilisant le schéma de Horner, divisez le polynôme f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 par le binôme (x-3).
2ème. Trouver les racines entières du polynôme f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (en considérant que toute racine entière d'une équation à coefficients entiers est un diviseur de son terme libre)
Littérature.
- Kurosh A.G. "Cours d'algèbre supérieure."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. et autres.10e année « L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. »
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.