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Solution d'une équation quadratique générale. Comment résoudre des équations quadratiques. Factoriser une expression

", c'est-à-dire les équations du premier degré. Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Important!

Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.

Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Important! La forme générale d'une équation quadratique ressemble à ceci :

A x 2 + b x + c = 0

« a », « b » et « c » reçoivent des numéros.

« a » est le premier ou le coefficient le plus élevé ;
« b » est le deuxième coefficient ;
« c » est un terme libre.

Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».

Pratiquons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

L'équation	Chances
une = 5 b = −14 c = 17
une = −7 b = −13 c = 8

= 0

une = −1
b = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

une = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

une = 1
b = 0
c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement à équations linéaires pour des solutions équations du second degré un spécial est utilisé formule pour trouver des racines.

Souviens-toi!

Pour résoudre une équation quadratique, vous avez besoin de :

amener l'équation quadratique à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ». Autrement dit, seul « 0 » doit rester sur le côté droit ;
utiliser la formule pour les racines :

Regardons un exemple d'utilisation de la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons une équation quadratique.

X 2 − 3x − 4 = 0

L'équation « x 2 − 3x − 4 = 0 » a déjà été réduite à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 » et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Déterminons les coefficients « a », « b » et « c » pour cette équation.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Il peut être utilisé pour résoudre n’importe quelle équation quadratique.

Dans la formule « x 1;2 = », l'expression radicale est souvent remplacée
« b 2 − 4ac » pour la lettre « D » et est appelé discriminant. La notion de discriminant est abordée plus en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'un discriminant ».

Regardons un autre exemple d'équation quadratique.

x2 + 9 + x = 7x

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients « a », « b » et « c ». Réduisons d'abord l'équation à la forme générale « ax 2 + bx + c = 0 ».

X2 + 9 +x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
X =

x = 3
Réponse : x = 3

Il arrive parfois que les équations quadratiques n’aient pas de racines. Cette situation se produit lorsque la formule contient un nombre négatif sous la racine.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ou x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Après avoir appris à résoudre des équations du premier degré, bien sûr, vous souhaitez travailler avec d'autres, en particulier avec des équations du deuxième degré, autrement appelées quadratiques.

Les équations quadratiques sont des équations comme ax² + bx + c = 0, où la variable est x, les nombres sont a, b, c, où a n'est pas égal à zéro.

Si dans une équation quadratique l'un ou l'autre coefficient (c ou b) est égal à zéro, alors cette équation sera classée comme une équation quadratique incomplète.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète si les élèves n’ont jusqu’à présent pu résoudre que des équations du premier degré ? Considérez des équations quadratiques incomplètes différents types et des moyens simples de les résoudre.

a) Si le coefficient c est égal à 0, et le coefficient b ne sera pas égal à zéro, alors ax ² + bx + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + bx = 0.

Pour résoudre une telle équation, il faut connaître la formule de résolution d'une équation quadratique incomplète, qui consiste à factoriser le côté gauche de celle-ci et à utiliser plus tard la condition que le produit soit égal à zéro.

Par exemple, 5x² - 20x = 0. On factorise le côté gauche de l'équation, tout en effectuant l'opération mathématique habituelle : sortir le facteur commun des parenthèses

5x (x - 4) = 0

Nous utilisons la condition selon laquelle les produits sont égaux à zéro.

5 x = 0 ou x - 4 = 0

La réponse sera : la première racine est 0 ; la deuxième racine est 4.

b) Si b = 0, et que le terme libre n'est pas égal à zéro, alors l'équation ax ² + 0x + c = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² + c = 0. Les équations sont résolues de deux manières : a) en factorisant le polynôme de l'équation du côté gauche ; b) en utilisant les propriétés de la racine carrée arithmétique. Une telle équation peut être résolue en utilisant l'une des méthodes, par exemple :

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. La réponse sera : la première racine est 5/2 ; la deuxième racine est égale à - 5/2.

c) Si b est égal à 0 et c est égal à 0, alors ax ² + 0 + 0 = 0 se réduit à une équation de la forme ax ² = 0. Dans une telle équation x sera égal à 0.

Comme vous pouvez le constater, les équations quadratiques incomplètes ne peuvent avoir plus de deux racines.

Lycée rural Kopyevskaya

10 façons de résoudre des équations quadratiques

Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,

professeur de mathématiques

village de Kopevo, 2007

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques

1.3 Équations quadratiques en Inde

1.4 Équations quadratiques d'al-Khorezmi

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles

1.6 À propos du théorème de Vieta

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Conclusion

Littérature

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.

En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré haut niveau développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent de la notion de nombre négatif et méthodes générales résoudre des équations quadratiques.

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques.

L'Arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 11."Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x, l'autre est moins, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x .

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

D'ici x = 2. L'un des nombres requis est égal à 12 , autre 8 . Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

1.3 Équations quadratiques en Inde

Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), décrit règle générale solutions d'équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

DANS Inde ancienne Les concours publics pour résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Problème 13.

« Un troupeau de singes fringants, et douze le long des vignes...

Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Il y en a sur la place, partie 8. Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 3).

L'équation correspondant au problème 13 est :

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara écrit sous couvert :

x2 - 64x = -768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation au carré, ajoute aux deux côtés 32 2 , puis on obtient :

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi

Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c = b X.

5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ah 2 + bx = art.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = hache 2 .

Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, ses décisions ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type

al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans des problèmes pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.

Problème 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine" (impliquant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVIIIe bb

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant dans les pays islamiques que dans La Grèce ancienne, se distingue à la fois par l'exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduite à une seule forme canonique :

x2 + bx = c,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b , Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible chez Viète, mais Viète ne reconnaissait que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

1.6 À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D, multiplié par UN - UN 2 , équivaut à BD, Que UNéquivaut à DANS et égal D ».

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre X), les voyelles DANS, D- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l’algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s’il y a

(un + b )x - x 2 = un B ,

x 2 - (un + b )x + une b = 0,

x 1 = une, x 2 = b .

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin d'être look moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme.

Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. Il est absolument nécessaire de pouvoir les résoudre.

Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a, b et c sont des nombres arbitraires et a ≠ 0.

Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notez que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :

N'avoir pas de racines ;
Avoir exactement une racine ;
Ils ont deux racines différentes.

C'est une différence importante entre les équations quadratiques et les équations linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d’une équation ? Il y a une chose merveilleuse à cela - discriminant.

Discriminant

Soit l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac.

Il faut connaître cette formule par cœur. D’où cela vient n’a plus d’importance maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, il y a exactement une racine ;
Si D > 0, il y aura deux racines.

Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme beaucoup de gens le croient pour une raison quelconque. Jetez un œil aux exemples et vous comprendrez tout vous-même :

Tâche. Combien de racines ont les équations quadratiques :

x 2 − 8x + 12 = 0 ;

5x2 + 3x + 7 = 0 ;

x2 − 6x + 9 = 0.

Écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
une = 1, b = −8, c = 12 ;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Le discriminant est donc positif, donc l’équation a deux racines différentes. Nous analysons la deuxième équation de la même manière :
une = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines. La dernière équation restante est :
une = 1 ; b = −6 ; c = 9 ;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Le discriminant est nul - la racine sera un.

Veuillez noter que des coefficients ont été notés pour chaque équation. Oui, c’est long, oui, c’est fastidieux, mais on ne va pas mélanger les probabilités et faire des erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.

D'ailleurs, si vous comprenez, au bout d'un moment, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à faire cela quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.

Racines d'une équation quadratique

Passons maintenant à la solution elle-même. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :

Formule de base pour les racines d'une équation quadratique

Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtiendrez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0 ;

15 − 2x − x2 = 0 ;

x2 + 12x + 36 = 0.

Première équation :
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = −2 ; c = −3 ;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Trouvons-les :

Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = −2 ; c = 15 ;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fin(aligner)\]

Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ une = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N’importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :

Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lors de la substitution de coefficients négatifs dans la formule. Là encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera : regardez la formule littéralement, notez chaque étape - et très bientôt vous vous débarrasserez des erreurs.

Équations quadratiques incomplètes

Il arrive qu'une équation quadratique soit légèrement différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:

x2 + 9x = 0 ;
X 2 - 16 = 0.

Il est facile de remarquer qu’il manque un terme dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standards : elles ne nécessitent même pas de calculer le discriminant. Alors, introduisons un nouveau concept :

L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.

Bien entendu, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro : b = c = 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 = 0. Évidemment, une telle équation a une racine unique : x = 0.

Considérons les cas restants. Soit b = 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0. Transformons-la un peu :

Depuis l'arithmétique Racine carrée n'existe qu'à partir d'un nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a) ≥ 0. Conclusion :

Si dans une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 l'inégalité (−c /a) ≥ 0 est satisfaite, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus ;
Si (−c /a)< 0, корней нет.

Comme vous pouvez le constater, aucun discriminant n'était nécessaire : il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de se souvenir de l'inégalité (−c /a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S'il y a nombre positif- il y aura deux racines. S’il est négatif, il n’y aura aucune racine.

Regardons maintenant les équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :

Sortir le facteur commun des parenthèses

Le produit est nul lorsqu’au moins un des facteurs est nul. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, examinons quelques-unes de ces équations :

Tâche. Résoudre des équations quadratiques :

x 2 - 7x = 0 ;

5x2 + 30 = 0 ;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0 ; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Il n'y a pas de racines, parce que un carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 = −1,5.

L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Le discriminant vous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique en utilisant formule générale, qui ressemble à ceci :

La formule discriminante dépend du degré du polynôme. La formule ci-dessus convient pour résoudre des équations quadratiques de la forme suivante :

Le discriminant a les propriétés suivantes que vous devez connaître :

* "D" vaut 0 lorsque le polynôme a plusieurs racines ( racines égales);

* « D » est un polynôme symétrique par rapport aux racines du polynôme et est donc un polynôme dans ses coefficients ; de plus, les coefficients de ce polynôme sont des entiers quelle que soit l'extension dans laquelle sont prises les racines.

Disons que l'on nous donne une équation quadratique de la forme suivante :

1 équation

D'après la formule on a :

Puisque \, l’équation a 2 racines. Définissons-les :

Où puis-je résoudre une équation à l’aide d’un solveur discriminant en ligne ?

Vous pouvez résoudre l’équation sur notre site https://site. Le solveur en ligne gratuit vous permettra de résoudre des équations en ligne de toute complexité en quelques secondes. Tout ce que vous avez à faire est simplement de saisir vos données dans le solveur. Vous pouvez également regarder les instructions vidéo et découvrir comment résoudre l'équation sur notre site Web. Et si vous avez des questions, vous pouvez les poser dans notre groupe VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Rejoignez notre groupe, nous sommes toujours heureux de vous aider.