Résoudre des équations exponentielles. Exemples. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Résoudre des équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé équation exponentielle? Il s'agit d'une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent sont en indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples équations exponentielles :

3x2x = 8x+3

Note! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. DANS indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec un X. Si tout à coup un X apparaît dans l’équation ailleurs qu’un indicateur, par exemple :

ce sera une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici résoudre des équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours résolues clairement. Mais il existe certains types d’équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous considérerons.

Résoudre des équations exponentielles simples.

Tout d’abord, résolvons quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection, il est clair que x = 2. Rien de plus, n'est-ce pas !? Aucune autre valeur de X ne fonctionne. Examinons maintenant la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous l'avons simplement jeté motifs identiques(trois). Complètement jeté. Et la bonne nouvelle, c’est que nous avons mis le doigt sur le problème !

En effet, si dans une équation exponentielle il y a gauche et droite le même nombres dans n'importe quelle puissance, ces nombres peuvent être supprimés et les exposants peuvent être égalisés. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, non ?)

Cependant, rappelons-le fermement : Vous ne pouvez supprimer des bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x+1 = 2 3, ou

les deux ne peuvent pas être supprimés !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles maléfiques à des équations plus simples.

"C'est le moment !" - vous dites. "Qui donnerait une leçon aussi primitive sur les tests et les examens !?"

Je suis d'accord. Personne ne le fera. Mais vous savez désormais où viser lorsque vous résolvez des exemples délicats. Il doit être amené sous la forme où le même numéro de base se trouve à gauche et à droite. Alors tout sera plus facile. En fait, c’est un classique des mathématiques. Nous prenons l'exemple original et le transformons en celui souhaité nous esprit. Selon les règles mathématiques, bien sûr.

Regardons des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Appelons-les équations exponentielles simples.

Résoudre des équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les règles principales sont des actions avec des diplômes. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l’observation personnelle et l’ingéniosité. Avons-nous besoin des mêmes nombres de base ? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous forme explicite ou cryptée.

Voyons comment cela se fait en pratique ?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8 x+1 = 0

Le premier coup d’œil attentif est sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si l'on rappelle la formule des opérations avec degrés :

(un n) m = un nm ,

ça marche très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'exemple original commençait à ressembler à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les opérations élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x = 2 3(x+1)

C'est pratiquement tout. Retrait des bases :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidé. Nous identifié dans huit, il y a un deux crypté. Cette technique (chiffrement des terrains communs sous différents numéros) est une technique très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, et en logarithmes aussi. Vous devez être capable de reconnaître les puissances d’autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu’élever n’importe quel nombre à n’importe quelle puissance n’est pas un problème. Multipliez, même sur papier, et c'est tout. Par exemple, n’importe qui peut élever 3 à la puissance cinq. 243 fonctionnera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, bien plus souvent il n'est pas nécessaire d'élever à une puissance, mais vice versa... Découvrez quel nombre à quel degré se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Vous devez connaître les puissances de certains nombres à vue, n'est-ce pas... Pratiquons ?

Déterminez à quelles puissances et à quels nombres correspondent les nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir fait étrange. Il y a bien plus de réponses que de tâches ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6, 4 3, 8 2 - c'est tout 64.

Supposons que vous ayez pris note des informations sur la familiarité avec les nombres.) Permettez-moi également de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous utilisons tous stock de connaissances mathématiques. Y compris ceux des classes juniors et moyennes. Tu n'es pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?)

Par exemple, lors de la résolution d’équations exponentielles, il est souvent utile de mettre le facteur commun entre parenthèses (bonjour les élèves de 7e !). Regardons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard se porte sur les fondations ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Mais nous voulons qu'ils soient les mêmes. Eh bien, dans ce cas, le désir est complètement exaucé !) Parce que :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Utiliser les mêmes règles pour traiter les diplômes :

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

C'est super, vous pouvez l'écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine étape !? Vous ne pouvez pas jeter des trois... Une impasse ?

Pas du tout. Rappelez-vous la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout le monde tâches mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !

Écoutez, tout s'arrangera).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle Peut faire? Oui, sur le côté gauche, il ne demande qu’à être retiré des parenthèses ! Le multiplicateur global de 3 2x le laisse clairement entendre. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L’exemple ne cesse de s’améliorer !

Nous rappelons que pour éliminer les motifs, nous avons besoin d'un diplôme pur, sans aucun coefficient. Le chiffre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l’équation par 70, on obtient :

Oops! Tout s'est amélioré !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que des roulages sur la même base soient réalisés, mais leur élimination n'est pas possible. Cela se produit dans d'autres types d'équations exponentielles. Maîtrisons ce type.

Remplacement d'une variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 x - 3 2 x +2 = 0

D'abord - comme d'habitude. Passons à une base. À deux.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Et c'est ici que nous traînons. Les techniques précédentes ne fonctionneront pas, quelle que soit la façon dont vous regardez les choses. Il va falloir sortir de notre arsenal une autre méthode puissante et universelle. C'est appelé remplacement variable.

L’essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas - 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple - t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dans notre équation, nous remplaçons toutes les puissances par x par t :

Eh bien, cela vous vient-il à l'esprit ?) Avez-vous déjà oublié les équations quadratiques ? En résolvant par le discriminant, on obtient :

L'essentiel ici est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, nous avons besoin de x, pas de t. Revenons aux X, c'est-à-dire nous effectuons un remplacement inversé. D'abord pour t 1 :

C'est,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :

Hm... 2 x à gauche, 1 à droite... Problème ? Pas du tout! Il suffit de rappeler (des opérations avec pouvoirs, oui...) qu'une unité est n'importe lequel nombre à la puissance zéro. N'importe lequel. Tout ce qui est nécessaire, nous l'installerons. Il nous en faut un deux. Moyens:

C'est tout maintenant. Nous avons 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on se retrouve parfois avec une sorte d'expression maladroite. Taper:

Sept ne peut pas être converti en deux par un simple pouvoir. Ce ne sont pas des parents... Comment pouvons-nous l'être ? Quelqu'un peut être confus... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet « Qu'est-ce qu'un logarithme ? , sourit simplement avec parcimonie et écrit d'une main ferme la réponse absolument correcte :

Il ne peut pas y avoir une telle réponse dans les tâches « B » de l'examen d'État unifié. Là, un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches « C », c'est facile.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons les points principaux.

Conseils pratiques:

1. Tout d’abord, examinons terrains degrés. Nous nous demandons s'il est possible de les réaliser identique. Essayons de le faire en utilisant activement des actions avec des diplômes. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent également être convertis en puissances !

2. On essaie de mettre l'équation exponentielle sous la forme quand à gauche et à droite il y a le même nombres dans toutes les puissances. Nous utilisons actions avec diplômes Et factorisation. Ce qui peut être compté en chiffres, nous le comptons.

3. Si le deuxième conseil ne fonctionne pas, essayez d'utiliser le remplacement variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également au carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître visuellement les puissances de certains nombres.

Comme d'habitude, à la fin du cours vous êtes invité à décider un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résoudre des équations exponentielles :

Plus difficile:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3 + 2 x = 9

Arrivé?

Eh bien, alors un exemple très complexe (même s'il peut être résolu mentalement...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici pour vous mauvais exemple. Assez tentant pour une difficulté accrue. Laissez-moi vous laisser entendre que dans cet exemple, ce qui vous sauve, c'est l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre tous les problèmes mathématiques.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un exemple plus simple, pour la détente) :

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouvez la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! Il s'agit d'une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas pris en compte dans cette leçon. Pourquoi les considérer, il faut les résoudre !) Cette leçon est largement suffisante pour résoudre l'équation. Eh bien, il vous faut de l'ingéniosité... Et que la septième année vous aide (c'est un indice !).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

1; 2 ; 3 ; 4 ; il n'y a pas de solutions ; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Super.

Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il existe des informations supplémentaires précieuses sur l’utilisation de toutes sortes d’équations exponentielles. Pas seulement ceux-là.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n’ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est d'ailleurs une chose très importante...

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Équations du second degré.

Équation quadratique- équation algébrique de forme générale

où x est une variable libre,

a, b, c, sont des coefficients, et

Expression appelé trinôme carré.

Méthodes de résolution d'équations quadratiques.

1. MÉTHODE : Factoriser le côté gauche de l’équation.

Résolvons l'équation x2 + 10x - 24 = 0. Factorisons le côté gauche :

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

L’équation peut donc être réécrite comme suit :

(x + 12)(x - 2) = 0

Puisque le produit est égal à zéro, alors au moins un de ses facteurs égal à zéro. Par conséquent, le côté gauche de l’équation devient nul à x = 2, et aussi quand x = - 12. Cela signifie que le numéro 2 Et - 12 sont les racines de l'équation x2 + 10x - 24 = 0.

2. MÉTHODE : Méthode de sélection d'un carré complet.

Résolvons l'équation x2 + 6x - 7 = 0. Sélectionnez sur le côté gauche un carré parfait.

Pour ce faire, on écrit l'expression x 2 + 6x sous la forme suivante :

x2 + 6x = x2 + 2x3.

Dans l'expression résultante, le premier terme est le carré du nombre x et le second est le double produit de x par 3. Par conséquent, pour obtenir un carré complet, vous devez ajouter 3 2, puisque

x2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Transformons maintenant le côté gauche de l'équation

x2 + 6x - 7 = 0,

en y ajoutant et en soustrayant 3 2. Nous avons:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Ainsi, cette équation peut s’écrire comme suit :

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Ainsi, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ou x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. MÉTHODE :Résoudre des équations quadratiques à l'aide de la formule.

Multiplions les deux côtés de l'équation

hache 2 + bx + c = 0, une ≠ 0

sur 4a et séquentiellement on a :

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Exemples.

UN) Résolvons l'équation : 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

ré > 0, deux racines différentes ;

Ainsi, dans le cas d’un discriminant positif, c’est-à-dire à

b 2 - 4ac >0, l'équation hache 2 + bx + c = 0 a deux racines différentes.

b) Résolvons l'équation : 4x2 - 4x + 1 = 0,

une = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

ré = 0, une racine ;

Donc, si le discriminant est nul, c'est à dire b 2 - 4ac = 0, alors l'équation

hache 2 + bx + c = 0 a une seule racine

V) Résolvons l'équation : 2x2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Cette équation n'a pas de racines.

Donc, si le discriminant est négatif, c'est à dire b 2 - 4ac< 0 , l'équation

hache 2 + bx + c = 0 n'a pas de racines.

Formule (1) des racines d'une équation quadratique hache 2 + bx + c = 0 permet de retrouver des racines n'importe lequel équation quadratique (le cas échéant), y compris réduite et incomplète. La formule (1) s'exprime verbalement comme suit : les racines d'une équation quadratique sont égales à une fraction dont le numérateur est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, plus moins la racine carrée du carré de ce coefficient sans quadrupler le produit du premier coefficient par le terme libre, et le dénominateur est le double du premier coefficient.

4. MÉTHODE : Résoudre des équations à l'aide du théorème de Vieta.

Comme on le sait, l'équation quadratique réduite a la forme

x 2 + px + c = 0.(1)

Ses racines satisfont au théorème de Vieta qui, lorsque une =1 ressemble à

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = -p

De là, nous pouvons tirer les conclusions suivantes (à partir des coefficients p et q nous pouvons prédire les signes des racines).

a) Si le demi-membre q l'équation donnée (1) est positive ( q > 0), alors l'équation a deux racines de signe égal et cela dépend du deuxième coefficient p. Si R.< 0 , alors les deux racines sont négatives si R.< 0 , alors les deux racines sont positives.

Par exemple,

x2 – 3x + 2 = 0 ; x1 = 2 Et x2 = 1, parce que q = 2 > 0 Et p = - 3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0 ; x 1 = - 7 Et x2 = - 1, parce que q = 7 > 0 Et p = 8 > 0.

b) Si membre gratuit q l'équation donnée (1) est négative ( q< 0 ), alors l’équation a deux racines de signe différent, et la plus grande racine sera positive si p< 0 , ou négatif si p > 0 .

Par exemple,

x2 + 4x – 5 = 0 ; x1 = - 5 Et x2 = 1, parce que q= - 5< 0 Et p = 4 > 0 ;

x2 – 8x – 9 = 0 ; x1 = 9 Et x2 = - 1, parce que q = - 9< 0 Et p = - 8< 0.

Exemples.

1) Résolvons l'équation 345x2 – 137x – 208 = 0.

Solution. Parce que a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Que

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Réponse 1; -208/345.

2) Résoudre l'équation 132x2 – 247x + 115 = 0.

Solution. Parce que a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Que

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Réponse 1; 115/132.

B. Si le deuxième coefficient b = 2k– nombre pair, alors la formule racine

Exemple.

Résolvons l'équation 3x2 - 14x + 16 = 0.

Solution. Nous avons: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, deux racines différentes ;

Réponse : 2 ; 8/3

DANS. Équation réduite

x 2 + px + q= 0

coïncide avec une équation générale dans laquelle une = 1, b = p Et c = q. Par conséquent, pour l’équation quadratique réduite, la formule racine est

Prend la forme :

La formule (3) est particulièrement pratique à utiliser lorsque R.- nombre pair.

Exemple. Résolvons l'équation x2 – 14x – 15 = 0.

Solution. Nous avons: x 1,2 =7±

Réponse : x 1 = 15 ; x2 = -1.

5. MÉTHODE : Résoudre des équations graphiquement.

Exemple. Résolvez l'équation x2 - 2x - 3 = 0.

Traçons la fonction y = x2 - 2x - 3

1) On a : a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Cela signifie que le sommet de la parabole est le point (1 ; -4) et que l'axe de la parabole est la droite x = 1.

2) Prenez deux points sur l'axe des x qui sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, par exemple les points x = -1 et x = 3.

Nous avons f(-1) = f(3) = 0. Construisons les points (-1 ; 0) et (3 ; 0) sur le plan de coordonnées.

3) A travers les points (-1 ; 0), (1 ; -4), (3 ; 0) on trace une parabole (Fig. 68).

Les racines de l'équation x2 - 2x - 3 = 0 sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x ; Cela signifie que les racines de l'équation sont : x1 = - 1, x2 - 3.

Instructions

Méthode de substitutionExprimez une variable et remplacez-la dans une autre équation. Vous pouvez exprimer n'importe quelle variable à votre discrétion. Par exemple, exprimez y à partir de la deuxième équation :
x-y=2 => y=x-2Ensuite, remplacez tout dans la première équation :
2x+(x-2)=10 Déplacez tout sans « x » vers la droite et calculez :
2x+x=10+2
3x=12 Ensuite, pour obtenir x, divisez les deux côtés de l'équation par 3 :
x = 4. Vous avez donc trouvé « x. Trouvez "y. Pour ce faire, remplacez « x » dans l’équation à partir de laquelle vous avez exprimé « y » :
y=x-2=4-2=2
y = 2.

Faites une vérification. Pour ce faire, substituez les valeurs résultantes dans les équations :
2*4+2=10
4-2=2
Les inconnues ont été trouvées correctement !

Une façon d'ajouter ou de soustraire des équations. Débarrassez-vous immédiatement de toute variable. Dans notre cas, c’est plus facile à faire avec « y.
Puisque dans « y » il y a un signe « + » et dans le second « - », alors vous pouvez effectuer l'opération d'addition, c'est-à-dire pliez le côté gauche avec le gauche, et le droit avec le droit :
2x+y+(x-y)=10+2Convertir :
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Remplacez « x » dans n'importe quelle équation et trouvez « y » :
2*4+y=10
8+o=10
y=10-8
y=2Par la 1ère méthode, vous pouvez voir qu'ils ont été trouvés correctement.

S'il n'y a pas de variables clairement définies, il est alors nécessaire de transformer légèrement les équations.
Dans la première équation, nous avons « 2x », et dans la seconde, nous avons simplement « x ». Pour que x soit réduit lors de l'addition, multipliez la deuxième équation par 2 :
x-y = 2
2x-2y=4Ensuite, soustrayez la seconde de la première équation :
2x+y-(2x-2y)=10-4 Notez que s'il y a un moins avant le support, alors après ouverture, remplacez-le par l'opposé :
2x+y-2x+2y=6
3у=6
trouvez y = 2x en exprimant à partir de n'importe quelle équation, c'est-à-dire
x=4

Vidéo sur le sujet

Astuce 2 : Comment résoudre une équation linéaire à deux variables

L'équation, écrit sous la forme générale ax+bу+c=0, est appelé une équation linéaire à deux variables. Une telle équation elle-même contient un nombre infini de solutions, donc dans les problèmes, elle est toujours complétée par quelque chose - une autre équation ou des conditions limites. En fonction des conditions fournies par le problème, résoudre une équation linéaire à deux variables devrait différentes façons.

Tu auras besoin de

• - équation linéaire à deux variables ;
• - deuxième équation ou conditions supplémentaires.

Instructions

Étant donné un système de deux équations linéaires, résolvez-le comme suit. Choisissez l'une des équations dans lesquelles les coefficients sont variables plus petit et exprime l’une des variables, par exemple x. Remplacez ensuite cette valeur contenant y dans la deuxième équation. Dans l'équation résultante, il n'y aura qu'une seule variable y, déplacera toutes les parties avec y vers la gauche et les parties libres vers la droite. Trouvez y et remplacez-le dans l'une des équations originales pour trouver x.

Il existe une autre façon de résoudre un système de deux équations. Multipliez l'une des équations par un nombre afin que le coefficient de l'une des variables, telle que x, soit le même dans les deux équations. Soustrayez ensuite l’une des équations de l’autre (si le membre de droite n’est pas égal à 0, pensez à soustraire les membres de droite de la même manière). Vous verrez que la variable x a disparu et qu'il ne reste qu'une seule variable y. Résolvez l'équation résultante et remplacez la valeur trouvée de y par l'une des égalités d'origine. Trouvez x.

La troisième façon de résoudre un système de deux équations linéaires est graphique. Dessinez un système de coordonnées et tracez deux lignes droites dont les équations sont données dans votre système. Pour ce faire, remplacez deux valeurs x quelconques dans l'équation et trouvez le y correspondant - ce seront les coordonnées des points appartenant à la ligne. Le moyen le plus pratique de trouver l'intersection avec les axes de coordonnées est simplement de remplacer les valeurs x=0 et y=0. Les coordonnées du point d'intersection de ces deux lignes seront les tâches.

S'il n'y a qu'une seule équation linéaire dans les conditions du problème, alors des conditions supplémentaires vous sont données grâce auxquelles vous pouvez trouver une solution. Lisez attentivement le problème pour trouver ces conditions. Si variables x et y indiquent la distance, la vitesse, le poids - n'hésitez pas à définir la limite x≥0 et y≥0. Il est fort possible que x ou y cache le nombre de pommes, etc. – alors les valeurs ne peuvent être que . Si x est l’âge du fils, il est clair qu’il ne peut pas être plus âgé que son père, indiquez-le donc dans les conditions du problème.

Sources:

• comment résoudre une équation avec une variable

Par lui-même l'équation avec trois inconnu a de nombreuses solutions, il est donc le plus souvent complété par deux autres équations ou conditions. L'évolution de la décision dépendra en grande partie des données initiales.

Tu auras besoin de

• - un système de trois équations à trois inconnues.

Instructions

Si deux des trois systèmes n'ont que deux des trois inconnues, essayez d'exprimer certaines variables en fonction des autres et de les substituer dans l'équation avec trois inconnu. Votre objectif dans ce cas est de le transformer en un état normal l'équation avec un inconnu. Si c'est le cas, la solution supplémentaire est assez simple : remplacez la valeur trouvée dans d'autres équations et trouvez toutes les autres inconnues.

Certains systèmes d'équations peuvent être soustraits d'une équation par une autre. Voyez s'il est possible de multiplier une ou une variable pour que deux inconnues s'annulent à la fois. S'il existe une telle opportunité, profitez-en, la solution ultérieure ne sera probablement pas difficile. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez par un nombre, vous devez multiplier à la fois le côté gauche et le côté droit. De même, lorsque vous soustrayez des équations, vous devez vous rappeler que le membre de droite doit également être soustrait.

Si les méthodes précédentes n'ont pas aidé, utilisez d'une manière générale solutions à toutes les équations avec trois inconnu. Pour ce faire, réécrivez les équations sous la forme a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Créez maintenant une matrice de coefficients pour x (A), une matrice d'inconnues (X) et une matrice d'inconnues (B). Attention, en multipliant la matrice des coefficients par la matrice des inconnues, vous obtiendrez une matrice de termes libres, c'est-à-dire A*X=B.

Trouvez la matrice A à la puissance (-1) en trouvant d'abord, notez qu'elle ne doit pas être égale à zéro. Après cela, multipliez la matrice résultante par la matrice B, vous obtiendrez ainsi la matrice X souhaitée, indiquant toutes les valeurs.

Vous pouvez également trouver une solution à un système de trois équations en utilisant la méthode de Cramer. Pour ce faire, trouvez le déterminant du troisième ordre ∆ correspondant à la matrice système. Trouvez ensuite successivement trois autres déterminants ∆1, ∆2 et ∆3, en substituant les valeurs des termes libres au lieu des valeurs des colonnes correspondantes. Trouvez maintenant x : x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sources:

• solutions aux équations à trois inconnues

Résoudre un système d’équations est un défi et une aventure passionnante. Plus le système est complexe, plus il est intéressant à résoudre. Le plus souvent en mathématiques lycée il existe des systèmes d'équations à deux inconnues, mais en mathématiques supérieures il peut y avoir plus de variables. Les systèmes peuvent être résolus en utilisant plusieurs méthodes.

Instructions

La méthode la plus courante pour résoudre un système d’équations est la substitution. Pour ce faire, vous devez exprimer une variable en fonction d’une autre et la remplacer par la seconde. l'équation systèmes, menant ainsi l'équationà une variable. Par exemple, étant donné les équations suivantes : 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

A partir de la deuxième expression, il convient d'exprimer une des variables, en déplaçant tout le reste vers la droite de l'expression, sans oublier de changer le signe du coefficient : x = 3-y.

Ouvrez les parenthèses : 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Nous substituons la valeur résultante y dans l'expression : x=3-y;x=3-1;x=2 .

Dans la première expression, tous les termes valent 2, vous pouvez retirer 2 de la parenthèse jusqu'à la propriété distributive de multiplication : 2*(2x-y-3)=0. Maintenant, les deux parties de l'expression peuvent être réduites de ce nombre, puis exprimées par y, puisque son coefficient de module est égal à un : -y = 3-2x ou y = 2x-3.

Tout comme dans le premier cas, on substitue cette expression dans le second l'équation et nous obtenons : 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Remplacez la valeur résultante dans l'expression : y=2x -3;y=4-3=1.

Nous voyons que le coefficient pour y est de même valeur, mais de signe différent, donc si nous ajoutons ces équations, nous nous débarrasserons complètement de y : 4x+3x-2y+2y-6-8=0 ; 7x- 14 = 0 ; x = 2. Remplacez la valeur de x dans l’une des deux équations du système et obtenez y = 1.

Vidéo sur le sujet

Biquadratique l'équation représente l'équation quatrième degré, Forme générale qui est représenté par l'expression ax^4 + bx^2 + c = 0. Sa solution est basée sur l'utilisation de la méthode de substitution d'inconnues. Dans ce cas, x^2 est remplacé par une autre variable. Le résultat est donc un carré ordinaire l'équation, qui doit être résolu.

Instructions

Résoudre la quadratique l'équation, résultant du remplacement. Pour ce faire, calculez d'abord la valeur selon la formule : D = b^2 ? 4ac. Dans ce cas, les variables a, b, c sont les coefficients de notre équation.

Trouvez les racines de l’équation biquadratique. Pour ce faire, prenez la racine carrée des solutions obtenues. S'il y avait une solution, alors il y en aurait deux : positive et Sens négatif racine carrée. S’il y avait deux solutions, l’équation biquadratique aurait quatre racines.

Vidéo sur le sujet

Un des méthodes classiques la résolution de systèmes d'équations linéaires est la méthode de Gauss. Il s'agit de l'élimination séquentielle de variables, lorsqu'un système d'équations utilisant des transformations simples est transformé en un système pas à pas, à partir duquel toutes les variables sont trouvées séquentiellement, en commençant par les dernières.

Instructions

Tout d’abord, donnez au système d’équations une forme où toutes les inconnues sont dans un ordre strictement défini. Par exemple, tous les X inconnus apparaîtront en premier sur chaque ligne, tous les Y viendront après les X, tous les Z viendront après les Y, et ainsi de suite. Il ne devrait y avoir aucune inconnue du côté droit de chaque équation. Déterminez mentalement les coefficients devant chaque inconnue, ainsi que les coefficients du côté droit de chaque équation.

Application

Résolution de tout type d'équations en ligne sur le site destiné aux étudiants et écoliers pour consolider la matière étudiée. Équations en ligne. Il existe des types d'équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, qui sont pratiques car elles donnent non seulement la valeur exacte de la racine, mais permettent également d'écrire la solution dans la forme forme d'une formule, qui peut inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais aussi d'analyser leur existence et leur quantité en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour application pratique, que les valeurs spécifiques des racines. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs des arguments pour lesquelles cette égalité est atteinte. Des conditions supplémentaires (entière, réelle, etc.) peuvent être imposées sur les valeurs possibles des arguments. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Vous pouvez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec une grande précision du résultat. Les arguments des fonctions spécifiées (parfois appelés « variables ») sont appelés « inconnues » dans le cas d'une équation. Les valeurs des inconnues auxquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de cette équation. On dit que les racines satisfont à cette équation. Résoudre une équation en ligne, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Les équations dont les ensembles de racines coïncident sont appelées équivalentes ou égales. Les équations qui n’ont pas de racines sont également considérées comme équivalentes. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la deuxième équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre, et la seconde est équivalente à une troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer avec elles des transformations, sur lesquelles reposent les méthodes pour les résoudre. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent les équations algébriques ne dépassant pas le quatrième degré : équation linéaire, équation quadratique, équation cubique et équation du quatrième degré. Équations algébriques Dans le cas général, les équations de degrés supérieurs n'ont pas de solutions analytiques, bien que certaines d'entre elles puissent être réduites à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantales sont appelées transcendantales. Parmi eux, les solutions analytiques sont connues pour certains équations trigonométriques, puisque les zéros fonctions trigonométriques bien connu. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Les méthodes numériques ne fournissent pas de solution exacte, mais permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se situe la racine à une certaine valeur prédéterminée. Résoudre des équations en ligne.. Équations en ligne.. Au lieu d'une équation en ligne, nous imaginerons comment se forme la même expression dépendance linéaire et pas seulement le long d'une droite tangente, mais aussi au point même d'inflexion du graphique. Cette méthode est indispensable à tout moment dans l’étude du sujet. Il arrive souvent que la résolution d’équations se rapproche de la valeur finale en utilisant des nombres infinis et en écrivant des vecteurs. Il est nécessaire de vérifier les données initiales et c'est l'essence de la tâche. Sinon, la condition locale est convertie en formule. Inversion le long d'une droite de fonction donnée, que le calculateur d'équation calculera sans trop de retard dans l'exécution, le décalage sera servi par le privilège de l'espace. Nous parlerons de la réussite des étudiants dans le milieu scientifique. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche et lorsque vous résoudrez complètement l'équation, stockerez la réponse résultante aux extrémités du segment de droite. Les lignes dans l'espace se coupent en un point et ce point est appelé coupé par les lignes. L'intervalle sur la ligne est indiqué comme spécifié précédemment. Le poste le plus élevé pour l'étude des mathématiques sera publié. L'attribution d'une valeur d'argument à partir d'une surface spécifiée paramétriquement et la résolution de l'équation en ligne permettront de décrire les principes d'un accès productif à une fonction. La bande de Möbius, ou l'infini comme on l'appelle, ressemble à un huit. Il s’agit d’une surface à un côté et non à deux côtés. Selon le principe généralement connu de tous, nous accepterons objectivement équations linéaires pour le titre de base tel quel et dans le domaine d'études. Seules deux valeurs d'arguments donnés séquentiellement sont capables de révéler la direction du vecteur. En supposant qu'une autre solution aux équations en ligne est bien plus que simplement la résoudre, cela signifie obtenir une version à part entière de l'invariant. Sans une approche intégrée, il est difficile pour les étudiants d'apprendre cette matière. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équations en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans les moments difficiles, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système lui-même calculera la réponse. Avant de commencer à saisir des données, nous aurons besoin d’un outil de saisie, ce qui peut être réalisé sans trop de difficulté. Le nombre de chaque estimation de réponse conduira à une équation quadratique pour nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses caractéristiques, n’est pas étayée par des connaissances pratiques. Voir un calculateur de fractions au stade de la publication de la réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, car l'alternative consistant à écrire un nombre sur un ensemble contribue à augmenter la croissance de la fonction. Cependant, il serait inexact de ne pas parler de la formation des étudiants, c'est pourquoi nous dirons chacun ce qu'il faut faire. L'équation cubique trouvée précédemment appartiendra à juste titre au domaine de la définition et contiendra l'espace des valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Après avoir appris ou mémorisé le théorème, nos élèves ne se montreront qu'à leur meilleur, et nous serons heureux pour eux. Contrairement aux intersections de champs multiples, nos équations en ligne sont décrites par un plan de mouvement en multipliant deux et trois lignes numériques combinées. Un ensemble en mathématiques n’est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les étudiants, est un enregistrement complet de l'expression. Comme on le disait en langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'entre pas dans l'état des choses, mais la solution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous les domaines. cas connus. La durée du cours de l'enseignant dépend des besoins de cette proposition. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques informatiques dans de nombreux domaines, et il est absolument clair qu'un calculateur d'équations est un outil indispensable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l’étude des mathématiques détermine l’importance des points de vue provenant de différentes directions. Vous souhaitez identifier l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation de telle manière, en fonction de la réponse dont il sera nécessaire de l'appliquer ultérieurement. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir franchi le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne le long de la tangente au point d'inflexion conduira certainement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des aspects principaux de la construction de ce même graphique à partir de l'argument de la fonction. Une approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des étudiants. C'est la sous-tâche qui met au second plan l'analyse des conditions mathématiques sous forme d'équations linéaires dans le domaine existant de définition de l'objet. Le décalage dans le sens de l'orthogonalité réduit mutuellement l'avantage du solitaire valeur absolue. La résolution modulo d'équations en ligne donne le même nombre de solutions si vous ouvrez d'abord les parenthèses avec un signe plus puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y aura deux fois plus de solutions et le résultat sera plus précis. Un calculateur d'équations en ligne stable et correct est la réussite dans la réalisation de l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Méthode requise il semble possible de choisir en raison des différences significatives entre les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, appelée parabole, et le signe déterminera sa convexité dans le système de coordonnées carrées. De l’équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes selon le théorème de Vieta. La première étape consiste à représenter l’expression comme une fraction propre ou impropre et à utiliser un calculateur de fraction. En fonction de cela, le plan de nos calculs ultérieurs sera formé. Les mathématiques avec une approche théorique seront utiles à chaque étape. Nous présenterons certainement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression afin de simplifier la tâche d'un étudiant universitaire. Toutes les méthodes sont bonnes si elles conviennent à une analyse superficielle. Supplémentaire opérations arithmétiques n'entraînera pas d'erreurs de calcul. Détermine la réponse avec une précision donnée. En utilisant la solution d'équations, soyons réalistes : trouver la variable indépendante d'une fonction donnée n'est pas si facile, surtout pendant la période d'étude des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l’exception, la nécessité est très évidente. La différence de polarité est claire. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a appris leçon principale, dans lequel les équations ont été étudiées en ligne au sens mathématique complet. Ici, nous parlions d’efforts plus importants et de compétences particulières dans l’application de la théorie. Il ne faut pas regarder à travers un prisme pour parvenir à nos conclusions. Jusqu'à récemment, on pensait qu'un ensemble fermé augmentait rapidement dans la région telle qu'elle est et que la solution des équations devait simplement être étudiée. Dans un premier temps, nous n'avons pas tout considéré options possibles, mais cette approche est plus que jamais justifiée. Des actions supplémentaires avec parenthèses justifient certaines avancées le long des axes des ordonnées et des abscisses, incontournables à l'œil nu. Dans le sens d’une augmentation proportionnelle étendue de la fonction, il existe un point d’inflexion. Une fois de plus, nous prouverons comment condition nécessaire sera appliqué pendant tout l'intervalle de diminution de l'une ou l'autre position descendante du vecteur. Dans un espace confiné, nous sélectionnerons une variable du bloc initial de notre script. Un système construit à partir de trois vecteurs est responsable de l'absence du moment de force principal. Cependant, le calculateur d'équation a généré et aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Traçons un cercle autour du point de départ. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de coupe et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, ce qui donnera une courbe appelée développante. Au fait, racontons un peu l'histoire de cette courbe. Le fait est qu’historiquement, en mathématiques, il n’existait pas de concept des mathématiques elles-mêmes dans leur compréhension pure comme c’est le cas aujourd’hui. Auparavant, tous les scientifiques étaient engagés dans une tâche commune, à savoir la science. Plus tard, plusieurs siècles plus tard, lorsque monde scientifique Remplie d'une quantité colossale d'informations, l'humanité identifiait encore de nombreuses disciplines. Ils restent toujours inchangés. Et pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier tentent de prouver que la science est illimitée et que l’on ne résoudra l’équation que si l’on possède des connaissances en sciences naturelles. Il n’est peut-être pas possible d’y mettre définitivement un terme. Y penser est aussi inutile que de réchauffer l’air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, si sa valeur est positive, déterminera le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction vous aidera à trouver au moins trois solutions, mais vous devrez les vérifier. Commençons par le fait que nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant le service unique de notre site Web. Présentons les deux parties équation donnée, cliquez sur le bouton « RÉSOLU » et obtenez la réponse exacte en quelques secondes seulement. DANS cas spéciaux Prenons un livre de mathématiques et vérifions notre réponse, c'est-à-dire qu'il suffit de regarder la réponse et tout deviendra clair. Le même projet de parallélépipède artificiel redondant verra le jour. Il existe un parallélogramme avec ses côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches pour étudier la relation spatiale du processus ascendant d'accumulation d'espace creux dans des formules de forme naturelle. Des équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée par rapport à notre commun ce moment solution temporelle et vous devez d'une manière ou d'une autre dériver et réduire la fraction impropre à un cas non trivial. Marquez dix points sur la ligne droite et tracez une courbe passant par chaque point dans la direction donnée, avec le point convexe vers le haut. Sans difficultés particulières, notre calculateur d'équations présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente dès le début de l'enregistrement. Le système de représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens vient en premier, sauf disposition contraire de la formule. Nous y répondrons par une présentation détaillée d'un rapport sur le thème de l'état isomorphe d'un système plastique de corps et la résolution d'équations en ligne décrira le mouvement de chaque point matériel de ce système. Au niveau des recherches approfondies, il faudra clarifier en détail la question des inversions au moins de la couche inférieure de l’espace. Par ordre croissant sur la section de discontinuité de la fonction, nous appliquerons méthode générale un excellent chercheur, d'ailleurs, notre compatriote, et nous parlerons ci-dessous du comportement de l'avion. En raison des fortes caractéristiques d'une fonction définie analytiquement, nous utilisons le calculateur d'équations en ligne uniquement aux fins prévues, dans les limites d'autorité qui en découlent. En raisonnant plus loin, nous concentrerons notre examen sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son côté droit est égal à zéro. Assurons-nous encore une fois que notre décision en mathématiques est correcte. Pour éviter d'obtenir une solution triviale, apportons quelques ajustements à conditions initiales sur le problème de la stabilité conditionnelle du système. Créons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées en utilisant une formule bien connue et trouvons les racines négatives. Si une racine est cinq unités plus grande que les deuxième et troisième racines, alors en modifiant l'argument principal, nous déformons ainsi les conditions initiales de la sous-tâche. De par sa nature même, quelque chose d’inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit au centième près. nombre positif. Le calculateur de fractions est plusieurs fois supérieur à ses analogues sur des ressources similaires au meilleur moment de charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'axe des ordonnées, nous traçons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de fonction attribué est en avance sur les lectures du compteur de solde de récupération. En mathématiques, on peut représenter ce phénomène à travers une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que dans la progression bipolaire de droites décroissantes. Les points critiques de différence de température, dans bon nombre de leur signification et de leur progression, décrivent le processus de décomposition d'une fonction fractionnaire complexe en facteurs. Si on vous demande de résoudre une équation, ne vous précipitez pas pour le faire tout de suite, évaluez d'abord l'ensemble du plan d'action, puis adoptez la bonne approche. Il y aura certainement des avantages. La facilité de travail est évidente, et il en va de même en mathématiques. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne représentent un certain type d'enregistrement de nombres ou de paramètres et une variable qui doit être déterminée. Calculez cette même variable, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs auxquels l'identité sera maintenue. Les conditions initiales et finales en dépendent directement. DANS décision commune Les équations incluent généralement certaines variables et constantes, grâce auxquelles nous obtiendrons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis pour augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial d'un côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n’importe quelle étape de la construction d’une réponse. Le site produit progressivement un calculateur d'équations, si nécessaire, sur n'importe quel intervalle de sommation des produits affichés plus petite valeur. Dans la moitié des cas, une telle boule, étant creuse, ne répond plus aux exigences de fixation d'une réponse intermédiaire. Au moins sur l'axe des ordonnées dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où fonctions linéaires une analyse ponctuelle complète sera réalisée, nous rassemblerons en effet tous nos nombres complexes et espaces planaires bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation étape par étape et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Il serait de bon ton de la part d'un élève de vérifier à nouveau ses actions en mathématiques. La proportion dans le rapport des fractions a enregistré l'intégrité du résultat dans tous les domaines d'activité importants du vecteur zéro. La trivialité se confirme à la fin des actions réalisées. Avec une tâche simple, les étudiants n'auront peut-être aucune difficulté s'ils résolvent l'équation en ligne dans les plus brefs délais, mais n'oublient pas toutes les différentes règles. Un ensemble de sous-ensembles se croisent dans une région de notation convergente. Dans différents cas, le produit n’est pas factorisé par erreur. Vous serez aidé à résoudre l'équation en ligne dans notre première section, dédiée aux bases des techniques mathématiques pour les sections importantes pour les étudiants des universités et des écoles techniques. Nous n’aurons pas à attendre quelques jours pour obtenir des réponses, puisque le processus d’interaction optimale de l’analyse vectorielle avec la recherche séquentielle de solutions a été breveté au début du siècle dernier. Il s’avère que les efforts pour établir des relations avec l’équipe environnante n’ont pas été vains : il fallait évidemment autre chose en premier. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont fait croire que les mathématiques étaient la reine des sciences. Qu'il s'agisse de la réponse de gauche ou de la bonne, les termes exhaustifs doivent quand même être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas nous ne parlerons certainement que d'analyse vectorielle des propriétés de la matrice. Les équations non linéaires et linéaires, ainsi que les équations biquadratiques, occupent une place particulière dans notre livre sur les meilleures pratiques calculer la trajectoire du mouvement dans l'espace de tous points matériels systeme ferme. Une analyse linéaire du produit scalaire de trois vecteurs consécutifs nous aidera à donner vie à l’idée. À la fin de chaque instruction, la tâche est facilitée par la mise en œuvre d'exceptions numériques optimisées dans les superpositions d'espace numérique effectuées. Un jugement différent ne contrastera pas la réponse trouvée sous la forme arbitraire d’un triangle dans un cercle. L'angle entre deux vecteurs contient le pourcentage de marge requis, et la résolution d'équations en ligne révèle souvent une certaine racine commune de l'équation, par opposition aux conditions initiales. L'exception joue le rôle de catalyseur dans tout le processus inévitable de recherche d'une solution positive dans le domaine de la définition d'une fonction. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser un ordinateur, alors un calculateur d'équations en ligne est parfait pour vos problèmes difficiles. Il vous suffit de saisir vos données conditionnelles dans le format correct et notre serveur vous fournira une réponse complète dans les plus brefs délais. Fonction exponentielle augmente beaucoup plus vite que linéaire. Les Talmuds de la littérature des bibliothèques intelligentes en témoignent. Effectuera un calcul au sens général comme le ferait une équation quadratique donnée avec trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise un mouvement parallèle rectiligne le long des axes de la pointe. Il convient ici de mentionner la différence potentielle dans l’espace de travail du corps. En échange d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fractions occupe à juste titre la première position dans l'évaluation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels côté serveur. La simplicité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous aimerions aussi particulièrement noter et mettre en évidence l'équation cubique issue d'un certain nombre de problèmes de l'école primaire, lorsqu'il faut trouver rapidement ses racines et construire un graphique de la fonction sur un plan. Diplômes supérieurs la reproduction est l'un des problèmes mathématiques complexes de l'institut et un nombre d'heures suffisant est alloué à son étude. Comme toutes les équations linéaires, les nôtres ne font pas exception selon de nombreuses règles objectives : regardez sous différents points de vue, et il s'avère simple et suffisant de fixer les conditions initiales. L'intervalle d'augmentation coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Résoudre des équations en ligne. L'étude de la théorie est basée sur des équations en ligne provenant de nombreuses sections de l'étude de la discipline principale. Dans le cas de cette approche des problèmes incertains, il est très simple de présenter la solution des équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais également de prédire le résultat d'une telle solution positive. Un service dans les meilleures traditions mathématiques nous aidera à apprendre la matière, comme c'est la coutume en Orient. Aux meilleurs moments de l'intervalle de temps, les tâches similaires étaient multipliées par un facteur commun de dix. L'abondance de multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations a commencé à se multiplier par des variables qualitatives plutôt que quantitatives telles que la masse ou le poids corporel. Afin d'éviter les cas de déséquilibre du système matériel, la dérivation d'un transformateur tridimensionnel sur la convergence triviale de matrices mathématiques non dégénérées nous apparaît bien évidente. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans les coordonnées données, puisque la conclusion est inconnue à l'avance, tout comme toutes les variables incluses dans le temps post-espace. Pendant une courte période, déplacez le facteur commun hors des parenthèses et divisez à l’avance les deux côtés par le plus grand facteur commun. À partir du sous-ensemble de nombres couvert résultant, extrayez de manière détaillée trente-trois points d'affilée dans courte période. À tel point que de la meilleure façon possible Résoudre une équation en ligne est possible pour chaque étudiant. Pour l’avenir, disons une chose importante mais essentielle, sans laquelle il sera difficile de vivre à l’avenir. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de tendances dans la théorie des mathématiques. Dans la pratique, le résultat n’a pas été tout à fait l’impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette solution même d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception d'une approche holistique de l'étude et à la consolidation pratique de la matière théorique couverte par les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps d'étude.

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Objectifs:

1. Systématiser et généraliser les connaissances et les compétences sur le thème : Solutions d'équations du troisième et du quatrième degré.
2. Approfondissez vos connaissances en accomplissant un certain nombre de tâches, dont certaines ne sont pas familières ni par leur type, ni par leur méthode de résolution.
3. S'intéresser aux mathématiques à travers l'étude de nouveaux chapitres des mathématiques, nourrir une culture graphique à travers la construction de graphiques d'équations.

Type de cours: combiné.

Équipement: projecteur graphique.

Visibilité: tableau "Théorème de Viete".

Pendant les cours

1. Comptage oral

a) Quel est le reste en divisant le polynôme p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 par le binôme x-a ?

b) Combien de racines une équation cubique peut-elle avoir ?

c) Comment résoudre-t-on les équations des troisième et quatrième degrés ?

d) Si b est un nombre pair dans une équation quadratique, alors quelle est la valeur de D et x 1 ; x 2

2. Travail indépendant(en groupes)

Écrivez une équation si les racines sont connues (les réponses aux tâches sont codées) Le « théorème de Vieta » est utilisé

1 groupe

Racines : x 1 = 1 ; x2 = -2 ; x3 = -3 ; x4 = 6

Composez une équation :

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; ré= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(cette équation est ensuite résolue par le groupe 2 au tableau)

Solution . On cherche des racines entières parmi les diviseurs du nombre 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Le nombre 1 satisfait l'équation, donc =1 est la racine de l'équation. Selon le schéma de Horner

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x3 =-3, x4 =6

Réponse : 1;-2;-3;6 somme des racines 2 (P)

2ème groupe

Racines : x 1 = -1 ; x2 = x3 =2 ; x4 =5

Composez une équation :

B=-1+2+2+5-8 ; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10=-4 ; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (le groupe 3 résout cette équation au tableau)

р = ±1 ;±2 ;±4 ;±5 ;±10 ;±20.

p4 (1)=1-8+15+4-20=-8

ð 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2 ; x2 =5

Réponse : -1;2;2;5 somme des racines 8(P)

3 groupe

Racines : x 1 = -1 ; x2 =1 ; x3 = -2 ; x4 =3

Composez une équation :

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1 ; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x4 - x3- 7x2 + x + 6 = 0(le groupe 4 résout cette équation plus tard au tableau)

Solution. On cherche des racines entières parmi les diviseurs du nombre 6.

р = ±1;±2;±3;±6

p4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

ð 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0 ; x1 = -2 ; x2 =3

Réponse : -1;1;-2;3 Somme des racines 1(O)

4 groupe

Racines : x 1 = -2 ; x2 = -2 ; x3 = -3 ; x4 = -3

Composez une équation :

B=-2-2-3+3=-4 ; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36 ; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(cette équation est ensuite résolue par le groupe 5 au tableau)

Solution. On cherche des racines entières parmi les diviseurs du nombre -36

r = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0 ; x=±3

Réponse : -2 ; -2 ; -3 ; 3 Somme des racines-4 (F)

5 groupe

Racines : x 1 = -1 ; x2 = -2 ; x3 = -3 ; x4 = -4

Écrire une équation

x4+ 10x3 + 35x2 + 50x + 24 = 0(cette équation est ensuite résolue par le groupe 6 au tableau)

Solution . On cherche des racines entières parmi les diviseurs du nombre 24.

r = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Réponse : -1 ;-2 ;-3 ;-4 somme-10 (I)

6 groupe

Racines : x 1 = 1 ; x2 = 1 ; x3 = -3 ; x4 = 8

Écrire une équation

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43 ; d=43

x4 - 7x3- 13x2 + 43X - 24 = 0 (cette équation est ensuite résolue par le groupe 1 au tableau)

Solution . On cherche des racines entières parmi les diviseurs du nombre -24.

p4 (1)=1-7-13+43-24=0

p3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x3 =-3, x4 =8

Réponse : 1;1;-3;8 somme 7 (L)

3. Résolution d'équations avec un paramètre

1. Résolvez l'équation x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 ; si une des racines est égale à (-1)

Écrivez la réponse par ordre croissant

R=P3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0 ; -1+3+13-15=0

Par condition x 1 = - 1 ; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x2 = -1-4 = -5 ;

x3 = -1 + 4 = 3 ;

Réponse : - 1 ; -5 ; 3

Par ordre croissant : -5;-1;3. (bNS)

2. Trouvez toutes les racines du polynôme x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, si les restes de sa division en binômes x-1 et x +2 sont égaux.

Solution : R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x2-6) = 0

3) une=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0 ; x2 =0 ; x4 =0

une = 0 ; x=0 ; x=1

une>0 ; x=1 ; x=une ± √une

2. Écrivez une équation

1 groupe. Racines : -4 ; -2 ; 1; 7;

2ème groupe. Racines : -3 ; -2 ; 1; 2 ;

3 groupe. Racines : -1 ; 2 ; 6 ; dix;

4 groupe. Racines : -3 ; 2 ; 2 ; 5 ;

5 groupe. Racines : -5 ; -2 ; 2 ; 4 ;

6 groupe. Racines : -8 ; -2 ; 6 ; 7.