Comment faire des exemples avec des fractions. Multiplier une fraction par un nombre. Comment résoudre des exemples avec des fractions - inégalités fractionnaires

Instructions

Réduction à un dénominateur commun.

Soit les fractions a/b et c/d.

Le numérateur et le dénominateur de la première fraction sont multipliés par LCM/b

Le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction sont multipliés par LCM/d

Un exemple est montré dans la figure.

Pour comparer des fractions, vous devez les additionner à un dénominateur commun, puis comparer les numérateurs. Par exemple, 3/4< 4/5, см. .

Additionner et soustraire des fractions.

Pour trouver la somme de deux fractions ordinaires, il faut les ramener à un dénominateur commun, puis additionner les numérateurs en laissant le dénominateur inchangé. Un exemple d'ajout de fractions 1/2 et 1/3 est présenté sur la figure.

La différence des fractions se trouve de la même manière : après avoir trouvé le dénominateur commun, les numérateurs des fractions sont soustraits, voir la figure.

Lors de la multiplication de fractions ordinaires, les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés ensemble.

Pour diviser deux fractions, il faut une fraction de la deuxième fraction, c'est-à-dire : changez son numérateur et son dénominateur, puis multipliez les fractions résultantes.

Vidéo sur le sujet

Sources:

• fractions de 5e année à l'aide d'un exemple
• Problèmes de fractions de base

Module représente la valeur absolue de l'expression. Les parenthèses droites sont utilisées pour désigner un module. Les valeurs qu'ils contiennent sont considérées comme modulo. La résolution du module consiste à ouvrir des parenthèses selon certaines règles et à trouver l'ensemble des valeurs d'expression. Dans la plupart des cas, le module est étendu de telle manière que l'expression sous-modulaire reçoive une série de réponses positives et négatives. valeurs négatives y compris la valeur nulle. Sur la base de ces propriétés du module, d'autres équations et inégalités de l'expression originale sont compilées et résolues.

Instructions

Écrivez l'équation originale avec . Pour ce faire, ouvrez le module. Considérez chaque expression sous-modulaire. Déterminez à quelle valeur des quantités inconnues qui y sont incluses l'expression entre parenthèses modulaires devient nulle.

Pour ce faire, assimilez l'expression sous-modulaire à zéro et trouvez l'équation résultante. Notez les valeurs que vous trouvez. De la même manière, déterminez les valeurs de la variable inconnue pour chaque module de équation donnée.

Tracez une droite numérique et tracez-y les valeurs résultantes. Les valeurs de la variable dans le module zéro serviront de contraintes lors de la résolution équation modulaire.

Dans l'équation originale, vous devez développer les équations modulaires, en changeant le signe pour que les valeurs de la variable correspondent à celles affichées sur la droite numérique. Résolvez l’équation résultante. Vérifiez la valeur trouvée de la variable par rapport à la contrainte spécifiée par le module. Si la solution satisfait à la condition, c'est vrai. Les racines qui ne satisfont pas aux restrictions doivent être écartées.

De même, développez les modules de l'expression originale, en tenant compte du signe, et calculez les racines de l'équation résultante. Notez toutes les racines résultantes qui satisfont aux inégalités de contraintes.

Les nombres fractionnaires peuvent être exprimés en sous différentes formes valeur exacte de la quantité. Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques avec des fractions qu’avec des nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, il faut rappeler certaines de leurs caractéristiques. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Quelques opérations arithmétiques après exécution, ils nécessitent une réduction de la partie fractionnaire du résultat.

Tu auras besoin de

• - calculatrice

Instructions

Regardez attentivement les chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous la forme irrégulière. Peux-tu traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres ci-dessus et ci-dessous par un diviseur. Les fractions dans lesquelles la partie entière est isolée doivent être converties sous la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au résultat. Cette valeur deviendra le nouveau numérateur fractions. Pour sélectionner une pièce entière parmi une pièce initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le résultat complet de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions à partie entière, il est possible d'effectuer des actions séparément, d'abord pour la partie entière puis pour les parties fractionnaires. Par exemple, la somme de 1 2/3 et 2 ¾ peut être calculée :
- Conversion de fractions sous la mauvaise forme :
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ;
- Somme des parties distinctes entières et fractionnaires des termes :
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pour les valeurs en dessous de la ligne, trouvez le dénominateur commun. Par exemple, pour 5/9 et 7/12 le dénominateur commun sera 36. Pour cela, le numérateur et le dénominateur du premier fractions vous devez multiplier par 4 (vous obtenez 28/36) et le second par 3 (vous obtenez 15/36). Vous pouvez maintenant effectuer les calculs.

Si vous souhaitez calculer la somme ou la différence de fractions, écrivez d'abord le dénominateur commun trouvé sous la ligne. Effectuez les actions nécessaires entre les numérateurs et écrivez le résultat au-dessus de la nouvelle ligne fractions. Ainsi, le nouveau numérateur sera la différence ou la somme des numérateurs des fractions originales.

Pour calculer le produit de fractions, multipliez les numérateurs des fractions et écrivez le résultat à la place du numérateur du résultat final. fractions. Faites de même pour les dénominateurs. Quand on en divise un fractions notez une fraction sur l'autre, puis multipliez son numérateur par le dénominateur de la seconde. Dans ce cas, le dénominateur du premier fractions multiplié en conséquence par le deuxième numérateur. Dans ce cas, une sorte de révolution se produit fractions(diviseur). La fraction finale sera le résultat de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs des deux fractions. Ce n'est pas difficile à apprendre fractions, écrit dans la condition sous la forme de « quatre étages » fractions. Si ça sépare deux fractions, réécrivez-les en utilisant le séparateur « : » et continuez avec la division normale.

Pour obtenir le résultat final, réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand possible dans ce cas. Dans ce cas, il doit y avoir des entiers au-dessus et en dessous de la ligne.

note

N'effectuez pas d'arithmétique avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par celui-ci, le résultat est que les dénominateurs des deux fractions sont égaux.

Conseil utile

Lors de l'enregistrement nombres fractionnaires Le dividende est inscrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur, ou dénominateur, de la fraction est écrit sous la ligne. Par exemple, un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ½ kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour faciliter le calcul, une telle fraction peut toujours être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour simplifier, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. Dans cet exemple, vous pouvez diviser par 2. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.

Instructions

Cliquez une fois sur l'élément de menu « Insérer », puis sélectionnez « Symbole ». C'est l'un des plus des moyens simples inserts fractions dans le texte. Il consiste en ce qui suit. L'ensemble de symboles prêts à l'emploi comprend fractions. Leur nombre, en règle générale, est petit, mais si vous devez écrire ½ dans le texte plutôt que 1/2, cette option sera la plus optimale pour vous. De plus, le nombre de caractères de fraction peut dépendre de la police. Par exemple, pour la police Times New Roman, il y a un peu moins de fractions que pour la même Arial. Variez les polices pour trouver celle qui vous convient le mieux Meilleure option Quand cela vient à expressions simples.

Cliquez sur l'élément de menu « Insérer » et sélectionnez le sous-élément « Objet ». Une fenêtre apparaîtra devant vous avec une liste d'objets possibles à insérer. Choisissez parmi eux Microsoft Equation 3.0. Cette application vous aidera à taper fractions. Et pas seulement fractions, mais aussi des expressions mathématiques complexes contenant divers fonctions trigonométriques et d'autres éléments. Double-cliquez sur cet objet avec le bouton gauche de la souris. Une fenêtre apparaîtra devant vous contenant de nombreux symboles.

Pour imprimer une fraction, sélectionnez le symbole représentant une fraction avec un numérateur et un dénominateur vides. Cliquez une fois dessus avec le bouton gauche de la souris. Un menu supplémentaire apparaîtra, clarifiant le schéma lui-même. fractions. Il peut y avoir plusieurs options. Sélectionnez celui qui vous convient le mieux et cliquez une fois dessus avec le bouton gauche de la souris.

Actions avec des fractions. Dans cet article, nous examinerons des exemples, le tout en détail avec des explications. Nous allons le prendre en compte fractions communes. Nous examinerons les décimales plus tard. Je recommande de regarder le tout et de l’étudier séquentiellement.

1. Somme des fractions, différence des fractions.

Règle : lors de l'addition de fractions avec des dénominateurs égaux, le résultat est une fraction - dont le dénominateur reste le même et son numérateur sera égal à la somme numérateurs de fractions.

Règle : lors du calcul de la différence entre des fractions avec les mêmes dénominateurs, nous obtenons une fraction - le dénominateur reste le même et le numérateur de la seconde est soustrait du numérateur de la première fraction.

Notation formelle pour la somme et la différence de fractions de dénominateurs égaux :

Exemples (1) :

Il est clair que lorsque des fractions ordinaires sont données, alors tout est simple, mais que se passe-t-il si elles sont mélangées ? Rien de compliqué...

Option 1– vous pouvez les convertir en ordinaires puis les calculer.

Option 2– vous pouvez « travailler » séparément avec les parties entières et fractionnaires.

Exemples (2) :

Plus:

Et si la différence de deux est donnée fractions mélangées et le numérateur de la première fraction sera inférieur au numérateur de la seconde ? Vous pouvez également agir de deux manières.

Exemples (3) :

*Converti en fractions ordinaires, calculé la différence, converti la fraction impropre résultante en fraction mixte.

*Nous l'avons décomposé en parties entières et fractionnaires, avons obtenu un trois, puis avons présenté 3 comme la somme de 2 et 1, dont un représenté par 11/11, puis avons trouvé la différence entre 11/11 et 7/11 et calculé le résultat. . Le sens des transformations ci-dessus est de prendre (sélectionner) une unité et de la présenter sous la forme d'une fraction avec le dénominateur dont nous avons besoin, puis nous pouvons en soustraire une autre à cette fraction.

Un autre exemple:

Conclusion : il existe une approche universelle - afin de calculer la somme (différence) de fractions mixtes avec des dénominateurs égaux, elles peuvent toujours être converties en fractions impropres, puis effectuer les mesures nécessaires. Après cela, si le résultat est une fraction impropre, nous la convertissons en fraction mixte.

Ci-dessus, nous avons examiné des exemples de fractions ayant des dénominateurs égaux. Et si les dénominateurs sont différents ? Dans ce cas, les fractions sont réduites au même dénominateur et l'action spécifiée est effectuée. Pour changer (transformer) une fraction, la propriété de base de la fraction est utilisée.

Regardons des exemples simples :

Dans ces exemples, on voit immédiatement comment l'une des fractions peut être transformée pour obtenir des dénominateurs égaux.

Si nous désignons des moyens de réduire des fractions au même dénominateur, alors nous appellerons celle-ci PREMIÈRE MÉTHODE.

Autrement dit, immédiatement lors de « l'évaluation » d'une fraction, vous devez déterminer si cette approche fonctionnera - nous vérifions si le plus grand dénominateur est divisible par le plus petit. Et s'il est divisible, nous effectuons une transformation - nous multiplions le numérateur et le dénominateur pour que les dénominateurs des deux fractions deviennent égaux.

Regardez maintenant ces exemples :

Cette approche ne leur est pas applicable. Il existe également des moyens de réduire des fractions à un dénominateur commun ; considérons-les.

Méthode DEUX.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première :

*En fait, on réduit les fractions pour se former lorsque les dénominateurs deviennent égaux. Ensuite, nous utilisons la règle pour additionner des fractions avec des dénominateurs égaux.

Exemple:

*Cette méthode peut être qualifiée d’universelle et elle fonctionne toujours. Le seul inconvénient est qu'après les calculs, vous risquez de vous retrouver avec une fraction qu'il faudra encore réduire.

Regardons un exemple :

On voit que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 5 :

Méthode TROIS.

Vous devez trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs. Ce sera le dénominateur commun. De quel genre de numéro s'agit-il ? C'est le moins entier naturel, qui est divisible par chacun des nombres.

Regardez, voici deux nombres : 3 et 4, il y a beaucoup de nombres qui sont divisibles par eux - ce sont 12, 24, 36, ... Le plus petit d'entre eux est 12. Ou 6 et 15, ils sont divisibles par 30, 60, 90.... Le plus petit est 30. La question est : comment déterminer ce plus petit commun multiple ?

Il existe un algorithme clair, mais cela peut souvent être fait immédiatement, sans calculs. Par exemple, selon les exemples ci-dessus (3 et 4, 6 et 15), aucun algorithme n'est nécessaire, nous avons pris de grands nombres (4 et 15), les avons doublés et vu qu'ils sont divisibles par le deuxième nombre, mais des paires de nombres peuvent être d'autres, par exemple 51 et 119.

Algorithme. Afin de déterminer le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, il faut :

- décomposer chaque nombre en facteurs SIMPLES

— notez la décomposition du PLUS GRAND d'entre eux

- multipliez-le par les facteurs MANQUANTS d'autres nombres

Regardons des exemples :

50 et 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

en décomposition plus il manque un cinq

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 et 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

dans l'expansion d'un nombre plus grand, il manque deux et trois

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Le plus petit commun multiple de deux nombres premiers est leur produit

Question! Pourquoi est-il utile de trouver le plus petit commun multiple, puisque vous pouvez utiliser la deuxième méthode et simplement réduire la fraction résultante ? Oui, c'est possible, mais ce n'est pas toujours pratique. Regardez le dénominateur des nombres 48 et 72 si vous les multipliez simplement par 48∙72 = 3456. Vous conviendrez qu'il est plus agréable de travailler avec des nombres plus petits.

Regardons des exemples :

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

il manque un triple à l'expansion d'un plus grand nombre

=> CNP(51 119) = 3∙7∙17

Utilisons maintenant la première méthode :

*Regardez la différence dans les calculs, dans le premier cas il y en a un minimum, mais dans le second vous devez travailler séparément sur un morceau de papier, et même la fraction que vous avez reçue doit être réduite. Trouver le LOC simplifie considérablement le travail.

Plus d'exemples :

*Dans le deuxième exemple, il est clair que le plus petit nombre qui est divisible par 40 et 60 est égal à 120.

RÉSULTAT! ALGORITHME INFORMATIQUE GÉNÉRAL !

— on réduit les fractions aux fractions ordinaires s'il y a une partie entière.

- on ramène les fractions à un dénominateur commun (on regarde d'abord si un dénominateur est divisible par un autre ; s'il est divisible, alors on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette autre fraction ; s'il n'est pas divisible, on agit par les autres méthodes indiqué ci-dessus).

- Après avoir reçu des fractions de dénominateurs égaux, nous effectuons des opérations (addition, soustraction).

- si nécessaire, on réduit le résultat.

- si nécessaire, sélectionnez alors la pièce entière.

2. Produit de fractions.

La règle est simple. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés :

Exemples:

Tâche. 13 tonnes de légumes ont été amenées à la base. Les pommes de terre représentent les ¾ de tous les légumes importés. Combien de kilos de pommes de terre ont été amenés à la base ?

Terminons avec la pièce.

*J'ai précédemment promis de vous donner une explication formelle de la propriété principale d'une fraction à travers un produit, s'il vous plaît :

3. Division des fractions.

Diviser des fractions revient à les multiplier. Il est important de rappeler ici que la fraction qui est le diviseur (celle par laquelle on divise) est retournée et l'action se transforme en multiplication :

Cette action peut être écrite sous la forme d'une fraction dite à quatre étages, car la division « : » elle-même peut également s'écrire sous la forme d'une fraction :

Exemples:

C'est tout! Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

Les exemples avec des fractions sont l'un des éléments de base des mathématiques. Il existe de nombreux types d’équations avec des fractions. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées pour résoudre des exemples de ce type.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - règles générales

Pour résoudre des exemples avec des fractions de tout type, qu'il s'agisse d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division, vous devez connaître les règles de base :

• Afin d'ajouter des expressions fractionnaires avec le même dénominateur (le dénominateur est le nombre en bas de la fraction, le numérateur en haut), vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
• Afin de soustraire une deuxième expression fractionnaire (avec le même dénominateur) d’une fraction, vous devez soustraire leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
• Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez trouver le plus petit dénominateur commun.
• Afin de trouver un produit fractionnaire, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs et, si possible, réduire.
• Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la première fraction par la deuxième fraction inversée.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - pratique

Règle 1, exemple 1 :

Calculez 3/4 +1/4.

Selon la règle 1, si deux (ou plus) fractions ont le même dénominateur, vous additionnez simplement leurs numérateurs. On obtient : 3/4 + 1/4 = 4/4. Si une fraction a le même numérateur et le même dénominateur, la fraction sera égale à 1.

Réponse : 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Règle 2, exemple 1 :

Calculer : 3/4 – 1/4

En utilisant la règle numéro 2, pour résoudre cette équation, vous devez soustraire 1 de 3 et laisser le dénominateur identique. Nous obtenons 2/4. Puisque deux 2 et 4 peuvent être réduits, nous réduisons et obtenons 1/2.

Réponse : 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Règle 3, exemple 1

Calculer : 3/4 + 1/6

Solution : En utilisant la 3ème règle, on trouve le plus petit dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est le nombre divisible par les dénominateurs de toutes les expressions fractionnaires de l'exemple. Ainsi, nous devons trouver le nombre minimum qui sera divisible à la fois par 4 et par 6. Ce nombre est 12. Comme dénominateur, nous écrivons 12. Divisez 12 par le dénominateur de la première fraction, nous obtenons 3, multipliez par 3, écrivez 3 au numérateur *3 et signe +. Divisez 12 par le dénominateur de la deuxième fraction, nous obtenons 2, multipliez 2 par 1, écrivez 2*1 au numérateur. On obtient donc une nouvelle fraction avec un dénominateur égal à 12 et un numérateur égal à 3*3+2*1=11. 11/12.

Réponse : 11/12

Règle 3, exemple 2 :

Calculez 3/4 – 1/6. Cet exemple est très similaire au précédent. Nous faisons toutes les mêmes étapes, mais au numérateur au lieu du signe +, nous écrivons un signe moins. On obtient : 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Réponse : 7/12

Règle 4, exemple 1 :

Calculer : 3/4 * 1/4

En utilisant la quatrième règle, on multiplie le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde. 3*1/4*4 = 3/16.

Réponse : 3/16

Règle 4, exemple 2 :

Calculez 2/5 * 10/4.

Cette fraction peut être réduite. Dans le cas d'un produit, le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la seconde ainsi que le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première sont annulés.

2 annules sur 4. 10 annules sur 5. Nous obtenons 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Réponse : 2/5 * 10/4 = 1

Règle 5, exemple 1 :

Calculer : 3/4 : 5/6

En utilisant la 5ème règle, on obtient : 3/4 : 5/6 = 3/4 * 6/5. On réduit la fraction selon le principe de l'exemple précédent et on obtient 9/10.

Réponse : 9/10.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - équations fractionnaires

Les équations fractionnaires sont des exemples où le dénominateur contient une inconnue. Afin de résoudre une telle équation, vous devez utiliser certaines règles.

Regardons un exemple :

Résolvez l'équation 15/3x+5 = 3

Rappelons qu'on ne peut pas diviser par zéro, c'est-à-dire la valeur du dénominateur ne doit pas être nulle. Lors de la résolution de tels exemples, cela doit être indiqué. Il existe à cet effet une OA (plage de valeurs admissibles).

Donc 3x+5 ≠ 0.
Donc : 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

À x = 5/3, l’équation n’a tout simplement pas de solution.

Après avoir indiqué l'ODZ, de la meilleure façon possible La résolution de cette équation éliminera les fractions. Pour ce faire, nous présentons d'abord toutes les valeurs non fractionnaires sous forme de fraction, en l'occurrence le nombre 3. Nous obtenons : 15/(3x+5) = 3/1. Pour vous débarrasser des fractions, vous devez multiplier chacune d’elles par le plus petit dénominateur commun. Dans ce cas, ce sera (3x+5)*1. Séquençage :

1. Multipliez 15/(3x+5) par (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Ouvrez les parenthèses : 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. On fait la même chose avec le côté droit de l’équation : 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Égalisez les côtés gauche et droit : 45x + 75 = 9x +15
5. Déplacez les X vers la gauche, les nombres vers la droite : 36x = – 50
6. Trouvez x : x = -50/36.
7. On réduit : -50/36 = -25/18

Réponse : ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - inégalités fractionnaires

Les inégalités fractionnaires du type (3x-5)/(2-x)≥0 sont résolues en utilisant l'axe des nombres. Regardons cet exemple.

Séquençage :

• Nous assimilons le numérateur et le dénominateur à zéro : 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Nous dessinons un axe numérique en y écrivant les valeurs résultantes.
• Tracez un cercle sous la valeur. Il existe deux types de cercles : remplis et vides. Un cercle plein signifie que la valeur donnée se situe dans la plage de solution. Un cercle vide indique que cette valeur n'est pas incluse dans la plage de solutions.
• Puisque le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, sous le 2ème il y aura un cercle vide.

• Pour déterminer les signes, nous substituons n'importe quel nombre supérieur à deux dans l'équation, par exemple 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. la valeur est négative, ce qui signifie que nous écrivons un moins au-dessus de la zone après les deux. Remplacez ensuite X par n'importe quelle valeur de l'intervalle de 5/3 à 2, par exemple 1. La valeur est à nouveau négative. Nous écrivons un moins. On répète la même chose avec la zone située jusqu'au 5/3. Nous remplaçons n'importe quel nombre inférieur à 5/3, par exemple 1. Encore une fois, moins.

• Puisque nous nous intéressons aux valeurs de x pour lesquelles l'expression sera supérieure ou égale à 0, et qu'il n'y a pas de telles valeurs (il y a des moins partout), cette inégalité n'a pas de solution, c'est-à-dire x = Ø (un ensemble vide).

Réponse : x = Ø

Contenu de la leçon

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être ajoutées parce qu'elles ont mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être ajoutées tout de suite, puisque ces fractions différents dénominateurs. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. DANS les établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi face arrière médailles. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ce version détaillée solutions. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. On l'écrit au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le dénominateur identique.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

Autrement dit, nous parlons de pizza à peu près de la même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par

496. Trouver X, Si:

497. 1) Si vous ajoutez 10 1/2 à 3/10 d’un nombre inconnu, vous obtenez 13 1/2. Trouvez le numéro inconnu.

2) Si vous soustrayez 10 1/2 de 7/10 d'un nombre inconnu, vous obtenez 15 2/5. Trouvez le numéro inconnu.

498 *. Si vous soustrayez 10 des 3/4 d'un nombre inconnu et multipliez la différence obtenue par 5, vous obtenez 100. Trouvez le nombre.

499 *. Si vous augmentez un nombre inconnu des 2/3, vous obtenez 60. De quel nombre s'agit-il ?

500 *. Si vous ajoutez le même montant au nombre inconnu, ainsi que 20 1/3, vous obtenez 105 2/5. Trouvez le numéro inconnu.

501. 1) Le rendement des pommes de terre avec une plantation en grappes carrées est en moyenne de 150 centimes par hectare, et avec une plantation conventionnelle, il représente 3/5 de ce montant. Combien de pommes de terre supplémentaires peuvent être récoltées sur une superficie de 15 hectares si les pommes de terre sont plantées selon la méthode des grappes carrées ?

2) Un ouvrier expérimenté a produit 18 pièces en 1 heure, et un ouvrier inexpérimenté a produit les 2/3 de cette quantité. Combien de pièces supplémentaires un travailleur expérimenté peut-il produire en 7 heures par jour ?

502. 1) Les pionniers rassemblés au sein trois jours 56 kg de graines différentes. Le premier jour, 3/14 du montant total ont été collectés, le deuxième, une fois et demie plus, et le troisième jour, le reste du grain. Combien de kilos de graines les pionniers ont-ils récoltés le troisième jour ?

2) Lors de la mouture du blé, le résultat était : farine 4/5 de la quantité totale de blé, semoule - 40 fois moins que la farine, et le reste était du son. Quelle quantité de farine, de semoule et de son ont été produites séparément lors de la mouture de 3 tonnes de blé ?

503. 1) Trois garages peuvent accueillir 460 voitures. Le nombre de voitures pouvant entrer dans le premier garage est 3/4 du nombre de voitures pouvant entrer dans le deuxième, et le troisième garage contient 1 1/2 fois plus de voitures que le premier. Combien de voitures peuvent contenir chaque garage ?

2) Une usine avec trois ateliers emploie 6 000 ouvriers. Dans le deuxième atelier, il y a 1 1/2 fois moins d'ouvriers que dans le premier, et le nombre d'ouvriers dans le troisième atelier est 5/6 du nombre d'ouvriers dans le deuxième atelier. Combien y a-t-il d’ouvriers dans chaque atelier ?

504. 1) D'abord 2/5, puis 1/3 du kérosène total ont été versés d'un réservoir contenant du kérosène, et après cela, 8 tonnes de kérosène sont restées dans le réservoir. Quelle quantité de kérosène y avait-il initialement dans le réservoir ?

2) Les cyclistes ont couru pendant trois jours. Le premier jour, ils ont parcouru 4/15 de l'ensemble du voyage, le deuxième - 2/5 et le troisième jour les 100 km restants. Quelle distance les cyclistes ont-ils parcourue en trois jours ?

505. 1) Le brise-glace s'est frayé un chemin à travers la banquise pendant trois jours. Le premier jour, il a parcouru la moitié de la distance totale, le deuxième jour les 3/5 de la distance restante et le troisième jour les 24 km restants. Trouvez la longueur du chemin parcouru par le brise-glace en trois jours.

2) Trois groupes d'écoliers ont planté des arbres pour verdir le village. Le premier détachement a planté 7/20 de tous les arbres, le deuxième 5/8 des arbres restants et le troisième les 195 arbres restants. Combien d’arbres les trois équipes ont-elles plantés au total ?

506. 1) Une moissonneuse-batteuse a récolté du blé sur une parcelle en trois jours. Le premier jour, il a récolté sur 5/18 de la superficie totale de la parcelle, le deuxième jour sur 7/13 de la superficie restante, et le troisième jour sur la superficie restante de 30 1/2 hectares. En moyenne, 20 centimes de blé ont été récoltés sur chaque hectare. Quelle quantité de blé a été récoltée dans toute la région ?

2) Le premier jour, les participants au rallye ont parcouru 3/11 de l'ensemble du parcours, le deuxième jour 7/20 du parcours restant, le troisième jour 5/13 du nouveau reste et le quatrième jour le reste 320 km. Quelle est la longueur du parcours du rallye ?

507. 1) Le premier jour, la voiture a parcouru 3/8 de la distance totale, le deuxième jour 15/17 de ce qu'elle a parcouru le premier et le troisième jour les 200 km restants. Quelle quantité d'essence a été consommée si une voiture consomme 1 3/5 kg d'essence pour 10 km ?

2) La ville se compose de quatre quartiers. Et 4/13 de tous les habitants de la ville vivent dans le premier arrondissement, 5/6 des habitants du premier arrondissement vivent dans le deuxième, 4/11 des habitants du premier vivent dans le troisième ; deux districts réunis, et 18 000 personnes vivent dans le quatrième district. De quelle quantité de pain l'ensemble de la population de la ville a-t-elle besoin pendant 3 jours, si en moyenne une personne en consomme 500 g par jour ?

508. 1) Le touriste a marché le premier jour 10/31 de tout le voyage, le deuxième 9/10 de ce qu'il a marché le premier jour, et le troisième le reste du chemin, et le troisième jour il a marché 12 km de plus que le deuxième jour. Combien de kilomètres le touriste a-t-il parcouru au cours de chacun des trois jours ?

2) La voiture a parcouru tout le trajet de la ville A à la ville B en trois jours. Le premier jour, la voiture a parcouru 7/20 de la distance totale, le deuxième 8/13 de la distance restante et le troisième jour, la voiture a parcouru 72 km de moins que le premier jour. Quelle est la distance entre les villes A et B ?

509. 1) Le Comité Exécutif a attribué des terrains aux ouvriers de trois usines pour parcelles de jardin. La première usine s'est vu attribuer 9/25 du nombre total de parcelles, la deuxième usine 5/9 du nombre de parcelles allouées à la première et la troisième - les parcelles restantes. Combien de parcelles au total ont été attribuées aux ouvriers de trois usines, si la première usine se voyait attribuer 50 parcelles de moins que la troisième ?

2) L'avion a livré une équipe de travailleurs d'hiver à la station polaire depuis Moscou en trois jours. Le premier jour, il a parcouru 2/5 de la distance totale, le deuxième - 5/6 de la distance parcourue le premier jour et le troisième jour, il a parcouru 500 km de moins que le deuxième jour. Quelle distance l’avion a-t-il parcouru en trois jours ?

510. 1) L'usine comptait trois ateliers. Le nombre d'ouvriers dans le premier atelier représente les 2/5 de tous les ouvriers de l'usine ; dans le deuxième atelier, il y a 1 1/2 fois moins d'ouvriers que dans le premier, et dans le troisième atelier, il y a 100 ouvriers de plus que dans le deuxième. Combien d’ouvriers y a-t-il dans l’usine ?

2) La ferme collective comprend des habitants de trois villages voisins. Le nombre de familles dans le premier village est de 3/10 de toutes les familles de la ferme collective ; dans le deuxième village, le nombre de familles est 1,5 fois plus grand que dans le premier, et dans le troisième village, le nombre de familles est inférieur de 420 à celui du deuxième. Combien de familles y a-t-il dans la ferme collective ?

511. 1) L'artel a épuisé 1/3 de son stock de matières premières la première semaine, et 1/3 du reste la seconde. Quelle quantité de matières premières reste-t-il dans l'artel si, la première semaine, la consommation de matières premières était de 3/5 tonnes de plus que la deuxième semaine ?

2) Sur le charbon importé, 1/6 a été dépensé pour chauffer la maison le premier mois et 3/8 du reste le deuxième mois. Quelle quantité de charbon reste-t-il pour chauffer la maison si 1 3/4 de plus a été utilisé le deuxième mois que le premier mois ?

512. 3/5 de la superficie totale de la ferme collective sont affectés à l'ensemencement des céréales, 13/36 du reste est occupé par des potagers et des prairies, le reste des terres est constitué de forêt et la superficie ensemencée de la ferme collective est 217 hectares plus de superficie forêts, 1/3 des terres allouées aux cultures céréalières sont ensemencées en seigle et le reste en blé. Combien d'hectares de terre la ferme collective a-t-elle semé en blé et combien en seigle ?

513. 1) Itinéraire du tramway a une longueur de 14 3/8 km. Le long de cet itinéraire, le tramway effectue 18 arrêts, passant en moyenne jusqu'à 1 1/6 minutes par arrêt. La vitesse moyenne du tramway sur tout le parcours est de 12 1/2 km par heure. Combien de temps faut-il à un tramway pour effectuer un trajet ?

2) Ligne d'autobus 16 km. Le long de cet itinéraire, le bus effectue 36 arrêts de 3/4 minutes chacun. en moyenne chacun. La vitesse moyenne des bus est de 30 km/h. Combien de temps prend un bus pour un trajet ?

514*. 1) Il est 6 heures maintenant. soirées. Quelle partie de la journée représente la partie restante de la journée passée et quelle partie de la journée reste-t-elle ?

2) Un bateau à vapeur parcourt la distance entre deux villes avec le courant en 3 jours. et retour sur la même distance en 4 jours. Combien de jours les radeaux flotteront-ils en aval d’une ville à une autre ?

515. 1) Combien de planches seront utilisées pour poser le sol dans une pièce dont la longueur est de 6 2/3 m, la largeur de 5 1/4 m, si la longueur de chaque planche est de 6 2/3 m et sa largeur est de 3/ 80 de la longueur ?

2) Une plate-forme rectangulaire a une longueur de 45 1/2 m et sa largeur est de 5/13 de sa longueur. Cette zone est bordée par un chemin de 4/5 m de large.Retrouvez la zone du chemin.

516. Trouvez la moyenne arithmétique des nombres :

517. 1) La moyenne arithmétique de deux nombres est 6 1/6. L'un des nombres est 3 3/4. Trouvez un autre numéro.

2) La moyenne arithmétique de deux nombres est 14 1/4. L'un de ces nombres est 15 5/6. Trouvez un autre numéro.

518. 1) Le train de marchandises a circulé pendant trois heures. Dans la première heure, il a parcouru 36 1/2 km, dans la deuxième 40 km et dans la troisième 39 3/4 km. Trouvez la vitesse moyenne du train.

2) La voiture a parcouru 81 1/2 km au cours des deux premières heures et 95 km au cours des 2 1/2 heures suivantes. Combien de kilomètres parcourait-il en moyenne par heure ?

519. 1) Le conducteur du tracteur a terminé la tâche de labourer la terre en trois jours. Le premier jour, il a labouré 12 1/2 hectares, le deuxième jour 15 3/4 hectares et le troisième jour 14 1/2 hectares. En moyenne, combien d’hectares de terre un conducteur de tracteur laboure-t-il par jour ?

2) Un groupe d'écoliers, effectuant un voyage touristique de trois jours, a parcouru la route pendant 6 heures et demie le premier jour, 7 heures le deuxième. et le troisième jour - 4 2/3 heures. Combien d’heures en moyenne les écoliers voyagent-ils chaque jour ?

520. 1) Trois familles vivent dans la maison. La première famille dispose de 3 ampoules pour éclairer l'appartement, la seconde de 4 et la troisième de 5 ampoules. Combien chaque famille devrait-elle payer pour l'électricité si toutes les lampes étaient identiques et si la facture totale d'électricité (pour toute la maison) était de 7 1/5 roubles ?

2) Un polisseur polissait les sols d'un appartement où vivaient trois familles. La première famille avait une surface habitable de 36 1/2 mètres carrés. m, le second fait 24 1/2 m². m, et le troisième - 43 m². M. Pour tout le travail, 2 roubles ont été payés. 08 kop. Combien chaque famille a-t-elle payé ?

521. 1) Dans la parcelle de jardin, des pommes de terre ont été récoltées sur 50 buissons à 1 1/10 kg par buisson, sur 70 buissons à 4/5 kg par buisson, sur 80 buissons à 9/10 kg par buisson. Combien de kilogrammes de pommes de terre sont récoltés en moyenne dans chaque buisson ?

2) L'équipe de terrain sur une superficie de 300 hectares a reçu une récolte de 20 1/2 quintaux de blé d'hiver par 1 hectare, de 80 hectares à 24 quintaux par 1 ha, et de 20 hectares - 28 1/2 quintaux par 1 ha. Quel est le rendement moyen dans une brigade de 1 hectare ?

522. 1) La somme de deux nombres est 7 1/2. Un nombre est 4 4/5 plus grand que l'autre. Trouvez ces numéros.

2) Si nous additionnons les nombres exprimant la largeur des détroits de Tatar et de Kertch, nous obtenons 11 7/10 km. Le détroit de Tatar est 3 1/10 km plus large que le détroit de Kertch. Quelle est la largeur de chaque détroit ?

523. 1) La somme de trois nombres est 35 2 / 3. Premier numéro plus que le deuxième par 5 1/3 et plus du tiers par 3 5/6. Trouvez ces numéros.

2) Îles Nouvelle terre, Sakhaline et Severnaya Zemlya occupent ensemble une superficie de 196 7/10 mille mètres carrés. km. La superficie de Novaya Zemlya est de 44 1/10 mille mètres carrés. km plus grand que la superficie de Severnaya Zemlya et 5 1/5 mille mètres carrés. km plus grand que la superficie de Sakhaline. Quelle est la superficie de chacune des îles répertoriées ?

524. 1) L'appartement se compose de trois pièces. La superficie de la première pièce est de 24 3/8 m². m et fait 13/36 de la superficie totale de l'appartement. La superficie de la deuxième pièce est de 8 1/8 mètres carrés. m plus que la superficie du troisième. Quelle est la superficie de la deuxième pièce ?

2) Lors d'une compétition de trois jours, le premier jour, un cycliste a passé 3 heures et quart sur la route, soit 13/43 du temps total de trajet. Le deuxième jour, il a roulé 1h30 de plus que le troisième jour. Combien d'heures le cycliste a-t-il parcouru le deuxième jour de la compétition ?

525. Trois morceaux de fer pèsent ensemble 17 1/4 kg. Si le poids de la première pièce est réduit de 1 1/2 kg, celui de la seconde de 2 1/4 kg, alors les trois pièces auront le même poids. Combien pesait chaque morceau de fer ?

526. 1) La somme de deux nombres est 15 1/5. Si le premier nombre est réduit de 3 1/10 et le second est augmenté de 3 1/10, alors ces nombres seront égaux. A quoi est égal chaque nombre ?

2) Il y avait 38 1/4 kg de céréales dans deux boîtes. Si vous versez 4 3/4 kg de céréales d'une boîte dans une autre, il y aura des quantités égales de céréales dans les deux boîtes. Combien de céréales y a-t-il dans chaque boîte ?

527 . 1) La somme de deux nombres est 17 17 / 30. Si vous soustrayez 5 1/2 du premier nombre et l'ajoutez au second, alors le premier sera toujours supérieur au second de 2 17/30. Trouvez les deux nombres.

2) Il y a 24 1/4 kg de pommes dans deux caisses. Si vous transférez 3 1/2 kg de la première boîte à la seconde, alors dans la première il y aura toujours 3/5 kg de pommes de plus que dans la seconde. Combien de kilos de pommes y a-t-il dans chaque boîte ?

528 *. 1) La somme de deux nombres est 8 11/14 et leur différence est 2 3/7. Trouvez ces numéros.

2) Le bateau s'est déplacé le long de la rivière à une vitesse de 15 1/2 km par heure et à contre-courant à 8 1/4 km par heure. Quelle est la vitesse du débit de la rivière ?

529. 1) Il y a 110 voitures dans deux garages, et dans l'un d'eux il y en a 1 1/5 fois plus que dans l'autre. Combien de voitures y a-t-il dans chaque garage ?

2) La surface habitable d'un appartement composé de deux pièces est de 47 1/2 m². m. La superficie d'une pièce est 8/11 de la superficie de l'autre. Trouvez la superficie de chaque pièce.

530. 1) Un alliage composé de cuivre et d'argent pèse 330 g. Le poids du cuivre dans cet alliage est 5/28 du poids de l'argent. Quelle quantité d’argent et de cuivre contient l’alliage ?

2) La somme de deux nombres est 6 3/4 et le quotient est 3 1/2. Trouvez ces numéros.

531. La somme de trois nombres est 22 1/2. Le deuxième nombre est 3 1/2 fois et le troisième est 2 1/4 fois le premier. Trouvez ces numéros.

532. 1) La différence entre deux nombres est 7 ; le quotient de la division d'un nombre plus grand par un nombre plus petit est 5 2/3. Trouvez ces numéros.

2) La différence entre deux nombres est de 29 3/8 et leur rapport multiple est de 8 5/6. Trouvez ces numéros.

533. Dans une classe, le nombre d'élèves absents est de 3/13 du nombre d'élèves présents. Combien d'élèves y a-t-il dans la classe selon la liste s'il y a 20 personnes de plus présentes que absentes ?

534. 1) La différence entre deux nombres est de 3 1/5. Un nombre est 5/7 d’un autre. Trouvez ces numéros.

2) Père plus vieux que mon fils depuis 24 ans. Le nombre des années du fils est égal à 5/13 des années du père. Quel âge a le père et quel âge a le fils ?

535. Le dénominateur d'une fraction est supérieur de 11 unités à son numérateur. Quelle est la valeur d’une fraction si son dénominateur est 3 3/4 fois le numérateur ?

N° 536 - 537 oralement.

536. 1) Le premier nombre est la moitié du deuxième. Combien de fois le deuxième nombre est-il supérieur au premier ?

2) Le premier nombre est 3/2 du second. Quelle partie du premier nombre est le deuxième nombre ?

537. 1) 1/2 du premier nombre est égal à 1/3 du deuxième nombre. Quelle partie du premier nombre est le deuxième nombre ?

2) 2/3 du premier nombre est égal aux 3/4 du deuxième nombre. Quelle partie du premier nombre est le deuxième nombre ? Quelle partie du deuxième nombre est la première ?

538. 1) La somme de deux nombres est 16. Trouvez ces nombres si 1/3 du deuxième nombre est égal à 1/5 du premier.

2) La somme de deux nombres est 38. Trouvez ces nombres si 2/3 du premier nombre est égal à 3/5 du second.

539 *. 1) Deux garçons ont ramassé ensemble 100 champignons. 3/8 du nombre de champignons ramassés par le premier garçon est numériquement égal à 1/4 du nombre de champignons ramassés par le deuxième garçon. Combien de champignons chaque garçon a-t-il ramassé ?

2) L'institution emploie 27 personnes. Combien d’hommes travaillent et combien de femmes travaillent si 2/5 de tous les hommes sont égaux à 3/5 de toutes les femmes ?

540 *. Trois garçons ont acheté un ballon de volley-ball. Déterminer la contribution de chaque garçon, sachant que 1/2 de la contribution du premier garçon est égale à 1/3 de la contribution du deuxième, ou 1/4 de la contribution du troisième, et que la contribution du troisième le garçon coûte 64 kopecks de plus que la contribution du premier.

541 *. 1) Un nombre est 6 de plus que l’autre. Trouvez ces nombres si 2/5 d’un nombre sont égaux aux 2/3 de l’autre.

2) La différence entre deux nombres est 35. Trouvez ces nombres si 1/3 du premier nombre est égal aux 3/4 du deuxième nombre.

542. 1) La première équipe peut réaliser certains travaux en 36 jours et la seconde en 45 jours. En combien de jours les deux équipes, travaillant ensemble, termineront-elles ce travail ?

2) Un train de voyageurs parcourt la distance entre deux villes en 10 heures, et un train de marchandises parcourt cette distance en 15 heures. Les deux trains quittaient ces villes en même temps l'un vers l'autre. Dans combien d’heures vont-ils se retrouver ?

543. 1) Un train rapide parcourt la distance entre deux villes en 6 heures et demie, et un train de voyageurs en 7 heures et demie. Combien d'heures plus tard ces trains se rencontreront-ils s'ils quittent les deux villes en même temps l'une vers l'autre ? (Réponse arrondie à 1 heure près.)

2) Deux motocyclistes sont partis simultanément de deux villes l'une vers l'autre. Un motocycliste peut parcourir toute la distance entre ces villes en 6 heures, et un autre en 5 heures. Combien d'heures après le départ les motocyclistes se retrouveront-ils ? (Réponse arrondie à 1 heure près.)

544. 1) Trois véhicules de capacité de charge différente peuvent transporter une certaine cargaison, en travaillant séparément : le premier en 10 heures, le second en 12 heures. et le troisième en 15 heures. En combien d'heures peuvent-ils transporter la même marchandise, en travaillant ensemble ?

2) Deux trains quittent deux gares simultanément l'une vers l'autre : le premier train parcourt la distance entre ces gares en 12 heures 3/4, et le second en 18 heures 3/4. Combien d'heures après le départ les trains se croiseront-ils ?

545. 1) Deux robinets sont raccordés à la baignoire. Grâce à l'un d'eux, le bain peut être rempli en 12 minutes, grâce à l'autre 1,5 fois plus rapidement. Combien de minutes faudra-t-il pour remplir les 5/6 de toute la baignoire si vous ouvrez les deux robinets en même temps ?

2) Deux dactylographes doivent retaper le manuscrit. Le premier conducteur peut effectuer ce travail en 3 1/3 jours et le second 1 1/2 fois plus rapidement. Combien de jours faudra-t-il aux deux dactylos pour terminer le travail s’ils travaillent simultanément ?

546. 1) La piscine est remplie avec le premier tuyau en 5 heures, et par le deuxième tuyau elle peut être vidée en 6 heures. Au bout de combien d'heures la piscine entière sera-t-elle remplie si les deux tuyaux sont ouverts en même temps ?

Note. En une heure, la piscine est remplie à (1/5 - 1/6 de sa capacité.)

2) Deux tracteurs ont labouré le champ en 6 heures. Le premier tracteur, travaillant seul, pourrait labourer ce champ en 15 heures. Combien d'heures faudrait-il au deuxième tracteur, travaillant seul, pour labourer ce champ ?

547 *. Deux trains quittent deux gares simultanément l'une vers l'autre et se rejoignent au bout de 18 heures. après sa libération. Combien de temps faut-il au deuxième train pour parcourir la distance entre les gares si le premier train parcourt cette distance en 1 jour 21 heures ?

548 *. La piscine est remplie de deux tuyaux. Ils ont d’abord ouvert le premier tuyau, puis après 3 heures 3/4, lorsque la moitié de la piscine était remplie, ils ont ouvert le deuxième tuyau. Après 2 1/2 heures collaboration la piscine était pleine. Déterminez la capacité de la piscine si 200 seaux d'eau par heure sont versés par le deuxième tuyau.

549. 1) Un train de messagerie a quitté Leningrad pour Moscou et parcourt 1 km en 3/4 minutes. Une demi-heure après le départ de ce train de Moscou, un train rapide quittait Moscou pour Léningrad, dont la vitesse était égale aux 3/4 de la vitesse du train express. À quelle distance les trains seront-ils les uns des autres 2 heures et demie après le départ du train de messagerie, si la distance entre Moscou et Léningrad est de 650 km ?

2) De la ferme collective à la ville 24 km. Un camion quitte la ferme collective et parcourt 1 km en 2 minutes et demie. Après 15 minutes. Après que cette voiture ait quitté la ville, un cycliste s'est rendu à la ferme collective, à une vitesse deux fois moins rapide que celle du camion. Combien de temps après le départ le cycliste rencontrera-t-il le camion ?

550. 1) Un piéton est sorti d'un village. 4 heures et demie après le départ du piéton, un cycliste roulait dans la même direction, dont la vitesse était 2 1/2 fois celle du piéton. Combien d'heures après le départ du piéton le cycliste le dépassera-t-il ?

2) Un train rapide parcourt 187 1/2 km en 3 heures et un train de marchandises parcourt 288 km en 6 heures. 7 heures et quart après le départ du train de marchandises, une ambulance part dans la même direction. Combien de temps faudra-t-il au train rapide pour rattraper le train de marchandises ?

551. 1) De deux fermes collectives par lesquelles passe la route menant au centre régional, deux kolkhoziens se sont rendus en même temps à cheval dans le quartier. Le premier d'entre eux parcourait 8 3/4 km par heure et le second était 1 1/7 fois plus que le premier. Le deuxième kolkhozien a rattrapé le premier au bout de 3 heures 4/5. Déterminez la distance entre les fermes collectives.

2) 26 1/3 heures après le départ du train Moscou-Vladivostok, dont la vitesse moyenne était de 60 km/h, un avion TU-104 a décollé dans la même direction, à une vitesse 14 1/6 fois la vitesse du train. Combien d’heures après le départ l’avion rattrapera-t-il le train ?

552. 1) La distance entre les villes situées le long du fleuve est de 264 km. Le bateau à vapeur a parcouru cette distance en aval en 18 heures, passant 1/12 de ce temps à s'arrêter. La vitesse de la rivière est de 1 1/2 km par heure. Combien de temps faudrait-il à un bateau à vapeur pour parcourir 87 km sans s'arrêter dans une eau calme ?

2) Un bateau à moteur a parcouru 207 km le long du fleuve en 13 heures et demie, consacrant 1/9 de ce temps aux escales. La vitesse de la rivière est de 1 3/4 km par heure. Combien de kilomètres ce bateau peut-il parcourir en eau calme en 2 heures et demie ?

553. Le bateau a parcouru une distance de 52 km à travers le réservoir sans s'arrêter en 3 heures 15 minutes. De plus, longeant la rivière à contre-courant dont la vitesse est de 1 3/4 km par heure, ce bateau a parcouru 28 1/2 km en 2 1/4 heures, faisant 3 escales d'égale durée. Combien de minutes le bateau a-t-il attendu à chaque arrêt ?

554. De Leningrad à Kronstadt à 12 heures. Le bateau à vapeur est parti dans l'après-midi et a parcouru toute la distance entre ces villes en 1 heure et demie. En chemin, il rencontra un autre navire qui quittait Cronstadt pour Leningrad à 12h18. et marcher à 1 1/4 fois la vitesse du premier. A quelle heure les deux navires se sont-ils rencontrés ?

555. Le train devait parcourir une distance de 630 km en 14 heures. Après avoir parcouru les 2/3 de cette distance, il a été détenu pendant 1 heure 10 minutes. À quelle vitesse doit-il poursuivre son voyage pour arriver sans tarder à destination ?

556. A 4h20 matin, un train de marchandises a quitté Kiev pour Odessa avec vitesse moyenne 31 1/5 km par heure. Après un certain temps, un train postal est sorti d'Odessa pour le rencontrer, dont la vitesse était 1 17/39 fois supérieure à la vitesse d'un train de marchandises, et a rencontré le train de marchandises 6 heures et demie après son départ. A quelle heure le train postal a-t-il quitté Odessa, si la distance entre Kiev et Odessa est de 663 km ?

557*. L'horloge indique midi. Combien de temps faudra-t-il pour que les aiguilles des heures et des minutes coïncident ?

558. 1) L'usine dispose de trois ateliers. Le nombre d'ouvriers dans le premier atelier est de 9/20 de tous les ouvriers de l'usine, dans le deuxième atelier il y a 1 1/2 fois moins d'ouvriers que dans le premier, et dans le troisième atelier il y a 300 ouvriers de moins que dans le premier atelier. deuxième. Combien d’ouvriers y a-t-il dans l’usine ?

2) Il y a trois écoles secondaires dans la ville. Le nombre d'élèves de la première école est de 3/10 de l'ensemble des élèves de ces trois écoles ; dans la deuxième école, il y a 1,5 fois plus d'élèves que dans la première, et dans la troisième école, il y a 420 élèves de moins que dans la seconde. Combien y a-t-il d’étudiants au total ? trois écoles?

559. 1) Deux opérateurs de moissonneuse-batteuse travaillaient dans la même zone. Après qu'un combineur ait récolté 9/16 de la parcelle entière et le deuxième 3/8 de la même parcelle, il s'est avéré que le premier combineur a récolté 97 1/2 hectares de plus que le second. En moyenne, 32 1/2 quintaux de céréales ont été battus sur chaque hectare. Combien de centièmes de grain chaque opérateur de moissonneuse-batteuse a-t-il battu ?

2) Deux frères ont acheté un appareil photo. L'un avait 5/8, le second 4/7 du prix de l'appareil photo, et le premier avait 2 roubles. 25 kopecks plus que le deuxième. Tout le monde a payé la moitié du prix de l'appareil. Combien d’argent reste-t-il à chacun ?

560. 1) Une voiture particulière quitte la ville A pour la ville B, la distance qui les sépare est de 215 km, à une vitesse de 50 km/h. Au même moment, un camion quitte la ville B pour la ville A. Combien de kilomètres la voiture de tourisme a-t-elle parcourue avant de rencontrer le camion, si la vitesse horaire du camion était 18/25 de la vitesse de la voiture de tourisme ?

2) Entre les villes A et B 210 km. Une voiture de tourisme a quitté la ville A pour la ville B. Au même moment, un camion quitte la ville B pour la ville A. Combien de kilomètres le camion a-t-il parcouru avant de rencontrer la voiture de tourisme, si la voiture de tourisme roulait à une vitesse de 48 km/h et que la vitesse du camion par heure était 3/4 de la vitesse de la voiture de tourisme ?

561. La ferme collective récoltait du blé et du seigle. 20 hectares de plus ont été ensemencés en blé qu'en seigle. La récolte totale de seigle représentait 5/6 de la récolte totale de blé avec un rendement de 20 c par hectare pour le blé et le seigle. La ferme collective vendait à l'État les 7/11 de la récolte totale de blé et de seigle et laissait le reste des céréales pour satisfaire ses besoins. Combien de voyages les camions de deux tonnes ont-ils dû effectuer pour évacuer le pain vendu à l'État ?

562. La farine de seigle et de blé était apportée à la boulangerie. Le poids de la farine de blé était 3/5 du poids de la farine de seigle, et 4 tonnes de farine de seigle de plus que la farine de blé ont été apportées. Combien de blé et combien pain de seigle sera cuit par la boulangerie à partir de cette farine si les produits de boulangerie représentent 2/5 de la farine totale ?

563. En trois jours, une équipe d'ouvriers a réalisé les 3/4 de l'ensemble des travaux de réparation de l'autoroute entre les deux fermes collectives. Le premier jour, 2 2/5 km de cette autoroute ont été réparés, le deuxième jour 1 1/2 fois plus que le premier et le troisième jour 5/8 de ce qui a été réparé au cours des deux premiers jours ensemble. Trouvez la longueur de l'autoroute entre les fermes collectives.

564. Remplir places libres dans le tableau, où S est l'aire du rectangle, UN- la base du rectangle, un h-hauteur (largeur) du rectangle.

565. 1) La longueur d'un terrain rectangulaire est de 120 m et la largeur du terrain est de 2/5 de sa longueur. Trouvez le périmètre et la superficie du site.

2) La largeur de la section rectangulaire est de 250 m et sa longueur est 1 1/2 fois la largeur. Trouvez le périmètre et la superficie du site.

566. 1) Le périmètre du rectangle est de 6 1/2 pouces, sa base est 1/4 de pouce plus grande que sa hauteur. Trouvez l'aire de ce rectangle.

2) Le périmètre du rectangle est de 18 cm, sa hauteur est inférieure de 2 1/2 cm à la base. Trouvez l'aire du rectangle.

567. Calculez les aires des figures illustrées à la figure 30 en les divisant en rectangles et en trouvant les dimensions du rectangle par mesure.

568. 1) Combien de feuilles de plâtre sec seront nécessaires pour recouvrir le plafond d'une pièce dont la longueur est de 4 1/2 m et la largeur de 4 m, si les dimensions de la feuille de plâtre sont de 2 m x l 1/2 m ?

2) Combien de planches de 4 1/2 m de long et 1/4 m de large faut-il pour poser un plancher de 4 1/2 m de long et 3 1/2 m de large ?

569. 1) Une parcelle rectangulaire de 560 m de long et 3/4 de sa longueur de large a été semée de haricots. Combien de graines fallait-il pour semer la parcelle si 1 centime était semé pour 1 hectare ?

2) Une récolte de blé de 25 quintaux par hectare a été récoltée dans un champ rectangulaire. Quelle quantité de blé a été récoltée sur l'ensemble du champ si la longueur du champ est de 800 m et la largeur est de 3/8 de sa longueur ?

570 . 1) Un terrain rectangulaire de 78 3/4 m de long et 56 4/5 m de large est aménagé de manière à ce que les 4/5 de sa superficie soient occupés par des bâtiments. Déterminez la superficie du terrain sous les bâtiments.

2) Sur un terrain rectangulaire dont la longueur est de 9/20 km et la largeur est de 4/9 de sa longueur, le kolkhoze envisage d'aménager un jardin. Combien d'arbres seront plantés dans ce jardin si une superficie moyenne de 36 m² est requise pour chaque arbre ?

571. 1) Pour un éclairage normal de la pièce à la lumière du jour, il est nécessaire que la superficie de toutes les fenêtres soit d'au moins 1/5 de la surface au sol. Déterminez s'il y a suffisamment de lumière dans une pièce dont la longueur est de 5 1/2 m et la largeur de 4 m. La pièce a-t-elle une fenêtre mesurant 1 1/2 m x 2 m ?

2) En utilisant la condition du problème précédent, découvrez s’il y a suffisamment de lumière dans votre classe.

572. 1) La grange a des dimensions de 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Quelle quantité de foin (en poids) pourra contenir cette grange si elle est remplie aux 3/4 de sa hauteur et si 1 cu . m de foin pèse 82 kg ?

2) Le tas de bois a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m. Quel est le poids du tas de bois si 1 cube. m de bois de chauffage pèse 600 kg ?

573. 1) Un aquarium rectangulaire est rempli d’eau jusqu’aux 3/5 de sa hauteur. La longueur de l'aquarium est de 1 1/2 m, la largeur de 4/5 m, la hauteur de 3/4 m. Combien de litres d'eau sont versés dans l'aquarium ?

2) Une piscine en forme de parallélépipède rectangle a une longueur de 6 1/2 m, une largeur de 4 m et une hauteur de 2 m. La piscine est remplie d'eau jusqu'aux 3/4 de sa hauteur. Calculez la quantité d'eau versée dans la piscine.

574. Une clôture doit être construite autour d’un terrain rectangulaire de 75 m de long et 45 m de large. Combien de mètres cubes de planches doivent être nécessaires à sa construction si l'épaisseur de la planche est de 2 1/2 cm et la hauteur de la clôture doit être de 2 1/4 m ?

575. 1) Quel est l'angle entre l'aiguille des minutes et l'aiguille des heures à 13 heures ? à 15 heures ? à 17 heures ? à 21 heures ? à 23h30 ?

2) De combien de degrés l’aiguille des heures tournera-t-elle en 2 heures ? 5 heures? 8 heures? 30 minutes.?

3) Combien de degrés contient un arc égal à un demi-cercle ? 1/4 de cercle ? 1/24 de cercle ? 5/24 cercles ?

576. 1) À l’aide d’un rapporteur, tracez : a) un angle droit ; b) un angle de 30° ; c) un angle de 60° ; d) angle de 150° ; e) un angle de 55°.

2) À l'aide d'un rapporteur, mesurez les angles de la figure et trouvez la somme de tous les angles de chaque figure (Fig. 31).

577. Suivez ces étapes:

578. 1) Le demi-cercle est divisé en deux arcs dont l’un est 100° plus grand que l’autre. Trouvez la taille de chaque arc.

2) Le demi-cercle est divisé en deux arcs dont l’un est 15° plus petit que l’autre. Trouvez la taille de chaque arc.

3) Le demi-cercle est divisé en deux arcs dont l’un est deux fois plus grand que l’autre. Trouvez la taille de chaque arc.

4) Le demi-cercle est divisé en deux arcs dont l’un est 5 fois plus petit que l’autre. Trouvez la taille de chaque arc.

579. 1) Le diagramme « Alphabétisation de la population en URSS » (Fig. 32) montre le nombre de personnes alphabétisées pour cent habitants. À partir des données du diagramme et de son échelle, déterminez le nombre d’hommes et de femmes alphabétisés pour chacune des années indiquées.

Écrivez les résultats dans le tableau :

2) À l'aide des données du schéma « Envoyés soviétiques dans l'espace » (Fig. 33), créez des tâches.

580. 1) D'après le diagramme circulaire « Routine quotidienne d'un élève de cinquième » (Fig. 34), remplissez le tableau et répondez aux questions : quelle partie de la journée est réservée au sommeil ? pour les devoirs? à l'école?

2) Construisez un diagramme circulaire sur votre routine quotidienne.