Solution en ligne pour colonne de division. Diviser par un nombre à deux chiffres

A l'école, ces actions sont étudiées du simple au complexe. Par conséquent, il est impératif de bien comprendre l'algorithme permettant d'effectuer ces opérations sur exemples simples. Ainsi, plus tard, il n'y aura aucune difficulté à diviser des fractions décimales en une colonne. Après tout, c’est la version la plus difficile de ces tâches.

Ce sujet nécessite une étude cohérente. Les lacunes dans les connaissances sont ici inacceptables. Chaque élève devrait apprendre ce principe dès la première année. Par conséquent, si vous manquez plusieurs cours d'affilée, vous devrez maîtriser la matière par vous-même. Sinon, des problèmes ultérieurs surgiront non seulement avec les mathématiques, mais également avec d'autres matières qui y sont liées.

La deuxième condition préalable pour réussir l’étude des mathématiques est de passer aux exemples de division longue seulement après avoir maîtrisé l’addition, la soustraction et la multiplication.

Il sera difficile pour un enfant de diviser s'il n'a pas appris la table de multiplication. D'ailleurs, il vaut mieux l'enseigner en utilisant la table de Pythagore. Il n'y a rien de superflu et la multiplication est plus facile à apprendre dans ce cas.

Comment les nombres naturels sont-ils multipliés dans une colonne ?

Si des difficultés surviennent lors de la résolution d'exemples dans une colonne de division et de multiplication, vous devriez alors commencer à résoudre le problème par la multiplication. Puisque la division est l’opération inverse de la multiplication :

1. Avant de multiplier deux nombres, vous devez les examiner attentivement. Choisissez celui avec plus de chiffres (plus long) et notez-le d'abord. Placez le deuxième en dessous. De plus, les numéros de la catégorie correspondante doivent être sous la même catégorie. Autrement dit, le chiffre le plus à droite du premier nombre doit être au-dessus du chiffre le plus à droite du second.
2. Multipliez le chiffre le plus à droite du nombre du bas par chaque chiffre du nombre du haut, en commençant par la droite. Écrivez la réponse sous la ligne de manière à ce que son dernier chiffre soit sous celui par lequel vous avez multiplié.
3. Répétez la même chose avec un autre chiffre du nombre inférieur. Mais le résultat de la multiplication doit être décalé d’un chiffre vers la gauche. Dans ce cas, son dernier chiffre sera inférieur à celui par lequel il a été multiplié.

Continuez cette multiplication dans une colonne jusqu'à ce que les nombres du deuxième facteur soient épuisés. Il faut maintenant les plier. Ce sera la réponse que vous recherchez.

Algorithme de multiplication de décimales

Tout d’abord, vous devez imaginer que les fractions données ne sont pas des fractions décimales, mais des fractions naturelles. Autrement dit, supprimez les virgules, puis procédez comme décrit dans le cas précédent.

La différence commence lorsque la réponse est écrite. A ce moment, il faut compter tous les nombres qui apparaissent après la virgule dans les deux fractions. C'est exactement combien d'entre eux doivent être comptés à partir de la fin de la réponse et y mettre une virgule.

Il convient d'illustrer cet algorithme à l'aide d'un exemple : 0,25 x 0,33 :

Par où commencer l'apprentissage de la division ?

Avant de résoudre des exemples de division longue, vous devez vous rappeler les noms des nombres qui apparaissent dans l'exemple de division longue. Le premier d’entre eux (celui qui est divisé) est divisible. Le second (divisé par) est le diviseur. La réponse est privée.

Après cela, à l’aide d’un exemple simple du quotidien, nous expliquerons l’essence de cette opération mathématique. Par exemple, si vous prenez 10 bonbons, il est alors facile de les partager également entre maman et papa. Mais que se passe-t-il si vous devez les donner à vos parents et à votre frère ?

Après cela, vous pourrez vous familiariser avec les règles de division et les maîtriser exemples spécifiques. D’abord les plus simples, puis passez aux plus complexes.

Algorithme pour diviser les nombres en colonne

Présentons d’abord la procédure à suivre nombres naturels, divisible par numéro à un chiffre. Ils serviront également de base à des diviseurs à plusieurs chiffres ou à des fractions décimales. Ce n’est qu’à ce moment-là que vous devrez apporter de petits changements, mais nous y reviendrons plus tard :

• Avant de procéder à une division longue, vous devez déterminer où se trouvent le dividende et le diviseur.
• Notez le dividende. À droite se trouve le séparateur.
• Dessinez un coin à gauche et en bas près du dernier coin.
• Déterminez le dividende incomplet, c'est-à-dire le nombre qui sera minimal pour la division. Il se compose généralement d’un chiffre, maximum deux.
• Choisissez le numéro qui sera écrit en premier dans la réponse. Il doit s'agir du nombre de fois où le diviseur entre dans le dividende.
• Notez le résultat de la multiplication de ce nombre par le diviseur.
• Écrivez-le sous le dividende incomplet. Effectuez une soustraction.
• Ajoutez au reste le premier chiffre après la partie déjà divisée.
• Choisissez à nouveau le numéro de la réponse.
• Répétez la multiplication et la soustraction. Si le reste égal à zéro et le dividende est terminé, alors l'exemple est terminé. Sinon, répétez les étapes : supprimez le nombre, relevez le nombre, multipliez, soustrayez.

Comment résoudre une division longue si le diviseur a plus d’un chiffre ?

L'algorithme lui-même coïncide complètement avec ce qui a été décrit ci-dessus. La différence sera le nombre de chiffres du dividende incomplet. Maintenant, il devrait y en avoir au moins deux, mais s'ils s'avèrent inférieurs au diviseur, vous devez alors travailler avec les trois premiers chiffres.

Il y a encore une nuance dans cette division. Le fait est que le reste et le nombre qui y est ajouté ne sont parfois pas divisibles par le diviseur. Ensuite, vous devez ajouter un autre numéro dans l'ordre. Mais la réponse doit être zéro. Si vous divisez des nombres à trois chiffres dans une colonne, vous devrez peut-être supprimer plus de deux chiffres. Ensuite, une règle est introduite : il doit y avoir un zéro de moins dans la réponse que le nombre de chiffres supprimés.

Vous pouvez considérer cette division en utilisant l'exemple - 12082 : 863.

• Le dividende incomplet s'avère être le nombre 1208. Le nombre 863 n'y est placé qu'une seule fois. Par conséquent, la réponse est censée être 1, et sous 1208, écrivez 863.
• Après soustraction, le reste est 345.
• Vous devez y ajouter le chiffre 2.
• Le nombre 3452 contient quatre fois 863.
• Quatre doivent être écrits comme réponse. De plus, multiplié par 4, c'est exactement le nombre obtenu.
• Le reste après soustraction est nul. Autrement dit, la division est terminée.

La réponse dans l’exemple serait le nombre 14.

Et si le dividende se termine par zéro ?

Ou quelques zéros ? Dans ce cas, le reste est nul, mais le dividende contient toujours des zéros. Il ne faut pas désespérer, tout est plus simple qu'il n'y paraît. Il suffit simplement d'ajouter à la réponse tous les zéros qui restent indivis.

Par exemple, vous devez diviser 400 par 5. Le dividende incomplet est de 40. Cinq y rentre 8 fois. Cela signifie que la réponse doit être écrite sous la forme 8. Lors de la soustraction, il ne reste plus de reste. Autrement dit, la division est terminée, mais il reste un zéro dans le dividende. Il devra être ajouté à la réponse. Ainsi, diviser 400 par 5 équivaut à 80.

Que faire si vous devez diviser une fraction décimale ?

Encore une fois, ce nombre ressemble à un nombre naturel, si ce n’est la virgule qui sépare la partie entière de la partie fractionnaire. Cela suggère que la division des fractions décimales en colonne est similaire à celle décrite ci-dessus.

La seule différence sera le point-virgule. Il est censé être inséré dans la réponse dès que le premier chiffre de la partie fractionnaire est supprimé. Une autre façon de dire ceci est la suivante : si vous avez fini de diviser la partie entière, mettez une virgule et poursuivez la solution.

Lorsque vous résolvez des exemples de division longue avec des fractions décimales, vous devez vous rappeler que n'importe quel nombre de zéros peut être ajouté à la partie après la virgule décimale. Parfois, cela est nécessaire pour compléter les chiffres.

Diviser deux décimales

Cela peut paraître compliqué. Mais seulement au début. Après tout, comment diviser une colonne de fractions par un nombre naturel est déjà clair. Cela signifie que nous devons réduire cet exemple à une forme déjà familière.

C'est facile à faire. Vous devez multiplier les deux fractions par 10, 100, 1 000 ou 10 000, et peut-être par un million si le problème l'exige. Le multiplicateur est censé être choisi en fonction du nombre de zéros dans la partie décimale du diviseur. Autrement dit, le résultat sera que vous devrez diviser la fraction par un nombre naturel.

Et ce sera le pire des cas. Après tout, il peut arriver que le dividende de cette opération devienne un nombre entier. Ensuite, la solution de l'exemple avec division de fractions en colonnes sera réduite à l'option la plus simple : les opérations avec des nombres naturels.

A titre d'exemple : divisez 28,4 par 3,2 :

• Il faut d'abord les multiplier par 10, puisque le deuxième nombre n'a qu'un chiffre après la virgule. La multiplication donnera 284 et 32.
• Ils sont censés être séparés. De plus, le nombre entier est 284 sur 32.
• Le premier nombre choisi pour la réponse est 8. Le multiplier donne 256. Le reste est 28.
• La division de la partie entière est terminée et une virgule est requise dans la réponse.
• Supprimer jusqu'au reste 0.
• Reprenez 8.
• Reste : 24. Ajoutez-y un autre 0.
• Maintenant, vous devez en prendre 7.
• Le résultat de la multiplication est 224, le reste est 16.
• Retirez-en un autre 0. Prenez-en 5 chacun et vous obtenez exactement 160. Le reste est 0.

La division est terminée. Le résultat de l'exemple 28.4:3.2 est 8,875.

Que se passe-t-il si le diviseur est 10, 100, 0,1 ou 0,01 ?

Tout comme pour la multiplication, une longue division n’est pas nécessaire ici. Il suffit simplement de déplacer la virgule dans le sens souhaité d'un certain nombre de chiffres. De plus, en utilisant ce principe, vous pouvez résoudre des exemples avec des nombres entiers et des fractions décimales.

Ainsi, si vous devez diviser par 10, 100 ou 1 000, la virgule décimale est déplacée vers la gauche du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur. Autrement dit, lorsqu'un nombre est divisible par 100, la virgule décimale doit se déplacer de deux chiffres vers la gauche. Si le dividende est un nombre naturel, alors on suppose que la virgule est à la fin.

Cette action donne le même résultat que si le nombre était multiplié par 0,1, 0,01 ou 0,001. Dans ces exemples, la virgule est également déplacée vers la gauche d'un nombre de chiffres égal à la longueur de la partie fractionnaire.

Lors d'une division par 0,1 (etc.) ou d'une multiplication par 10 (etc.), la virgule décimale doit se déplacer vers la droite d'un chiffre (ou deux, trois, selon le nombre de zéros ou la longueur de la partie fractionnaire).

Il convient de noter que le nombre de chiffres indiqué dans le dividende peut ne pas être suffisant. Ensuite, les zéros manquants peuvent être ajoutés à gauche (dans toute la partie) ou à droite (après la virgule).

Division de fractions périodiques

Dans ce cas, il ne sera pas possible d'obtenir une réponse précise lors de la division en colonne. Comment résoudre un exemple si vous rencontrez une fraction avec un point ? Ici, nous devons passer aux fractions ordinaires. Et puis divisez-les selon les règles apprises précédemment.

Par exemple, vous devez diviser 0,(3) par 0,6. La première fraction est périodique. Il se convertit en fraction 3/9, qui, une fois réduite, donne 1/3. La deuxième fraction est la décimale finale. C’est encore plus simple de l’écrire comme d’habitude : 6/10, ce qui équivaut à 3/5. La règle de division des fractions ordinaires nécessite de remplacer la division par la multiplication et le diviseur par l'inverse. Autrement dit, l'exemple revient à multiplier 1/3 par 5/3. La réponse sera 5/9.

Si l'exemple contient différentes fractions...

Alors plusieurs solutions sont possibles. Premièrement, fraction commune Vous pouvez essayer de le convertir en décimal. Divisez ensuite deux décimales en utilisant l’algorithme ci-dessus.

Deuxièmement, tout fini décimal peut être écrit sous une forme ordinaire. Mais ce n’est pas toujours pratique. Le plus souvent, ces fractions s'avèrent énormes. Et les réponses sont lourdes. La première approche est donc considérée comme préférable.

La division des colonnes fait partie intégrante Matériel pédagogiqueétudiant en école primaire. La réussite future en mathématiques dépendra de la manière dont il apprendra à effectuer cette action.

Comment bien préparer un enfant à percevoir du nouveau matériel ?

La division des colonnes est un processus complexe qui nécessite certaines connaissances de la part de l'enfant. Pour effectuer une division, vous devez savoir et être capable de soustraire, d’additionner et de multiplier rapidement. La connaissance des chiffres est également importante.

Chacune de ces actions doit être amenée à l'automaticité. L'enfant ne devrait pas avoir à réfléchir longtemps, mais aussi être capable de soustraire et d'ajouter non seulement des nombres des dix premiers, mais aussi des centaines en quelques secondes.

Il est important de former le concept correct de division en tant qu'opération mathématique. Même lorsqu'il étudie les tables de multiplication et de division, l'enfant doit clairement comprendre que le dividende est un nombre qui sera divisé en parties égales, le diviseur indique en combien de parties le nombre doit être divisé et le quotient est la réponse elle-même.

Comment expliquer l’algorithme d’une opération mathématique étape par étape ?

Chaque opération mathématique nécessite le strict respect d’un algorithme spécifique. Des exemples de divisions longues doivent être effectués dans cet ordre :

1. Écrivez l'exemple dans un coin, et les places du dividende et du diviseur doivent être strictement respectées. Pour aider l'enfant à ne pas se tromper dans les premiers temps, on peut dire qu'on écrit à gauche plus grand nombre, et à droite le plus petit.
2. Sélectionnez une partie pour la première division. Il doit être divisible par le dividende majoré d'un reliquat.
3. À l'aide de la table de multiplication, nous déterminons combien de fois le diviseur peut tenir dans la partie sélectionnée. Il est important d’indiquer à l’enfant que la réponse ne doit pas dépasser 9.
4. Multipliez le nombre obtenu par le diviseur et écrivez-le sur le côté gauche du coin.
5. Ensuite, vous devez trouver la différence entre la partie du dividende et le produit obtenu.
6. Le nombre résultant est écrit sous la ligne et le chiffre suivant est noté. Ces actions sont effectuées jusqu'à ce que le reste soit égal à 0.

Un exemple clair pour les étudiants et les parents

La division des colonnes peut être clairement expliquée à l’aide de cet exemple.

1. Notez 2 nombres dans une colonne : le dividende est 536 et le diviseur est 4.
2. La première partie à diviser doit être divisible par 4 et le quotient doit être inférieur à 9. Le chiffre 5 convient pour cela.
3. 4 ne rentre dans 5 qu'une seule fois, nous écrivons donc 1 dans la réponse et 4 sous 5.
4. Ensuite, une soustraction est effectuée : 4 est soustrait de 5 et 1 est écrit sous la ligne.
5. Le chiffre suivant est ajouté à un - 3. Dans treize (13) - 4 correspond 3 fois. 4x3 = 12. Douze s'écrit sous le 13 et 3 s'écrit comme quotient, comme chiffre suivant.
6. 12 est soustrait de 13, la réponse est 1. Le chiffre suivant est à nouveau supprimé - 6.
7. 16 est à nouveau divisé par 4. La réponse est écrite comme 4, et dans la colonne de division - 16, et la différence est écrite comme 0.

En résolvant plusieurs fois de longs exemples de divisions avec votre enfant, vous pouvez réussir à résoudre rapidement des problèmes au collège.

Les écoliers apprennent la division en colonnes, ou, plus exactement, la technique écrite de la division en coins, dès la troisième année. école primaire, mais souvent si peu d'attention est accordée à ce sujet qu'entre la 9e et la 11e année, tous les élèves ne peuvent pas l'utiliser couramment. Division des colonnes par numéro à deux chiffres avoir lieu en 4e année, tout comme la division en numéro à trois chiffres, et cette technique n'est utilisée que comme technique auxiliaire lors de la résolution d'équations ou de la recherche de la valeur d'une expression.

Évidemment, en accordant plus d'attention aux divisions longues que ce qui est inclus dans le programme scolaire, l'enfant lui permettra de réaliser plus facilement ses devoirs de mathématiques jusqu'à la 11e année. Et pour cela, vous avez besoin de peu - comprendre le sujet et étudier, résoudre, en gardant l'algorithme en tête, pour amener les compétences de calcul à l'automatisme.

Algorithme de division par un nombre à deux chiffres

Comme pour la division par un nombre à un chiffre, nous passerons séquentiellement de la division des unités de comptage plus grandes à la division des unités plus petites.

1. Trouvez le premier dividende incomplet. Il s'agit d'un nombre qui est divisé par un diviseur pour produire un nombre supérieur ou égal à 1. Cela signifie que le premier dividende partiel est toujours supérieur au diviseur. Lors d'une division par un nombre à deux chiffres, le premier dividende partiel doit comporter au moins 2 chiffres.

Exemples 76 8:24. Premier dividende incomplet 76
265 :53 26 est inférieur à 53, ce qui signifie qu'il ne convient pas. Vous devez ajouter le numéro suivant (5). Le premier dividende incomplet est 265.

2. Déterminez le nombre de chiffres dans le quotient. Pour déterminer le nombre de chiffres d'un quotient, n'oubliez pas que le dividende incomplet correspond à un chiffre du quotient et que tous les autres chiffres du dividende correspondent à un chiffre supplémentaire du quotient.

Exemples 768:24. Le premier dividende incomplet est 76. Il correspond à 1 chiffre du quotient. Après le premier diviseur partiel, il y a encore un chiffre. Cela signifie que le quotient n’aura que 2 chiffres.
265:53. Le premier dividende incomplet est 265. Il donnera 1 chiffre du quotient. Il n'y a plus de chiffres dans le dividende. Cela signifie que le quotient n’aura qu’un seul chiffre.
15344:56. Le premier dividende partiel est 153, suivi de 2 chiffres supplémentaires. Cela signifie que le quotient n’aura que 3 chiffres.

3. Trouvez les nombres dans chaque chiffre du quotient. Tout d’abord, trouvons le premier chiffre du quotient. Nous sélectionnons un entier tel que, multiplié par notre diviseur, nous obtenions un nombre aussi proche que possible du premier dividende incomplet. Nous écrivons le nombre de quotient sous le coin et soustrayons la valeur du produit dans une colonne du diviseur partiel. Nous notons le reste. On vérifie qu'il est inférieur au diviseur.

Ensuite, nous trouvons le deuxième chiffre du quotient. Nous réécrivons le nombre suivant le premier diviseur partiel du dividende dans la ligne avec le reste. Le dividende incomplet résultant est à nouveau divisé par le diviseur et nous trouvons ainsi chaque nombre suivant du quotient jusqu'à ce que les chiffres du diviseur soient épuisés.

4. Trouvez le reste(s'il y a).

Si les chiffres du quotient sont épuisés et que le reste est 0, alors la division est effectuée sans reste. Sinon, la valeur du quotient est écrite avec un reste.

La division par n'importe quel nombre à plusieurs chiffres (à trois chiffres, à quatre chiffres, etc.) est également effectuée.

Analyse d'exemples de division d'une colonne par un nombre à deux chiffres

Examinons d’abord des cas simples de division, lorsque le quotient donne un nombre à un chiffre.

Trouvons la valeur des quotients 265 et 53.

Le premier dividende incomplet est 265. Il n’y a plus de chiffres dans le dividende. Cela signifie que le quotient sera un nombre à un chiffre.

Pour faciliter le choix du nombre de quotient, divisons 265 non pas par 53, mais par un nombre rond proche 50. Pour ce faire, divisons 265 par 10, le résultat sera 26 (le reste est 5). Et divisez 26 par 5, il y aura 5 (reste 1). Le nombre 5 ne peut pas être immédiatement écrit dans le quotient, puisqu'il s'agit d'un nombre d'essai. Vous devez d’abord vérifier si cela convient. Multiplions 53*5=265. Nous voyons que le chiffre 5 est apparu. Et maintenant, nous pouvons l'écrire dans un coin privé. 265-265=0. La division est achevée sans reste.

Le quotient de 265 et 53 est 5.

Parfois, lors de la division, le chiffre de test du quotient ne correspond pas et doit alors être modifié.

Trouvons la valeur des quotients 184 et 23.

Le quotient sera un nombre à un chiffre.

Pour faciliter le choix du nombre de quotient, divisons 184 non pas par 23, mais par 20. Pour ce faire, divisons 184 par 10, le résultat sera 18 (reste 4). Et on divise 18 par 2, le résultat est 9. 9 est un nombre de test, on ne l'écrira pas tout de suite dans le quotient, mais on vérifiera s'il convient. Multiplions 23*9=207. 207 est supérieur à 184. On voit que le nombre 9 ne convient pas. Le quotient sera inférieur à 9. Essayons de voir si le nombre 8 convient. Multiplions 23*8=184. On voit que le chiffre 8 convient. Nous pouvons l'écrire en privé. 184-184=0. La division est achevée sans reste.

Le quotient de 184 et 23 est 8.

Considérons des cas de division plus complexes.

Trouvons la valeur du quotient de 768 et 24.

Le premier dividende incomplet est de 76 dizaines. Cela signifie que le quotient aura 2 chiffres.

Déterminons le premier chiffre du quotient. Divisons 76 par 24. Pour faciliter le choix du nombre de quotient, divisons 76 non pas par 24, mais par 20. Autrement dit, vous devez diviser 76 par 10, il y aura 7 (le reste est 6). Et divisez 7 par 2, vous obtenez 3 (reste 1). 3 est le chiffre de test du quotient. Vérifions d'abord si cela convient. Multiplions 24*3=72. 76-72=4. Le reste est inférieur au diviseur. Cela signifie que le nombre 3 convient et que nous pouvons maintenant l'écrire à la place des dizaines du quotient. Nous écrivons 72 sous le premier dividende incomplet, mettons un signe moins entre eux et écrivons le reste sous la ligne.

Continuons la division. Réécrivons le nombre 8 suivant le premier dividende incomplet dans la ligne avec le reste. Nous obtenons le dividende incomplet suivant – 48 unités. Divisons 48 par 24. Pour faciliter le choix du quotient, divisons 48 non pas par 24, mais par 20. Autrement dit, si nous divisons 48 par 10, il y aura 4 (le reste est 8). Et on divise 4 par 2, cela devient 2. C'est le chiffre test du quotient. Nous devons d'abord vérifier si cela conviendra. Multiplions 24*2=48. Nous voyons que le nombre 2 correspond et, par conséquent, nous pouvons l'écrire à la place des unités du quotient. 48-48=0, la division s'effectue sans reste.

Le quotient de 768 et 24 est 32.

Trouvons la valeur des quotients 15344 et 56.

Le premier dividende incomplet est de 153 centaines, ce qui signifie que le quotient aura trois chiffres.

Déterminons le premier chiffre du quotient. Divisons 153 par 56. Pour faciliter la recherche du quotient, divisons 153 non pas par 56, mais par 50. Pour ce faire, divisons 153 par 10, le résultat sera 15 (reste 3). Et on divise 15 par 5, cela devient 3. 3 est le chiffre test du quotient. N'oubliez pas : vous ne pouvez pas l'écrire immédiatement en privé, mais vous devez d'abord vérifier s'il convient. Multiplions 56*3=168. 168 est supérieur à 153. Cela signifie que le quotient sera inférieur à 3. Vérifions si le nombre 2 convient. Multipliez 56*2=112. 153-112=41. Le reste est inférieur au diviseur, ce qui signifie que le nombre 2 convient, il peut s'écrire à la place des centaines dans le quotient.

Formons le dividende incomplet suivant. 153-112=41. On réécrit le chiffre 4 suivant le premier dividende incomplet dans la même ligne. Nous obtenons le deuxième dividende incomplet de 414 dizaines. Divisons 414 par 56. Pour faciliter le choix du nombre de quotient, divisons 414 non pas par 56, mais par 50. 414:10=41(rest.4). 41:5=8(rest.1). N'oubliez pas : 8 est un numéro de test. Regardons ça. 56*8=448. 448 est supérieur à 414, ce qui signifie que le quotient sera inférieur à 8. Vérifions si le nombre 7 convient. Multipliez 56 par 7, nous obtenons 392. 414-392=22. Le reste est inférieur au diviseur. Cela signifie que le nombre rentre et dans le quotient on peut écrire 7 à la place des dizaines.

On écrit 4 unités dans la ligne avec le nouveau reste. Cela signifie que le prochain dividende incomplet est de 224 unités. Continuons la division. Divisons 224 par 56. Pour faciliter la recherche du quotient, divisons 224 par 50. C'est-à-dire que d'abord par 10, il y aura 22 (le reste est 4). Et divisez 22 par 5, il y aura 4 (reste 2). 4 est un numéro de test, vérifions-le pour voir s'il correspond. 56*4=224. Et nous voyons que le nombre a augmenté. Écrivons 4 à la place des unités dans le quotient. 224-224=0, la division est effectuée sans reste.

Le quotient de 15344 et 56 est 274.

Exemple de division avec reste

Pour faire une analogie, prenons un exemple similaire à l'exemple ci-dessus, ne différant que par le dernier chiffre

Trouvons la valeur du quotient 15345:56

Nous divisons d'abord de la même manière que dans l'exemple 15344:56, jusqu'à atteindre le dernier dividende incomplet 225. Divisons 225 par 56. Pour faciliter le choix du nombre quotient, divisez 225 par 50. C'est-à-dire d'abord par 10 , il y en aura 22 (le reste est 5 ). Et divisez 22 par 5, il y aura 4 (reste 2). 4 est un numéro de test, vérifions-le pour voir s'il correspond. 56*4=224. Et nous voyons que le nombre a augmenté. Écrivons 4 à la place des unités dans le quotient. 225-224=1, division effectuée avec reste.

Le quotient de 15345 et 56 est 274 (reste 1).

Division avec zéro en quotient

Parfois, dans un quotient, l'un des nombres s'avère être 0, et les enfants le manquent souvent, d'où une mauvaise solution. Voyons d'où peut venir 0 et comment ne pas l'oublier.

Trouvons la valeur du quotient 2870:14

Le premier dividende incomplet est de 28 centaines. Cela signifie que le quotient aura 3 chiffres. Placez trois points sous le coin. Ce point important. Si un enfant perd un zéro, il lui restera un point supplémentaire, ce qui lui fera penser qu'il manque un chiffre quelque part.

Déterminons le premier chiffre du quotient. Divisons 28 par 14. Par sélection, nous obtenons 2. Vérifions si le nombre 2 correspond. Multipliez 14*2=28. Le chiffre 2 convient, il peut s'écrire à la place des centaines dans le quotient. 28-28=0.

Le résultat était un reste nul. Nous l'avons marqué en rose pour plus de clarté, mais vous n'avez pas besoin de l'écrire. Nous réécrivons le chiffre 7 du dividende dans la ligne avec le reste. Mais 7 n'est pas divisible par 14 pour obtenir un entier, on écrit donc 0 à la place des dizaines dans le quotient.

Maintenant, nous réécrivons le dernier chiffre du dividende (nombre de parts) sur la même ligne.

70:14=5 Nous écrivons le nombre 5 au lieu du dernier point du quotient. 70-70=0. Il n'y a pas de reste.

Le quotient de 2870 et 14 est 205.

La division doit être vérifiée par multiplication.

Exemples de divisions pour l'autotest

Trouvez le premier dividende incomplet et déterminez le nombre de chiffres du quotient.

3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17

Vous maîtrisez le sujet, entraînez-vous maintenant à résoudre vous-même plusieurs exemples dans une colonne.

1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718

La division des nombres naturels, en particulier ceux à plusieurs chiffres, est commodément effectuée par une méthode spéciale, appelée division par une colonne (dans une colonne). Vous pouvez également trouver le nom division de coin. Notons tout de suite que la colonne peut être utilisée à la fois pour diviser des nombres naturels sans reste et pour diviser des nombres naturels avec reste.

Dans cet article, nous examinerons la durée pendant laquelle la division est effectuée. Nous parlerons ici des règles d'enregistrement et de tous les calculs intermédiaires. Tout d’abord, concentrons-nous sur la division d’un nombre naturel à plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre avec une colonne. Après cela, nous nous concentrerons sur les cas où le dividende et le diviseur sont des nombres naturels à valeurs multiples. Toute la théorie de cet article est fournie avec des exemples typiques de division par une colonne de nombres naturels avec des explications détaillées de la solution et des illustrations.

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Règles d'enregistrement lors de la division par une colonne

Commençons par étudier les règles d'écriture du dividende, du diviseur, de tous les calculs intermédiaires et résultats lors de la division d'entiers naturels par une colonne. Disons tout de suite qu'il est plus pratique de diviser les colonnes par écrit sur du papier avec une ligne en damier - de cette façon, il y a moins de chances de s'écarter de la ligne et de la colonne souhaitées.

Tout d'abord, le dividende et le diviseur sont écrits sur une seule ligne de gauche à droite, après quoi un symbole de la forme est dessiné entre les nombres écrits. Par exemple, si le dividende est le nombre 6 105 et le diviseur est 5 5, alors leur enregistrement correct lors de la division en colonne sera le suivant :

Regardez le diagramme suivant pour illustrer où écrire les calculs de dividende, de diviseur, de quotient, de reste et intermédiaires dans une division longue.

D'après le diagramme ci-dessus, il est clair que le quotient requis (ou le quotient incomplet lors d'une division avec un reste) sera écrit sous le diviseur sous la ligne horizontale. Et des calculs intermédiaires seront effectués en dessous du dividende, et vous devez vous assurer à l'avance de la disponibilité de l'espace sur la page. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle : quoi plus de différence plus le nombre de chiffres dans les entrées de dividende et de diviseur est grand, plus il faut d'espace. Par exemple, lorsque l'on divise par une colonne l'entier naturel 614 808 par 51 234 (614 808 est un nombre à six chiffres, 51 234 est un nombre à cinq chiffres, la différence entre le nombre de caractères dans les enregistrements est de 6−5 = 1), intermédiaire les calculs nécessiteront moins d'espace que lors de la division des nombres 8 058 et 4 (ici la différence du nombre de caractères est 4−1=3). Pour confirmer nos propos, nous présentons des enregistrements complets de division par colonne de ces nombres naturels :

Vous pouvez maintenant passer directement au processus de division des nombres naturels par une colonne.

Division en colonnes d'un nombre naturel par un nombre naturel à un chiffre, algorithme de division en colonnes

Il est clair que diviser un nombre naturel à un chiffre par un autre est assez simple et il n'y a aucune raison de diviser ces nombres en colonne. Cependant, il vous sera utile de mettre en pratique vos compétences initiales en matière de division longue avec ces exemples simples.

Exemple.

Devons-nous diviser avec une colonne de 8 par 2.

Solution.

Bien sûr, nous pouvons effectuer une division à l’aide de la table de multiplication et écrire immédiatement la réponse 8:2=4.

Mais nous nous intéressons à la manière de diviser ces nombres par une colonne.

Tout d'abord, nous notons le dividende 8 et le diviseur 2 comme l'exige la méthode :

Nous commençons maintenant à découvrir combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Pour ce faire, on multiplie séquentiellement le diviseur par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à ce que le résultat soit un nombre égal au dividende (ou un nombre supérieur au dividende, s'il y a une division avec un reste ). Si nous obtenons un nombre égal au dividende, nous l'écrivons immédiatement sous le dividende et, à la place du quotient, nous écrivons le nombre par lequel nous avons multiplié le diviseur. Si nous obtenons un nombre supérieur au dividende, alors sous le diviseur, nous écrivons le nombre calculé à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient incomplet, nous écrivons le nombre par lequel le diviseur a été multiplié à l'avant-dernière étape.

C'est parti : 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Nous avons reçu un nombre égal au dividende, nous l'écrivons donc sous le dividende, et à la place du quotient nous écrivons le nombre 4. Dans ce cas, le dossier prendra la forme suivante :

La dernière étape de division des nombres naturels à un chiffre par une colonne demeure. Sous le nombre écrit sous le dividende, vous devez tracer une ligne horizontale et soustraire les nombres au-dessus de cette ligne de la même manière que pour soustraire des nombres naturels dans une colonne. Le nombre résultant de la soustraction sera le reste de la division. S'il est égal à zéro, alors les nombres d'origine sont divisés sans reste.

Dans notre exemple, nous obtenons

Nous avons maintenant devant nous un enregistrement complet de la division en colonne du nombre 8 par 2. Nous voyons que le quotient de 8:2 est 4 (et le reste est 0).

Répondre:

8:2=4 .

Voyons maintenant comment une colonne divise les nombres naturels à un chiffre par un reste.

Exemple.

Divisez 7 par 3 à l'aide d'une colonne.

Solution.

Sur stade initial l'entrée ressemble à ceci :

Nous commençons par découvrir combien de fois le dividende contient le diviseur. On multipliera 3 par 0, 1, 2, 3, etc. jusqu'à ce que nous obtenions un nombre égal ou supérieur au dividende 7. On obtient 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (si nécessaire, se référer à l'article comparant les nombres naturels). Sous le dividende on écrit le nombre 6 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient incomplet on écrit le nombre 2 (la multiplication a été effectuée par celui-ci à l'avant-dernière étape).

Il reste à effectuer la soustraction, et la division par une colonne d'entiers naturels à un chiffre 7 et 3 sera complétée.

Le quotient partiel vaut donc 2 et le reste vaut 1.

Répondre:

7:3=2 (reste 1) .

Vous pouvez maintenant passer à la division des nombres naturels à plusieurs chiffres par colonnes en nombres naturels à un chiffre.

Maintenant, nous allons le découvrir algorithme de division longue. A chaque étape, nous présenterons les résultats obtenus en divisant l'entier naturel à plusieurs chiffres 140 288 par l'entier naturel à un chiffre 4. Cet exemple n’a pas été choisi par hasard, car en le résolvant, nous rencontrerons toutes les nuances possibles et pourrons les analyser en détail.

Examinons d’abord le premier chiffre à gauche dans la notation du dividende. Si le nombre défini par ce chiffre est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons alors ajouter à la contrepartie le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende et continuer à travailler avec le nombre déterminé par les deux chiffres considérés. Pour plus de commodité, nous soulignons dans notre notation le nombre avec lequel nous allons travailler.

Le premier chiffre en partant de la gauche dans la notation du dividende 140288 est le chiffre 1. Le nombre 1 est inférieur au diviseur 4, on regarde donc également le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende. En même temps, nous voyons le chiffre 14, avec lequel nous devons continuer à travailler. Nous mettons en évidence ce nombre dans la notation du dividende.

Les étapes suivantes de la deuxième à la quatrième sont répétées cycliquement jusqu'à ce que la division des nombres naturels par une colonne soit terminée.

Nous devons maintenant déterminer combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre avec lequel nous travaillons (pour plus de commodité, notons ce nombre par x). Pour ce faire, nous multiplions séquentiellement le diviseur par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre x ou un nombre supérieur à x. Lorsque le nombre x est obtenu, nous l'écrivons sous le nombre en surbrillance selon les règles d'enregistrement utilisées lors de la soustraction des nombres naturels dans une colonne. Le nombre par lequel la multiplication a été effectuée est écrit à la place du quotient lors du premier passage de l'algorithme (dans les passages ultérieurs de 2 à 4 points de l'algorithme, ce nombre est écrit à droite des nombres déjà là). Lorsqu'on obtient un nombre supérieur au nombre x, alors sous le nombre en surbrillance on écrit le nombre obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient (ou à droite des nombres déjà là) on écrit le nombre par dont la multiplication a été effectuée à l'avant-dernière étape. (Nous avons mené des actions similaires dans les deux exemples évoqués ci-dessus).

Multipliez le diviseur 4 par les nombres 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 14 ou supérieur à 14. On a 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Puisqu'à la dernière étape nous avons reçu le nombre 16, qui est supérieur à 14, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre 12, qui a été obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient nous écrivons le nombre 3, puisque dans l'avant-dernier point la multiplication a été effectuée précisément par lui.


A ce stade, du numéro sélectionné, soustrayez le numéro situé en dessous à l'aide d'une colonne. Le résultat de la soustraction est écrit sous la ligne horizontale. Cependant, si le résultat de la soustraction est nul, il n’est pas nécessaire de l’écrire (à moins que la soustraction à ce stade ne soit la toute dernière action qui achève complètement le processus de division longue). Ici, pour votre propre contrôle, il ne serait pas superflu de comparer le résultat de la soustraction avec le diviseur et de vous assurer qu'il est inférieur au diviseur. Sinon, une erreur a été commise quelque part.

Il faut soustraire le nombre 12 du nombre 14 avec une colonne (pour l'exactitude de l'enregistrement, il ne faut pas oublier de mettre un signe moins à gauche des nombres soustraits). Après avoir terminé cette action, le chiffre 2 est apparu sous la ligne horizontale. Nous vérifions maintenant nos calculs en comparant le nombre obtenu avec le diviseur. Puisque le nombre 2 est inférieur au diviseur 4, vous pouvez passer au point suivant en toute sécurité.


Maintenant, sous la ligne horizontale à droite des nombres qui s'y trouvent (ou à droite de l'endroit où on n'a pas noté le zéro), on note le nombre situé dans la même colonne dans la notation du dividende. S'il n'y a pas de chiffres dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne, alors la division par colonne s'arrête là. Après cela, nous sélectionnons le nombre formé sous la ligne horizontale, l'acceptons comme nombre de travail et répétons avec lui les points 2 à 4 de l'algorithme.

Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2 déjà là, on note le chiffre 0, puisque c'est le chiffre 0 qui figure dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, le chiffre 20 est formé sous la ligne horizontale.


Nous sélectionnons ce nombre 20, le prenons comme nombre de travail et répétons avec lui les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme.

Multipliez le diviseur 4 par 0, 1, 2, ... jusqu'à obtenir le nombre 20 ou un nombre supérieur à 20. On a 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


On effectue la soustraction dans une colonne. Puisque nous soustrayons des nombres naturels égaux, alors en vertu de la propriété de soustraire des nombres naturels égaux, le résultat est zéro. On n'écrit pas le zéro (puisque ce n'est pas l'étape finale de la division avec une colonne), mais on se souvient de l'endroit où on pourrait l'écrire (pour plus de commodité, on marquera cet endroit avec un rectangle noir).


Sous la ligne horizontale à droite de l'endroit mémorisé on note le chiffre 2, puisque c'est précisément celui-ci qui figure dans l'enregistrement du dividende 140.288 dans cette colonne. Ainsi, sous la ligne horizontale nous avons le chiffre 2.


Nous prenons le chiffre 2 comme numéro de travail, le marquons et nous devrons à nouveau effectuer les actions de 2 à 4 points de l'algorithme.

Nous multiplions le diviseur par 0, 1, 2, etc., et comparons les nombres obtenus avec le nombre marqué 2. On a 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Par conséquent, sous le nombre marqué, nous écrivons le nombre 0 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient à droite du nombre déjà là, nous écrivons le nombre 0 (nous avons multiplié par 0 à l'avant-dernière étape ).


On effectue la soustraction dans une colonne, on obtient le chiffre 2 sous la ligne horizontale. Nous nous vérifions en comparant le nombre obtenu avec le diviseur 4. Depuis 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2, ajoutez le chiffre 8 (puisqu'il se trouve dans cette colonne dans l'entrée du dividende 140 288). Ainsi, le chiffre 28 apparaît sous la ligne horizontale.


Nous prenons ce numéro comme numéro de travail, le marquons et répétons les étapes 2 à 4.

Il ne devrait y avoir aucun problème ici si vous avez été prudent jusqu'à présent. Après avoir effectué toutes les étapes nécessaires, le résultat suivant est obtenu.

Il ne reste plus qu'à effectuer une dernière fois les étapes des points 2, 3, 4 (nous vous laissons cela), après quoi vous obtiendrez une image complète de la division des nombres naturels 140,288 et 4 en colonne :

Veuillez noter que le chiffre 0 est écrit tout en bas. Si ce n'était pas la dernière étape de la division par colonne (c'est-à-dire si dans l'enregistrement du dividende il restait des nombres dans les colonnes de droite), alors nous n'écririons pas ce zéro.

Ainsi, en regardant l'enregistrement complet de la division de l'entier naturel à plusieurs chiffres 140 288 par l'entier naturel à un chiffre 4, nous voyons que le quotient est le nombre 35 072 (et le reste de la division est zéro, il se trouve tout en bas doubler).

Bien sûr, lorsque vous divisez des nombres naturels par une colonne, vous ne décrirez pas toutes vos actions avec autant de détails. Vos solutions ressembleront aux exemples suivants.

Exemple.

Effectuez une division longue si le dividende est de 7 136 et que le diviseur est un nombre naturel à un chiffre 9.

Solution.

A la première étape de l'algorithme de division des nombres naturels par colonnes, on obtient un enregistrement de la forme

Après avoir effectué les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme, l'enregistrement de division en colonnes prendra la forme

En répétant le cycle, nous aurons

Un passage supplémentaire nous donnera une image complète de la division en colonnes des nombres naturels 7,136 et 9.

Ainsi, le quotient partiel est de 792 et le reste est de 8.

Répondre:

7 136:9=792 (reste 8) .

Et cet exemple montre à quoi devrait ressembler une division longue.

Exemple.

Divisez l'entier naturel 7 042 035 par l'entier naturel à un chiffre 7.

Solution.

La manière la plus pratique de procéder à une division est par colonne.

Répondre:

7 042 035:7=1 006 005 .

Division en colonnes de nombres naturels à plusieurs chiffres

On s'empresse de vous faire plaisir : si vous maîtrisez parfaitement l'algorithme de division de colonnes du paragraphe précédent de cet article, alors vous savez presque déjà comment effectuer division en colonnes de nombres naturels à plusieurs chiffres. Cela est vrai, puisque les étapes 2 à 4 de l'algorithme restent inchangées et que seuls des changements mineurs apparaissent dans le premier point.

Lors de la première étape de division des nombres naturels à plusieurs chiffres en colonne, vous devez regarder non pas le premier chiffre à gauche dans la notation du dividende, mais leur nombre égal au nombre de chiffres contenus dans la notation. du diviseur. Si le nombre défini par ces nombres est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, alors nous devons ajouter à la contrepartie le chiffre suivant à gauche dans la notation du dividende. Après cela, les actions spécifiées aux paragraphes 2, 3 et 4 de l'algorithme sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.

Il ne reste plus qu'à voir l'application pratique de l'algorithme de division de colonnes pour les nombres naturels à valeurs multiples lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Effectuons une division en colonnes des nombres naturels à plusieurs chiffres 5 562 et 206.

Solution.

Puisque le diviseur 206 contient 3 chiffres, on regarde les 3 premiers chiffres à gauche du dividende 5,562. Ces numéros correspondent au nombre 556. Puisque 556 est supérieur au diviseur 206, nous prenons le nombre 556 comme nombre de travail, le sélectionnons et passons à l'étape suivante de l'algorithme.

Maintenant, nous multiplions le diviseur 206 par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 556 ou supérieur à 556. On a (si la multiplication est difficile, alors il vaut mieux multiplier les nombres naturels dans une colonne) : 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Puisque nous avons reçu un nombre supérieur au nombre 556, alors sous le nombre en surbrillance nous écrivons le nombre 412 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient nous écrivons le nombre 2 (puisque nous l'avons multiplié par lui à l'avant-dernière étape). L'entrée de division de colonne prend la forme suivante :

Nous effectuons une soustraction de colonnes. Nous obtenons la différence 144, ce nombre est inférieur au diviseur, vous pouvez donc continuer à effectuer les actions requises en toute sécurité.

Sous la ligne horizontale à droite du numéro on écrit le chiffre 2, puisqu'il se trouve dans l'enregistrement du dividende 5562 dans cette colonne :

Maintenant, nous travaillons avec le nombre 1 442, le sélectionnons et repassons par les étapes deux à quatre.

Multipliez le diviseur 206 par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre 1442 ou un nombre supérieur à 1442. C'est parti : 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

On fait la soustraction dans une colonne, on obtient zéro, mais on ne l'écrit pas tout de suite, on se souvient juste de sa position, car on ne sait pas si la division se termine ici, ou s'il faudra répéter reprenons les étapes de l'algorithme :

Nous voyons maintenant que nous ne pouvons écrire aucun nombre sous la ligne horizontale à droite de la position mémorisée, puisqu'il n'y a aucun chiffre dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne. Par conséquent, ceci termine la division par colonne, et nous complétons l'entrée :

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