Comment trouver le rapport d'une jambe adjacente à l'hypoténuse. Des zones de définition et de valeurs, croissantes, décroissantes. Graphique de la fonction tangente, y = tan x

Lorsque des problèmes de résolution d'un triangle rectangle étaient envisagés, j'ai promis de présenter une technique pour mémoriser les définitions du sinus et du cosinus. En l'utilisant, vous vous souviendrez toujours rapidement quel côté appartient à l'hypoténuse (adjacent ou opposé). J'ai décidé de ne pas retarder trop longtemps, matériel requis ci-dessous, veuillez lire 😉

Le fait est que j'ai observé à plusieurs reprises à quel point les élèves de la 10e à la 11e année ont du mal à se souvenir de ces définitions. Ils se souviennent très bien que la jambe fait référence à l'hypoténuse, mais laquelle- ils oublient et confus. Le prix d’une erreur, comme on le sait lors d’un examen, est un point perdu.

Les informations que je présenterai directement n'ont rien à voir avec les mathématiques. Elle est liée à pensée imaginative, et avec des méthodes de communication verbale-logique. C'est exactement comme ça que je m'en souviens, une fois pour toutesdonnées de définition. Si vous les oubliez, vous pourrez toujours vous en souvenir facilement en utilisant les techniques présentées.

Permettez-moi de vous rappeler les définitions du sinus et du cosinus dans triangle rectangle:

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Sinus L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

Alors, quelles associations avez-vous avec le mot cosinus ?

Probablement chacun a le sien 😉Rappelez-vous le lien:

Ainsi, l'expression apparaîtra immédiatement dans votre mémoire -

«… rapport de la jambe ADJACENTE à l'hypoténuse».

Le problème de la détermination du cosinus a été résolu.

Si vous avez besoin de vous rappeler la définition du sinus dans un triangle rectangle, puis en vous souvenant de la définition du cosinus, vous pouvez facilement établir que le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Après tout, il n'y a que deux branches ; si la branche adjacente est « occupée » par le cosinus, alors seule la branche opposée reste avec le sinus.

Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? La confusion est la même. Les étudiants savent qu'il s'agit d'une relation de jambes, mais le problème est de se rappeler laquelle fait référence à laquelle - soit l'opposé de l'adjacent, soit vice versa.

Définitions :

Tangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

Cotangente L'angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

Comment se souvenir ? Il y a deux manières. L’un utilise également une connexion verbale-logique, l’autre une connexion mathématique.

MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Il existe une telle définition - la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus :

*Après avoir mémorisé la formule, vous pouvez toujours déterminer que la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

De même.La cotangente d'un angle aigu est le rapport du cosinus de l'angle à son sinus :

Donc! En vous souvenant de ces formules, vous pouvez toujours déterminer que :

- la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent

— la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

MÉTHODE LOGIQUE PAR MOTS

À propos de la tangente. Rappelez-vous le lien:

Autrement dit, si vous avez besoin de vous souvenir de la définition de la tangente, en utilisant cette connexion logique, vous pouvez facilement vous rappeler de quoi il s'agit.

"... le rapport du côté opposé au côté adjacent"

Si nous parlons de cotangente, alors en vous rappelant la définition de la tangente, vous pouvez facilement exprimer la définition de la cotangente -

"... le rapport du côté adjacent au côté opposé"

Il existe une astuce intéressante pour mémoriser la tangente et la cotangente sur le site " Tandem mathématique " , regarder.

MÉTHODE UNIVERSELLE

Vous pouvez simplement le mémoriser.Mais comme le montre la pratique, grâce aux connexions verbales-logiques, une personne se souvient longtemps des informations, et pas seulement mathématiques.

J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle vous aidera à comprendre un triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté \(AC\)) ; les jambes sont les deux côtés restants \(AB\) et \(BC\) (ceux adjacents à angle droit), et, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle \(BC\), alors la jambe \(AB\) est la jambe adjacente, et la jambe \(BC\) est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle– c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus de l'angle– c’est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l’hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente de l'angle– c’est le rapport entre le côté opposé (distant) et le côté adjacent (proche).

Dans notre triangle :

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente d'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (lointaine).

Dans notre triangle :

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Considérons, par exemple, le cosinus de l'angle \(\beta \) . Par définition, à partir d'un triangle \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mais on peut calculer le cosinus de l'angle \(\beta \) à partir du triangle \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle \(ABC \) représenté dans la figure ci-dessous, on trouve \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l'angle \(\beta \) .

Réponses: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à \(1\) . Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Rayon du cercle égal à un, alors que le centre du cercle se trouve à l'origine, la position initiale du rayon vecteur est fixe le long de la direction positive de l'axe \(x\) (dans notre exemple, il s'agit du rayon \(AB\)).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe \(x\) et la coordonnée le long de l'axe \(y\). Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons le triangle \(ACG\) . Il est rectangulaire car \(CG\) est perpendiculaire à l'axe \(x\).

Qu'est-ce que \(\cos \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? C'est exact \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). De plus, nous savons que \(AC\) est le rayon du cercle unité, ce qui signifie \(AC=1\) . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

À quoi est égal \(\sin \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? Oui bien sur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Remplacez la valeur du rayon \(AC\) dans cette formule et obtenez :

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point \(C\) appartenant au cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous réalisiez que \(\cos \ \alpha \) et \(\sin \alpha \) ne sont que des nombres ? À quelle coordonnée correspond \(\cos \alpha \) ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée \(x\) ! Et à quelle coordonnée correspond \(\sin \alpha \) ? C'est vrai, coordonnez \(y\) ! Donc le point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

À quoi sont alors égaux \(tg \alpha \) et \(ctg \alpha \) ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angle (comme adjacent à l'angle \(\beta \) ). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée \(y\) ; la valeur du cosinus de l'angle - coordonnée \(x\) ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe \(x\). Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre – négatif.

Ainsi, nous savons que la révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de \(390()^\circ \) ou de \(-1140()^\circ \) ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ainsi, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dans le deuxième cas, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier), correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre l'angle \(\beta =-60()^\circ \) . La même image correspond au coin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et utilisant cercle unitaire, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(tableau)\)

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin dans \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) correspond à un point de coordonnées \(\left(0;1 \right) \) , donc :

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- n'existe pas;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins de \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondent à des points avec des coordonnées \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \droite) \), respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- n'existe pas

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- n'existe pas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Vous devez vous en souvenir ou être capable de le sortir !! \) !}

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indiqué dans le tableau ci-dessous, vous devez vous rappeler :

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple de mémorisation assez simple des valeurs correspondantes :

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs sinusoïdales pour les trois mesures d'angle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en \(30()^\circ \) . Connaissant ces valeurs \(4\), il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tableau) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Le numérateur "\(1 \)" correspondra à \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) et le dénominateur "\(\sqrt(\text(3)) \)" correspondra à \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser uniquement les valeurs \(4\) du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation ? Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale pour trouver les coordonnées d'un point. Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous donne ce point \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centre du cercle. Le rayon du cercle est \(1.5\) . Il faut trouver les coordonnées du point \(P\) obtenues en faisant pivoter le point \(O\) de \(\delta \) degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée \(x\) du point \(P\) correspond à la longueur du segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longueur du segment \(UK\) correspond à la coordonnée \(x\) du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à \(3\) . La longueur du segment \(KQ\) peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Alors on a que pour le point \(P\) la coordonnée \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

En utilisant la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y du point \(P\) . Ainsi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tableau) \), Où

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonnées du centre du cercle,

\(r\) - rayon du cercle,

\(\delta \) - angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Tout d’abord, considérons un cercle de rayon 1 et de centre à (0;0). Pour tout αЄR, le rayon 0A peut être tracé de telle sorte que la mesure en radians de l'angle entre 0A et l'axe 0x soit égale à α. Le sens antihoraire est considéré comme positif. Laissez l'extrémité du rayon A avoir les coordonnées (a,b).

Définition du sinus

Définition : Le nombre b, égal à l'ordonnée du rayon unité construit de la manière décrite, est noté sinα et est appelé sinus de l'angle α.

Exemple : sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Définition du cosinus

Définition : Le nombre a, égal à l'abscisse de l'extrémité du rayon unité construit de la manière décrite, est noté cosα et est appelé cosinus de l'angle α.

Exemple : cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ces exemples utilisent la définition du sinus et du cosinus d'un angle en termes de coordonnées de l'extrémité du rayon unité et du cercle unité. Pour une représentation plus visuelle, vous devez tracer un cercle unité et y tracer les points correspondants, puis compter leurs abscisses pour calculer le cosinus et les ordonnées pour calculer le sinus.

Définition de la tangente

Définition : La fonction tgx=sinx/cosx pour x≠π/2+πk, kЄZ, est appelée la cotangente de l'angle x. Domaine fonctions tgx ce sont tous des nombres réels, sauf x=π/2+πn, nЄZ.

Exemple : tg0 tgπ = 0 0 = 0

Cet exemple est similaire au précédent. Pour calculer la tangente d'un angle, il faut diviser l'ordonnée d'un point par son abscisse.

Définition de cotangente

Définition : La fonction ctgx=cosx/sinx pour x≠πk, kЄZ est appelée cotangente de l'angle x. Le domaine de définition de la fonction ctgx = est constitué de tous les nombres réels sauf les points x=πk, kЄZ.

Regardons un exemple utilisant un triangle rectangle régulier

Pour clarifier ce que sont le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente. Regardons un exemple utilisant un triangle rectangle régulier d'angle y et côtés a,b,c. Hypoténuse c, pattes a et b respectivement. L'angle entre l'hypoténuse c et la jambe b y.

Définition: Le sinus de l'angle y est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse : siny = a/c

Définition: Le cosinus de l'angle y est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse : cosy = v/c

Définition: La tangente de l'angle y est le rapport du côté opposé au côté adjacent : tgy = a/b

Définition: La cotangente de l'angle y est le rapport du côté adjacent au côté opposé : ctgy= in/a

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont également appelés fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente.

On pense que si on nous donne un angle, alors son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente nous sont connus ! Et vice versa. Étant donné respectivement un sinus ou toute autre fonction trigonométrique, nous connaissons l’angle. Même des tableaux spéciaux ont été créés dans lesquels les fonctions trigonométriques sont écrites pour chaque angle.

La trigonométrie, en tant que science, est originaire de l'Orient ancien. Les premiers rapports trigonométriques ont été dérivés par des astronomes pour créer un calendrier et une orientation précis par les étoiles. Ces calculs concernaient la trigonométrie sphérique, tandis que dans les cours scolaires, ils étudiaient le rapport des côtés et des angles d'un triangle plan.

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des propriétés des fonctions trigonométriques et des relations entre les côtés et les angles des triangles.

À l'apogée de la culture et de la science, au 1er millénaire après JC, la connaissance s'est répandue de l'Orient ancien jusqu'en Grèce. Mais les principales découvertes de la trigonométrie sont le mérite des hommes du Califat arabe. En particulier, le scientifique turkmène al-Marazwi a introduit des fonctions telles que la tangente et la cotangente et a compilé les premiers tableaux de valeurs pour les sinus, les tangentes et les cotangentes. Les concepts de sinus et de cosinus ont été introduits par des scientifiques indiens. La trigonométrie a reçu beaucoup d'attention dans les œuvres de grandes figures de l'Antiquité comme Euclide, Archimède et Ératosthène.

Grandeurs de base de la trigonométrie

Les fonctions trigonométriques de base d'un argument numérique sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Chacun d'eux a son propre graphe : sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Les formules de calcul des valeurs de ces grandeurs sont basées sur le théorème de Pythagore. Elle est mieux connue des écoliers dans la formulation : « Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions », puisque la preuve en est donnée à l'aide de l'exemple d'un triangle rectangle isocèle.

Les relations sinus, cosinus et autres établissent la relation entre les angles aigus et les côtés de tout triangle rectangle. Présentons les formules de calcul de ces quantités pour l'angle A et traçons les relations entre les fonctions trigonométriques :

Comme vous pouvez le voir, tg et ctg sont fonctions inverses. Si nous imaginons la jambe a comme le produit du sin A et de l'hypoténuse c, et la jambe b comme cos A * c, nous obtenons les formules suivantes pour la tangente et la cotangente :

Cercle trigonométrique

Graphiquement, la relation entre les quantités mentionnées peut être représentée comme suit :

Le cercle, dans ce cas, représente toutes les valeurs possibles de l'angle α - de 0° à 360°. Comme le montre la figure, chaque fonction prend une valeur négative ou valeur positive en fonction de la taille de l'angle. Par exemple, sin α aura le signe « + » si α appartient aux 1er et 2ème quarts du cercle, c'est-à-dire qu'il est compris entre 0° et 180°. Pour α de 180° à 360° (quarts III et IV), sin α ne peut être qu'une valeur négative.

Essayons de construire des tableaux trigonométriques pour des angles spécifiques et découvrons la signification des quantités.

Les valeurs de α égales à 30°, 45°, 60°, 90°, 180° etc. sont appelées cas particuliers. Les valeurs des fonctions trigonométriques correspondantes sont calculées et présentées sous forme de tableaux spéciaux.

Ces angles n'ont pas été choisis au hasard. La désignation π dans les tableaux correspond aux radians. Rad est l'angle auquel la longueur d'un arc de cercle correspond à son rayon. Cette valeur a été introduite afin d'établir une dépendance universelle : lors du calcul en radians, la longueur réelle du rayon en cm n'a pas d'importance.

Les angles dans les tableaux des fonctions trigonométriques correspondent aux valeurs en radians :

Il n’est donc pas difficile de deviner que 2π est un cercle complet ou 360°.

Propriétés des fonctions trigonométriques : sinus et cosinus

Afin de considérer et de comparer les propriétés fondamentales du sinus et du cosinus, de la tangente et de la cotangente, il est nécessaire de dessiner leurs fonctions. Cela peut être réalisé sous la forme d'une courbe située dans un système de coordonnées bidimensionnel.

Considérez le tableau comparatif des propriétés du sinus et du cosinus :

Déterminer si une fonction est paire ou non est très simple. Il suffit d'imaginer un cercle trigonométrique avec les signes des grandeurs trigonométriques et de « plier » mentalement le graphique par rapport à l'axe OX. Si les signes coïncident, la fonction est paire, sinon elle est impaire.

L’introduction des radians et l’énumération des propriétés fondamentales des ondes sinusoïdales et cosinusoïdales nous permettent de présenter le schéma suivant :

Il est très simple de vérifier que la formule est correcte. Par exemple, pour x = π/2, le sinus est 1, tout comme le cosinus de x = 0. La vérification peut être effectuée en consultant des tableaux ou en traçant des courbes de fonctions pour des valeurs données.

Propriétés des tangentsoïdes et des cotangentsoïdes

Les graphiques des fonctions tangente et cotangente diffèrent considérablement des fonctions sinus et cosinus. Les valeurs tg et ctg sont réciproques l'une de l'autre.

1. Y = bronzage x.
2. La tangente tend vers les valeurs de y en x = π/2 + πk, mais ne les atteint jamais.
3. La plus petite période positive de la tangentoïde est π.
4. Tg (- x) = - tg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
5. Tg x = 0, pour x = πk.
6. La fonction augmente.
7. Tg x › 0, pour x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pour x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Dérivée (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Considérez l'image graphique du cotangentoïde ci-dessous dans le texte.

Principales propriétés des cotangentoïdes :

1. Y = lit bébé x.
2. Contrairement aux fonctions sinus et cosinus, dans la tangentoïde Y peut prendre les valeurs de l'ensemble de tous les nombres réels.
3. Le cotangentoïde tend vers les valeurs de y en x = πk, mais ne les atteint jamais.
4. La plus petite période positive d'un cotangentoïde est π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
6. Ctg x = 0, pour x = π/2 + πk.
7. La fonction est décroissante.
8. Ctg x › 0, pour x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pour x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Dérivée (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Correct

Sinus l'angle aigu α d'un triangle rectangle est le rapport opposé jambe à l'hypoténuse.
Il est noté ainsi : sin α.

Cosinus L'angle aigu α d'un triangle rectangle est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.
Il est désigné ainsi : cos α.

Tangente L'angle aigu α est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Il est désigné ainsi : tg α.

Cotangente L'angle aigu α est le rapport du côté adjacent au côté opposé.
Il est désigné ainsi : ctg α.

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle dépendent uniquement de la taille de l'angle.

Règles:

Basique identités trigonométriques dans un triangle rectangle :

(α – angle aigu opposé à la jambe b et adjacent à la jambe un . Côté Avec – l'hypoténuse. β – deuxième angle aigu).

À mesure que l'angle aigu augmentepéché α ettan α augmente, etcos α diminue.

Pour tout angle aigu α :

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Exemple-explication:

Soit un triangle rectangle ABC
AB = 6,
BC = 3,
angle A = 30º.

Découvrons le sinus de l'angle A et le cosinus de l'angle B.

Solution .

1) Tout d'abord, on trouve la valeur de l'angle B. Tout est simple ici : puisque dans un triangle rectangle la somme des angles aigus est de 90º, alors l'angle B = 60º :

B = 90º – 30º = 60º.

2) Calculons le péché A. Nous savons que le sinus est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Pour l'angle A jambe opposée est le côté du soleil. Donc:

avant JC 3 1
péché A = -- = - = -
AB 6 2

3) Calculons maintenant cos B. Nous savons que le cosinus est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse. Pour l’angle B, la branche adjacente est du même côté BC. Cela signifie que nous devons à nouveau diviser BC par AB, c'est-à-dire effectuer les mêmes actions que lors du calcul du sinus de l'angle A :

avant JC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2

Le résultat est:
péché A = cos B = 1/2.

péché 30º = cos 60º = 1/2.

Il s'ensuit que dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au cosinus d'un autre angle aigu - et vice versa. C’est exactement ce que signifient nos deux formules :
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Assurons-nous encore de cela :

1) Soit α = 60º. En substituant la valeur de α dans la formule sinusoïdale, nous obtenons :
péché (90º – 60º) = cos 60º.
péché 30º = cos 60º.

2) Soit α = 30º. En substituant la valeur de α dans la formule du cosinus, nous obtenons :
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = péché 30º.

(Pour plus d'informations sur la trigonométrie, voir la section Algèbre)