Résoudre des systèmes d'inégalités sur la droite numérique. Résoudre les inégalités. Disponible sur comment résoudre les inégalités

Programme de résolution linéaire, quadratique et inégalités fractionnaires non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de résolution pour tester les connaissances en mathématiques et/ou en algèbre.

De plus, si dans le processus de résolution de l'une des inégalités, il est nécessaire de résoudre, par exemple, une équation quadratique, alors sa solution détaillée est également affichée (elle est contenue dans un spoiler).

Ce programme peut être utile aux élèves du secondaire pour se préparer à essais, aux parents pour surveiller les solutions de leurs enfants aux inégalités.

Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation aux tests et examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, pour que les parents contrôlent la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Règles de saisie des inégalités

N'importe quelle lettre latine peut servir de variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, nombres fractionnaires peut être saisi non seulement sous forme décimale, mais également sous forme de fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire peut être séparée de la partie entière par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x^2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5a +1/7a^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Vous pouvez utiliser des parenthèses lors de la saisie d'expressions. Dans ce cas, lors de la résolution des inégalités, les expressions sont d'abord simplifiées.
Par exemple: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Sélectionnez le signe d'inégalité souhaité et saisissez les polynômes dans les champs ci-dessous.

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Un peu de théorie.

Systèmes d'inégalités à une inconnue. Intervalles numériques

Vous vous êtes familiarisé avec le concept de système en 7e et avez appris à résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues. Nous considérerons ensuite les systèmes inégalités linéaires avec une inconnue. Des ensembles de solutions à des systèmes d'inégalités peuvent être écrits à l'aide d'intervalles (intervalles, demi-intervalles, segments, rayons). Vous vous familiariserez également avec la notation des intervalles numériques.

Si dans les inégalités \(4x > 2000\) et \(5x \leq 4000\) l'inconnu x est le même, alors ces inégalités sont considérées ensemble et on dit qu'elles forment un système d'inégalités : $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

L'accolade montre que vous devez trouver des valeurs de x pour lesquelles les deux inégalités du système se transforment en inégalités numériques correctes. Ce système est un exemple de système d'inégalités linéaires à une inconnue.

La solution d'un système d'inégalités à une inconnue est la valeur de l'inconnue à laquelle toutes les inégalités du système se transforment en véritables inégalités numériques. Résoudre un système d’inégalités, c’est trouver toutes les solutions à ce système ou établir qu’il n’y en a pas.

Les inégalités \(x \geq -2 \) et \(x \leq 3 \) peuvent s'écrire sous la forme d'une double inégalité : \(-2 \leq x \leq 3 \).

Les solutions aux systèmes d'inégalités à une inconnue sont divers ensembles numériques. Ces ensembles ont des noms. Ainsi, sur l'axe des nombres, l'ensemble des nombres x tels que \(-2 \leq x \leq 3 \) est représenté par un segment dont les extrémités sont aux points -2 et 3.

Si \(a est un segment et est noté [a; b]

Si \(a est un intervalle et est noté (a; b)

Les ensembles de nombres \(x\) satisfaisant les inégalités \(a \leq x sont des demi-intervalles et sont notés respectivement [a; b) et (a; b]

Les segments, intervalles, demi-intervalles et rayons sont appelés intervalles numériques.

Ainsi, les intervalles numériques peuvent être spécifiés sous forme d'inégalités.

La solution d’une inégalité à deux inconnues est une paire de nombres (x; y) qui transforme l’inégalité donnée en une véritable inégalité numérique. Résoudre une inégalité, c’est trouver l’ensemble de toutes ses solutions. Ainsi, les solutions de l'inégalité x > y seront, par exemple, des couples de nombres (5 ; 3), (-1 ; -1), puisque \(5 \geq 3 \) et \(-1 \geq - 1\)

Résoudre les systèmes d’inégalités

Vous avez déjà appris à résoudre des inégalités linéaires à une inconnue. Savez-vous ce qu’est un système d’inégalités et une solution au système ? Par conséquent, le processus de résolution de systèmes d'inégalités à une inconnue ne vous posera aucune difficulté.

Et pourtant, rappelons-le : pour résoudre un système d'inégalités, il faut résoudre chaque inégalité séparément, puis trouver l'intersection de ces solutions.

Par exemple, le système originel d’inégalités a été réduit à la forme :
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Pour résoudre ce système d'inégalités, marquez la solution de chaque inégalité sur la droite numérique et trouvez leur intersection :

L'intersection est le segment [-2; 3] - c'est la solution au système originel d'inégalités.

Cet article fournit des premières informations sur les systèmes d’inégalités. Voici une définition d’un système d’inégalités et une définition d’une solution à un système d’inégalités. Les principaux types de systèmes avec lesquels il faut le plus souvent travailler dans les cours d'algèbre à l'école sont également répertoriés et des exemples sont donnés.

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce qu'un système d'inégalités ?

Il est pratique de définir les systèmes d'inégalités de la même manière que nous avons introduit la définition d'un système d'équations, c'est-à-dire par le type de notation et la signification qui y est incorporée.

Définition.

Système d'inégalités est un enregistrement qui représente un certain nombre d'inégalités écrites les unes en dessous des autres, réunies à gauche par une accolade, et désigne l'ensemble de toutes les solutions qui sont simultanément des solutions à chaque inégalité du système.

Donnons un exemple de système d'inégalités. Prenons deux arbitraires, par exemple 2 x−3>0 et 5−x≥4 x−11, écrivons-les l'un en dessous de l'autre
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
et s'unir à un signe système - une accolade, nous obtenons ainsi un système d'inégalités de la forme suivante :

Une idée similaire est avancée à propos des systèmes d’inégalités dans les manuels scolaires. Il convient de noter que leurs définitions sont données de manière plus étroite : pour les inégalités à une variable ou avec deux variables.

Principaux types de systèmes d'inégalités

Il est clair qu'on peut composer une infinité de divers systèmes inégalités Afin de ne pas se perdre dans cette diversité, il convient de les considérer en groupes qui ont leurs propres caractéristiques. Tous les systèmes d'inégalités peuvent être divisés en groupes selon les critères suivants :

• par le nombre d'inégalités dans le système ;
• par le nombre de variables impliquées dans l'enregistrement ;
• par le type d’inégalités elles-mêmes.

En fonction du nombre d'inégalités incluses dans le dossier, on distingue des systèmes de deux, trois, quatre, etc. inégalités Dans le paragraphe précédent, nous avons donné un exemple de système, qui est un système de deux inégalités. Montrons un autre exemple d'un système de quatre inégalités .

Séparément, nous dirons qu'il ne sert à rien de parler d'un système d'une seule inégalité, dans ce cas, essentiellement nous parlons de sur l’inégalité elle-même, pas sur le système.

Si vous regardez le nombre de variables, alors il existe des systèmes d'inégalités avec un, deux, trois, etc. variables (ou, comme on dit aussi, inconnues). Regardez le dernier système d’inégalités écrit deux paragraphes plus haut. C'est un système à trois variables x, y et z. Veuillez noter que ses deux premières inégalités ne contiennent pas les trois variables, mais une seule d'entre elles. Dans le contexte de ce système, elles doivent être comprises comme des inégalités à trois variables de la forme x+0·y+0·z≥−2 et 0·x+y+0·z≤5 respectivement. A noter que l'école se concentre sur les inégalités à une variable.

Il reste à discuter des types d’inégalités impliqués dans les systèmes d’enregistrement. À l'école, ils considèrent principalement des systèmes de deux inégalités (moins souvent - trois, encore moins souvent - quatre ou plus) avec une ou deux variables, et les inégalités elles-mêmes sont généralement des inégalités entières premier ou deuxième degré (moins souvent - plus diplômes élevés ou fractionnairement rationnel). Mais ne soyez pas surpris si, dans votre matériel de préparation à l'examen d'État unifié, vous rencontrez des systèmes d'inégalités contenant des inégalités irrationnelles, logarithmiques, exponentielles et autres. A titre d'exemple, nous donnons le système d'inégalités , il est tiré de .

Quelle est la solution à un système d’inégalités ?

Introduisons une autre définition liée aux systèmes d'inégalités - la définition d'une solution à un système d'inégalités :

Définition.

Résoudre un système d'inégalités avec une variable s'appelle une telle valeur d'une variable qui transforme chacune des inégalités du système en vraie, en d'autres termes, c'est une solution à chaque inégalité du système.

Expliquons avec un exemple. Prenons un système de deux inégalités à une variable. Prenons la valeur de la variable x égale à 8, c'est une solution de notre système d'inégalités par définition, puisque sa substitution dans les inégalités du système donne deux inégalités numériques correctes 8>7 et 2−3·8≤0. Au contraire, l’unité n’est pas une solution du système, puisque lorsqu’elle est substituée à la variable x, la première inégalité se transformera en l’inégalité numérique incorrecte 1>7.

De même, on peut introduire la définition d'une solution à un système d'inégalités à deux, trois et un grand nombre variables :

Définition.

Résoudre un système d'inégalités avec deux, trois, etc. variables appelé une paire, trois, etc. valeurs de ces variables, qui en même temps est une solution à chaque inégalité du système, c'est-à-dire transforme chaque inégalité du système en une inégalité numérique correcte.

Par exemple, une paire de valeurs x=1, y=2 ou dans une autre notation (1, 2) est une solution d'un système d'inégalités à deux variables, puisque 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Les systèmes d’inégalités peuvent n’avoir aucune solution, peuvent avoir un nombre fini de solutions ou peuvent avoir un nombre infini de solutions. On parle souvent d’un ensemble de solutions à un système d’inégalités. Lorsqu’un système n’a pas de solutions, il existe alors un ensemble vide de ses solutions. Lorsqu’il existe un nombre fini de solutions, alors l’ensemble des solutions contient un nombre fini d’éléments, et lorsqu’il existe une infinité de solutions, alors l’ensemble des solutions est constitué d’un nombre infini d’éléments.

Certaines sources introduisent des définitions d'une solution particulière et générale à un système d'inégalités, comme par exemple dans les manuels de Mordkovitch. Sous solution privée du système d'inégalités comprendre sa seule décision. À son tour solution générale au système d'inégalités- ce sont toutes ses décisions privées. Cependant, ces termes n’ont de sens que lorsqu’il est nécessaire de souligner spécifiquement de quel type de solution nous parlons, mais cela ressort généralement déjà du contexte, et bien plus souvent ils disent simplement « une solution à un système d’inégalités ».

Des définitions d'un système d'inégalités et de ses solutions introduites dans cet article, il s'ensuit qu'une solution d'un système d'inégalités est l'intersection des ensembles de solutions de toutes les inégalités de ce système.

Bibliographie.

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3. Mordkovitch A.G. Algèbre. 9e année. À 14h Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovitch, P. V. Semenov. - 13e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2011. - 222 p. : ill. ISBN978-5-346-01752-3.
4. Mordkovitch A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.
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Dans l'article, nous considérerons résoudre les inégalités. Nous vous expliquerons clairement comment construire une solution aux inégalités, avec des exemples clairs !

Avant d’envisager de résoudre les inégalités à l’aide d’exemples, comprenons les concepts de base.

Informations générales sur les inégalités

Inégalité est une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par des signes de relation >, . Les inégalités peuvent être à la fois numériques et littérales.
Les inégalités avec deux signes du rapport sont appelées doubles, avec trois - triples, etc. Par exemple:
une(x) > b(x),
une(x) une(x) b(x),
une(x)b(x).
a(x) Les inégalités contenant le signe > ou ou - ne sont pas strictes.
Résoudre les inégalités est n'importe quelle valeur de la variable pour laquelle cette inégalité sera vraie.
"Résoudre les inégalités" signifie qu'il faut trouver l'ensemble de toutes ses solutions. Il existe différentes méthodes pour résoudre les inégalités. Pour solutions aux inégalités Ils utilisent la droite numérique, qui est infinie. Par exemple, solution aux inégalités x > 3 est l'intervalle de 3 à +, et le nombre 3 n'est pas inclus dans cet intervalle, donc le point sur la ligne est désigné par un cercle vide, car l'inégalité est stricte.
+
La réponse sera : x (3 ; +).
La valeur x=3 n'est pas incluse dans l'ensemble de solutions, la parenthèse est donc ronde. Le signe infini est toujours mis en évidence par une parenthèse. Le signe signifie « appartenance ».
Voyons comment résoudre les inégalités à l'aide d'un autre exemple avec un signe :
x2
-+
La valeur x=2 est incluse dans l'ensemble des solutions, donc la parenthèse est carrée et le point sur la ligne est indiqué par un cercle plein.
La réponse sera : x.

4. Résolvez le système

D’où peut venir la deuxième inégalité du système ? Par exemple, à partir de l'inégalité

Désignons graphiquement les solutions de chaque inégalité et trouvons l'intervalle de leur intersection.

Ainsi, si nous avons un système dans lequel l’une des inégalités satisfait n’importe quelle valeur de x, alors elle peut être éliminée.

Réponse : le système est contradictoire.

Nous avons examiné des problèmes de support typiques auxquels peut être réduite la solution de tout système linéaire d'inégalités.

Considérons le système suivant.

7.

Parfois, un système linéaire est donné par une double inégalité ; considérons ce cas.

8.

Nous avons examiné des systèmes d'inégalités linéaires, compris d'où elles viennent, examiné des systèmes standards auxquels tous systèmes linéaires, et j'en ai résolu certains.

1. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : manuel. Pour l'enseignement général Institutions.- 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-192 p. : ill.

2. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008.

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1. Portail des sciences naturelles ().

2. Complexe pédagogique et méthodologique électronique pour préparer les classes 10-11 aux examens d'entrée en informatique, mathématiques, langue russe ().

4. Centre éducatif « Enseignement de la technologie » ().

5. Section College.ru sur les mathématiques ().

1. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill. N° 53 ; 54 ; 56 ; 57.