Méthodes de résolution d'un système d'équations. La matrice et ses variétés. Options pour trouver la matrice inverse

L'article introduit le concept de définition d'un système d'équations et de sa solution. Des cas de solutions système fréquemment rencontrés seront pris en compte. Les exemples fournis aideront à expliquer la solution en détail.

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Définition d'un système d'équations

Pour passer à la définition d'un système d'équations, il faut faire attention à deux points : le type d'enregistrement et sa signification. Pour comprendre cela, il faut s'attarder en détail sur chacun des types, puis parvenir à la définition des systèmes d'équations.

Par exemple, prenons deux équations 2 x + y = − 3 et x = 5, puis combinons-les avec une accolade comme ceci :

2 x + y = - 3, x = 5.

Les équations reliées par des accolades sont considérées comme des enregistrements de systèmes d'équations. Ils définissent des ensembles de solutions aux équations d'un système donné. Chaque décision doit être la décision de chacun équations données.

En d’autres termes, cela signifie que toute solution à la première équation sera la solution de toutes les équations combinées par le système.

Définition 1

Systèmes d'équations- il s'agit d'un certain nombre d'équations, réunies par une accolade, ayant de nombreuses solutions aux équations, qui sont simultanément des solutions pour l'ensemble du système.

Principaux types de systèmes d'équations

Il existe de nombreux types d'équations, ainsi que des systèmes d'équations. Afin de faciliter leur résolution et leur étude, ils sont divisés en groupes selon certaines caractéristiques. Cela aidera à considérer les systèmes d'équations de types individuels.

Pour commencer, les équations sont classées selon le nombre d'équations. S'il n'y a qu'une seule équation, alors c'est équation ordinaire, s'il y en a plus, nous avons alors affaire à un système composé de deux ou plusieurs équations.

Une autre classification concerne le nombre de variables. Lorsque le nombre de variables est 1, on dit que nous avons affaire à un système d’équations à une inconnue, alors que 2 – à deux variables. Regardons un exemple

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Évidemment, le système d'équations comprend deux variables x et y.

Lors de l'écriture de telles équations, le nombre de toutes les variables présentes dans l'enregistrement est compté. Leur présence dans chaque équation n'est pas nécessaire. Au moins une équation doit avoir une variable. Considérons un exemple de système d'équations

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Ce système a 3 variables x, y, z. La première équation a un x explicite et un y et un z implicites. Les variables implicites sont celles qui ont un coefficient de 0. La deuxième équation a x et z, et y est une variable implicite. Sinon ça peut s'écrire comme ça

2 x + 0 oui + 0 z = 11

Et l'autre équation est x + 0 · y − 3 · z = 0.

La troisième classification des équations est le type. Ils ont lieu à l'école équations simples et les systèmes d'équations, en commençant par les systèmes de deux équations linéaires avec deux variables . Cela signifie que le système comprend 2 équations linéaires. Par exemple, considérons

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 et - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 oui = 0

Ce sont les équations linéaires de base les plus simples. Ensuite, vous pouvez rencontrer des systèmes contenant 3 inconnues ou plus.

En 9e année, ils résolvent des équations à deux variables et des équations non linéaires. Dans les équations entières, le degré augmente pour augmenter la complexité. De tels systèmes sont appelés systèmes d'équations non linéaires avec un certain nombre d'équations et d'inconnues. Regardons des exemples de tels systèmes

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 et x = y 3 x y = - 5

Les deux sont des systèmes à deux variables et tous deux sont non linéaires.

Lors de la résolution, on peut rencontrer équations rationnelles fractionnaires. Par exemple

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Ils peuvent simplement appeler cela un système d’équations sans préciser lesquelles. Le type de système lui-même est rarement précisé.

Les classes supérieures passent à l'étude des équations irrationnelles, trigonométriques et exponentielles. Par exemple,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Les établissements d'enseignement supérieur étudient et recherchent des solutions aux systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE). Le côté gauche de ces équations contient des polynômes du premier degré et le côté droit contient des nombres. La différence avec ceux de l'école est que le nombre de variables et le nombre d'équations peuvent être arbitraires, le plus souvent ne correspondant pas.

Résolution de systèmes d'équations

Définition 2

Résoudre un système d'équations à deux variables est une paire de variables qui, une fois substituées, transforment chaque équation en une inégalité numérique correcte, c'est-à-dire une solution pour chaque équation d'un système donné.

Par exemple, une paire de valeurs x = 5 et y = 2 sont une solution du système d'équations x + y = 7, x - y = 3. Parce qu'en remplaçant les équations, elles deviennent vraies inégalités numériques 5 + 2 = 7 et 5 − 2 = 3. Si nous substituons la paire x = 3 et y = 0, alors le système ne sera pas résolu, car la substitution ne donnera pas l'équation correcte, à savoir que nous obtiendrons 3 + 0 = 7.

Formulons une définition des systèmes contenant une ou plusieurs variables.

Définition 3

Résoudre un système d'équations à une variable– c'est la valeur de la variable, qui est la racine des équations du système, ce qui signifie que toutes les équations seront converties en égalités numériques correctes.

Considérons l'exemple d'un système d'équations à une variable t

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

Le nombre - 2 est une solution de l'équation, puisque (− 2) · 2 = 4 et 5 · (− 2 + 2) = 0 sont de vraies égalités numériques. À t = 1, le système n'est pas résolu, puisque lors de la substitution on obtient deux égalités incorrectes 12 = 4 et 5 · (1 + 2) = 0.

Définition 4

Résoudre un système avec trois variables ou plus ils appellent respectivement trois, quatre et d'autres valeurs qui transforment toutes les équations du système en égalités correctes.

Si nous avons les valeurs des variables x = 1, y = 2, z = 0, alors en les substituant dans le système d'équations 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, nous obtenons 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 et 1 + 2 + 0 = 3. Cela signifie que ces inégalités numériques sont correctes. Et les valeurs (1, 0, 5) ne seront pas une solution, puisque, après avoir substitué les valeurs, la deuxième d'entre elles sera incorrecte, ainsi que la troisième : 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Les systèmes d'équations peuvent n'avoir aucune solution ou un nombre infini de solutions. Cela peut être vérifié par une étude approfondie de ce sujet. On peut conclure qu'un système d'équations est l'intersection d'ensembles de solutions à toutes ses équations. Développons quelques définitions :

Définition 5

Incompatible un système d'équations est appelé lorsqu'il n'a pas de solutions, sinon il est appelé articulation.

Définition 6

Incertain un système est appelé lorsqu’il a un nombre infini de solutions, et certain avec un nombre fini de solutions ou en leur absence.

De tels termes sont rarement utilisés à l’école, car ils sont destinés aux programmes d’enseignement supérieur. les établissements d'enseignement. La familiarité avec les systèmes équivalents approfondira vos connaissances existantes en matière de résolution de systèmes d'équations.

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Résoudre le système avec deux inconnues - cela signifie trouver toutes les paires de valeurs variables qui satisfont chacune des équations données. Chacune de ces paires est appelée solution système.

Exemple:
La paire de valeurs \(x=3\);\(y=-1\) est une solution au premier système, car en substituant ces trois et moins un dans le système au lieu de \(x\) et \ (y\), les deux équations deviendront les égalités correctes \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( cas)\)

Mais \(x=1\); \(y=-2\) - n'est pas une solution du premier système, car après substitution la deuxième équation « ne converge pas » \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Notez que ces paires sont souvent écrites plus courtes : au lieu de "\(x=3\); \(y=-1\)", elles écrivent comme ceci : \((3;-1)\).

Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Il existe trois manières principales de résoudre des systèmes d'équations linéaires :

1. Méthode de substitution.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cas)\)\(\Leftrightarrow\)

Remplacez l'expression résultante à la place de cette variable dans une autre équation du système.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Dans la deuxième équation, chaque terme est pair, nous simplifions donc l’équation en la divisant par \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Ce système peut être résolu de l'une des manières suivantes, mais il me semble que la méthode de substitution est ici la plus pratique. Exprimons y à partir de la deuxième équation.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Remplaçons \(6x-13\) au lieu de \(y\) dans la première équation.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   La première équation est devenue une équation ordinaire. Résolvons-le.

   Tout d’abord, ouvrons les parenthèses.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Déplaçons \(117\) vers la droite et présentons des termes similaires.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Divisons les deux côtés de la première équation par \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hourra, nous avons trouvé \(x\) ! Remplaçons sa valeur dans la deuxième équation et trouvons \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Écrivons la réponse.

La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important d'un cours d'algèbre linéaire. Un grand nombre de problèmes dans toutes les branches des mathématiques se résument à la résolution de systèmes d'équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

• choisissez la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résolvez votre système d'équations linéaires en considérant des solutions détaillées à des exemples et des problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d’abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, et troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (la méthode d'élimination séquentielle de variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires vue générale, dans lequel le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous examinerons les systèmes d'équations qui peuvent être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que divers problèmes dans la solution desquels se posent les SLAE.

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Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - la matrice principale du système, - une matrice colonnes de variables inconnues, - une matrice colonnes de termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations du système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale ne l'est pas égal à zéro, alors nous appellerons ces SLAE élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier ces SLAE au lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à partir d'une matrice à partir d'additions algébriques d'éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste à éliminer séquentiellement les variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue x n dans la dernière équation. Ce processus de transformation des équations du système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la deuxième, multipliée par , à quatrième équation ajoutons la seconde multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation nous ajoutons la seconde multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Nous avons donc appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Le mineur d’ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures ; il y a toujours une base mineure.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


Nous avons donc système élémentaireéquations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant moins de nombre variables inconnues n, puis sur les côtés gauches des équations on laisse les termes qui forment la base mineure, et on transfère les termes restants sur les côtés droits des équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :


C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :


Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :


Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Résolvons le système élémentaire d’équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode que nous connaissons.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. Du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues variables par méthode Cramer, méthode matricielle ou méthode gaussienne.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur cohérence. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Regarde ça Description détaillée et analysé des exemples dans l'article la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices en colonnes de dimension n par 1) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec des coefficients constants arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule définit tout solutions possibles le SLAE d'origine, en d'autres termes, en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), selon la formule nous obtiendrons l'une des solutions du SLAE homogène d'origine.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,...,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,…,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène original, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs ​​0,0,...,0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons . Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues du côté droit des équations, et on transfère les termes à inconnues libres du côté droit :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE consiste en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Le matériel de cet article est destiné à une première connaissance des systèmes d'équations. Nous présenterons ici la définition d'un système d'équations et de ses solutions, et considérerons également les types de systèmes d'équations les plus courants. Comme d'habitude, nous donnerons des exemples explicatifs.

Navigation dans les pages.

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Nous aborderons progressivement la définition du système d'équations. D’abord, disons qu’il convient de le donner en indiquant deux points : d’une part, le type d’enregistrement, et, d’autre part, le sens inscrit dans cet enregistrement. Examinons-les tour à tour, puis généralisons le raisonnement à la définition de systèmes d'équations.

Qu'il y en ait plusieurs devant nous. Par exemple, prenons deux équations 2 x+y=−3 et x=5. Écrivons-les l'un en dessous de l'autre et combinons-les à gauche avec une accolade :

Les enregistrements de ce type, qui sont plusieurs équations disposées en colonne et réunies à gauche par une accolade, sont des enregistrements de systèmes d'équations.

Que signifient de telles entrées ? Ils définissent l'ensemble de toutes ces solutions aux équations du système qui sont une solution à chaque équation.

Cela ne ferait pas de mal de le décrire en d’autres termes. Disons que certaines solutions de la première équation sont des solutions de toutes les autres équations du système. Donc, l'enregistrement système les concerne simplement.

Nous sommes maintenant prêts à accepter adéquatement la définition d'un système d'équations.

Définition.

Systèmes d'équations appeler des enregistrements qui sont des équations situées les unes en dessous des autres, réunies à gauche par une accolade, qui désignent l'ensemble de toutes les solutions aux équations qui sont également des solutions à chaque équation du système.

Une définition similaire est donnée dans le manuel, cependant, elle n'y est pas donnée non pas pour le cas général, mais pour deux équations rationnelles avec deux variables.

Types principaux

Il est clair qu’il existe un nombre infini d’équations différentes. Naturellement, il existe également une infinité de systèmes d’équations compilés à l’aide de ces systèmes. Par conséquent, pour faciliter l'étude et le travail avec des systèmes d'équations, il est logique de les diviser en groupes selon des caractéristiques similaires, puis de passer à l'examen des systèmes d'équations de types individuels.

La première division se suggère par le nombre d'équations incluses dans le système. S'il y a deux équations, alors on peut dire que nous avons un système de deux équations, s'il y en a trois, alors un système de trois équations, etc. Il est clair que cela n'a aucun sens de parler d'un système d'une seule équation, puisque dans ce cas, nous avons essentiellement affaire à l'équation elle-même, et non au système.

La division suivante est basée sur le nombre de variables impliquées dans l'écriture des équations du système. S'il y a une variable, alors nous avons affaire à un système d'équations à une variable (on dit aussi à une inconnue), s'il y en a deux, alors à un système d'équations à deux variables (à deux inconnues), etc. Par exemple, est un système d'équations à deux variables x et y.

Il s'agit du nombre de toutes les différentes variables impliquées dans l'enregistrement. Il n’est pas nécessaire qu’ils soient tous inclus dans l’enregistrement de chaque équation en même temps ; leur présence dans au moins une équation est suffisante. Par exemple, est un système d'équations à trois variables x, y et z. Dans la première équation, la variable x est présente explicitement, et y et z sont implicites (on peut supposer que ces variables ont zéro), et dans la deuxième équation il y a x et z, mais la variable y n'est pas explicitement présentée. En d’autres termes, la première équation peut être considérée comme , et le second – comme x+0·y−3·z=0.

Le troisième point sur lequel les systèmes d’équations diffèrent est le type d’équations eux-mêmes.

À l'école, l'étude des systèmes d'équations commence par systèmes de deux équations linéaires à deux variables. Autrement dit, de tels systèmes constituent deux équations linéaires. Voici quelques exemples: Et . Ils apprennent les bases du travail avec des systèmes d'équations.

Lorsque vous résolvez des problèmes plus complexes, vous pouvez également rencontrer des systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues.

Plus loin en 9e année, des équations non linéaires sont ajoutées aux systèmes de deux équations à deux variables, principalement des équations entières du deuxième degré, moins souvent - plus diplômes élevés. Ces systèmes sont appelés systèmes d'équations non linéaires ; si nécessaire, le nombre d'équations et d'inconnues est précisé. Montrons des exemples de tels systèmes d'équations non linéaires : Et .

Et puis dans les systèmes il y a aussi, par exemple, . On les appelle généralement simplement des systèmes d’équations, sans préciser de quelles équations il s’agit. Il convient de noter ici que le plus souvent, un système d'équations est simplement appelé « système d'équations » et des clarifications ne sont ajoutées que si nécessaire.

Au lycée, au fur et à mesure que la matière est étudiée, les phénomènes irrationnels, trigonométriques, logarithmiques et équations exponentielles : , , .

Si l'on regarde encore plus loin dans le programme universitaire de première année, l'accent est mis sur l'étude et la solution de systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE), c'est-à-dire des équations dans lesquelles les membres de gauche contiennent des polynômes du premier degré, et les côtés droits contiennent certains nombres. Mais là, contrairement à l'école, ils ne prennent plus deux équations linéaires à deux variables, mais un nombre arbitraire d'équations avec un nombre arbitraire de variables, qui souvent ne coïncide pas avec le nombre d'équations.

Quelle est la solution d’un système d’équations ?

Le terme « solution d’un système d’équations » fait directement référence aux systèmes d’équations. A l'école, la définition de la résolution d'un système d'équations à deux variables est donnée :

Définition.

Résoudre un système d'équations à deux variables s'appelle une paire de valeurs de ces variables qui transforme chaque équation du système en la bonne, en d'autres termes, est une solution à chaque équation du système.

Par exemple, une paire de valeurs variables x=5, y=2 (on peut l'écrire sous la forme (5, 2)) est une solution d'un système d'équations par définition, puisque les équations du système, lorsque x= 5, y=2 y sont substitués, se transforment en égalités numériques correctes 5+2=7 et 5−2=3 respectivement. Mais la paire de valeurs x=3, y=0 n'est pas une solution à ce système, car en substituant ces valeurs dans les équations, la première d'entre elles se transformera en l'égalité incorrecte 3+0=7.

Des définitions similaires peuvent être formulées pour les systèmes à une variable, ainsi que pour les systèmes à trois, quatre, etc. variables.

Définition.

Résoudre un système d'équations à une variable il y aura une valeur de la variable qui est la racine de toutes les équations du système, c'est-à-dire transformer toutes les équations en égalités numériques correctes.

Donnons un exemple. Considérons un système d'équations avec une variable t de la forme . Le nombre −2 est sa solution, puisque (−2) 2 =4 et 5·(−2+2)=0 sont de vraies égalités numériques. Et t=1 n'est pas une solution du système, puisque la substitution de cette valeur donnera deux égalités incorrectes 1 2 =4 et 5·(1+2)=0.

Définition.

Résoudre un système avec trois, quatre, etc. variables appelé trois, quatre, etc. valeurs des variables, respectivement, transformant toutes les équations du système en véritables égalités.

Ainsi, par définition, un triplet de valeurs des variables x=1, y=2, z=0 est une solution du système , puisque 2·1=2, 5·2=10 et 1+2+0=3 sont de vraies égalités numériques. Et (1, 0, 5) n'est pas une solution à ce système, car en substituant ces valeurs de variables dans les équations du système, la seconde d'entre elles se transforme en l'égalité incorrecte 5·0=10, et la troisième aussi 1+0+5=3.

Notez que les systèmes d'équations peuvent ne pas avoir de solutions, peuvent avoir un nombre fini de solutions, par exemple une, deux, ..., ou peuvent avoir une infinité de solutions. Vous le constaterez en approfondissant le sujet.

Compte tenu des définitions d'un système d'équations et de leurs solutions, on peut conclure que la solution d'un système d'équations est l'intersection des ensembles de solutions de toutes ses équations.

Pour conclure, voici quelques définitions connexes :

Définition.

non conjoint, s'il n'a pas de solutions, sinon le système est appelé articulation.

Définition.

Le système d'équations s'appelle incertain, s’il a une infinité de solutions, et certain, s'il a un nombre fini de solutions ou s'il n'en a pas du tout.

Ces termes sont introduits, par exemple, dans un manuel scolaire, mais ils sont assez rarement utilisés à l'école et sont plus souvent entendus dans les établissements d'enseignement supérieur.

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Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans le secteur économique pour la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.

Un système d'équations linéaires est constitué de deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.

Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables, il peut y en avoir autant que vous le souhaitez.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et matricielles, la solution par la méthode gaussienne.

La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires du programme de 7e année lycée assez simple et expliqué en détail. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Résolution de systèmes par la méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :

Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et permet d’obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également inappropriée.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution utilisant l'addition algébrique

Lors de la recherche de solutions de systèmes à l'aide de la méthode d'addition, les équations sont ajoutées terme par terme et multipliées par différents nombres. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.

L'application de cette méthode nécessite de la pratique et de l'observation. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.

Algorithme de solution :

1. Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. Par conséquent action arithmétique l'un des coefficients de la variable doit devenir égal à 1.
2. Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
3. Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à l'équation standard trinôme quadratique. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule bien connue : D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant recherché, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes et seront décision générale systèmes.

La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.

Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.

L'exemple suivant nécessite de trouver solution graphique systèmes d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.

Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il faut rappeler qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe.

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un type spécial de tableau rempli de nombres. n*m a n lignes et m colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.

Une matrice inverse est une matrice lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine.

Règles pour convertir un système d'équations en matrice

En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation est une ligne de la matrice.

Une ligne matricielle est dite non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Options pour trouver la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 est la matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux : il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.

Résolution de systèmes par la méthode gaussienne

DANS mathématiques supérieures La méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des variables de systèmes comportant un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions par substitution et addition algébrique, mais est plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Au moyen de transformations algébriques et de substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :

Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.

La méthode Gauss est difficile à comprendre pour les étudiants lycée, mais c'est l'un des plus façons intéressantes développer l’ingéniosité des enfants inscrits dans des programmes d’études avancées en mathématiques et en physique.

Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :

Les coefficients des équations et termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l’équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.

Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.

Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.

L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.