Résoudre les inégalités irrationnelles avec deux exemples de racines. Problèmes sur les systèmes d'inégalités pour une solution indépendante. Quelle façon d'utiliser

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, au moment de choisir la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans toute sa force ! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées ainsi :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle est utilisée comme un transfert de termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Voici les prochains transformations identitaires dans les inégalités diffère significativement de celui dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un exemple clair pour une longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Un mensonge complet ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. Cette règle triviale et simple a fait du mal à tant de gens ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous surveillons attentivement le signe d'inégalité !

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : "Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr !" Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. La première option est l’ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Tracez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe, il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. Dans les tâches plus complexes, l’ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. Bon pour les cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, à intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n’importe quel nombre parmi tous les nombres possibles de moins l’infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond parenthèse immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. Comme celui-ci: ]. L'exemple suivant utilise une telle parenthèse.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de telles notations, l’infini est toujours adjacent à une parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. Dans les résultats intermédiaires, où une solution supplémentaire est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur face à de tels exemples. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques valeurs de 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Il existe un nombre infini de ces couples ! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! N'importe quelle paire de nombres, dont chacun moins d'un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment vous abordez la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des membres, et derrière les pancartes des inégalités...

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite, vous pouvez simplement prendre n’importe quel nombre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le modèle et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

Espérons qu'avec une sélection de valeurs de solution générale tout est clair. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais de telles triples inégalités doivent encore être résolues dans certaines tâches... Elles peuvent être résolues sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il déplacer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

Et la forme complète ressemble à ceci : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celui qui se trouve au milieu de l’inégalité. Soustrayons-en un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Théorie:

Lors de la résolution des inégalités, les règles suivantes sont utilisées :

1. N'importe quel terme de l'inégalité peut être transféré d'une partie
inégalité en une autre de signe opposé, mais le signe de l’inégalité ne change pas.

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés ou divisés par un
et le même nombre positif sans changer le signe d'inégalité.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés ou divisés par un
et le même nombre négatif, en changeant le signe d'inégalité en
opposé.

Résoudre les inégalités − 8 x + 11< − 3 x − 4
Solution.

1. Bougons le pénis − 3 fois du côté gauche de l’inégalité, et le terme 11 - du côté droit de l'inégalité, en changeant les signes pour les signes opposés − 3 fois et à 11 .
Ensuite, nous obtenons

− 8x + 3x< − 4 − 11

− 5x< − 15

2. Divisons les deux côtés de l'inégalité − 5x< − 15 à un nombre négatif − 5 , et le signe d'inégalité < , deviendra > , c'est à dire. on passe à une inégalité de sens inverse.
On a:

− 5x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— solution d'une inégalité donnée.

Faites attention!

Il existe deux options pour écrire une solution : x > 3 ou comme intervalle numérique.

Marquons l'ensemble des solutions à l'inégalité sur la droite numérique et écrivons la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Répondre: x > 3 ou x ∈ (3 ; + ∞ )

Inégalités algébriques.

Inégalités quadratiques. Inégalités rationnelles diplômes supérieurs.

Les méthodes de résolution des inégalités dépendent principalement de la classe à laquelle appartiennent les fonctions qui composent l'inégalité.

1. je. Inégalités quadratiques, c'est-à-dire des inégalités de la forme

hache 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Pour résoudre l’inégalité, vous pouvez :

1. Factorisez le trinôme carré, c'est-à-dire écrivez l'inégalité sous la forme

une (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Tracez les racines du polynôme sur la droite numérique. Les racines divisent l'ensemble des nombres réels en intervalles, dans chacun desquels correspond un fonction quadratique sera de signe constant.
2. Déterminez le signe de a (x - x 1) (x - x 2) dans chaque intervalle et notez la réponse.

Si un trinôme carré n'a pas de racines, alors pour D<0 и a>Le trinôme carré 0 est positif pour tout x.

• Résoudre les inégalités. x2 + x-6 > 0.

Factoriser le trinôme quadratique (x + 3) (x - 2) > 0

Réponse : x (-∞ ; -3) (2 ; +∞).

2) (x-6) 2 > 0

Cette inégalité est vraie pour tout x sauf x = 6.

Réponse : (-∞ ; 6) (6 ; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Ici D< 0, a = 1 >0. Le trinôme carré est positif pour tout x.

Réponse : x Î Ø.

Résoudre les inégalités :

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Réponse :
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Réponse :
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Réponse :
5. Pour quelles valeurs de a l'inégalité

x² - hache > est valable pour n'importe quel x ? Répondre:

1. II. Inégalités rationnelles des diplômes supérieurs, c'est-à-dire des inégalités de la forme

une n x n + une n-1 x n-1 + … + une 1 x + une 0 > 0 (<0), n>2.

Polynôme plus haut degré doit être factorisée, c'est-à-dire que l'inégalité doit être écrite sous la forme

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Marquez les points sur la droite numérique où le polynôme disparaît.

Déterminez les signes du polynôme sur chaque intervalle.

1) Résoudre l'inégalité x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Donc x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Réponse : (0 ; 1) (2 ; 3).

2) Résoudre l'inégalité (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Marquons les points sur l'axe des nombres auxquels le polynôme disparaît. Ce sont x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Au point x = - ½ il n'y a pas de changement de signe car le binôme (2x + 1) est élevé à une puissance paire, c'est-à-dire que l'expression (2x + 1) 4 ne change pas de signe en passant par le point x = - ½.

Réponse : (-∞ ; -2) (½ ; 1).

3) Résoudre l'inégalité : x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Cette inégalité est équivalente à l'ensemble suivant

La solution de (1) est x (-∞; -2) (3; +∞). La solution de (2) est x = 0, x = -2, x = 3. En combinant les solutions obtenues, on obtient x О (-∞; -2] (0) (0) )