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Résolution d'équations trigonométriques homogènes. Équations trigonométriques - formules, solutions, exemples

Vous pouvez commander solution détaillée ta tâche!!!

Une égalité contenant une inconnue sous le signe d'une fonction trigonométrique (« sin x, cos x, tan x » ou « ctg x ») est appelée équation trigonométrique, ce sont leurs formules que nous examinerons plus loin.

Les équations les plus simples sont « sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a », où « x » est l'angle à trouver, « a » est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racines de chacun d'eux.

1. Équation `sin x=a`.

Pour `|a|>1`, il n'a pas de solutions.

Quand `|a| \leq 1` a un nombre infini de solutions.

Formule racine : `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Équation `cos x=a`

Pour `|a|>1` - comme dans le cas du sinus, il n'y a pas de solutions parmi les nombres réels.

Quand `|a| \leq 1` a un nombre infini de solutions.

Formule racine : `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphiques.

3. Équation `tg x=a`

Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Équation `ctg x=a`

Possède également un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de « a ».

Formule racine : `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formules pour les racines des équations trigonométriques dans le tableau

Pour le sinus :
Pour le cosinus :
Pour la tangente et la cotangente :
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses :

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

La résolution de toute équation trigonométrique comprend deux étapes :

avec l'aide de le transformer au plus simple ;
résolvez l'équation la plus simple obtenue en utilisant les formules de racine et les tableaux écrits ci-dessus.

Examinons les principales méthodes de solution à l'aide d'exemples.

Méthode algébrique.

Cette méthode consiste à remplacer une variable et à la substituer par une égalité.

Exemple. Résolvez l'équation : `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faites un remplacement : `cos(x+\frac \pi 6)=y`, puis `2y^2-3y+1=0`,

on retrouve les racines : `y_1=1, y_2=1/2`, d'où découlent deux cas :

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Réponse : `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorisation.

Exemple. Résolvez l'équation : `sin x+cos x=1`.

Solution. Déplaçons tous les termes de l'égalité vers la gauche : `sin x+cos x-1=0`. En utilisant , nous transformons et factorisons le membre de gauche :

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réponse : `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Réduction à une équation homogène

Tout d’abord, vous devez réduire cette équation trigonométrique à l’une des deux formes suivantes :

`a sin x+b cos x=0` (équation homogène du premier degré) ou `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (équation homogène du deuxième degré).

Divisez ensuite les deux parties par `cos x \ne 0` - pour le premier cas, et par `cos^2 x \ne 0` - pour le second. Nous obtenons des équations pour `tg x` : `a tg x+b=0` et `a tg^2 x + b tg x +c =0`, qui doivent être résolues à l'aide de méthodes connues.

Exemple. Résolvez l'équation : `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Solution. Écrivons le côté droit comme `1=sin^2 x+cos^2 x` :

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Il s'agit d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré, on divise ses côtés gauche et droit par `cos^2 x \ne 0`, on obtient :

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2x+tgx — 2=0`. Introduisons le remplacement `tg x=t`, résultant en `t^2 + t - 2=0`. Les racines de cette équation sont « t_1=-2 » et « t_2=1 ». Alors:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Passer au demi-angle

Exemple. Résolvez l'équation : « 11 sin x - 2 cos x = 10 ».

Solution. Appliquons les formules du double angle, ce qui donne : `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

En appliquant la méthode algébrique décrite ci-dessus, on obtient :

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduction de l'angle auxiliaire

Dans l'équation trigonométrique « a sin x + b cos x = c », où a,b,c sont des coefficients et x est une variable, divisez les deux côtés par « sqrt (a^2+b^2) » :

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, à savoir que la somme de leurs carrés est égale à 1 et que leurs modules ne sont pas supérieurs à 1. Notons-les ainsi : `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, alors :

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Regardons de plus près l'exemple suivant :

Exemple. Résolvez l'équation : `3 sin x+4 cos x=2`.

Solution. Divisez les deux côtés de l'égalité par `sqrt (3^2+4^2)`, nous obtenons :

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 péché x+4/5 cos x=2/5`.

Notons `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Puisque `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, alors nous prenons `\varphi=arcsin 4/5` comme angle auxiliaire. Ensuite nous écrivons notre égalité sous la forme :

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, on écrit notre égalité sous la forme suivante :

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Répondre. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Équations trigonométriques rationnelles fractionnaires

Ce sont des égalités avec des fractions dont les numérateurs et dénominateurs contiennent des fonctions trigonométriques.

Exemple. Résous l'équation. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solution. Multipliez et divisez le côté droit de l'égalité par « (1+cos x) ». En conséquence nous obtenons :

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Considérant que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, on obtient `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Assumons le numérateur de la fraction à zéro : `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Alors `sin x=0` ou `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Étant donné que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, les solutions sont `x=2\pi n, n \in Z` et `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Répondre. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. Les études commencent en 10e année, il y a toujours des tâches pour l'examen d'État unifié, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules des équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles !

Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est d'en comprendre l'essence et de pouvoir la dériver. Ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.

Enseignant : Sinitsina S.I.

Lycée MBOU n°20 du nom de N.I. Milevsky

Sujet : Équations trigonométriques homogènes (10e année)

Objectifs : Introduire la notion d'équations trigonométriques homogènes de degré I et II ;

Formuler et élaborer un algorithme pour résoudre des problèmes trigonométriques homogènes

équations de degrés I et II ;

Renforcer les compétences de résolution de tous types d'équations trigonométriques grâce à

développement et amélioration des compétences pour appliquer les connaissances existantes dans un contexte modifié

situations, grâce à la capacité de tirer des conclusions et de généraliser

Inculquer la propreté et une culture du comportement aux étudiants.

Type de cours : cours sur la formation de nouvelles connaissances.

Équipement : ordinateur, projecteur multimédia, écran, tableau, présentation

Pendant les cours

I. Moment organisationnel

Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.

II. Actualisation des connaissances de référence (Devoirs vérifié par des consultants avant le cours. Le professeur résume les devoirs.)

Enseignant : Nous continuons à étudier le sujet « Équations trigonométriques ». Aujourd'hui, dans la leçon, nous vous présenterons un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et nous répéterons donc ce que nous avons appris. Lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, ils en sont réduits à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Travail oral

Quelle équation appelle-t-on trigonométrique ?
Nommez l'algorithme pour résoudre l'équation cos t = a
Nommez l'algorithme pour résoudre l'équation sin t = a

III. Motivation pour l'apprentissage.

Enseignant : nous devons travailler à résoudre des mots croisés. Après l'avoir résolu, nous découvrirons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui en classe.

Les questions sont projetées au tableau. Après avoir résolu les mots croisés, les enfants liront le mot « homogène ».

1.Valeur de la variable qui rend l’équation vraie ? (Racine)

2.Unité d'angles ? (Radian)

3.Facteur numérique dans le produit ? (Coefficient)

4. Branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)

5. Quel modèle mathématique est nécessaire pour l'introduction fonctions trigonométriques?(Cercle)

6. Quelle fonction trigonométrique est paire ? (Cosinus)

7.Comment s’appelle une véritable égalité ? (Identité)

8.Égalité avec une variable ? (Équations)

9. Des équations qui ont les mêmes racines ? (équivalent)

10. Combien de racines une équation a-t-elle ? (Solution)

IV. Explication d'un nouveau sujet

Enseignant : Le sujet de la leçon est « Équations trigonométriques homogènes ».

Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du deuxième degré.

Écrivons la définition d'une équation homogène du premier degré. Je montre un exemple de résolution de ce type d'équation : vous créez un algorithme pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Équation de la forme a sinx + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Considérons la résolution de l'équation lorsque les coefficients a et b sont différents de 0.

Exemple 1: 2sinx - 3cosx = 0

En divisant les deux côtés de l'équation terme par terme par cosx, on obtient

2sinx/ cosx - 3cosx/ cosx = 0

2 tg X-3 =0, tg X =3/2, X= arctan3/2 + πn, nє Z,

Attention! Vous pouvez diviser par la même expression uniquement si cette expression ne devient nulle part 0. Analysons. Si le cosinus est égal à 0, alors pour que l'expression entière devienne 0, le sinus doit également être égal à 0 (on tient compte du fait que les coefficients sont différents de 0). Mais nous savons que le sinus et le cosinus disparaissent à divers points. Par conséquent, une telle opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d’équations.

Équation de la forme un péché mx + b cos mx = 0 est également appelée équation trigonométrique homogène du premier degré et est également résolue en divisant les deux côtés de l'équation par cos mх.

Équation de la forme un péché 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

Exemple2: péché 2 x – 3 sinx cosx +2 cos 2 x = 0

Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme dans l'équation précédente, cosx 0 et vous pouvez donc utiliser la méthode de division des deux côtés de l'équation par cos 2 x.

On obtient tg 2 x – 3 tgx +2 = 0

On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, on obtient alors l'équation

une 2 -3 une +2 = 0 une 1 = 1 une 2 = 2

Retour au remplacement

tgx =1, x = ¼π+ πn, nє Z tgx = 2, x = arctan 2 + πn, nє Z

Réponse : x = ¼π + πn, nє Z, x = arctan 2 + πn, nє Z

Si le coefficient a = 0, alors l'équation prend la forme –3sinx cosx + 2cos 2 x = 0, on la résout en prenant le facteur commun – cosx entre parenthèses : – cosx (3 sinx – 2cosx) = 0,

cosx = 0 ou 3sinx – 2cosx = 0. La deuxième équation est une équation homogène du premier degré.

Si le coefficient c = 0, alors l'équation prendra la forme sin 2 x -3sinx cosx = 0, on la résout en sortant le facteur commun sinx entre parenthèses : sinx (sinx -3 cosx) = 0,

sinx = 0 ou sinx -3 cosx = 0. La deuxième équation est une équation homogène du premier degré.

Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du deuxième degré :

1. Vérifiez si l'équation contient le terme a sin 2 x.

2.Si le terme asin 2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue par division

les deux côtés de l'équation sur cos 2 x et introduction ultérieure d'une nouvelle variable a = tgx

3. Si le terme asin 2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par factorisation : cosx est sorti entre parenthèses.

Équations homogènes gentil un péché 2 mx + b péché mx cos mx + c cos 2 mx = 0 résolu de la même manière

V. Assimilation de nouvelles connaissances

Ces équations sont-elles homogènes ?

péché x = 2 cos x
péché 5x + cos 5x = 0
péché 3x - cos 3x = 2
péché 2 8x – 5 sin8x cos8x +2 cos 2 8x =0

VI. Minute d'éducation physique

VII. Formation de compétences pour résoudre des équations trigonométriques homogènes

Ouvrir les cahiers de problèmes page 47 n° 18.10 (a), n° 18.11 (a, b), 18.12 (d)

VIII. Travail indépendant ( les élèves choisissent des tâches différenciées selon deux options)

Option 1 Option 2

1) sinx + 2cosx = 0. 1) sinx - 4cosx = 0.

2) sin 2 x + 2 sinx cosx -3 cos 2 x = 0 2) sin 2 x – 4 sinx cosx +3 cos 2 x = 0

3) 2sin 2 2x – 5 sin2x cos2x +2 cos 2 2x = 0 3) 3sin 2 3x +10 sin3x cos3x +3 cos 2 3x = 0

Les bonnes réponses sont projetées au tableau.

IX. Résumer la leçon, noter

Quel type d’équations trigonométriques avons-nous appris en classe ?

Quelles équations appelle-t-on homogènes ?

Formuler des algorithmes pour résoudre des équations trigonométriques homogènes du premier et du deuxième degrés.

X. Devoirs : Composer et résoudre 2 équations homogènes du premier degré et 1 équation homogène du deuxième degré

Sujet de cours : « Équations trigonométriques homogènes »

(10ème année)

Cible: introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degré I et II ; formuler et élaborer un algorithme pour résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; apprendre aux étudiants à résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; développer la capacité d'identifier des modèles et de généraliser ; stimuler l’intérêt pour le sujet, développer un sentiment de solidarité et une saine compétition.

Type de cours : leçon dans la formation de nouvelles connaissances.

Formulaire: travailler en groupe.

Équipement: installation informatique, multimédia

Pendant les cours

Organisation du temps

Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.

Dans le cours, un système de notation d'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances en remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant sélectionné par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. .

Actualisation des connaissances de base.

Les devoirs sont vérifiés et notés par un expert indépendant et des consultants avant le cours et une feuille de notation est complétée.

Le professeur résume les devoirs.

Professeur: Nous continuons à étudier le thème «Équations trigonométriques». Aujourd'hui, dans la leçon, nous vous présenterons un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et nous répéterons donc ce que nous avons appris. Lors de la résolution de tous types d'équations trigonométriques, ils en sont réduits à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs individuels effectués en groupe sont vérifiés. Soutenance de la présentation « Solutions des équations trigonométriques les plus simples »

(Les travaux du groupe sont évalués par un expert indépendant)

Motivation pour l'apprentissage.

Professeur: Nous avons du travail à faire pour résoudre les mots croisés. Après l'avoir résolu, nous découvrirons le nom d'un nouveau type d'équations que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui en classe.

Les questions sont projetées au tableau. Les étudiants devinent et un expert indépendant inscrit les scores des étudiants qui répondent sur la feuille de notation.

Après avoir résolu les mots croisés, les enfants liront le mot « homogène ».

Assimilation de nouvelles connaissances.

Professeur: Le sujet de la leçon est « Équations trigonométriques homogènes ».

Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du deuxième degré.

Équation de la forme UN péché + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Considérons la solution de l'équation lorsque les coefficients UN Et V sont différents de 0.

Exemple: sinx + cosx = 0

R. en divisant les deux côtés du terme de l'équation par cosx, nous obtenons

Attention! Vous ne pouvez diviser par 0 que si cette expression ne donne nulle part la valeur 0. Analysons. Si le cosinus est égal à 0, alors le sinus sera également égal à 0, étant donné que les coefficients sont différents de 0, mais on sait que le sinus et le cosinus vont à zéro en des points différents. Par conséquent, cette opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d’équation.

Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré : division des deux côtés de l'équation par cosx, cosx 0

Équation de la forme UN péché mx +b cosmx = 0également appelée équation trigonométrique homogène du premier degré et résout également la division des deux côtés de l'équation par le cosinus mx.

Équation de la forme un péché 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

Exemple : péché 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme l'équation précédente, cosx n'est pas égal à 0, et vous pouvez donc utiliser la méthode de division des deux côtés de l'équation par cos 2 x.

On obtient tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, on obtient alors l'équation

une 2 + 2une – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

une 1 = 1 une 2 = –3

Retour au remplacement

Répondre:

Si le coefficient a = 0, alors l'équation prendra la forme 2sinx cosx – 3cos2x = 0, on la résout en sortant le facteur commun cosx entre parenthèses. Si le coefficient c = 0, alors l'équation prend la forme sin2x +2sinx cosx = 0, on la résout en sortant le facteur commun sinx entre parenthèses. Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré :

Vérifiez si l'équation contient le terme asin2 x.

Si le terme asin2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue en divisant les deux côtés de l'équation par cos2x puis en introduisant une nouvelle variable.

Si le terme asin2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par factorisation : cosx est sorti entre parenthèses. Les équations homogènes de la forme a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 sont résolues de la même manière

L'algorithme de résolution d'équations trigonométriques homogènes est écrit dans le manuel à la page 102.

Minute d'éducation physique

Formation de compétences pour résoudre des équations trigonométriques homogènes

Ouverture des cahiers de problèmes page 53

Les 1er et 2ème groupes décident du n° 361-v

Les 3ème et 4ème groupes décident du n°363-v

Montrer la solution au tableau, expliquer, compléter. Un expert indépendant évalue.

Résoudre des exemples du cahier de problèmes n° 361-v
sinx – 3cosx = 0
on divise les deux côtés de l'équation par cosx 0, on obtient

N° 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
divisez les deux côtés de l’équation par cos2x, nous obtenons tg2x + tanx – 2 = 0

résoudre en introduisant une nouvelle variable
soit tgx = a, alors nous obtenons l'équation
a2 + une – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
retour au remplacement

Travail indépendant.

Résolvez les équations.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Une fois terminé travail indépendant changement de travail et contrôle mutuel. Les bonnes réponses sont projetées au tableau.

Ensuite, ils le confient à un expert indépendant.

Solution à faire soi-même

Résumer la leçon.

Quel type d’équations trigonométriques avons-nous appris en classe ?

Algorithme de résolution d'équations trigonométriques du premier et du deuxième degré.

Devoirs: § 20.3 lire. N° 361(d), 363(b), difficulté supplémentaire n° 380(a).

Mots croisés.

Si vous entrez les mots corrects, vous obtiendrez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques.

La valeur de la variable qui rend l’équation vraie ? (Racine)

Unité de mesure des angles ? (Radian)

Facteur numérique dans un produit ? (Coefficient)

Branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)

Quel modèle mathématique est nécessaire pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle)

Quelle fonction trigonométrique est paire ? (Cosinus)

Comment s’appelle une véritable égalité ? (Identité)

L'égalité avec une variable ? (L'équation)

Des équations qui ont les mêmes racines ? (équivalent)

Ensemble de racines d'une équation ? (Solution)

Document d'évaluation

№
n\n

Nom, prénom du professeur

Devoirs

Présentation

Activité cognitive
étudier

Résoudre des équations

Indépendant
Emploi

Devoirs – 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été assignées pour les devoirs)

Présentation – 1 point

Activité étudiante – 1 réponse – 1 point (4 points maximum)

Résoudre des équations 1 point

Travail indépendant – 4 points

Note de groupe :

« 5 » – 22 points ou plus
« 4 » – 18 – 21 points
« 3 » – 12 – 17 points

Avec cette leçon vidéo, les étudiants pourront étudier le sujet des équations trigonométriques homogènes.

Donnons des définitions :

1) une équation trigonométrique homogène du premier degré ressemble à un sin x + b cos x = 0 ;

2) une équation trigonométrique homogène du deuxième degré ressemble à un sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Considérons l'équation a sin x + b cos x = 0. Si a est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à b cos x = 0 ; si b est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à un péché x = 0. Ce sont les équations que nous avons appelées les plus simples et qui ont été résolues plus tôt dans les sujets précédents.

Considérons maintenant l'option lorsque a et b ne sont pas égaux à zéro. En divisant les parties de l'équation par le cosinus x, on effectue la transformation. On obtient a tg x + b = 0, alors tg x sera égal à - b/a.

De ce qui précède, il s'ensuit que l'équation a sin mx + b cos mx = 0 est une équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour résoudre une équation, divisez ses parties par cos mx.

Regardons l'exemple 1. Résolvez 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Tout d'abord, divisez les parties de l'équation par le cosinus (x/2). Sachant que le sinus divisé par le cosinus est tangent, on obtient 7 tan (x/2) - 5 = 0. En transformant l'expression, on constate que la valeur de tan (x/2) est égale à 5/7. La solution de cette équation a la forme x = arctan a + πn, dans notre cas x = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Considérons l'équation a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 :

1) à un égal à zéro l'équation ressemblera à b sin x cos x + c cos 2 x = 0. En transformant, nous obtenons l'expression cos x (b sin x + c cos x) = 0 et procédons à la résolution des deux équations. Après avoir divisé les parties de l'équation par le cosinus x, nous obtenons b tg x + c = 0, ce qui signifie tg x = - c/b. Sachant que x = arctan a + πn, alors la solution dans ce cas sera x = arctan (- с/b) + πn.

2) si a n'est pas égal à zéro, alors en divisant les parties de l'équation par le cosinus carré, on obtient une équation contenant une tangente, qui sera quadratique. Cette équation peut être résolue en introduisant une nouvelle variable.

3) lorsque c est égal à zéro, l'équation prendra la forme a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Cette équation peut être résolue en retirant le sinus x de la parenthèse.

1. voir si l'équation contient un péché 2 x ;

2. Si l'équation contient le terme a sin 2 x, alors l'équation peut être résolue en divisant les deux côtés par le cosinus au carré, puis en introduisant une nouvelle variable.

3. Si l'équation ne contient pas de sin 2 x, alors l'équation peut être résolue en retirant cosx des parenthèses.

Considérons l'exemple 2. Sortons le cosinus des parenthèses et obtenons deux équations. La racine de la première équation est x = π/2 + πn. Pour résoudre la deuxième équation, on divise les parties de cette équation par le cosinus x, et par transformation on obtient x = π/3 + πn. Réponse : x = π/2 + πn et x = π/3 + πn.

Résolvons l'exemple 3, une équation de la forme 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 et trouvons ses racines, qui appartiennent au segment de - π à π. Parce que Cette équation est inhomogène, il faut la ramener à une forme homogène. En utilisant la formule sin 2 x + cos 2 x = 1, nous obtenons l'équation sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. En divisant toutes les parties de l'équation par cos 2 x, nous obtenons tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 En utilisant l'entrée d'une nouvelle variable z = tan 2x, nous résolvons l'équation dont la racine est z = 1. Alors tan 2x = 1, ce qui implique que x = π/8 + (πn)/2. Parce que selon les conditions du problème, il faut trouver les racines qui appartiennent au segment de - π à π, la solution aura la forme - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

DÉCODAGE DE TEXTE :

Équations trigonométriques homogènes

Aujourd’hui, nous allons voir comment les « équations trigonométriques homogènes » sont résolues. Ce sont des équations d’un type particulier.

Faisons connaissance avec la définition.

Équation de la forme et péché x+bparce queX = 0 (et sinus x plus cosinus x est égal à zéro) est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré ;

équation de la forme et péché 2 x+bpéché xparce queX+sparce que 2 X= 0 (et sinus carré x plus être sinus x cosinus x plus se cosinus carré x est égal à zéro) est appelée une équation trigonométrique homogène du deuxième degré.

Si une=0, alors l'équation prend la forme bparce queX = 0.

Si b = 0 , alors on obtient et péché X= 0.

Ces équations sont trigonométriques élémentaires, et nous avons discuté de leur solution dans nos sujets précédents

Considérons le cas où les deux coefficients ne sont pas égaux à zéro. Divisons les deux côtés de l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 membre par membre parce queX.

Nous pouvons le faire puisque le cosinus de x est non nul. Après tout, si parce queX = 0 , alors l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 prendra la forme UNpéchéX = 0 , UN≠ 0, donc péchéX = 0 . Ce qui est impossible, car selon l’identité trigonométrique de base péché 2 x+parce que 2 X=1 .

Diviser les deux côtés de l'équation UNpéchéX+ bparce queX = 0 membre par membre parce queX, on obtient : + =0

Réalisons les transformations :

1. Depuis = tgx, alors =et tgx

2 réduire par parce queX, Alors

On obtient donc l'expression suivante et tg x + b =0.

Réalisons la transformation :

1.déplacez b vers la droite de l'expression avec le signe opposé

et tg x =- b

2. Débarrassons-nous du multiplicateur et en divisant les deux côtés de l'équation par un

bronzage x= -.

Conclusion : équation de la forme un péchémx+bparce queMX = 0 (et sinus em x plus être cosinus em x est égal à zéro) est également appelée équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour le résoudre, divisez les deux côtés par parce queMX.

EXEMPLE 1. Résolvez l'équation 7 sin - 5 cos = 0 (sept sinus x sur deux moins cinq cosinus x sur deux est égal à zéro)

Solution. En divisant les deux côtés du terme de l'équation par cos, on obtient

1. = 7 tan (puisque le rapport sinus/cosinus est une tangente, alors sept sinus x par deux divisé par cosinus x par deux est égal à 7 tan x par deux)

2. -5 = -5 (avec l'abréviation cos)

De cette façon, nous avons obtenu l'équation

7tg - 5 = 0, Transformons l'expression, déplaçons moins cinq vers la droite, en changeant le signe.

Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t=, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme

x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation aura la forme :

Arctg + πn, trouver x

x=2 arctan + 2πn.

Réponse : x=2 arctan + 2πn.

Passons à l'équation trigonométrique homogène du deuxième degré

UNpéché 2 x+b péché x cos x +Aveccos2x= 0.

Considérons plusieurs cas.

I. Si une=0, alors l'équation prend la forme bpéchéXparce queX+sparce que 2 X= 0.

Lors de la résolution de e Ensuite nous utilisons la méthode de factorisation des équations. Nous allons le retirer parce queX au-delà de la parenthèse et on obtient : parce queX(bpéchéX+sparce queX)= 0 . Où parce queX= 0 ou

b péché x +Aveccosx= 0. Et nous savons déjà comment résoudre ces équations.

Divisons les deux côtés du terme de l'équation par cosх, nous obtenons

1 (puisque le rapport sinus/cosinus est une tangente).

On obtient donc l'équation : b tgx+c=0

Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t= x, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme

x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation sera :

x = arctan + πn, .

II. Si une≠0, puis on divise les deux côtés de l’équation terme par terme en parce que 2 X.

(En argumentant de la même manière que dans le cas d'une équation trigonométrique homogène du premier degré, le cosinus x ne peut pas aller vers zéro).

III. Si c=0, alors l'équation prend la forme UNpéché 2 X+ bpéchéXparce queX= 0. Cette équation peut être résolue par méthode de factorisation (on retire péchéX au-delà du support).

Cela signifie que lors de la résolution de l'équation UNpéché 2 X+ bpéchéXparce queX+sparce que 2 X= 0 vous pouvez suivre l'algorithme :

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation sinxcosx - cos 2 x= 0 (sinus x fois cosinus x moins racine de trois fois cosinus au carré x est égal à zéro).

Solution. Factorisons-le (mettez cosx hors parenthèses). On a

cos x(péché x - cos x)= 0, c'est-à-dire cos x=0 ou péché x - cos x= 0.

Réponse : x =+ πn, x= + πn.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (trois sinus au carré deux x moins deux fois le produit du sinus deux x fois cosinus deux x plus trois cosinus au carré deux x) et trouvez ses racines appartenant à l'intervalle (- π; π).

Solution. Cette équation n'est pas homogène, effectuons donc quelques transformations. On remplace le chiffre 2 contenu à droite de l'équation par le produit 2 1

Puisque par l'identité trigonométrique principale sin 2 x + cos 2 x =1, alors

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = en ouvrant les parenthèses on obtient : 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Cela signifie que l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 prendra la forme :

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

péché 2 2x - 2 péché 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Nous avons obtenu une équation trigonométrique homogène du deuxième degré. Appliquons la méthode de division terme à terme par cos 2 2x :

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Introduisons une nouvelle variable z= tan2x.

Nous avons z 2 - 2 z + 1 = 0. C'est une équation quadratique. En remarquant la formule de multiplication abrégée sur le côté gauche - le carré de la différence (), nous obtenons (z - 1) 2 = 0, c'est-à-dire z = 1. Revenons à la substitution inverse :

Nous avons réduit l'équation à la forme tg t = a, où t= 2x, a =1. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur UN et ces solutions ont la forme

x = arctan x a + πn, alors la solution de notre équation sera :

2х= arctan1 + πn,

x = + , (x est égal à la somme de pi fois huit et pi en fois deux).

Tout ce que nous avons à faire est de trouver les valeurs de x contenues dans l'intervalle

(- π; π), c'est-à-dire satisfaire la double inégalité - π x π. Parce que

x= +, alors - π + π. Divisez toutes les parties de cette inégalité par π et multipliez par 8, nous obtenons

déplacez-en un vers la droite et vers la gauche, en changeant le signe en moins un

on divise par quatre on obtient,

Pour plus de commodité, nous séparons les parties entières en fractions

Cette inégalité est satisfaite par l'entier n suivant : -2, -1, 0, 1

Dans cet article, nous examinerons une méthode de résolution d'équations trigonométriques homogènes.

Les équations trigonométriques homogènes ont la même structure que les équations homogènes de tout autre type. Permettez-moi de vous rappeler la méthode de résolution des équations homogènes du deuxième degré :

Considérons des équations homogènes de la forme

Particularités des équations homogènes :

a) tous les monômes ont le même degré,

b) le terme libre est nul,

c) l'équation contient des puissances avec deux bases différentes.

Les équations homogènes sont résolues à l'aide d'un algorithme similaire.

Pour résoudre ce type d'équation, on divise les deux côtés de l'équation par (peut être divisé par ou par)

Attention! Lorsque vous divisez les côtés droit et gauche d'une équation par une expression contenant une inconnue, vous pouvez perdre des racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l’expression par laquelle nous divisons les deux côtés de l’équation sont les racines de l’équation d’origine.

Si c'est le cas, alors nous écrivons cette racine pour ne pas l'oublier plus tard, puis divisons l'expression par ceci.

En général, la première chose à faire lors de la résolution d’une équation comportant un zéro à droite est d’essayer de factoriser le côté gauche de l’équation de toutes les manières disponibles. Et puis assimilez chaque facteur à zéro. Dans ce cas, nous ne perdrons certainement pas les racines.

Alors, divisez soigneusement le côté gauche de l’équation en expression terme par terme. On a:

Réduisons le numérateur et le dénominateur des deuxième et troisième fractions :

Présentons le remplacement :

On obtient une équation quadratique :

Résolvons l'équation quadratique, trouvons les valeurs de , puis revenons à l'inconnue d'origine.

Lors de la résolution d’équations trigonométriques homogènes, il y a plusieurs choses importantes à retenir :

1. Le terme factice peut être converti en carré du sinus et du cosinus en utilisant l'identité trigonométrique de base :

2. Le sinus et le cosinus d'un argument double sont des monômes du deuxième degré - le sinus d'un argument double peut être facilement converti en produit du sinus et du cosinus, et le cosinus d'un argument double en carré du sinus ou du cosinus :

Examinons plusieurs exemples de résolution d'équations trigonométriques homogènes.

1 . Résolvons l'équation :

Il s'agit d'un exemple classique d'équation trigonométrique homogène du premier degré : le degré de chaque monôme est égal à un, le terme d'origine est égal à zéro.

Avant de diviser les deux côtés de l’équation par , vous devez vérifier que les racines de l’équation ne sont pas les racines de l’équation d’origine. On vérifie : si , alors title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Divisons les deux côtés de l'équation par .

On a:

, Où

Répondre: , Où

2. Résolvons l'équation :

Ceci est un exemple d'équation trigonométrique homogène du deuxième degré. Nous rappelons que si nous pouvons factoriser le membre de gauche de l’équation, il est alors conseillé de le faire. Dans cette équation, nous pouvons mettre . Faisons-le:

Solution de la première équation : , où

La deuxième équation est une équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour le résoudre, divisez les deux côtés de l’équation par . On a:

Réponse : , où ,

3. Résolvons l'équation :

Pour rendre cette équation « devenue » homogène, on la transforme en produit et on présente le nombre 3 comme la somme des carrés du sinus et du cosinus :

Déplaçons tous les termes vers la gauche, ouvrons les parenthèses et présentons les termes similaires. On a:

Factorisons le côté gauche et définissons chaque facteur égal à zéro :

Réponse : , où ,

4 . Résolvons l'équation :

Voyons ce que nous pouvons retirer des parenthèses. Faisons-le:

Assumons chaque facteur à zéro :

Solution de la première équation :

La deuxième équation de population est une équation homogène classique du deuxième degré. Les racines de l’équation ne sont pas les racines de l’équation d’origine, nous divisons donc les deux côtés de l’équation par :