Qu'est-ce qu'un monôme ? Le concept de monôme et sa forme standard

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux actions standards principales sur les monômes, à savoir la réduction à vue générale et calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes standard avec n'importe quel monôme.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Nous trouverons caractéristiques communes pour les expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Maintenant, découvrons actions sur les monômes .

1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /

Dans le deuxième exemple nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.

Alors, prenons un exemple :

La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :

Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Placez le coefficient résultant en premier lieu ;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;

C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :

Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :

- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;

Écrivons la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

Dans cet exemple, le coefficient du monôme égal à un, et la partie lettre est .

Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

Écrivons la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu’un monôme est une expression algébrique constituée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous avons l’arithmétique expression numérique, qui doit être calculé. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Monôme donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre

Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques, c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .

Leçon sur le thème : "Forme standard d'un monôme. Définition. Exemples"

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Monôme. Définition

Monôme est une expression mathématique qui est le produit d’un facteur premier et d’une ou plusieurs variables.

Les monômes incluent tous les nombres, variables, leurs puissances avec un exposant naturel :
42 ; 3 ; 0 ; 6 2 ; 2 3 ; b3 ; hache 4 ; 4x3 ; 5a2 ; 12xyz 3 .

Bien souvent, il est difficile de déterminer si une expression mathématique donnée fait référence à un monôme ou non. Par exemple, $\frac(4a^3)(5)$. Est-ce un monôme ou pas ? Pour répondre à cette question, nous devons simplifier l'expression, c'est-à-dire présent sous la forme : $\frac(4)(5)*a^3$.
On peut dire avec certitude que cette expression est un monôme.

Forme standard du monôme

Lors des calculs, il est conseillé de réduire le monôme à la forme standard. Il s’agit de l’enregistrement le plus concis et le plus compréhensible d’un monôme.

La procédure pour réduire un monôme à la forme standard est la suivante :
1. Multipliez les coefficients du monôme (ou des facteurs numériques) et placez le résultat obtenu en premier lieu.
2. Sélectionnez toutes les puissances avec la même base de lettres et multipliez-les.
3. Répétez le point 2 pour toutes les variables.

Exemples.
I. Réduisez le monôme donné $3x^2zy^3*5y^2z^4$ à la forme standard.

Solution.
1. Multipliez les coefficients du monôme $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Nous présentons maintenant des termes similaires $15x^2y^5z^5$.

II. Réduisez le monôme donné $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ à la forme standard.

Solution.
1. Multipliez les coefficients du monôme $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Nous présentons maintenant des termes similaires $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Nous avons noté que tout monôme peut être mettre sous forme standard. Dans cet article, nous comprendrons ce qu'on appelle amener un monôme à une forme standard, quelles actions permettent de réaliser ce processus et envisagerons des solutions à partir d'exemples avec des explications détaillées.

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Que signifie réduire un monôme à une forme standard ?

Il est pratique de travailler avec des monômes lorsqu'ils sont écrits sous forme standard. Cependant, bien souvent, les monômes sont spécifiés sous une forme différente de la forme standard. Dans ces cas-là, on peut toujours passer du monôme original à un monôme de forme standard en effectuant des transformations d'identité. Le processus permettant d'effectuer de telles transformations est appelé réduction d'un monôme à une forme standard.

Résumons les arguments ci-dessus. Réduire le monôme à la forme standard- cela signifie faire ce qui suit avec lui transformations identitaires pour qu'il prenne la forme standard.

Comment amener un monôme à une forme standard ?

Il est temps de comprendre comment réduire les monômes à une forme standard.

Comme le montre la définition, les monômes de forme non standard sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances, et éventuellement répétitives. Et un monôme de forme standard ne peut contenir dans sa notation qu'un seul nombre et des variables non répétitives ou leurs puissances. Reste maintenant à comprendre comment amener les produits du premier type au type du second ?

Pour ce faire, vous devez utiliser ce qui suit la règle pour réduire un monôme à la forme standard composé de deux étapes :

• Tout d'abord, un regroupement de facteurs numériques est effectué, ainsi que de variables identiques et de leurs puissances ;
• Deuxièmement, le produit des nombres est calculé et appliqué.

Suite à l'application de la règle énoncée, tout monôme sera réduit à une forme standard.

Exemples, solutions

Il ne reste plus qu'à apprendre à appliquer la règle du paragraphe précédent lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Réduisez le monôme 3 x 2 x 2 à la forme standard.

Solution.

Regroupons les facteurs numériques et les facteurs avec une variable x. Après regroupement, le monôme original prendra la forme (3·2)·(x·x 2) . Le produit des nombres entre parenthèses est égal à 6, et la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases permet de représenter l'expression entre parenthèses sous la forme x 1 +2 = x 3. En conséquence, nous obtenons un polynôme de forme standard 6 x 3.

Voici un bref résumé de la solution : 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Répondre:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Ainsi, pour donner à un monôme une forme standard, vous devez être capable de regrouper des facteurs, de multiplier des nombres et de travailler avec des puissances.

Pour consolider le matériel, résolvons un autre exemple.

Exemple.

Présentez le monôme sous forme standard et indiquez son coefficient.

Solution.

Le monôme original a un seul facteur numérique dans sa notation −1, déplaçons-le au début. Après cela, nous regrouperons séparément les facteurs avec la variable a, séparément avec la variable b, et il n'y a rien avec quoi regrouper la variable m, nous la laisserons telle quelle, nous avons . Après avoir effectué des opérations avec les puissances entre parenthèses, le monôme prendra la forme standard dont nous avons besoin, à partir de laquelle nous pourrons voir le coefficient du monôme égal à −1. Le moins un peut être remplacé par un signe moins : .

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux principales opérations typiques sur les monômes, à savoir la réduction à une forme standard et le calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes standard avec n'importe quel monôme.

Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme

Prenons quelques exemples :

3. ;

Trouvons des caractéristiques communes aux expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.

Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.

Voici quelques exemples supplémentaires :

L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Maintenant, découvrons actions sur les monômes .

1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /

Dans le deuxième exemple nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.

Alors, prenons un exemple :

La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :

Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Placez le coefficient résultant en premier lieu ;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;

C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :

Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :

- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;

Écrivons la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

Dans cet exemple, le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .

Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

Écrivons la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous disposons d'une expression numérique arithmétique qui doit être évaluée. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Monôme donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre

Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques, c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .

Les monômes sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes. Par exemple : 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Le monôme 5aa2b2b peut être réduit à la forme 20a^2b^2. Cette forme est appelée la forme standard du monôme. Autrement dit, la forme standard du monôme est le produit du coefficient (qui vient en premier) et des puissances de les variables. Les coefficients 1 et -1 ne sont pas écrits, mais un moins est conservé à partir de -1. Monôme et sa forme standard

Les expressions 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x sont des produits de nombres, de variables et de leurs puissances. De telles expressions sont appelées monômes. Les nombres, les variables et leurs puissances sont également considérés comme des monômes.

Par exemple, les expressions 8, 35,y et y2 sont des monômes.

La forme standard d'un monôme est un monôme sous la forme d'un produit multiplicateur numérique, qui vient en premier, et les degrés de diverses variables. Tout monôme peut être réduit à une forme standard en multipliant toutes les variables et nombres qu'il contient. Voici un exemple de réduction d’un monôme à la forme standard :

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Le facteur numérique d'un monôme écrit sous forme standard est appelé coefficient du monôme. Par exemple, le coefficient du monôme -7x2y2 est égal à -7. Les coefficients des monômes x3 et -xy sont considérés comme égaux à 1 et -1, puisque x3 = 1x3 et -xy = -1xy

Le degré d'un monôme est la somme des exposants de toutes les variables qu'il contient. Si un monôme ne contient pas de variables, c'est-à-dire s'il s'agit d'un nombre, alors son degré est considéré comme égal à zéro.

Par exemple, le degré du monôme 8x3yz2 est 6, le monôme 6x est 1 et le degré -10 est 0.

Multiplication de monômes. Élever les monômes aux pouvoirs

Lors de la multiplication de monômes et de l'élévation des monômes à des puissances, la règle de multiplication des puissances est utilisée avec la même base et la règle pour élever un diplôme à un grade. Cela produit un monôme, qui est généralement représenté sous forme standard.

Par exemple

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6