Exemples de méthode Horner. Équations en mathématiques supérieures. Racines rationnelles des polynômes. Schéma Horner

Le site « Professional Mathematics Tutor » poursuit la série d'articles méthodologiques sur l'enseignement. Je publie des descriptions des méthodes de mon travail sur les sujets les plus complexes et problématiques du programme scolaire. Ce matériel sera utile aux enseignants et tuteurs en mathématiques travaillant avec des élèves de la 8e à la 11e année tant dans le programme régulier que dans le programme des cours de mathématiques.

Un professeur de mathématiques ne peut pas toujours expliquer des éléments mal présentés dans le manuel. Malheureusement, ces sujets sont de plus en plus nombreux et des erreurs de présentation des auteurs de manuels sont commises en masse. Cela s'applique non seulement aux professeurs de mathématiques débutants et aux tuteurs à temps partiel (les tuteurs sont des étudiants et des tuteurs universitaires), mais également aux enseignants expérimentés, aux tuteurs professionnels, aux tuteurs expérimentés et qualifiés. Tous les professeurs de mathématiques n’ont pas le talent nécessaire pour corriger avec compétence les aspérités des manuels scolaires. Tout le monde ne comprend pas non plus que ces corrections (ou ajouts) sont nécessaires. Peu d'enfants participent à l'adaptation du matériel pour sa perception qualitative par les enfants. Malheureusement, le temps est révolu où les professeurs de mathématiques, en collaboration avec les méthodologistes et les auteurs de publications, discutaient en masse de chaque lettre du manuel. Auparavant, avant de diffuser un manuel dans les écoles, des analyses et des études sérieuses sur les résultats d'apprentissage étaient réalisées. Le temps est venu pour les amateurs qui s'efforcent de rendre les manuels universels, en les ajustant aux normes de cours de mathématiques solides.

La course à l'augmentation de la quantité d'informations ne conduit qu'à une diminution de la qualité de son assimilation et, par conséquent, à une diminution du niveau de connaissance réelle en mathématiques. Mais personne n’y prête attention. Et nos enfants sont obligés, déjà en 8e, d'étudier ce que nous avons étudié à l'institut : la théorie des probabilités, la résolution d'équations de haut degré et autre chose. L’adaptation du matériel contenu dans les livres pour une perception complète de l’enfant laisse beaucoup à désirer, et un professeur de mathématiques est obligé de s’en occuper d’une manière ou d’une autre.

Parlons de la méthodologie pour enseigner un sujet aussi spécifique que « diviser un polynôme par un polynôme par un coin », mieux connu en mathématiques pour adultes sous le nom de « théorème de Bezout et schéma de Horner ». Il y a quelques années à peine, la question n'était pas si pressante pour un professeur de mathématiques, car cela ne faisait pas partie du programme scolaire principal. Aujourd'hui, les auteurs respectés du manuel, édité par Telyakovsky, ont apporté des modifications à dernière édition le meilleur manuel, à mon avis, et, l'ayant complètement gâché, n'a fait qu'ajouter des soucis inutiles au tuteur. Les enseignants des écoles et des classes qui n'ont pas le statut de mathématiques, se concentrant sur les innovations des auteurs, ont commencé à inclure plus souvent des paragraphes supplémentaires dans leurs cours, et les enfants curieux, regardant les belles pages de leur manuel de mathématiques, demandent de plus en plus au tuteur : « Qu'est-ce que cette division par un coin ? Allons-nous vivre cela ? Comment partager un coin ? Il n’est plus possible de se cacher de questions aussi directes. Le tuteur devra dire quelque chose à l'enfant.

Comment? Je n'aurais probablement pas décrit la méthode de travail sur le sujet s'il avait été présenté correctement dans les manuels. Comment ça se passe chez nous ? Les manuels doivent être imprimés et vendus. Et pour cela, ils doivent être mis à jour régulièrement. Les professeurs d'université se plaignent-ils que les enfants viennent à eux la tête vide, sans connaissances ni compétences ? Les exigences en matière de connaissances mathématiques augmentent-elles ? Super! Supprimons certains exercices et insérons à la place des sujets étudiés dans d'autres programmes. Pourquoi notre manuel est-il pire ? Nous inclurons quelques chapitres supplémentaires. Les écoliers ne connaissent pas la règle de la division par un coin ? Ce sont des mathématiques de base. Ce paragraphe devrait être rendu facultatif, intitulé « pour ceux qui veulent en savoir plus ». Les tuteurs sont contre ? Pourquoi nous soucions-nous des tuteurs en général ? Les méthodologistes et les enseignants des écoles sont également contre ? Nous ne compliquerons pas le matériel et considérerons sa partie la plus simple.

Et c'est là que ça commence. La simplicité du sujet et la qualité de son assimilation résident avant tout dans la compréhension de sa logique, et non dans la réalisation, conformément aux instructions des auteurs du manuel, d'un certain ensemble d'opérations qui ne sont pas clairement liées les unes aux autres. . Sinon, il y aura du brouillard dans la tête de l’élève. Si les auteurs ciblent des étudiants relativement forts (mais qui étudient dans un programme régulier), vous ne devez pas présenter le sujet sous forme de commande. Que voit-on dans le manuel ? Les enfants, nous devons diviser selon cette règle. Obtenez le polynôme sous l'angle. Ainsi, le polynôme original sera factorisé. Cependant, il n'est pas clair de comprendre pourquoi les termes sous le coin sont sélectionnés exactement de cette manière, pourquoi ils doivent être multipliés par le polynôme au-dessus du coin, puis soustraits du reste actuel. Et surtout, on ne sait pas pourquoi les monômes sélectionnés doivent finalement être ajoutés et pourquoi les parenthèses résultantes seront une expansion du polynôme d'origine. Tout mathématicien compétent mettra un point d’interrogation audacieux sur les explications données dans le manuel.

J'attire l'attention des tuteurs et des professeurs de mathématiques sur ma solution au problème, qui rend pratiquement évident pour l'élève tout ce qui est énoncé dans le manuel. En fait, nous prouverons le théorème de Bezout : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors ce polynôme peut être décomposé en facteurs, dont l'un est x-a, et le second est obtenu à partir de l'original de l'une des trois manières suivantes : en isolant un facteur linéaire par des transformations, en divisant par un coin ou par le schéma de Horner. C'est avec cette formulation qu'il sera plus facile pour un professeur de mathématiques de travailler.

Qu’est-ce que la méthodologie pédagogique ? Tout d'abord, il s'agit d'un ordre clair dans la séquence d'explications et d'exemples sur la base desquels des conclusions mathématiques sont tirées. Ce sujet aucune exception. Il est très important qu’un tuteur en mathématiques initie l’enfant au théorème de Bezout. avant de diviser par un coin. C'est très important ! La meilleure façon de parvenir à la compréhension est de exemple spécifique. Prenons un polynôme avec une racine sélectionnée et montrons la technique de sa factorisation en facteurs en utilisant une méthode familière aux écoliers depuis la 7e année transformations identitaires. Avec des explications appropriées, des accents et des conseils d'un tuteur en mathématiques, il est tout à fait possible de transmettre le matériel sans calculs mathématiques généraux, coefficients et puissances arbitraires.

Conseils importants pour un professeur de mathématiques- suivez les instructions du début à la fin et ne modifiez pas cet ordre.

Disons donc que nous avons un polynôme. Si on remplace le nombre 1 par son X, alors la valeur du polynôme sera égale à zéro. Donc x=1 est sa racine. Essayons de le décomposer en deux termes pour que l'un d'eux soit le produit d'une expression linéaire et d'un monôme, et que le second ait un degré inférieur à . Autrement dit, représentons-le sous la forme

Nous sélectionnons le monôme pour le champ rouge de sorte que lorsqu'il est multiplié par le terme principal, il coïncide complètement avec le terme principal du polynôme d'origine. Si l'élève n'est pas le plus faible, alors il sera tout à fait capable de dire au professeur de mathématiques l'expression recherchée : . Il faut immédiatement demander au tuteur de l'insérer dans le champ rouge et de montrer ce qui se passera une fois ouverts. Il est préférable de signer ce polynôme temporaire virtuel sous les flèches (sous la petite photo), en le soulignant avec une certaine couleur, par exemple le bleu. Cela vous aidera à sélectionner un terme pour le champ rouge, appelé reste de la sélection. Je conseillerais aux professeurs de préciser ici que ce reste peut être trouvé par soustraction. En effectuant cette opération on obtient :

Le professeur de mathématiques doit attirer l'attention de l'élève sur le fait qu'en substituant un dans cette égalité, on est assuré d'obtenir zéro à son côté gauche (puisque 1 est la racine du polynôme d'origine), et à droite, évidemment, on mettra également à zéro le premier terme. Cela signifie que sans aucune vérification on peut dire que l’un est la racine du « reste vert ».

Traitons-le de la même manière que nous l'avons fait avec le polynôme d'origine, en en isolant le même facteur linéaire. Le professeur de mathématiques dessine deux cadres devant l'élève et lui demande de les remplir de gauche à droite.

L'étudiant sélectionne pour le tuteur un monôme pour le champ rouge de sorte que, multiplié par le terme principal de l'expression linéaire, il donne le terme principal du polynôme expansif. Nous l'insérons dans le cadre, ouvrons immédiatement le support et mettons en évidence en bleu l'expression qui doit être soustraite de celle pliée. En effectuant cette opération on obtient

Et enfin, faire de même avec le dernier reste

nous l'aurons enfin

Retirons maintenant l'expression des parenthèses et nous verrons la décomposition du polynôme d'origine en facteurs, dont l'un est « x moins la racine sélectionnée ».

Afin que l'élève ne pense pas que le dernier « reste vert » a été accidentellement décomposé en facteurs requis, le professeur de mathématiques doit souligner propriété importante de tous les restes verts - chacun d'eux a la racine 1. Puisque les degrés de ces restes diminuent, alors quel que soit le degré du polynôme initial qui nous est donné, tôt ou tard, nous obtiendrons un « reste vert » linéaire avec la racine 1, et il sera donc nécessairement décomposé en produit en un certain nombre et en une certaine expression.

Après un tel travail préparatoire, il ne sera pas difficile pour un professeur de mathématiques d'expliquer à l'étudiant ce qui se passe lors d'une division par un coin. Il s'agit du même processus, mais sous une forme plus courte et plus compacte, sans signes égaux et sans réécrire les mêmes termes mis en évidence. Le polynôme à partir duquel le facteur linéaire est extrait est écrit à gauche du coin, les monômes rouges sélectionnés sont rassemblés sous un angle (il devient maintenant clair pourquoi ils doivent s'additionner), pour obtenir les « polynômes bleus », les « polynômes rouges » " Les uns doivent être multipliés par x-1, puis soustraits de ceux actuellement sélectionnés, comme cela se fait dans la division habituelle des nombres en colonne (voici une analogie avec ce qui a été étudié précédemment). Les « résidus verts » résultants sont soumis à un nouvel isolement et à une nouvelle sélection de « monômes rouges ». Et ainsi de suite jusqu’à obtenir un « solde vert » nul. Le plus important est que l'élève comprenne autre sort polynômes écrits au-dessus et en dessous de l'angle. Évidemment, ce sont des parenthèses dont le produit est égal au polynôme d'origine.

La prochaine étape du travail d’un professeur de mathématiques est la formulation du théorème de Bezout. En fait, sa formulation avec cette approche du tuteur devient évidente : si le nombre a est la racine d'un polynôme, alors il peut être factorisé, dont l'un est , et l'autre est obtenu à partir du nombre original de l'une des trois manières suivantes :

• décomposition directe (analogue à la méthode de regroupement)
• diviser par un coin (dans une colonne)
• via le circuit de Horner

Il faut dire que tous les professeurs de mathématiques ne montrent pas le diagramme de Horner à leurs élèves, et que tous les professeurs des écoles (heureusement pour les tuteurs eux-mêmes) n'approfondissent pas aussi profondément le sujet pendant les cours. Cependant, pour un élève en cours de mathématiques, je ne vois aucune raison de s'arrêter à la division longue. De plus, le plus pratique et rapide La technique de décomposition est basée précisément sur le schéma de Horner. Pour expliquer à un enfant d'où il vient, il suffit de retracer, à l'aide de l'exemple de la division par un coin, l'apparition de coefficients plus élevés dans les restes verts. Il devient clair que le coefficient dominant du polynôme initial est reporté dans le coefficient du premier « monôme rouge », et plus loin dans le deuxième coefficient du polynôme supérieur actuel. déduit le résultat de la multiplication du coefficient actuel du « monôme rouge » par . Il est donc possible ajouter le résultat de la multiplication par . Après avoir concentré l'attention de l'élève sur les spécificités des actions avec des coefficients, un tuteur en mathématiques peut montrer comment ces actions sont habituellement effectuées sans enregistrer les variables elles-mêmes. Pour ce faire, il convient de saisir la racine et les coefficients du polynôme d'origine par ordre de priorité dans le tableau suivant :

Si un degré manque dans un polynôme, son coefficient zéro est forcé dans le tableau. Les coefficients des « polynômes rouges » sont écrits tour à tour dans la ligne du bas selon la règle du « crochet » :

La racine est multipliée par le dernier coefficient rouge, ajouté au coefficient suivant sur la ligne du haut, et le résultat est inscrit sur la ligne du bas. Dans la dernière colonne, nous sommes assurés d'obtenir le coefficient le plus élevé du dernier « reste vert », c'est-à-dire zéro. Une fois le processus terminé, les chiffres pris en sandwich entre la racine correspondante et le reste zéro s'avèrent être des coefficients du deuxième facteur (non linéaire).

Puisque la racine a donne à la fin résultat net zéro, alors le circuit de Horner peut être utilisé pour tester les nombres pour voir s'ils sont les racines d'un polynôme. S'il s'agit d'un théorème spécial sur la sélection d'une racine rationnelle. Tous les candidats à ce titre obtenus grâce à son aide sont simplement insérés tour à tour depuis la gauche dans le diagramme de Horner. Dès que nous obtiendrons zéro, le nombre testé sera une racine, et en même temps nous obtiendrons les coefficients de factorisation du polynôme d'origine sur sa droite. Très pratique.

En conclusion, je voudrais noter que pour présenter avec précision le schéma de Horner, ainsi que pour consolider pratiquement le sujet, un tuteur en mathématiques doit disposer d'un nombre d'heures suffisant. Un tuteur travaillant avec le régime « une fois par semaine » ne devrait pas s'engager dans la division des coins. À l'examen d'État unifié de mathématiques et à l'Académie d'État de mathématiques en mathématiques, il est peu probable que dans la première partie vous rencontriez un jour une équation du troisième degré pouvant être résolue par de tels moyens. Si un tuteur prépare un enfant à un examen de mathématiques à l'Université d'État de Moscou, l'étude du sujet devient obligatoire. Les professeurs d'université, contrairement aux compilateurs de l'examen d'État unifié, aiment vraiment tester la profondeur des connaissances d'un candidat.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, professeur de mathématiques Moscou, Stroguino

Diapositive 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mathématicien anglais. Né à Bristol. Il y étudie et travaille, puis dans les écoles de Bath. Travaux de base sur l'algèbre. En 1819 a publié une méthode de calcul approximatif des racines réelles d'un polynôme, qui s'appelle maintenant la méthode de Ruffini-Horner (cette méthode était connue des Chinois au XIIIe siècle. Le schéma de division d'un polynôme par le binôme x-a est nommé). après Horner.

Diapositive 4

SCHÉMA HORNER

Méthode de division nième polynôme degré sur un binôme linéaire - a, basé sur le fait que les coefficients du quotient incomplet et du reste sont liés aux coefficients du polynôme divisible et aux formules :

Diapositive 5

Les calculs selon le schéma de Horner sont placés dans le tableau :

Exemple 1. Diviser Le quotient partiel est x3-x2+3x - 13 et le reste est 42=f(-3).

Diapositive 6

Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.

Diapositive 7

Exemple 2.

Montrons que le polynôme P(x)=x4-6x3+7x-392 est divisible par x-7, et trouvons le quotient de la division. Solution. En utilisant le schéma de Horner, nous trouvons P(7) : De là, nous obtenons P(7)=0, c'est-à-dire reste lors de la division d'un polynôme par x-7 égal à zéro et, par conséquent, le polynôme P(x) est un multiple de (x-7). De plus, les nombres de la deuxième ligne du tableau sont les coefficients du quotient de P(x) divisé par (x-7), donc P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Diapositive 8

Factorisez le polynôme x3 – 5x2 – 2x + 16.

Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), où Q(x) est un polynôme du deuxième degré

Diapositive 9

Les nombres résultants 1, −3, −8 sont les coefficients du polynôme, obtenu en divisant le polynôme d'origine par x – 2. Cela signifie que le résultat de la division est : 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc : x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Objectifs de la leçon :

• apprendre aux élèves à résoudre des équations diplômes supérieurs en utilisant le schéma de Horner ;
• développer la capacité de travailler en binôme ;
• créer, en lien avec les principales sections du cours, une base pour développer les capacités des étudiants ;
• aider l'élève à évaluer son potentiel, à développer son intérêt pour les mathématiques, sa capacité de réflexion et à s'exprimer sur le sujet.

Équipement: cartes pour le travail de groupe, affiche avec le diagramme de Horner.

Méthode d'enseignement : conférence, histoire, explication, réalisation d'exercices de formation.

Formulaire de contrôle : vérification des tâches décision indépendante, travail indépendant.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel

2. Actualiser les connaissances des étudiants

Quel théorème permet de déterminer si un nombre est la racine d'une équation donnée (formuler un théorème) ?

Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme P(x) par le binôme x-c est égal P(c), le nombre c est appelé racine du polynôme P(x) si P(c)=0. Le théorème permet, sans effectuer l'opération de division, de déterminer si un nombre donné est la racine d'un polynôme.

Quelles affirmations facilitent la recherche de racines ?

a) Si le coefficient dominant du polynôme égal à un, alors les racines du polynôme doivent être recherchées parmi les diviseurs du terme libre.

b) Si la somme des coefficients d'un polynôme est 0, alors l'une des racines est 1.

c) Si la somme des coefficients aux endroits pairs est égale à la somme des coefficients aux endroits impairs, alors une des racines est égale à -1.

d) Si tous les coefficients sont positifs, alors les racines du polynôme sont des nombres négatifs.

e) Un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

3. Apprendre du nouveau matériel

Lors de la résolution d'entiers équations algébriques il faut trouver les valeurs des racines des polynômes. Cette opération peut être considérablement simplifiée si les calculs sont effectués à l'aide d'un algorithme spécial appelé schéma de Horner. Ce circuit porte le nom du scientifique anglais William George Horner. Le schéma de Horner est un algorithme permettant de calculer le quotient et le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. En bref comment ça marche.

Soit un polynôme arbitraire P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. La division de ce polynôme par x-c est sa représentation sous la forme P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Partiel g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, où in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Reste r(x)= st n-1 +a n. Cette méthode de calcul est appelée schéma de Horner. Le mot « schéma » dans le nom de l'algorithme est dû au fait que sa mise en œuvre est généralement formatée comme suit. Tout d’abord, dessinez le tableau 2(n+2). Dans la cellule inférieure gauche, écrivez le nombre c et dans la ligne du haut les coefficients du polynôme P(x). Dans ce cas, la cellule supérieure gauche reste vide.

	en 0 =a 0	en 1 =st 1 +a 1	en 2 = sv 1 + UN 2		en n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Le nombre qui, après exécution de l'algorithme, s'avère être écrit dans la cellule inférieure droite est le reste de la division du polynôme P(x) par x-c. Les autres nombres en 0, en 1, en 2,... dans la ligne du bas sont les coefficients du quotient.

Par exemple : Divisez le polynôme P(x)= x 3 -2x+3 par x-2.

On obtient que x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Consolidation du matériel étudié

Exemple 1 : Factorisez le polynôme P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 en facteurs à coefficients entiers.

On recherche des racines entières parmi les diviseurs du terme libre -1 : 1 ; -1. Faisons un tableau :

X = -1 – racine

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Vérifions 1/2.

					X=1/2 - racine

Par conséquent, le polynôme P(x) peut être représenté sous la forme

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemple 2 : Résolvez l'équation 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Puisque la somme des coefficients du polynôme écrit du côté gauche de l’équation est égale à zéro, alors l’une des racines est 1. Utilisons le schéma de Horner :

						X=1 - racine

On obtient P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Nous chercherons des racines parmi les diviseurs du terme libre 2.

Nous avons découvert qu’il n’y avait plus de racines intactes. Vérifions 1/2 ; -1/2.

					X= -1/2 - racine

Réponse : 1 ; -1/2.

Exemple 3 : Résolvez l'équation 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Nous chercherons les racines de cette équation parmi les diviseurs du terme libre 5 : 1;-1;5;-5. x=1 est la racine de l'équation, puisque la somme des coefficients est nulle. Utilisons le schéma de Horner :

Présentons l'équation comme le produit de trois facteurs : (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Décider équation quadratique 5x 2 -7x+5=0, nous avons D=49-100=-51, il n'y a pas de racines.

Carte 1

1. Factoriser le polynôme : x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Résolvez l'équation : 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Carte 2

1. Factoriser le polynôme : x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Résolvez l'équation : x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Carte 3

1. Prendre en compte : 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Résolvez l'équation : x 3 -2x 2 +4x-8=0

Carte 4

1. Factoriser en : 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Résolvez l'équation : x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Résumé

Le test des connaissances lors de la résolution par paires s'effectue en classe en reconnaissant la méthode d'action et le nom de la réponse.

Devoirs:

Résolvez les équations :

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Littérature

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algèbre et débuts de l'analyse, 10e année (étude approfondie des mathématiques) : Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solution d'équations de degrés supérieurs : Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Les systèmes numériques et leur application.

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Type de cours: Une leçon de maîtrise et de consolidation des connaissances primaires.

Objectif de la leçon :

• Présentez aux élèves le concept des racines d’un polynôme et apprenez-leur à les trouver.
• Améliorez vos compétences en utilisant le schéma de Horner pour développer un polynôme par des puissances et diviser un polynôme par un binôme.
• Apprenez à trouver les racines d'une équation à l'aide du diagramme de Horner.
• Développer la pensée abstraite.
• Favoriser une culture informatique.

Développement de liens interdisciplinaires.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel.

Informez le sujet de la leçon, formulez des objectifs.

2. Vérification des devoirs.

3. Étudier du nouveau matériel. = Soit Fn(x) - une n x n + une n-1 x n-1 +...+ une 1 x + une 0 un polynôme pour x de degré n, où a 0 , a 1 ,...,an sont donnés des nombres, et a 0 n'est pas égal à 0. Si le polynôme F n (x) est divisé avec le reste par le binôme x-a , alors le quotient (quotient incomplet) est un polynôme Q n-1 (x) de degré n-1, le reste R est un nombre, et l'égalité est vraie F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) +R.

Le polynôme F n (x) n'est divisible par le binôme (x-a) que dans le cas de R=0. Théorème de Bezout : Reste R lors de la division d'un polynôme F n (x) par un binôme (x-a)égale à la valeur

Un peu d'histoire. Le théorème de Bezout, malgré son apparente simplicité et son évidence, est l'un des théorèmes fondamentaux de la théorie des polynômes. Ce théorème relie les propriétés algébriques des polynômes (qui permettent de traiter les polynômes comme des entiers) avec leurs propriétés fonctionnelles (qui permettent de traiter les polynômes comme des fonctions). Une façon de résoudre des équations de degré supérieur consiste à factoriser le polynôme du côté gauche de l’équation. Le calcul des coefficients du polynôme et du reste s'écrit sous la forme d'un tableau appelé schéma de Horner.

Le schéma de Horner est un algorithme de division de polynômes, écrit pour le cas particulier où le quotient est égal à un binôme x–un.

Horner William George (1786 - 1837), mathématicien anglais. Les principales recherches concernent la théorie des équations algébriques. Développement d'une méthode de résolution approximative d'équations de tout degré. En 1819, il a introduit une méthode importante pour l'algèbre consistant à diviser un polynôme par un binôme x - a (schéma de Horner).

Conclusion formule générale pour le plan de Horner.

Diviser un polynôme f(x) avec un reste par un binôme (x-c) signifie trouver un polynôme q(x) et un nombre r tel que f(x)=(x-c)q(x)+r

Écrivons cette égalité en détail :

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Égalisons les coefficients aux mêmes degrés :

xn :	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1 :	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2 :	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0 :	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Démonstration du circuit de Horner à l'aide d'un exemple.

Tâche 1. En utilisant le schéma de Horner, nous divisons le polynôme f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 avec le reste par le binôme x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, où g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 reste.

Développement d'un polynôme en puissances d'un binôme.

En utilisant le schéma de Horner, nous développons le polynôme f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 en puissances du binôme (x+2).

En conséquence, nous devrions obtenir le développement f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Le schéma de Horner est souvent utilisé lors de la résolution d'équations des troisième, quatrième degrés et supérieurs, lorsqu'il est pratique de développer le polynôme en un binôme x-a. Nombre un appelé racine du polynôme F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, si à x=une la valeur du polynôme F n (x) est égale à zéro : F n (a)=0, soit si le polynôme est divisible par le binôme x-a.

Par exemple, le nombre 2 est la racine du polynôme F 3 (x)=3x 3 -2x-20, puisque F 3 (2)=0. ça veut dire. Que la factorisation de ce polynôme contient un facteur x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Tout polynôme F n(x) de degré n Je ne peux plus en avoir n de vraies racines.

Toute racine entière d’une équation à coefficients entiers est un diviseur de son terme libre.

Si le coefficient dominant de l’équation est 1, alors tout racines rationnelles les équations, si elles existent, sont entières.

Consolidation du matériel étudié.

Pour consolider le nouveau matériel, les élèves sont invités à compléter les numéros du manuel 2.41 et 2.42 (p. 65).

(2 élèves résolvent au tableau, et les autres, après avoir décidé, vérifient les devoirs dans le cahier avec les réponses au tableau).

En résumé.

Ayant compris la structure et le principe de fonctionnement du schéma Horner, il peut également être utilisé dans les cours d'informatique, lorsque l'on considère la question de la conversion d'entiers du système de nombres décimaux en système binaire et vice versa. La base du transfert d'un système numérique à un autre est le théorème général suivant

Théorème. Pour convertir un nombre entier Ap depuis p-système de numérotation aire vers système de numérotation de base d nécessaire Ap diviser séquentiellement avec le reste par nombre d, écrit de la même manière p-ary système jusqu'à ce que le quotient résultant devienne égal à zéro. Les restes de la division seront d-chiffres numériques Annonce, en commençant par la catégorie la plus jeune jusqu'à la catégorie la plus senior. Toutes les actions doivent être réalisées dans p-système de numérotation aire. Pour une personne, cette règle n'est pratique que lorsque p= 10, soit en traduisant depuis système décimal. Quant à l’ordinateur, au contraire, il est « plus pratique » pour lui d’effectuer des calculs dans le système binaire. Par conséquent, pour convertir « 2 en 10 », une division séquentielle par dix dans le système binaire est utilisée, et « 10 en 2 » est l'addition de puissances de dix. Pour optimiser les calculs de la procédure « 10 en 2 », l'ordinateur utilise le schéma informatique économique de Horner.

Devoirs. Il est proposé d'accomplir deux tâches.

1er. En utilisant le schéma de Horner, divisez le polynôme f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 par le binôme (x-3).

2ème. Trouver les racines entières du polynôme f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (en considérant que toute racine entière d'une équation à coefficients entiers est un diviseur de son terme libre).

Littérature.

1. Kurosh A.G. "Cours d'algèbre supérieure."
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. et autres. 10e année « L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique ».
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.