Résolution d'équations modulaires. Développement méthodologique des « Equations à module

L'un des sujets les plus difficiles pour les étudiants consiste à résoudre des équations contenant une variable sous le signe du module. Voyons d'abord à quoi cela est lié ? Pourquoi, par exemple, la plupart des enfants résolvent-ils des équations quadratiques comme des fous, mais ont-ils tant de problèmes avec un concept aussi loin d'être complexe qu'un module ?

À mon avis, toutes ces difficultés sont liées au manque de règles clairement formulées pour résoudre les équations avec un module. Alors, décidant équation quadratique, l'étudiant sait avec certitude qu'il doit d'abord appliquer la formule discriminante, puis les formules des racines de l'équation quadratique. Que faire si un module est trouvé dans l'équation ? Nous essaierons de décrire clairement le plan d'action nécessaire pour le cas où l'équation contient une inconnue sous le signe du module. Nous donnerons plusieurs exemples pour chaque cas.

Mais d'abord, rappelons-nous définition du module. Donc modulo le nombre un ce numéro lui-même est appelé si un non négatif et -un, si numéro un moins que zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci :

|une| = a si a ≥ 0 et |a| = -a si un< 0

Parler de sens géométrique module, il ne faut pas oublier que chaque nombre réel correspond à un certain point sur l'axe des nombres - c'est à coordonner. Ainsi, le module ou valeur absolue d'un nombre est la distance de ce point à l'origine de l'axe numérique. La distance est toujours précisée nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est un nombre positif. À propos, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut contenir n'importe quel nombre, mais le résultat de l'utilisation du module est toujours un nombre positif.

Passons maintenant directement à la résolution des équations.

1. Considérons une équation de la forme |x| = c, où c est un nombre réel. Cette équation peut être résolue en utilisant la définition du module.

On divise tous les nombres réels en trois groupes : ceux qui sont supérieurs à zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro et le troisième groupe est le nombre 0. On écrit la solution sous forme de diagramme :

(±c, si c > 0

Si |x| = c, alors x = (0, si c = 0

(pas de racines si avec< 0

1) |x| = 5, parce que 5 > 0, alors x = ±5 ;

2) |x| = -5, car -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, alors x = 0.

2. Équation de la forme |f(x)| = b, où b > 0. Pour résoudre cette équation il faut se débarrasser du module. Nous procédons de cette façon : f(x) = b ou f(x) = -b. Vous devez maintenant résoudre chacune des équations résultantes séparément. Si dans l'équation originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, parce que 4 > 0, alors

x + 2 = 4 ou x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, parce que 11 > 0, alors

x 2 – 5 = 11 ou x 2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 pas de racines

3) |x2 – 5x| = -8, car -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Une équation de la forme |f(x)| = g(x). Selon la signification du module, une telle équation aura des solutions si son membre de droite est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire g(x) ≥ 0. Alors on aura :

f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Cette équation aura des racines si 5x – 10 ≥ 0. C'est là que commence la solution de telles équations.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solutions :

2x – 1 = 5x – 10 ou 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Nous combinons O.D.Z. et la solution, on obtient :

La racine x = 11/7 ne correspond pas à l'O.D.Z., elle est inférieure à 2, mais x = 3 satisfait cette condition.

Réponse : x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles :

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solutions :

x – 1 = 1 – x 2 ou x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1

3. Nous combinons la solution et O.D.Z. :

Seules les racines x = 1 et x = 0 conviennent.

Réponse : x = 0, x = 1.

4. Équation de la forme |f(x)| = |g(x)|. Une telle équation est équivalente aux deux équations suivantes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Cette équation est équivalente aux deux suivantes :

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ou x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1

Réponse : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Équations résolues par la méthode de substitution (remplacement de variable). Cette méthode de solution est plus facilement expliquée dans exemple spécifique. Donnons donc une équation quadratique de module :

x2 – 6|x| + 5 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc l’équation peut être réécrite comme suit :

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors on aura :

t 2 – 6t + 5 = 0. En résolvant cette équation, nous trouvons que t = 1 ou t = 5. Revenons au remplacement :

|x| = 1 ou |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Réponse : x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Regardons un autre exemple :

x2 + |x| – 2 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors :

t 2 + t – 2 = 0. En résolvant cette équation, on obtient t = -2 ou t = 1. Revenons au remplacement :

|x| = -2 ou |x| = 1

Pas de racines x = ± 1

Réponse : x = -1, x = 1.

6. Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues en utilisant les propriétés du module.

1) |3 – |x|| = 4. Nous agirons de la même manière que dans les équations du deuxième type. Parce que 4 > 0, alors on obtient deux équations :

3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.

Exprimons maintenant le module x dans chaque équation, alors |x| = -1 ou |x| = 7.

Nous résolvons chacune des équations résultantes. Il n’y a pas de racines dans la première équation, car -1< 0, а во втором x = ±7.

Réponse x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nous résolvons cette équation de la même manière :

3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Pas de racines.

Réponse : x = -3, x = 1.

Il existe également une méthode universelle pour résoudre des équations avec un module. Il s'agit de la méthode des intervalles. Mais nous y reviendrons plus tard.

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Résolution d'équations et d'inégalités avec module provoque souvent des difficultés. Cependant, si vous comprenez bien ce que c'est la valeur absolue d'un nombre, Et comment développer correctement des expressions contenant un signe de module, alors la présence dans l'équation expression sous le signe du module, cesse d’être un obstacle à sa solution.

Un peu de théorie. Chaque numéro a deux caractéristiques : valeur absolue numéro et son signe.

Par exemple, le nombre +5, ou simplement 5, a un signe « + » et une valeur absolue de 5.

Le nombre -5 a un signe "-" et une valeur absolue de 5.

Les valeurs absolues des nombres 5 et -5 sont 5.

La valeur absolue d'un nombre x est appelée le module du nombre et est notée |x|.

Comme on le voit, le module d'un nombre est égal au nombre lui-même si ce nombre est supérieur ou égal à zéro, et à ce nombre de signe opposé si ce nombre est négatif.

Il en va de même pour toutes les expressions qui apparaissent sous le signe du module.

La règle d'expansion du module ressemble à ceci :

|f(x)|= f(x) si f(x) ≥ 0, et

|f(x)|= - f(x), si f(x)< 0

Par exemple |x-3|=x-3, si x-3≥0 et |x-3|=-(x-3)=3-x, si x-3<0.

Pour résoudre une équation contenant une expression sous le signe du module, il faut d'abord développer un module selon la règle d'extension de module.

Alors notre équation ou inégalité devient en deux équations différentes existant sur deux intervalles numériques différents.

Une équation existe sur un intervalle numérique sur lequel l'expression sous le signe du module est non négative.

Et la deuxième équation existe sur l'intervalle sur lequel l'expression sous le signe du module est négative.

Regardons un exemple simple.

Résolvons l'équation :

|x-3|=-x2 +4x-3

1. Ouvrons le module.

|x-3|=x-3, si x-3≥0, c'est-à-dire si x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x si x-3<0, т.е. если х<3

2. Nous avons reçu deux intervalles numériques : x≥3 et x<3.

Considérons dans quelles équations l'équation d'origine est transformée sur chaque intervalle :

A) Pour x≥3 |x-3|=x-3, et notre blessure a la forme :

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x≥3 !

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

et résolvez cette équation.

Cette équation a des racines :

x1 =0, x2 =3

Attention! puisque l'équation x-3=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x≥3, nous ne nous intéressons qu'aux racines qui appartiennent à cet intervalle. Cette condition n'est satisfaite que par x 2 =3.

B) À x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x<3!

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires. On obtient l'équation :

x1 =2, x2 =3

Attention! puisque l'équation 3-x=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Donc : du premier intervalle nous prenons uniquement la racine x=3, du second - la racine x=2.

Le module est la valeur absolue de l'expression. Pour indiquer d'une manière ou d'une autre un module, il est d'usage d'utiliser des parenthèses droites. La valeur entre parenthèses paires est la valeur prise modulo. Le processus de résolution de n'importe quel module consiste à ouvrir ces parenthèses très droites, qui en langage mathématique sont appelées parenthèses modulaires. Leur divulgation s'effectue selon un certain nombre de règles. De plus, dans l'ordre de résolution des modules, on trouve les ensembles de valeurs des expressions qui se trouvaient entre parenthèses modulaires. Dans la plupart des cas, le module est étendu de telle sorte que l'expression qui était sous-modulaire reçoive à la fois des valeurs positives et négatives, y compris la valeur zéro. Si nous partons des propriétés établies du module, diverses équations ou inégalités de l'expression originale sont compilées au cours du processus, qui doivent ensuite être résolues. Voyons comment résoudre les modules.

Processus de résolution

La résolution d'un module commence par écrire l'équation originale avec le module. Pour répondre à la question de savoir comment résoudre des équations avec un module, vous devez l'ouvrir complètement. Pour résoudre une telle équation, le module est développé. Toutes les expressions modulaires doivent être prises en compte. Il est nécessaire de déterminer à quelles valeurs des quantités inconnues entrant dans sa composition, l'expression modulaire entre parenthèses devient nulle. Pour ce faire, il suffit d'assimiler l'expression entre parenthèses modulaires à zéro, puis de calculer la solution de l'équation résultante. Les valeurs trouvées doivent être enregistrées. De la même manière, vous devez également déterminer la valeur de toutes les variables inconnues pour tous les modules de cette équation. Ensuite, vous devez commencer à définir et à considérer tous les cas d'existence de variables dans les expressions lorsqu'elles sont différentes de la valeur zéro. Pour ce faire, vous devez écrire un système d'inégalités correspondant à tous les modules de l'inégalité d'origine. Les inégalités doivent être écrites de manière à couvrir toutes les valeurs disponibles et possibles pour une variable trouvées sur la droite numérique. Ensuite, vous devez tracer cette même droite numérique pour la visualisation, sur laquelle tracer ultérieurement toutes les valeurs obtenues.

Presque tout peut désormais se faire sur Internet. Le module ne déroge pas à la règle. Vous pouvez le résoudre en ligne sur l'une des nombreuses ressources modernes. Toutes les valeurs de la variable qui se trouvent dans le module zéro constitueront une contrainte spéciale qui sera utilisée dans le processus de résolution de l'équation modulaire. Dans l'équation originale, vous devez ouvrir toutes les parenthèses modulaires disponibles, tout en modifiant le signe de l'expression afin que les valeurs de la variable souhaitée coïncident avec les valeurs visibles sur la droite numérique. L'équation résultante doit être résolue. La valeur de la variable qui sera obtenue lors de la résolution de l'équation doit être vérifiée par rapport à la limitation spécifiée par le module lui-même. Si la valeur de la variable satisfait pleinement à la condition, alors elle est correcte. Toutes les racines qui seront obtenues lors de la résolution de l'équation, mais qui ne respecteront pas les restrictions, doivent être écartées.

Nous ne choisissons pas les mathématiques son métier, et elle nous choisit.

Le mathématicien russe Yu.I. Manin

Équations avec module

Les problèmes les plus difficiles à résoudre en mathématiques scolaires sont les équations contenant des variables sous le signe du module. Pour résoudre avec succès de telles équations, vous devez connaître la définition et les propriétés de base du module. Naturellement, les étudiants doivent avoir les compétences nécessaires pour résoudre des équations de ce type.

Concepts et propriétés de base

Module (valeur absolue) d'un nombre réel désigné par et est défini comme suit :

Les propriétés simples d'un module incluent les relations suivantes :

Note, que les deux dernières propriétés sont valables pour tout degré pair.

De plus, si, où, alors et

Propriétés de modules plus complexes, qui peut être utilisé efficacement lors de la résolution d'équations avec des modules, sont formulés à travers les théorèmes suivants :

Théorème 1.Pour toutes fonctions analytiques Et l'inégalité est vraie

Théorème 2. L'égalité équivaut à l'inégalité.

Théorème 3.Égalité équivaut à une inégalité.

Regardons des exemples typiques de résolution de problèmes sur le thème « Équations, contenant des variables sous le signe du module."

Résolution d'équations avec module

La méthode la plus courante en mathématiques scolaires pour résoudre des équations avec un module est la méthode, basé sur l’extension du module. Cette méthode est universelle, cependant, dans le cas général, son utilisation peut conduire à des calculs très lourds. À cet égard, les étudiants devraient connaître d'autres, des méthodes et techniques plus efficaces pour résoudre de telles équations. En particulier, il est nécessaire d'avoir des compétences dans l'application des théorèmes, donnée dans cet article.

Exemple 1. Résous l'équation. (1)

Solution. Nous résoudrons l’équation (1) en utilisant la méthode « classique » – la méthode de révélation des modules. Pour ce faire, divisons l'axe des nombres des points et en intervalles et considérons trois cas.

1. Si , alors , , , et l'équation (1) prend la forme . Il en découle. Cependant, ici, la valeur trouvée n'est donc pas la racine de l'équation (1).

2. Si, alors à partir de l'équation (1) nous obtenons ou .

Depuis lors racine de l’équation (1).

3. Si, alors l'équation (1) prend la forme ou . Notons cela.

Répondre: , .

Lors de la résolution d'équations ultérieures avec un module, nous utiliserons activement les propriétés des modules afin d'augmenter l'efficacité de la résolution de ces équations.

Exemple 2. Résous l'équation.

Solution. Depuis et alors de l'équation il résulte. À cet égard, , , et l'équation prend la forme. De là, nous obtenons. Cependant , donc l’équation originale n’a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

Exemple 3. Résous l'équation.

Solution. Depuis lors. Si donc et l'équation prend la forme.

De là, nous obtenons .

Exemple 4. Résous l'équation.

Solution.Réécrivons l'équation sous forme équivalente. (2)

L'équation résultante appartient aux équations de type .

Compte tenu du théorème 2, on peut affirmer que l'équation (2) est équivalente à l'inégalité . De là, nous obtenons .

Répondre: .

Exemple 5. Résous l'équation.

Solution. Cette équation a la forme. C'est pourquoi , selon le théorème 3, ici nous avons des inégalités ou .

Exemple 6. Résous l'équation.

Solution. Supposons cela. Parce que , alors l'équation donnée prend la forme d'une équation quadratique, (3)

Où . Puisque l’équation (3) a une seule racine positive et puis . De là, nous obtenons deux racines de l’équation originale : Et .

Exemple 7. Résous l'équation. (4)

Solution. Puisque l'équationest équivalent à la combinaison de deux équations : Et , alors lors de la résolution de l’équation (4), il est nécessaire de considérer deux cas.

1. Si , alors ou .

De là, nous obtenons , et .

2. Si , alors ou .

Depuis lors.

Répondre: , , , .

Exemple 8.Résous l'équation . (5)

Solution. Depuis et , alors . D'ici et de l'équation (5) il résulte que et , c'est-à-dire nous avons ici un système d'équations

Cependant, ce système d'équations est incohérent.

Réponse : pas de racines.

Exemple 9. Résous l'équation. (6)

Solution. Si nous notons , alors et à partir de l'équation (6) nous obtenons

Ou . (7)

Puisque l'équation (7) a la forme , cette équation est équivalente à l'inégalité . De là, nous obtenons . Depuis , alors ou .

Répondre: .

Exemple 10.Résous l'équation. (8)

Solution.D’après le théorème 1, on peut écrire

(9)

En tenant compte de l'équation (8), nous concluons que les deux inégalités (9) se transforment en égalités, c'est-à-dire il existe un système d'équations

Cependant, d'après le théorème 3, le système d'équations ci-dessus est équivalent au système d'inégalités

(10)

En résolvant le système d'inégalités (10), nous obtenons . Puisque le système d’inégalités (10) est équivalent à l’équation (8), l’équation originale a une racine unique.

Répondre: .

Exemple 11. Résous l'équation. (11)

Solution. Soit et , alors l'égalité découle de l'équation (11).

Il s'ensuit cela et . Nous avons donc ici un système d'inégalités

La solution à ce système d’inégalités est Et .

Répondre: , .

Exemple 12.Résous l'équation. (12)

Solution. L'équation (12) sera résolue par la méthode d'expansion séquentielle des modules. Pour ce faire, considérons plusieurs cas.

1. Si , alors .

1.1. Si , alors et , .

1.2. Si donc. Cependant , par conséquent, dans ce cas, l’équation (12) n’a pas de racine.

2. Si , alors .

2.1. Si , alors et , .

2.2. Si , alors et .

Répondre: , , , , .

Exemple 13.Résous l'équation. (13)

Solution. Puisque le côté gauche de l’équation (13) est non négatif, alors . À cet égard, et l'équation (13)

prend la forme ou .

On sait que l'équation est équivalent à la combinaison de deux équations Et , résoudre ce que nous obtenons, . Parce que , alors l'équation (13) a une racine.

Répondre: .

Exemple 14. Résoudre un système d'équations (14)

Solution. Depuis et , puis et . Par conséquent, à partir du système d'équations (14), nous obtenons quatre systèmes d'équations :

Les racines des systèmes d'équations ci-dessus sont les racines du système d'équations (14).

Répondre: ,, , , , , , .

Exemple 15. Résoudre un système d'équations (15)

Solution. Depuis lors. À cet égard, à partir du système d'équations (15), nous obtenons deux systèmes d'équations

Les racines du premier système d’équations sont et , et du deuxième système d’équations nous obtenons et .

Répondre: , , , .

Exemple 16. Résoudre un système d'équations (16)

Solution. De la première équation du système (16), il résulte que .

Depuis lors . Considérons la deuxième équation du système. Parce que le, Que , et l'équation prend la forme, , ou .

Si vous remplacez la valeurdans la première équation du système (16), alors, ou .

Répondre: , .

Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la résolution d'équations, contenant des variables sous le signe du module, Vous pouvez recommander des tutoriels à partir de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.

2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : tâches de complexité accrue. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 200 p.

3. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : méthodes non standards pour résoudre des problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 296 p.

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