反比例関数とそのプロパティ。 代数の教育および方法論的教材 (8 年生): 逆比例関数とそのグラフ

関数に関する理論を繰り返しましょう。 関数とは、1 つのセット (引数) の各要素が特定の ( 唯一の人！) 別のセット (関数値のセット) の要素。 つまり関数があれば \(y = f(x)\)、これは全員がという意味です 許容値変数 \（バツ\）(「引数」と呼ばれます) は変数の 1 つの値に対応します。 \(y\)(「関数」と呼ばれます)。

逆関係を記述する関数

これはフォームの関数です \(y = \frac(k)(x)\)、 どこ \(k\ne 0.\)

別の言い方をすると、これは反比例と呼ばれます。引数が増加すると、関数も比例して減少します。
定義領域を定義しましょう。 \(x\) は何と等しいでしょうか? あるいは、言い換えれば、それが何と同等であり得ないのでしょうか？

割り切れない数は 0 だけなので、 \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

または、どちらも同じです:

\(D(y) = R\バックスラッシュ \( 0\).\)

この表記法は、\(x\) が 0 以外の任意の数値になり得ることを意味します。記号「R」は実数のセット、つまりすべての可能な数値を示します。 記号「\」は、このセットから何かを除外することを示し (「マイナス」記号に類似)、中括弧内の数字 0 は単に数字 0 を意味します。 すべての可能な数値から 0 を除外することがわかります。

関数の値のセットはまったく同じであることがわかります。結局のところ、 \(k \ne 0.\) の場合、それを何で割っても 0 は機能しません。

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

または \(E(y) = R\バックスラッシュ \( 0\).\)

式のいくつかのバリエーションも可能です \(y = \frac(k)(x)\)。 例えば、 \(y = \frac(k)((x + a))\)も逆関係を表す関数です。 この関数のスコープと値の範囲は次のとおりです。

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

考えてみましょう 例、式を逆関係の形に縮小してみます。

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

分子に人為的に値 3 を導入し、分子を分母で項ごとに割ると、次のようになります。

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

逆の関係に数値 1 を加えた結果が得られました。

逆関係グラフ

簡単なケースから始めましょう \(y = \frac(1)(x).\)

値のテーブルを作成しましょう。

座標平面上に点を描いてみましょう。

点を結ぶと、グラフは次のようになります。

このグラフは次のように呼ばれます "双曲線"。 放物線と同様に、双曲線には 2 つの枝がありますが、それらは互いに接続されていません。 それぞれの端が軸に近づく傾向があります。 牛そして オイ、しかし彼らには決して届きません。

関数のいくつかの特徴に注目してみましょう。

1. 関数の分数の前にマイナスがある場合、グラフは反転します。つまり、軸に対して対称的に表示されます。 牛。
2. どうやって より大きな数分母が大きいほど、グラフは原点から「遠ざかる」ことになります。

人生における逆依存

実際にはそのような機能はどこにあるのでしょうか? 多くの例があります。 最も一般的なのは移動です。移動速度が速ければ速いほど、同じ距離を移動するのにかかる時間は短くなります。 速度の公式を思い出してみましょう。

\(v = \frac(S)(t),\)

ここで、v は速度、t は移動時間、S は距離 (経路) です。

ここから時間を表現できます。 \(t = \frac(S)(v).\)

トピックに関する 1 レッスン

実行:

テレギナ L.B.

レッスンの目的:

1. 関数について勉強したすべての内容を繰り返します。
2. 定義を入力してください 反比例そしてスケジュールの立て方を教えます。
3. 論理的思考を養います。
4. 注意力、正確さ、正確さを養います。

レッスンプラン：

1. 繰り返し。
2. 新素材の説明。
3. 体育分。
4. 統合。

備品：ポスター。

授業中:

1. レッスンは繰り返しから始まります。 学生はクロスワード パズル (事前に大きな紙に用意されたもの) を解くように求められます。

クロスワードの質問:

1. 変数間の依存関係。独立変数の各値が従属変数の 1 つの値に対応します。 [関数]。

2. 独立変数。 [口論]。

3. 横座標平面の点の集合は引数の値に等しく、縦座標は関数の値に等しい。 [スケジュール]。

4. 式 y=kx+b で与えられる関数。 [線形]。

5. 数値は何という係数と呼ばれますか? k 式y=kx+bでは? [コーナー]。

6. 一次関数のグラフとは何ですか? [真っ直ぐ]。

7. k≠0 の場合、グラフ y=kx+b はこの軸と交差し、k=0 の場合、グラフはこの軸に平行になります。 この軸は何の文字で表されますか? [バツ]。

8. 関数 y=kx の名前に含まれる単語は何ですか? [比例]。

9. 式 y=x で与えられる関数 2. [二次]。

10. チャートのタイトル 二次関数。 [放物線]。

11. ラテン語のアルファベットの文字で、多くの場合関数を表します。 [イグレック]。

12. 関数を指定する方法の 1 つ。 [式]。

教師 : 私たちが知っている関数を指定する主な方法は何ですか?

(1 人の生徒が黒板で課題を受け取ります。引数の指定された値を使用して関数 12/x の値の表を記入し、対応する点を座標平面上にプロットします)。

残りは教師の質問に答えます: (事前に黒板に書いてあります)

1. 式で与えられる次の関数の名前は何ですか: y=kx、y=kx+b、y=x 2 、y=x 3 ?

2. 次の関数の定義域を指定します: y=x 2 +8、y=1/x-7、y=4x-1/5、y=2x、y=7-5x、y=2/x、y=x 3 、y=-10/x。

次に、生徒は表に従って作業し、教師からの質問に答えます。

1. 表のどの図がグラフを示していますか。

a) 一次関数。

b) 直接比例。

c) 二次関数。

d) y=kx の形式の関数 3 ?

2. 表の図 1、2、4、5 のグラフに対応する、y=kx+b の形式の式における係数 k は何の符号を持ちますか?

3. 表内のグラフィックを検索する 一次関数、その角度係数は次のとおりです。

a) 等しい。

b) 大きさが等しく、符号が反対。

(その後、クラス全体が、ボードに呼び出された生徒が表に正しく記入し、座標平面上に点を配置したかどうかを確認します)。

2. 説明は動機から始まります。

教師： ご存知のとおり、すべての関数は、私たちの周囲の世界で発生するいくつかのプロセスを表します。

たとえば、辺のある長方形を考えてみましょう。 x と y、面積 12 cm 2 。 x*y=12 であることがわかっていますが、長方形の辺の 1 つ、たとえば長さのある辺を変更し始めるとどうなるでしょうか。バツ？

辺の長さy 式y=12/xから求めることができます。 もしバツ 2 倍に増やすと、y=12/2x になります。つまり、 側 y 2倍に減ります。 値がバツ 3、4、5... 倍に増加し、その後の値 y 同じ量だけ減ります。 逆に、もしバツ 数回減少し、その後 y 同じ量だけ増えます。 (表に従って作業してください)。

したがって、y=12/x の形式の関数は反比例と呼ばれます。 で 一般的な見解 y=k/x と書きます。k は定数、k≠0 です。

これが今日のレッスンのテーマです。私たちはそれをノートに書きました。 厳密な定義をします。 特別な種類の反比例である関数 y=12/x については、引数と関数の値の数をすでに表に書き留めており、対応する点を座標平面上に描画します。 この関数のグラフはどのようになりますか? 点は任意に接続できるため、構築された点に基づいてグラフ全体を判断することは困難です。 表と公式を考慮して、関数のグラフについて結論を導き出しましょう。

クラスへの質問:

1. 関数 y=12/x の定義域は何ですか?
2. y の値が正であるか負であるか

a) ×

b) x>0?

3. 変数の値がどのように変化するか y 価値観の変化とともにバツ？

それで、

1. 点 (0,0) はグラフに属しません。つまり、 OX 軸とも OY 軸とも交差しません。
2. グラフは Ι および ΙΙΙ 座標の 4 分の 1 にあります。
3. は、Ι 座標クォーターと ΙΙΙ の両方の座標軸にスムーズに近づき、希望どおりに軸に近づきます。

この情報があれば、すでに図の点を結んで (教師がボード上で自分でこれを行います)、関数 y=12/x のグラフ全体を見ることができます。 結果として得られる曲線は双曲線と呼ばれます。これはギリシャ語で「何かを通過する」という意味です。 この曲線は、紀元前 4 世紀頃に古代ギリシャの数学者によって発見されました。 誇張という用語は、6 世紀から 8 世紀に住んでいたペルガモン都市 (小アジア) のアポロニウスによって導入されました。 紀元前。

さて、関数 y=12/x のグラフの隣に、関数 y=-12/x のグラフを作成します。 (生徒はこの課題をノートで完了し、1 人の生徒は黒板で完了します)。

両方のグラフを比較すると、生徒は 2 番目のグラフが座標の 2 と 4 の 4 分の 1 を占めていることに気づきます。 また、関数y=12/xのグラフをオペアンプ軸に対して対称に表示すると、関数y=-12/xのグラフが得られます。

質問: 双曲線 y=k/x のグラフの位置は、係数 k の符号と値にどのように依存しますか?

生徒は、k>0 の場合、グラフは Ι に位置すると確信します。そして ΙΙΙ 座標四半期、および k の場合

1. 体育の授業は先生が担当します。

1. 学習内容の定着は、教科書の No.180、185 を完了するときに行われます。

1. 授業の概要、成績、宿題: p. 8 No. 179、184。

トピックに関するレッスン 2

「反比例関数とそのグラフ」

実行:

テレギナ L.B.

レッスンの目的:

1. 反比例関数のグラフを構築するスキルを強化します。
2. 論理的思考という主題への興味を育みます。
3. 独立性と注意力を養います。

レッスンプラン：

1. 進捗状況を確認中 宿題.
2. 口頭仕事。
3. 問題解決。
4. 体育分。
5. マルチレベルの独立した作品。
6. まとめ、評価、宿題。

装備：カード。

授業中:

1. 講師がレッスンのテーマ、目標、レッスンプランを発表します。

次に、2 人の生徒が割り当てられた家の番号 179、184 をボードに記入します。

1. 残りの生徒は正面から取り組み、先生の質問に答えます。

質問:

• 反比例関数を定義します。
• 反比例関数のグラフとは何ですか。
• 双曲線 y=k/x のグラフの位置は係数 k の値にどのように依存しますか?

タスク:

1. 式で指定される関数の中には、反比例の関数があります。

a) y=x 2 +5、b) y=1/x、c) y= 4x-1、d) y=2x、e) y=7-5x、f) y=-11/x、g) y=x 3、h) y=15/x-2。

2. 反比例の関数については、係数に名前を付け、グラフがどの四半期に位置するかを示します。

3. 反比例関数の定義域を見つけます。

（その後、生徒は先生がチェックした黒板の数字の解答に基づいて、お互いの宿題を鉛筆でチェックし、採点します。）

教科書No.190、191、192、193（口頭）による正面作業。

1. 教科書 No.186(b)、187(b)、182 のノートとボード上での実行。

4. 体育の授業は教師によって行われます。

5. 独立した仕事で与えられた 3つのオプションさまざまな複雑さ（カード上に分散）。

Ⅱｃ． （軽量）。

次の表を使用して、反比例関数 y=-6/x のグラフをプロットします。

グラフを使用して、以下を見つけます。

a) x = - 1.5 の場合の y の値。 2;

b) y = - 1となるxの値。 4.

12世紀 (中程度の難易度)

最初に表に記入した反比例関数 y=16/x のグラフをプロットします。

グラフを使用して、どのような値かを調べます xy >0。

21世紀 (難易度が上がりました)

最初に表に記入した反比例関数 y=10/x-2 のグラフをプロットします。

この関数の定義域を見つけます。

(生徒はテスト用にグラフが描かれたシートを渡します)。

6. レッスン、評価、宿題の要約: No. 186 (a)、187 (a)。

今日は、どのような量が反比例と呼ばれるか、反比例のグラフがどのようなものであるか、そしてこれらすべてが数学の授業だけでなく学校の外でもどのように役立つかを見ていきます。

こんなに比率が違うなんて

比例性相互に依存する 2 つの量を挙げてください。

依存関係は直接的または逆的になる可能性があります。 したがって、量間の関係は正比例と反比例によって記述されます。

正比例– これは、2 つの量の間の関係で、一方の増加または減少が他方の量の増加または減少につながります。 それらの。 彼らの態度は変わりません。

たとえば、試験勉強を頑張れば頑張るほど成績は上がります。 または、ハイキングに持っていくものが増えれば増えるほど、バックパックを運ぶのは重くなります。 それらの。 試験の準備に費やした努力の量は、獲得した成績に直接比例します。 そして、バックパックに詰める物の数はその重さに直接比例します。

反比例– これは、独立した値 (引数と呼ばれます) の数倍の減少または増加が、従属値 (引数と呼ばれます) の比例した (つまり、同じ回数の) 増加または減少を引き起こす関数依存です。関数）。

図解してみましょう 簡単な例。 あなたは市場でリンゴを買いたいと思っています。 カウンターにあるリンゴと財布の中のお金の量は反比例します。 それらの。 リンゴを買えば買うほど、手元に残るお金は減っていきます。

関数とそのグラフ

反比例関数は次のように説明できます。 y = k/x。 その中で バツ≠ 0 および k≠ 0.

この関数には次のプロパティがあります。

1. その定義領域は、以下を除くすべての実数の集合です。 バツ = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. 範囲はすべて実数です。 y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. 最大値や最小値はありません。
4. それは奇数であり、そのグラフは原点に対して対称です。
5. 非定期的。
6. そのグラフは座標軸と交差しません。
7. ゼロはありません。
8. もし k> 0 (つまり、引数が増加)、関数は各区間で比例して減少します。 もし k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. 引数が増えると ( k> 0) 負の値関数は区間 (-∞; 0) 内にあり、正の関数は (0; +∞) です。 引数が減少すると ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

反比例関数のグラフを双曲線と呼びます。 以下のように示されます。

反比例の問題

わかりやすくするために、いくつかのタスクを見てみましょう。 それらはそれほど複雑ではなく、それらを解くことで、反比例とは何か、そしてこの知識が日常生活でどのように役立つかを視覚化するのに役立ちます。

タスクその1。 車が時速60kmの速度で走っています。 彼は目的地に着くまでに6時間かかった。 2 倍の速度で移動した場合、同じ距離を移動するのにどれくらい時間がかかりますか?

まず、時間、距離、速度の関係を表す式、t = S/V を書き留めることから始めます。 同意します。これは反比例関数を非常に思い出させます。 そして、車が道路を走行する時間と車の移動速度は反比例することを示しています。

これを検証するために、条件に従って 2 倍高い V 2 を見つけてみましょう: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h。 次に、式 S = V * t = 60 * 6 = 360 km を使用して距離を計算します。 問題の条件に従って、必要な時間 t 2 を求めるのは難しくありません。t 2 = 360/120 = 3 時間です。

ご覧のとおり、移動時間と速度は実際に反比例します。元の速度の 2 倍の速度では、車が道路を走行する時間は 2 倍短くなります。

この問題の解は比率で表すこともできます。 それでは、まず次の図を作成しましょう。

↓ 60km/h – 6時間

↓120km/h – xh

矢印は反比例の関係を示します。 彼らはまた、比率を作成するときに、レコードの右側を裏返す必要があることを示唆しています: 60/120 = x/6。 x = 60 * 6/120 = 3 時間はどこから得られますか。

タスクその2。 このワークショップでは 6 人の労働者が雇用されており、一定の作業量を 4 時間で完了できます。 労働者の数が半分になった場合、残りの労働者が同じ量の作業を完了するのにどれくらい時間がかかりますか?

問題の状況を視覚的な図の形で書き留めてみましょう。

↓ 作業員6名 – 4時間

↓ 労働者 3 人 – x 時間

これを比率で書きましょう: 6/3 = x/4。 x = 6 * 4/3 = 8 時間となります。従業員が 2 倍少ない場合、残りの従業員はすべての作業に 2 倍の時間を費やすことになります。

タスクその3。 プールにつながるパイプが2本あります。 1 本のパイプを通って、水は毎秒 2 リットルの速度で流れ、45 分でプールが満たされます。 別のパイプを経由すると、プールは 75 分で満水になります。 水はどのくらいの速度でこのパイプを通ってプールに入りますか?

まず、問題の条件に従って与えられたすべての量を同じ測定単位に換算してみましょう。 これを行うには、プールを満たす速度を毎分リットルで表します: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/分。

2 番目のパイプを介してプールがよりゆっくりと満たされるという条件から導かれるため、これは水の流量がより低いことを意味します。 比例関係は反比例です。 未知の速度を x で表し、次の図を作成してみましょう。

↓ 120リットル/分 – 45分

↓ × l/分 – 75 分

そして、比率を計算します: 120/x = 75/45、ここから x = 120 * 45/75 = 72 l/min。

この問題では、プールの充填率はリットル/秒で表されます。受け取った答えを同じ形式に換算してみましょう: 72/60 = 1.2 l/s。

タスクその4。 小さな個人の印刷会社が名刺を印刷しています。 印刷会社の従業員は、1 時間あたり名刺 42 枚の速度で作業し、丸 1 日、つまり 8 時間働きます。 もし彼の仕事が速くなり、1 時間で 48 枚の名刺を印刷できたとしたら、どれくらい早く帰宅できるでしょうか?

証明されたパスに従い、問題の条件に従って図を作成し、目的の値を x として指定します。

↓ 名刺 42 枚/時間 – 8 時間

↓ 名刺48枚/h – x h

反比例の関係があります。つまり、印刷会社の従業員が 1 時間あたりに印刷する名刺の枚数が増えると、同じ作業を完了するのに必要な時間がその倍になります。 これを理解した上で、比率を作成しましょう。

42/48 = x/8、x = 42 * 8/48 = 7 時間。

したがって、印刷所の従業員は 7 時間で仕事を完了したため、1 時間早く帰宅することができました。

結論

私たちには、これらの反比例の問題は非常に単純であるように思えます。 今、あなたもそのように考えていただければ幸いです。 そして重要なことは、その逆についての知識です 比例依存実際に、何度も役に立つかもしれません。

数学の授業や試験だけではありません。 それでも、旅行に行く準備をしたり、買い物に行ったり、休暇中に少しお小遣いを稼ごうと決めたりするときは、さまざまです。

あなたの周りで気づいた反比例関係および正比例関係の例をコメントで教えてください。 そんなゲームにしましょう。 それがどれほどエキサイティングなものであるかがわかります。 この記事を忘れずに共有してください ソーシャルネットワークで友達やクラスメートもプレイできるようになります。

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