入り口対数の式の値を求めます。 自然対数、関数 ln x
解決策となるタスク 対数式の変換, 統一国家試験では非常に一般的です。
最小限の時間でそれらにうまく対処するには、基本的な対数恒等式に加えて、さらにいくつかの公式を知り、正しく使用する必要があります。
これは次のとおりです: a log a b = b、ただし、a、b > 0、a ≠ 1 (対数の定義から直接得られます)。
log a b = log c b / log c a または log a b = 1/log b a
ここで、a、b、c > 0; a、c≠1。
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
ここで、a、b > 0、a ≠ 1、m、n Є R、n ≠ 0。
a log c b = b log c a
ここで、a、b、c > 0、および a、b、c ≠ 1
4 番目の等式の妥当性を示すために、左辺と右辺の対数を底 a としてみましょう。 log a (a log with b) = log a (b log with a) または log with b = log with a · log a b; を取得します。 log c b = log c a · (log c b / log c a); b を伴う対数 = b を伴う対数。
対数が等しいことは証明されました。これは、対数の下の式も等しいことを意味します。 Formula 4 は証明されました。
例1.
81 log 27 5 log 5 4 を計算します。
解決。
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5、log 5 4 = log 3 4 / log 3 5。したがって、
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4。
すると 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4 となります。
次のタスクは自分で完了できます。
(8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5 を計算します。
ヒントとして、 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; ログ 0.2 5 = -1。
答え: 5.
例2。
(√11) を計算します ログ √3 9-ログ 121 81 。
解決。
式を変更してみましょう: 9 = 3 2、√3 = 3 1/2、log √3 9 = 4、
121 = 11 2、81 = 3 4、log 121 81 = 2 log 11 3 (式 3 を使用)。
すると (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3。
例 3.
log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2を計算します。
解決。
例に含まれる対数を底が 2 の対数に置き換えます。
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3)。
次に、log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3)。
括弧を開いて同様の用語を入力すると、数値 3 が得られます。 (式を簡略化する場合、log 2 3 を n で表すことができ、式を簡略化できます)
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n))。
答え: 3.
次のタスクは自分で実行できます。
計算 (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
ここでは、底 3 の対数への移行と、大きな数の素因数への因数分解を行う必要があります。
答え:1/2
例4.
3 つの数値が与えられると、A = 1/(log 3 0.5)、B = 1/(log 0.5 3)、C = log 0.5 12 – log 0.5 3. それらを昇順に並べます。
解決。
数値を変換しましょう A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0.5 12 – log 0.5 3 = log 0.5 12/3 = log 0.5 4 = -2。
比較してみましょう
log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 および log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
または 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
答え。 したがって、数字を配置する順序は次のとおりです。 C; A; で。
例5。
間隔に含まれる整数の数 (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48)。
解決。
1/16 という数字が 3 の何乗の間に位置するかを調べてみましょう。 1/27が届きます< 1 / 16 < 1 / 9 .
関数 y = log 3 x は増加するので、log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3)。 log 6 (4 / 3) と 1 / 5 を比較してみましょう。 このために、4/3 と 6 1/5 という数字を比較します。 両方の数値を 5 乗してみましょう。 (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 となります。< 6. Следовательно,
ログ 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
したがって、間隔 (log 3 1 / 16 ; log 6 48) には間隔 [-2; log 6 48] が含まれます。 4] と整数 -2 がその上に配置されます。 -1; 0; 1; 2; 3; 4.
答え: 7 つの整数です。
例6。
3 lglg 2/ lg 3 - lg20 を計算します。
解決。
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 l® g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2。
すると、3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1 となります。
答え: -1。
例7。
log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A であることが知られています。log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2) を求めます。
解決。
数字 (√3 + 1) および (√3 – 1)。 (√6 – 2) と (√6 + 2) は共役です。
次の式の変換を実行してみましょう
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2)。
次に、log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A。
答え: 2 – A.
例8.
式を簡略化して近似値を求めます (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9)。
解決。
すべての対数を共通の底を 10 に換算してみましょう。
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (lg 2 の近似値は、表、計算尺、または電卓を使用して求めることができます)。
答え: 0.3010。
例9.
log √ a b 3 = 1 の場合、log a 2 b 3 √(a 11 b -3) を計算します (この例では、a 2 b 3 が対数の底です)。
解決。
log √ a b 3 = 1 の場合、3/(0.5 log a b = 1。そして log a b = 1/6。
次に、log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ と考える6 では、(11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1 が得られます。
答え: 2.1。
次のタスクは自分で実行できます。
log 0.7 27 = a の場合、log √3 6 √2.1 を計算します。
答え: (3 + a) / (3a)。
例10。
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125 を計算します。
解決。
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6。
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (式4))
9 + 6 = 15 となります。
答え: 15.
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ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。 この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。 対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。 この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。 この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そして対数をどのように扱うかについて説明します。 シンプルで親しみやすい言語で。
数学における定義
対数は、次の形式の式です。 log a b=c、つまり、負でない数値 (つまり、正の数値) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。 例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。 それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。
対数の種類
多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。 3つあります 個々の種対数式:
- 自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
- 10 進数の a。底は 10 です。
- a>1 を底とする任意の数 b の対数。
それらのそれぞれは、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。 対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。
ルールといくつかの制限事項
数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。 たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、負の数の偶根を抽出することも不可能です。 対数にも独自のルールがあり、これに従うと、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。
- 基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
- a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。
対数を解くにはどうすればいいですか?
たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられます。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。
次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。
未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。 次のようになります。
ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。 ただし、 大きな値度数表が必要になります。 複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。 左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。 交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。 たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。 すべてはとてもシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。
方程式と不等式
特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。 したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。 たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の 3 を底とする対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。 負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。 数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。 以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。 ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。
次の形式の式を指定すると: log 2 (x-1) > 3 - それは次のとおりです。 対数不等式、未知の値「x」は対数の符号の下にあるためです。 また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。
対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (例 - 対数 2 x = √9) は答えに 1 つ以上の特定の数値を暗示するのに対し、不等式を解くときは領域として定義されることです。 許容可能な値、およびこの関数のブレークポイント。 結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値のセットではなく、連続する一連の数値または数値のセットになります。
対数に関する基本定理
対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。 ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。 方程式の例は後で見ていきますが、最初に各プロパティを詳しく見てみましょう。
- 主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。 これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
- 積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。 この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
- 商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
- 数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。
この式を「対数の次数の性質」といいます。 これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。 証明を見てみましょう。
log a b = t とすると、a t =b になります。 両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;
しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。 定理は証明されました。
問題と不平等の例
対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。 ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。 大学に入学したり、数学の入学試験に合格したりするには、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。
残念ながら、対数の未知の値を解いて決定するための単一の計画やスキームはありませんが、特定のルールを各数学的不等式または対数方程式に適用できます。 まず第一に、式を簡略化できるか、または次のような結果につながるかどうかを確認する必要があります。 一般の見かけ。 長いものを簡略化する 対数表現プロパティを正しく使用すれば可能です。 早速彼らのことを知りましょう。
決めるとき 対数方程式、どのタイプの対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または 10 進数の対数が含まれている可能性があります。
ln100、ln1026 の例を次に示します。 彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。 解決策に向けて 自然対数対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。 例を挙げて解決策を見てみましょう 対数問題他の種類。
対数式の使用方法: 例と解決策付き
それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。
- 積の対数の特性は、展開が必要なタスクで使用できます。 非常に重要 b をより単純な因数に数値化します。 たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。 底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。
統一州試験の課題
対数は入学試験でよく出題され、特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。 通常、これらのタスクはパート A (最も簡単なパート) だけでなく、 テスト部分試験）だけでなく、パート C（最も複雑で量の多いタスク）にも含まれます。 試験では、「自然対数」というトピックについての正確かつ完璧な知識が必要です。
問題の例と解決策は公式から引用しています 統一州試験のオプション。 このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。
log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。 解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。
- 解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
- 対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すと、対数の下に残る式は正でなければなりません。
まずは始めましょう 1の対数の性質。 その定式化は次のとおりです: 1 の対数 ゼロに等しい、 あれは、 ログ 1=0 a>0 の場合、a≠1。 証明は難しくありません。上記の条件 a>0 および a≠1 を満たす任意の a に対して a 0 =1 であるため、証明される等価 log a 1=0 は対数の定義からすぐに得られます。
考慮したプロパティの適用例を示します。log 3 1=0、log1=0、および です。
次のプロパティに進みましょう。 底に等しい数の対数 1に等しい 、 あれは、 ログ a a=1 a>0 の場合、a≠1。 実際、任意の a に対して a 1 =a なので、対数 log a a=1 の定義によります。
この対数の性質を使用する例としては、等式 log 5 5=1、log 5.6 5.6、lne=1 などがあります。
たとえば、log 2 2 7 =7、log10 -4 =-4、および 
.
2 の積の対数 正の数 x と y は、次の数値の対数の積に等しくなります。 log a (x y)=log a x+log a y、a>0、a≠1。 積の対数の性質を証明してみましょう。 度数の性質上 a log a x+log a y =a log a x ·a log a yそして、主対数恒等式により、log a x =x および log a y =y となるため、log a x ·a log a y =x · y となります。 したがって、log a x+log a y =x・yとなり、対数の定義により、等しいことが証明されます。
積の対数のプロパティを使用する例を示します: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 および 
.
積の対数の特性は、次のように、有限数 n の正の数 x 1 、 x 2 、…、 x n の積に一般化できます。 log a (x 1 ·x 2 ·… ·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n 。 この等価性は問題なく証明できます。
たとえば、積の自然対数は、数値 4、e、および の 3 つの自然対数の合計で置き換えることができます。
2 つの正の数の商の対数 x と y は、これらの数値の対数間の差に等しくなります。 商の対数の特性は、 の形式の式に対応します。ここで、a>0、a≠1、x および y は正の数です。 この公式の妥当性は、積の対数の公式と同様に証明されています。 
、次に対数の定義による。
この対数のプロパティの使用例を次に示します。 
.
次に進みましょう べき乗の対数の性質。 次数の対数は、指数と、この次数の底の係数の対数の積に等しくなります。 このべき乗の対数の性質を式として書いてみましょう。 log a b p =p・log a |b|ここで、a>0、a≠1、b および p は、次数 b p が意味を持ち、b p >0 となるような数値です。
まず、この性質を正の b について証明します。 基本的な対数恒等式により、数値 b を a log a b として表すことができ、 b p =(a log a b) p となり、べき乗の性質により、結果の式は a p・log a b に等しくなります。 したがって、等式 b p =a p・log a b が得られ、そこから対数の定義により、log a b p =p・log a b と結論付けられます。
負の b についてこの性質を証明することはまだ残っています。 ここで、負の b に対する式 log a b p は、偶数の指数 p の場合にのみ意味があることに注意してください (次数 b p の値はゼロより大きくなければならず、そうでない場合は対数が意味を成さないからです)。この場合、 b p =|b| となります。 p. それから b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p・log a |b|, ここから、log a b p =p・log a |b| 。
例えば、 
ln(-3) 4 =4・ln|-3|=4・ln3 。
前のプロパティから引き継がれます 根からの対数の性質: n 乗根の対数は、分数 1/n と根号表現の対数の積に等しい。つまり、 
、ここで、a>0、a≠1、n – 自然数、1より大きい、b>0。
証明は、任意の正の b に対して有効な等式 (参照) と、べき乗の対数の特性に基づいています。 
.
このプロパティの使用例を次に示します。 
.
さあ証明しましょう 新しい対数底に移動するための公式親切 
。 これを行うには、等式 log c b=log a b・log c a の妥当性を証明するだけで十分です。 基本的な対数恒等式により、数値 b を a log a b として表すことができ、log c b=log c a log a b となります。 次の次の次の対数の特性を使用することが残ります。 log c a log a b =log a blog log c a。 これにより、等価性 log c b=log a b・log c a が証明され、対数の新しい底への遷移公式も証明されたことになります。
この対数の特性を使用する例をいくつか示します。 
.
新しい底に移動する公式を使用すると、「便利な」底を持つ対数の処理に進むことができます。 たとえば、その助けを借りて、ナチュラルまたは 10 進対数対数表から対数の値を計算できます。 新しい対数の底に移動するための式を使用すると、場合によっては、他の底を持ついくつかの対数の値がわかっている場合に、特定の対数の値を見つけることもできます。
c=b の形式の新しい対数底への移行式の特殊なケースがよく使用されます。 
。 これは、log a b と log b a – を示しています。 例えば、 
.
公式もよく使われます 
、対数値を求めるのに便利です。 私たちの言葉を確認するために、これを使用して の形式の対数値を計算する方法を示します。 我々は持っています 
。 公式を証明するには 
対数 a の新しい底への遷移には次の公式を使用するだけで十分です。 
.
対数の比較の性質を証明することはまだ残っています。
任意の正の数 b 1 および b 2 について、b 1 であることを証明してみましょう。 log a b 2 、および a>1 の場合 – 不等式 log a b 1 最後に、列挙された対数の特性の最後の証明が残っています。 最初の部分の証明に限定しましょう。つまり、a 1 >1、a 2 >1、および a 1 の場合を証明します。 1 は、log a 1 b>log a 2 b が真です。 対数のこの性質の残りの記述は、同様の原理に従って証明されます。 逆の方法を使ってみましょう。 a 1 >1、a 2 >1、および a 1 について仮定します。 1 は、log a 1 b≤log a 2 b が真です。 対数の性質に基づいて、これらの不等式は次のように書き直すことができます。 
そして 
これらから、それぞれ、log b a 1 ≤ log b a 2 および log b a 1 ≧log b a 2 が得られます。 次に、同じ基数を持つべき乗の性質に従って、等式 b log b a 1 ≥b log b a 2 および b log b a 1 ≥b log b a 2 が成立する必要があります。つまり、a 1 ≥a 2 です。 したがって、条件 a 1 に矛盾することがわかりました。
参考文献。
- コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の始まり: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
- グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。
今日は次のことについて話します 対数式そして私たちは指標を与えます 解決策の例.
それら自体は、対数の基本特性に従って解のパターンを暗示します。 対数公式を適用して解く前に、すべての特性を思い出してください。
さて、これらの式（性質）に基づいて、次のように示します。 対数を解く例.
数式に基づいて対数を解く例。
対数 a を底とする正の数 b (log a b で示される) は、b を得るために a を累乗する必要がある指数であり、b > 0、a > 0、および 1 です。
定義によれば、log a b = x は a x = b と同等であるため、log a a x = x となります。
対数、例:
log 2 8 = 3、なぜなら 2 3 = 8
log 7 49 = 2、なぜなら 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1、なぜなら 5 -1 = 1/5
10 進対数- これは、底が 10 の常対数です。lg として表されます。
log 10 100 = 2、なぜなら 10 2 = 100
自然対数- これも通常の対数、対数ですが底が e です (e = 2.71828... - 無理数)。 lnとして表されます。
対数の公式や性質は、後で対数、対数方程式、不等式を解くときに必要になるため、覚えておくことをお勧めします。 例を挙げて各式をもう一度見てみましょう。
- 基本対数恒等式
a ログ a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- 積の対数は対数の合計に等しい
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- 商の対数は対数の差に等しい
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- 対数のべき乗と対数の底の性質
対数の指数 log a b m = mlog a b
対数の底の指数 log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b、
m = n の場合、log a n b n = log a b が得られます。
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- 新しい基盤への移行
log a b = log c b/log c a、c = b の場合、log b b = 1 が得られます。
log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
ご覧のとおり、対数の公式は見た目ほど複雑ではありません。 さて、対数を解く例を見てきましたので、次は対数方程式に移ります。 対数方程式を解く例については、記事「」で詳しく見ていきます。 お見逃しなく！
解決策についてまだ質問がある場合は、記事のコメントに書き込んでください。
注: 私たちは別のクラスの教育を受け、オプションとして海外留学することにしました。
原始レベル代数の要素の 1 つは対数です。 この名前はギリシャ語の「数」または「べき乗」という言葉に由来しており、最終的な数値を求めるために底の数値を累乗する必要があることを意味します。
対数の種類
- log a b – a を底とする数値 b の対数 (a > 0、a ≠ 1、b > 0)。
- log b – 10 進対数 (10 を底とする対数、a = 10)。
- ln b – 自然対数 (e を底とする対数、a = e)。
対数を解くにはどうすればいいですか?
b の底 a に対する対数は、b を底 a まで累乗する必要がある指数です。 得られた結果は、「a を底とする b の対数」のように発音されます。 対数問題の解決策は、指定された数値から所定の数値の累乗を求める必要があることです。 対数を決定または解くため、また表記そのものを変換するための基本的な規則がいくつかあります。 これらを使用して、対数方程式を解き、導関数を求め、積分を解き、その他多くの演算を実行します。 基本的に、対数自体の解はその簡略化された表記です。 以下に基本的な式とプロパティを示します。
任意の ; a > 0; a ≠ 1 および任意の x について; y > 0。
- a log a b = b – 基本対数恒等式
- ログ a 1 = 0
- 対数 a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x 、k ≠ 0 の場合
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – 新しいベースに移動するための公式
- log a x = 1/log x a
対数の解き方 - 段階的な解き方の説明
- まず、必要な方程式を書き留めます。
注意: 底対数が 10 の場合、エントリは短縮され、10 進対数になります。 自然数 e がある場合、それを自然対数に換算して書き留めます。 これは、すべての対数の結果が、数値 b を得るために底の数値を累乗することを意味します。
直接的には、解決策はこの次数を計算することにあります。 対数を使用して式を解く前に、ルールに従って、つまり公式を使用して式を簡略化する必要があります。 記事を少し遡ると主な正体を見つけることができます。
基数が同じで異なる 2 つの数値の対数を加算および減算する場合、数値 b と数値 c の積または除算をそれぞれ 1 つの対数に置き換えます。 この場合、別の拠点に移動するための公式を適用できます (上記を参照)。
式を使用して対数を簡略化する場合は、考慮すべき制限がいくつかあります。 つまり、対数 a の底は正の数にすぎませんが、1 には等しくありません。 数値 b は、a と同様に 0 より大きくなければなりません。
式を簡略化すると、数値的に対数を計算できなくなる場合があります。 多くの累乗は無理数であるため、そのような式が意味をなさないことが起こります。 この条件では、数値のべき乗を対数のままにします。
