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関数の最大値と最小値を見つける方法。極端な機能

このサービスで、あなたはすることができます 最大のものを見つけて最小値関数 Wordのソリューションの設計を含む1つの変数f（x）。したがって、関数f（x、y）が与えられた場合、2つの変数の関数の極値を見つける必要があります。関数の増減の間隔もわかります。

関数エントリルール:

1つの変数の関数の極値に必要な条件

方程式f"0（x *）=0は必要条件 1つの変数の関数の極値、つまり点x*で、関数の一次導関数は消えなければなりません。関数が増加または減少しない停留点xcを選択します。

1つの変数の関数の極値のための十分な条件

f 0（x）が集合Dに属するxに関して2回微分可能であるとします。点x*で条件が満たされる場合：

F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）> 0

その場合、点x *は、関数のローカル（グローバル）最小値の点です。

点x*で条件が満たされる場合：

F "0（x *）= 0
f "" 0（x *）< 0

そのポイントx*は、ローカル（グローバル）の最大値です。

例1。関数の最大値と最小値を見つけます：セグメント上で。
決断。

臨界点は1x1 = 2（f'（x）= 0）です。この点はセグメントに属します。（0∉なので、点x = 0は重要ではありません）。
セグメントの終わりと臨界点で関数の値を計算します。
f（1）= 9、f（2）= 5/2、f（3）= 3 8/81
回答：x=2の場合はfmin= 5/2; x=1でfmax= 9

例2。高階導関数を使用して、関数y = x-2sin（x）の極値を見つけます。
決断。
関数の導関数を見つけます：y’= 1-2cos（x）。臨界点を見つけましょう：1-cos（x）= 2、cos（x）= 1、x=±π/3 +2πk、k∈Z。 y'' = 2sin（x）を見つけて計算するので、x=π/3 +2πk、k∈Zは関数の最小点です。、したがって、x=-π/3 +2πk、k∈Zは関数の最大点です。

例3。点x=0の近傍の極値関数を調べます。
決断。ここでは、関数の極値を見つける必要があります。極値x=0の場合、そのタイプ（最小または最大）を調べます。見つかった点の中にx=0がない場合は、関数f（x = 0）の値を計算します。
与えられた点の両側の導関数がその符号を変えないとき、微分可能な関数でさえ可能な状況が尽きないことに注意する必要があります：点x0の片側の任意の小さな近傍に対してまたは両側で、導関数は符号を変更します。これらの時点で、極値への機能を研究するために他の方法を適用する必要があります。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つける方法は？

このため よく知られたアルゴリズムに従います:

1 。我々は気づく odz関数.

2 。関数の導関数を見つける

3 。導関数をゼロに等しくする

4 。導関数がその符号を保持する間隔を見つけ、それらから関数の増加と減少の間隔を決定します。

区間Iの場合、関数の導関数0 "title ="（！LANG：f ^（prime）（x）> 0">, то функция !} この間隔で増加します。

区間Iで関数の導関数の場合、関数 この間隔で減少します。

5 。我々は気づく 関数の最大点と最小点.

で 関数の最大点、導関数は符号を「+」から「-」に変更します.

で 関数の最小点導関数は符号を「-」から「+」に変更します.

6 。セグメントの終わりで関数の値を見つけます。

次に、セグメントの端と最大点での関数の値を比較し、 関数の最大値を見つける必要がある場合は、それらの中で最大のものを選択してください
または、セグメントの端と最小点での関数の値を比較し、 関数の最小値を見つける必要がある場合は、それらの最小値を選択してください

ただし、関数が区間でどのように動作するかに応じて、このアルゴリズムを大幅に減らすことができます。

関数を考えてみましょう。この関数のグラフは次のようになります。

OpenTaskBankの問題を解決するいくつかの例を考えてみましょう。

1 。タスクB15（＃26695）

カットで。

1.関数はxのすべての実際の値に対して定義されています

明らかに、この方程式には解がなく、導関数はxのすべての値に対して正です。したがって、関数は増加し、区間の右端、つまりx=0で最大値を取ります。

回答：5。

2 . タスクB15（No. 26702）

関数の最大値を見つける セグメント上。

1.ODZ機能 title = "（！LANG：x（pi）/ 2 +（pi）k、k（in）（bbZ）">!}

導関数はでゼロですが、これらの点では符号は変わりません。

したがって、title = "（！LANG：3 /（cos ^ 2（x））> = 3">, значит, title="3 /（cos ^ 2（x））-3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} 増加し、間隔の右端ので最大値を取ります。

導関数が符号を変更しない理由を明確にするために、導関数の式を次のように変換します。

Title = "（！LANG：y ^（prime）= 3 /（cos ^ 2（x））-3 =（3-3cos ^ 2（x））/（cos ^ 2（x））=（3sin ^ 2 （x））/（cos ^ 2（x））= 3tg ^ 2（x）> = 0">!}

回答：5。

3。タスクB15（＃26708）

区間で関数の最小値を見つけます。

1. ODZ関数：title = "（！LANG：x（pi）/ 2 +（pi）k、k（in）（bbZ）">!}

この方程式の根を三角関数の円に配置しましょう。

間隔には2つの数値が含まれます：と

看板を立てましょう。これを行うために、点x=0で導関数の符号を決定します。。ポイントを通過するとき、導関数は符号を変更します。

関数の導関数の符号の変化を座標線上に描きましょう。

明らかに、ポイントは最小ポイント（導関数が「-」から「+」に符号を変更する場所）であり、セグメント上の関数の最小値を見つけるには、で関数値を比較する必要があります最小点とセグメントの左端、。

実用的な観点から、最も興味深いのは、関数の最大値と最小値を見つけるために導関数を使用することです。それは何と関係がありますか？利益の最大化、コストの最小化、機器の最適な負荷の決定...言い換えれば、人生の多くの分野で、いくつかのパラメータを最適化するという問題を解決する必要があります。そして、これは関数の最大値と最小値を見つける問題です。

関数の最大値と最小値は通常、関数の定義域全体または定義域の一部である区間Xで求められることに注意してください。区間X自体は、線分、開区間にすることができます、無限の間隔。

この記事では、最大値と最小値を明示的に見つけることについて説明します。与えられた機能 1つの変数y=f（x）。

ページナビゲーション。

関数の最大値と最小値-定義、図。

主な定義について簡単に説明します。

関数の最大値 、これは不等式は真実です。

関数の最小値区間Xのy=f（x）はそのような値と呼ばれます、これは不等式は真実です。

これらの定義は直感的です。関数の最大（最小）値は、横軸で検討中の区間で受け入れられる最大（最小）値です。

停留点関数の導関数が消える引数の値です。

最大値と最小値を見つけるときに停留点が必要なのはなぜですか？この質問に対する答えは、フェルマーの定理によって与えられます。この定理から、微分可能関数がある点で極値（極小値または極大値）を持っている場合、この点は静止しているということになります。したがって、関数は多くの場合、この区間の停留点の1つで区間Xの最大（最小）値を取ります。

また、関数は、この関数の一次導関数が存在せず、関数自体が定義されているポイントで最大値と最小値をとることがよくあります。

このトピックに関する最も一般的な質問の1つにすぐに答えましょう：「関数の最大（最小）値を決定することは常に可能ですか？」常にではありません。区間Xの境界が関数の定義域の境界と一致する場合や、区間Xが無限大である場合があります。また、無限大および定義域の境界にある一部の関数は、無限大と無限大の両方の値を取ることができます。このような場合、関数の最大値と最小値については何も言えません。

わかりやすくするために、図を示します。写真を見てください-そして多くが明らかになるでしょう。

セグメント上

最初の図では、関数はセグメント[-6; 6]内の停留点で最大（max y）と最小（min y）の値を取ります。

2番目の図に示されているケースを考えてみます。セグメントをに変更します。この例では、関数の最小値は停留点で達成され、最大値は区間の右境界に対応する横座標を持つ点で達成されます。

図3では、セグメント[-3; 2]の境界点は、関数の最大値と最小値に対応する点の横座標です。

オープンレンジで

4番目の図では、関数は開区間（-6; 6）内の停留点で最大（max y）と最小（min y）の値を取ります。

間隔では、最大値について結論を出すことはできません。

無限大で

7番目の図に示す例では、関数は横軸x = 1の停留点で最大値（max y）を取り、区間の右側の境界で最小値（min y）に到達します。マイナス無限大では、関数の値は漸近的にy=3に近づきます。

間隔では、関数は最小値にも最大値にも到達しません。 x = 2は右に向かう傾向があるため、関数値はマイナス無限大になりがちであり（直線x = 2は垂直方向の漸近線です）、横軸はプラス無限大になる傾向があるため、関数値は漸近的にy=3に近づきます。。この例の図解を図8に示します。

セグメント上の連続関数の最大値と最小値を見つけるためのアルゴリズム。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけることができるアルゴリズムを作成します。

関数の定義域を見つけて、セグメント全体が含まれているかどうかを確認します。
一次導関数が存在せず、セグメントに含まれているすべてのポイントを見つけます（通常、このようなポイントは、モジュール記号の下に引数がある関数で発生します。パワー機能分数有理指数を使用）。そのようなポイントがない場合は、次のポイントに進みます。
セグメントに分類されるすべての停留点を決定します。これを行うには、それをゼロに等しくし、結果の方程式を解いて、適切な根を選択します。停留点がないか、セグメントに分類されない場合は、次の手順に進みます。
選択した停留点（存在する場合）、一次導関数が存在しない点（存在する場合）、およびx=aとx=bで、関数の値を計算します。
得られた関数の値から、最大値と最小値を選択します。これらは、それぞれ関数の目的の最大値と最小値になります。

セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけるための例を解くときに、アルゴリズムを分析してみましょう。

例。

関数の最大値と最小値を見つける

セグメント上;
間隔[-4;-1]で。

決断。

関数の定義域は、ゼロ、つまり。を除いて、実数のセット全体です。両方のセグメントは、定義のドメインに含まれます。

次の点に関する関数の導関数を見つけます。

明らかに、関数の導関数はセグメントと[-4;-1]のすべての点に存在します。

停留点は方程式から決定されます。唯一の実根はx=2です。この停留点は最初のセグメントに分類されます。

最初のケースでは、セグメントの端と停留点での関数の値を計算します。つまり、x = 1、x = 2、x=4の場合です。

したがって、関数の最大値 x = 1で到達し、最小値 – x=2で。

2番目のケースでは、セグメント[-4; -1]の端でのみ関数の値を計算します（単一の停留点が含まれていないため）：

セグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるプロセスは、特定のポイントで長距離大砲から発射し、から選択するヘリコプター上のオブジェクト（関数のグラフ）の周りの魅力的な飛行を彷彿とさせますこれらのポイントは、コントロールショットにとって非常に特別なポイントです。ポイントは、特定の方法で特定のルールに従って選択されます。どのようなルールで？これについてはさらに話します。

関数の場合 y = f(バツ) セグメントで連続[ a, b]、それからこのセグメントに到達します 少しでも と 最高値 。これは、 極値点またはセグメントの終わりに。したがって、見つけるために 少しでも と 関数の最大値 、間隔で連続[ a, b]、すべての値を計算する必要があります 重要なポイントセグメントの最後で、それらの最小値と最大値を選択します。

たとえば、関数の最大値を決定する必要があるとします f(バツ）セグメント上[ a, b]。これを行うには、[にあるすべての重要なポイントを見つけます a, b] .

臨界点 と呼ばれるポイント 定義された関数、および彼女 デリバティブゼロであるか、存在しません。次に、臨界点での関数の値を計算する必要があります。そして最後に、重要なポイントとセグメントの終わりで関数の値を比較する必要があります（ f(a）と f(b））。これらの数字の最大のものは セグメント上の関数の最大値 [a, b] .

見つけることの問題 関数の最小値 .

関数の最小値と最大値を一緒に探しています

例1.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 [-1, 2] .

決断。この関数の導関数を見つけます。導関数をゼロ（）に等しくし、2つの臨界点を取得します：と。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、ポイントがセグメントに属していないため、セグメントの端とポイントでその値を計算するだけで十分です[-1 2]。これらの関数値は次のとおりです：、、。その結果 最小の関数値（下のグラフで赤でマークされている）-7に等しい、セグメントの右端で到達します-ポイントで、 最高の（グラフ上でも赤）、9に等しい-臨界点で。

関数が特定の間隔で連続していて、この間隔がセグメントではない場合（たとえば、間隔、間隔とセグメントの違い：間隔の境界点は間隔に含まれませんが、セグメントの境界点はセグメントに含まれています）、関数の値の中に最小と最大がない場合があります。したがって、たとえば、次の図に示されている関数は、]-∞、+∞[で連続であり、最大値を持ちません。

ただし、任意の区間（閉じた、開いた、または無限）に対して、連続関数の次のプロパティが保持されます。

例4.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 [-1, 3] .

決断。この関数の導関数は商の導関数として見つかります。

導関数をゼロと見なします。これにより、1つの重要なポイントが得られます。区間[-1、3]に属します。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：

これらの値を比較してみましょう。結論：その時点で-5/13に等しい 最大の価値ポイントで1に等しい。

関数の最小値と最大値を一緒に検索し続けます

関数の最小値と最大値を見つけるというトピックに関して、今考えたものよりも複雑な例、つまり、関数が多項式または分数である分子の例を生徒に与えない教師がいます分母は多項式です。しかし、教師の中には生徒に完全に考えさせることを愛する人がいるので、そのような例に限定するつもりはありません（派生物の表）。したがって、対数と三角関数が使用されます。

例6.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 .

決断。この関数の導関数は次のようになります。 製品の派生物 :

導関数をゼロと見なします。これにより、1つの重要なポイントが得られます。セグメントに属しています。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：

すべてのアクションの結果： 関数が最小値に達しました、0に等しい、ある点とある点と 最大の価値に等しい e²、その時点で。

例7.関数の最小値と最大値を見つける セグメント上 .

決断。この関数の導関数を見つけます。

導関数をゼロに等しくします：

唯一の重要なポイントはセグメントに属します。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるために、セグメントの終わりと見つかった臨界点でその値を見つけます：

結論： 関数が最小値に達しました、に等しい、その時点で 最大の価値、に等しい、点で。

適用される極値問題では、原則として、最小（最大）の関数値を見つけることは、最小（最大）を見つけることになります。しかし、より実用的な関心があるのは最小値または最大値自体ではなく、それらが達成される議論の価値です。適用された問題を解決するとき、追加の困難が発生します-検討中の現象またはプロセスを説明する関数のコンパイル。

例8底が正方形で上部が開いた平行六面体の形状をした容量4のタンクは、錫メッキする必要があります。最小量の材料でタンクを覆うために、タンクの寸法はどのくらいにする必要がありますか？

決断。なりましょうバツ-ベース側 h-タンクの高さ、 S-カバーなしの表面積、 V-そのボリューム。タンクの表面積は、次の式で表されます。 2つの変数の関数です。表現するために S 1つの変数の関数として、、whenceという事実を使用します。見つかった式を代入する hの式に S:

この関数の極値を調べてみましょう。 ] 0、+∞[、およびのどこでも定義され、微分可能です。

導関数をゼロ（）と等しくし、臨界点を見つけます。さらに、導関数が存在しないが、この値が定義域に含まれていないため、極値になることができない場合。つまり、-唯一の重要なポイントです。 2番目を使用して極値の存在を確認しましょう十分な兆候。二階導関数を見つけましょう。二階導関数がゼロより大きい場合（）。これは、関数が最小に達したときを意味します。これは 最小-この関数の唯一の極値であり、最小値です。したがって、タンクの底の側面は2 mに等しく、その高さである必要があります。

例9段落から A、線路上にあり、ポイントまでと、それから離れて l、商品は輸送する必要があります。鉄道で単位距離あたりの重量単位を輸送するコストはに等しく、高速道路ではに等しくなります。どの時点まで M行鉄道からの商品の輸送ができるように高速道路を建設する必要があります しかしのと最も経済的でした AB鉄道はまっすぐであると想定されています）？

関数をしましょう y =f（バツ）セグメントで連続[ a、b]。知られているように、このセグメントのそのような関数は最大値と最小値に達します。関数は、セグメントの内部ポイントのいずれかでこれらの値を取ることができます[ a、b]、またはセグメントの境界上。

区間で関数の最大値と最小値を見つけるには[ a、b] 必要：

1）区間内の関数の臨界点を見つける（ a、b);

2）見つかった臨界点での関数の値を計算します;

3）セグメントの終わりで関数の値を計算します、つまり、バツ=aおよびx= b;

4）関数のすべての計算値から、最大値と最小値を選択します。

例。関数の最大値と最小値を見つける

セグメント上。

重要なポイントを見つける：

これらのポイントはセグメント内にあります; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

その時点でバツ=3およびその時点でバツ= 0.