オンラインで関数の増加と減少の間隔を見つけます。 機能の増加と減少の十分な兆候

関数の性質を判断し、その動作について話すには、増加と減少の間隔を見つける必要があります。 このプロセスは、関数の探索とプロットと呼ばれます。 極値点は、関数の最大値と最小値を見つけるときに使用されます。これは、それらが間隔から関数を増減するためです。

この記事は定義を明らかにし、極値の存在の間隔と条件で増減の十分な兆候を定式化します。 これは、例と問題の解決に適用されます。 関数の微分に関するセクションを繰り返す必要があります。これは、解くときに導関数を見つけることを使用する必要があるためです。

Yandex.RTBR-A-339285-1定義1

関数y=f（x）は、任意のx1∈Xおよびx2∈X、x 2> x 1に対して、不等式f（x 2）> f（x 1）が実行可能である場合、区間xで増加します。 言い換えると、 より大きな価値引数は、関数の大きい方の値に対応します。

定義2

関数y=f（x）は、任意のx1∈X、x2∈X、x 2> x 1に対して、等式f（x 2）> f（x 1）が考慮される場合、区間xで減少していると見なされます。実行可能。 つまり、関数値が大きいほど、引数値は小さくなります。 次の図を検討してください。

コメント： 関数が定義され、昇順と降順の間隔の終わりで連続している場合、つまり（a; b）ここで、x = a、x = bの場合、ポイントは昇順と降順の間隔に含まれます。 これは定義と矛盾しません。つまり、区間xで発生します。

タイプy=sin xの初等関数の主な特性は、引数の実数値の定性と連続性です。 ここから、正弦の増加が区間-π2で発生することがわかります。 π2の場合、セグメントの増加は-π2の形式になります。 π2。

定義3

点x0はと呼ばれます 最大点関数y=f（x）の場合、xのすべての値について、不等式f（x 0）≥f（x）が真の場合。 最大機能はその点での関数の値であり、y maxで表されます。

点x0は、xのすべての値に対して不等式f（x 0）≤f（x）が真である場合、関数y \ u003d f（x）の最小点と呼ばれます。 最小機能はその点での関数の値であり、y minの形式の表記があります。

点x0の近傍が考慮されます 極値点、極値点に対応する関数の値。 次の図を検討してください。

最大で関数の極値 最小値機能。 次の図を検討してください。

最初の写真は、何を見つける必要があるかを示しています 最高値セグメントからの関数[a; b]。 最大点を使用して検出され、次のようになります。 最大値関数であり、2番目の図はx=bで最大点を見つけるようなものです。

関数を増減するための十分条件

関数の最大値と最小値を見つけるには、関数がこれらの条件を満たす場合に極値の符号を適用する必要があります。 最初の機能は最も一般的に使用されます。

極値の最初の十分な条件

定義4

関数y=f（x）が与えられます。これは、点x 0のε近傍で微分可能であり、与えられた点x0で連続性があります。 したがって、私たちはそれを得る

• f "（x）> 0、x∈（x0-ε;x 0）およびf"（x）の場合< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• f "（x）の場合< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x∈（x 0; x 0 +ε）の場合は0であり、x0が最小点です。

つまり、サイン設定条件を取得します。

• 関数が点x0で連続である場合、符号が変化する、つまり+から-までの導関数があります。これは、その点が最大値と呼ばれることを意味します。
• 関数が点x0で連続である場合、-から+に符号が変化する導関数があります。これは、その点が最小値と呼ばれることを意味します。

関数の最大点と最小点を正しく決定するには、それらを見つけるためのアルゴリズムに従う必要があります。

• 定義域を見つける。
• この領域で関数の導関数を見つけます。
• 関数が存在しないゼロとポイントを特定します。
• 区間で導関数の符号を決定する。
• 関数の符号が変わる点を選択します。

関数の極値を見つけるいくつかの例を解く例のアルゴリズムを考えてみましょう。

例1

与えられた関数y=2（x + 1）2x-2の最大点と最小点を見つけます。

解決

この関数の定義域は、x=2を除くすべての実数です。 まず、関数の導関数を見つけて、次のようにします。

y "= 2 x + 1 2 x-2" = 2 x + 1 2 "（x-2）-（x + 1）2（x-2）"（x-2）2 = = 2 2（x + 1）（x + 1） "（x-2）-（x + 1）2 1（x-2）2 = 2 2（x + 1）（x-2））-（x + 2）2（x --2）2 = = 2（x + 1）（x-5）（x-2）2

ここから、関数の零点はx \ u003d-1、x \ u003d 5、x \ u003d 2であることがわかります。つまり、各括弧はゼロと等しくなければなりません。 数直線に印を付けて、以下を取得します。

ここで、各区間から導関数の符号を決定します。 区間に含まれる点を選択し、式に代入する必要があります。 たとえば、ポイントx =-2、x = 0、x = 3、x=6です。

私たちはそれを得る

y "（-2）\ u003d 2（x + 1）（x-5）（x-2）2 x \ u003d-2 \ u003d 2（-2 + 1）（-2-5）（-2-2 ）2 \ u003d 2 7 16 \ u003d 7 8 \ u003e 0したがって、区間--∞; -1は正の導関数を持ちます。同様に、次のようになります。

y "（0）= 2（0 + 1）0-5 0-2 2 = 2-5 4 =-5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

2番目の区間はゼロ未満であることが判明したため、セグメントの導関数が負になることを意味します。 3番目はマイナス、4番目はプラスです。 連続性を決定するには、導関数の符号に注意を払う必要があります。導関数が変化する場合、これは極値点です。

点x=-1で関数は連続になります。つまり、導関数は符号を+から-に変更します。 最初の符号によると、x = --1が最大点であり、これは次のことを意味します。

y m a x = y（-1）= 2（x + 1）2 x-2 x =-1 = 2（-1 + 1）2-1-2 = 0

点x=5は、関数が連続であり、導関数の符号が-から+に変わることを示します。 したがって、x = -1が最小点であり、その結果は次の形式になります。

y m i n = y（5）= 2（x + 1）2 x-2 x = 5 = 2（5 + 1）2 5-2 = 24

グラフィック画像

答え： y m a x = y（-1）= 0、y m i n = y（5）=24。

極値の最初の十分な符号を使用するために、関数が点x 0から微分可能である必要がないという事実に注意する価値があります。これにより、計算が簡単になります。

例2

関数y=1 6 x 3 = 2 x 2 + 223x-8の最大点と最小点を見つけます。

解決。

関数の定義域はすべて実数です。 これは、次の形式の連立方程式として記述できます。

1 6 x 3-2 x 2-22 3 x-8、x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

次に、導関数を見つける必要があります。

y "= 1 6 x 3-2 x 2-22 3 x-8"、x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y "= --1 2 x 2-4 x-22 3、x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

片側極限の値が異なるため、点x=0には導関数がありません。 私たちはそれを得る：

limy"x→0-0= limyx→0-0-12 x 2-4 x-22 3 =-1 2（0-0）2-4（0-0）-22 3 =-22 3 limy"x→0+0 = limyx→0-01 2 x 2-4 x + 22 3 = 1 2（0 + 0）2-4（0 + 0）+ 22 3 = + 22 3

したがって、関数は点x = 0で連続であるため、次のように計算します。

limyx→0-0=limx→0-0-16 x 3-2 x 2-22 3 x-8 = =-1 6（0-0）3-2（0-0）2-22 3 （0-0）-8 =-8 limyx→0+0 =limx→0-01 6 x 3-2 x 2 + 22 3 x-8 = = 1 6（0 + 0）3-2（ 0 + 0）2 + 22 3（0 + 0）-8 =-8 y（0）= 1 6 x 3-2 x 2 + 22 3 x-8 x = 0 = 1 6 0 3-2 0 2 + 22 3 0-8 =-8

導関数が次のようになるときの引数の値を見つけるために計算を行う必要があります ゼロ:

1 2 x 2-4 x-22 3、x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2-4 x + 22 3、x> 0 D =（-4）2-4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3> 0 x 4 = 4-4 3 2 1 2 = 4-2 3 3> 0

得られたすべてのポイントは、各間隔の符号を決定するために線上にマークする必要があります。 したがって、区間ごとに任意の点で導関数を計算する必要があります。 たとえば、値x =-6、x =-4、x =-1、x = 1、x = 4、x=6のポイントを取ることができます。 私たちはそれを得る

y "（-6）\ u003d --1 2 x 2-4 x-22 3 x \ u003d-6 \ u003d-1 2-6 2-4（-6）-22 3 \ u003d-4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "（-1）=-1 2 x 2-4 x-22 3 x =-1 =-1 2（-1）2-4（-1）-22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "（4）= 1 2 x 2-4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2-4 4 + 22 3 = --2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

直線上の画像は次のような形になります

したがって、極値の最初の兆候に頼る必要があるということになります。 計算して取得します

x = --4 --2 3 3、x = 0、x = 4 + 2 3 3、ここから最大点の値はx = --4 + 2 3 3、x = 4 --2 3 3

最小値の計算に移りましょう。

y m i n = y-4-2 3 3 = 1 6 x 3-2 2 + 22 3 x-8 x =-4-2 3 3 =-8 27 3 y m i n = y（0）= 1 6 x 3-2 2 + 22 3 x-8 x = 0 =-8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3-2 2 + 22 3 x-8 x = 4 + 2 3 3 =-8 27 3

関数の最大値を計算してみましょう。 私たちはそれを得る

y m a x = y-4 + 2 3 3 = 1 6 x 3-2 2 + 22 3 x-8 x =-4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4-2 3 3 = 1 6 x 3-2 2 + 22 3 x-8 x = 4-2 3 3 = 8 27 3

グラフィック画像

答え：

y m i n = y-4-2 3 3 =-8 27 3 y m i n = y（0）=-8 y m i n = y 4 + 2 3 3 =-8 27 3 y m a x = y-4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4-2 3 3 = 8 27 3

関数f"（x 0）= 0が与えられた場合、そのf" "（x 0）> 0で、f" "（x 0）の場合、x0が最小点であることがわかります。< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

例3

関数y=8 x x+1の最大値と最小値を見つけます。

解決

まず、定義域を見つけます。 私たちはそれを得る

D（y）：x≥0x≠-1⇔x≥0

機能を区別する必要があり、その後、

y "= 8 x x + 1" = 8 x "（x + 1）-x（x + 1）"（x + 1）2 = = 8 1 2 x（x + 1）-x 1（x + 1） 2 = 4 x + 1-2 x（x + 1）2 x = 4-x + 1（x + 1）2 x

x = 1の場合、導関数はゼロに等しくなります。これは、点が極値の可能性があることを意味します。 明確にするために、二次導関数を見つけて、x \u003d1の値を計算する必要があります。 我々が得る：

y "" = 4-x + 1（x + 1）2 x "= = 4（-x + 1）"（x + 1）2 x-（-x + 1）x + 1 2 x "（x + 1）4 x = = 4（-1）（x + 1）2 x-（-x + 1）x + 1 2 "x +（x + 1）2 x"（x + 1）4 x == 4 -（x + 1）2 x-（-x + 1）2 x + 1（x + 1） "x +（x + 1）2 2 x（x + 1）4 x = =-（x + 1） 2 x-（-x + 1）x + 1 2 x + x + 1 2 x（x + 1）4 x = = 2 3 x 2-6 x --1 x + 1 3x3⇒y""（1 ）= 2 3 1 2-6 1-1（1 + 1）3（1）3 = 2-4 8 =-1< 0

したがって、極値に2つの十分な条件を使用すると、x=1が最大点であることがわかります。 それ以外の場合、エントリはy m a x = y（1）= 8 1 1 + 1=4です。

グラフィック画像

答え： y m a x = y（1）=4。。

定義5

関数y=f（x）は、ε近傍のn次までの導関数を持ちます 与えられたポイント x0および点x0でのn+1次までの導関数。 次に、f "（x 0）= f" "（x 0）= f" ""（x 0）=。 。 。 = f n（x 0）=0。

したがって、nが偶数の場合、x 0は屈曲点と見なされ、nが奇数の場合、x 0は極値点、f（n + 1）（x 0）> 0、x 0は最小点、f（n + 1）（x0）< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

例4

関数yy= 1 16（x + 1）3（x --3）4の最大点と最小点を見つけます。

解決

元の関数は完全に有理数であるため、定義域はすべて実数になります。 機能を差別化する必要があります。 私たちはそれを得る

y "= 1 16 x + 1 3"（x-3）4 +（x + 1）3 x-3 4 "== 1 16（3（x + 1）2（x-3）4 +（x + 1）3 4（x-3）3）= = 1 16（x + 1）2（x-3）3（3 x-9 + 4 x + 4）= 1 16（x + 1）2（x- 3）3（7 x-5）

この導関数は、x 1 = -1、x 2 = 5 7、x 3=3でゼロになります。 つまり、ポイントは可能な極値のポイントである可能性があります。 3番目の十分な極値条件を適用する必要があります。 二階導関数を見つけることで、関数の最大値と最小値の存在を正確に判断できます。 二階導関数は、可能な極値の点で計算されます。 私たちはそれを得る

y "" = 1 16 x + 1 2（x-3）3（7 x-5） "= 1 8（x + 1）（x-3）2（21 x 2-30 x-3）y" " （-1）= 0 y "" 5 7 = --36864 2401< 0 y "" (3) = 0

これは、x 2 \ u003d57が最大点であることを意味します。 3つの十分な基準を適用すると、n = 1およびf（n + 1）57の場合に次のようになります。< 0 .

ポイントx1= -1、x 3=3の性質を決定する必要があります。 これを行うには、三階導関数を見つけて、これらのポイントで値を計算する必要があります。 私たちはそれを得る

y "" "= 1 8（x + 1）（x-3）2（21 x 2-30 x-3）" == 1 8（x-3）（105 x 3-225 x 2-45 x + 93）y "" "（-1）=96≠0y" ""（3）= 0

したがって、n = 2およびf（n + 1）（-1）≠0の場合、x 1=-1が関数の変曲点になります。 点x3=3を調べる必要があります。 これを行うには、4次導関数を見つけて、この時点で計算を実行します。

y（4）= 1 8（x-3）（105 x 3-225 x 2-45 x + 93） "== 1 2（105 x 3-405 x 2 + 315 x + 57）y（4）（ 3）= 96> 0

以上のことから、x 3 \u003d3が関数の最小点であると結論付けます。

グラフィック画像

答え： x 2 \ u003d 5 7は最大点、x 3 \u003d3-与えられた関数の最小点です。

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非常に 重要な情報関数の動作については、昇順と降順のスパンを提供します。 それらを見つけることは、関数の探索とプロットのプロセスの一部です。 さらに、増加から減少へ、または減少から増加へと変化する極値点が与えられます。 特別な注意特定の間隔で関数の最大値と最小値を見つけるとき。

この記事では、必要な定義を与え、区間での関数の増減の十分基準と極値の存在の十分条件を定式化し、この理論全体を例と問題の解決に適用します。

ページナビゲーション。

間隔で関数を増減します。

増加関数の定義。

関数y=f（x）は、区間Xで増加します。 不等式は満たされます。 つまり、引数の値が大きいほど、関数の値も大きくなります。

関数定義を減らしています。

関数y=f（x）は、区間Xで減少します。 不平等 。 つまり、引数の値が大きいほど、関数の値は小さくなります。

備考：関数が定義され、増加または減少の間隔（a; b）の終わり、つまりx=aおよびx=bで連続である場合、これらのポイントは増加または減少の間隔に含まれます。 これは、区間Xでの増加関数と減少関数の定義と矛盾しません。

たとえば、基本的な初等関数のプロパティから、y = sinxが定義されており、引数のすべての実数値に対して連続であることがわかります。 したがって、区間での正弦関数の増加から、区間での増加を主張することができます。

極値点、関数極値。

ポイントは呼ばれます 最大点不等式がその近傍からのすべてのxに当てはまる場合、関数y = f（x）。 最大点での関数の値が呼び出されます 最大関数およびを示します。

ポイントは呼ばれます 最小点不等式がその近傍からのすべてのxに当てはまる場合、関数y = f（x）。 最小点での関数の値が呼び出されます 最小関数およびを示します。

ポイントの近傍は、間隔として理解されます 、ここで、は十分に小さい正の数です。

最小点と最大点は呼ばれます 極値点、および極値点に対応する関数値が呼び出されます 関数極値.

関数の極値を関数の最大値および最小値と混同しないでください。

最初の図では、セグメント上の関数の最大値は最大点で到達し、関数の最大値に等しくなります。2番目の図では、関数の最大値は点x=bで到達します。 、これは最大点ではありません。

関数を増減するための十分条件。

関数の増加と減少の十分条件（符号）に基づいて、関数の増加と減少の間隔が求められます。

区間での関数の増加と減少の兆候の定式化は次のとおりです。

• 関数y=f（x）の導関数が区間Xからの任意のxに対して正である場合、関数はXだけ増加します。
• 関数y=f（x）の導関数が区間Xからの任意のxに対して負である場合、関数はXで減少しています。

したがって、関数の増加と減少の間隔を決定するには、次のことが必要です。

アルゴリズムを明確にするために、関数の増加と減少の間隔を見つける例を考えてみましょう。

例。

関数の増加と減少の間隔を見つけます。

解決。

最初のステップは、関数のスコープを見つけることです。 したがって、この例では、分母の式が消えてはなりません。

関数の導関数を見つけることに移りましょう：

十分な基準によって関数の増加と減少の間隔を決定するために、不等式と定義域を解きます。 区間法の一般化を使用してみましょう。 分子の唯一の実根はx=2であり、分母はx=0で消滅します。 これらの点は、定義域を関数の導関数がその符号を保持する区間に分割します。 これらの点を数直線上にマークしましょう。 プラスとマイナスで、導関数が正または負になる間隔を条件付きで示します。 下の矢印は、対応する間隔での関数の増加または減少を概略的に示しています。

この上、 と .

その時点で x = 2関数は定義されており、連続であるため、昇順と降順の両方の間隔に追加する必要があります。 ポイントx=0では、関数が定義されていないため、このポイントは必要な間隔に含まれていません。

得られた結果をそれと比較するために関数のグラフを提示します。

答え：

関数はで増加します 、間隔（0;2]で減少します。

関数の極値のための十分条件。

関数の最大値と最小値を見つけるには、もちろん、関数がそれらの条件を満たす場合、3つの極値記号のいずれかを使用できます。 最も一般的で便利なのはそれらの最初のものです。

極値の最初の十分な条件。

関数y=f（x）が点の近傍で微分可能であり、点自体で連続であるとします。

言い換えると：

関数極値の最初の符号によって極値点を見つけるためのアルゴリズム。

• 関数のスコープを見つける。
• 定義域で関数の導関数を見つけます。
• 分子の零点、導関数の分母の零点、および導関数が存在しない定義域の点を決定します（リストされているすべての点は 可能な極値のポイント、これらの点を通過すると、導関数はその符号を変更できます）。
• これらの点は、関数の定義域を導関数がその符号を保持する区間に分割します。 各区間で導関数の符号を決定します（たとえば、単一の区間の任意の点で関数の導関数の値を計算することによって）。
• 関数が連続である点を選択し、それを通過すると、導関数の符号が変化します。これらは極値点です。

単語が多すぎるので、関数の極値の最初の十分な条件を使用して、関数の極値点と極値を見つけるいくつかの例を考えてみましょう。

例。

関数の極値を見つけます。

解決。

関数のスコープは、x = 2を除いて、実数のセット全体です。

導関数を見つけます：

分子のゼロは点x=-1とx=5であり、分母はx=2でゼロになります。 数直線上にこれらの点をマークします

各区間で導関数の符号を決定します。このため、各区間の任意の点、たとえば、点x = -2、x = 0、x = 3、およびx=で導関数の値を計算します。 6。

したがって、導関数は区間で正になります（図では、この区間にプラス記号を付けています）。 同様に

したがって、2番目の間隔にマイナス、3番目の間隔にマイナス、4番目の間隔にプラスを置きます。

関数が連続であり、その導関数の符号が変わる点を選択する必要があります。 これらは極値です。

その時点で x = -1関数は連続であり、導関数は符号をプラスからマイナスに変更します。したがって、極値の最初の符号によれば、x = -1は最大点であり、関数の最大値に対応します。 .

その時点で x = 5関数は連続であり、導関数は符号をマイナスからプラスに変更します。したがって、x = -1が最小点であり、関数の最小値に対応します。 .

グラフィックイラスト。

答え：

注意：極値の最初の十分な符号は、関数がその点自体で微分可能である必要はありません。

例。

関数の極値と極値を見つける .

解決。

関数の定義域は、実数のセット全体です。 関数自体は次のように記述できます。

関数の導関数を見つけましょう：

その時点で x = 0、引数がゼロになる傾向がある場合、片側極限の値は一致しないため、導関数は存在しません：

同時に、元の関数は点x = 0で連続です（連続性について関数を調査するセクションを参照してください）。

導関数が消える引数の値を見つけます：

得られたすべての点を実数直線上にマークし、各区間で導関数の符号を決定します。 これを行うために、たとえば、次の場合に、各間隔の任意のポイントで導関数の値を計算します x = -6、x = -4、x = -1、x = 1、x = 4、x = 6.

あれは、

したがって、極値の最初の兆候によれば、最小点は次のようになります。 、最大ポイントは .

関数の対応する最小値を計算します

関数の対応する最大値を計算します

グラフィックイラスト。

答え：

.

関数の極値の2番目の符号。

ご覧のとおり、関数の極値のこの符号は、点で少なくとも2次までの導関数の存在を必要とします。

極端な機能

定義2

点$x_0$は、この点の近傍が存在し、この近傍からのすべての$ x $に対して、不等式$ f（x）\ le f（x_0）である場合、関数$ f（x）$の最大点と呼ばれます。 ）$は満たされています。

定義3

点$x_0$は、この点の近傍が存在し、この近傍からのすべての$ x $に対して、不等式$ f（x）\ ge f（x_0）である場合、関数$ f（x）$の最大点と呼ばれます。 ）$は満たされています。

関数の極値の概念は、関数の臨界点の概念と密接に関連しています。 その定義を紹介しましょう。

定義4

$ x_0 $は、次の場合に関数$ f（x）$の臨界点と呼ばれます。

1）$x_0$-定義域の内部ポイント。

2）$ f "\ left（x_0 \ right）=0$または存在しません。

極値の概念については、十分な定理を定式化することができます。 必要条件彼の存在。

定理2

十分な極値条件

点$x_0$が関数$y= f（x）$にとって重要であり、区間$（a、b）$にあるとします。 $ \ left（a、x_0 \ right）\と\（x_0、b）$の各区間で、導関数$ f "（x）$が存在し、定数符号を保持するとします。

1）区間$（a、x_0）$で導関数$ f "\ left（x \ right）> 0 $であり、区間$（x_0、b）$で導関数$ f" \ left（x \右）

2）導関数$ f "\ left（x \ right）0 $が区間$（a、x_0）$にある場合、点$x_0$はこの関数の最小点です。

3）区間$（a、x_0）$と区間$（x_0、b）$の両方で、導関数$ f "\ left（x \ right）>0$または導関数$f"\ left（x \右）

この定理を図1に示します。

図1.極値が存在するための十分な条件

極端な例（図2）。

図2.極値点の例

極値の関数を調べるためのルール

2）導関数$ f "（x）$を見つけます。

7）定理2を使用して、各区間での最大値と最小値の存在について結論を導き出します。

関数の昇順と降順

まず、増加関数と減少関数の定義を紹介します。

定義5

区間$X$で定義された関数$y= f（x）$は、任意の点で$ x_1、x_2 \ in X $ for $ x_1の場合、増加と呼ばれます。

定義6

区間$X$で定義された関数$y= f（x）$は、$ x_1f（x_2）$の任意の点$ x_1、x_2 \ in X $の場合、減少と呼ばれます。

増減する関数の検討

導関数を使用して、増加および減少する関数を調べることができます。

関数の増加と減少の間隔を調べるには、次のことを行う必要があります。

1）関数$ f（x）$の定義域を見つけます。

2）導関数$ f "（x）$を見つけます。

3）等式$ f "\ left（x \ right）=0$;である点を見つけます。

4）$ f "（x）$が存在しないポイントを見つけます。

5）座標線上に、見つかったすべての点と指定された関数の定義域をマークします。

6）結果の各区間で導関数$ f "（x）$の符号を決定します。

7）結論：$ f "\ left（x \ right）0$の区間で関数が増加します。

極値点の増加、減少、および存在の関数の研究に関する問題の例

例1

増加と減少の関数、および最大値と最小値の点の存在を調べます：$ f（x）=（2x）^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

最初の6つのポイントは同じなので、最初に描画します。

1）定義域-すべての実数。

2）$ f "\ left（x \ right）= 6x ^ 2-30x + 36 $;

3）$ f "\ left（x \ right）= 0 $;

\ \ \

4）$ f "（x）$は、定義域のすべてのポイントに存在します。

5）座標線：

図3

6）各区間で導関数$ f "（x）$の符号を決定します。

\ \ .

同様の情報。

増加関数の定義。

関数 y = f（x）間隔を超えて増加します バツ、もしあれば 不等式は満たされます。 つまり、引数の値が大きいほど、関数の値も大きくなります。

関数定義を減らしています。

関数 y = f（x）間隔を超えて減少します バツ、もしあれば 不平等 。 つまり、引数の値が大きいほど、関数の値は小さくなります。

注：関数が定義され、増加または減少の間隔の終わりで連続している場合 （a; b）、つまり、 x = aと x = bの場合、これらのポイントは増加または減少の間隔に含まれます。 これは、区間の増加関数と減少関数の定義と矛盾しません。 バツ.

たとえば、基本的な初等関数のプロパティから、次のことがわかります。 y = sinx引数のすべての実数値に対して定義され、連続しています。 したがって、区間での正弦関数の増加から、区間での増加を主張することができます。

極値点、関数極値。

ポイントは呼ばれます 最大点機能 y = f（x）すべての場合 バツその近所から、不平等は本当です。 最大点での関数の値が呼び出されます 最大関数およびを示します。

ポイントは呼ばれます 最小点機能 y = f（x）すべての場合 バツその近所から、不平等は本当です。 最小点での関数の値が呼び出されます 最小関数およびを示します。

ポイントの近傍は、間隔として理解されます 、ここで、は十分に小さい正の数です。

最小点と最大点は呼ばれます 極値点、および極値点に対応する関数値が呼び出されます 関数極値.

関数の極値を関数の最大値および最小値と混同しないでください。

最初の図では、セグメント上の関数の最大値 は最大点で到達し、関数の最大値に等しくなります。2番目の図では、関数の最大値はその点で到達しています。 x = b、これは最大点ではありません。

関数を増減するための十分条件。

関数の増加と減少の十分条件（符号）に基づいて、関数の増加と減少の間隔が求められます。

区間での関数の増加と減少の兆候の定式化は次のとおりです。

関数の導関数の場合 y = f（x）いずれかに対してポジティブ バツ間隔から バツ、次に関数は次のように増加します バツ;

関数の導関数の場合 y = f（x）いずれの場合も負 バツ間隔から バツ、その後、関数は次のように減少します バツ.

したがって、関数の増加と減少の間隔を決定するには、次のことが必要です。

アルゴリズムを明確にするために、関数の増加と減少の間隔を見つける例を考えてみましょう。

例。

関数の増加と減少の間隔を見つけます。

解決。

最初のステップは、関数定義のスコープを見つけることです。 したがって、この例では、分母の式が消えてはなりません。

関数の導関数を見つけることに移りましょう：

十分な基準によって関数の増加と減少の間隔を決定するために、不等式と定義域を解きます。 区間法の一般化を使用してみましょう。 分子の唯一の本当のルートは x = 2、および分母はで消えます x = 0。 これらの点は、定義域を関数の導関数がその符号を保持する区間に分割します。 これらの点を数直線上にマークしましょう。 プラスとマイナスで、導関数が正または負になる間隔を条件付きで示します。 下の矢印は、対応する間隔での関数の増加または減少を概略的に示しています。