関数の活用のための必要十分条件。 関数のグラフの凸面と凹面の間隔

関数を調べてそのグラフを作成するとき、ある段階で変曲点と凸状の間隔を決定します。 これらのデータは、増加と減少の間隔とともに、調査中の関数のグラフを概略的に示すことを可能にします。

以下は、特定の順序とさまざまなタイプまで知っていることを前提としています。

必要な定義と概念を使って資料の調査を始めましょう。 次に、ある区間での関数の二階導関数の値とその凸性の方向との関係を説明します。 その後、関数グラフの変曲点を決定できる条件に移りましょう。 本文では、典型的な例と詳細な解決策を示します。

ページナビゲーション。

凸面、関数の凹面、変曲点。

意味。

下に凸 X区間で、そのグラフがX区間の任意の点でその接線より下に配置されていない場合。

意味。

微分可能関数はと呼ばれます 上に凸 X区間で、そのグラフがX区間の任意の点でその接線よりも高くない場合。

上凸関数はよく呼ばれます 凸、および凸下- 凹型.

これらの定義を示す図面を見てください。

意味。

ポイントは呼ばれます 関数のグラフの変曲点 y \ u003d f（x）与えられた点に関数グラフへの接線があり（Oy軸に平行である可能性があります）、その点のそのような近傍があり、その中で左と右にある場合点Mの関数グラフは 異なる方向膨らみ。

つまり、この点に接線があり、関数のグラフが凸面の方向を変えて通過する場合、点Mは関数のグラフの変曲点と呼ばれます。

必要に応じて、セクションを参照して、非垂直および垂直接線が存在するための条件を思い出してください。

次の図は、変曲点のいくつかの例を示しています（赤い点でマークされています）。 一部の関数には変曲点がない場合がありますが、他の関数には1つ、複数、または無限に多くの変曲点がある場合があることに注意してください。

関数の凸間隔を見つける。

関数の凸の区間を決定することを可能にする定理を定式化します。

定理。

関数y=f（x）が区間Xに有限の二階導関数を持ち、不等式の場合 （）の場合、関数のグラフはX上で下（上）に向けられた凸面を持ちます。

この定理により、関数の凹面と凸面の間隔を見つけることができます。不等式を解くだけで、それぞれ元の関数の定義域で解くことができます。

関数y=f（x）が定義され、2次導関数が存在しない点は、凹面と凸面の区間に含まれることに注意してください。

例を挙げてこれに対処しましょう。

例。

関数のグラフが 上向きの凸面と下向きの凸面があります。

解決。

関数の定義域は、実数のセット全体です。

二階導関数を見つけましょう。

二階導関数の定義域は元の関数の定義域と一致するため、凹面と凸面の間隔を見つけるには、それぞれとを解くだけで十分です。

したがって、関数は区間で下向きに凸であり、区間で上向きに凸です。

グラフィックイラスト。

凸区間の関数のグラフの一部は青で、凹区間の関数は赤で示されています。

ここで、二階導関数の定義域が関数の定義域と一致しない例を考えてみましょう。 この場合、すでに述べたように、有限の二階導関数がない定義域の点は、凸面および（または）凹面の区間に含まれる必要があります。

例。

関数グラフの凸と凹の間隔を見つけます。

解決。

関数のスコープから始めましょう：

二階導関数を見つけましょう：

二階導関数の定義域は集合です 。 ご覧のとおり、x = 0は元の関数の定義域にありますが、2階導関数の定義域にはありません。 この点を忘れないでください、それは凸面と（または）凹面の間隔に含まれる必要があります。

ここで、元の関数の定義域で不等式を解きます。 該当する 。 式分子 でゼロになります また 、分母-x=0またはx=1で。 これらの点を数直線上に概略的にプロットし、元の関数の定義のドメインに含まれる各間隔で式の符号を見つけます（下の数直線の影付きの領域で示されています）。 正の値はプラス記号、負の値はマイナス記号です。

この上、

と

したがって、点x = 0を含めることにより、答えが得られます。

で 関数のグラフには、下向きの凸面があり、 -上向きの膨らみ。

グラフィックイラスト。

凸区間の関数のグラフの一部は青で示され、凹区間では赤で示されています。黒の点線は垂直方向の漸近線です。

変曲のための必要十分条件。

語尾変化に必要な条件。

公式化しましょう 語尾変化に必要な条件関数グラフ。

関数y=f（x）のグラフが点で変曲点を持ち、の連続二階導関数を持っているとすると、等式は真になります。

この条件から、関数の二階導関数が消える変曲点の横座標を探す必要があります。 しかし、この条件は十分ではありません。つまり、2階導関数がゼロに等しいすべての値が変曲点の横座標であるとは限りません。

また、変曲点の定義により、接線の存在が必要であり、垂直にすることもできることに注意する必要があります。 これは何を意味するのでしょうか？ そして、これは次のことを意味します。変曲点の横座標は、関数の定義域からのすべてである可能性があります。 と 。 通常、これらは一次導関数の分母が消えるポイントです。

語尾変化のための最初の十分な条件。

変曲点の横座標になり得るものがすべて見つかったら、次を使用する必要があります 屈折のための最初の十分な条件関数グラフ。

関数y=f（x）が点で連続であり、接線（垂直でもかまいません）を持ち、この関数が点の近傍に2階導関数を持つようにします。 次に、この近傍内の左右にある場合、2階導関数は次のようになります。 さまざまな兆候、は関数のグラフの変曲点です。

ご覧のとおり、最初の十分な条件では、点自体に2次導関数が存在する必要はありませんが、点の近くに存在する必要があります。

ここで、すべての情報をアルゴリズムの形式で要約します。

関数の変曲点を見つけるためのアルゴリズム。

関数のグラフの可能な変曲点のすべての横座標を見つけます（または と ）そして、二階導関数が符号を変える通過を見つけます。 そのような値は変曲点の横座標になり、それらに対応する点は関数グラフの変曲点になります。

明確にするために変曲点を見つける2つの例を考えてみましょう。

例。

関数グラフの変曲点と凸面と凹面の間隔を見つける .

解決。

関数の定義域は、実数のセット全体です。

一次導関数を見つけましょう：

一次導関数の定義域も実数のセット全体であるため、等式 と に対しては実行されません。

二階導関数を見つけましょう：

引数xのどの値で二階導関数が消えるかを調べてみましょう：

したがって、可能な変曲点の横軸はx=-2およびx=3です。

今はチェックする必要があります 十分な兆候変曲点。これらの点のどちらで二階導関数が符号を変更します。 これを行うには、点x=-2とx=3を実軸上に置き、次のようにします。 一般化区間法、各区間に二階導関数の符号を配置します。 各区間の下で、関数のグラフの凸面の方向が円弧で概略的に示されます。

二階導関数は、点x = -2を左から右に通過して符号をプラスからマイナスに変更し、x=3を通過してマイナスからプラスに符号を変更します。 したがって、x=-2とx=3はどちらも、関数グラフの変曲点の横座標です。 それらはグラフポイントとに対応します。

実軸とその区間の二階導関数の符号をもう一度見ると、凸面と凹面の間隔について結論付けることができます。 関数のグラフは、区間で凸であり、区間とで凹です。

グラフィックイラスト。

凸区間の関数のグラフの一部は青で示され、凹区間では赤で示され、変曲点は黒い点で示されます。

例。

関数グラフのすべての変曲点の横座標を見つけます .

解決。

この関数の定義域は、実数のセット全体です。

導関数を見つけましょう。

元の関数とは異なり、一次導関数はx=3で定義されていません。 しかし と 。 したがって、横軸x = 3の点には、元の関数のグラフに垂直接線があります。 したがって、x = 3は、関数グラフの変曲点の横座標になります。

二階導関数、その定義域、およびそれが消滅する点を見つけます。

変曲点の2つの可能な横座標を取得しました。 数直線上の3つのポイントすべてにマークを付け、取得した各間隔で2階導関数の符号を決定します。

二階導関数は、各点を通過するときに符号が変わるため、すべて変曲点の横座標になります。

検討する必要があります グラフの凸面、凹面、および屈折。 サイト訪問者にとても愛されているものから始めましょう エクササイズ。 立ち上がって前か後ろに寄りかかってください。 これは膨らみです。 手のひらを上にして腕を前に伸ばし、胸に大きな丸太を持っていると想像してみてください……まあ、丸太が気に入らない場合は、何か/誰か他の人がいるようにしてください=）これは凹みです。 一部の情報源には同義語があります 膨らむと 膨らむ、しかし私は短い名前の支持者です。

！ 注意 ：何人かの著者 凸面と凹面を正反対に定義します。 これは数学的にも論理的にも真実ですが、用語のペリシテ人の理解のレベルを含め、実質的な観点からは完全に正しくないことがよくあります。 したがって、たとえば、両凸レンズは「結節のある」レンズと呼ばれますが、「くぼみのある」レンズ（双凹）とは呼ばれません。
そして、たとえば、「凹型」ベッド-それでも明らかに「突き出ない」=）（ただし、その下に登ると、すでに膨らみについて話します; =））私は自然に対応するアプローチを順守します人間の協会。

グラフの凸面と凹面の正式な定義はティーポットでは非常に難しいため、概念の幾何学的解釈に限定します。 具体例。 次のような関数のグラフを考えてみましょう。 連続数直線全体：

で簡単に構築できます 幾何学的変換、そしておそらく、多くの読者はそれが立方放物線からどのように得られるかを知っています。

電話しましょう コード接続するセグメント 2 いろいろなポイント グラフィックアート。

関数のグラフは 凸ある間隔で、それが見つかった場合 少なくない指定された間隔の任意のコード。 実験線は上に凸であり、明らかに、ここではグラフの任意の部分がそれ自体の上に配置されています コード。 定義を説明するために、3つの黒いセグメントを描画しました。

グラフ関数は 凹型間隔で、それが配置されている場合 高くないこの間隔の任意のコード。 この例では、患者はギャップで凹んでいます。 茶色のセグメントのペアは、こことチャートの任意の部分がその下にあることを説得力を持って示しています コード.

グラフ上で凸面から凹面に変化する点 また凸面から凸面への凹みは呼ばれます 変曲点。 これは1つのコピー（最初のケース）に含まれています。実際には、変曲点は、線自体に属する緑色の点と「x」値の両方を意味します。

重要！グラフの語尾変化はきちんと描かれている必要があります とてもスムーズに。 あらゆる種類の「不規則性」と「粗さ」は受け入れられません。 それは少し練習の問題です。

理論上の凸面/凹面の定義への2番目のアプローチは、接線を介して与えられます。

凸面グラフが配置されている間隔 高くない与えられた間隔の任意の点でそれに引かれた接線。 凹み区間グラフでも同じ- 少なくないこの間隔の接線。

双曲線は、区間では凹型で、次の部分では凸型です。

原点を通過すると、凹みが凸に変わりますが、ポイント 考慮しないでください関数以来、変曲点 決まっていません彼女の中。

このトピックに関するより厳密なステートメントと定理は教科書に記載されており、豊富な実用的な部分に移ります。

凸状の間隔、凹状の間隔を見つける方法
とグラフの変曲点？

素材はシンプルで、ステンシルで、構造的に繰り返されています 極値の関数の研究.

グラフの凸面/凹面が特徴二階導関数 機能.

関数をある間隔で2回微分可能にします。 それで：

– 2階導関数が区間にある場合、関数のグラフは指定された区間で凸になります。

– 2次導関数が区間にある場合、関数のグラフは指定された区間で凹型になります。

スペースに関する二階導関数の符号を犠牲にして 教育機関先史時代の協会が歩いています：「-」は「機能グラフに水を注ぐことができない」（膨らみ）ことを示しています、
および「+」-「そのような機会を与える」（凹み）。

語尾変化に必要な条件

その点で関数のグラフに変化がある場合、 それから：
または値が存在しません（それを理解しましょう、読んでください！）.

このフレーズは、関数が 連続ある時点で、その場合、その近隣のいくつかで2回微分可能です。

条件の必要性は、その逆が常に正しいとは限らないことを示唆しています。 つまり、平等（または値が存在しない）から まだありません点での関数のグラフの変化の存在。 しかし、どちらの状況でも、彼らは 二階導関数の臨界点.

十分な屈折条件

二階導関数が点を通過するときに符号が変わる場合、この時点で関数のグラフに変化があります。

変曲点（例はすでに満たされている）はまったく満たされていない可能性があり、この意味で、いくつかの基本的なサンプルは指標です。 関数の2階導関数を分析してみましょう。

正の定数関数が得られます。 「x」の任意の値。 表面にある事実：放物線は全体が凹んでいます ドメイン、変曲点はありません。 の負の係数が放物線を「回転」させて凸状にすることは簡単にわかります（これは2階導関数（負の定数関数）によって報告されます）。

指数関数また凹面：

「x」の任意の値。

もちろん、グラフには変曲点はありません。

グラフの凸面/凹面を調べます 対数関数 :

したがって、対数の分岐は区間で凸になります。 二階導関数も区間で定義されますが、それを考慮してください それは禁じられています、この間隔はに含まれていないため ドメイン機能 。 要件は明らかです-そこには対数グラフがないので、当然、凸面/凹面/屈折の話はありません。

ご覧のとおり、すべてが本当に非常に物語を彷彿とさせます 関数の増加、減少、極値。 私のように見える 関数グラフ研究アルゴリズム凸面、凹面、およびねじれの存在について:

2）重要な値を探しています。 これを行うには、2階導関数を取り、方程式を解きます。 二階導関数が存在しないが、関数自体の定義域に含まれている点も重要と見なされます。

3）数直線上に、見つかったすべての不連続点と臨界点をマークします（ どちらもそうではないことが判明する可能性があります-そうすれば、何も描く必要はありません（単純すぎる場合のように）、書面による解説にとどまるだけで十分です）. インターバル法得られた間隔の符号を決定します。 今説明したように、1つは考慮する必要があります それだけ関数のスコープに含まれる間隔。 関数グラフの凸/凹と変曲点について結論を出します。 答えます。

アルゴリズムを機能に口頭で適用してみてください 。 ちなみに、2番目のケースでは、臨界点で曲線の変化がない場合の例があります。 ただし、少し難しいタスクから始めましょう。

例1

解決:
1）関数は定義され、実数直線全体で連続しています。 結構。

2）二階導関数を見つけます。 プレキューブすることはできますが、使用する方がはるかに有益です 複雑な機能のルールの差別化:

注意してください 、これは関数が 減少しない。 これは割り当てとは関係ありませんが、常にそのような事実に注意を払うことをお勧めします。

二階導関数の臨界点を見つけます。

-臨界点

3）十分な屈折条件が満たされていることを確認しましょう。 得られた区間で二階導関数の符号を決定しましょう。

注意！現在、2階導関数を使用しています（関数ではありません！）

その結果、1つの重要なポイントが得られます。

3）2つの不連続点、数直線上の臨界点をマークし、得られた間隔で2次導関数の符号を決定します。

重要なことを思い出させます インターバル法、ソリューションを大幅にスピードアップできます。 二階導関数 非常に面倒であることが判明したため、その値を計算する必要はなく、各間隔で「推定」を行うだけで十分です。 たとえば、左の間隔に属するポイントを選択しましょう。
置換を行います：

次に、乗数を分析しましょう。

2つの「マイナス」と「プラス」は「プラス」を与えます。したがって、2階導関数は区間全体で正であることを意味します。

コメント付きのアクションは、口頭で簡単に実行できます。 さらに、乗数を完全に無視することは有利です。これは、任意の「x」に対して正であり、2階導関数の符号に影響を与えません。

それで、彼女は私たちにどんな情報を与えましたか？

答え：関数のグラフは上に凹型です と凸 。 原点で （それは明らかです）グラフに変化があります。

点を通過するとき、二階導関数も符号を変更しますが、関数がそれらに影響を与えるため、それらは変曲点とは見なされません。 終わりのない休憩.

分析された例では、一次導関数 全体としての機能の成長について教えてくれます ドメイン。 それはいつもそのような景品になるでしょう=）さらに、3つの存在 漸近線。 たくさんのデータを受け取ったので、 高度提示する信頼性 外観グラフィックアート。 ヒープにとって、関数も奇妙です。 確立された事実に基づいて、ドラフトでスケッチしてみてください。 レッスンの最後の写真。

のタスク 独立したソリューション:

例6

関数のグラフで凸面、凹面を調べ、グラフの変曲点が存在する場合はそれを見つけます。

サンプルには図面はありませんが、仮説を立てることは禁じられていません;）

アルゴリズムのポイントに番号を付けずにマテリアルをグラインドします。

例7

関数のグラフで凸面、凹面を調べ、変曲点がある場合はそれを見つけます。

解決：機能は耐えます 無限のギャップポイントで。

いつものように、すべてが私たちに問題ありません：

派生物は最も難しいものではありません、主なことはそれらの「ヘアスタイル」に注意することです。
誘導されたマラフェットでは、二次導関数の2つの臨界点が見つかります。

得られた間隔の兆候を決定しましょう：

グラフの変化があるポイントで、ポイントの縦座標を見つけましょう。

点を通過するとき、二次導関数は符号を変更しないため、その中のグラフに変化はありません。

答え：凸間隔： ; 凹み間隔：; 変曲点：。

追加のベルとホイッスルを使用した最後の例を検討してください。

例8

グラフの凸、凹、変曲点の間隔を見つける

解決：場所付き ドメイン特別な問題はありません。
、および関数はポイントで不連続性を被ります。

殴られたトラックに行きましょう：

-臨界点。

間隔を考慮しながら、符号を決定しましょう 関数のスコープからのみ:

グラフの変化がある時点で、縦座標を計算します。

命令

ポイント 語尾変化 機能その定義のスコープに属している必要があり、最初に見つける必要があります。 スケジュール 機能-これは、連続しているか、切れ目があり、単調に減少または増加し、最小または最大の線である可能性があります ポイント（漸近線）、凸面または凹面である。 2つの突然の変化 最近の州キンクと呼ばれます。

存在するための必要条件 語尾変化 機能 2番目の値がゼロに等しいことで構成されます。 したがって、関数を2回微分し、結果の式をゼロに等しくすると、可能な点の横座標を見つけることができます。 語尾変化.

この条件は、グラフの凸面と凹面のプロパティの定義に基づいています。 機能、つまり ネガティブと 正の値二階導関数。 その時点で 語尾変化これらのプロパティの急激な変化。これは、導関数がゼロマークを通過することを意味します。 ただし、ゼロに等しいことは、変曲点を示すのにまだ十分ではありません。

前の段階で見つかった横座標がポイントに属するための2つの十分な条件があります 語尾変化：このポイントを介して、接線を描くことができます 機能。 二階導関数は、期待値の右と左に異なる符号があります ポイント 語尾変化。 したがって、その点自体に存在する必要はなく、それがその点で符号を変更することを決定するのに十分です。 機能はゼロであり、3番目はそうではありません。

解決策：検索します。 この場合、制限はありません。したがって、実数の空間全体になります。 一次導関数を計算します：y'=3∛（x-5）+（3 x + 3）/∛（x-5）²。

注意を払う 。 このことから、導関数の定義域は限定されます。 点x=5はパンクチャされています。これは、接線がそれを通過できることを意味します。これは、十分性の最初の兆候に部分的に対応します。 語尾変化.

x→5-0およびx→5+0で結果の式を決定します。これらは-∞および+∞に等しくなります。 垂直接線が点x=5を通過することを証明しました。 このポイントはポイントかもしれません 語尾変化、ただし、最初に2階導関数を計算します：（2 x-22）/∛（x-5）^5。

点x=5をすでに考慮しているため、分母を省略します。 方程式2x-22\u003d0を解きます。これには単一のルートx\u003d 11があります。最後のステップは、次のことを確認することです。 ポイント x=5とx=11はポイントです 語尾変化。 それらの近くの二次導関数の振る舞いを分析します。 明らかに、点x = 5で、符号が「+」から「-」に変わり、点x = 11で、その逆になります。 結論：両方 ポイントポイントです 語尾変化。 最初の十分な条件が満たされます。

関数をプロットするときは、凸区間と変曲点を定義することが重要です。 関数をグラフィカルな形式で明確に表現するには、減少と増加の間隔とともにそれらが必要です。

このトピックを理解するには、関数の導関数が何であるか、それをある順序で計算する方法を知っているだけでなく、解くことができる必要があります 他の種類不平等。

記事の冒頭で、主要な概念が定義されています。 次に、一定の間隔で凸の方向と2階導関数の値の間にどのような関係が存在するかを示します。 次に、グラフの変曲点を決定できる条件を示します。 すべての推論は、問題の解決策の例によって示されます。

Yandex.RTBR-A-339285-1定義1

グラフがこの間隔の任意の点でグラフの接線より下に配置されていない場合に、特定の間隔で下方向に。

定義2

微分可能関数は凸ですこの関数のグラフがこの区間の任意の点で接線よりも高くない場合は、特定の区間で上向きになります。

下向きの凸関数は、凹とも呼ばれます。 両方の定義が下のグラフに明確に示されています。

定義3

関数の変曲点は点M（x 0; f（x 0））であり、関数のグラフが異なる点x 0の近くに導関数が存在する場合、関数のグラフに接線があります。左側と右側の凸面の方向。

簡単に言えば、変曲点は接線があるグラフ上の場所であり、この場所を通過するときのグラフの凸面の方向は凸面の方向を変更します。 どのような条件下で垂直および非垂直の接線が存在する可能性があるかを覚えていない場合は、ある点で関数のグラフの接線に関するセクションを繰り返すことをお勧めします。

以下は、複数の変曲点が赤で強調表示されている関数のグラフです。 変曲点の存在は必須ではないことを明確にしましょう。 1つの関数のグラフには、1つ、2つ、複数、無限に多く、またはまったく存在しない可能性があります。

このセクションでは、特定の関数のグラフで凸区間を決定できる定理について説明します。

定義4

対応する関数y=f（x）が指定された区間xに二次導関数を持っている場合、不等式f ""（x）≥0∀xの場合、関数のグラフは下向きまたは上向きに凸になります。 ∈X（f ""（x）≤0∀x∈X）は真になります。

この定理を使用すると、関数の任意のグラフで凹面と凸面の間隔を見つけることができます。 これを行うには、対応する関数の定義域で不等式f ""（x）≥0およびf ""（x）≤0を解く必要があります。

二階導関数は存在しないが、関数y = f（x）が定義されている点は、凸面と凹面の間隔に含まれることを明確にしましょう。

特定の問題の例、この定理を正しく適用する方法を見てみましょう。

例1

調子：与えられた関数y=x 3 6-x 2 +3x-1。 グラフに凸面と凹面がある間隔を決定します。

解決

この関数の定義域は、実数のセット全体です。 二階導関数を計算することから始めましょう。

y "= x 3 6-x 2 + 3 x --1" = x 2 2-2x+3⇒y""=x 2 2-2 x + 3 = x --2

二階導関数の定義域が関数自体の定義域と一致していることがわかります。したがって、凸の区間を特定するには、不等式f ""（x）≥0およびf ""（x）≤0を解く必要があります。 。

y""≥0⇔x-2≥0⇔x≥2y""≤0⇔x-2≤0⇔x≤2

そのスケジュールを取得しました 与えられた機能セグメントに凹みがあります[2; +∞）およびセグメントの凸面（-∞;2]。

わかりやすくするために、関数のグラフを描画し、その上に凸面部分を青でマークし、凹面部分を赤でマークします。

答え：与えられた関数のグラフは、セグメントに凹みがあります[2; +∞）およびセグメントの凸面（-∞;2]。

しかし、二階導関数の定義域が関数の定義域と一致しない場合はどうすればよいでしょうか。 ここで、上記のコメントは私たちにとって有用です。最後の2階導関数が存在しない点については、凹面と凸面のセグメントにも含めます。

例2

調子：与えられた関数y=8xx-1。 グラフがどの間隔で凹になるか、どの間隔で凸になるかを決定します。

解決

まず、関数の範囲を調べましょう。

x≥0x-1≠0⇔x≥0x≠1⇔x∈[0; 1）∪（1; +∞）

次に、2階導関数を計算します。

y "= 8 x x --1" = 8 1 2 x（x-1）-x 1（x-1）2 =-4 x + 1 x（x-1）2 y "" =-4 x + 1 x （x --1）2 "= --4 1 x x --1 2-（x + 1）x x --1 2" x（x -1）4 = = --4 1 x x --1 2 --x + 1 1 2 x（ x-1）2 + x 2（x-1）x x-1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x-1 x 3 2（x-1）3

二階導関数の定義域は集合x∈（0; 1）∪（1; +∞）です。 ゼロに等しいxは元の関数の定義域にありますが、2階導関数の定義域にはないことがわかります。 この点は、凹面または凸面のセグメントに含まれている必要があります。

その後、与えられた関数の定義域で不等式f ""（x）≥0およびf ""（x）≤0を解く必要があります。 これには区間法を使用します：x \ u003d --1 --2 33≈-2、1547またはx \ u003d -1 + 2 33≈0、1547で分子2（3 x 2 + 6 x -1） x 2 3 x --1 3は0になり、分母はxで0になります。 ゼロまたはユニット。

結果の点をグラフに置き、元の関数の定義域に含まれるすべての区間で式の符号を決定しましょう。 グラフでは、この領域はハッチングで示されています。 値が正の場合は、間隔をプラスでマークし、負の場合は、マイナスでマークします。

その結果、

f ""（x）≥0x∈[0; 1）∪（1; +∞）⇔x∈0; --1 + 2 33∪（1; +∞）、およびf ""（x）≤0x∈[0; 1）∪（1; +∞）⇔x∈[-1 + 2 3 3; 1）

前にマークした点x=0をオンにして、目的の答えを取得します。 元の関数のグラフは、0で下向きの膨らみがあります。 --1 + 2 33∪（1; +∞）、およびup-forx∈[-1 + 2 3 3; 1） 。

凸面を青、凹面を赤でグラフを描いてみましょう。 垂直方向の漸近線は黒い点線でマークされています。

答え：元の関数のグラフは、0で下向きの膨らみがあります。 --1 + 2 33∪（1; +∞）、およびup-forx∈[-1 + 2 3 3; 1） 。

関数グラフの屈折条件

ある関数のグラフの語尾変化に必要な条件の定式化から始めましょう。

定義5

グラフに変曲点がある関数y=f（x）があるとしましょう。 x = x 0の場合、2階導関数が連続しているため、等式f ""（x 0）=0が成り立ちます。

この条件を考えると、2階導関数が0になる変曲点を探す必要があります。 この条件は十分ではありません：そのようなすべての点が私たちに合うわけではありません。

また、一般的な定義によれば、垂直または非垂直の接線が必要になることにも注意してください。 実際には、これは、変曲点を見つけるために、この関数の2次導関数が0になるものを取得する必要があることを意味します。 したがって、変曲点の横座標を見つけるには、関数の定義域からすべてのx 0を取得する必要があります。ここで、limx→x0-0 f "（x）=∞およびlimx→x0 + 0 f" （x）=∞。 ほとんどの場合、これらは一次導関数の分母が0になるポイントです。

関数グラフの変曲点が存在するための最初の十分な条件

変曲点の横座標と見なすことができるすべてのx0値が見つかりました。 その後、最初の十分な屈折条件を適用する必要があります。

定義6

点M（x 0; f（x 0））で連続する関数y = f（x）があるとしましょう。 さらに、この点に接線があり、関数自体はこの点x0の近くに2階導関数を持っています。 この場合、二階導関数が左側と右側で反対の符号を取得する場合、この点は変曲点と見なすことができます。

この条件では、この点に2階導関数が必ずしも存在する必要はなく、点x0の近くにあるだけで十分であることがわかります。

上記のすべては、一連のアクションとして便利に提示できます。

1. 最初に、可能な変曲点のすべての横座標x 0を見つける必要があります。ここで、f ""（x 0）= 0、limx→x0-0 f "（x）=∞、limx→x0 + 0 f" （x）=∞。
2. 導関数がどの時点で符号を変更するかを調べます。 これらの値は変曲点の横座標であり、それらに対応する点M（x 0; f（x 0））は変曲点そのものです。

明確にするために、2つの問題を考えてみましょう。

例3

調子：与えられた関数y=1 10 x 4 12-x 3 6-3 x 2 +2x。 この関数のグラフに屈折点と膨らみ点がある場所を決定します。

解決

この関数は、実数のセット全体で定義されます。 一次導関数を検討します。

y "= 1 10 x 4 12-x 3 6-3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12-3 x 2 6-6 x + 2 = = 1 10 x 3 3-x 2 2-6 x + 2

次に、一次導関数の定義域を見つけましょう。 これは、すべての実数のセットでもあります。 したがって、等式limx→x0-0 f "（x）=∞およびlimx→x0 + 0 f"（x）=∞は、x0のどの値に対しても満たすことができません。

二階導関数を計算します。

y "" = = 1 10 x 3 3-x 2 2-6 x + 2 "= 1 10 3 x 2 3-2 x 2-6 = 1 10 x 2-x-6

y "" =0⇔110（x 2-x-6）=0⇔x2-x-6 = 0 D =（-1）2-4 1（-6）= 25 x 1 = 1-25 2 \ u003d-2、x 2 \ u003d 1 + 25 2 \ u003d 3

2つの可能性のある変曲点-2と3の横座標が見つかりました。 あとは、導関数の符号がどの時点で変わるかを確認するだけです。 数値軸を描き、その上にこれらの点をプロットしてみましょう。その後、結果の間隔に2階導関数の符号を配置します。

円弧は、各間隔でのグラフの凸方向を示します。

二階導関数は、横軸3の点で符号を反転（プラスからマイナス）し、左から右に通過し、横軸3の点で同じこと（マイナスからプラス）を行います。 したがって、x=-2およびx=3は、関数グラフの変曲点の横座標であると結論付けることができます。 それらはグラフのポイントに対応します-2; --43および3; --158。

凹みと凸の場所について結論を出すために、数値軸の画像と間隔の結果の符号をもう一度見てみましょう。 バルジはセグメント-2に配置されることがわかります。 3、およびセグメントの凹み（-∞;-2]および[3; +∞）。

問題の解決策は、グラフに明確に示されています。 青色-凸面、赤-凹面、黒は変曲点を意味します。

答え：バルジはセグメント-2に配置されます。 3、およびセグメントの凹み（-∞;-2]および[3; +∞）。

例4

調子：関数y=1 8・x 2 + 3 x + 2・x --335のグラフのすべての変曲点の横座標を計算します。

解決

指定された関数の定義域は、すべての実数のセットです。 導関数を計算します：

y "= 1 8（x 2 + 3 x + 2）x --3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 "（x-3）3 5 +（x 2 + 3 x + 2）x --3 3 5 "= = 1 8 2 x + 3（x --3）3 5 +（x 2 + 3 x + 2）3 5 x --3 --2 5 = 13 x 2-6 x --39 40（x -3）2 5

関数とは異なり、その一次導関数はx値3で決定されませんが、次のようになります。

limx→3-0y "（x）= 13（3-0）2-6（3-0）-39 40 3-0 --3 2 5=+∞limx→3+0 y"（x） = 13（3 + 0）2-6（3 + 0）-39 40 3 + 0-3 2 5=+∞

これは、グラフの垂直接線がこの点を通過することを意味します。 したがって、3は変曲点の横座標になります。

二階導関数を計算します。 また、その定義の領域とそれが0になるポイントを見つけます：

y "" = 13 x 2-6 x-39 40 x-3 2 5 "= = 1 40 13 x 2-6 x-39"（x-3）2 5-13 x 2-6 x-39 x- 3 2 5 "（x-3）4 5 = = 1 25 13 x 2-51 x + 21（x-3）7 5、x∈（-∞; 3）∪（3; +∞）y" "（ x）=0⇔13x 2-51 x + 21 = 0 D =（-51）2-4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 150926≈3、4556、x 2 =51-150926≈0.4675

さらに2つの可能な変曲点があります。 それらすべてを数直線上に置き、結果の間隔に記号を付けます。

符号の変更は、指定された各ポイントを通過するときに発生します。つまり、それらはすべて変曲点です。

答え：関数のグラフを描き、凹面を赤、凸面を青、変曲点を黒でマークしてみましょう。

最初の十分な屈折条件がわかれば、2階導関数の存在が不要な必要なポイントを決定できます。 これに基づいて、最初の条件は最も普遍的であり、さまざまなタイプの問題を解決するのに適していると見なすことができます。

さらに2つの屈折条件がありますが、指定された点に有限の導関数がある場合にのみ適用できることに注意してください。

f ""（x 0）=0およびf"" "（x 0）≠0の場合、x0はグラフの変曲点の横座標y= f（x）になります。

例5

調子：関数y=1 60 x 3-3 20 x 2 + 7 10x-25が与えられます。 関数グラフがポイント3で変曲点を持つかどうかを判断します。 45。

解決

最初に行うことは、指定されたポイントがこの関数のグラフに完全に属することを確認することです。

y（3）= 1 60 3 3-3 20 3 2-2 5 = 27 60-27 20 + 21 10-2 5 = 9-27 + 42-8 20 = 4 5

指定された関数は、実数であるすべての引数に対して定義されています。 一次導関数と二次導関数を計算します。

y "= 1 60 x 3-3 20 x 2 + 7 10 x-2 5" = 1 20 x 2-3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2-3 10 x + 7 10 "= 1 10 x-3 10 = 1 10（x-3）

xが0に等しい場合、2階導関数は0になります。 これは、この点に必要な屈折条件が満たされることを意味します。 ここで、2番目の条件を使用します。3次導関数を見つけて、3で0になるかどうかを調べます。

y "" "= 1 10（x --3）" = 1 10

三階導関数は、xの値に対して消えることはありません。 したがって、この点が関数のグラフの変曲点になると結論付けることができます。

答え：イラストで解決策を示しましょう：

f "（x 0）= 0、f" "（x 0）= 0、..。、f（n）（x 0）= 0およびf（n + 1）（x 0）≠0であるとしましょう。この場合、nの場合でも、x0がグラフy\ u003d f（x）の変曲点の横座標であることがわかります。

例6

調子：与えられた関数y=（x-3）5+1。 グラフの変曲点を計算します。

解決

この関数は、実数のセット全体で定義されます。 導関数を計算します：y "=（（x --3）5 + 1）" = 5 x--34。 引数のすべての実際の値に対しても定義されるため、グラフの任意のポイントに非垂直接線が存在します。

次に、2階導関数が0になる値を計算しましょう：

y "" = 5（x-3）4 "= 20 x-3 3 y""=0⇔x-3=0⇔x=3

x = 3の場合、関数のグラフに変曲点がある可能性があることがわかりました。 これを確認するために3番目の条件を使用します。

y "" "= 20（x-3）3" = 60 x-3 2、y "" "（3）= 60 3-3 2 = 0 y（4）= 60（x-3）2" = 120 （x-3）、y（4）（3）= 120（3-3）= 0 y（5）= 120（x-3） "= 120、y（5）（3）=120≠0

3番目の十分な条件でn=4になります。 それ 偶数したがって、x = 3は変曲点の横座標になり、関数（3; 1）のグラフの点に対応します。

答え：これは、凸面、凹面、および変曲点がマークされたこの関数のグラフです。

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オンライン計算機で、あなたは見つけることができます 関数グラフの変曲点と凸区間 Wordでのソリューションの設計で。 2つの変数f（x1、x2）の関数が凸であるかどうかは、ヘッセ行列を使用して決定されます。

y =

関数エントリルール:

関数のグラフの凸の方向。 変曲点

定義：曲線y = f（x）は、区間（a; b）のいずれかの点で接線より上にある場合、その区間で下向き凸と呼ばれます。

定義：曲線y = f（x）は、区間（a; b）のいずれかの点で接線より下にある場合、区間（a; b）で上凸と呼ばれます。

定義：関数のグラフが上または下に凸である間隔は、関数のグラフの凸の間隔と呼ばれます。

関数y=f（x）のグラフである曲線の下向きまたは上向きの凸性は、その2次導関数の符号によって特徴付けられます。ある区間f''（x）> 0の場合、曲線は凸状です。この間隔で下向きに; f''（x）の場合< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

定義：関数y = f（x）のグラフの点は、このグラフの反対方向の凸状の間隔を分離し、変曲点と呼ばれます。

第2の種類の臨界点のみが、変曲点として機能できます。 関数y=f（x）の定義域に属する点で、2階導関数f''（x）が消滅または破壊します。

関数グラフの変曲点を見つけるための規則y=f（x）

1. 二階導関数f''（x）を見つけます。
2. 関数y=f（x）の2番目の種類の臨界点を見つけます。 f''（x）が消えるまたは壊れるポイント。
3. 見つかった臨界点が関数f（x）の定義域を分割する区間で、二階導関数f''（x）の符号を調べます。 この場合、臨界点x 0が反対方向の凸面間隔を分離している場合、x0は関数のグラフの変曲点の横座標です。
4. 変曲点で関数値を計算します。

例1。 次の曲線の凸状のギャップと変曲点を見つけます：f（x）= 6x 2 –x3。
解決策：f'（x）= 12x-3x 2、f''（x）=12-6xを見つけます。
方程式12-6x=0を解いて、2階導関数によって臨界点を見つけましょう。 x=2。


f（2）= 6 * 2 2-2 3 = 16
回答：関数はx∈（2; +∞）に対して上向きに凸です; 関数はx∈（-∞; 2）に対して下向きに凸です; 変曲点（2; 16）。

例2。 関数には変曲点がありますか：f（x）= x 3 -6x 2 + 2x-1

例3。 関数グラフが凸で凸である区間を見つけます：f（x）= x 3 -6x 2 + 12x + 4