複素関数の導関数を解く例。 複雑な導関数。 対数微分。 指数関数の導関数

「古い」教科書では、「連鎖律」とも呼ばれます。 だからもし y \ u003d f（u）、およびu \u003dφ（x）、 あれは

y \ u003d f（φ（x））

複合体-複合関数（関数の合成）次に

どこ 、計算が考慮された後 u =φ（x）。

ここでは、同じ機能から「異なる」構成を採用したことに注意してください。差別化の結果は、当然、「混合」の順序に依存することが判明しました。

連鎖律は当然、3つ以上の関数の合成に拡張されます。 この場合、派生物を構成する「チェーン」にそれぞれ3つ以上の「リンク」があります。 乗算との類似点は次のとおりです。「私たちが持っている」-導関数の表。 「そこに」-掛け算の九九; 「withus」は連鎖律であり、「there」は「column」を持つ乗算規則です。 もちろん、そのような「複雑な」導関数を計算するとき、補助的な引数（u¸vなど）は導入されませんが、構成に参加する関数の数と順序に注意して、対応するリンクを示された順序。

。 ここでは、「x」を使用して5つの操作を実行し、「y」の値を取得します。つまり、5つの関数の合成が行われます。「外部」（最後の関数）-指数関数-e; さらにに 逆順パワー。 （♦）2; 三角関数の罪（）; パワー。 （）3そして最後に対数ln。（）。 それが理由です

次の例では、「1つの石で鳥のペアを殺す」ことができます。複雑な関数の微分を練習し、初等関数の導関数の表を補足します。 そう：

4.べき関数の場合-y\u003dxα-よく知られている「基本対数アイデンティティ」を使用して書き直します-b\u003d elnb-xα\u003dxαlnxの形式で取得します

5.無料で 指数関数同じ方法を適用すると、

6.任意の対数関数について、新しいベースへの遷移のよく知られた式を使用して、次のように取得します。

.

7.接線（コタンジェント）を区別するために、商を区別するためのルールを使用します。

逆三角関数の導関数を取得するには、2つの相互に逆関数の導関数、つまり、関係によって接続された関数φ（x）とf（x）によって満たされる関係を使用します。

これが比率です

これは、相互に逆関数のこの式からです

と
,

最後に、これらと他のいくつかの、同じように簡単に入手できる派生物を次の表に要約します。

最初のレベル

関数の導関数。 包括的なガイド (2019)

丘陵地帯を通るまっすぐな道を想像してみてください。 つまり、上下しますが、左右には曲がりません。 軸が道路に沿って水平方向に向けられ、垂直方向に向けられている場合、道路線はいくつかの連続関数のグラフに非常に似ています。

軸はゼロの高さの特定のレベルです、人生ではそれとして海面を使用します。

そのような道を進んでいくと、私たちも上下に動いています。 また、引数が変わると（横軸に沿って移動）、関数の値が変わる（縦軸に沿って移動）と言うこともできます。 それでは、道路の「急勾配」を判断する方法について考えてみましょう。 この値は何でしょうか？ 非常に単純です。特定の距離を前進すると、高さがどのくらい変化しますか。 実際、道路のさまざまなセクションで、（横軸に沿って）1 km前進すると、上下に移動します。 異なる金額海面を基準にしたメートル（y軸に沿って）。

前進を示します（「デルタx」を読んでください）。

ギリシャ文字（デルタ）は、数学で「変化」を意味する接頭辞として一般的に使用されます。 つまり、-これは大きさの変化です-変化です。 それでは何ですか？ そうです、サイズの変更です。

重要：式は単一のエンティティ、1つの変数です。 「x」やその他の文字から「delta」を切り離してはいけません。 つまり、たとえば、。

それで、私たちは前進し、水平に、上に進みました。 道路の線を関数のグラフと比較すると、上昇をどのように表すのでしょうか。 もちろん、 。 つまり、前進するとき、私たちはより高く上昇します。

値を計算するのは簡単です。最初は高さにあり、移動した後は高さにあった場合。 終点が始点よりも低いことが判明した場合、それは負になります。これは、上昇ではなく下降していることを意味します。

「急勾配」に戻る：これは、単位距離ごとに前方に移動したときに高さがどれだけ（急勾配で）増加するかを示す値です。

パスのあるセクションで、kmずつ進むと、道路がkmだけ上がるとします。 そして、この場所の急勾配は同じです。 そして、道路がm進んだときに、kmで沈んだ場合はどうなりますか？ その場合、勾配は等しくなります。

ここで、丘の頂上について考えてみましょう。 セクションの最初を0.5km上に、最後を0.5 km後にすると、高さがほぼ同じであることがわかります。

つまり、私たちの論理によれば、ここでの傾きはほぼゼロに等しいことがわかりますが、これは明らかに真実ではありません。 ほんの数マイル離れた場所で多くのことが変わる可能性があります。 急勾配をより適切かつ正確に推定するには、より小さな領域を考慮する必要があります。 たとえば、1メートル移動したときの高さの変化を測定すると、結果ははるかに正確になります。 しかし、この精度でさえ私たちには十分ではないかもしれません-結局のところ、道路の真ん中にポールがあれば、私たちはそれを簡単にすり抜けることができます。 では、どの距離を選ぶべきでしょうか？ センチメートル？ ミリメートル？ 少ないほど良いです！

で 実生活最も近いミリメートルまでの距離を測定するだけで十分です。 しかし、数学者は常に完璧を目指して努力しています。 したがって、コンセプトは 無限小つまり、モジュロ値は、名前を付けることができるどの数値よりも小さくなります。 たとえば、次のように言います。1兆分の1！ どれくらい少ないですか？ そして、この数を-で割ると、さらに少なくなります。 等々。 値が無限に小さいことを書きたい場合は、次のように書きます（「xはゼロになる傾向がある」と読みます）。 理解することは非常に重要です この数はゼロに等しくないこと！しかし、それに非常に近い。 これは、に分割できることを意味します。

無限に小さいのとは反対の概念は無限に大きい（）。 不等式に取り組んでいたときに、おそらくすでにこの数値に遭遇しているでしょう。この数値は、考えられるどの数値よりもモジュラスが大きくなっています。 可能な限り最大の数を思いついた場合は、それを2倍するだけで、さらに多くの数が得られます。 しかし、それでも無限大 さらに何が機能しますか。 実際、無限大と無限小は互いに逆です。つまり、atであり、その逆も同様です。

今、私たちの道に戻ります。 理想的に計算される勾配は、パスの無限に小さいセグメントに対して計算される勾配です。つまり、次のようになります。

変位が無限に小さいと、高さの変化も無限に小さくなることに注意してください。 しかし、無限に小さいということは意味しないことを思い出させてください ゼロ。 微小な数を互いに割ると、たとえば、完全に普通の数を得ることができます。 つまり、1つの小さな値を別の値のちょうど2倍にすることができます。

なぜこれすべて？ 道、急勾配…ラリーはしていませんが、数学を学んでいます。 そして数学では、すべてがまったく同じであり、異なる方法で呼ばれるだけです。

デリバティブの概念

関数の導関数は、引数の微小増分での引数の増分に対する関数の増分の比率です。

インクリメント数学では変化と呼ばれます。 軸に沿って移動したときに引数（）がどの程度変化したかを呼び出します 引数の増分軸に沿って距離だけ前進したときに関数（高さ）がどれだけ変化したかを示します。 関数の増分とマークされています。

したがって、関数の導関数はいつとの関係です。 関数と同じ文字で、右上からのストロークだけで導関数を示します：または単に。 それでは、これらの表記法を使用して微分式を書きましょう。

道路とのアナロジーのように、ここでは、関数が増加すると導関数は正になり、減少すると負になります。

しかし、導関数はゼロに等しいのでしょうか？ もちろん。 たとえば、平坦な水平道路を運転している場合、急勾配はゼロです。 確かに、高さはまったく変わりません。 したがって、導関数を使用すると、定数関数（定数）の導関数はゼロに等しくなります。

そのような関数の増分はどの場合もゼロであるためです。

丘の上の例を見てみましょう。 頂点の反対側にセグメントの端を配置して、端の高さが同じになるように、つまりセグメントが軸に平行になるようにすることが可能であることがわかりました。

しかし、大きなセグメントは不正確な測定の兆候です。 セグメントをそれ自体と平行に持ち上げると、その長さが短くなります。

結局、頂上に無限に近づくと、セグメントの長さは無限に短くなります。 しかし同時に、それは軸に平行なままでした。つまり、その両端の高さの差はゼロに等しくなります（傾向はありませんが、に等しくなります）。 したがって、導関数

これは次のように理解できます。私たちが一番上に立っているとき、左または右に少しシフトすると、身長は無視できるほど変化します。

純粋に代数的な説明もあります。上部の左側では関数が増加し、右側では機能が減少します。 すでに知ったように、関数が増加すると導関数は正になり、関数が減少すると負になります。 ただし、ジャンプすることなくスムーズに変化します（道路の傾斜がどこでも急激に変化しないため）。 したがって、ネガティブと 正の値でなければなりません。 これは、関数が増加も減少もしない場所、つまり頂点で行われます。

同じことが谷（関数が左側で減少し、右側で増加する領域）にも当てはまります。

増分についてもう少し。

したがって、引数を値に変更します。 どの値から変更しますか？ 彼（議論）は今何になっていますか？ 任意のポイントを選択して、そこから踊ります。

座標を持つ点を考えてみましょう。 その中の関数の値は等しいです。 次に、同じ増分を実行します。座標をで増やします。 今の議論は何ですか？ 非常に簡単： 。 関数の現在の値は何ですか？ 引数が行くところ、関数はそこに行きます：。 関数の増分はどうですか？ 新しいことは何もありません：これはまだ関数が変更された量です：

増分を見つける練習：

1. 引数の増分がに等しい点で関数の増分を見つけます。
2. ある点の関数についても同じです。

ソリューション：

異なるポイントで、引数の増分が同じである場合、関数の増分は異なります。 これは、各ポイントでの導関数が独自のものを持っていることを意味します（これについては最初に説明しました。異なるポイントでの道路の急勾配は異なります）。 したがって、導関数を書くときは、どの時点で示す必要があります。

べき関数。

べき関数は、引数がある程度ある関数と呼ばれます（論理的ですよね？）。

そして-ある程度：。

最も単純なケースは、指数が次の場合です。

ある時点でその導関数を見つけましょう。 導関数の定義を覚えておいてください：

したがって、引数はからに変わります。 関数の増分とは何ですか？

増分はです。 しかし、どの時点でも関数はその引数と同じです。 それが理由です：

派生物は次のとおりです。

の派生物は次のとおりです。

b）ここで検討します 二次関数 (): .

それを覚えておきましょう。 これは、増分の値が無限に小さいため、無視できることを意味します。したがって、別の用語の背景に対しては重要ではありません。

したがって、別のルールがあります。

c）論理的なシリーズを続けます：。

この式は、さまざまな方法で簡略化できます。合計の3乗の短縮乗算の式を使用して最初の括弧を開くか、3乗の差の式を使用して式全体を因子に分解します。 提案された方法のいずれかで自分でそれを行うようにしてください。

だから、私は次のものを手に入れました：

繰り返しになりますが、それを覚えておいてください。 これは、以下を含むすべての用語を無視できることを意味します。

我々が得る： 。

d）大国についても同様のルールを得ることができます。

e）この規則は、整数ではなく、任意の指数を持つべき関数に対して一般化できることがわかります。

(2)

「次数は係数として繰り越され、その後減少する」という言葉でルールを定式化できます。

このルールは後で（ほぼ最後に）証明します。 次に、いくつかの例を見てみましょう。 関数の導関数を見つけます。

1. （2つの方法で：式と導関数の定義を使用する-関数の増分を数えることによって）;

1. 。 信じられないかもしれませんが、これはべき関数です。 「お元気ですか？ そして、学位はどこにありますか？」、トピック「」を覚えておいてください！
   はい、はい、ルートも度であり、分数のみです。
   だから私たちの 平方根指数のある学位です：
   .
   最近学習した式を使用して導関数を探しています。

   この時点で再び不明になった場合は、トピック「」を繰り返してください。 （負の指標で約1度）

2. 。 今指数：

   そして今、定義を通して（あなたはもう忘れましたか？）：
   ;
   .
   さて、いつものように、私たちは以下を含む用語を無視します：
   .

3. 。 以前のケースの組み合わせ：。

三角関数。

ここでは、高等数学の1つの事実を使用します。

表現するとき。

あなたは研究所の最初の年に証明を学びます（そしてそこに着くには、あなたは試験にうまく合格する必要があります）。 今、私はそれをグラフィカルに表示します：

関数が存在しない場合、グラフ上のポイントがパンクしていることがわかります。 しかし、値に近いほど、関数は近くなります。これはまさに「努力」です。

さらに、このルールは電卓で確認できます。 はい、はい、恥ずかしがらずに、電卓を持っていきましょう。まだ試験に参加していません。

では、試してみましょう：;

電卓をラジアンモードに切り替えることを忘れないでください！

等 小さいほど、比率の値がに近くなることがわかります。

a）関数を考えます。 いつものように、私たちはその増分を見つけます：

正弦の違いを製品に変えましょう。 これを行うには、次の式を使用します（トピック「」を思い出してください）。

今派生物：

置換してみましょう：。 次に、無限に小さい場合は、無限に小さくなります。 の式は次の形式を取ります。

そして今、私たちはその表現でそれを覚えています。 また、合計で無限に小さい値を無視できる場合はどうなりますか（つまり、で）。

したがって、次のルールが得られます。 サインの導関数はコサインに等しい:

これらは基本的な（「テーブル」）派生物です。 ここにそれらは1つのリストにあります：

後でさらにいくつか追加しますが、最も頻繁に使用されるため、これらが最も重要です。

練習：

1. ある点で関数の導関数を見つけます。
2. 関数の導関数を見つけます。

ソリューション：

1. まず、導関数を見つけます 一般的な見解、次にその値をその値に置き換えます。
   ;
   .
2. ここに似たようなものがあります べき関数。 彼女を連れて行こう
   通常のビュー：
   .
   これで、次の式を使用できます。
   .
   .
3. 。 Eeeeeee…..それはなんですか????

さて、あなたは正しいです、私たちはまだそのような派生物を見つける方法を知りません。 ここでは、いくつかのタイプの関数の組み合わせがあります。 それらを操作するには、さらにいくつかのルールを学ぶ必要があります。

指数と自然対数。

数学にはそのような関数があり、その導関数は、同じものの関数自体の値に等しくなります。 これは「指数」と呼ばれ、指数関数です。

この関数のベースは定数です-それは無限です 10進数、つまり、無理数（など）。 これは「オイラー番号」と呼ばれるため、文字で示されます。

したがって、ルールは次のとおりです。

覚えるのはとても簡単です。

さて、遠くには行かないで、すぐに考えましょう 逆関数。 指数関数の逆関数とは何ですか？ 対数：

この場合、ベースは数値です。

このような対数（つまり、底を持つ対数）は「自然」と呼ばれ、特別な表記法を使用します。代わりに記述します。

何に等しいですか？ もちろん、 。

自然対数の導関数も非常に単純です。

例：

1. 関数の導関数を見つけます。
2. 関数の導関数は何ですか？

回答： 出展者と 自然対数-関数は導関数の点で独自に単純です。 他の基数を使用した指数関数と対数関数は、微分の規則を通過した後、後で分析する異なる導関数を持ちます。

微分法則

どのようなルールですか？ 別の新しい用語、もう一度？！..。

差別化導関数を見つけるプロセスです。

とすべて。 このプロセスの別の言葉は何ですか？ proizvodnovanieではありません...数学の微分は、での関数の非常に増分と呼ばれます。 この用語はラテン語の差異、つまり差異に由来します。 ここ。

これらすべてのルールを導出するときは、たとえば、、の2つの関数を使用します。 また、増分の式も必要になります。

全部で5つのルールがあります。

定数は導関数の符号から取り出されます。

-ある定数（定数）の場合、。

明らかに、このルールは違いに対しても機能します。

それを証明しましょう。 しましょう、またはもっと簡単に。

例。

関数の導関数を見つける：

1. その時点で;
2. その時点で;
3. その時点で;
4. その時点で。

ソリューション：

1. （導関数はすべての点で同じです。 一次関数、 覚えて？）;

製品の派生物

ここではすべてが似ています。新しい関数を導入し、その増分を見つけます。

派生物：

例：

1. 関数の導関数を見つけて;
2. ある点で関数の導関数を見つけます。

ソリューション：

指数関数の導関数

これで、指数だけでなく、指数関数の導関数を見つける方法を学ぶのに十分な知識が得られました（まだ何であるかを忘れましたか？）。

それで、いくつかの数字はどこにありますか。

関数の導関数はすでにわかっているので、関数を新しいベースに持っていきましょう。

このために使用します 簡単なルール：。 それで：

まあ、それはうまくいきました。 ここで導関数を見つけてみてください。この関数は複雑であることを忘れないでください。

起こりました？

ここで、自分自身を確認してください。

数式は、指数の導関数と非常によく似ていることがわかりました。それは、そのままの状態で、因子のみが表示されました。これは単なる数値であり、変数ではありません。

例：
関数の導関数を見つける：

回答：

これは、電卓なしでは計算できない数値です。つまり、それをもっと書き留める方法はありません。 シンプルな形。 したがって、回答ではこの形式のままにしておきます。

対数関数の導関数

ここでも同様です。自然対数の導関数をすでに知っています。

したがって、異なる底を持つ対数から任意のものを見つけるには、たとえば：

この対数をベースに持ってくる必要があります。 対数の底をどのように変更しますか？ この式を覚えておいてください。

今だけではなく、次のように記述します。

分母は単なる定数（変数なしの定数）であることが判明しました。 導関数は非常に単純です。

指数関数と 対数関数試験で発生することはほとんどありませんが、それらを知ることは不必要ではありません。

複雑な関数の導関数。

「複雑な機能」とは何ですか？ いいえ、これは対数ではなく、円弧の接線でもありません。 これらの関数は理解するのが難しい場合がありますが（対数が難しいと思われる場合は、トピック「対数」を読んですべてがうまくいくでしょう）、数学の観点から、「複雑」という言葉は「難しい」を意味しません。

小さなコンベヤーを想像してみてください。2人が座って、いくつかのオブジェクトを使っていくつかのアクションを実行しています。 たとえば、1つ目はチョコレートバーをラッパーで包み、2つ目はリボンで結びます。 それはそのような複合オブジェクトであることがわかります：リボンで包まれて結ばれたチョコレートバー。 チョコレートバーを食べるには、逆の手順を逆の順序で行う必要があります。

同様の数学的パイプラインを作成しましょう。最初に数値の正弦を見つけ、次に結果の数値を2乗します。 だから、彼らは私たちに番号（チョコレート）を与え、私はその正弦波（ラッパー）を見つけ、そしてあなたは私が得たものを二乗します（リボンでそれを結びます）。 どうしたの？ 関数。 これは例です 複雑な機能：その値を見つけるために、変数を使用して最初のアクションを直接実行し、次に最初のアクションの結果として発生したことを使用して別の2番目のアクションを実行する場合。

同じ手順を逆の順序で実行することもできます。最初に2乗し、次に結果の数値の正弦を探します。 結果はほとんどの場合異なると推測するのは簡単です。 複雑な関数の重要な機能：アクションの順序が変わると、関数も変わります。

言い換えると、 複素関数は、引数が別の関数である関数です。: .

最初の例では、。

2番目の例:(同じ）。 。

私たちが行う最後のアクションは呼び出されます 「外部」機能、および最初に実行されたアクション-それぞれ 「内部」機能（これらは非公式の名前であり、私はそれらを簡単な言葉で資料を説明するためにのみ使用します）。

どの関数が外部で、どの関数が内部であるかを自分で判断してみてください。

回答：内部関数と外部関数の分離は、変数の変更と非常によく似ています。たとえば、関数内

1. 最初にどのような行動を取りますか？ 最初に正弦を計算し、次にそれを立方体に上げます。 つまり、これは内部関数であり、外部関数ではありません。
   そして、元の機能はそれらの構成です：。
2. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
3. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
4. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。
5. 内部： ; 外部の： 。
   検査： 。

変数を変更して関数を取得します。

さて、チョコレートを抽出します-派生物を探します。 手順は常に逆になります。最初に、外部関数の導関数を探し、次にその結果に内部関数の導関数を掛けます。 元の例では、次のようになります。

もう一つの例：

それでは、最終的に公式ルールを策定しましょう。

複素関数の導関数を見つけるためのアルゴリズム：

すべてが単純なようですよね？

例を見てみましょう：

ソリューション：

1）内部：;

外部の： ;

2）内部：;

（今までに減らそうとしないでください！コサインの下から何も取り出されません、覚えていますか？）

3）内部：;

外部の： ;

ここに3レベルの複雑な関数があることはすぐにわかります。結局のところ、これはそれ自体がすでに複雑な関数であり、それからルートを抽出します。つまり、3番目のアクションを実行します（チョコレートをラッパーに入れます）ブリーフケースに入ったリボン付き）。 しかし、恐れる理由はありません。とにかく、この関数を通常と同じ順序で「解凍」します。最後からです。

つまり、最初にルートを区別し、次にコサインを区別し、次に括弧内の式のみを区別します。 そして、それをすべて乗算します。

このような場合、アクションに番号を付けると便利です。 つまり、私たちが知っていることを想像してみましょう。 この式の値を計算するアクションをどのような順序で実行しますか？ 例を見てみましょう：

アクションが後で実行されるほど、対応する関数はより「外部」になります。 アクションのシーケンス-以前と同様：

ここでは、ネストは通常​​4レベルです。 行動方針を決めましょう。

1.ラジカル表現。 。

2.ルート。 。

3.副鼻腔。 。

4.正方形。 。

5.すべてをまとめる：

デリバティブ。 メインについて簡単に

関数導関数-引数の微小増分を伴う引数の増分に対する関数の増分の比率：

基本的な派生物：

微分法則：

定数は導関数の符号から取り出されます：

合計の導関数：

デリバティブ商品：

商の導関数：

複雑な関数の導関数：

複素関数の導関数を見つけるためのアルゴリズム：

1. 「内部」関数を定義し、その導関数を見つけます。
2. 「外部」関数を定義し、その導関数を見つけます。
3. 1番目と2番目のポイントの結果を乗算します。

予備的な砲兵の準備の後、3-4-5の機能が付加された例はそれほど怖くありません。 次の2つの例は、一部の人にとっては複雑に見えるかもしれませんが、理解されている場合（誰かが苦しんでいる場合）、微分計算の他のほとんどすべてが子供の冗談のように見えます。

例2

関数の導関数を見つける

すでに述べたように、複素関数の導関数を見つけるとき、まず第一に、それは必要です 右投資を理解する。 疑問がある場合は、便利なトリックを思い出してください。たとえば、実験値「x」を使用して、この値を「ひどい表現」に置き換えようとします（精神的またはドラフト上）。

1）最初に式を計算する必要があるため、合計が最も深いネストになります。

2）次に、対数を計算する必要があります。

4）次に、コサインを3乗します。

5）5番目のステップでは、違いは次のとおりです。

6）そして最後に、最も外側の関数は平方根です。

複素関数微分式 最も外側の関数から最も内側の関数へと逆の順序で適用されます。 私たちが決めます：

エラーがないようです：

1）平方根の導関数を取ります。

2）ルールを使用して差の導関数を取ります

3）トリプルの導関数はゼロに等しい。 第2項では、次数（立方体）の導関数を取ります。

4）コサインの導関数を取ります。

6）そして最後に、最も深い入れ子の導関数を取ります。

難しすぎるように思えるかもしれませんが、これは最も残酷な例ではありません。 たとえば、Kuznetsovのコレクションを例にとると、分析された導関数のすべての魅力と単純さに感謝します。 学生が複素関数の導関数を見つける方法を理解しているかどうかを確認するために、彼らが試験で同様のことをしたいと思っていることに気づきました。

次の例は、スタンドアロンソリューション用です。

例3

関数の導関数を見つける

ヒント：最初に、製品の線形性と微分の規則を適用します

完全な解決策とレッスンの最後に答えてください。

もっとコンパクトできれいなものに移る時が来ました。
2つではなく3つの関数の積が例として示されている状況では珍しいことではありません。 3つの因子の積の導関数を見つける方法は？

例4

関数の導関数を見つける

まず見てみますが、3つの関数の積を2つの関数の積に変えることは可能ですか？ たとえば、積に2つの多項式がある場合、角かっこを開くことができます。 ただし、この例では、次数、指数、対数のすべての関数が異なります。

そのような場合、それは必要です 続けて製品の差別化ルールを適用する 2回

秘訣は、「y」の場合は2つの関数の積を表し、「ve」の場合は対数：を表すことです。 なぜこれができるのですか？ それは...ですか -これは2つの要因の積ではなく、ルールは機能しませんか？！ 複雑なことは何もありません。

今度はルールをもう一度適用する必要があります 括弧に入れる：

それでも、かっこから何かを変質させて取り出すことができますが、この場合、答えをこの形式のままにしておくことをお勧めします-確認するのが簡単になります。

上記の例は、2番目の方法で解決できます。

どちらのソリューションも完全に同等です。

例5

関数の導関数を見つける

これは独立したソリューションの例であり、サンプルでは最初の方法で解決されます。

検討 同様の例分数で。

例6

関数の導関数を見つける

ここでは、いくつかの方法で行くことができます：

またはこのように：

しかし、まず、商の微分法則を使用すれば、解をよりコンパクトに書くことができます。 、分子全体をとる：

原則として例は解かれますが、この形のままにしておけば間違いではありません。 時間があれば、ドラフトをチェックすることをお勧めしますが、答えを単純化することは可能ですか？

分子の表現を最小公分母に持ち込み、3階建ての分数を取り除きます:

追加の単純化の欠点は、派生物を見つけるときではなく、平凡な学校の変革のときに間違いを犯すリスクがあることです。 一方、教師はしばしばその課題を拒否し、派生物を「思い起こさせる」ように求めます。

日曜大工のソリューションの簡単な例：

例7

関数の導関数を見つける

導関数を見つけるための手法を習得し続けます。次に、「ひどい」対数が微分のために提案される典型的なケースを検討します。

定義に従うと、ある点での関数の導関数は、関数Δの増分比の限界になります。 y引数Δの増分に バツ:

すべてがはっきりしているようです。 しかし、この式で計算してみてください。たとえば、関数の導関数です。 f(バツ) = バツ 2 + (2バツ+ 3）・ e バツ罪 バツ。 あなたが定義によってすべてをするならば、それから数ページの計算の後、あなたは単に眠りに落ちるでしょう。 したがって、より簡単で効果的な方法があります。

まず、いわゆる初等関数は、さまざまな関数と区別できることに注意してください。 相対的です 簡単な表現、その導関数は長い間計算され、テーブルに入力されています。 そのような関数は、それらの派生物とともに、覚えるのに十分簡単です。

初等関数の導関数

初等関数は以下のすべてです。 これらの関数の導関数は、心から知っている必要があります。 さらに、それらを暗記することは難しくありません-それが彼らが初歩的である理由です。

したがって、初等関数の導関数は次のようになります。

名前	関数	デリバティブ
絶え間ない	f(バツ) = C, C ∈ R	0（はい、はい、ゼロ！）
有理指数の次数	f(バツ) = バツ n	n · バツ n − 1
副鼻腔	f(バツ）=罪 バツ	cos バツ
余弦	f(バツ）= cos バツ	−罪 バツ（マイナスサイン）
正接	f(バツ）= tg バツ	1 / cos 2 バツ
コタンジェント	f(バツ）= ctg バツ	− 1 / sin2 バツ
自然対数	f(バツ）=ログ バツ	1/バツ
任意の対数	f(バツ）=ログ a バツ	1/(バツ ln a)
指数関数	f(バツ) = e バツ	e バツ（何も変わっていません）

初等関数に任意の定数を掛けると、新しい関数の導関数も簡単に計算できます。

(C · f)’ = C · f ’.

一般に、定数は導関数の符号から取り出すことができます。 例えば：

(2バツ 3）'= 2（ バツ 3）'= 2 3 バツ 2 = 6バツ 2 .

明らかに、初等関数は互いに追加したり、乗算したり、分割したりすることができます。 これは、新しい関数がどのように表示されるかであり、もはや基本的ではありませんが、特定のルールに従って微分可能です。 これらのルールについては、以下で説明します。

和と差の導関数

関数をしましょう f(バツ） と g(バツ）、その派生物は私たちに知られています。 たとえば、上記の初等関数を使用できます。 次に、これらの関数の和と差の導関数を見つけることができます。

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

したがって、2つの関数の合計（差）の導関数は、導関数の合計（差）に等しくなります。 もっと用語があるかもしれません。 例えば、 （ f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

厳密に言えば、代数には「引き算」の概念はありません。 「ネガティブエレメント」という概念があります。 したがって、違い f − g合計として書き直すことができます f+（-1） g、そして1つの式だけが残ります-合計の導関数。

f(バツ) = バツ 2 + sinx; g(バツ) = バツ 4 + 2バツ 2 − 3.

関数 f(バツ）は2つの初等関数の合計であるため、次のようになります。

f ’(バツ) = (バツ 2+ sin バツ)’ = (バツ 2）'+（sin バツ)’ = 2バツ+ cosx;

関数についても同様に議論します g(バツ）。 （代数の観点から）すでに3つの用語だけがあります：

g ’(バツ) = (バツ 4 + 2バツ 2 − 3)’ = (バツ 4 + 2バツ 2 + (−3))’ = (バツ 4)’ + (2バツ 2)’ + (−3)’ = 4バツ 3 + 4バツ + 0 = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

答え：
f ’(バツ) = 2バツ+ cosx;
g ’(バツ) = 4バツ · ( バツ 2 + 1).

製品の派生物

数学は論理科学であるため、多くの人は、合計の導関数が導関数の合計と等しい場合、積の導関数は 攻撃"\ u003eは導関数の積に等しい。しかし、あなたにはイチジク！積の導関数は、まったく異なる式を使用して計算されます。つまり、次のようになります。

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

式は単純ですが、忘れられがちです。 そして、学童だけでなく、学生も。 結果は誤って解決された問題です。

仕事。 関数の導関数を見つける： f(バツ) = バツ 3 cosx; g(バツ) = (バツ 2 + 7バツ− 7）・ e バツ .

関数 f(バツ）は2つの初等関数の積であるため、すべてが単純です。

f ’(バツ) = (バツ 3コス バツ)’ = (バツ 3）'cos バツ + バツ 3（cos バツ)’ = 3バツ 2コス バツ + バツ 3（-sin バツ) = バツ 2（3cos バツ − バツ罪 バツ)

関数 g(バツ）最初の乗数はもう少し複雑ですが、 一般的なスキームこれは変わりません。 明らかに、関数の最初の乗数 g(バツ）は多項式であり、その導関数は合計の導関数です。 我々は持っています：

g ’(バツ) = ((バツ 2 + 7バツ− 7）・ e バツ)’ = (バツ 2 + 7バツ− 7）'・ e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7）（ e バツ)’ = (2バツ+ 7）・ e バツ + (バツ 2 + 7バツ− 7）・ e バツ = e バツ（2 バツ + 7 + バツ 2 + 7バツ −7) = (バツ 2 + 9バツ) · e バツ = バツ(バツ+ 9）・ e バツ .

答え：
f ’(バツ) = バツ 2（3cos バツ − バツ罪 バツ);
g ’(バツ) = バツ(バツ+ 9）・ e バツ .

最後のステップで、導関数が因数分解されることに注意してください。 正式には、これは必須ではありませんが、ほとんどの導関数はそれ自体では計算されませんが、関数を調べるために計算されます。 これは、さらに導関数がゼロに等しくなり、その符号が見つかることなどを意味します。 このような場合は、式を因子に分解しておくとよいでしょう。

2つの機能がある場合 f(バツ） と g(バツ）、 と g(バツ）≠0関心のあるセットで、新しい関数を定義できます h(バツ) = f(バツ)/g(バツ）。 このような関数については、導関数も見つけることができます。

弱くないですよね？ マイナスはどこから来たのですか？ どうして g 2？ しかし、このように！ これは最も 複雑な式あなたはボトルなしでそれを理解することはできません。 したがって、それを研究する方が良いです 具体例.

仕事。 関数の導関数を見つける：

各分数の分子と分母には初等関数があるため、必要なのは商の導関数の式だけです。

伝統的に、分子を因子に因数分解します-これは答えを大幅に単純化します：

複雑な関数は、必ずしも長さが0.5kmの式であるとは限りません。 たとえば、関数を取得するだけで十分です f(バツ）=罪 バツ変数を置き換えます バツ、たとえば、 バツ 2 + ln バツ。 それが判明 f(バツ）=罪（ バツ 2 + ln バツ）は複雑な関数です。 彼女も派生物を持っていますが、上記のルールに従ってそれを見つけることはできません。

どうなる？ このような場合、変数の置換と複素関数の導関数の式は次のように役立ちます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t'、 もしも バツに置き換えられます t(バツ).

原則として、この公式を理解している状況は、商の導関数よりもさらに悲しい状況です。 したがって、具体的な例で説明することもお勧めします。 詳細な説明全段階で。

仕事。 関数の導関数を見つける： f(バツ) = e 2バツ + 3 ; g(バツ）=罪（ バツ 2 + ln バツ)

関数内の場合は注意してください f(バツ）式2の代わりに バツ+3は簡単になります バツ、次に初等関数を取得します f(バツ) = e バツ。 したがって、置換を行います。2 バツ + 3 = t, f(バツ) = f(t) = e t。 次の式で複素関数の導関数を探しています。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

そして今-注意！ 逆置換の実行： t = 2バツ+ 3.次のようになります：

f ’(バツ) = e t · t ’ = e 2バツ+ 3（2 バツ + 3)’ = e 2バツ+ 3 2 = 2 e 2バツ + 3

それでは関数を見てみましょう g(バツ）。 明らかに交換する必要があります。 バツ 2 + ln バツ = t。 我々は持っています：

g ’(バツ) = g ’(t) · t'=（罪 t)’ · t'= cos t · t ’

逆交換： t = バツ 2 + ln バツ。 それで：

g ’(バツ）= cos（ バツ 2 + ln バツ) · ( バツ 2 + ln バツ）'= cos（ バツ 2 + ln バツ）・（2 バツ + 1/バツ).

それで全部です！ 最後の式からわかるように、問題全体は合計の導関数を計算することになりました。

答え：
f ’(バツ）= 2 e 2バツ + 3 ;
g ’(バツ) = (2バツ + 1/バツ）cos（ バツ 2 + ln バツ).

私のレッスンでは、「派生語」という用語の代わりに「ストローク」という単語を使用することがよくあります。 たとえば、合計からのストローク 合計に等しいストローク。 それはより明確ですか？ まあ、それは良いことです。

したがって、導関数の計算は、上記のルールに従ってこれらのストロークを取り除くことになります。 最後の例として、有理指数を使用して微分パワーに戻りましょう。

(バツ n)’ = n · バツ n − 1

その役割でそれを知っている人はほとんどいません nうまくいくかもしれない 小数。 たとえば、ルートは バツ 0.5。 しかし、ルートの下に何かトリッキーなものがある場合はどうなりますか？ 繰り返しますが、複雑な関数が判明します-彼らはそのような構造を与えるのが好きです 制御は機能しますああ、試験。

仕事。 関数の導関数を見つけます。

まず、根を有理指数のべき乗として書き直してみましょう。

f(バツ) = (バツ 2 + 8バツ − 7) 0,5 .

今、私たちは置換を行います： バツ 2 + 8バツ − 7 = t。 次の式で導関数を求めます。

f ’(バツ) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5） ' t'= 0.5 t−0.5 t ’.

逆置換を行います： t = バツ 2 + 8バツ−7.次のようになります。

f ’(バツ）= 0.5（ バツ 2 + 8バツ− 7）−0.5（ バツ 2 + 8バツ− 7）'= 0.5（2 バツ+ 8）（ バツ 2 + 8バツ − 7) −0,5 .

最後に、ルーツに戻ります。

そして、複素関数の導関数に関する定理。その定理は次のとおりです。

1）関数$ u = \ varphi（x）$の導関数$ u_（x） "= \ varphi"（x_0）$がある時点で$ x_0 $、2）関数$ y = f（u）$対応する点に$u_0= \ varphi（x_0）$の導関数$ y_（u） "= f"（u）$があります。 次に、前述の点での複素関数$ y = f \ left（\ varphi（x）\ right）$も、関数$ f（u）$と$ \ varphi（ x）$：

$$ \ left（f（\ varphi（x））\ right） "= f_（u）" \ left（\ varphi（x_0）\ right）\ cdot \ varphi "（x_0）$$

または、短い表記では、$ y_（x） "= y_（u）" \ cdot u_（x）"$です。

このセクションの例では、すべての関数の形式は$ y = f（x）$です（つまり、1つの変数$ x $の関数のみを考慮します）。 したがって、すべての例で、導関数$y"$は変数$x$に関して取られます。導関数が変数$x$に関して取られることを強調するために、$の代わりに$ y"_x$と書くことがよくあります。 y"$。

例＃1、＃2、および＃3は、複素関数の導関数を見つけるための詳細なプロセスを提供します。 例4は、導関数の表をより完全に理解することを目的としており、それに精通することは理にかなっています。

例1〜3の資料を検討した後、次の手順に進むことをお勧めします。 独立した決定例＃5、＃6、および＃7。 例＃5、＃6、および＃7には次のものが含まれます 短い解決策読者が自分の結果の正しさを確認できるようにします。

例1

関数$y= e ^（\ cos x）$の導関数を見つけます。

複素関数$y"$の導関数を見つける必要があります。$y= e ^（\ cos x）$なので、$ y" = \ left（e ^（\ cos x）\ right）"$。導関数を見つける$\left（e ^（\ cos x）\ right） "$導関数の表から式＃6を使用します。 式6を使用するには、この場合は$ u = \ cosx$であることを考慮する必要があります。 さらなる解決策は、式No.6への$u$の代わりに式$\ cosx$の平凡な置換で構成されます。

$$ y "= \ left（e ^（\ cos x）\ right）" = e ^（\ cos x）\ cdot（\ cos x） "\ tag（1.1）$$

ここで、式$（\ cos x） "$の値を見つける必要があります。ここでも、導関数の表に戻り、そこから式No.10を選択します。式No.10に$u = x $を代入すると、次のようになります。 ：$（\ cos x） "=-\ sin x \ cdot x" $。ここで、等式（1.1）を続行し、見つかった結果で補足します。

$$ y "= \ left（e ^（\ cos x）\ right）" = e ^（\ cos x）\ cdot（\ cos x） "= e ^（\ cos x）\ cdot（-\ sin x \ cdot x "）\ tag（1.2）$$

$ x "= 1 $なので、平等（1.2）を継続します。

$$ y "= \ left（e ^（\ cos x）\ right）" = e ^（\ cos x）\ cdot（\ cos x） "= e ^（\ cos x）\ cdot（-\ sin x \ cdot x "）= e ^（\ cos x）\ cdot（-\ sin x \ cdot 1）=-\ sin x \ cdot e ^（\ cos x）\ tag（1.3）$$

したがって、等式（1.3）から、次のようになります。$ y "=-\ sin x \ cdot e ^（\ cos x）$。当然、説明と中間等式は通常スキップされ、等式のように1行で導関数を記述します。 （1.3）したがって、複素関数の導関数が見つかりました。答えを書き留めるだけです。

答え：$ y "=-\ sin x \ cdot e ^（\ cos x）$。

例2

関数$y= 9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）$の導関数を見つけます。

導関数$y"= \ left（9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right）"$を計算する必要があります。 まず、定数（つまり、数値9）を導関数の符号から取り出すことができることに注意してください。

$$ y "= \ left（9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right）" = 9 \ cdot \ left（\ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x） \ right） "\ tag（2.1）$$

次に、式$ \ left（\ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right） "$を見てみましょう。導関数の表から目的の式を簡単に選択できるように、式を示します。この形式の問題：$ \ left（\ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（12）\ right）"$。 これで、式2を使用する必要があることは明らかです。 $ \ left（u ^ \ alpha \ right） "= \ alpha \ cdot u ^（\ alpha-1）\ cdotu"$。 $ u = \ arctg（4 \ cdot \ ln x）$と$ \ alpha =12$を次の式に代入します。

得られた結果で等式（2.1）を補完すると、次のようになります。

$$ y "= \ left（9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right）" = 9 \ cdot \ left（\ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x） \ right） "= 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot（\ arctg（4 \ cdot \ ln x））" \ tag（2.2）$$

この状況では、最初のステップでソルバーが数式の代わりに数式$（\ arctg \; u） "= \ frac（1）（1 + u ^ 2）\ cdot u" $を選択すると、間違いが発生することがよくあります。 $ \ left（u ^ \ alpha \ right） "= \ alpha \ cdot u ^（\ alpha-1）\ cdotu"$。 重要なのは、外部関数の導関数を最初に見つける必要があるということです。 式$\arctg ^（12）（4 \ cdot 5 ^ x）$の外部にある関数を理解するために、式$ \ arctg ^（12）（4 \ cdot5^の値を数えていると想像してください。 x）$ $x$の値の場合。 最初に$5^ x $の値を計算し、次に結果に4を掛けて$ 4 \ cdot 5 ^x$を取得します。 ここで、この結果からアークタンジェントを取得し、$ \ arctg（4 \ cdot 5 ^ x）$を取得します。 次に、結果の数値を12乗して、$ \ arctg ^（12）（4 \ cdot 5 ^ x）$を取得します。 最後のアクション、つまり 12の累乗に上げる-そして外部関数になります。 そしてそれから、平等に行われた導関数を見つけ始める必要があります（2.2）。

ここで、$（\ arctg（4 \ cdot \ ln x））"$を見つける必要があります。導関数テーブルの式No.19を使用し、それに$ u = 4 \ cdot \ lnx$を代入します。

$$（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）） "= \ frac（1）（1+（4 \ cdot \ ln x）^ 2）\ cdot（4 \ cdot \ ln x）" $$

$（4 \ cdot \ ln x）^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot（\ ln x）^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $を考慮して、結果の式を少し単純化してみましょう。

$$（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）） "= \ frac（1）（1+（4 \ cdot \ ln x）^ 2）\ cdot（4 \ cdot \ ln x）" = \ frac（ 1）（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x）\ cdot（4 \ cdot \ ln x） "$$

等式（2.2）は次のようになります。

$$ y "= \ left（9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right）" = 9 \ cdot \ left（\ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x） \ right） "= \\ = 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot（\ arctg（4 \ cdot \ ln x））" = 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot \ frac（1）（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x）\ cdot（4 \ cdot \ ln x） " \ tag（2.3）$$

$（4 \ cdot \ ln x） "$を見つけることは残っています。導関数の符号から定数（つまり4）を取り出します：$（4 \ cdot \ ln x）" = 4 \ cdot（\ ln x ）"$。$（\ ln x）" $を見つけるために、式No. 8を使用し、それに$ u = x $を代入します：$（\ ln x） "= \ frac（1）（x） \ cdotx"$。 $ x "= 1 $なので、$（\ ln x）" = \ frac（1）（x）\ cdot x "= \ frac（1）（x）\ cdot 1 = \ frac（1）（x） $得られた結果を式（2.3）に代入すると、次のようになります。

$$ y "= \ left（9 \ cdot \ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x）\ right）" = 9 \ cdot \ left（\ arctg ^（12）（4 \ cdot \ ln x） \ right） "= \\ = 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot（\ arctg（4 \ cdot \ ln x））" = 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot \ frac（1）（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x）\ cdot（4 \ cdot \ ln x） " = \\ = 108 \ cdot \ left（\ arctg（4 \ cdot \ ln x）\ right）^（11）\ cdot \ frac（1）（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x）\ cdot 4 \ cdot \ frac（1）（x）= 432 \ cdot \ frac（\ arctg ^（11）（4 \ cdot \ ln x））（x \ cdot（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x））。$ $

最後の等式で書かれているように、複素関数の導関数はほとんどの場合1行になっていることを思い出してください。 したがって、標準的な計算やテストを行う場合、ソリューションを同じように詳細に説明する必要はまったくありません。

答え：$ y "= 432 \ cdot \ frac（\ arctg ^（11）（4 \ cdot \ ln x））（x \ cdot（1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x））$。

例3

関数$y= \ sqrt（\ sin ^ 3（5 \ cdot9 ^ x））$の$y"$を見つけます。

まず、ラジカル（ルート）を累乗として表すことにより、$y$関数を少し変換してみましょう。$y= \ sqrt（\ sin ^ 3（5 \ cdot9 ^ x））= \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））$。 それでは、導関数の検索を始めましょう。 $ y = \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））$なので、次のようになります。

$$ y "= \ left（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））\ right）" \ tag（3.1）$$

導関数の表の式2を使用し、$ u = \ sin（5 \ cdot 9 ^ x）$と$ \ alpha = \ frac（3）（7）$を代入します。

$$ \ left（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））\ right） "= \ frac（3）（7）\ cdot \ left（ \ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7）-1）（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "= \ frac（3）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "$$

得られた結果を使用して等式（3.1）を継続します。

$$ y "= \ left（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））\ right）" = \ frac（3）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "\ tag（3.2）$$

ここで、$（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "$を見つける必要があります。これには、導関数の表から式No. 9を使用し、それに$ u = 5 \ cdot 9 ^x$を代入します。

$$（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "= \ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot（5 \ cdot 9 ^ x）" $$

得られた結果で等式（3.2）を補完すると、次のようになります。

$$ y "= \ left（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））\ right）" = \ frac（3）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "= \\ = \ frac（3） （7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））\ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot（5 \ cdot 9 ^ x） "\ tag（3.3）$$

$（5 \ cdot 9 ^ x） "$を見つけることは残っています。最初に、導関数の符号から定数（数値$ 5 $）を取り出しましょう。つまり、$（5 \ cdot 9 ^ x）" = 5 \ cdot （9 ^ x） "$。導関数$（9 ^ x）" $を見つけるには、導関数の表の式5を適用し、それに$ a =9$と$u= x $を代入します。$（ 9 ^ x） "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdotx"$。 $ x "= 1 $なので、$（9 ^ x）" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $。これで、等式（3.3）を継続できます。

$$ y "= \ left（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（3）（7））\ right）" = \ frac（3）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）） "= \\ = \ frac（3） （7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））\ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot（5 \ cdot 9 ^ x） "= \ frac（3）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））\ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac（15 \ cdot \ ln 9）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right） ^（-\ frac（4）（7））\ cdot \ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot 9^x。 $$

$ \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））$を$ \ frac（1 ）（\ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（\ frac（4）（7）））= \ frac（1）（\ sqrt（\ sin ^ 4（5 \ cdot 9 ^ x）））$。 次に、導関数は次の形式で記述されます。

$$ y "= \ frac（15 \ cdot \ ln 9）（7）\ cdot \ left（\ sin（5 \ cdot 9 ^ x）\ right）^（-\ frac（4）（7））\ cdot \ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot 9 ^ x = \ frac（15 \ cdot \ ln 9）（7）\ cdot \ frac（\ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot 9 ^ x） （\ sqrt（\ sin ^ 4（5 \ cdot 9 ^ x）））。$$

答え：$ y "= \ frac（15 \ cdot \ ln 9）（7）\ cdot \ frac（\ cos（5 \ cdot 9 ^ x）\ cdot 9 ^ x）（\ sqrt（\ sin ^ 4（5 \ cdot 9 ^ x）））$。

例4

導関数の表の式3と4が、この表の式2の特殊なケースであることを示します。

導関数の表の式2には、関数$ u ^ \alpha$の導関数が記述されています。 $ \ alpha = -1 $を式＃2に代入すると、次のようになります。

$$（u ^（-1）） "=-1 \ cdot u ^（-1-1）\ cdot u" =-u ^（-2）\ cdot u "\ tag（4.1）$$

$ u ^（-1）= \ frac（1）（u）$および$ u ^（-2）= \ frac（1）（u ^ 2）$であるため、等式（4.1）は次のように書き直すことができます。 \ left（\ frac（1）（u）\ right） "=-\ frac（1）（u ^ 2）\ cdotu"$。 これは、導関数表の式番号3です。

微分表の式2に戻りましょう。 $ \ alpha = \ frac（1）（2）$をそれに置き換えます：

$$ \ left（u ^（\ frac（1）（2））\ right） "= \ frac（1）（2）\ cdot u ^（\ frac（1）（2）-1）\ cdot u" = \ frac（1）（2）u ^（-\ frac（1）（2））\ cdot u "\ tag（4.2）$$

$ u ^（\ frac（1）（2））= \ sqrt（u）$および$ u ^（-\ frac（1）（2））= \ frac（1）（u ^（\ frac（1 ）（2）））= \ frac（1）（\ sqrt（u））$の場合、等式（4.2）は次のように書き直すことができます。

$$（\ sqrt（u）） "= \ frac（1）（2）\ cdot \ frac（1）（\ sqrt（u））\ cdot u" = \ frac（1）（2 \ sqrt（u） ）\ cdot u "$$

結果として得られる等式$（\ sqrt（u）） "= \ frac（1）（2 \ sqrt（u））\ cdot u" $は、導関数表の式4です。 ご覧のとおり、導関数表の式No.3とNo.4は、式No.2から対応する$\alpha$の値を代入することによって得られます。