ヒントンキューブ。 ハイパーキューブ 四次元への第一歩

アベンジャーズ映画のファンなら、「テッセラクト」という言葉を聞いて最初に思い浮かべるのは、無限の力を秘めたインフィニティ・ストーンの透明な立方体の器でしょう。

マーベル ユニバースのファンにとって、テッセラクトは地球だけでなく他の惑星の人々も夢中にさせる青く光る立方体です。 だからこそ、アベンジャーズ全員が地球人を極度の災害から守るために団結したのです。 破壊力テッセラクト。

ただし、これは言っておかなければなりません。テッセラクトは実際の幾何学的概念、より具体的には 4D に存在する形状です。 これはアベンジャーズの単なる青い立方体ではありません...それは本物のコンセプトです。

Tesseract は 4 次元のオブジェクトです。 詳しく説明する前に、最初から始めましょう。

「測定」とは何ですか？

誰もが、空間内の 2 次元または 3 次元のオブジェクトを表す 2D および 3D という用語を聞いたことがあるでしょう。 しかし、これらの測定値は何でしょうか?

次元とは、単に進むことができる方向です。 たとえば、紙に線を描いている場合、左/右 (X 軸) または上/下 (Y 軸) に移動できます。 したがって、紙は 2 次元であると言います。これは、2 つの方向にしか進むことができないためです。

3Dで奥行き感があります。

今 現実の世界, 上記の 2 つの方向 (左/右と上/下) 以外に、「へ/から」に移動することもできます。 これにより、３Ｄ空間に奥行き感が付加される。 したがって、私たちはこう言います 実生活 3次元の。

点は 0 次元 (どの方向にも移動しないため) を表し、線は 1 次元 (長さ) を表し、正方形は 2 次元 (長さと幅) を表し、立方体は 3 次元 (長さ、幅、高さ) を表します。 ）。

3D 立方体を取得し、その各面 (現在は正方形) を立方体に置き換えます。 など！ 得られる形状はテッセラクトです。

テッセラクトとは何ですか？

簡単に言えば、テッセラクトは 4 次元空間の立方体です。 立方体の 4D アナログとも言えます。 これは各面が立方体である 4D 形状です。

2 つの直交する平面の周りで二重回転を実行するテッセラクトの 3D 投影。
画像: ジェイソン・ハイセ

次元を概念化する簡単な方法は次のとおりです。正方形は 2 次元です。 したがって、その各角には、互いに 90 度の角度で伸びる 2 本の線があります。 立方体は 3D であるため、各角には 3 本の線が伸びています。 同様に、テッセラクトは 4D 形状であるため、各角から 4 本の線が伸びています。

テッセラクトを想像するのが難しいのはなぜですか?

私たち人間は物体を 3 次元で視覚化するように進化してきました。そのため、4D、5D、6D などの余分な次元に入るようなものは、私たちにはまったく理解できないので、あまり意味がありません。 私たちの脳は空間の 4 次元を理解できません。 それについては考えられません。

ただし、多次元空間の概念を視覚化できないからといって、それが存在できないという意味ではありません。

2009 年 9 月 19 日
テッセラクト (古代ギリシャ語 τέσσερες ἀκτῖνες - 4 つの光線に由来) は、4 次元超立方体 - 4 次元空間における立方体の類似物です。

画像は 4 次元立方体を 3 次元空間に投影 (透視図) したものです。

オックスフォード辞書によると、「テッセラクト」という言葉は、1888 年にチャールズ・ハワード・ヒントン (1853 ～ 1907) の著書の中で造語され、使用されました。 新時代考え」。 その後、同じ図形を「テトラキューブ」と呼ぶ人もいます。

ジオメトリ

ユークリッド 4 次元空間における通常のテッセラクトは、点 (±1、±1、±1、±1) の凸包として定義されます。 つまり、次の集合として表すことができます。

テッセラクトは 8 つの超平面によって制限され、テッセラクト自体との交差部分がその 3 次元面 (通常の立方体) を定義します。 平行ではない 3D 面の各ペアが交差して 2D 面 (正方形) などを形成します。 最後に、テッセラクトには 8 つの 3D 面、24 つの 2D 面、32 のエッジ、および 16 の頂点があります。

一般的な説明

3 次元空間を離れることなく、ハイパーキューブがどのように見えるかを想像してみましょう。

一次元の「空間」、つまり直線上で、長さ L の線分 AB を選択します。AB から距離 L の二次元平面上に、それに平行な線分 DC を描き、それらの端を接続します。 結果は正方形 ABCD になります。 この操作を平面に対して繰り返すと、3 次元立方体 ABCDHEFG が得られます。 そして、立方体を 4 番目の次元 (最初の 3 次元に垂直) で距離 L だけシフトすると、超立方体 ABCDEFGHIJKLMNOP が得られます。
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

1 次元の線分 AB は 2 次元の正方形 ABCD の辺として機能し、正方形は立方体 ABCDHEFG の辺として機能し、これが 4 次元の超立方体の辺になります。 直線セグメントには 2 つの境界点があり、正方形には 4 つの頂点があり、立方体には 8 つの頂点があります。 したがって、4 次元の超立方体には、元の立方体の 8 つの頂点と 4 次元にシフトされた 1 つの頂点の 8 つの合計、16 つの頂点が存在します。 これには 32 のエッジがあり、それぞれ 12 は元の立方体の最初と最後の位置を示し、別の 8 つのエッジは 4 次元に移動した 8 つの頂点を「描画」します。 同じ推論が超立方体の面にも当てはまります。 2 次元空間には 1 つ (正方形自体) しかありませんが、立方体には 6 つあります (移動した正方形の 2 つの面と、その側面を表すさらに 4 つの面)。 4 次元の超立方体には 24 個の正方形の面があります。つまり、元の立方体の 2 つの位置にある 12 個の正方形と、その 12 の辺からの 12 個の正方形です。

同様の方法で、より多くの次元のハイパーキューブについて推論を続けることができますが、3 次元空間の住人である私たちにとって 4 次元のハイパーキューブがどのように見えるかを確認することの方がはるかに興味深いです。 このために、すでによく知られているアナロジーの方法を使用します。

Tesseractのアンラッピング

ワイヤーキューブABCDHEFGをエッジ側から片目で見てみましょう。 平面上に 2 つの正方形 (近くの端と遠い端) が 4 本の線 (側端) で結ばれていることを確認し、描くことができます。 同様に、3 次元空間内の 4 次元の超立方体は、2 つの立方体の「箱」が互いに挿入され、8 つの辺で接続されたように見えます。 この場合、「箱」自体、つまり三次元の面が「私たちの」空間に投影され、それらを結ぶ線が四次元に伸びます。 立方体を投影ではなく空間イメージで想像してみることもできます。

3 次元の立方体が面の長さだけ移動した正方形によって形成されるのと同じように、立方体を 4 次元に移動すると超立方体が形成されます。 それは 8 つの立方体によって制限されており、遠近法で見るとかなり複雑な図形のように見えます。 「私たちの」空間に残った部分は実線で描かれ、超空間に入った部分は点線で描かれています。 3 次元の立方体を無数の平坦な正方形に「切断」できるのと同様に、4 次元のハイパー立方体自体は無数の立方体で構成されています。

立体的な立方体の6つの面を切断することで、平面的な図形、つまり展開図に分解することができます。 元の面の両側に正方形が 1 つ追加され、その反対側の面が 1 つ追加されます。 そして、4 次元超立方体の 3 次元展開は、元の立方体、そこから「成長」する 6 つの立方体、さらにもう 1 つ、つまり最後の「超面」で構成されます。

テッセラクトの特性は、低次元の幾何学的図形の特性の 4 次元空間への継続を表します。

予測

二次元空間へ

この構造を想像するのは難しいですが、テッセラクトを 2 次元または 3 次元の空間に投影することは可能です。 さらに、平面に投影すると、超立方体の頂点の位置が理解しやすくなります。 このようにして、次の例に示すように、テッセラクト内の空間関係を反映しないが、頂点の接続構造を示す画像を取得することができます。


三次元空間へ

テッセラクトの 3 次元空間への投影は、2 つの入れ子になった 3 次元立方体を表し、その対応する頂点はセグメントによって接続されます。 内側の立方体と外側の立方体は、3 次元空間ではサイズが異なりますが、4 次元空間では等しい立方体です。 すべてのテッセラクト キューブの同等性を理解するために、回転テッセラクト モデルが作成されました。



テッセラクトの端に沿った 6 つの角錐台は、6 つの等しい立方体のイメージです。
ステレオペア

テッセラクトのステレオ ペアは、3 次元空間への 2 つの投影として描かれます。 このテッセラクトの画像は、深さを 4 次元として表現するように設計されています。 ステレオ ペアは、それぞれの目でこれらの画像の 1 つだけが見えるように表示され、テッセラクトの深さを再現する立体画像が表示されます。

Tesseractのアンラッピング

テッセラクトの表面は 8 つの立方体に展開できます (立方体の表面を 6 つの正方形に展開できるのと同様です)。 テッセラクトのデザインは 261 種類あります。 テッセラクトの展開は、接続された角度をグラフ上にプロットすることで計算できます。

芸術におけるテッセラクト

エドウィナ A. の「新しいアボット平原」では、ハイパーキューブがナレーターの役割を果たします。
『ジミー・ニュートロンの冒険』のエピソード「天才少年」では、ジミーはハインラインの 1963 年の小説『グローリー・ロード』の折り畳み箱と同じ 4 次元の超立方体を発明します。
ロバート E. ハインラインは、少なくとも 3 つの SF 小説でハイパーキューブについて言及しています。 『四次元の家 (ティールが建てた家)』(1940 年) では、彼は包まれていないテッセラクトのように建てられた家について説明しました。
ハインラインの小説「栄光の道」では、外側よりも内側が大きい超大型の皿について説明されています。
ヘンリー・カットナーの物語「ミムジーはボロゴブ家だった」では、構造がテッセラクトに似た、遠い未来の子供向けの知育玩具について説明されています。
Alex Garland の小説 (1999 年) では、「テッセラクト」という用語は、ハイパーキューブ自体ではなく、4 次元のハイパーキューブの 3 次元展開に対して使用されています。 これは、認識システムが認識可能なものよりも広い必要があることを示すために設計された比喩です。
『Cube 2: Hypercube』のプロットは、「ハイパーキューブ」、つまり接続されたキューブのネットワークに閉じ込められた 8 人の見知らぬ人を中心としています。
テレビ シリーズ「アンドロメダ」では、プロット デバイスとしてテッセラクト ジェネレーターが使用されています。 それらは主に空間と時間を操作するように設計されています。
サルバドール・ダリの絵画「磔刑」（Corpus Hypercubus）（1954年）
Nextwave のコミック本には、5 つのテッセラクト ゾーンを含む車両が描かれています。
アルバム『Voivod Nothingface』の中で、「In my hypercube」という曲が収録されています。
アンソニー・ピアースの小説『キューブ・ルート』では、 軌道衛星国際開発協会は3次元に圧縮されたテッセラクトと呼んでいます。
「学校」シリーズでは ブラックホール「」シーズン3には「テッセラクト」というエピソードがあります。 ルーカスが秘密のボタンを押すと、学校は数学的なテッセラクトのように形を作り始めます。
「テッセラクト」という用語とその派生用語「テッセレート」は、マドレーヌ ラングルの物語「A Wrinkle in Time」に登場します。

幾何学において ハイパーキューブ- これ n- 正方形の次元の類似 ( n= 2) と立方体 ( n= 3)。 図形の両端に位置し、互いに直角に接続された平行線のグループから構成される閉じた凸図形です。

この図は次のようにも知られています。 テッセラクト（テッセラクト）。 立方体が正方形であるように、テッセラクトは立方体に対して存在します。 より形式的には、テッセラクトは、境界が 8 つの立方体セルで構成される規則的な凸状の 4 次元多面体 (多面体) として説明できます。

オックスフォード英語辞典によると、「テッセラクト」という言葉は1888年にチャールズ・ハワード・ヒントンによって造られ、彼の著書「A New Era of Thought」で使用されました。 この言葉は、4 つの座標軸の形をしたギリシャ語の「τεσσερες ακτινες」（「4 つの光線」）に由来しています。 さらに、いくつかの情報源では、同じ図が次のように呼ばれていました。 テトラキューブ（テトラキューブ）。

n-次元超立方体とも呼ばれます Nキューブ.

点は次元 0 の超立方体です。点を長さの単位だけシフトすると、単位長さのセグメント、つまり次元 1 の超立方体が得られます。さらに、セグメントを垂直方向に長さの単位だけシフトすると、セグメントの方向に移動すると、立方体 - 次元 2 の超立方体が得られます。正方形を正方形の平面に垂直な方向に長さの単位だけシフトすると、立方体 - 次元 3 の超立方体が得られます。このプロセス任意の数の次元に一般化できます。 たとえば、立方体を 4 次元で 1 単位の長さだけ移動すると、テッセラクトが得られます。

超立方体ファミリーは、任意の次元で表現できる数少ない正多面体の 1 つです。

超立方体の要素

次元超立方体 n 2つあります n「辺」(1 次元の直線には 2 つの点があり、2 次元の正方形には 4 つの辺があります。3 次元の立方体には 6 つの面があります。4 次元のテッセラクトには 8 つのセルがあります)。 超立方体の頂点(点)の数は2です n(たとえば、立方体の場合 - 2 3 頂点)。

量 メートル-境界上の次元超立方体 n-立方体が等しい

たとえば、超立方体の境界には、8 個の立方体、24 個の正方形、32 個のエッジ、および 16 個の頂点があります。

超立方体の要素

Nキューブ	名前	バーテックス (0面)	角 (1面)	角 (2面)	細胞 (3面)	(4面)	(5面)	(6面)	(7面)	(8面)
ゼロキューブ	ドット	1
1キューブ	線分	2	1
2キューブ	四角	4	4	1
3キューブ	キューブ	8	12	6	1
4キューブ	テッセラクト	16	32	24	8	1
5キューブ	ペンタアクト	32	80	80	40	10	1
6キューブ	ヘキセラクト	64	192	240	160	60	12	1
7キューブ	ヘプタアクト	128	448	672	560	280	84	14	1
8キューブ	オクタアクト	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9キューブ	エナアクト	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

平面への投影

超立方体の形成は次のように表すことができます。

• 2 つの点 A と B を結んで線分 AB を形成できます。
• 2 つの平行なセグメント AB と CD を接続して正方形 ABCD を形成できます。
• 2 つの平行な正方形 ABCD と EFGH を接続して立方体 ABCDEFGH を形成できます。
• 2 つの平行キューブ ABCDEFGH および IJKLMNOP を接続して、ハイパーキューブ ABCDEFGHIJKLMNOP を形成できます。

後者の構造を視覚化するのは簡単ではありませんが、2 次元または 3 次元空間への投影を描くことは可能です。 さらに、2 次元平面への投影は、投影された頂点の位置を再配置できるようにすることで、さらに便利になります。 この場合、以下の例に示すように、テッセラクト内の要素の空間的関係を反映していないが、頂点接続の構造を示す画像を取得することが可能です。

最初の図は、原則として、2 つの立方体を結合することによってテッセラクトがどのように形成されるかを示しています。 このスキームは、2 つの正方形から立方体を作成するスキームに似ています。 2 番目の図は、テッセラクトのすべてのエッジが同じ長さであることを示しています。 このスキームでは、互いに接続されているキューブを探すことも必要になります。 3 番目の図では、テッセラクトの頂点は、底点からの面に沿った距離に従って配置されています。 この方式は、並列コンピューティングを構成するときにプロセッサを接続するネットワーク トポロジの基本方式として使用されるため、興味深いものです。任意の 2 つのノード間の距離は 4 エッジ長を超えず、負荷を分散するためのさまざまなパスが多数あります。

芸術におけるハイパーキューブ

ハイパーキューブが SF 文学に登場するのは、ロバート ハインラインが「そして彼は曲がった家を建てた」という物語の中で、テッセラクト スキャンの形で建てられた家について描写した 1940 年以来です。 物語の中で、この次にこの家は崩壊し、四次元のテッセラクトと化す。 この後、ハイパーキューブは多くの本や短編小説に登場します。

映画『Cube 2: Hypercube』は、ハイパーキューブのネットワークに閉じ込められた 8 人の人々についての物語です。

サルバドール・ダリの絵画「磔刑 (Corpus Hypercubus)」、1954 年には、テッセラクト スキャンで磔刑にされたイエスが描かれています。 この絵はニューヨークのメトロポリタン美術館で見ることができます。

結論

ハイパーキューブは最も単純な 4 次元オブジェクトの 1 つであり、そこから 4 次元の複雑さと異常さがわかります。 そして、三次元では不可能に見えることが、たとえば不可能な図形である四次元では可能になります。 したがって、たとえば、4次元では不可能な三角形の棒は直角に接続されます。 そして、この図はどの視点から見てもこのように見え、三次元空間における不可能な三角形の実装とは異なり、歪むことはありません (図を参照)。

超立方体と四次元空間とは何ですか

私たちの普段の空間は三次元です。 幾何学的観点から見ると、これは、相互に直交する 3 本の線をその中に示すことができることを意味します。 つまり、どの線でも最初の線に垂直な 2 番目の線を見つけることができ、ペアの場合は最初の 2 本に垂直な 3 番目の線を見つけることができます。 既存の 3 つのラインに垂直な 4 番目のラインを見つけることはもはや不可能になります。

四次元空間は、もう 1 つの追加の方向があるという点でのみ私たちの空間と異なります。 相互に垂直な線がすでに 3 本ある場合は、3 本すべてに垂直になる 4 番目の線を見つけることができます。

ハイパーキューブは、単純に 4 次元空間内の立方体です。
四次元空間や超立方体を想像することはできますか?

この質問は、「レオナルド・ダ・ヴィンチ (1452-1519) の同名の絵画 (1495-1498) を見て最後の晩餐を想像することは可能ですか?」という質問に関連しています。

一方では、もちろん、イエスが見たものを想像することはできません（彼は観察者に向かって座っています）、特に窓の外の庭の匂いを嗅いだり、テーブルの上の食べ物を味わったりすることはなく、鳥の声も聞こえません。歌っている...その夜に何が起こっていたのかを完全に把握することはできませんが、新しいことを何も学ばず、その写真に興味がないとは言えません。

状況はハイパーキューブの問題と同様です。 それを完全に想像することは不可能ですが、それがどのようなものであるかを理解することに近づくことはできます。
ハイパーキューブの構築
0次元立方体

最初から、0 次元の立方体から始めましょう。 この立方体には相互に垂直な面が 0 つ含まれており、これは単なる点です。

1次元立方体

一次元空間では一方向しかありません。 この方向に点を移動し、セグメントを取得します。

これは 1 次元の立方体です。
2次元立方体

2 次元があり、1 次元の立方体 (セグメント) を 2 次元の方向にシフトすると、正方形が得られます。

二次元空間の立方体です。
3次元立方体

3 次元の出現でも、私たちは同じことを行います。正方形を移動して、通常の 3 次元立方体を取得します。

4次元立方体（ハイパーキューブ）

今、私たちは四次元を持っています。 つまり、前の 3 つの方向すべてに対して垂直な方向を自由に使用できます。 全く同じように使ってみましょう。 4次元立方体はこんな感じになります。

当然のことながら、3 次元や 4 次元の立方体を 2 次元の画面平面上に描画することはできません。 私が描いたのは投影です。 予測については少し後ほど説明しますが、ここでは、いくつかの裸の事実と数字について説明します。
頂点、エッジ、面の数
さまざまなサイズの立方体の特徴
1次元の空間
2-頂点の数
3-エッジの数
4-面の数

0（ドット） 1 0 0
1（セグメント） 2 1 2（ポイント）
2（正方形） 4 4 4（セグメント）
3 (立方体) 8 12 6 (正方形)
4 (ハイパーキューブ) 16 32 8 (キューブ)
N ( 一般式) 2N N 2N-1 2N

ハイパーキューブの面は通常の 3 次元立方体であることに注意してください。 超立方体の図面をよく見ると、実際には 8 つの立方体を見つけることができます。
四次元空間の住人の投影とビジョン
ビジョンについて一言

私たちは三次元の世界に住んでいますが、それを二次元として見ています。 これは、私たちの目の網膜が 2 次元のみの平面上に位置しているという事実によるものです。 これが、私たちが二次元の絵を認識し、現実に似ていると感じることができる理由です。 (もちろん、調節機能のおかげで、目は物体までの距離を推定できますが、これは目に組み込まれた光学系に伴う副作用です。)

4 次元空間の住人の目は 3 次元の網膜を持っている必要があります。 そのような生き物は、三次元の人物全体、つまりそのすべての顔と内部をすぐに見ることができます。 (同様に、2 次元の図形のすべての面と内部を見ることができます。)

したがって、視覚器官の助けを借りても、私たちは 4 次元空間の住人が認識するような方法で 4 次元の立方体を認識することはできません。 ああ、ああ。 あとは、心の目と想像力に頼るだけです。幸いなことに、それには物理的な制限がありません。

しかし、超立方体を平面上に描く場合、それを二次元空間に投影するしかありません。 図面を検討するときは、この事実を考慮してください。
エッジ交差

当然のことながら、超立方体のエッジは交差しません。 交差点は図面にのみ表示されます。 ただし、写真内の通常の立方体のエッジも交差しているため、これは驚くべきことではありません。
エッジの長さ

4 次元立方体のすべての面とエッジが等しいことは注目に値します。 この図では、これらが等しくないのは、それらが視点の方向に対して異なる角度に配置されているという理由だけです。 ただし、すべての投影が同じ長さになるように超立方体を回転することは可能です。

ちなみに、この図では超立方体の面である 8 つの立方体がはっきりと見えています。
ハイパーキューブの中は空です

信じられないかもしれませんが、ハイパーキューブを囲む立方体の間には、何らかの空間 (4 次元空間の断片) が存在します。

これをよりよく理解するために、通常の 3 次元立方体の 2 次元投影を見てみましょう (意図的にやや概略的にしています)。

このことから、立方体の中に空間があることがわかりますか? はい、ただし想像力を働かせてください。 この空間は目には見えません。 これは、3 次元に位置するエッジ (平面図では表現できない) が図面の平面内にあるセグメントに変わっているために発生します。 彼らはもはやボリュームを提供しません。

立方体の空間を囲む正方形が重なり合いました。 しかし、元の図 (3 次元の立方体) では、これらの正方形は異なる平面に配置されており、図で起こったように同じ平面内で互いに重なって配置されていなかったと想像できます。

ハイパーキューブの場合も状況はまったく同じです。 超立方体の立方体面は、投影上では実際には重なっていないように見えますが、4 次元空間に配置されています。
スイープ

したがって、4 次元空間の居住者は、同時にすべての面から 3 次元のオブジェクトを見ることができます。 3 次元の立方体をすべての面から同時に見ることができますか? 目で見ると、いいえ。 しかし人々は、3 次元の立方体のすべての面を平面の図面上に同時に描く方法を考え出しました。 このような画像をスキャンと呼びます。
3次元立方体の展開

おそらく誰もが、三次元立方体の展開がどのように形成されるかを知っているでしょう。 このプロセスはアニメーションで示されています。

わかりやすくするために、立方体面のエッジは半透明になっています。

私たちがこの二次元の絵を認識できるのは想像力のおかげであることに注意してください。 展開段階を純粋に 2 次元の観点から考えると、そのプロセスは奇妙でまったく明確ではないように見えるでしょう。

それは、最初は歪んだ正方形の輪郭が徐々に現れ、次にそれらが所定の位置に忍び寄り、同時に必要な形状を帯びていくように見えます。

展開中の立方体をその面の 1 つの方向から見ると (この観点から見ると、立方体は正方形のように見えます)、展開の形成プロセスはさらにわかりにくくなります。 すべてが最初の正方形 (展開された立方体ではありません) から忍び寄る正方形のように見えます。

しかし、スキャンは目に見えるだけではありません。 想像力のおかげで、そこから多くの情報を収集できます。
4次元立方体の展開

超立方体を展開するアニメーションのプロセスを少なくともある程度視覚的にすることはまったく不可能です。 しかし、このプロセスは想像できます。 （これを行うには、四次元の存在の目を通してそれを見る必要があります。）

スキャンするとこんな感じになります。

ここには、ハイパーキューブの境界を成す 8 つの立方体がすべて表示されます。

折りたたんだときに揃える必要があるエッジは、同じ色でペイントされます。 ペアが表示されない面は灰色のままになります。 折りたたんだ後、上の立方体の最上面が下の立方体の下端と揃う必要があります。 (3 次元立方体の展開も同様に折りたたまれます。)

畳み込み後、8 つの立方体のすべての面が接触し、ハイパーキューブが閉じることに注意してください。 そして最後に、折りのプロセスを想像するとき、折り畳むときに起こるのは立方体の重なりではなく、特定の (超立方体の) 4 次元領域の周りに立方体を包み込むことであることを忘れないでください。

サルバドール・ダリ (1904-1989) は十字架を何度も描き、彼の絵画の多くに十字架が登場します。 絵画「磔刑」（1954 年）ではハイパーキューブ スキャンが使用されています。
時空とユークリッド四次元空間

ハイパーキューブを想像していただけたでしょうか。 しかし、私たちが住んでいる四次元の時空がどのように機能するかについての理解に少しずつ近づいたでしょうか? 残念ながら、完全ではありません。

ここではユークリッドの 4 次元空間について説明しましたが、時空はまったく異なる性質を持っています。 特に、回転中、セグメントは常に時間軸に対して 45 度未満の角度、または 45 度を超える角度で傾いたままになります。

ソース2

Tesseract は 4 次元のハイパーキューブであり、4 次元空間の立方体の類似物です。 オックスフォード辞典によると、「テッセラクト」という言葉は、1888 年にチャールズ・ハワード・ヒントン (1853-1907) の著書『新時代の思想』の中で造語され、使用されました。 その後、同じ図形を「テトラキューブ」と呼ぶ人もいます。

3 次元空間を離れることなく、ハイパーキューブがどのように見えるかを想像してみましょう。
一次元の「空間」、つまり直線上で、長さ L の線分 AB を選択します。AB から距離 L の二次元平面上に、それに平行な線分 DC を描き、それらの端を接続します。 結果は正方形 ABCD になります。 この操作を平面に対して繰り返すと、3 次元立方体 ABCDHEFG が得られます。 そして、立方体を 4 番目の次元 (最初の 3 次元に垂直) で距離 L だけシフトすると、超立方体 ABCDEFGHIJKLMNOP が得られます。

1 次元の線分 AB は 2 次元の正方形 ABCD の面として機能し、その正方形は立方体 ABCDHEFG の辺として機能し、これが 4 次元の超立方体の辺となります。 直線セグメントには 2 つの境界点があり、正方形には 4 つの頂点があり、立方体には 8 つの頂点があります。 したがって、4 次元の超立方体には、元の立方体の 8 つの頂点と 4 次元にシフトされた 1 つの頂点の 8 つの合計、16 つの頂点が存在します。 これには 32 のエッジがあり、それぞれ 12 は元の立方体の最初と最後の位置を示し、別の 8 つのエッジは 4 次元に移動した 8 つの頂点を「描画」します。 同じ推論が超立方体の面にも当てはまります。 2 次元空間には 1 つ (正方形自体) しかありませんが、立方体には 6 つあります (移動した正方形の 2 つの面と、その側面を表すさらに 4 つの面)。 4 次元の超立方体には 24 個の正方形の面があります。つまり、元の立方体の 2 つの位置にある 12 個の正方形と、その 12 の辺からの 12 個の正方形です。

同様の方法で、より多くの次元のハイパーキューブについて推論を続けることができますが、3 次元空間の住人である私たちにとって 4 次元のハイパーキューブがどのように見えるかを確認することの方がはるかに興味深いです。 このために、すでによく知られているアナロジーの方法を使用します。
ワイヤーキューブABCDHEFGをエッジ側から片目で見てみましょう。 平面上に 2 つの正方形 (近くの端と遠い端) が 4 本の線 (側端) で結ばれていることを確認し、描くことができます。 同様に、3 次元空間内の 4 次元の超立方体は、2 つの立方体の「箱」が互いに挿入され、8 つの辺で接続されたように見えます。 この場合、「箱」自体、つまり三次元の面が「私たちの」空間に投影され、それらを結ぶ線が四次元に伸びます。 立方体を投影ではなく空間イメージで想像してみることもできます。

3 次元の立方体が面の長さだけ移動した正方形によって形成されるのと同じように、立方体を 4 次元に移動すると超立方体が形成されます。 それは 8 つの立方体によって制限されており、遠近法で見るとかなり複雑な図形のように見えます。 「私たちの」空間に残った部分は実線で描かれ、超空間に入った部分は点線で描かれています。 3 次元の立方体を無数の平坦な正方形に「切断」できるのと同様に、4 次元のハイパー立方体自体は無数の立方体で構成されています。

立体的な立方体の6つの面を切断することで、平面的な図形、つまり展開図に分解することができます。 元の面の両側に正方形が 1 つ追加され、その反対側の面が 1 つ追加されます。 そして、4 次元超立方体の 3 次元展開は、元の立方体、そこから「成長」する 6 つの立方体、さらにもう 1 つ、つまり最後の「超面」で構成されます。 テッセラクトの特性は、低次元の幾何学的図形の特性の 4 次元空間への継続を表します。

他の名前
ヘキサデカチョロン
オクタコロン
テトラキューブ
4-キューブ
ハイパーキューブ (次元数が指定されていない場合)

10次​​元空間
英語ですが、分からない人は写真を見れば一目瞭然です

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

4 次元、つまり 4 つの座標からなる宇宙は、3 次元からなる宇宙と同じくらい満足のいくものではありません。 古い物理学の 3 つの座標も新しい物理学の 4 つの座標も宇宙を記述するのに十分ではないため、宇宙を構築するために必要なデータがすべて揃っているわけではないと言えます。 合計宇宙のさまざまな現象。

さまざまな次元の「立方体」を順番に考えてみましょう。

直線上の 1 次元立方体がセグメントです。 二次元 - 正方形。 正方形の境界線は 4 つの点で構成されます - ピークそして 4つのセグメント - リブしたがって、正方形の境界には点と線分の 2 種類の要素があります。 3 次元立方体の境界線には 3 つのタイプの要素が含まれます: 頂点 - それらは 8 つあり、エッジ (セグメント) - 12 個のセグメントと面があります (正方形) - 6 つあります。1 次元の線分 AB は 2 次元の正方形 ABCD の面として機能し、正方形は立方体 ABCDHEFG の辺であり、これが 4 つの辺になります。 -次元超立方体。

したがって、4 次元の超立方体には、元の立方体の 8 つの頂点と 4 次元にシフトされた 1 つの頂点の 8 つの合計、16 つの頂点が存在します。 これには 32 のエッジがあり、それぞれ 12 は元の立方体の最初と最後の位置を示し、別の 8 つのエッジは 4 次元に移動した 8 つの頂点を「描画」します。 同じ推論が超立方体の面にも当てはまります。 2 次元空間には 1 つ (正方形自体) しかありませんが、立方体には 6 つあります (移動した正方形の 2 つの面と、その側面を表すさらに 4 つの面)。 4 次元の超立方体には 24 個の正方形の面があります。つまり、元の立方体の 2 つの位置にある 12 個の正方形と、その 12 の辺からの 12 個の正方形です。

立方体次元	境界寸法
2マス
4 テッセラクト

でのコーディネート四次元空間。

直線上の点は数値として定義され、平面上の点は数値のペアとして定義され、3 次元空間内の点は数値の 3 つとして定義されます。 したがって、この仮想空間内の点を 4 倍の数として定義することによって 4 次元空間の幾何学を構築することは完全に自然です。

4 次元立方体の 2 次元面は、2 つの座標が 0 から 1 までのすべての値を取り、他の 2 つは定数 (0 または 1 のいずれかに等しい) である一連の点です。

立体的な顔 4 次元立方体は、3 つの座標が 0 から 1 までのすべての値をとり、1 つは定数 (0 または 1 に等しい) の点の集合です。

さまざまな次元の立方体の展開。

セグメントを取得し、1 つのセグメントをすべての辺に配置し、別のセグメントをいずれかの辺 (この場合は右側のセグメント) に接続します。

正方形のスキャンが得られました。

正方形を取り、すべての辺に正方形を配置し、別の正方形を任意の辺に、この場合は一番下の正方形に取り付けます。

立体立方体の展開図です。

四次元立方体

立方体を取り、すべての面に立方体を配置し、この下の立方体のいずれかに別の立方体を取り付けます。

4次元立方体の展開

4 次元の立方体がワイヤーでできており、アリが頂点 (1;1;1;1) に座っていると想像してみましょう。その場合、アリはエッジに沿ってある頂点から別の頂点まで這わなければなりません。

質問: 頂点 (0;0;0;0) に到達するには、いくつのエッジに沿って這わなければなりませんか?

4 つのエッジに沿った、つまり頂点 (0;0;0;0) は 4 次の頂点であり、1 つのエッジに沿って通過することによって、座標 0 の 1 つを持つ頂点に到達できます。これは 1 次の頂点です。 2 つのエッジに沿って通過することで、2 つのゼロがある頂点に到達できます。これは 2 次の頂点です。そのような頂点は 6 つあり、3 つのエッジに沿って通過すると、3 つの座標ゼロを持つ頂点に到達します。これらは、次の頂点です。 3番目の順序。

多次元空間には他の立方体も存在します。 tesseract に加えて、次のものを使用してキューブを構築できます。 多数の測定。 5 次元立方体のモデルはペンタアクトであり、ペンタアクトには 32 個の頂点、80 個のエッジ、80 個の面、40 個の立方体、および 10 個のテッセラクトがあります。

アーティスト、監督、彫刻家、科学者は、さまざまな方法で多次元立方体を表現します。 ここではいくつかの例を示します。

多くの SF 作家が作品の中でテッセラクトについて説明しています。 たとえば、ロバート アンソン ハインライン (1907 ～ 1988 年) は、少なくとも 3 つのノンフィクション小説でハイパーキューブについて言及しました。 「四次元の家」の中で、彼はテッセラクトが展開するように建てられた家を描写しました。

映画 Cube 2 のプロットは、ハイパーキューブに閉じ込められた 8 人の見知らぬ人を中心にしています。

« 磔刑」サルバドール・ダリ作、1954年（1951年）。 ダリのシュルレアリスムは、私たちの現実と異世界、特に四次元の世界との接点を模索しました。 したがって、一方ではそれは驚くべきことですが、他方では、それは驚くべきことではありません 幾何学模様立方体で作られ、キリスト教の十字架を形成するものは、4 次元の立方体またはテッセラクトを 3 次元に展開したイメージです。

10月21日、ペンシルバニア州立大学数学学部は「オクタキューブ」と呼ばれる珍しい彫刻を発表した。 これは、3 次元空間内の 4 次元の幾何学的オブジェクトの画像です。 この彫刻の作者であるエイドリアン・オクネアヌ教授によると、これまでにも 4 次元の人物を 3 次元に投影したことはあったものの、この種の美しい人物は仮想的にも物理的にもこの世に存在したことがないとのことです。

一般に、数学者は 4 次元、5 次元、さらにはそれ以上の多次元オブジェクトを簡単に操作できますが、それらを 3 次元空間で描写することは不可能です。 「オクタキューブ」は、他の同様の図形と同様、真の意味で 4 次元ではありません。 これは、3 次元表面の投影である地図と比較できます。 グローブ平らな紙の上に。

4 次元図形の 3 次元投影は、Okneanu がコンピューターを使用した放射ステレオグラフィーを使用して取得しました。 同時に、元の 4 次元図形の対称性も保たれます。 この彫刻には 24 の頂点と 96 の面があります。 4 次元空間では、図形のエッジは直線ですが、投影では曲線になります。 3 次元投影と元の図形の面の間の角度は同じです。

Octacube は、ペンシルバニア州立大学の工学工房でステンレス鋼から作られました。 この彫刻は、改装された数学学部のマカリスター建物に設置されました。

多次元空間は、ルネ デカルトやヘルマン ミンコフスキーなどの多くの科学者にとって興味深いものでした。 現在、このトピックに関する知識は増加しています。 これは、現代の数学者、研究者、発明者が目標を達成し、科学を進歩させるのに役立ちます。 多次元空間への一歩は、人類のより発展した新しい時代への一歩です。