接線の傾きは値と等しくなります。 関数のグラフの接線

数学では、デカルト座標平面上の線の位置を記述するパラメーターの 1 つは次のとおりです。 スロープこの直線。 このパラメータは、横軸に対する直線の傾きを特徴付けます。 傾きの求め方を理解するには、まず XY 座標系の直線の方程式の一般的な形式を思い出してください。

で 一般的な見解任意の直線は、式 ax+by=c で表すことができます。ここで、a、b、c は任意の実数ですが、常に a 2 + b 2 ≠ 0 です。

単純な変換を使用すると、このような方程式は y=kx+d の形式になります。ここで、k と d は実数です。 数字 k は傾きであり、このような直線の方程式を傾き付き方程式と呼びます。 傾きを見つけるには、元の方程式を上記の形式に単純化するだけでよいことがわかります。 より完全に理解するために、具体的な例を考えてみましょう。

問題: 方程式 36x - 18y = 108 で与えられる直線の傾きを求めます。

解決策: 元の方程式を変形してみましょう。

回答: この線に必要な傾きは 2 です。

方程式の変換中に x = const のような式を受け取り、その結果 y を x の関数として表すことができない場合、X 軸に平行な直線を扱うことになります。直線は無限大に等しい。

y = const のような方程式で表される直線の場合、傾きはゼロです。 これは、横軸に平行な直線の場合に一般的です。 例えば：

問題: 方程式 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 で与えられる直線の傾きを求めます。

解決策: 元の方程式を一般形式に戻しましょう

24x + 12y - 12y + 28 = 4

結果の式から y を表現することは不可能であるため、この直線の角度係数は無限大に等しく、直線自体は Y 軸に平行になります。

幾何学的な意味

よりよく理解するために、次の図を見てみましょう。

図には、y = kx のような関数のグラフが表示されます。 単純化するために、係数 c = 0 とします。三角形 OAB では、辺 BA と AO の比は角度係数 k に等しくなります。 同時に、VA/AO の比は正接です。 鋭角αイン 直角三角形 OAV。 直線の角度係数は、この直線が座標グリッドの横軸となす角度の正接に等しいことがわかります。

直線の角度係数を求める方法の問題を解決すると、直線と座標グリッドの X 軸との間の角度の正接が求められます。 境界の場合、問題の線が座標軸に平行である場合は、上記を確認してください。 実際、方程式 y=const で記述される直線の場合、直線と横軸の間の角度は ゼロに等しい。 角度ゼロの正接もゼロであり、傾きもゼロです。

x 軸に垂直で、方程式 x=const で記述される直線の場合、直線と X 軸の間の角度は 90 度です。 正接 直角は無限大に等しく、同様の直線の角係数も無限大に等しく、上で書いたことを裏付けます。

接線勾配

実際によく遭遇する一般的なタスクは、特定の点における関数のグラフの接線の傾きを見つけることです。 接線は直線であるため、傾きの概念も適用できます。

接線の傾きを見つける方法を理解するには、導関数の概念を思い出す必要があります。 特定の点における関数の導関数は、この関数のグラフの指定された点における接線と横軸との間に形成される角度の正接に数値的に等しい定数です。 点 x 0 における接線の角度係数を決定するには、この点 k = f"(x 0) における元の関数の導関数の値を計算する必要があることがわかります。例を見てみましょう。

問題: x = 0.1 における関数 y = 12x 2 + 2xe x の接線の傾きを求めます。

解決策: 一般形式で元の関数の導関数を求めます。

y"(0.1) = 24.0.1 + 2.0.1.e 0.1 + 2.e 0.1

答え: 点 x = 0.1 で必要な傾きは 4.831 です。

関数の導関数を取得することを学びます。導関数は、関数のグラフ上の特定の点における関数の変化率を特徴付けます。 この場合、グラフは直線または曲線のいずれかになります。 つまり、導関数は、特定の時点での関数の変化率を特徴付けます。 覚えて 一般的なルール、それによって導関数が取られ、それからのみ次のステップに進みます。

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• 最も単純な導関数、たとえば導関数を取得する方法 指数方程式、 説明された。 以下のステップで示される計算は、そこで説明されている方法に基づいています。

関数の導関数を通じて傾きを計算する必要がある問題を区別する方法を学びます。問題では、関数の傾きや導関数を見つけることが常に求められるわけではありません。 たとえば、点 A(x,y) における関数の変化率を求めるように求められる場合があります。 点 A(x,y) における接線の傾きを求めるように求められる場合もあります。 どちらの場合も、関数の導関数を取得する必要があります。

関数のグラフに対する接線の概念についてはすでによく理解しています。 x 0 に近い点 x 0 で微分可能な関数 f のグラフは、実質的に接線分と異ならない。つまり、点 (x 0 ; f (x 0)) と ( x 0 +Δx; f ( x 0 + Δx))。 これらの割線はいずれも、グラフの点 A (x 0 ; f (x 0)) を通過します (図 1)。 与えられた点 A を通過する直線を一意に定義するには、その傾きを示すだけで十分です。 Δх→0 としてのセカントの角係数 Δy/Δx は、数 f '(x 0) になる傾向があります (これを接線の角係数とします)。 接線は、Δх→0 におけるセカントの限界位置です。.

f'(x 0) が存在しない場合、接線は存在しないか (点 (0; 0) における関数 y = |x| のように、図を参照)、または垂直方向です (点 (0; 0) における関数のグラフのように)。点 (0 ; 0)、図 2)。

したがって、点 xo における関数 f の導関数の存在は、グラフの点 (x 0, f (x 0)) における (非垂直) 接線の存在と同等です。 接線勾配は f" (x 0) に等しい。これは 幾何学的な意味派生関数

点 xo で微分可能な関数 f のグラフの接線は、点 (x 0 ; f (x 0)) を通り、角度係数 f '(x 0) を持つ直線です。

関数 f のグラフの点 x 1、x 2、x 3 に接線を引き (図 3)、接線が横軸となす角度に注目してください。 (これは、軸の正の方向から直線までの正の方向に測定された角度です。) 直線 l は牛軸に平行。 鋭角の正接は正、鈍角の正接は負、tan 0 = 0 となります。

F"(x 1)>0、f’(x 2)=0、f’(x 3)
個々の点で接線を作成すると、グラフをより正確にスケッチできるようになります。 したがって、たとえば、サイン関数のグラフのスケッチを作成するには、まず点 0 でそれを見つけます。 π/2 およびサインの π 導関数は 1 に等しくなります。 それぞれ 0 と -1。 角度係数がそれぞれ 1、0、-1 である点 (0; 0)、(π/2,1)、および (π, 0) を通過する直線を作成しましょう (図 4)。これらの直線と直線 Ox で形成される台形、正弦のグラフであり、x が 0、π/2、π に等しい場合、対応する直線に接触します。

ゼロ付近のサインのグラフは直線 y = x と実質的に区別できないことに注意してください。 たとえば、単位が 1 cm のセグメントに対応するように軸に沿ったスケールを選択するとします。 sin 0.5 ≈ 0.479425、つまり |sin 0.5 - 0.5| になります。 ≈ 0.02、選択したスケールでは、これは長さ 0.2 mm のセグメントに相当します。 したがって、区間 (-0.5; 0.5) の関数 y = sin x のグラフは、直線 y = x から (垂直方向に) 0.2 mm 以内にずれます。これは、厚さにほぼ相当します。描かれた線。

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次の図を考えてみましょう。

これは、点 a で微分可能な特定の関数 y = f(x) を表しています。 座標 (a; f(a)) を持つ点 M がマークされます。 グラフの任意の点 P(a + ∆x; f(a + ∆x)) を通るセカント MR が描かれます。

ここで点 P がグラフに沿って点 M に移動すると、直線 MR は点 M の周りを回転します。この場合、Δx はゼロになる傾向があります。 ここから、関数のグラフへの接線の定義を定式化できます。

関数のグラフの接線

引数の増分がゼロに近づく傾向があるため、関数のグラフの接線はセカントの制限位置になります。 点 x0 における関数 f の導関数の存在は、グラフのこの点で 正接彼に。

この場合、接線の角度係数は、この点 f’(x0) でのこの関数の導関数と等しくなります。 これが導関数の幾何学的意味です。 点 x0 で微分可能な関数 f のグラフの接線は、点 (x0;f(x0)) を通り、角度係数 f’(x0) を持つある直線です。

接線方程式

ある関数 f のグラフの点 A(x0; f(x0)) における接線の方程式を求めてみましょう。 傾き k を持つ直線の方程式は次の形式になります。

傾き係数は導関数に等しいため、 f’(x0)の場合、方程式は次の形式になります: y = f’(x0)*x + b.

次に、b の値を計算してみましょう。 これを行うには、関数が点 A を通過するという事実を利用します。

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, ここから b を表して b = f(x0) - f’(x0)*x0 となります。

結果の値を接線方程式に代入します。

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)。

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)。

次の例を考えてみましょう。関数 f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 のグラフの点 x = 2 における接線の方程式を求めます。

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1。

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x。

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4。

5. 得られた値を正接の式に代入すると、y = 1 + 4*(x - 2) が得られます。 括弧を開いて同様の項を導き出すと、y = 4*x - 7 が得られます。

答え: y = 4*x - 7。

接線方程式を構成するための一般的なスキーム関数 y = f(x) のグラフに変換すると、次のようになります。

1. x0を決定します。

2. f(x0) を計算します。

3. f’(x)を計算する