入り口オンラインで分母の異なる分数を比較します。 分数を比較するための計算機。 三角関数の式の比較
引き続き分数の勉強をしていきましょう。 今日はそれらの比較について話します。 このトピックは面白くて役に立ちます。 初心者でも白衣を着た科学者の気分を味わえます。
分数の比較の本質は、2 つの分数のどちらが大きいか小さいかを調べることです。
2 つの分数のどちらが大きいか小さいかという質問に答えるには、大きい (>) または小さい (<).
数学者は、どの分数が大きくてどの分数が小さいかという質問に即座に答えることを可能にする既成のルールをすでに用意しています。 これらのルールは安全に適用できます。
これらすべてのルールを調べて、なぜこのようなことが起こるのかを解明していきます。
レッスン内容分母が同じ分数の比較
比較する必要がある部分が異なります。 最良のケースは、分数の分母が同じで分子が異なる場合です。 この場合、次のルールが適用されます。
2つの分数から 同じ分母分子が大きい分数ほど大きくなります。 したがって、分子が小さい分数は小さくなります。
たとえば、分数を比較して、どちらの分数が大きいかを答えてみましょう。 ここでは、分母は同じですが、分子が異なります。 分数の分子は分数よりも大きくなります。 これは、分数が より大きいことを意味します。 私たちはそう答えます。 詳細アイコン (>) を使用して回答する必要があります。
この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザ以外にもピザはたくさんあります。
最初のピザが 2 番目のピザより大きいことに誰もが同意するでしょう。
同じ分子を持つ分数の比較
次に考えられるのは、分数の分子は同じですが、分母が異なる場合です。 このような場合のために、次のルールが提供されます。
同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方の分数の方が大きくなります。 したがって、分母が大きい分数は小さくなります。
たとえば、分数と を比較してみましょう。 これらの分数の分子は同じです。 分数は分数よりも分母が小さくなります。 これは、分数が分数よりも大きいことを意味します。 そこで私たちは次のように答えます。
この例は、ピザが 3 つと 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザ以外にもピザはたくさんあります。
最初のピザが 2 番目のピザより大きいことに誰もが同意するでしょう。
分子と分母が異なる分数の比較
分子が異なる分数を比較しなければならないことがよくあります。 分母が異なる.
たとえば、分数と を比較します。 これらの分数のどちらが大きいか小さいかという質問に答えるには、それらを同じ (共通) 分母にする必要があります。 そうすれば、どの分数が大きいか小さいかを簡単に判断できます。
分数を同じ（共通）分母にしてみましょう。 両方の分数の分母の最小公倍数を求めてみましょう。 分数の分母の最小公倍数で、これは数字の 6 です。
次に、各分数の追加の因数を見つけます。 LCM を最初の分数の分母で割ってみましょう。 LCM は数値 6 で、最初の分数の分母は数値 2 です。6 を 2 で割ると、追加の因数 3 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。
次に、2 番目の追加要素を見つけてみましょう。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ってみましょう。 LCM は数値 6 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。6 を 3 で割ると、追加の因数 2 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。
分数に追加の係数を掛けてみましょう。
分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を比較する方法をすでに知っています。 分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数の方が大きくなります。
ルールはルールです。なぜ が を超えるのかを考えてみましょう。 これを行うには、分数の部分全体を選択します。 分数はすでに適切であるため、分数内の何かを強調表示する必要はありません。
分数の整数部分を分離すると、次の式が得られます。
これで、なぜ を超えるのかが簡単に理解できます。 これらの分数をピザとして描いてみましょう。
丸ごとピザ2枚とピザ、ピザ以上のもの。
帯分数の引き算。 難しいケース。
引き算 帯分数, 時には物事が思うように進まないことがあります。 例題を解くときに、答えが本来あるべきものではないことがよくあります。
数値を減算する場合、被減数は減数より大きくなければなりません。 この場合に限り、正常な応答が得られます。
たとえば、10−8=2
10 - 減分可能
8 - 減数
2 - 違い
被減数 10 は減数 8 より大きいため、通常の答え 2 が得られます。
次に、被減数が減数より小さい場合に何が起こるかを見てみましょう。 例 5−7=−2
5 - 減少可能
7 - 減数
−2 — 差
この場合、私たちは慣れ親しんだ数字の限界を超えて、負の数の世界に足を踏み入れることになります。そこではまだ早すぎて危険ですらあります。 負の数を扱うには、適切な数学的トレーニングが必要ですが、まだ受けていません。
減算の例を解くときに、被減数が減数よりも小さいことがわかった場合は、当面はそのような例をスキップできます。 負の数を扱うことは、負の数を研究した後でのみ許可されます。
分数の場合も同様です。 被減数は減数より大きくなければなりません。 この場合にのみ、正常な応答を得ることができます。 また、減算される分数が減算される分数より大きいかどうかを理解するには、これらの分数を比較できる必要があります。
たとえば、例題を解いてみましょう。
これは引き算の例です。 これを解決するには、減算される端数が減算される端数よりも大きいかどうかを確認する必要があります。 より多い
したがって、安全に例に戻って解決できます。
では、この例を解いてみましょう
減算される端数が減算される端数よりも大きいかどうかを確認します。 少ないことがわかります。
この場合、それ以上計算を続けずに停止する方が賢明です。 負の数を調べるときにこの例に戻りましょう。
引き算の前に帯分数を確認することもお勧めします。 たとえば、式 の値を見つけてみましょう。
まず、減算される帯分数が減算される帯分数より大きいかどうかを確認しましょう。 これを行うには、帯分数を仮分数に変換します。
分子と分母が異なる分数を受け取りました。 このような分数を比較するには、それらを同じ (共通の) 分母にする必要があります。 これを行う方法については詳しくは説明しません。 難しい場合は必ず繰り返してください。
分数を同じ分母に換算すると、次の式が得られます。
次に、分数と を比較する必要があります。 これらは同じ分母を持つ分数です。 分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数の方が大きくなります。
分数の分子は分数よりも大きくなります。 これは、分数が分数よりも大きいことを意味します。
これは、被減数が減数よりも大きいことを意味します
これは、例に戻って安全に解決できることを意味します。
例 3.式の値を見つける
被減数が減数より大きいかどうかを確認してみましょう。
帯分数を仮分数に変換してみましょう。
分子と分母が異なる分数を受け取りました。 これらの分数を同じ（共通の）分母に還元してみましょう。
素数だけでなく分数も比較できます。 結局のところ、分数は自然数などと同じ数です。 分数を比較するルールを知っていれば十分です。
同じ分母を持つ分数を比較します。
2 つの分数の分母が同じ場合、そのような分数を比較するのは簡単です。
分母が同じ分数を比較するには、分子を比較する必要があります。 分子が大きい分数ほど大きくなります。
例を見てみましょう:
分数 \(\frac(7)(26)\) と \(\frac(13)(26)\) を比較します。
両方の分数の分母は同じで 26 であるため、分子を比較します。 数値 13 は 7 より大きいです。次のようになります。
\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)
分子が等しい分数を比較します。
分数の分子が同じ場合、分母が小さい分数の方が大きくなります。
このルールは、人生の例を挙げると理解できます。 ケーキがあります。 5名様から11名様までご来店可能です。 5名様の場合は5等分、11名様の場合は11等分いたします。 ここで、ゲスト 1 人当たりのケーキの量が増えるのはどのような場合か考えてみましょう。 もちろんゲストが5人になるとケーキは大きくなります。
または別の例。 キャンディーが20個あります。 キャンディーを 4 人の友達に均等に与えることも、10 人の友達に均等にキャンディーを分けることもできます。 どのような場合に、各友達はより多くのキャンディーを持っていますか? もちろん、友達4人だけで分けると、友達1人あたりのキャンディーの数は多くなります。 この問題を数学的に確認してみましょう。
\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)
これらの分数を先に解くと、\(\frac(20)(4) = 5\) と \(\frac(20)(10) = 2\) という数値が得られます。 5 > 2 であることが分かります
これは、同じ分子を持つ分数を比較するための規則です。
別の例を見てみましょう。
同じ分子を持つ分数 \(\frac(1)(17)\) と \(\frac(1)(15)\) を比較します。
分子が同じなので、分母が小さい分数の方が大きくなります。
\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)
分母と分子が異なる分数を比較します。
分母が異なる分数を比較するには、分数を に換算して分子を比較する必要があります。
分数 \(\frac(2)(3)\) と \(\frac(5)(7)\) を比較します。
まず、分数の公分母を求めます。 それは21という数字に等しくなります。
\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)
次に、分子の比較に進みます。 分母が同じ分数を比較するためのルール。
\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
比較。
仮分数は常に適切な分数よりも大きくなります。仮分数は 1 より大きく、適正分数は 1 より小さいためです。
例：
分数 \(\frac(11)(13)\) と \(\frac(8)(7)\) を比較します。
小数 \(\frac(8)(7)\) は不適切であり、1 より大きくなります。
\(1 < \frac{8}{7}\)
小数 \(\frac(11)(13)\) は正しく、1 未満です。比較してみましょう。
\(1 > \frac(11)(13)\)
\(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)
関連する質問:
分母が異なる分数を比較するにはどうすればよいですか?
答え: 分数を共通の分母にして、分子を比較する必要があります。
分数を比較するにはどうすればよいですか?
回答: まず、分数がどのカテゴリに属するかを決定する必要があります。共通の分母がある、共通の分子がある、共通の分母と分子がない、または適切な分数と不適切な分数があります。 分数を分類した後、適切な比較ルールを適用します。
同じ分子を持つ分数を比較することは何ですか?
答え: 分数の分子が同じ場合、分母が小さい分数の方が大きくなります。
例 #1:
分数 \(\frac(11)(12)\) と \(\frac(13)(16)\) を比較します。
解決：
同じ分子や分母は存在しないため、異なる分母との比較規則を適用します。 共通点を見つける必要があります。 共通の分母は 96 になります。分数を共通の分母に減らしてみましょう。 最初の小数 \(\frac(11)(12)\) にさらに 8 を掛け、2 番目の小数 \(\frac(13)(16)\) に 6 を掛けます。
\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)
分数と分子を比較します。分子が大きい分数の方が大きくなります。
\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\終了(整列)\)
例2:
固有の分数と 1 を比較しますか?
解決：
適切な分数は常に 1 より小さくなります。
タスク1：
息子と父親はサッカーをしていました。 息子は10回のアプローチのうち5回でゴールを決めた。 そしてお父さんは5回のアプローチ中3回ゴールを決めました。 誰の結果が優れていますか?
解決：
息子は10回のアプローチのうち5回を成功させた。 これを分数 \(\frac(5)(10)\) として書きましょう。
お父さんは5つのアプローチのうち3回ヒットしました。 これを分数 \(\frac(3)(5)\) として書きましょう。
分数を比べてみましょう。 分子と分母が異なるので、それらを 1 つの分母にまとめてみましょう。 公分母は10になります。
\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
答え: お父さんの方が良い結果を出しました。
2 つの等しくない分数は、どちらの分数が大きいか、どちらの分数が小さいかを調べるためにさらに比較されます。 2 つの分数を比較するには、分数を比較するための規則があります。これを以下に定式化します。また、同じような分母と異なる分母を持つ分数を比較する場合のこの規則の適用例も見ていきます。 結論として、同じ分子を持つ分数を共通の分母に還元せずに比較する方法を示し、また、共通の分数を自然数と比較する方法も見ていきます。
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分母が同じ分数の比較
分母が同じ分数の比較本質的には同一株数の比較です。 例えば、 公分数 3/7 は 1/7 の 3 つの分数を決定し、分数 8/7 は 1/7 の 8 つの分数に対応するため、同じ分母 3/7 と 8/7 を持つ分数を比較することは、結局、数値 3 と 8 を比較することになります。つまり、分子を比較します。
これらの考察から次のことがわかります 分母が似ている分数を比較するためのルール: 同じ分母を持つ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数が大きくなり、分子が小さい方の分数が小さくなります。
記載されているルールは、同じ分母を持つ分数を比較する方法を説明しています。 分母が似ている分数を比較するルールを適用する例を見てみましょう。
例。
65/126 と 87/126 のどちらの分数が大きいですか?
解決。
比較される普通の分数の分母は等しく、分数 87/126 の分子 87 は分数 65/126 の分子 65 より大きくなります (必要に応じて、自然数の比較を参照してください)。 したがって、分母が同じ分数を比較するルールによれば、分数 87/126 は分数 65/126 より大きくなります。
答え：
分母の異なる分数を比較する
分母の異なる分数を比較する同じ分母を持つ分数を比較することに還元できます。 これを行うには、比較した普通の分数を共通の分母にするだけです。
したがって、分母が異なる 2 つの分数を比較するには、次のようにする必要があります。
- 分数を公分母に換算します。
- 結果の分母を同じ分母で比較します。
例の解決策を見てみましょう。
例。
分数 5/12 と分数 9/16 を比較します。
解決。
まず、分母が異なるこれらの分数を共通の分母にまとめてみましょう (分数を共通の分母にまとめるルールと例を参照してください)。 共通分母として、LCM(12, 16)=48 に等しい最小公分母を採用します。 次に、分数 5/12 の追加因数は数値 48:12=4 となり、分数 9/16 の追加因数は数値 48:16=3 になります。 我々が得る 
そして 
.
得られた分数を比較すると、 が得られます。 したがって、分数 5/12 は分数 9/16 より小さくなります。 これで、分母の異なる分数の比較が完了しました。
答え：
分母の異なる分数を比較する別の方法を考えてみましょう。これにより、分数を共通の分母に換算したり、このプロセスに伴うすべての困難を回避したりすることなく、分数を比較できるようになります。
分数 a/b と c/d を比較するには、比較する分数の分母の積に等しい共通の分母 b・d に減らすことができます。 この場合、分数 a/b と c/d の追加因数はそれぞれ数値 d と b となり、元の分数は共通の分母 b・d を持つ分数に分解されます。 同じ分母を持つ分数を比較するためのルールを思い出して、元の分数 a/b と c/d の比較は、積 a・d と c・b の比較に帰着すると結論付けます。
これは次のことを意味します 分母が異なる分数を比較するためのルール: if a d>b c 、 then 、および if a d このように分母の異なる分数を比較してみましょう。 例。 公分数 5/18 と 23/86 を比較します。 解決。 この例では、 a=5 、 b=18 、 c=23 、および d=86 です。 積 a・d と b・c を計算してみましょう。 a・d=5・86=430、b・c=18・23=414となります。 430>414 であるため、分数 5/18 は分数 23/86 より大きくなります。 答え： 分子が同じで分母が異なる分数は、前の段落で説明したルールを使用して確実に比較できます。 ただし、このような分数の比較結果は、これらの分数の分母を比較することで簡単に得られます。 そんな事あるんですね 同じ分子を持つ分数を比較するための規則: 同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい分数の方が大きく、分母が大きい分数は小さくなります。 解決策の例を見てみましょう。 例。 分数 54/19 と 54/31 を比較します。 解決。 比較される分数の分子は等しく、分数 54/19 の分母 19 は分数 54/31 の分母 31 より小さいため、54/19 は 54/31 より大きくなります。 このレッスンでは、分数を互いに比較する方法を学びます。 これはとても 便利なスキルこれは、より複雑な問題のクラス全体を解決するために必要です。 まず、分数の等価性の定義を思い出させてください。 ad = bc の場合、分数 a /b と c /d は等しいと言われます。 それ以外の場合はすべて、分数は等しくなく、次のステートメントのいずれかが当てはまります。 a /b − c /d > 0 の場合、分数 a /b は分数 c /d より大きいと言われます。 x /y − s /t の場合、分数 x /y は分数 s /t より小さいと言われます。< 0. 指定： したがって、分数の比較は結局、引き算になります。 質問: 「以上」(>) と「未満」(<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки: 数値を比較する必要がある問題では、数値の間に「∨」記号が配置されることがよくあります。 これは鼻を下げた暁であり、どちらの数字が大きいかはまだ決まっていないことを示唆しているようです。 タスク。 数値を比較します: 定義に従って、分数を互いに減算します。 各比較では、分数を共通の分母に減らす必要がありました。 具体的には、十字法を使用して最小公倍数を求めます。 意図的にこれらの点には焦点を当てませんでしたが、何かが明確でない場合は、「分数の足し算と引き算」のレッスンを見てください。とても簡単です。 小数の場合は、すべてがはるかに単純になります。 ここでは何も減算する必要はなく、数字を比較するだけです。 数値の重要な部分が何であるかを覚えておくと良いでしょう。 忘れてしまった人には、「小数の掛け算と割り算」のレッスンを繰り返すことをお勧めします。これも数分で終わります。 正の 10 進数 X に次のような小数点以下の桁が含まれる場合、正の 10 進数 X は正の 10 進数 Y より大きくなります。 つまり、小数点以下を 1 桁ずつ調べて違いを探します。 この場合、数値が大きいほど、より大きな分数に対応します。 ただし、この定義には明確化が必要です。 たとえば、小数点以下の桁をどのように書いて比較するか? 覚えておいてください: 10 進数形式で書かれた数値には、左側に任意の数のゼロを追加できます。 さらにいくつかの例を次に示します。 もちろん、ゼロを含む与えられた例には明らかにやりすぎがありましたが、重要なのはまさにこれです。左側の欠落しているビットを埋めてから比較するのです。 タスク。 分数を比較する: 定義により、次のようになります。 残念ながら、指定された比較スキームは 小数普遍的ではありません。 この方法では比較のみが可能です 正の数。 一般的な場合、動作アルゴリズムは次のとおりです。 まあ、悪くないですか？ それでは見てみましょう 具体的な例-そしてすべてが明らかになります。 タスク。 分数を比較する: 分数の比較、そうそう、この陰湿なテーマはすでに 5 年生の若い数学者を待っており、一見すると単純であると考えられています。 結局のところ、同じ分母を持つ分数を比較するのは非常に簡単です。 たとえば、どの分数が大きく、どの分数が小さいと思いますか? それとも、それらは完全に...平等なのでしょうか？ この例をざっと見ただけで、右側の分数が最も大きい理由がおそらく推測できるでしょう。 えー、おそらく私の記事の最初の部分は少し怖がらせたかもしれません。 リラックス。 実際、分母が違っても分数を比較するのは、蒸し卵よりも簡単です。 重要なことは、これを真剣かつ有能に受け止めることです。 確かに、普通の分数がどのようなものかを知らない、非常に緑の初心者がまだいます。 分子が何かわからないですか? 分母は何ですか? 全体部分とは何ですか? また、そのような分数が同じ共通の分母を持っている場合でも、どのように比較するか。 始めるには、以下の画像を見てください。 さて、私が書いた「断片的」な部分が何であるか理解できましたか？ 線の上の数字は分子です。 線の下の数字は分母です。 差別化を図った数字 大きいサイズ左側にある部分を全体と呼びます。 ただし、この記事では定義にはこだわらず、すぐに比較に移ります。 では、どうやって分数を比較するのでしょうか？ 同じ分子を持つ分数の比較
小数の比較
すでにご理解いただいたように、私たちは同じ分母を持つ分数について話していました。
さて、ここではすべてが簡単です。 運命がまだ分数を持っていない人は、どの分数が小さくてどちらが大きいかを直感的に判断することさえできます。 そして、彼が正しく答えた場合、教師は同様の例で彼を困惑させようとします。 ああ、さあ！ 本当に簡単です！ 彼は「簡単」という言葉に非常に多くの感情と感情を込めて叫ぶので、教師はすぐにその生意気な人の仕事を複雑にする時が来たことに気づきます。
その結果、私たちの少し唖然とした生意気な人は、分数を比較するアルゴリズム自体を理解せずに、どちらの分数が大きくてどちらが小さいかを熱心に考えることになります。 そして、このテキストがまさにあなたに関するものであれば、まず理論と例、および分数比較計算機が動作するスキームを学習し、それから初めて計算機自体に取り組むことをお勧めします。
急いで言っておきますが、私たちの数学的な分数は武器やドラムロールと何の共通点もありません。 私たちの場合、普通の分数は次のようになります。 有理数、2 つまたは 3 つの断片的な部分で構成されます。
分母が同じ 2 つの分数を比較するには、分子を比較する必要があります。 この場合、最大の分数は、最大の分子を持つ分数です。 ただし、この規則は両方の分数が正または負の領域にある場合にのみ適用されます。 一方の分数が正で、もう一方の分数が負であることが判明した場合は、分子と分母のことは忘れてください。負の分数の方が常に小さくなります。