入り口鋭角の接線のサインまたはコサインの決定。 新しい素材の統合。 度数換算式
まず、半径 1 で中心が (0;0) の円を考えます。 任意の αЄR について、0A と 0x 軸の間の角度のラジアン単位が α に等しくなるように、半径 0A を描くことができます。 反時計回りの方向が正とみなされます。 半径 A の端の座標を (a,b) とします。
正弦の定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の縦座標に等しい数値 b は、sinα で示され、角度 α のサインと呼ばれます。
例: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
コサインの定義
定義: 上記の方法で構築された単位半径の端の横座標に等しい数値 a は、cosα で示され、角度 α の余弦と呼ばれます。
例: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
これらの例では、単位半径の端の座標に関する角度のサインとコサインの定義を使用し、 単位円。 より視覚的に表現するには、単位円を描画し、その上に対応する点をプロットし、その横座標を数えてコサインを計算し、縦座標を数えてサインを計算する必要があります。
接線の定義
定義: x≠π/2+πk、kЄZ に対する関数 tgx=sinx/cosx は、角度 x の余接と呼ばれます。 ドメイン tgx関数これらは、x=π/2+πn、nЄZ を除き、すべて実数です。
例: tg0 tgπ = 0 0 = 0
この例は前の例と似ています。 角度の正接を計算するには、点の縦座標を横座標で割る必要があります。
コタンジェントの定義
定義: x≠πk、kЄZ の関数 ctgx=cosx/sinx は、角度 x の余接と呼ばれます。 関数 ctgx = の定義域は、点 x=πk、kЄZ を除くすべての実数です。
正直角三角形を使用した例を見てみましょう
コサイン、サイン、タンジェント、コタンジェントが何であるかをより明確にするため。 角度 y の正直角三角形を使用した例を見てみましょう。 面a、b、c。 斜辺 c、脚 a と b です。 斜辺 c と脚 b y の間の角度。
意味：角度 y のサインは、斜辺の反対側の比です: siny = a/c
意味：角度 y の余弦は、隣接する脚と斜辺の比です: cozy = v/c
意味：角度 y の正接は、反対側と隣接する側の比です: tgy = a/b
意味：角度 y の余接は、隣接する側と反対側の比です: ctgy= in/a
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角関数とも呼ばれます。 各角度には独自のサインとコサインがあります。 そして、ほぼすべての人が独自のタンジェントとコタンジェントを持っています。
角度が与えられれば、そのサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントが分かると考えられています。 およびその逆。 サインまたはその他の三角関数がそれぞれ与えられると、角度がわかります。 角度ごとに三角関数が書かれた特別な表も作成されています。
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かは、直角三角形を理解するのに役立ちます。
側面は何と呼ばれますか? 直角三角形? そうです、斜辺と脚です。斜辺は直角の反対側にある辺です (この例では、これは辺 \(AC\) です)。 脚は残りの 2 つの辺 \(AB\) と \(BC\) (隣接する辺) です。 直角) そして、角度 \(BC\) に対して脚を考慮すると、脚 \(AB\) は隣接する脚であり、脚 \(BC\) は反対側の脚です。 それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。
角度の正弦– これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
角度の余弦– これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
角度の正接– これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。
私たちの三角形では:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
角度の余接– これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
これらの定義は必要です 覚えて！ どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。 正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして 余弦。 そして、一連の連想を思いつくことができます。 たとえば、これは次のとおりです。
コサイン→タッチ→タッチ→隣接。
コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。
まず第一に、三角形の辺の比率は (同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。 信じないで？ 次に、画像を見て確認してください。
たとえば、角度 \(\beta \) の余弦を考えてみましょう。 定義により、三角形 \(ABC\) から: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)ですが、三角形 \(AHI \) から角度 \(\beta \) の余弦を計算できます。 \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)。 ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。 したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。
定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。
下の図に示されている三角形 \(ABC \) について、次のことがわかります。 \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
さて、わかりましたか？ それから、自分で試してみてください。角度 \(\beta \) についても同じことを計算してください。
答え: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
単位（三角関数）円
度やラジアンの概念を理解して、半径が \(1\) に等しい円について考えました。 このようなサークルをこう呼びます シングル。 三角関数を勉強するときにとても役立ちます。 したがって、もう少し詳しく見てみましょう。
ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。 円の半径 1に等しい、円の中心は原点にありますが、動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これは半径 \(AB\) です)。
円上の各点は、 \(x\) 軸に沿った座標と \(y\) 軸に沿った座標という 2 つの数値に対応します。 これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？ これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。 上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。 三角形 \(ACG\) について考えてみましょう。 \(CG\) は \(x\) 軸に垂直であるため、長方形になります。
三角形 \(ACG \) から \(\cos \ \alpha \) は何ですか? それは正しい \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)。 さらに、 \(AC\) は単位円の半径であることがわかり、これは \(AC=1\) を意味します。 この値をコサインの式に代入してみましょう。 何が起こるかというと、次のとおりです。
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
三角形 \(ACG \) からの \(\sin \ \alpha \) は何に等しいでしょうか? もちろん、 \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)！ 半径 \(AC\) の値をこの式に代入すると、次のようになります。
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
では、その円に属する点 \(C\) がどの座標にあるかわかるでしょうか。 まあ、まさか？ \(\cos \ \alpha \) と \(\sin \alpha \) が単なる数字だと気づいたらどうなるでしょうか? \(\cos \alpha \) はどの座標に対応しますか? もちろん、座標 \(x\) です。 \(\sin \alpha \) はどの座標に対応するのでしょうか? そう、\(y\) の座標です。 それでポイントは \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
では、\(tg \alpha \) と \(ctg \alpha \) は何に等しいのでしょうか? そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)、A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？ たとえば、この図のように:
この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。 直角三角形 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 角度 (角度 \(\beta \) に隣接するもの) を考えてみましょう。 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? そうです、三角関数の対応する定義に従います。
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(配列) \)
ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標 \(y\) に対応しています。 角度の余弦の値 - 座標 \(x\) ; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。 したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。
動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。 ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。 したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると – ネガティブ。
したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は \(360()^\circ \) または \(2\pi \) であることがわかります。 半径ベクトルを \(390()^\circ \) または \(-1140()^\circ \) だけ回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！ 最初のケースでは、 \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)したがって、動径ベクトルは 1 回転し、 \(30()^\circ \) または \(\dfrac(\pi )(6) \) の位置で停止します。
2 番目のケースでは、 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)つまり、動径ベクトルは 3 回転し、 \(-60()^\circ \) または \(-\dfrac(\pi )(3) \) の位置で停止します。
したがって、上記の例から、角度は \(360()^\circ \cdot m \) または \(2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数) だけ異なると結論付けることができます。動径ベクトルの同じ位置に対応します。
下の図は、角度 \(\beta =-60()^\circ \) を示しています。 同じ画像がコーナーに対応します \(-420()^\circ 、-780()^\circ 、\ 300()^\circ 、660()^\circ \)等 このリストは無期限に継続できます。 これらすべての角度は、次の一般式で表すことができます。 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)または \(\beta +2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
以下に単位円を示します。
何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。 したがって、次のことがわかります。
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(配列)\)
ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。 さて、順番に始めましょう：のコーナー \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)は座標 \(\left(0;1 \right) \) の点に対応するため、次のようになります。
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 存在しない;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
さらに、同じロジックに従うと、次のことがわかります。 \(180()^\circ 、\ 270()^\circ 、\ 360()^\circ 、\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )座標を持つ点に対応します \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \右) \)、 それぞれ。 これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。 まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。
答え:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 存在しない
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- 存在しない
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
したがって、次の表を作成できます。
これらの値をすべて覚えておく必要はありません。 単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(覚えているか、表示できるようにする必要があります!! \) !}
しかし、 と の角度の三角関数の値は \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)以下の表に示すとおり、次のことを覚えておく必要があります。
怖がらないでください。対応する値の非常に単純な記憶の一例を示します。
この方法を使用するには、角度の 3 つの尺度すべての正弦値を覚えておくことが重要です ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))、および \(30()^\circ \) の角度の正接の値。 これらの \(4\) の値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(配列) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)、これを知っていると、次の値を復元できます。 \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)。 分子「\(1 \)」は \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) に対応し、分母「\(\sqrt(\text(3)) \)」はに対応します。 \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。 これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表の \(4\) の値だけを覚えておけば十分です。
円上の点の座標
円の中心の座標、半径、回転角がわかっていれば、円上の点（その座標）を見つけることは可能でしょうか？ もちろん、できますよ！ 出してみましょう 一般式点の座標を見つけます。 たとえば、これは私たちの目の前にある円です。
私たちにはその点が与えられています \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 円の中心。 円の半径は \(1.5\) です。 点 \(O\) を \(\delta \) 度回転して得られる点 \(P\) の座標を求める必要があります。
図からわかるように、点 \(P\) の座標 \(x\) は、線分 \(TP=UQ=UK+KQ\) の長さに対応します。 線分 \(UK\) の長さは円の中心の座標 \(x\) に対応します。つまり、 \(3\) に等しくなります。 セグメント \(KQ\) の長さは、コサインの定義を使用して表すことができます。
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
次に、点 \(P\) の座標が得られます。 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
同じロジックを使用して、点 \(P\) の y 座標の値を求めます。 したがって、
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
それで、 一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(配列) \)、 どこ
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 円の中心の座標、
\(r\) - 円の半径、
\(\delta \) - ベクトル半径の回転角度。
ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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「直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント」のレッスン
レッスンの目標:
教育 - サイン、コサイン、直角三角形の鋭角のタンジェントの概念を紹介し、これらの量間の依存関係と関係を探ります。
発展 - 角度の関数としてのサイン、コサイン、タンジェントの概念の形成、三角関数の定義の領域、発展 論理的思考、正しい数学的スピーチの開発。
教育 - 独立した仕事のスキルの開発、行動の文化、記録管理の正確さ。
レッスンの進行状況:
1. 開催時間
「教育とはレッスンを受けた数ではなく、理解した数です。 だから、前に進みたいなら、ゆっくり気をつけて急いでください。」
2. レッスンの動機。
ある賢人はこう言いました。「精神の最高の現れは心です。 理性の最高の表現は幾何学です。 ジオメトリ セルは三角形です。 それは宇宙と同じように無尽蔵です。 円は幾何学の魂です。 円を知れば、幾何学の魂を知るだけでなく、自分の魂を高めることができます。」
私たちはあなたと一緒に少し調べてみます。 思いついたアイデアを共有しましょう。間違いを恐れないでください。どのようなアイデアでも、新しい検索の方向性を得ることができます。 私たちの成果は誰かにとっては素晴らしいものではないかもしれませんが、それは私たち自身の成果になります。
3. 基礎知識の更新。
どのような角度が考えられますか?
三角形とは何ですか?
三角形を定義する主な要素は何ですか?
三角形には辺によってどんな種類があるのでしょうか？
三角形には角度によってどんな種類があるのでしょうか？
脚とは何ですか？
斜辺とは何ですか?
直角三角形の辺を何といいますか?
この三角形の辺と角度の間にはどのような関係があるか知っていますか?
辺と角度の関係を知る必要があるのはなぜですか?
人生におけるどのような問題が、三角形の未知の辺を計算する必要につながる可能性がありますか?
「斜辺」という用語は、「何かの上に伸びる」、「収縮する」を意味するギリシャ語の「hyponeinouse」に由来しています。 この言葉は、2本の互いに直角なスタンドの端に弦が張られた古代ギリシャのハープのイメージに由来しています。 「カテトゥス」という用語は、「鉛直線」の始まり、「垂直」を意味するギリシャ語の「kathetos」に由来しています。
ユークリッドは「足は直角を囲む辺である」と言いました。
で 古代ギリシャ地面に直角三角形を作る方法はすでに知られていました。 これを行うために、彼らは互いに同じ距離で13の結び目を作ったロープを使用しました。 エジプトのピラミッド建設では、この方法で直角三角形が作られました。 おそらくこれが、辺 3、4、5 の直角三角形がエジプトの三角形と呼ばれた理由です。
4. 新しい教材を勉強する。
古代、人々は星を観察し、その観察に基づいてカレンダーを作成し、種まきの日や川の洪水の時間を計算しました。 海では船が、陸ではキャラバンが星を頼りに旅を進めました。 これらすべてにより、三角形の辺を計算する方法を学ぶ必要が生じました。その頂点のうちの 2 つは地面にあり、3 番目の頂点は星空の点で表されます。 この必要性に基づいて、三角形の辺間のつながりを研究する科学、三角法の科学が生まれました。
私たちがすでに知っている関係だけで、そのような問題を解決するには十分だと思いますか?
今日のレッスンの目的は、新しい接続と依存関係を探索し、関係を導き出し、次の幾何学のレッスンでその関係を使用してそのような問題を解決できるようにすることです。
科学者の役割に自分自身を感じて、古代の天才タレス、ユークリッド、ピタゴラスに倣い、真実の探求の道を歩んでみましょう。
このためには理論的根拠が必要です。
角度 A と脚 BC を赤でハイライト表示します。
ハイライト 緑脚AC。
鋭角 A の斜辺に対する反対側の部分がどの部分であるかを計算してみましょう。これを行うには、斜辺に対する反対側の比率を計算します。
この関係には特別な名前があり、地球上のあらゆる場所にいるすべての人がそれを理解できるようになります。 私たちが話しているのは鋭角の反対側と斜辺の比を表す数値について。 この言葉は正弦です。 それを書き留め。 角度の名前のないサインという単語はまったく意味を失うため、数学的表記は次のようになります。
ここで、鋭角 A の斜辺に対する隣接する脚の比率を計算します。
この比率はコサインと呼ばれます。 その数学的表記は次のとおりです。
鋭角 A の別の比率、つまり、隣接する辺に対する反対側の比率を考えてみましょう。
この比率はタンジェントと呼ばれます。 その数学的表記は次のとおりです。
5. 新しい材料の統合。
中間の発見を統合しましょう。
サインって…
コサインって…
タンジェントは…
| 罪A = | 罪 について = | 罪A 1 = |
| cos A = | コス について = | cosA 1 = |
| タンA = | tg について = | タンA 1 = |
No. 88、889、892 を口頭で解きます (ペアで作業します)。
取得した知識を使用して実際的な問題を解決します。
「高さ 70 メートルの灯台塔からは、水平線に対して 3 度の角度で船が見えます。 それはどんな感じ
灯台から船までの距離は？
問題は正面から解決されます。 ディスカッション中は、黒板やノートに絵を描いたり、必要なメモを書きます。
問題を解決するときは、Bradis テーブルが使用されます。
問題 p.175 の解決策を考えてみましょう。
No.902(1)を解きます。
6. 目の運動をしましょう。
頭を動かさずに、時計回りに教室の壁の周囲、反時計回りに周囲の黒板、時計回りにスタンドに描かれた三角形、そして反時計回りに等しい三角形を見回してください。 頭を左に向けて地平線、今度は鼻の先端を見てください。 目を閉じて、5つ数えて、目を開けると...
手のひらを目に当てましょう
力強い脚を広げていきましょう。
右に曲がる
堂々と周りを見渡してみましょう。
そして、あなたも左に行く必要があります
手のひらの下から見てください。
そして - 右へ！ そしてさらに
左肩越しに！
では、作業を続けましょう。
7. 独立した仕事学生。
いいえを解決します。
8. レッスンの概要。 反射。 D/Z。
どのような新しいことを学びましたか? レッスンでは：
検討しましたか...
あなたは分析しました...
あなたが受け取りました …
あなたは結論付けました...
次の用語の語彙が増えました...
世界の科学は幾何学から始まりました。 学校で幾何学を学ばなければ、人は文化的にも精神的にも真に成長することはできません。 幾何学は実用的なものだけでなく、人間の精神的なニーズからも生まれました。
これが彼女が幾何学への愛を詩的に説明した方法です
幾何学が大好きです...
私は幾何学が大好きなので教えています
幾何学が必要です。それなしではどこにも行けません。
サイン、コサイン、円周 - ここではすべてが重要です。
すべてがここで必要です
すべてを非常に明確に学び、理解する必要があるだけです。
課題とテストを時間内に完了します。
コサインはよく知られた三角関数であり、三角関数の主要な関数の 1 つでもあります。 直角三角形の角度の余弦は、三角形の隣接する辺と三角形の斜辺の比です。 ほとんどの場合、コサインの定義は長方形タイプの三角形に関連付けられます。 しかし、直角三角形の余弦を計算する必要がある角度が、この直角三角形の中に存在しないことも起こります。 それではどうすればいいでしょうか？ 三角形の角度の余弦を求めるにはどうすればよいですか?
直角三角形の角度の余弦を計算する必要がある場合、すべては非常に簡単です。 この問題の解決策が含まれているコサインの定義を覚えておくだけで済みます。 同じ関係を見つける必要があるだけです 隣接する脚、三角形の斜辺も同様です。 実際、ここで角度の余弦を表現することは難しくありません。 式は次のとおりです。 - cosα = a/c、ここで「a」は脚の長さ、辺「c」は斜辺の長さです。 たとえば、直角三角形の鋭角の余弦は、次の式を使用して求めることができます。
任意の三角形の角度の余弦が何に等しいか知りたい場合は、余弦定理が役に立ちます。このような場合に使用する必要があります。 コサイン定理は、三角形の辺の二乗はアプリオリであると述べています。 合計に等しい同じ三角形の残りの辺の 2 乗。ただし、これらの辺の積をそれらの辺の間にある角度の余弦で 2 倍にすることはありません。
- 三角形の鋭角の余弦を求める必要がある場合は、次の公式を使用する必要があります: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab)。
- 三角形の鈍角の余弦を求める必要がある場合は、cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab) の公式を使用する必要があります。 式の指定 - a および b - は、目的の角度に隣接する辺の長さであり、c - は、目的の角度の反対側の辺の長さです。
角度の余弦は、正弦定理を使用して計算することもできます。 三角形のすべての辺は、反対の角の正弦に比例すると述べています。 サイン定理を使用すると、2 つの辺と 1 つの辺の反対側の角度、または 2 つの角度と 1 つの辺に関する情報のみを使用して、三角形の残りの要素を計算できます。 これを例を挙げて考えてみましょう。 問題の条件: a=1; b=2; c=3。 辺「A」の反対側の角度をαとすると、式によれば、cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)となります。 /(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1。 答え: 1.
角度の余弦を三角形ではなく他の任意の関数で計算する必要がある場合 幾何学模様, その後、状況は少し複雑になります。 まず角度の大きさをラジアンまたは度で決定し、その後でこの値からコサインを計算する必要があります。 数値によるコサインは、Bradis テーブル、工学計算機、または特別な数学アプリケーションを使用して決定されます。
特別な数学的アプリケーションには、特定の図形の角度の余弦を自動的に計算するなどの機能が備わっている場合があります。 このようなアプリケーションの利点は、正しい答えが得られるため、ユーザーは場合によっては非常に複雑な問題を解決するために時間を無駄にしないことです。 その一方で、問題を解決するためのアプリケーションだけを常に使用していると、三角形やその他の任意の図形の角度の余弦を求める数学的問題を解決するためのすべてのスキルが失われます。
斜辺の反対側の比はと呼ばれます 鋭角の洞直角三角形。
\sin \alpha = \frac(a)(c)
直角三角形の鋭角の余弦
隣接する脚と斜辺の比率は次のように呼ばれます。 鋭角の余弦直角三角形。
\cos \alpha = \frac(b)(c)
直角三角形の鋭角の接線
隣り合う辺に対する反対側の辺の比をといいます。 鋭角の接線直角三角形。
tg \alpha = \frac(a)(b)
直角三角形の鋭角の余接
近くの脚との比率 反対側呼ばれた 鋭角の余接直角三角形。
ctg \alpha = \frac(b)(a)
任意の角度の正弦
角度 \alpha が対応する単位円上の点の縦座標を といいます。 任意の角度の正弦回転 \alpha 。
\sin \alpha=y
任意の角度の余弦
角度 \alpha が対応する単位円上の点の横座標は次のように呼ばれます。 任意の角度の余弦回転 \alpha 。
\cos \alpha=x
任意の角度の接線
任意の回転角 \alpha のサインとそのコサインの比は次のように呼ばれます。 任意の角度の接線回転 \alpha 。
タン \アルファ = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
任意の角度の余接
任意の回転角 \alpha の余弦とその正弦の比は次のように呼ばれます。 任意の角度の余接回転 \alpha 。
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
任意の角度を求める例
\alpha が角度 AOM であり、M が単位円の点である場合、
\sin \alpha=y_(M) 、 \cos \alpha=x_(M) 、 tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
たとえば、次の場合 \angle AOM = -\frac(\pi)(4)の場合、点 M の縦座標は以下に等しい -\frac(\sqrt(2))(2)、横軸は次の値に等しい \frac(\sqrt(2))(2)だからこそ
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
コタンジェントのサイン、コサイン、タンジェントの値の表
頻繁に発生する主な角度の値を表に示します。
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\アルファ | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\アルファ | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\アルファ | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |