ポイントの弾力性。 点と円弧の弾性

弾性係数ある要因（たとえば、需要または供給の量）が別の要因（価格、収入、またはコスト）に変化したときの量的変化の程度を示します。 1%。 需要または供給の弾力性需要 (供給) 量の変化率と、任意の決定要因の変化率の比率として計算されます。

決定要因- これらは需要と供給に影響を与える要因です。

製品が異なれば、何らかの要因の影響による需要の変化の程度も異なります。 これらの財の需要応答性の度合いは、需要弾性係数を使用して定量化できます。

需要の弾力性の概念は、主要な要因（製品の価格、類似製品の価格、消費者の収入）の変化に対する市場の適応プロセスを明らかにします。

弾性係数を計算する際には、主に円弧弾性法と点弾性法という 2 つの方法が使用されます。

これは、需要曲線で表される、価格の変化に対する需要の平均的な反応の尺度です。

アーク弾性需要曲線または供給曲線上の 2 点間の弾力性を測定するときに使用され、製品の初期およびその後の価格レベルと数量に関する知識が前提となります (図 4.3)。

米。 4.3.

アーク弾性は次の式を使用して計算されます。

どこ R -最初の円。

P2 -新円。

C] - 初期ボリューム。

02 - 新しい巻。

円弧の弾性公式を使用すると、おおよその弾性値しか得られず、円弧が凸になるほど誤差が大きくなります。 AB。

需要または供給曲線上の 1 つの点で測定される弾力性。

ポイント弾力性は、価格、収入、その他の要因の変化に対する需要または供給の感応度を正確に測定するものです。 価格や収入などの微小な変化に対する需要または供給の反応を反映します。 ある状態から別の状態への遷移に対応する曲線の特定のセクションの弾性を知る必要がある場合がよくあります。 このオプションでは、通常、需要関数または供給関数は指定されません (図 4.4)。

米。 4.4.

価格弾力性を判断するには R、需要曲線の傾きは次の点で決定される必要があります。 あ、それらの。 接線勾配 （そして）その時点の需要曲線に合わせます。 価格が上昇した場合 （または）がわずかである場合、接線 1 £ によって決定される体積 040 の増加は、実際の増加に近づきます。

点弾性公式は次のように表されます。

もし 絶対値 E 1 より大きい場合、需要は弾力的になります。 絶対値なら E 1未満ただし、ゼロより大きい - 需要は非弾力的です。

点の弾力性は、需要と供給のラインに沿ってどこでも一定です。

大部分の商品では、価格と需要の関係は逆です。 係数は負であることがわかります。 通常はマイナスを省略するのが通例であり、評価は剰余で行われます。 それにもかかわらず、需要弾性係数がプラスになる場合があります (たとえば、これはギッフェン製品の場合に典型的です)。

ギッフェン製品- 価格が上昇すると消費が（他の条件が等しい場合）増加する財（つまり、価格変化による代替効果が所得効果を上回ります）。

他の条件が同じであれば、そのような商品の消費は需要曲線の正の傾きを反映します。 ほとんどの商品では、価格の上昇は消費量の減少につながります（たとえば、肉の価格が上昇すると、国民は肉を買う量を減らし、魚やキノコなどに置き換えます）。 ギッフェン製品の場合はその逆が当てはまります。ジャガイモの価格が上昇すると、人々はより多くのジャガイモを購入し始めますが、たとえば肉などは減ります。 これはギッフェンのパラドックスです。特定の種類の商品 (主に必需品) の価格が上昇すると、他の商品の節約により消費が増加します。

ギッフェンの商品はすべて低価値ですが、消費者予算の中で重要な位置を占めており、これらに代わる同等の商品はありません。 このカテゴリーに貴重品はありません。 例えば、ロシアにおけるギフェンの製品はケチャップとマヨネーズであり、中国では米と醤油である。 通常、そのような商品は不安定な状況（危機の脅威、不安定な収入、突然の制度変更など）で見つかります。 しかし、彼らの信頼できる研究には「他の同等の条件」の研究が必要ですが、それは常に実行されるわけではありません。

存在する 弾性係数を計算するための 2 つの方法: 1) 点の定義と 2) 円弧の弾性。

点弾性 – 需要または供給曲線上の一点で測定された弾力性。 需要と供給のラインに沿ってどこでも一定です。 点弾性は、小さな増分 (通常は最大 5%)、または連続需要関数が指定されている抽象的な問題で使用されます。

点弾性需要曲線に接線を引くことで決定できます。 知られているように、任意の点における需要曲線の傾きは、X 軸との接線角度の正接の値によって決まります (図 1)。

米。 1.点弾性

点弾性の値は、傾斜角の正接に反比例します。

アーク弾性 - 価格、収入、その他の要因の変化に対する需要または供給の反応のおおよその程度。

需要の円弧弾力性– 製品の価格変化に対する需要の平均反応を示す指標。特定のセグメントの需要曲線で表されます。

米。 2. アーク弾性

需要の円弧弾性は、価格、収入、その他の要因の変化が比較的大きい場合（5％以上）、および十分なデータがなく、たとえば、ほぼ近い 2 つのポイントを測定できない場合に使用されます。需要曲線。

アーク弾性係数常に 2 つのインジケーターの間のどこか (ただし、常に中間にあるわけではありません) に位置します。 点弾性安い価格も高い価格も。

したがって、検討中の数量のわずかな変更には、原則として、次の式が使用されます。 点弾性、そして大きなものの場合は、次の式になります。 アーク弾性.

9番。 完全競争市場と不完全競争市場における企業製品の需要曲線の弾力性を比較します。 グラフで表示

米。 1独占競争

米。 2-純粋な独占

米。 3-純粋（完全）競争

上記は、それぞれ独占競争、純粋独占、純粋競争の下での企業の立場です。 純粋な競争条件下では、需要は完全に弾力的であることがわかります。 純粋な競争条件では、総供給量に占める個別企業のシェアはわずかであり、個別企業が市場価格に大きな影響を与えることはできません。 競争力のある企業には価格設定ポリシーがありません。 むしろ、一般的な市場価格に適応することしかできません。

純粋な独占企業の需要曲線は下向きの曲線です。 このことから、純粋な独占の下での需要は完全に弾力的ではないと結論付けることができます。 需要曲線に沿って上から移動すると、需要曲線の上部セグメントは弾力的になりますが、弾力性が 1 になる特定の点までのみです。その後、弾力性は減少し、需要は非弾力的になります。

独占的競争下の需要曲線は弾力的ですが、それは一定の限度に限られます。 純粋な独占の下での需要曲線よりも弾力性があります。 独占的競争条件における売り手は相対的に直面する 多数の競合他社が代替製品を製造する。 同時に、独占的競争下の需要は完全に弾力的ではありません。 まず、独占競争下の企業は、純粋な競争下の企業よりも競争相手が少なくなります。 第二に、これらの企業の製品は代替品に近いが不完全である。

純粋に競争的な市場では、企業は図に示す均衡状態にあります。 3. 均衡点では、価格は限界費用に等しく、同時に平均費用にも等しいことがわかります。 価格と平均コストが等しいということは、競争により、競争市場の企業は平均コストが最小になる時点で製品を生産し、これらのコストに対応する価格を設定することが強制されることを意味します。 明らかに、この場合、消費者は製品の最低価格から利益を得ており、コストが優先されます。 与えられた時間。 さらに、競争市場では広告宣伝費がかからないため、価格の低下にもつながります。

価格と限界費用が等しいということは、消費者の好みに最も適した構成の総生産量を生み出すために資源が割り当てられていることを示しています。

独占的な競争では、資源の有効利用も生産効率も達成されません。 図より 1 価格がより高いことがわかります 限界費用、つまり その企業は純粋な競争と比較して、かなりの量の商品を生産しています。 社会は、同じ資源を使用して生産される代替製品よりも、商品の追加ユニットを高く評価します。

また、図より、 1 独占的競争条件下では、企業が生産する生産量は最も効率的な量よりわずかに少ないことがわかります。 これには、達成可能な最小値よりも高い単価が必要になります。 これは、純粋な競争下で発生するよりも価格が高く設定されていることを意味します。

その結果、独占的競争下では、企業は過剰な生産能力で操業し、純粋な競争下に比べて高い価格を設定していることがわかります。

10番。 カーディナリズム: 限界効用の理論

枢機卿的（定量的）効用理論には、消費者が商品を消費することで得られる主観的な効用、つまり満足度を、消費量に応じて測定することが含まれていました。 消費が増加すると、総効用は増加し、限界効用 (追加の単位を消費することによる効用の増加) は減少します。 限界効用の枢機卿理論は、オーストリアの限界主義学派の代表者によって提案されました。 オーストリア学派の名前は、カール・メンガー、オイゲン・フォン・ベーム＝バヴェルク、ルートヴィヒ・フォン・ミーゼス、フリードリヒ・フォン・ヴィーザーなどの創設者と初期の信奉者の由来に由来しています。 この理論は、さまざまな商品の有用性を比較できるという前提に基づいていました。 アルフレッド・マーシャルもこの理論を共有しました。

特定の種類の商品の総効用 (TU - 英語 - total utility) は、消費者が利用できるこの商品のすべての単位の効用の合計です。 限界効用（MU - 限界効用）とは、消費者が特定の製品の追加ユニットから抽出する効用の増加です。

枢機卿たちは、消費者が商品を消費することで得られる効用の正確な量を測定することが可能であると仮定した。 定量的効用理論を使用すると、合計だけでなく限界効用を、特定の種類の商品を追加量消費することと、すべての消費財の一定量を消費することによって得られる幸福レベルの追加の増加として特徴付けることができます。他のタイプ。

ほとんどの財には限界効用逓減の特性があり、特定の財の消費が増えるほど、その財の消費の 1 回の増分から得られる効用の増分は小さくなります。

消費される財の量が増加すると、追加単位ごとの限界効用は減少します。これが限界効用逓減の法則です。

限界効用逓減の法則は、ゴッセンの第一法則 (ヘルマン・ハインリヒ・ゴッセン (1810-1858) - 19 世紀のドイツの経済学者) と呼ばれることがあり、これには次の 2 つの規定が含まれています。

1) 1 回の継続的な消費行為における財の後続単位の効用の減少。そのため、限界に達すると、特定の財による完全な飽和が保証されます。

2) 最初の消費時の効用と比較した、財の各単位の効用の減少。

ゴッセンの第 2 法則は、消費者が最適になるための条件を定式化します。つまり、価格と予算が与えられ、限界効用と価格の比率が消費するすべての商品で同じである場合に、消費者は効用を最大化します。 法則から、他のすべての財の価格が一定で収入が同じ場合、財の価格が上昇すると、その消費と価格の限界効用の比率が低下する、つまり需要が低下するということがわかります。

枢機卿たちは、効用は従来の単位、すなわち効用で測定できると信じていた。

11番。 市場の種類 (主なプロパティをリストおよび定義)。 グラフで表示し、市場基準を説明する 完璧な競争.

競争の発展の程度に応じて、経済理論では主に 4 つのタイプの市場が区別されます。

1.完全競争市場、

2. 不完全競争の市場は次のように分割されます。

· 独占的競争,

・寡占、

・独占。

完全競争

1. 製品の均一性。 これは、買い手の頭の中にある企業の製品が均質で区別がつかないことを意味します。 異なる会社の製品は完全に互換性があります。

2. さらに、完全競争では、すべての市場主体の小ささと数により、売り手も買い手も市場の状況に影響を与えません。 市場の原子的な構造について語るとき、完全競争のこの両方の側面が組み合わされることがあります。 これは市場が機能することを意味します 大きな数水滴が膨大な数の小さな原子で構成されているのと同じように、小規模な売り手と買い手です。

3. 上記のすべての制限 (製品の同質性、企業の数の多さと小規模さ) は実際には、完全競争では市場主体が価格に影響を与えることができないことをあらかじめ決定しています。 したがって、完全競争下では、個々の販売会社は「価格を得る」、つまりプライステイカーであるとよく言われます。

4. 完全競争に典型的な、市場 (業界) への参入と撤退の障壁や自由がないことは、リソースが完全に移動可能であり、ある種類の活動から別の種類の活動に問題なく移動できることを意味します。

5. 価格、技術、および予想される利益に関する情報は、誰でも自由に入手できます。 企業は、使用するリソースを移動することで、変化する市場状況に迅速かつ効率的に対応する能力を備えています。 企業秘密、予測できない展開、競合他社の予期しない行動はありません。 つまり、市場の状況に関して完全な確実性がある状況、または市場に関する完全な情報が存在する状況で、企業による意思決定が行われます。

経済的な観点から見ると、X 軸に平行な価格線は需要の絶対的な弾力性を意味します。 ごくわずかな価格引き下げの場合、企業は売上を無限に拡大できる可能性があります。 わずかな価格上昇で、会社の売上はゼロになってしまいます。

企業の製品に対する絶対的に弾力的な需要の存在は、通常、完全競争の基準と呼ばれます。 市場でそのような状況が生じるとすぐに、その企業は完全な競合他社のように（またはほぼ）競合他社のように振る舞い始めます。 実際、完全競争の基準を満たすことは、企業が市場で活動するための多くの条件を設定し、特に収益創出のパターンを決定します。

完全競争の基準を満たすことの直接的な結果は、生産量に関係なく平均収入が同じ値、つまり製品の価格に等しく、限界収入が常に同じレベルになることです。 したがって、平均収益、限界収益、価格は等しくなります (AR=MR=P)。 したがって、完全競争条件下における個々の企業の製品の需要曲線は、同時にその平均収益と限界収益の曲線でもあります。

企業の総所得（総収益）は、生産量の変化に比例して同じ方向に変化します（図7.1参照）。 つまり直線があります 線形依存性: TR = PQ。

決定するための 2 つの方法を考えてみましょう 価格弾力性要求。

1. アーク法。 図の需要曲線を見てみましょう。 2.11。

米。 2.11。 需要の価格弾力性の決定。

需要の価格弾力性は、市場の地域によって異なります。 はい、サイト上で 腹筋需要は非弾力的であり、その地域では CD– 弾力性がある。 これらの領域で測定された弾性はと呼ばれます アーク弾性 .

警告 。 初期値のパーセンテージとしての量と価格の変化に基づいて弾力性を計算するときに生じる問題の 1 つは (現在実行しています)、この計算方法では不一致が生じることです。 価格の 20% の上昇 (12 ポンドから 14.40 ポンドへ) は、​​売上高の 20% の減少 (200 から 160 へ) をカバーし、弾力性 1 (単位弾力性) を生み出すため、総収益は変わらないはずです。 ただし、その代わりに £2,400 から値下げされます。 (12,200) から £2,304 (14.40,160) なぜこうなった？ この不一致は、需要曲線上の 2 点間で需要の弾力性を計算する場合、初期値から始めるか最終値から始めるかによって値が変化するために発生します。 12ポンドから値上げ。 最大£14.40 は 20% の変化を表し、売上が 200 から 160 に減少した場合も同様です。この場合の需要の弾力性は 1 (20/20) です。 しかし、逆の方向に進むと、まったく異なる結果が得られます。 £14.40から£12への値下げ。 売上は 16.7% 減少しますが、需要量が 160 個から 200 個に増加すると、25% の変化になります。 この場合、需要の弾力性は 1.5 (25/16.7) です。 需要の弾力性は、初期値から計算を開始するか、最終値から計算を開始するかによって異なります。 この問題を解決する 1 つの方法は、平均のパーセンテージまたは 2 つの極値間の平均に基づいて弾性を計算することです。 この方法では、最終値と初期値の差を平均で割ることにより、需要の弾力性の変化率を計算します。 たとえば、午後 13 時 20 分です。 美術。 - 2つの値の平均値があります - 12 £.st。 そして14.40ポンド したがって、この方法によると、価格は 12 ポンドから変わります。 最大£14.40 (14.40-12)/13.20 100 = 18.2 であるため、 は 18.2% の増加とみなされます。 £14.40からの価格変更は同じです。 12ポンドまで 18.2%の減少と考えられます。 したがって、平均計算方法では、価格変化の方向に関係なく、どちらの場合でも同じ答えが得られます。 需要数量の平均値は 180 です。この場合、販売数量が 160 から 200 に増加した場合 (または 2 から (160 に) 減少した場合)、22.2% 変化したと見なされます (200-160 / 180 なので) 100 = 22.2)。したがって、この方法を使用すると、需要の価格弾力性は 1.22 (22 / 18.2) に等しくなります。この講義は、特に需要の価格弾力性がどのように計算されるかを研究することを目的としたものではありません。私たちにとっては、需要の価格弾力性の計算の方がはるかに重要です。需要量と価格の関係を理解するためです。 とにかく、この例は、弾性を計算する必要がある場合は、次を使用する方が良いことを示しています。 割合 平均サイズまたは 2 つの値の平均。 (ドブソン S.、ポルフレマン S. 経済学の基礎 : ミンスク：UE「エコパースペクティブ」 , 2004.)

アーク弾性は、曲線上の 2 点間で測定される弾性です。.

実際、上で示した式 2.8 は、アークの弾性を表す式でした。 分子には、商品の数量の変化がパーセンテージで示されました。 この変化をパーセンテージで表現するのをやめて、相対的な変化を見てみましょう。 Qであれば、それを D として定義するのは簡単です。 Q/Q。 同様に、相対価格変化は D として表すことができます。 R/R。 この場合、需要の価格弾力性は次のように表すことができます。

E D = (2.9)

アズD Q商品に対する需要の 2 つの値の差がとられます。 たとえば、図に関連して。 2.11 これらは相違点である可能性があります ( Qああ、 Q b) または ( Q c- Q d)。 アズD R 2 つの価格値の差が取られるとしましょう ( Pああ、 P b) または ( P c- P d)。 問題は、式2.9の値として商品の数量と価格のどちらを使用するかです。 Qそして R。 いつであるかは明らかです さまざまな意味それが判明 異なる結果。 この問題の解決策は、2 つの値の算術平均を使用することです。 この場合、円弧を真っ直ぐにするセグメントの特定の平均弾性を測定します。 腹筋そして CD、円弧の弾性公式は次の形式になります。

E D = ,

ここで = ( Pα+ P b)/2 または = ( P s+ P d)/2、a = ( Qα+ Q b)/2 または = ( Q s+ Q d)/2 (ここでも、添え字は図 2.11 の表記に対応します)。 ある一般的なケースを考えて、商品の数量と価格の値を次のように表すとします。 Q 1 , Q 2と P 1 , Pそれぞれ 2 とすると、いくつかの基本的な代数変換後のアーク弾性の最終式は次のように表すことができます。

E D =

実際のアーク弾性の計算では、この公式を使用するのが最も便利です。 もちろん、そのためには数値を知る必要があります Q 1 , Q 2と P 1 , P 2 .

アーク弾性も計算可能 一次関数セグメントのいずれかの需要。

2. ポイント方式 。 ここで、セグメントではなく弾性を決定する必要があると想像してみましょう 腹筋そして CDそして、任意に選択された時点で f需要曲線上に表示されます (図 2.11)。 この場合、式 2.9 を使用できますが、D を置き換えます。 QそしてD R無限微量。 この場合、弾性は次のように定義できます。

式 2.10 は次のことを示しています 点弾性 要求。

点弾性は、曲線上の点で測定される弾性です。.

dQ/dP– 価格の変化に応じた需要の変化を示します。 図では、 2.11 は、次の点における需要曲線の接線によって形成される角度の接線です。 fと縦軸 ( tg a）。 これは、-70/50 = - 1.44 に等しくなります (マイナス記号は、需要曲線の負の傾きと、それに応じた接線によるものです)。 点を基準にして fP f = 25、a Q f = 35。これらの値を式 2.10 に代入すると、E D = - 1.44 × (25/35) = - 1.0 となります。 したがって、需要曲線のこの点より上では需要は非弾力的であり、この点より下では需要は弾力的です。

弾力性を研究する際には、それが需要曲線の傾きによって部分的にしか決定されないという事実に特に注意する必要があります。 これは、線形需要関数の例で簡単にわかります。 この目的のために、よく知られた需要関数を選択します。 Q D= 60 - 4Pそしてそれを図に示します。 2.12.

米。 2.12. 線形需要関数の異なる弾力性。

一次関数がすべての点で同じ傾きを持つことは明らかです。 私たちの場合には dQ/dP = tg全長にわたって a = - 4。 ただし、異なる時点では、選択した値に応じて価格弾力性の値が異なります。 Rそして Q。 したがって、たとえば、その時点で k弾性は2で、点では 私すでに0.5しかありません。 時点で あなた、需要線を分割するもの んちょうど半分になると弾力性は1になります。

ここで、需要が増加し、需要線が 位置に移動したとします。 メートル¢ n。 現在は関数で記述されています Q D= 60 - 1.5P。 傾きの角度が大きく変わっているのがよくわかります。 ここ dQ/dP = tg b = - 1.5。 しかし、たとえばその時点で、 あなた¢ 需要の弾力性は、時点と同様に - 1 あなた需要ライン上で ん.

需要の直線を半分に分ける点では、弾力性は常に – 1 に等しいことに注意してください。この点より上のセグメントでは、どの点でも需要は弾力的ですが、それより下では、どの点でも需要は非弾力的です。 弾性と基本幾何学を決定する公式を知っていれば、これらの記述は簡単に証明できます。

これまでのところ、同じ需要関数を表す線の異なるセクションや点では、需要の価格弾力性の値が異なることを示すことを目指してきました。 ただし、弾力性が需要曲線全体で同じである場合、3 つの例外が指摘できます。 まず、後者を垂直直線で表すと (図 2.13、グラフ A)、需要の弾力性が 0 に等しいことが容易にわかります。 dQ/dP= 0)。 このような需要は完全に非弾性と呼ばれます。

米。 2.13. 一定の弾力性を持つ需要関数のグラフ。

第二に、需要曲線が水平直線で表される場合 (図 2.13、グラフ B)、需要の弾力性は無限大に等しくなります (なぜなら、 dQ/dP=)。 このような需要は完全に弾力的と呼ばれます。

そして最後に、第三に、需要曲線が正双曲線 (図 2.13、グラフ B) で表される場合、つまり、 Q D = 1/ P。 式 2.10 を使用すると、その弾性が一定で - 1 に等しい、つまり |E D | = 1。

点弾性 - 需要または供給曲線上の 1 つの点で測定された弾性。 需要と供給のラインに沿ってどこでも一定です。

点弾性は、価格、収入などの変化に対する需要または供給の感応度を正確に測定するものです。点弾性は、価格、収入、その他の要因の微小な変化に対する需要または供給の反応を反映します。 ある状態から別の状態への遷移に対応する曲線の特定のセクションの弾性を知る必要がある場合がよくあります。 このオプションでは、通常、需要関数または供給関数は指定されません。

点弾性の定義を図に示します。 18.1.

価格 P での弾力性を決定するには、点 A での需要曲線の傾き、つまり、この点での需要曲線の接線 (LL) の傾きを決定する必要があります。 価格上昇 (ΔP) がわずかな場合、接線 LL によって決定される数量増加 (ΔQ) は実際の値に近づきます。 このことから、点弾性公式は次のように表されることがわかります。

米。 18.1.点弾性

E の絶対値が 1 より大きい場合、需要は弾力的になります。 E の絶対値が 1 より小さくゼロより大きい場合、需要は非弾力的です。

アーク弾性は、価格、所得、その他の要因の変化に対する需要または供給のおおよその（おおよその）反応度です。

円弧の弾性は次のように定義されます。 中程度の弾性、または 2 つの点を結ぶ弦の中央の弾性。 実際には、需要または供給される価格と数量の円弧平均値が使用されます。

需要の価格弾力性は、需要の相対変化（Q）と価格の相対変化（P）の比であり、図に示されています。 18.2 は点 M で表されます。

米。 18.2.アーク弾性

アークの弾性は数学的に次のように表現できます。

ここで、P 0 - 初期価格。

Q 0 - 初期の需要量。

P 1 - 新しい価格。

Q 1 は新しい需要量です。

需要の円弧弾性は、価格や所得などの変動が比較的大きい場合に使用されます。

R. Pindyck と D. Rubinfeld によると、アーク弾性係数は常に安値と高値のポイント弾性の 2 つの指標の間のどこか (ただし、常に中間であるとは限りません) にあります。

したがって、考慮中の値の小さな変更には、原則として点弾性公式が使用され、大きな変更（たとえば、初期値の 5% 以上）には円弧弾性公式が使用されます。

アレイズ ロイ・ジョージ・ダグラス (1906 年生まれ)、イギリスの数学経済学者、統計学者。 1944 年以来、ロンドン大学の統計学の教授として、他の多くの英国の大学で数理経済学のコースを教えました。 教育機関。 経済および計量学会の評議会のメンバーおよびその他多数のメンバー 科学組織。 アレンの作品 - 主に 教材数理経済学について、体系化と分析に特化 数学的手法、さまざまな経済問題の研究に使用されます。 彼は経済研究の出発点を生産ではなく、所得創出だと考えた。

アレンは、アークの弾性の問題の開発に多大な貢献をしました。