有理方程式の解き方。 有理方程式を解くアルゴリズム

について話し続けましょう 方程式を解く。 この記事では、について詳しく説明します 有理方程式および 1 つの変数を使用して有理方程式を解く原理。 まず、どのようなタイプの方程式が有理と呼ばれるかを理解して、全体有理方程式と分数有理方程式の定義を示し、例を挙げてみましょう。 次に、有理方程式を解くためのアルゴリズムを取得し、もちろん、必要な説明をすべて備えた典型的な例の解法を検討します。

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述べられた定義に基づいて、有理方程式の例をいくつか示します。 たとえば、x=1, 2・x−12・x 2 ・y・z 3 =0, , はすべて有理方程式です。

示されている例から、有理方程式や他のタイプの方程式は、1 つの変数、または 2 つ、3 つなどの変数を使用できることが明らかです。 変数。 次の段落では、1 つの変数を使用して有理方程式を解く方法について説明します。 2 つの変数で方程式を解くそして彼ら 多数の特別な注目に値します。

有理方程式は未知の変数の数で除算されるだけでなく、整数と分数にも分割されます。 対応する定義を示しましょう。

意味。

有理方程式は次のように呼ばれます 全体、左辺と右辺の両方が整数の有理式の場合。

意味。

有理方程式の少なくとも 1 つの部分が分数式である場合、そのような方程式は次のように呼ばれます。 分数合理的(または分数有理数)。

方程式全体には変数による除算が含まれないことは明らかですが、逆に、分数有理方程式には必ず変数 (または分母の変数) による除算が含まれます。 したがって、3 x+2=0 となり、 (x+y)・(3・x 2 −1)+x=−y+0.5– これらは完全な有理方程式であり、その部分の両方が完全な式です。 A および x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 は分数有理方程式の例です。

この点を結論として、これまでに知られている一次方程式と二次方程式はすべて有理方程式であるという事実に注目しましょう。

方程式全体を解く

方程式全体を解くための主なアプローチの 1 つは、等価な方程式に還元することです。 代数方程式。 これは、次の方程式の同等の変換を実行することでいつでも実行できます。

• まず、元の整数方程式の右側の式が反対の符号で左側に転送され、右側でゼロが得られます。
• この後、方程式の左側で結果は次のようになります。 標準ビュー.

結果は、元の整数方程式と同等の代数方程式になります。 したがって、最も単純な場合、方程式全体を解くことは、一次方程式または二次方程式を解くことに帰着し、一般的な場合には、 代数方程式度n。 わかりやすくするために、例の解決策を見てみましょう。

例。

方程式全体の根を求めます 3・(x+1)・(x−3)=x・(2・x−1)−3.

解決。

この方程式全体の解を等価な代数方程式の解に帰してみましょう。 これを行うには、まず式を右辺から左辺に移し、その結果、次の方程式に到達します。 3・(x+1)・(x−3)−x・(2・x−1)+3=0。 次に、必要な条件を満たして、左辺で形成された式を標準形式の多項式に変換します。 3・(x+1)・(x−3)−x・(2・x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6。 したがって、元の整数方程式を解くことは、二次方程式 x 2 -5・x-6=0 を解くことに帰着します。

その判別式を計算します D=(−5) 2 −4・1・(−6)=25+24=49、これは正です。これは、方程式に 2 つの実根があることを意味します。これは、二次方程式の根の公式を使用して求めます。

完全に確かめるために、やってみましょう 見つかった方程式の根をチェックする。 まずルート 6 を確認し、元の整数方程式の変数 x の代わりにルート 6 を代入します。 3・(6+1)・(6−3)=6・(2・6−1)−3、同じです、63=63。 これは有効な数値方程式であるため、x=6 が実際に方程式の根になります。 ここでルート −1 を確認すると、次のようになります。 3・(−1+1)・(−1−3)=(−1)・(2・(−1)−1)−3、ここから、 0=0 。 x=-1 の場合、元の方程式も正しい数値等式になります。したがって、x=-1 は方程式の根でもあります。

答え：

6 , −1 .

ここで、「方程式全体の次数」という用語は、方程式全体の代数方程式の形式での表現に関連付けられていることにも注意する必要があります。 対応する定義を与えてみましょう。

意味。

方程式全体の力は等価代数方程式の次数と呼ばれます。

この定義によれば、前の例の方程式全体は 2 次になります。

何かがなければ、有理方程式全体を解くのはこれで終わりだったかもしれません…。 知られているように、2 次以上の代数方程式を解くことは重大な困難を伴い、4 次以上の方程式の場合は問題がありません。 一般式ルーツ したがって、3 番目、4 番目以降の方程式全体を解くには、 高い学位多くの場合、他の解決方法に頼らなければなりません。

このような場合、以下に基づいて有理方程式全体を解くアプローチが必要です。 因数分解法。 この場合、次のアルゴリズムが適用されます。

• まず、方程式の右側にゼロがあることを確認し、これを行うために、式を方程式全体の右側から左側に移します。
• 次に、結果として得られる左側の式は、いくつかの要素の積として表され、これにより、いくつかのより単純な方程式のセットに進むことができます。

因数分解を通じて方程式全体を解く所定のアルゴリズムについては、例を使用して詳細に説明する必要があります。

例。

方程式全体を解く (x 2 −1)・(x 2 −10・x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) 。

解決。

まず、いつものように、符号を変更することを忘れずに、方程式の右側から左側に式を移します。次のようになります。 (x 2 −1)・(x 2 −10・x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 。 ここで、結果の方程式の左辺を標準形式の多項式に変換することはお勧めできないことは明らかです。これにより、次の形式の 4 次の代数方程式が得られるからです。 × 4 −12 × 3 +32 × 2 −16 ×−13=0、解決は困難です。

一方、結果として得られる方程式の左側では、 x 2 −10 x+13 を計算することができ、それによって積として表すことができることは明らかです。 我々は持っています (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0。 結果として得られる式は元の式全体と等価であり、さらに 2 つの二次方程式 x 2 -10・x+13=0 および x 2 -2・x-1=0 のセットで置き換えることができます。 既知のルート公式を使用して判別式を使用してルートを見つけることは難しくありません。ルートは等しいためです。 これらは、元の方程式の目的の根です。

答え：

有理方程式全体を解くのにも役立ちます 新しい変数を導入する方法。 場合によっては、元の方程式全体の次数よりも低い次数の方程式に移動できるようになります。

例。

有理方程式の実根を求める (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

解決。

この有理方程式全体を代数方程式に還元することは、控えめに言ってもあまり良いアイデアではありません。この場合、次の式を持たない 4 次方程式を解く必要が生じるからです。 合理的な根。 したがって、別の解決策を探す必要があります。

ここでは、新しい変数 y を導入し、式 x 2 +3·x をそれに置き換えることができることが簡単にわかります。 この置換により、方程式全体 (y+1) 2 +10=−2・(y−4) が得られます。これは、式 −2・(y−4) を左側に移動し、その後式を変換した後です。そこで形成される、２次方程式ｙ ２ ＋４・ｙ＋３＝０に帰着される。 この方程式 y=−1 および y=−3 の根は見つけるのが簡単で、たとえば、Vieta の定理の逆定理に基づいて選択できます。

次に、新しい変数を導入する方法の 2 番目の部分、つまり逆置換の実行に進みます。 逆置換を実行すると、2 つの方程式 x 2 +3 x=−1 および x 2 +3 x=−3 が得られます。これは、x 2 +3 x+1=0 および x 2 +3 x+3 として書き直すことができます。 =0 。 二次方程式の根の公式を使用して、最初の方程式の根を求めます。 そして2番目 二次方程式判別式が負であるため、実根はありません (D=3 2 −4・3=9−12=−3 )。

答え：

一般に、高度な方程式全体を扱うときは、それらを解くための非標準的な方法または人為的な技術を常に探す準備ができていなければなりません。

分数有理方程式を解く

まず、 の形式の分数有理方程式を解く方法を理解すると役立ちます。ここで、p(x) と q(x) は整数の有理式です。 そして、他の分数有理方程式の解を指定されたタイプの方程式の解に帰着させる方法を示します。

方程式を解く 1 つのアプローチは、次のステートメントに基づいています。v がゼロ以外の数値である数値分数 u/v (そうでないと、未定義の に遭遇します) は、分子がゼロに等しい場合は、 u=0 の場合に限ります。 このステートメントのおかげで、方程式を解くことは 2 つの条件 p(x)=0 および q(x)≠0 を満たすことになります。

この結論は次のことに対応します 分数有理方程式を解くアルゴリズム。 次の形式の分数有理方程式を解くには、次のものが必要です。

• 有理方程式全体 p(x)=0 を解きます。
• 見つかった各根について条件 q(x)≠0 が満たされるかどうかを確認します。
• true の場合、この根は元の方程式の根です。
• それが満たされない場合、この根は無関係です。つまり、元の方程式の根ではありません。

分数有理方程式を解く際に、発表されたアルゴリズムを使用する例を見てみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

これは分数有理方程式であり、 p(x)=3・x−2、q(x)=5・x 2 −2=0 の形式になります。

このタイプの分数有理方程式を解くアルゴリズムによれば、最初に方程式 3 x−2=0 を解く必要があります。 これは根が x=2/3 である一次方程式です。

この根をチェックすること、つまり、条件 5 x 2 −2≠0 を満たすかどうかをチェックすることが残っています。 x の代わりに 2/3 という数値を式 5 x 2 −2 に代入すると、 が得られます。 条件が満たされているため、x=2/3 が元の方程式の根となります。

答え：

2/3 .

分数有理方程式は、少し違った立場から解くことができます。 この方程式は、元の方程式の変数 x の整数方程式 p(x)=0 と等価です。 つまり、これを守ることができます 分数有理方程式を解くアルゴリズム :

• 方程式 p(x)=0 を解きます。
• 変数 x の ODZ を見つけます。
• 地域に属する根を張る 許容可能な値, - これらは、元の分数有理方程式の目的の根です。

たとえば、このアルゴリズムを使用して分数有理方程式を解いてみましょう。

例。

方程式を解きます。

解決。

まず、二次方程式 x 2 −2・x−11=0 を解きます。 その根は、偶数 2 番目の係数の根の式を使用して計算できます。 D 1 =(−1) 2 −1・(−11)=12、 そして 。

次に、元の方程式の変数 x の ODZ を求めます。 これは、x 2 +3·x≠0 であるすべての数値で構成されます。これは、x·(x+3)≠0 と同じであり、x≠0、x≠−3 となります。

最初のステップで見つかったルートが ODZ に含まれているかどうかを確認することが残ります。 明らかにそうです。 したがって、元の分数有理方程式には 2 つの根があります。

答え：

このアプローチは、ODZ が簡単に見つかる場合には最初のアプローチよりも有益であり、方程式 p(x) = 0 の根が無理数である場合 (たとえば、有理数ではあるが分子と分子がかなり大きい場合) に特に有益であることに注意してください。 /または分母、たとえば、127/1101および-31/59。 これは、そのような場合、条件 q(x)≠0 のチェックに多大な計算量が必要となり、ODZ を使用して無関係な根を除外する方が簡単であるという事実によるものです。

他の場合、方程式を解くとき、特に方程式 p(x) = 0 の根が整数の場合、指定されたアルゴリズムの最初のものを使用する方が有益です。 つまり、ODZ を見つけて方程式を解くのではなく、方程式全体 p(x)=0 の根を直ちに見つけて、それらの根について条件 q(x)≠0 が満たされるかどうかを確認することをお勧めします。この ODZ では p(x)=0 です。 これは、そのような場合、DZ を見つけるよりも確認する方が通常は簡単であるという事実によるものです。

指定されたニュアンスを説明するために 2 つの例の解決策を考えてみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

まず、方程式全体の根を見つけてみましょう (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0、分数の分子を使用して構成されます。 この方程式の左辺は積であり、右辺はゼロであるため、因数分解によって方程式を解く方法によれば、この方程式は 4 つの方程式の集合と等価です 2 x−1=0 , x−6= 0 、 x 2 −5 x+ 14=0 、 x+1=0 。 これらの方程式のうち 3 つは一次方程式、もう 1 つは二次方程式なので、解くことができます。 最初の方程式から x=1/2、2 番目の方程式から x=6、3 番目の方程式から x=7、x=−2、4 番目の方程式から x=−1 がわかります。

根が見つかると、元の方程式の左側の分数の分母が消えるかどうかを確認するのは非常に簡単ですが、逆に、ODZ を決定するのはそれほど単純ではありません。 5次の代数方程式。 したがって、ルートを確認することを優先して、ODZ を見つけることを放棄します。 これを行うには、式内の変数 x の代わりにそれらを 1 つずつ置き換えます。 ×5−15×4＋57×3−13×2＋26×＋112、置換後に得られたものをゼロと比較します: (1/2) 5 −15・(1/2) 4 + 57・(1/2) 3 −13・(1/2) 2 +26・(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15・6 4 +57・6 3 −13・6 2 +26・6+112= 448≠0 ;
7 5 −15・7 4 +57・7 3 −13・7 2 +26・7+112=0;
(−2) 5 −15・(−2) 4 +57・(−2) 3 −13・(−2) 2 + 26・(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15・(−1) 4 +57・(−1) 3 −13・(−1) 2 + 26・(−1)+112=0 。

したがって、1/2、6、および -2 は元の分数有理方程式の目的の根であり、7 と -1 は無関係な根です。

答え：

1/2 , 6 , −2 .

例。

分数有理方程式の根を求めます。

解決。

まず、方程式の根を求めましょう (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0。 この方程式は、2 つの方程式のセットと等価です: 平方 5 x 2 −7 x−1=0 と線形 x−2=0。 二次方程式の根の公式を使用すると、2 つの根が見つかり、2 番目の方程式から x=2 が得られます。

見つかった x の値で分母がゼロになるかどうかを確認するのは非常に不快です。 そして、元の方程式の変数 x の許容値の範囲を決定するのは非常に簡単です。 したがって、ODZを通じて行動します。

この場合、元の分数有理方程式の変数 x の ODZ は、条件 x 2 +5・x−14=0 が満たされる数値を除くすべての数値で構成されます。 この二次方程式の根は x=−7 と x=2 であり、そこから ODZ についての結論を導き出します。ODZ は次のようなすべての x で構成されます。

見つかった根と x=2 が許容値の範囲に属しているかどうかを確認する必要があります。 根は属しているため、元の方程式の根であり、x=2 は属していないため、無関係な根です。

答え：

また、次の形式の分数有理方程式の分子に数値がある場合、つまり p(x) が何らかの数値で表される場合について個別に検討することも役立ちます。 その中で

• この数値がゼロ以外の場合、分数は分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しいため、方程式には根がありません。
• この数値がゼロの場合、方程式の根は ODZ からの任意の数値になります。

例。

解決。

方程式の左側の分数の分子にはゼロ以外の数値が含まれるため、どの x についても、この分数の値がゼロになることはありません。 したがって、この方程式には根がありません。

答え：

根がない。

例。

方程式を解きます。

解決。

この分数有理方程式の左側の分数の分子にはゼロが含まれているため、この分数の値は、意味のある x についてはゼロになります。 言い換えれば、この方程式の解は、この変数の ODZ からの x の任意の値です。

この許容値の範囲を決定することはまだ残っています。 これには、x 4 +5 x 3 ≠0 となる x のすべての値が含まれます。 方程式 x 4 +5 x 3 =0 の解は 0 と −5 です。この方程式は方程式 x 3 (x+5)=0 と等価であり、さらに 2 つの方程式 x の組み合わせと等価であるためです。 3 =0 および x +5=0、そこからこれらの根が見えます。 したがって、許容可能な値の望ましい範囲は、x=0 と x=−5 を除く任意の x です。

したがって、分数有理方程式には無限に多くの解があり、それらは 0 とマイナス 5 を除く任意の数になります。

答え：

最後に、任意形式の分数有理方程式の解法について説明します。 これらは r(x)=s(x) と書くことができます。ここで、r(x) と s(x) は有理式であり、そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 今後を見据えて、彼らの解決策は、私たちにとってすでに馴染みのある形式の方程式を解くことに帰着するとしましょう。

方程式のある部分から符号が反対の別の部分に項を変換すると等価な方程式が得られることが知られており、したがって方程式 r(x)=s(x) は方程式 r(x) − s(x) と等価になります。 )=0。

また、この式と同様に、任意の が可能であることもわかっています。 したがって、方程式 r(x)−s(x)=0 の左辺の有理式を、 の形式の全く同じ有理分数にいつでも変換できます。

したがって、元の分数有理方程式 r(x)=s(x) からこの方程式に移動すると、上でわかったように、その解は方程式 p(x)=0 を解くことになります。

ただし、ここでは r(x)−s(x)=0 を に置き換え、次に p(x)=0 に置き換えると、変数 x の許容値の範囲が拡大する可能性があるという事実を考慮する必要があります。 。

したがって、元の方程式 r(x)=s(x) と私たちが到達した方程式 p(x)=0 は等しくないことが判明する可能性があり、方程式 p(x)=0 を解くことで根を得ることができます。これは、元の方程式 r(x)=s(x) の無関係な根になります。 チェックを実行するか、元の方程式の ODZ に属しているかどうかを確認することによって、無関係な根を特定し、答えに含めないようにすることができます。

この情報を要約してみましょう 分数有理方程式 r(x)=s(x) を解くアルゴリズム。 分数有理方程式 r(x)=s(x) を解くには、次のものが必要です。

• 式を右側から反対の符号で移動して、右側のゼロを取得します。
• 方程式の左側で分数と多項式を使用して演算を実行し、それを形式の有理分数に変換します。
• 方程式 p(x)=0 を解きます。
• 無関係な根を特定して削除します。これは、元の方程式にそれらを代入するか、元の方程式の ODZ に属していることを確認することによって行われます。

より明確にするために、分数有理方程式を解く一連の全体を示します。
.

与えられた情報ブロックを明確にするために、解決プロセスの詳細な説明とともにいくつかの例の解決策を見てみましょう。

例。

分数有理方程式を解きます。

解決。

先ほど得られた解法アルゴリズムに従って行動していきます。 そして最初に項を方程式の右側から左側に移動し、その結果として方程式に進みます。

2 番目のステップでは、結果の方程式の左側にある分数有理式を分数の形式に変換する必要があります。 これを行うには、有理分数を公分母に換算し、結果の式を簡略化します。 そこで方程式にたどり着きます。

次のステップでは、方程式 −2・x−1=0 を解く必要があります。 x=−1/2 がわかります。

見つかった数 −1/2 が元の方程式の無関係な根ではないかどうかを確認する必要があります。 これを行うには、元の方程式の変数 x の VA を確認または見つけます。 両方のアプローチを示してみましょう。

まずは確認から始めましょう。 変数 x の代わりに数値 −1/2 を元の方程式に代入すると、同じ結果、−1=−1 が得られます。 代入により正確な数値的等価性が得られるため、x=−1/2 が元の方程式の根となります。

次に、アルゴリズムの最後のポイントが ODZ を通じてどのように実行されるかを示します。 元の方程式の許容値の範囲は、-1 と 0 を除くすべての数値のセットです (x=-1 と x=0 では、分数の分母は消えます)。 前のステップで見つかった根 x=−1/2 は ODZ に属しているため、x=−1/2 が元の方程式の根です。

答え：

−1/2 .

別の例を見てみましょう。

例。

方程式の根を求めます。

解決。

分数有理方程式を解く必要があります。アルゴリズムのすべてのステップを見てみましょう。

まず、項を右側から左側に移動すると、 が得られます。

次に、左側で形成された式を変換します。 その結果、方程式 x=0 に到達します。

その根は明らかです - それはゼロです。

4 番目のステップでは、見つかった根が元の分数有理方程式に無関係であるかどうかを確認することが残ります。 これを元の式に代入すると、次の式が得られます。 ゼロ除算が含まれているため、明らかに意味がありません。 したがって、0 は無関係なルートであると結論付けられます。 したがって、元の方程式には根がありません。

これは式 7 につながります。 このことから、左辺の分母の式は右辺の式と等しくなければならない、つまり と結論付けることができます。 次に、トリプルの両側から減算します。 どこから、そしてさらに先へ、類推して。

このチェックにより、見つかった両方の根が元の分数有理方程式の根であることがわかります。

答え：

参考文献。

• 代数：教科書 8年生用。 一般教育 機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。 によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2008. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-019243-9。
• モルドコビッチ A.G.代数。 8年生。 午後 2 時 第 1 部 生徒用教科書 教育機関/A.G.モルドコビッチ。 - 第 11 版、削除されました。 - M.: Mnemosyne、2009. - 215 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01155-2。
• 代数： 9年生：教育。 一般教育用 機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。 によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2009. - 271 p. ： 病気。 - ISBN 978-5-09-021134-5。

有理方程式と分数有理方程式について理解し、その定義と例を示し、最も一般的なタイプの問題も分析しましょう。

Yandex.RTB R-A-339285-1

有理方程式: 定義と例

合理的な表現への慣れは学校 8 年生から始まります。 この時期、代数の授業では、ノートに有理式が含まれる方程式を使った課題が出されることが増えてきました。 それが何であるかを思い出してみましょう。

定義 1

有理方程式は両辺に有理式を含む方程式です。

さまざまなマニュアルで、別の公式を見つけることができます。

定義 2

有理方程式- これは方程式で、左側に有理式が含まれ、右側にゼロが含まれます。

有理方程式に対して与えた定義は、同じことについて話しているため、同等です。 私たちの言葉の正しさは、あらゆる合理的な表現について次のような事実によって確認されます。 Pそして Q方程式 P = Qそして P − Q = 0等価な表現になります。

それでは例を見てみましょう。

例1

有理方程式:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 。

有理方程式には、他のタイプの方程式と同様に、1 から数個までの任意の数の変数を含めることができます。 まず見てみましょう 簡単な例、方程式には変数が 1 つだけ含まれます。 そして、徐々にタスクを複雑にしていきます。

有理方程式は、整数と分数の 2 つの大きなグループに分類されます。 各グループにどのような方程式が適用されるかを見てみましょう。

定義 3

有理方程式の左側と右側に有理式全体が含まれている場合、その有理方程式は整数になります。

定義 4

有理方程式の一方または両方の部分に分数が含まれる場合、有理方程式は分数になります。

分数有理方程式には必ず変数による除算が含まれるか、分母に変数が存在します。 方程式全体を記述する際にそのような分割はありません。

例 2

3 × + 2 = 0そして (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– 有理方程式全体。 ここで、方程式の両辺は整数式で表されます。

1 x - 1 = x 3 および x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5は分数有理方程式です。

全体の有理方程式には、一次方程式と二次方程式が含まれます。

方程式全体を解く

このような方程式を解くには、通常、それらを等価な代数方程式に変換する必要があります。 これは、次のアルゴリズムに従って方程式の等価変換を実行することで実現できます。

• まず、方程式の右側でゼロを取得します。これを行うには、方程式の右側にある式を左側に移動し、符号を変更する必要があります。
• 次に、方程式の左側の式を標準形式の多項式に変換します。

代数方程式を取得する必要があります。 この式は元の式と等価になります。 簡単なケースでは、方程式全体を線形または二次方程式に還元して問題を解決できます。 一般に、次数の代数方程式を解きます。 n.

例 3

方程式全体の根を見つける必要があります 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

解決

等価な代数方程式を取得するために、元の式を変換してみましょう。 これを行うには、方程式の右側に含まれる式を左側に移し、符号を反対の符号に置き換えます。 結果として、次のことが得られます。 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

次に、左辺の式を標準形式の多項式に変換して、次のようにします。 必要なアクションこの多項式を使用すると、次のようになります。

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

元の方程式の解を次の形式の二次方程式の解に還元することに成功しました。 × 2 − 5 × − 6 = 0。 この方程式の判別式は正です。 D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 。これは、実際のルートが 2 つあることを意味します。 二次方程式の根の公式を使用してそれらを見つけてみましょう。

x = - - 5 ± 49 2 1、

x 1 = 5 + 7 2 または x 2 = 5 - 7 2、

x 1 = 6 または x 2 = - 1

解決中に見つけた方程式の根が正しいかどうかを確認してみましょう。 このために、受け取った数値を元の方程式に代入します。 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3そして 3・(−1+1)・(−1−3)＝(−1)・(2・(−1)−1)−3。 最初のケースでは 63 = 63 、2番目に 0 = 0 。 ルーツ x=6そして x = − 1実際、条件例で与えられた方程式の根です。

答え： 6 , − 1 .

「方程式全体の次数」が何を意味するかを見てみましょう。 方程式全体を代数形式で表す必要がある場合に、この用語によく遭遇します。 概念を定義しましょう。

定義5

方程式全体の次数元の整数方程式と等価な代数方程式の次数です。

上の例の方程式を見ると、この方程式全体の次数が 2 番目であることがわかります。

私たちのコースが 2 次方程式を解くことに限定されている場合、このトピックの議論はそこで終わる可能性があります。 しかし、それはそれほど単純ではありません。 3次方程式を解くことは困難を伴います。 そして 4 次以上の方程式については、一般的な根の公式はまったくありません。 この点に関して、3次、4次、その他の次数の方程式全体を解くには、他の多くの技術や方法を使用する必要があります。

有理方程式全体を解くために最も一般的に使用されるアプローチは、因数分解法に基づいています。 この場合のアクションのアルゴリズムは次のとおりです。

• レコードの右側にゼロが残るように、式を右側から左側に移動します。
• 左側の式を因子の積として表し、次にいくつかの単純な方程式のセットに進みます。

例 4

方程式 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) の解を求めます。

解決

反対の符号を使用して、式をレコードの右側から左側に移動します。 (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0。 左辺を標準形式の多項式に変換すると、次の 4 次の代数方程式が得られるため、不適切です。 × 4 − 12 × 3 + 32 × 2 − 16 × − 13 = 0。 変換が簡単だからといって、そのような方程式を解く際のすべての困難が正当化されるわけではありません。

逆の方がずっと簡単です。括弧内の共通因数を取り除きましょう x 2 − 10 x + 13 。したがって、次の形式の方程式に到達します。 (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0。 次に、結果の方程式を 2 つの二次方程式のセットに置き換えます。 × 2 − 10 × + 13 = 0そして x 2 − 2 x − 1 = 0そして判別式を通じてそれらの根を見つけます: 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。

答え： 5 + 2 3、5 - 2 3、1 + 2、1 - 2。

同様に、新しい変数を導入する方法も使用できます。 この方法を使用すると、元の整数方程式の次数よりも低い次数をもつ等価な方程式に移行できます。

例5

方程式には根がありますか? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

解決

ここで、有理方程式全体を代数方程式に還元しようとすると、有理根を持たない次数 4 の方程式が得られます。 したがって、別の方法、つまり方程式内の式を置き換える新しい変数 y を導入する方が簡単です。 × 2 + 3 ×.

次に、方程式全体を扱います (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4)。 方程式の右側を反対の符号で左側に移動し、必要な変換を実行してみましょう。 我々が得る： y 2 + 4 y + 3 = 0。 二次方程式の根を求めてみましょう。 y = − 1そして y = − 3.

では、逆の置換を行ってみましょう。 2つの方程式が得られます x 2 + 3 x = − 1そして x 2 + 3 · x = − 3 。それらを x 2 + 3 x + 1 = 0 として書き換えてみましょう。 × 2 + 3 × + 3 = 0。 得られた方程式から最初の方程式の根を求めるために、二次方程式の根の公式を使用します: - 3 ± 5 2。 2 番目の式の判別式は負です。 これは、2 番目の方程式には実根がないことを意味します。

答え：- 3 ± 5 2

高次の方程式全体が問題に頻繁に登場します。 彼らを恐れる必要はありません。 多くの人為的な変換を含む、非標準的な方法を使用して問題を解決する準備ができている必要があります。

分数有理方程式を解く

このサブトピックの考察は、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムから始めます。 p(x)そして q(x)– 合理的な表現全体。 他の分数有理方程式の解は、常に指定されたタイプの方程式の解に帰着できます。

方程式 p (x) q (x) = 0 を解くために最も一般的に使用される方法は、次のステートメントに基づいています。 うーん、 どこ v- これはゼロとは異なる数値であり、分数の分子がゼロに等しい場合にのみゼロに等しくなります。 上記の論理に従うと、方程式 p (x) q (x) = 0 の解は 2 つの条件を満たすことに帰着できると主張できます。 p(x)=0そして q(x) ≠ 0。 これは、p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式を解くアルゴリズムを構築するための基礎です。

• 有理方程式全体の解を見つける p(x)=0;
• 解法中に見つかった根について条件が満たされているかどうかを確認します q(x) ≠ 0.

この条件が満たされていればルートが見つかりますが、そうでない場合はルートは問題の解決策ではありません。

例6

方程式 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 の根を求めてみましょう。

解決

ここでは、p (x) q (x) = 0 という形式の分数有理方程式を扱っています。ここで、p (x) = 3 x − 2、q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 です。 一次方程式を解き始めましょう 3×−2＝0。 この方程式の根は次のようになります。 x = 2 3.

見つかったルートが条件を満たしているかどうかを確認してみましょう 5×2−2≠0。 これを行うには、式に数値を代入します。 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0 が得られます。

条件は満たされています。 だということだ x = 2 3元の方程式の根です。

答え： 2 3 .

分数有理方程式 p (x) q (x) = 0 を解く別のオプションもあります。 この方程式は方程式全体と等価であることを思い出してください。 p(x)=0元の方程式の変数 x の許容値の範囲について。 これにより、方程式 p (x) q (x) = 0 を解く際に次のアルゴリズムを使用できるようになります。

• 方程式を解く p(x)=0;
• 変数 x の許容値の範囲を見つけます。
• 変数 x の許容値の範囲内にある根を、元の分数有理方程式の目的の根として取得します。

例 7

方程式 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 を解きます。

解決

まずは二次方程式を解いてみましょう x 2 − 2 x − 11 = 0。 その根を計算するには、偶数 2 番目の係数の根の公式を使用します。 我々が得る D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12、x = 1 ± 2 3 です。

これで、元の方程式の変数 x の ODZ を見つけることができます。 これらはすべて、 × 2 + 3 × ≠ 0。 それと同じです x (x + 3) ≠ 0, ここで、x ≠ 0、x ≠ − 3 となります。

ここで、解の最初の段階で得られた根 x = 1 ± 2 3 が変数 x の許容値の範囲内にあるかどうかを確認してみましょう。 彼らが入ってくるのが見えます。 これは、元の分数有理方程式には 2 つの根 x = 1 ± 2 3 があることを意味します。

答え： x = 1 ± 2 3

説明されている 2 番目の解決方法は、変数 x の許容値の範囲が簡単に見つかり、方程式の根が見つかる場合には、最初の解決方法よりも簡単です。 p(x)=0不合理な。 たとえば、7 ± 4 · 26 9 です。 根は有理数になることがありますが、分子または分母が大きくなります。 例えば、 127 1101 そして − 31 59 。 状態確認の手間が省けます q(x) ≠ 0: ODZ に従って適切ではないルートを除外する方がはるかに簡単です。

方程式の根が p(x)=0が整数である場合、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くために、説明されている最初のアルゴリズムを使用する方が適切です。 方程式全体の根をより速く見つける p(x)=0、条件が満たされているかどうかを確認します。 q(x) ≠ 0 ODZ を見つけてから方程式を解くのではなく、 p(x)=0このODZで。 これは、そのような場合、DZ を見つけるよりも確認する方が通常は簡単であるという事実によるものです。

例8

方程式の根を求めます (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0。

解決

方程式全体を見てみましょう (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0そしてそのルーツを見つけること。 これを行うには、因数分解を通じて方程式を解く方法を適用します。 元の方程式は、4 つの方程式 2 x − 1 = 0、x − 6 = 0、x 2 − 5 x + 14 = 0、x + 1 = 0 のセットと等価であることがわかります。そのうち 3 つは線形であり、 1つは二次関数です。 根を求める: 最初の方程式から x = 1 2、2番目から – x=6、3 番目から – x = 7 、x = − 2、4 番目から – x = − 1.

取得したルートを確認してみましょう。 この場合、5 次の代数方程式を解く必要があるため、ODZ を決定することは困難です。 方程式の左側にある分数の分母がゼロにならない条件を確認するのが簡単になります。

式内の変数 x の根を順番に置き換えてみましょう ×5−15×4＋57×3−13×2＋26×＋112そしてその値を計算します。

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 。

実行された検証により、元の分数有理方程式の根が 1、2、6、および − 2 .

答え： 1 2 , 6 , - 2

例9

分数有理方程式 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 の根を求めます。

解決

方程式を使ってみましょう (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0。 そのルーツを探ってみましょう。 この方程式は二次方程式と二次方程式の組み合わせとして想像する方が簡単です。 一次方程式 5×2−7×−1＝0そして x − 2 = 0.

根を求めるには、二次方程式の根の公式を使用します。 最初の方程式から 2 つの根 x = 7 ± 69 10 が得られ、2 番目の方程式から 2 つの根が得られます。 x = 2.

根の値を元の式に代入して条件を確認するのは非常に困難です。 変数 x の ODZ を決定するのが簡単になります。 この場合、変数 x の ODZ は、条件を満たすものを除くすべての数値になります。 × 2 + 5 × − 14 = 0。 x ∈ - ∞、- 7 ∪ - 7、2 ∪ 2、+ ∞ が得られます。

次に、見つかった根が変数 x の許容値の範囲に属しているかどうかを確認してみましょう。

根 x = 7 ± 69 10 - が属しているため、これらは元の方程式の根であり、 x = 2- には属していないため、無関係なルートです。

答え： x = 7 ± 69 10 。

p (x) q (x) = 0 の形式の分数有理方程式の分子に数値が含まれる場合を個別に調べてみましょう。 このような場合、分子にゼロ以外の数値が含まれていると、方程式には根がありません。 この数値がゼロに等しい場合、方程式の根は ODZ からの任意の数値になります。

例 10

分数有理方程式 - 3、2 x 3 + 27 = 0 を解きます。

解決

方程式の左側の分数の分子にゼロ以外の数値が含まれるため、この方程式には根がありません。 これは、x のどの値でも、問題ステートメントで指定された分数の値がゼロに等しくなることを意味します。

答え：根がない。

例 11

方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 を解きます。

解決

分数の分子にはゼロが含まれるため、方程式の解は変数 x の ODZ からの任意の値 x になります。

次に、ODZ を定義しましょう。 これには、x のすべての値が含まれます。 × 4 + 5 × 3 ≠ 0。 方程式の解 × 4 + 5 × 3 = 0は 0 そして − 5 、この方程式は次の方程式と同等であるため、 × 3 (x + 5) = 0、そしてこれは、2 つの方程式 x 3 = 0 と を組み合わせたものと等価です。 x + 5 = 0、これらの根が見える場所。 許容可能な値の望ましい範囲は、x を除く任意の x であるという結論に達します。 x = 0そして x = − 5.

分数有理方程式 0 x 4 + 5 x 3 = 0 には、ゼロと - 5 以外の任意の数である解が無限に存在することがわかります。

答え： - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ここで、任意形式の分数有理方程式とその解法について話しましょう。 それらは次のように書くことができます r(x) = s(x)、 どこ 処方箋）そして s(x)– 有理式。そのうちの少なくとも 1 つは分数です。 このような方程式を解くことは、p (x) q (x) = 0 の形式の方程式を解くことになります。

方程式の右側の式を反対の符号を付けて左側に移すことで等価な方程式が得られることはすでにわかっています。 これは、方程式が r(x) = s(x)は次の方程式と等価です r (x) − s (x) = 0。 有理式を有理分数に変換する方法についてもすでに説明しました。 このおかげで、方程式を簡単に変形できます r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) という形式の同一の有理分数に変換します。

したがって、元の分数有理方程式から移動します。 r(x) = s(x) p (x) q (x) = 0 という形式の方程式に変換します。これはすでに解き方を学習しています。

から移行する場合は、次のことを考慮する必要があります。 r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0 になり、その後、 p(x)=0変数 x の許容値の範囲の拡大は考慮に入れていない可能性があります。

元の式が r(x) = s(x)と方程式 p(x)=0変換の結果、それらは同等ではなくなります。 次に、方程式の解 p(x)=0私たちにとって異質な根を与える可能性があります r(x) = s(x)。 この点に関して、それぞれの場合において、上記のいずれかの方法を使用して検証を実行する必要があります。

このトピックを学びやすくするために、次の形式の分数有理方程式を解くためのアルゴリズムにすべての情報をまとめました。 r(x) = s(x):

• 右側から反対の符号を付けて式を転送すると、右側にゼロが得られます。
• 元の式を有理分数 p (x) q (x) に変換し、分数と多項式の演算を順次実行します。
• 方程式を解く p(x)=0;
• 無関係な根が ODZ に属していることを確認するか、元の式に代入することによって、無関係な根を特定します。

視覚的には、一連のアクションは次のようになります。

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → 消去 外部ルート

例 12

分数有理方程式 x x + 1 = 1 x + 1 を解きます。

解決

方程式 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 に移りましょう。 方程式の左側にある分数有理式を p (x) q (x) の形式に変換しましょう。

これを行うには、有理分数を公分母に減らし、式を単純化する必要があります。

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

方程式 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 の根を見つけるには、方程式を解く必要があります。 − 2 × − 1 = 0。 ルートを 1 つ取得します x = - 1 2.

いずれかの方法を使用して確認するだけです。 両方を見てみましょう。

結果の値を元の式に代入してみましょう。 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 となります。 正しい数値的等価性が得られました − 1 = − 1 。 だということだ x = − 1 2元の方程式の根です。

次に、ODZ を確認してみましょう。 変数 x の許容値の範囲を決定してみましょう。 これは、− 1 と 0 を除く数値のセット全体になります (x = − 1 と x = 0 では、分数の分母は消えます)。 入手した根 x = − 1 2 ODZ所属。 これは、元の方程式の根であることを意味します。

答え： − 1 2 .

例 13

方程式 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x の根を求めます。

解決

私たちは分数有理方程式を扱っています。 したがって、アルゴリズムに従って行動します。

逆の符号を使用して式を右側から左側に移動しましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

必要な変換を実行してみましょう: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x。

という方程式にたどり着きます x = 0。 この方程式の根はゼロです。

この根が元の方程式に無関係であるかどうかを確認してみましょう。 この値を元の方程式に代入してみましょう: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0。 ご覧のとおり、結果として得られる方程式は意味がありません。 これは、0 が無関係な根であり、元の分数有理方程式には根がないことを意味します。

答え：根がない。

アルゴリズムに他の同等の変換が含まれていない場合でも、それが使用できないという意味ではありません。 このアルゴリズムは普遍的ですが、制限するものではなく、支援するように設計されています。

例 14

方程式 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 を解きます。

解決

最も簡単な方法は、アルゴリズムに従って指定された分数有理方程式を解くことです。 しかし、別の方法もあります。 考えてみましょう。

右辺と左辺から 7 を引くと、1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24 が得られます。

このことから、左側の分母の式は右側の数値の逆数、つまり 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 に等しくなければならないと結論付けることができます。

両辺から 3 を引きます: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7。 類推により、2 + 1 5 - x 2 = 7 3、ここから 1 5 - x 2 = 1 3、そして 5 - x 2 = 3、x 2 = 2、x = ± 2

見つかった根が元の方程式の根であるかどうかを判断するチェックを実行してみましょう。

答え： x = ± 2

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整数式は、加算、減算、乗算の演算を使用して数値とリテラル変数で構成される数式です。 整数には、ゼロ以外の数値による除算を含む式も含まれます。

分数有理式の概念

分数式は、数値と文字変数を使用して実行される加算、減算、乗算の演算、およびゼロ以外の数値による除算に加えて、文字変数を使用した式への除算も含む数式です。

有理式はすべて整数式と分数式です。 有理方程式とは、左辺と右辺が有理式である方程式です。 有理方程式の左辺と右辺が整数式である場合、そのような有理方程式は整数と呼ばれます。

有理方程式の左辺または右辺が分数式である場合、そのような有理方程式は分数と呼ばれます。

分数有理式の例

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

分数有理方程式を解くスキーム

1. 方程式に含まれるすべての分数の共通分母を見つけます。

2. 方程式の両辺に共通の分母を掛けます。

3. 結果として得られる方程式全体を解きます。

4. 根を確認し、共通分母を消滅させる根を除外します。

分数の有理方程式を解いているので、分数の分母には変数が含まれます。 つまり、それらは共通項となるということです。 そして、アルゴリズムの 2 番目のポイントでは、共通の分母を乗算します。そうすると、無関係な根が現れる可能性があります。 この場合、共通分母はゼロになります。つまり、共通分母を掛けても意味がありません。 したがって、最後に取得したルートを確認する必要があります。

例を見てみましょう:

分数有理方程式を解きます: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))。

こだわります 一般的なスキーム: まず、すべての分数の共通分母を見つけてみましょう。 x*(x-5) が得られます。

各分数に共通の分母を掛けて、結果として得られる式全体を書きます。

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

結果として得られる方程式を単純化してみましょう。 我々が得る：

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

単純な縮小二次方程式が得られます。 既知の方法のいずれかでこれを解くと、根 x=-2 と x=5 が得られます。

次に、取得した解を確認します。

数値 -2 と 5 を共通の分母に代入します。 x=-2 では、共通分母 x*(x-5) は消えず、-2*(-2-5)=14 となります。 これは、数値 -2 が元の分数有理方程式の根になることを意味します。

x=5 のとき、公分母 x*(x-5) は次のようになります。 ゼロに等しい。 したがって、ゼロによる除算が行われるため、この数値は元の分数有理方程式の根ではありません。

この記事でご紹介するのは、 7種類の有理方程式を解くアルゴリズム、変数を変更することで 2 次式に減らすことができます。 ほとんどの場合、置換につながる変換は非常に簡単ではなく、それを自分で推測するのは非常に困難です。

方程式の種類ごとに、変数を変更する方法を説明し、対応するビデオ チュートリアルで詳細な解決策を示します。

自分で方程式を解き続け、ビデオ レッスンで解法を確認することができます。

それでは、始めましょう。

1 。 (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

方程式の左側には 4 つの括弧の積があり、右側には数値があることに注意してください。

1. 無料期間の合計が同じになるように、括弧を 2 つずつグループ化しましょう。

2. それらを掛け合わせます。

3. 変数の変更を導入しましょう。

(-1)+(-4)=(-7)+2 であるため、方程式では、最初の括弧を 3 番目の括弧でグループ化し、2 番目の括弧を 4 番目の括弧でグループ化します。

この時点で、変数の置換が明らかになります。

方程式が得られます

答え：

2 .

このタイプの方程式は前の方程式と似ていますが、1 つの違いがあります。方程式の右側は数値と の積です。 そして、それはまったく異なる方法で解決されます。

1. 自由項の積が同じになるように、括弧を 2 つずつグループ化します。

2. 括弧の各ペアを掛けます。

3. 各因子から x を取り出します。

4. 方程式の両辺を で割ります。

5. 変数の変更を導入します。

この式では、最初の括弧を 4 番目の括弧とグループ化し、2 番目の括弧を 3 番目の括弧とグループ化します。

各括弧内の係数 at と自由項が同じであることに注意してください。 各括弧から係数を取り出してみましょう。

x=0 は元の方程式の根ではないため、方程式の両辺を で割ります。 我々が得る：

次の方程式が得られます。

答え：

3 .

両方の分数の分母は次のとおりであることに注意してください。 平方三項式、主要係数と自由項は同じです。 2 番目のタイプの方程式のように、括弧から x を取り出してみましょう。 我々が得る：

各分数の分子と分母を x で割ります。

これで、変数置換を導入できます。

変数 t の方程式を取得します。

4 .

方程式の係数は中心の係数に関して対称であることに注意してください。 この方程式は次のように呼ばれます 返品可能 .

それを解決するには、

1. 方程式の両辺を で割ります (x=0 は方程式の根ではないため、これを行うことができます)。次のようになります。

2. 用語を次のようにグループ化します。

3. 各グループで、括弧内の共通因数を取り出してみましょう。

4. 置き換えを導入しましょう:

5. 次の式を使って表現します。

ここから

t の方程式が得られます。

答え：

5. 同次方程式。

指数関数、対数関数、および関数を解くときに、均一な構造を持つ方程式に遭遇することがあります。 三角方程式, したがって、それを認識できる必要があります。

同次方程式は次の構造を持っています。

この等式では、A、B、C は数字であり、四角と丸は同一の式を表します。 つまり、同次方程式の左辺には、次のような単項式の和があります。 同程度(この場合、単項式の次数は 2)、自由項はありません。

解決するには 同次方程式、両辺を次のように割ります。

注意！ 方程式の右辺と左辺を未知数を含む式で除算すると、根が失われる可能性があります。 したがって、方程式の両辺を割る式の根が元の方程式の根であるかどうかを確認する必要があります。

最初の道に行きましょう。 次の方程式が得られます。

ここで変数置換を導入します。

式を単純化して、t の 4 次方程式を取得しましょう。

答え：または

7 .

この方程式は次の構造になっています。

これを解決するには、方程式の左側で完全な正方形を選択する必要があります。

完全な正方形を選択するには、積の 2 倍を加算または減算する必要があります。 次に、和または差の二乗を求めます。 これは、変数の置換を成功させるために非常に重要です。

まずは製品の 2 倍を見つけることから始めましょう。 これが変数を置き換える鍵となります。 方程式では、積の 2 倍は次と等しくなります。

ここで、和の二乗と差のどちらが便利かを考えてみましょう。 まず式の合計を考えてみましょう。

素晴らしい！ この式は積の 2 倍に正確に等しくなります。 次に、括弧内の合計の 2 乗を取得するには、2 倍の積を加算および減算する必要があります。

分数有理方程式を解く

リファレンスガイド

有理方程式とは、左辺と右辺の両方が有理式である方程式です。

(覚えておいてください: 有理式は、加算、減算、乗算、または除算の演算を含む根号のない整数式および分数式です - 例: 6x; (m – n)2; x/3y など)

分数有理方程式は通常、次の形式に変換されます。

どこ P(バツ） そして Q(バツ) は多項式です。

このような方程式を解くには、方程式の両辺に Q(x) を掛けます。これにより、無関係な根が現れる可能性があります。 したがって、分数有理方程式を解くときは、求められた根を確認する必要があります。

変数を含む式で除算されない場合、有理方程式は全体または代数方程式と呼ばれます。

有理方程式全体の例:

5x – 10 = 3(10 – x)

3倍
- = 2x – 10
4

有理方程式に変数 (x) を含む式による除算がある場合、その方程式は分数有理数と呼ばれます。

分数有理方程式の例:

15
x + - = 5x – 17
バツ

分数有理方程式は通常、次のように解きます。

1) 分数の共通分母を見つけて、方程式の両辺にそれを掛けます。

2) 結果として得られる方程式全体を解きます。

3) 分数の公分母をゼロにするものを根から除外します。

整数および分数の有理方程式を解く例。

例 1. 方程式全体を解いてみましょう

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

解決：

最小公倍数を見つける。 これは 6 です。6 を分母で割り、その結果に各分数の分子を掛けます。 これと等価な方程式が得られます。

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

左右にあるので 同じ分母、省略可能です。 次に、より単純な方程式が得られます。

3(x – 1) + 4x = 5x。

括弧を開いて類似の用語を組み合わせることで、この問題を解決します。

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

例は解決されました。

例 2. 分数有理方程式を解く

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

共通点を見つける。 これは x(x – 5) です。 それで：

× 2 – 3x × – 5 × + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

すべての式で同じであるため、分母を再び取り除きます。 類似の項を削減し、方程式をゼロとみなして、二次方程式を取得します。

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

× 2 – 3x – 10 = 0。

二次方程式を解くと、その根、-2 と 5 がわかります。

これらの数値が元の方程式の根であるかどうかを確認してみましょう。

x = –2 では、共通分母 x(x – 5) は消えません。 これは、-2 が元の方程式の根であることを意味します。

x = 5 では、共通分母が 0 になり、3 つの式のうち 2 つが無意味になります。 これは、数字 5 が元の方程式の根ではないことを意味します。

答え: x = –2

他の例

例1.

x 1 = 6、x 2 = - 2.2。

答え: -2、2;6。

例2。