入り口1 正比例と反比例。 正比例と反比例の関係
完成者: チェプカソフ・ロディオン
6年生
MBOU「中等学校No.53」
バルナウル
責任者: Bulykina OG
数学の先生
MBOU「中等学校No.53」
バルナウル
導入。 1
関係性と比率。 3
正比例と反比例の関係。 4
正比例と反比例の適用 6
さまざまな問題を解決するときの依存関係。
結論。 十一
文学。 12
導入。
プロポーションという言葉はラテン語のプロポーションに由来しており、一般に比例性、部品の配置（部品間の一定の比率）を意味します。 古代、ピタゴラス派は比例の教義を高く評価していました。 彼らは、自然界の秩序と美しさ、音楽の子音和音、宇宙の調和についての考えを比率に関連付けました。 彼らはある種の比率を音楽的または調和的と呼びました。
古代においてさえ、人類は、自然界のすべての現象が互いに関連しており、すべてが継続的に動き、変化しており、数字で表現すると驚くべきパターンを明らかにすることを発見しました。
ピタゴラス派とその信奉者は世界のあらゆるものを求めた 数値式。 彼らは発見した; 音楽の根底にある数学的比率（弦の長さとピッチの比率、音程間の関係、和音を構成する音の比率）。 ピタゴラス派は世界の統一という考えを数学的に実証しようとし、宇宙の基礎は対称的な幾何学的形状であると主張しました。 ピタゴラス派は美しさの数学的根拠を求めました。
ピタゴラス学派に倣い、中世の科学者アウグスティヌスは美を「数値的平等」と呼びました。 スコラ哲学者ボナヴェントゥラは、「比例性がなければ美も喜びもありません。比例性は主に数の中に存在します。すべてのものは数えられることが必要です。」と書いています。 レオナルド・ダ・ヴィンチは、絵画に関する論文の中で、芸術における比率の使用について次のように書いています。「科学者が数値法則の形で知っている自然界に隠された同じパターンを、画家は比率の形で体現する。」
比率を使用して解決しました さまざまなタスク古代でも中世でも。 特定の種類の問題は、比率を使用して簡単かつ迅速に解決できるようになりました。 比例と比例は、数学だけでなく、建築や芸術でも使用されてきましたし、現在も使用されています。 建築と芸術における比率とは、サイズ間の一定の関係を維持することを意味します 異なる部分建物、人物、彫刻、その他の芸術作品。 このような場合の比例性は、正しく美しい構成と描写の条件です。
私の仕事では、さまざまな分野での正比例関係と反比例関係の使用を検討しようとしました。 周囲の生活、との接触を追跡します 学問タスクを通じて。
関係と比率.
2 つの数値の商は次のように呼ばれます。 態度これら 数字.
態度が示す、最初の数字の何倍か 2回目以上または最初の数字が 2 番目の数字のどの部分に当たるのか。
タスク。
梨２．４トン、リンゴ３．６トンが店に持ち込まれた。 持ち込まれた果物のうち梨はどのくらいの割合ですか？
解決 。 彼らがもたらした果物の量を調べてみましょう: 2.4+3.6=6(t)。 運ばれてきた果物のどの部分が梨であるかを調べるには、比率を 2.4:6= にします。 答えは次の形式で書くこともできます 10進数またはパーセンテージとして: = 0.4 = 40%。
相互に反転呼ばれた 数字、その積は 1 に等しい。 この関係は、その逆関係と呼ばれます。
2 つの等しい比率、4.5:3 と 6:4 を考えてみましょう。 それらの間に等号を入れて、比率を取得しましょう: 4.5:3=6:4。
割合 2 つの関係が等しい: a : b =c :d または = 
、ここで、a と d は 極端な比例条件、c、b – 平均的なメンバー(比率のすべての項はゼロとは異なります)。
比例の基本性質:
正しい比率では、極項の積は中間項の積と等しくなります。
乗算の可換性を適用すると、正しい比率で極項または中間項を交換できることがわかります。 結果の比率も正確になります。
比例の基本特性を使用すると、他のすべての項がわかっていれば、その未知の項を見つけることができます。
比率の未知の極値項を見つけるには、平均項を乗算し、既知の極値項で割る必要があります。 x : b = c : d 、x = 
比率の未知の中間項を見つけるには、極値の項を乗算し、既知の中間項で割る必要があります。 a : b =x : d 、x = 
.
正比例と反比例の関係。
2 つの異なる量の値は相互に依存する可能性があります。 したがって、正方形の面積はその辺の長さに依存し、逆も同様です - 正方形の辺の長さはその面積に依存します。
2 つの量は、増加すると比例すると言われます。
一方は数回（減少）、もう一方は同じ回数だけ増加（減少）します。
2 つの量が正比例する場合、これらの量の対応する値の比率は等しくなります。
例 正比例依存性 .
ガソリンスタンドでガソリン2リットルの重さは1.6kgです。 重さはどれくらいですかガソリン5リットルくらい？
解決：
灯油の重さは体積に比例します。
2リットル - 1.6kg
5リットル～×kg
2:5=1.6:x、
x=5*1.6 x=4
答え: 4kgです。
ここで、重量対体積比は変化しません。
2 つの量の一方が数回増加 (減少) したときに、他方が同じ量だけ減少 (増加) する場合、その量は反比例と呼ばれます。
量が反比例する場合、ある量の値の比は、別の量の対応する値の逆比に等しくなります。
P 例反比例の関係。
2 つの長方形の面積は同じです。 最初の長方形の長さは 3.6 m、幅は 2.4 m、2 番目の長方形の長さは 4.8 m です。2 番目の長方形の幅を求めます。
解決：
1 長方形 3.6 m 2.4 m
2 長方形 4.8 m x m
3.6m×m
4.8m 2.4m
x = 3.6*2.4 = 1.8 メートル
答え: 1.8メートル。
ご覧のとおり、比例量に関する問題は比例を使用して解決できます。
2 つの量がすべて正比例または反比例するわけではありません。 たとえば、子供の身長は年齢が上がるにつれて増加しますが、年齢が 2 倍になっても子供の身長は 2 倍にはならないため、これらの値は比例しません。
実用正比例依存と反比例依存。
タスクNo.1
学校図書館には数学の教科書が 210 冊あり、これは図書館の全コレクションの 15% に相当します。 図書館の蔵書には何冊ありますか?
解決：
教科書の合計 - ? - 100%
数学者 - 210 -15%
15% 210 学術。
X = 100* 210 = 1400 教科書
100% × アカウント。 15
答え：教科書は1400冊。
問題その2
自転車に乗る人は 75 km を 3 時間で移動します。 自転車に乗る人が同じ速度で 125 km 移動するにはどれくらい時間がかかりますか?
解決：
3時間 – 75km
高度 – 125 km
時間と距離は正比例する量なので、
3：×＝75：125、
x= 
,
x=5。
答え: 5時間以内です。
問題その3
8 本の同一のパイプが 25 分でプールを満たします。 このようなパイプを 10 本使用してプールを満たすには何分かかりますか?
解決：
パイプ8本 – 25分
パイプ10本 - ? 分
パイプの数は時間に反比例するので、
8:10 = x:25、
x = 
x = 20
答え: 20 分以内です。
問題その4
8 人の作業員からなるチームが 15 日間でこの作業を完了します。 同じ生産性で働きながら、10 日間でタスクを完了できる労働者は何人いますか?
解決：
8営業日～15日
労働者 - 10 日間
労働者の数は日数に反比例するので、
×：8＝15：10、
x= 
,
x=12。
答え: 従業員は 12 名です。
問題その5
5.6kgのトマトから2リットルのソースが得られます。 54kgのトマトから何リットルのソースができるでしょうか？
解決：
5.6kg – 2リットル
54kg - ? 私
トマトのキログラム数は、得られるソースの量に直接比例します。
5.6:54 = 2:x、
x = 
,
x = 19。
答え: 19リットル。
問題その6
校舎を暖房するために、石炭は消費率で 180 日間保管されました。
1日あたり0.6トンの石炭。 1日あたり0.5トンを消費すると、この供給は何日続くでしょうか？
解決：
日数
消費率
日数は石炭の消費率に反比例するため、
180: x = 0.5: 0.6、
x = 180*0.6:0.5、
x = 216。
答え: 216 日です。
問題その7
で 鉄鉱石鉄が 7 部の場合、不純物は 3 部存在します。 73.5トンの鉄を含む鉱石には何トンの不純物が含まれていますか?
解決：
部品点数
重さ
鉄
73,5
不純物
部品点数は質量に比例するので、
7：73.5＝3：×。
x = 73.5 * 3:7、
x = 31.5。
答え：31.5t
問題その8
車は35リットルのガソリンを使用して500km走行した。 420km走行するには何リットルのガソリンが必要ですか?
解決：
距離、km
ガソリン、l
距離はガソリン消費量に比例するので、
500:35 = 420:x、
x = 35*420:500、
x = 29.4。
答え: 29.4リットル
問題その9
2時間で12匹のフナを釣りました。 3時間で何匹のフナが釣れるでしょうか？
解決：
フナの数は時間に依存しません。 これらの量は正比例も反比例もありません。
答え: 答えはありません。
問題その10
鉱山企業は、1 台あたり 12,000 ルーブルの一定の金額で新しい機械を 5 台購入する必要があります。 1台のマシンの価格が15,000ルーブルになった場合、企業はこれらのマシンを何台購入できるでしょうか?
解決：
車両数、台
価格、千ルーブル
車の台数はコストに反比例するので、
5：×＝15：12、
x=5*12:15、
x=4。
答え: 車は4台です。
問題No.11
市内で 四角PのNに、遅刻すると減点されるほどオーナーの厳しい店がある。 賃金 1日1回の遅延で70ルーブル。 ユリアとナターシャという 2 人の女の子が 1 つの部門で働いています。 彼らの 賃金稼働日数により異なります。 ユリアさんは20日で4,100ルーブルを受け取り、ナターシャさんは21日でさらに受け取るはずだったが、3日連続で遅刻した。 ナターシャは何ルーブルを受け取りますか？
解決：
勤務日
給料、こする。
ジュリア
4100
ナターシャ
給料は勤務日数に比例するので、
20:21 = 4100:x、
x=4305。
4305こする。 ナターシャはそれを受け取るべきだった。
4305 – 3 * 70 = 4095 (摩擦)
答え: ナターシャは 4095 ルーブルを受け取ります。
問題No.12
地図上の 2 つの都市間の距離は 6 cm です。地図縮尺が 1:250000 の場合、地上でこれらの都市間の距離を求めます。
解決：
地上の都市間の距離を x (センチメートル単位) で表し、地図上のセグメントの長さと地上の距離の比率を求めます。これは地図の縮尺に等しくなります: 6: x = 1 ：250000、
x = 6*250000、
x = 1500000。
1500000 cm = 15 km
答え：15キロです。
問題No.13
4000 g の溶液には 80 g の塩が含まれます。 この溶液中の塩の濃度はどれくらいですか?
解決：
重量、g
集中、 ％
解決
4000
塩
4000: 80 = 100: ×、
x = 
,
x = 2。
答え: 塩分濃度は2%です。
問題No.14
銀行は年率 10% で融資を行います。 あなたは50,000ルーブルの融資を受けました。 1年にいくら銀行に返すべきですか?
解決：
50,000摩擦。
100%
×こする。
50000: x = 100: 10、
x= 50000*10:100、
x=5000。
5000こする。 は10％です。
50,000 + 5000=55,000 (摩擦)
答え: 1 年以内に銀行は 55,000 ルーブルを取り戻します。
結論。
与えられた例からわかるように、正比例関係と反比例関係は生活のさまざまな分野に適用できます。
経済、
貿易、
生産や産業においては、
学校生活,
料理、
建設と建築。
スポーツ、
畜産、
地形学、
物理学者、
化学など
ロシア語には、直接関係と逆関係を確立することわざやことわざもあります。
戻ってくると、それに反応します。
切り株が高くなるほど、影も高くなります。
人が増えれば増えるほど酸素は少なくなります。
準備はできていますが、愚かです。
数学は最も古い科学の 1 つであり、人類のニーズと欲求に基づいて生まれました。 以来の結成の歴史を経て、 古代ギリシャ、それは依然として関連性があり、必要とされています。 日常生活誰でも。 正比例と反比例の概念は古代から知られており、彫刻の建設や制作の際に建築家を動機付けたのは比例の法則であったからです。
プロポーションに関する知識は、人間の生活と活動のあらゆる分野で広く使用されています。絵画（風景、静物、肖像画など）を描くときにプロポーションなしではできません。また、建築家やエンジニアの間でも広く普及しています。一般に、プロポーションを理解するのは困難です。比率やその関係についての知識を使用せずに何かを作成することを想像してみてください。
文学。
数学-6、N.Ya。 ビレンキンら。
代数 -7、G.V. ドロフェエフなど。
Mathematics-9、GIA-9、F.F. 編集 ルイセンコ、S.Yu。 クラブホワ
数学-6、教材、PV チュルコフ、A.B. ウエディノフ
4～5 年生の数学の問題、I.V. Baranova et al.、M. "Prosveshchenie" 1988
数学グレード 5 ～ 6 の問題と例のコレクション、N.A. テレシン
T.N. テレシナ・M.「水族館」1997
今日は、どのような量が反比例と呼ばれるか、反比例のグラフがどのようなものであるか、そしてこれらすべてが数学の授業だけでなく学校の外でもどのように役立つかを見ていきます。
こんなに比率が違うなんて
比例性相互に依存する 2 つの量を挙げてください。
依存関係は直接的または逆的になる可能性があります。 したがって、量間の関係は直線で表され、 反比例.
正比例– これは、2 つの量の間の関係で、一方の増加または減少が他方の量の増加または減少につながります。 それらの。 彼らの態度は変わりません。
たとえば、試験勉強を頑張れば頑張るほど成績は上がります。 または、ハイキングに持っていくものが増えれば増えるほど、バックパックを運ぶのは重くなります。 それらの。 試験の準備に費やした努力の量は、獲得した成績に直接比例します。 そして、バックパックに詰める物の数はその重さに直接比例します。
反比例– これは、独立した値 (引数と呼ばれます) の数倍の減少または増加が、従属値 (引数と呼ばれます) の比例した (つまり、同じ回数の) 増加または減少を引き起こす関数依存です。関数）。
簡単な例で説明しましょう。 あなたは市場でリンゴを買いたいと思っています。 カウンターにあるリンゴと財布の中のお金の量は反比例します。 それらの。 リンゴを買えば買うほど、手元に残るお金は減っていきます。
関数とそのグラフ
反比例関数は次のように説明できます。 y = k/x。 その中で バツ≠ 0 および k≠ 0.
この関数には次のプロパティがあります。
- その定義領域は、以下を除くすべての実数の集合です。 バツ = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- 範囲はすべて実数です。 y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- 最大値や最小値はありません。
- それは奇数であり、そのグラフは原点に対して対称です。
- 非定期的。
- そのグラフは座標軸と交差しません。
- ゼロはありません。
- もし k> 0 (つまり、引数が増加)、関数は各区間で比例して減少します。 もし k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- 引数が増えると ( k> 0) 負の値関数は区間 (-∞; 0) 内にあり、正の関数は (0; +∞) です。 引数が減少すると ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
反比例関数のグラフを双曲線と呼びます。 以下のように示されます。
反比例の問題
わかりやすくするために、いくつかのタスクを見てみましょう。 それらはそれほど複雑ではなく、それらを解くことで、反比例とは何か、そしてこの知識が日常生活でどのように役立つかを視覚化するのに役立ちます。
タスクその1。 車が時速60kmの速度で走っています。 彼は目的地に着くまでに6時間かかった。 2 倍の速度で移動した場合、同じ距離を移動するのにどれくらい時間がかかりますか?
まず、時間、距離、速度の関係を表す式、t = S/V を書き留めることから始めます。 同意します。これは反比例関数を非常に思い出させます。 そして、車が道路を走行する時間と車の移動速度は反比例することを示しています。
これを検証するために、条件に従って 2 倍高い V 2 を見つけてみましょう: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h。 次に、式 S = V * t = 60 * 6 = 360 km を使用して距離を計算します。 問題の条件に従って、必要な時間 t 2 を求めるのは難しくありません。t 2 = 360/120 = 3 時間です。
ご覧のとおり、移動時間と速度は実際に反比例します。元の速度の 2 倍の速度では、車が道路を走行する時間は 2 倍短くなります。
この問題の解は比率で表すこともできます。 それでは、まず次の図を作成しましょう。
↓ 60km/h – 6時間
↓120km/h – xh
矢印は反比例の関係を示します。 彼らはまた、比率を作成するときに、レコードの右側を裏返す必要があることを示唆しています: 60/120 = x/6。 x = 60 * 6/120 = 3 時間はどこから得られますか。
タスクその2。 このワークショップでは 6 人の労働者が雇用されており、一定の作業量を 4 時間で完了できます。 労働者の数が半分になった場合、残りの労働者が同じ量の作業を完了するのにどれくらい時間がかかりますか?
問題の状況を視覚的な図の形で書き留めてみましょう。
↓ 作業員6名 – 4時間
↓ 労働者 3 人 – x 時間
これを比率で書きましょう: 6/3 = x/4。 x = 6 * 4/3 = 8 時間となります。従業員が 2 倍少ない場合、残りの従業員はすべての作業に 2 倍の時間を費やすことになります。
タスクその3。 プールにつながるパイプが2本あります。 1 本のパイプを通って、水は毎秒 2 リットルの速度で流れ、45 分でプールが満たされます。 別のパイプを経由すると、プールは 75 分で満水になります。 水はどのくらいの速度でこのパイプを通ってプールに入りますか?
まず、問題の条件に従って与えられたすべての量を同じ測定単位に換算してみましょう。 これを行うには、プールを満たす速度を毎分リットルで表します: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/分。
2 番目のパイプを介してプールがよりゆっくりと満たされるという条件から導かれるため、これは水の流量がより低いことを意味します。 比例関係は反比例です。 未知の速度を x で表し、次の図を作成してみましょう。
↓ 120リットル/分 – 45分
↓ × l/分 – 75 分
そして、比率を計算します: 120/x = 75/45、ここから x = 120 * 45/75 = 72 l/min。
この問題では、プールの充填率はリットル/秒で表されます。受け取った答えを同じ形式に換算してみましょう: 72/60 = 1.2 l/s。
タスクその4。 小さな個人の印刷会社が名刺を印刷しています。 印刷会社の従業員は、1 時間あたり名刺 42 枚の速度で作業し、丸 1 日、つまり 8 時間働きます。 もし彼の仕事が速くなり、1 時間で 48 枚の名刺を印刷できたとしたら、どれくらい早く帰宅できるでしょうか?
証明されたパスに従い、問題の条件に従って図を作成し、目的の値を x として指定します。
↓ 名刺 42 枚/時間 – 8 時間
↓ 名刺48枚/h – x h
私たちの前に戻って 比例依存: 印刷所の従業員が 1 時間あたりに名刺を印刷する回数と、同じ作業を完了するのに必要な時間を同じ倍から減らした数。 これを理解した上で、比率を作成しましょう。
42/48 = x/8、x = 42 * 8/48 = 7 時間。
したがって、印刷所の従業員は 7 時間で仕事を完了したため、1 時間早く帰宅することができました。
結論
私たちには、これらの反比例の問題は非常に単純であるように思えます。 今、あなたもそのように考えていただければ幸いです。 そして重要なことは、量の反比例依存性に関する知識は実際に何度も役立つということです。
数学の授業や試験だけではありません。 それでも、旅行に行く準備をしたり、買い物に行ったり、休暇中に少しお小遣いを稼ごうと決めたりするときは、さまざまです。
あなたの周りで気づいた反比例関係および正比例関係の例をコメントで教えてください。 そんなゲームにしましょう。 それがどれほどエキサイティングなものであるかがわかります。 この記事を忘れずに共有してください ソーシャルネットワークで友達やクラスメートもプレイできるようになります。
blog.site の内容の全部または一部をコピーする場合は、元のソースへのリンクが必要です。
例
1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 など比例係数
比例量の一定の関係は次のように呼ばれます。 比例係数。 比例係数は、ある量の単位が別の量の単位ごとに何単位であるかを示します。
正比例
正比例- 関数依存性。ある量が別の量に依存し、その比率が一定に保たれる状態です。 言い換えれば、これらの変数は変化します 比例してつまり、引数がいずれかの方向に 2 回変更されると、関数も同じ方向に 2 回変更されます。
数学的には、正比例は次の式で表されます。
f(バツ) = あるバツ,ある = cああnst
反比例
反比例- これは関数の依存関係であり、独立した値 (引数) が増加すると、依存する値 (関数) も比例して減少します。
数学的には、反比例は次の式で表されます。
関数のプロパティ:
情報源
ウィキメディア財団。 2010年。
例
1.6 / 2 = 0.8; 4 / 5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 など比例係数
比例量の一定の関係は次のように呼ばれます。 比例係数。 比例係数は、ある量の単位が別の量の単位ごとに何単位であるかを示します。
正比例
正比例- 関数依存性。ある量が別の量に依存し、その比率が一定に保たれる状態です。 言い換えれば、これらの変数は変化します 比例してつまり、引数がいずれかの方向に 2 回変更されると、関数も同じ方向に 2 回変更されます。
数学的には、正比例は次の式で表されます。
f(バツ) = あるバツ,ある = cああnst
反比例
反比例- これは関数の依存関係であり、独立した値 (引数) が増加すると、依存する値 (関数) も比例して減少します。
数学的には、反比例は次の式で表されます。
関数のプロパティ:
情報源
ウィキメディア財団。 2010年。
§ 129. 予備的な説明。
人は常にさまざまな量を扱います。 従業員と労働者は特定の時間までに仕事に行こうとしていますが、歩行者は急いで仕事に就いています。 有名な場所つまり、蒸気加熱ストーカーはボイラー内の温度が徐々に上昇していることを心配し、経営者は生産コストを削減する計画を立てています。
そのような例はいくらでも挙げることができます。 時間、距離、温度、コスト、これらはすべてさまざまな量です。 この本の第 1 部と第 2 部では、面積、体積、重量などの特に一般的な量について学びました。 物理学やその他の科学を勉強するとき、私たちは多くの量に遭遇します。
あなたが電車で旅行していると想像してください。 時々時計を見ると、どれくらいの時間移動しているかに気づきます。 たとえば、電車が出発してから 2 時間、3 時間、5 時間、10 時間、15 時間などが経過したとします。これらの数字はさまざまな時間を表します。 それらはこの量（時間）の値と呼ばれます。 あるいは、窓の外を眺めて道路標示をたどって、列車の移動距離を確認することもできます。 110、111、112、113、114kmという数字が目の前で点滅します。 これらの数字は次のことを表します 異なる距離列車が出発地から通過した地点。 それらは値とも呼ばれますが、今回は大きさ (2 点間の経路または距離) が異なります。 したがって、時間、距離、温度などの 1 つの量は、同じだけの量を取り込むことができます。 さまざまな意味.
人は 1 つの量だけを考慮することはほとんどなく、常にそれを他の量と関連付けることに注意してください。 彼は 2 つ、3 つ、そして 多数の量 あなたは9時までに学校に行かなければならないと想像してください。 時計を見ると、あと 20 分あることがわかります。 そうすれば、路面電車に乗るべきか、歩いて学校に通えるかがすぐにわかります。 考えた結果、歩くことに決めます。 あなたが考えている間に、何か問題を解決していることに注目してください。 このような問題を毎日解決するので、このタスクは簡単で馴染みのあるものになりました。 その中で、いくつかの量を簡単に比較しました。 時計を見たのはあなたでした。つまり、時間を考慮して、家から学校までの距離を頭の中で想像しました。 最後に、足の速さと路面電車の速度という 2 つの量を比較し、次のような結論に達しました。 与えられた時間(20分) 歩く時間はあります。 これから 簡単な例私たちの実践では、いくつかの量が相互に関連している、つまり互いに依存していることがわかります。
第 12 章では、同次量の関係について説明しました。 たとえば、一方のセグメントが 12 m、もう一方のセグメントが 4 m の場合、これらのセグメントの比率は 12:4 になります。
これは 2 つの均質な量の比であると言いました。 別の言い方をすると、これは 2 つの数値の比です 一つの名前。
量についてさらに詳しくなり、量の値の概念を導入したので、比率の定義を新しい方法で表現できるようになりました。 実際、12 m と 4 m の 2 つのセグメントを検討したとき、長さという 1 つの値について話していました。12 m と 4 m は 2 つの値にすぎませんでした。 さまざまな意味この値。
したがって、将来、比率について話し始めるときは、1 つの量の 2 つの値を考慮し、ある量の 1 つの値と同じ量の別の値の比は、最初の値を除算した商と呼ばれることになります。 2番目までに。
§ 130. 値は正比例する。
条件に距離と時間という 2 つの量が含まれる問題を考えてみましょう。
タスク1。等速直線運動する物体は毎秒 12 cm 進みます。2、3、4、...、10 秒間に物体が進む距離を求めます。
時間と距離の変化を追跡するために使用できるテーブルを作成してみましょう。
この表により、これら 2 つの一連の値を比較することができます。 そこから、最初の量 (時間) の値が 2、3、...、10 倍と徐々に増加すると、2 番目の量 (距離) の値も 2、3、10 倍ずつ増加することがわかります。 ...、 10回。 したがって、ある量の値が数倍増加すると、別の量の値も同じ量だけ増加し、ある量の値が数回減少すると、別の量の値は同じ量だけ減少します。同じ番号です。
ここで、物質の量とそのコストという 2 つの量が関係する問題を考えてみましょう。
タスク2。 15メートルの生地の価格は120ルーブルです。 表に示されている他のいくつかのメートル数量に対するこの生地のコストを計算します。
この表を使用すると、製品の数量の増加に応じて製品のコストがどのように徐々に増加するかを追跡できます。 この問題にはまったく異なる量 (最初の問題では時間と距離、ここでは商品の量とその価値) が含まれているという事実にもかかわらず、これらの量の挙動には大きな類似点が見出されます。
実際、表の一番上の行には生地のメートル数を示す数字があり、その下には対応する商品数量のコストを表す数字があります。 この表をざっと見ただけでも、上の行と下の行の数値が両方とも増加していることがわかります。 表を詳しく調べて個々の列を比較すると、すべての場合において 2 番目の量の値が最初の量の値と同じ回数だけ増加することがわかります。最初の数量がたとえば 10 倍に増加すると、2 番目の数量の値も 10 倍に増加します。
表を右から左に見ると、数量の表示値が同じ倍だけ減少することがわかります。 この意味で、最初のタスクと 2 番目のタスクの間には無条件の類似性があります。
最初の問題と 2 番目の問題で遭遇した量のペアは次のように呼ばれます。 正比例します。
したがって、2 つの量が、一方の値が数回増加 (減少) すると、もう一方の値も同じ量だけ増加 (減少) するような関係がある場合、そのような量は正比例と呼ばれます。 。
このような量は、互いに正比例の関係にあるとも言われます。
自然界や私たちの周りの生活の中にも同様の量がたくさんあります。 ここではいくつかの例を示します。
1. 時間仕事（1日、2日、3日など）と 収入, この間に日給で受け取ります。
2. 音量均質な材料で作られた物体、および 重さこの物。
§ 131. 直接比例する量の性質。
次の 2 つの量を含む問題を考えてみましょう。 作業時間そして収入。 1 日の収益が 20 ルーブルの場合、2 日間の収益は 40 ルーブルなどになります。特定の日数が特定の収益に対応する表を作成するのが最も便利です。
この表を見ると、両方の量が 10 個の異なる値を取っていることがわかります。 最初の値の各値は、2 番目の値の特定の値に対応します。たとえば、2 日は 40 ルーブルに対応します。 5日は100ルーブルに相当します。 表では、これらの番号が上下に書かれています。
2 つの量が正比例する場合、変化の過程でそれぞれの量が、もう一方の量の増加と同じ回数だけ増加することは、すでにわかっています。 このことからすぐにわかります。最初の量の任意の 2 つの値の比を取ると、それは 2 番目の量の対応する 2 つの値の比に等しくなります。 確かに：
なぜこうなった？ しかし、これらの値は正比例するため、つまり、一方（時間）が 3 倍増加すると、もう一方（収益）も 3 倍増加します。
したがって、次の結論に達しました。最初の量の 2 つの値を取得して互いに割り、次に 2 番目の量の対応する値を 1 で割ると、どちらの場合も次の結果が得られます。同じ番号、つまり同じ関係。 これは、上で書いた 2 つの関係を等号で接続できることを意味します。
これらの関係ではなく他の関係を、その順序ではなく逆の順序で取れば、関係の平等も得られることは疑いの余地がありません。 実際、数量の値を左から右に検討し、3 番目と 9 番目の値を取得します。
60:180 = 1 / 3 .
したがって、次のように書くことができます。
これは次の結論につながります。2 つの量が正比例する場合、最初の量の任意に取得された 2 つの値の比は、2 番目の量の 2 つの対応する値の比に等しいです。
§ 132. 直接比例の公式。
1kgが10.4ルーブルの場合、さまざまな量のお菓子のコストの表を作成してみましょう。
では、このようにしてみましょう。 2 行目の任意の数値を 1 行目の対応する数値で割ります。 例えば：
商では常に同じ数値が得られることがわかります。 したがって、直接比例する量の特定のペアについて、ある量の任意の値を別の量の対応する値で割った商は定数になります (つまり、変化しません)。 この例では、この商は 10.4 です。 この定数は比例係数と呼ばれます。 この場合、それは測定単位、つまり商品 1 キログラムの価格を表します。
比例係数の求め方や計算方法は？ これを行うには、一方の数量の任意の値を取得し、それをもう一方の対応する値で割る必要があります。
この任意の 1 つの量の値を文字で表しましょう で 、および別の量の対応する値 - 文字 バツ 、次に比例係数 (次のように表します) に) 割り算で求めます。
この平等の中で で - 分割可能、 バツ - 除数と に- 商、除算の性質により、被除数は除数に商を乗算した値に等しいため、次のように書くことができます。
y = K バツ
結果として得られる等価性は次のように呼ばれます。 正比例の公式。この式を使用すると、もう一方の量の対応する値と比例係数がわかっていれば、直接比例する量の 1 つの値をいくつでも計算できます。
例。物理学からその重さはわかっています Rあらゆる物体の比重は等しい d 、このボディの体積を掛けたもの V、つまり R = d V.
体積の異なる 5 本の鉄の棒を考えてみましょう。 鉄の比重 (7.8) がわかれば、次の式を使用してこれらのインゴットの重量を計算できます。
R = 7,8 V.
この式と式を比較すると、 で = に バツ 、それがわかります y = R, x = V、および比例係数 に= 7.8。 式は同じで、文字が異なるだけです。
この式を使用して表を作成しましょう。最初のブランクの体積を 8 立方メートルとします。 cm の場合、その重さは 7.8 × 8 = 62.4 (g) となります。 2 番目のブランクの体積は 27 立方メートルです。 cm、重さは7.8×27＝210.6(g)となります。 テーブルは次のようになります。
次の式を使用して、この表に欠けている数値を計算します。 R= d V.
§ 133. 正比例量の問題を解決するその他の方法。
前の段落では、条件に直接比例する量が含まれる問題を解決しました。 この目的のために、最初に直接比例式を導出し、次にこの式を適用しました。 次に、同様の問題を解決する他の 2 つの方法を示します。
前段落の表に示した数値データを使用して問題を作成してみましょう。
タスク。体積8立方メートルのブランク。 cmの重さは62.4 gですが、体積64立方メートルのブランクの重さはどれくらいになりますか? cm？
解決。知られているように、鉄の重さはその体積に比例します。 8立方メートルなら。 cm の重さは 62.4 g、次に 1 cu。 cm の重さは 8 分の 1 になります。
62.4:8 = 7.8 (g)。
体積64立方メートルのブランク。 cm は 1 立方メートルのブランクの 64 倍の重さになります。 cm、つまり
7.8 64 = 499.2(g)。
私たちは、Unity に還元することで問題を解決しました。 この名前の意味は、それを解くために最初の質問で体積単位の重さを求める必要があったという事実によって正当化されます。
2. 比例法。同じ問題を比例法を使って解いてみましょう。
鉄の重量とその体積は正比例する量であるため、ある量（体積）の 2 つの値の比は、別の量（重量）の対応する 2 つの値の比に等しくなります。
（手紙 Rブランクの未知の重量を指定しました）。 ここから：
(G)。
この問題は比例法を使用して解決されました。 これは、それを解決するために、条件に含まれる数値から割合を計算したことを意味します。
§ 134. 値は反比例する。
次の問題を考えてみましょう。「5 人の石工が 168 日で家のレンガの壁を築くことができます。 10人、8人、6人などの石工が同じ作業を何日で完了できるかを調べてください。」
5 人の石工が 168 日で家の壁を建てた場合、平均して 10 人の石工は 5 人の 2 倍の仕事をするため、(労働生産性が同じであれば) 10 人の石工は半分の時間でそれを行うことができます。
労働者数と労働時間の変化を監視できる表を作成してみましょう。
たとえば、ワーカー 6 人でかかる日数を調べるには、まずワーカー 1 人でかかる日数 (168 5 = 840)、次にワーカー 6 人でかかる日数 (840: 6 = 140) を計算する必要があります。 この表を見ると、両方の量が 6 つの異なる値を取っていることがわかります。 最初の数量の各値は特定の値に対応します。 2 番目の値は、たとえば 10 は 84 に対応し、数値 8 は数値 105 に対応します。
両方の量の値を左から右に考えると、上の量の値が増加し、下の量の値が減少していることがわかります。 増減には次の法則が適用されます。労働者数の値は、費やした労働時間の値が減少するのと同じ倍だけ増加します。 この考え方は、次のようにさらに簡単に表現できます。つまり、より多くの労働者が何らかのタスクに従事するほど、特定の仕事を完了するのに必要な時間が短縮されます。 この問題で見つかった 2 つの量は次のように呼ばれます。 反比例の。
したがって、2 つの量が、一方の値が数回増加 (減少) すると、もう一方の値が同じ量だけ減少 (増加) するような関係がある場合、そのような量は反比例と呼ばれます。 。
人生には似たような量がたくさんあります。 例を挙げてみましょう。
1. 150ルーブルの場合。 数キログラムのお菓子を購入する必要がある場合、お菓子の数は 1 キログラムの価格によって異なります。 価格が高ければ高いほど、そのお金で買える商品は少なくなります。 これは表からわかります。
キャンディーの価格が数倍に上昇すると、150ルーブルで購入できるキャンディーのキロ数は同じ量だけ減少します。 この場合、2 つの量 (製品の重量とその価格) は反比例します。
2. 2 つの都市間の距離が 1,200 km の場合、移動速度に応じて異なる時間で移動できます。 存在する 違う方法交通手段：徒歩、馬、自転車、船、車、電車、飛行機。 速度が低いほど、移動に時間がかかります。 これは表からわかります。
速度を数倍上げると、移動時間は同じだけ減少します。 これは、このような条件下では、速度と時間が反比例する量であることを意味します。
§ 135. 反比例量の性質。
前の段落で説明した 2 番目の例を見てみましょう。 そこでは速度と時間という 2 つの量を扱いました。 これらの量の値の表を左から右に見ると、最初の量（速度）の値が増加し、2 番目の量（時間）の値が減少していることがわかります。 速度は時間が減少するのと同じ量だけ増加します。ある量のいくつかの値の比を書いた場合、それが別の量の対応する値の比と等しくないことを理解するのは難しくありません。 実際、上側の値の 4 番目の値と 7 番目の値の比率 (40:80) を取ると、下側の値の 4 番目と 7 番目の値の比率 (30:80) とは等しくなくなります。 15）。 次のように書くことができます:
40:80 は 30:15、または 40:80 =/=30:15 と等しくありません。
しかし、これらの関係のうちの 1 つの代わりに反対の関係を取ると、平等が得られます。つまり、これらの関係から比例を作り出すことが可能になります。 例えば：
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
上記に基づいて、次の結論を導くことができます。2 つの量が反比例する場合、1 つの量の任意に取得された 2 つの値の比は、別の量の対応する値の逆比に等しいです。
§ 136. 反比例の式。
次の問題を考えてみましょう。「サイズとグレードの異なる絹織物が 6 枚あります。 すべての作品の価格は同じです。 1枚に100メートルの生地が含まれており、価格は20ルーブルです。 メートルあたり これらの生地の 1 メートルの価格がそれぞれ 25、40、50、80、100 ルーブルだとすると、他の 5 つの作品はそれぞれ何メートルになりますか?」 この問題を解決するには、テーブルを作成しましょう。
この表の一番上の行にある空のセルを埋める必要があります。 まず、2 番目の部分に何メートルがあるかを調べてみましょう。 これは次のようにして実行できます。 問題の状況から、すべてのピースのコストが同じであることがわかります。 最初の部分の価格を決めるのは簡単です。100 メートルの長さがあり、各メートルの価格は 20 ルーブルです。つまり、最初の絹の部分は 2,000 ルーブルの価値があります。 2 番目の絹には同量のルーブルが含まれているため、2,000 ルーブルを分割します。 1 メートル、つまり 25 の価格の場合、2 番目のピースのサイズがわかります: 2,000: 25 = 80 (m)。 同様に、他のすべての部分のサイズを見つけます。 テーブルは次のようになります。
メーター数と価格の間に反比例の関係があることが簡単にわかります。
必要な計算を自分で行うと、毎回 2,000 という数値を 1 メートルの価格で割る必要があることがわかりますが、逆に、メートル単位のピースのサイズに 1 メートルの価格を掛け始めると、 , 常に 2,000 という数字が表示されますが、1 個あたり 2,000 ルーブルの費用がかかるため、これは待つ必要がありました。
ここから、次の結論を導き出すことができます。反比例する量の特定のペアについて、ある量の任意の値と別の量の対応する値との積は定数です (つまり、変化しません)。
この問題では、この積は 2,000 に相当します。移動速度と、ある都市から別の都市に移動するのに必要な時間について説明した前の問題で、その問題の定数 (1,200) も存在することを確認してください。
すべてを考慮すると、反比例の公式を導き出すのは簡単です。 ある量の特定の値を文字で表しましょう バツ 、別の量の対応する値は文字で表されます。 で 。 それでは、上記を踏まえた上での作業となります バツ の上 で ある定数値と等しくなければなりません。これを文字で表します。 に、つまり
ｘ ｙ = に.
この平等の中で バツ - 被乗数 で - 乗数と K- 仕事。 乗算の性質によれば、乗数は積を被乗数で割ったものに等しくなります。 手段、
これが反比例の公式です。 これを使用すると、反比例する量の一方の値を任意の数で計算でき、もう一方の値と定数がわかります。 に.
別の問題を考えてみましょう。「あるエッセイの著者は、自分の本が通常の形式であれば 96 ページになるが、ポケット形式であれば 300 ページになると計算しました。 彼はやろうとした さまざまなバリエーション、96ページから始めて、その後、1ページあたり2,500文字を書きました。 それから彼は、下の表に示されているページ番号を取得し、そのページに何文字あるかを再度計算しました。」
本が 100 ページある場合、1 ページに何文字入るかを計算してみましょう。
2,500 96 = 240,000 なので、本全体では 240,000 文字になります。
これを考慮して、反比例の公式を使用します（ で - ページ上の文字数、 バツ - ページ数）：
私たちの例では に= 240,000 したがって
つまり、このページには 2,400 文字あります。
同様に、本が 120 ページある場合、ページ上の文字数は次のようになります。
テーブルは次のようになります。
残りのセルは自分で入力します。
§ 137. 反比例量の問題を解決するその他の方法。
前の段落では、条件に反比例の量が含まれる問題を解決しました。 まず反比例の公式を導出し、次にこの公式を適用しました。 このような問題に対する他の 2 つの解決策を次に示します。
1. 単一に還元する方法。
タスク。 5 人のターナーが 16 日間である程度の作業を行うことができます。 8 人のターナーがこの作業を完了するには何日かかりますか?
解決。ターナーの数と労働時間の間には反比例の関係があります。 5 人のターナーが 16 日でその仕事を行う場合、1 人はこれに 5 倍の時間が必要になります。
5人のターナーが16日間で仕事を完了します。
1 ターナーでは 16 5 = 80 日で完成します。
問題は、8 人のターンナーがその仕事を完了するのに何日かかるかを尋ねます。 明らかに、彼らは 1 人のターナーよりも 8 倍早く作業に対処します。
80：8＝10（日）となります。
これは、問題を単一に還元することによる問題の解決策です。 ここではまず、1 人の作業者が作業を完了するのに必要な時間を決定する必要がありました。
2. 比例法。同じ問題を 2 番目の方法で解決してみましょう。
労働者の数と労働時間の間には反比例の関係があるので、次のように書くことができます: 5 人のターナーの作業時間 新しいターナーの数 (8) 8 人のターナーの作業時間 以前のターナーの数 (5)手紙による必要な作業期間 バツ そして、言葉で表現された比率に必要な数字を代入します。
同じ問題は比例法によって解決されます。 これを解決するには、問題文に含まれる数値から比率を作成する必要がありました。
注記。前の段落では、正比例と反比例の問題を検討しました。 自然と生命は、量の正比例および反比例の依存関係の例を数多く示しています。 ただし、これら 2 種類の依存関係は最も単純なものにすぎないことに注意してください。 これらに加えて、数量間にはさらに複雑な依存関係があります。 さらに、2 つの量が同時に増加した場合、それらの間には必ず直接比例関係があると考えるべきではありません。 これは真実とは程遠いです。 たとえば、次の料金 鉄道距離に応じて料金は増加します。遠くに移動するほど料金も高くなりますが、これは料金が距離に比例するという意味ではありません。