接線間の角度は等しいです。 円の接線。 角度の計算

円の接線。 親愛なる友人！ 数学における統一国家試験の基本課題には、条件が接線を扱い、角度の計算の問題を提起する一連の問題が含まれています。 これらのタスクは非常に簡単です。 ちょっとした理論:

円の接線とは何ですか?

接線の基本的なプロパティを 1 つ覚えておくことが重要です。

提示された問題では、角度に関連するさらに 2 つのプロパティが使用されます。

1. 四角形の角度の合計は 360 0 です、詳細。

2. 金額 鋭い角直角三角形の90 0です。

タスクを考えてみましょう。

27879. 端から端まで あそして B 62 0 接線にある円の円弧が描画されます 交流。そして 紀元前。 角度を見つける ACB。 度数で答えてください。

円弧 AB の度数は 62 度に相当する、つまり角度 AOB は 62 度に等しいと言われています。 0 .

最初の方法。

四角形の角度の合計は 360°であることが知られています。

2番目の方法。

三角形 ABC で角 ABC と BAC を見つけることができます。 接線プロパティを使用してみましょう。

BC は接線であるため、角度 OBC は 90 0 に等しくなります。これは次のことを意味します。

同じく

で 二等辺三角形 AOB:

手段

三角形の角度の和に関する定理によると、次のようになります。

答え: 118 0

27880. 接線 C.A.そして CB円に対して角度を形成する ACB、122 0に等しい。 マイナーアークの大きさを求める AB、接点によって収縮します。 度数で答えてください。

このタスクは前のタスクの逆です。 角度AOBを求める必要があります。

BC と AC は正接であるため、正接のプロパティにより次のようになります。

四角形の角度の合計は 360 であることが知られています。 0 .

四角形 OASV では 3 つの角度がわかっており、4 番目の角度を見つけることができます。

答え: 58

27882. 角度 アコは 28 0 に等しく、ここで ○- 円の中心。 彼の側 C.A.サークルに触れます。 マイナーアークの大きさを求める ABこの角度内に含まれる円。 度数で答えてください。

円弧の度数の値は角度 AOS に対応します。 つまり、問題は直角三角形 OCA の角 AOC を求めることになります。 AC が接線であり、接線と接点に描かれた半径との間の角度が 90 度であるため、三角形は長方形になります。

直角三角形の性質によれば、その鋭角の合計は 90 0 に等しく、これは次のことを意味します。

答え: 62

27883. 角度を見つける アコ彼の側なら C.A.円に触れます ○- 円の中心と主円弧 広告この角度内に含まれる円は 116 0 に等しくなります。 度数で答えてください。

アークと言われているのは、 広告角 ASO で囲まれた円は 116 0 に等しく、つまり角 DOA は 116 0 に等しい。 三角形 OCA は長方形です。

角度 AOC と DOA は隣接しています。つまり、それらの合計は 180 0 に等しく、これは次のことを意味します。

必要な角度は次のとおりです。

答え: 26

\[(\Large(\text(中心角と内接角)))\]

定義

中心角は、頂点が円の中心にある角度です。

内接角とは、頂点が円上にある角度のことです。

円弧の度数は、円弧の範囲を定める中心角の度数です。

定理

内接角の度数は、それが置かれている円弧の度数の半分に等しくなります。

証拠

証明は 2 段階で実行します。まず、内接角の辺の 1 つに直径が含まれる場合のステートメントの妥当性を証明します。 点 \(B\) を内接角 \(ABC\) の頂点、 \(BC\) を円の直径とする：

三角形 \(AOB\) は二等辺、 \(AO = OB\) 、 \(\angle AOC\) は外形です。 \(\角度 AOC = \角度 OAB + \角度 ABO = 2\角度 ABC\)、 どこ \(\角度 ABC = 0.5\cdot\角度 AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

ここで、任意の内接角 \(ABC\) を考えてみましょう。 内接角の頂点から円 \(BD\) の直径を描いてみましょう。 次の 2 つのケースが考えられます。

1) 直径は角度を 2 つの角度 \(\angle ABD, \angle CBD\) に分割します (上記で証明されたように、それぞれの定理が成り立ちます。したがって、これらの合計である元の角度にも成り立ちます) 2 であるため、それらが置かれる円弧の合計の半分に等しくなります。つまり、その上に置かれる円弧の半分に等しくなります)。 米。 1.

2) 直径によって角が 2 つの角に分割されなかった場合、さらに 2 つの新しい内接角 \(\angle ABD, \angle CBD\) が得られ、その辺には直径が含まれます。したがって、定理はそれらに対して当てはまります。元の角度にも当てはまります（これら 2 つの角度の差に等しい、つまり、それらが載っている円弧の差の半分、つまり、その上に載っている円弧の半分に等しい） 。 米。 2.

結果

1. 同じ円弧を成す内接角は等しい。

2. 半円の内接角は直角です。

3. 内接角は、同じ円弧の範囲を定める中心角の半分に等しい。

\[(\Large(\text(円の接線)))\]

定義

3種類あります 相対位置直線と円：

1) 直線 \(a\) は円と 2 点で交差します。 このような線を割線と呼びます。 この場合、円の中心から直線までの距離 \(d\) は、円の半径 \(R\) より小さくなります (図 3)。

2) 直線 \(b\) は円と 1 点で交差します。 このような線は接線と呼ばれ、それらの共通点 \(B\) は接点と呼ばれます。 この場合 \(d=R\) になります (図 4)。

定理

1. 円の接線は、接点に描かれた半径に対して垂直です。

2. 線が円の半径の端を通過し、この半径に垂直である場合、その線は円に接しています。

結果

1 つの点から円に描かれた接線は等しいです。

証拠

点 \(K\) から円に 2 つの接線 \(KA\) と \(KB\) を描きます。

これは、\(OA\perp KA, OB\perp KB\) が半径のようなものであることを意味します。 直角三角形\(\triangle KAO\) と \(\triangle KBO\) は脚と斜辺が等しいため、 \(KA=KB\) となります。

結果

円 \(O\) の中心は、同じ点 \(K\) から引いた 2 つの接線によって形成される角 \(AKB\) の二等分線上にあります。

\[(\Large(\text(角度に関する定理)))\]

正割線間の角度に関する定理

同じ点から引かれた 2 つの割線間の角度は、それらが切断する大きい円弧と小さい円弧の度数の半差に等しい。

証拠

図に示すように、\(M\) を 2 つの割線を引く点とします。

それを見せてみましょう \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) は三角形 \(MAD\) の外角です。 \(\角度 DAB = \角度 DMB + \角度 MDA\)、 どこ \(\角度 DMB = \角度 DAB - \角度 MDA\)ですが、角度 \(\angle DAB\) と \(\angle MDA\) は内接します。 \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)、それは証明する必要があったものでした。

交差する弦間の角度に関する定理

2 つの交差する弦の間の角度は、それらが切断する円弧の度数の合計の半分に等しくなります。 \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

証拠

\(\angle BMA = \angle CMD\) を垂直にします。

三角形 \(AMD\) より: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

しかし \(\角度 AMD = 180^\circ - \角度 CMD\)、そこから次のように結論付けられます。 \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\笑顔\over(CD))。\]

弦と接線との間の角度に関する定理

接線と、その接点を通過する弦との間の角度は、弦によって定められる円弧の度数の半分に等しくなります。

証拠

直線 \(a\) が点 \(A\) で円に接するとします。 \(AB\) はこの円の弦、 \(O\) はその中心です。 \(OB\) を含む直線が点 \(M\) で \(a\) と交差します。 それを証明しましょう \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) と表します。 \(OA\) と \(OB\) は半径なので、 \(OA = OB\) と \(\角度 OBA = \角度 OAB = \アルファ\)。 したがって、 \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) は接点に描かれた半径であるため、 \(OA\perp a\)、つまり \(\angle OAM = 90^\circ\) となります。 \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

等しい弦によって延長される円弧に関する定理

等しい弦は、半円より小さい等しい円弧の範囲を定めます。

逆も同様です。等しい円弧は等しい弦によって範囲を定められます。

証拠

1) \(AB=CD\) とします。 円弧の小さい半円であることを証明しましょう。

したがって、3 つの辺では \(\angle AOB=\angle COD\) となります。 しかし理由は \(\角度 AOB, \角度 COD\) - 中心角、円弧上に静止 \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)したがって、 \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) もし \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)、 それ \(\triangle AOB=\triangle COD\) 2 つの辺 \(AO=BO=CO=DO\) とそれらの間の角度 \(\angle AOB=\angle COD\) 。 したがって、 \(AB=CD\) となります。

定理

半径が弦を二等分する場合、半径は弦に対して垂直になります。

逆も同様です。半径が弦に垂直な場合、交差点で弦を二等分します。

証拠

1) \(AN=NB\) とします。 \(OQ\perp AB\) であることを証明してみましょう。

\(\triangle AOB\) を考えてみましょう。これは二等辺です。 \(OA=OB\) – 円の半径。 なぜなら \(ON\) は底辺に描かれた中央値であり、高さでもあるため、 \(ON\perp AB\) となります。

2) \(OQ\perp AB\) とします。 \(AN=NB\) を証明しましょう。

同様に、\(\triangle AOB\) は二等辺、\(ON\) は高さであるため、\(ON\) は中央値となります。 したがって、 \(AN=NB\) となります。

\[(\Large(\text(セグメントの長さに関連する定理)))\]

コードセグメントの積に関する定理

円の 2 つの弦が交差する場合、一方の弦のセグメントの積は、もう一方の弦のセグメントの積と等しくなります。

証拠

弦 \(AB\) と \(CD\) が点 \(E\) で交差するとします。

三角形 \(ADE\) と \(CBE\) について考えてみましょう。 これらの三角形では、角度 \(1\) と \(2\) は同じ円弧 \(BD\) に内接して載っているので等しく、角度 \(3\) と \(4\) も等しいです。垂直として。 三角形 \(ADE\) と \(CBE\) は似ています (三角形の類似性の最初の基準に基づく)。

それから \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), そこから \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) となります。

タンジェントとセカントの定理

接線分の 2 乗は、割線とその外側部分の積に等しくなります。

証拠

接線が点 \(M\) を通過し、点 \(A\) で円に触れます。 割線が点 \(M\) を通過し、点 \(B\) と \(C\) で円と交差すると、 \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

三角形 \(MBA\) と \(MCA\) を考えてみましょう: \(\angle M\) が一般的です。 \(\角度 BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\)。 接線と割線の間の角度に関する定理によると、 \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\)。 したがって、三角形 \(MBA\) と \(MCA\) は 2 つの角度で相似です。

三角形 \(MBA\) と \(MCA\) の相似性から、次のことがわかります。 \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)、これは \(MB\cdot MC = MA^2\) と同等です。

結果

点 \(O\) から引かれた割線の外部部分による積は、点 \(O\) から引かれた割線の選択には依存しません。

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