Kesirli kuvvetlerle denklemler nasıl çözülür? Üstel denklemler. Çözümler

Örnekler:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Herhangi bir üstel denklemi çözerken, onu \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine getirmeye çalışırız ve ardından üslerin eşitliğine geçiş yaparız, yani:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Örneğin:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Önemli! Aynı mantıktan böyle bir geçiş için iki gereklilik ortaya çıkar:
- sayı sol ve sağ aynı olmalıdır;
- soldaki ve sağdaki dereceler “saf” olmalıdır yani çarpma, bölme vs. olmamalıdır.

Örneğin:

Denklemi \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine indirgemek için kullanılırlar.

Örnek . Üstel denklemi çözün \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)\)
Çözüm:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		\(27 = 3^3\) olduğunu biliyoruz. Bunu dikkate alarak denklemi dönüştürüyoruz.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Kökünün \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) özelliğinden şunu elde ederiz: \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Daha sonra, derece \((a^b)^c=a^(bc)\ özelliğini kullanarak \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ elde ederiz. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ayrıca \(a^b·a^c=a^(b+c)\) olduğunu da biliyoruz. Bunu sol tarafa uyguladığımızda şunu elde ederiz: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Şimdi şunu unutmayın: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Bu formül şu durumlarda da kullanılabilir: ters taraf: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sonra \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		\((a^b)^c=a^(bc)\) özelliğini sağ tarafa uygulayarak şunu elde ederiz: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Ve artık tabanlarımız eşit ve hiçbir engelleyici katsayı vs. yok. Böylece geçiş yapabiliriz.
		Örnek . Üstel denklemi çözün \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Çözüm: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Yine \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) kuvvet özelliğini ters yönde kullanırız. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Şimdi şunu hatırlayın: \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Derecelerin özelliklerini kullanarak şunları dönüştürürüz: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Denkleme dikkatlice bakıyoruz ve \(t=2^x\) değişiminin kendisini önerdiğini görüyoruz. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Ancak \(t\) değerlerini bulduk ve \(x\)'e ihtiyacımız var. Ters değiştirme yaparak X'lere dönüyoruz. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) İkinci denklemi negatif kuvvet özelliğini kullanarak dönüştürelim... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ve cevaba kadar karar veriyoruz. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Cevap : \(-1; 1\). Soru hala devam ediyor: Hangi yöntemin ne zaman kullanılacağı nasıl anlaşılır? Bu deneyimle birlikte gelir. Alıncaya kadar güle güle kullan genel öneri karmaşık sorunları çözmek için - "ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın." Yani, denklemi prensipte nasıl dönüştürebileceğinizi arayın ve bunu yapmaya çalışın - ya olursa? Önemli olan yalnızca matematiksel temelli dönüşümler yapmaktır. Çözümü olmayan üstel denklemler Öğrencilerin sıklıkla kafasını karıştıran iki duruma daha bakalım: - pozitif bir sayının üssü sıfıra eşittir, örneğin, \(2^x=0\); - pozitif bir sayı, negatif bir sayının üssüne eşittir; örneğin, \(2^x=-4\). Kaba kuvvetle çözmeye çalışalım. Eğer x pozitif bir sayıysa, x büyüdükçe \(2^x\)'in tüm kuvveti yalnızca artacaktır: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Ayrıca tarafından. Negatif X'ler kaldı. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ özelliğini hatırlayarak şunu kontrol ederiz: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Her adımda sayı küçülse de hiçbir zaman sıfıra ulaşmayacak. Yani negatif derece bizi kurtarmadı. Mantıklı bir sonuca varıyoruz: Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayı olarak kalacaktır. Dolayısıyla yukarıdaki her iki denklemin de çözümü yoktur. Farklı tabanlara sahip üstel denklemler Uygulamada bazen birbirine indirgenemeyen farklı tabanlara sahip, aynı zamanda aynı üslere sahip üstel denklemlerle karşılaşmaktayız. Şuna benzerler: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), burada \(a\) ve \(b\) pozitif sayılardır. Örneğin: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Bu tür denklemler, denklemin herhangi bir tarafına (genellikle sağ tarafa, yani \(b^(f(x))\'e bölünür) bölünerek kolaylıkla çözülebilir. Pozitif bir sayı olduğu için bu şekilde bölebilirsiniz. herhangi bir kuvvete göre pozitiftir (yani sıfıra bölmeyiz) Şunu elde ederiz: \(\frac(a^(f(x))(b^(f(x))))\) \(=1\) Örnek . Üstel denklemi çözün \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Çözüm: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Burada beşi üçe veya tam tersini (en azından kullanmadan) üçe çeviremeyeceğiz. Bu, \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine gelemeyeceğimiz anlamına gelir. Ancak göstergeler aynı. Denklemi sağ tarafa yani \(3^(x+7)\)'ye bölelim (bunu yapabiliriz çünkü üçün hiçbir derecede sıfır olmayacağını biliyoruz). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Şimdi \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) özelliğini hatırlayın ve onu soldan ters yönde kullanın. Sağda sadece kesri azaltıyoruz. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Görünüşe göre işler daha iyiye gitmedi. Ancak kuvvetin bir özelliğini daha unutmayın: \(a^0=1\), diğer bir deyişle: "herhangi bir sayının sıfır üssü \(1\)'e eşittir." Bunun tersi de doğrudur: "bir, herhangi bir sayının sıfır üssü olarak temsil edilebilir." Sağdaki tabanı soldakiyle aynı yaparak bundan faydalanalım. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) İşte! Üslerden kurtulalım. Cevap yazıyoruz. Cevap : \(-7\). Bazen üslü sayıların "aynılığı" açık değildir ancak üslü sayıların özelliklerinin ustaca kullanılması bu sorunu çözer. Örnek . Üstel denklemi çözün \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Çözüm: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Denklem çok üzücü görünüyor... Tabanlar aynı sayıya indirgenemediği gibi (yedi hiçbir şekilde \(\frac(1)(3)\)'a eşit olmayacaktır) aynı zamanda üsler de farklıdır. .. Ancak sol üslü ikiliyi kullanalım. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) \((a^b)^c=a^(b·c)\) özelliğini hatırlayarak soldan dönüşüm yaparız: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Şimdi, negatif derece \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) özelliğini hatırlayarak, sağdan dönüşüm yaparız: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Şükürler olsun! Göstergeler aynı! Zaten aşina olduğumuz şemaya göre hareket ederek cevaptan önce çözüyoruz. Cevap : \(2\).

Bu ders üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için tasarlanmıştır. Her zaman olduğu gibi tanımla ve basit örneklerle başlayalım.

Bu dersi okuyorsanız, en azından en basit denklemler (doğrusal ve ikinci dereceden denklemler) hakkında asgari düzeyde bir anlayışa sahip olduğunuzdan şüpheleniyorum: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, vb. Şimdi ele alınacak konuya “takılıp kalmamak” için bu tür kurguları çözebilmek mutlaka gereklidir.

Yani üstel denklemler. Size birkaç örnek vereyim:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Bazıları size daha karmaşık görünebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ama hepsinin ortak bir yanı var önemli işaret: onların gösterimi $f\left(x \right)=((a)^(x))$ üstel fonksiyonunu içerir. O halde tanımı tanıtalım:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir; $((a)^(x))$ biçimindeki ifade. Belirtilen fonksiyona ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları (polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar vb.) içerebilir.

Tamam ozaman. Tanımı çözdük. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalıkları nasıl çözeceğiz? Cevap hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: Birçok öğrenciye ders verme deneyimime dayanarak, çoğunun üstel denklemleri aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay bulduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haber de var: Bazen her türlü ders kitabı ve sınav problemlerinin yazarları "ilham"dan etkilenirler ve uyuşturucuyla iltihaplanan beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, bunları çözmek sadece öğrenciler için değil, hatta birçok öğretmen için bile sorunlu hale gelir. bu tür sorunlara takılıp kalın.

Ancak üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki 4 sayısını elde etmek için 2 sayısını hangi kuvvete yükseltmelisiniz? Muhtemelen ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Teşekkürler Kaptan, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebilirdi. :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada durum biraz daha karmaşık. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$ çarpım tablosunun olduğunu biliyor. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$'ın aslında negatif kuvvetlerin tanımı olduğundan şüpheleniyor ($((a)^(-n))= \ formülüne benzer) frac(1)(((a)^(n))))$).

Son olarak, yalnızca seçilmiş birkaç kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini ve aşağıdaki sonucu verebileceğini fark ediyor:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece orijinal denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ancak bu zaten tamamen çözülebilir! Denklemin solunda üstel fonksiyon var, denklemin sağında üstel fonksiyon var, bunların dışında hiçbir şey yok. Bu nedenle, üsleri "bir kenara atabiliriz" ve göstergeleri aptalca eşitleyebiliriz:

Her öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satır halinde:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda neler olduğunu anlamadıysanız mutlaka konuya dönün “ doğrusal denklemler"ve tekrarla. Çünkü bu konuyu net bir şekilde anlamadan üstel denklemlerle uğraşmak için henüz çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, dolayısıyla orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Daha sonra bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş iki tane alacağız. Çünkü bir Pokemon soğukkanlılığıyla üçün önündeki eksi işaretini bu üçün kuvvetine gönderdik. Ama bunu yapamazsın. Ve bu yüzden. Üçün farklı güçlerine bir göz atın:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2))))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bu tableti derlerken hiçbir şeyi çarpıtmadım: Pozitif kuvvetlere, negatif kuvvetlere ve hatta kesirli olanlara baktım... peki, burada en az bir negatif sayı nerede? O gitti! Ve olamaz, çünkü $y=((a)^(x))$ üstel fonksiyonu öncelikle her zaman yalnızca pozitif değerler(biri ne kadar çarparsanız çarpın veya ikiye bölerseniz bölün, yine de pozitif bir sayı olacaktır) ve ikinci olarak, böyle bir fonksiyonun tabanı - $a$ sayısı - tanımı gereği pozitif bir sayıdır!

Peki $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Ama mümkün değil: Kök yok. Ve bu anlamda üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer; kökleri de olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı diskriminant tarafından belirlenirse (pozitif diskriminant - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde her şey eşit işaretin sağındaki şeye bağlıdır.

Böylece, temel sonucu formüle edelim: $((a)^(x))=b$ formundaki en basit üstel denklemin kökü ancak ve ancak $b>0$ olduğunda olur. Bu basit gerçeği bilerek, size önerilen denklemin köklerinin olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. Bunu çözmeye değer mi yoksa hemen köklerin olmadığını yazmaya değer mi?

Bu bilgi, daha karmaşık sorunları çözmemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. Şimdilik bu kadar şarkı sözü yeter; üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel Denklemler Nasıl Çözülür?

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Daha önce kullandığımız “saf” algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının kuvveti olarak temsil etmek gerekir:

Ayrıca $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, halihazırda çözülebilen yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\bit(hizala)\]

Ve işin tuhafı, bu plan vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki geri kalan %10 ne olacak? Geriye kalan %10 ise biraz "şizofrenik" üstel denklemlerdir:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Peki, 3'ü elde etmek için 2'yi hangi kuvvete yükseltmeniz gerekiyor? Birinci? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniye? İkisi de yok: $((2)^(2))=4$ çok fazla. O halde hangisi?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: Bu gibi durumlarda, "güzel" bir şekilde çözmenin mümkün olmadığı durumlarda, "ağır top" devreye girer - logaritma. Size logaritma kullanılarak herhangi bir pozitif sayının diğer herhangi bir sayının kuvveti olarak temsil edilebileceğini hatırlatmama izin verin. pozitif sayı(biri hariç):

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde her zaman uyarıyorum: Bu formül (ki bu aynı zamanda temel logaritmik özdeşliktir veya dilerseniz logaritmanın tanımıdır) çok uzun süre aklınızı kurcalayacak ve çoğu zaman "ortaya çıkacaktır". beklenmedik yerler. Peki, o ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $b=2$'ın sağ tarafı azaltmak istediğimiz üstel fonksiyonun tam tabanı olduğunu varsayarsak, aşağıdakini elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\bit(hizala)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, çoğu kişi böyle bir cevap konusunda şüpheye düşer ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlar: Ya bir yerde bir hata ortaya çıkarsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar tamamen tipik bir durumdur. O yüzden alışın. :)

Şimdi kalan iki denklemi benzetme yoluyla çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Logaritmanın argümanına bir çarpan ekledik. Ancak hiç kimse bizi bu faktörü tabana eklemekten alıkoyamıyor:

Üstelik her üç seçenek de doğru; çok basit farklı şekiller aynı numaranın kayıtları. Bu çözümde hangisini seçip yazacağınıza karar vermek size kalmıştır.

Böylece, $((a)^(x))=b$ formundaki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik; burada $a$ ve $b$ sayıları kesinlikle pozitiftir. Fakat sert gerçeği dünyamız o kadar benzer ki basit görevlerçok çok nadir karşılaşacaksınız. Çoğu zaman şöyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Peki bunu nasıl çözebiliriz? Bu hiç çözülebilir mi? Eğer öyleyse, nasıl?

Panik yapma. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde daha önce ele aldığımız basit formüllere indirgenir. Cebir kursundan birkaç püf noktasını hatırlamanız yeterli. Ve elbette derecelerle çalışmanın kuralları yoktur. Şimdi size tüm bunları anlatacağım. :)

Üstel Denklemleri Dönüştürme

Hatırlanması gereken ilk şey: herhangi bir üstel denklem, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere - daha önce ele aldığımız ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemlere - indirgenmelidir. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şuna benzer:

1. Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Garip şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürme" denen saçmalık;
3. Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer başka bir biçimin en basit ifadelerini alın. Dahası, bir başlangıç ​​denklemi aynı anda bu tür birkaç ifadeyi verebilir.

İlk noktada her şey açık; kedim bile denklemi bir kağıda yazabilir. Üçüncü nokta da az çok açık görünüyor; yukarıda bu tür bir sürü denklemi zaten çözdük.

Peki ya ikinci nokta? Ne tür dönüşümler? Neyi neye dönüştürmek? Ve nasıl?

Peki, öğrenelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

1. Denklem aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formül şunları içerir üstel fonksiyonlar farklı nedenlerle. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

İlk türdeki denklemlerle başlayalım - çözülmesi en kolay olanlardır. Ve bunları çözerken, istikrarlı ifadelerin vurgulanması gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Kararlı bir ifadeyi izole etme

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ancak tüm bu kuvvetler, $x$ değişkeninin diğer sayılarla basit toplamlarıdır. Bu nedenle derecelerle çalışmanın kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x))):((a)^(y))=\frac(((a)^(x))))(((a )^(y))). \\\bit(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, toplama kuvvetlerin çarpımına, çıkarma işlemi de kolaylıkla bölme işlemine dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin derecelerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\son(hizala)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazalım ve ardından tüm terimleri sol tarafta toplayalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onbir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\bit(hizala)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir - hadi bunu parantezden çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\bit(hizala)\]

Denklemin her iki tarafını da $-\frac(11)(4)$ kesrine bölmek kalıyor; esas olarak ters çevrilmiş kesirle çarpın - $-\frac(4)(11)$. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Orijinal denklemi en basit haline indirgedik ve nihai cevaba ulaştık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $((4)^(x))$ ortak faktörünü keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı bir ifadedir. Yeni bir değişken olarak belirlenebilir veya basitçe dikkatlice ifade edip cevaba ulaşabilirsiniz. Her durumda çözümün temel prensibi şu şekildedir:

Orijinal denklemde, tüm üstel fonksiyonlardan kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böylesine kararlı bir ifadeyi izole etmenize olanak sağlıyor.

Ancak kötü haber şu ki, bu ifadeler oldukça yanıltıcı olabilir ve tanımlanması oldukça zor olabilir. O halde bir soruna daha bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki artık birisinin şu sorusu olacaktır: “Paşa, kafan mı karıştı? Burada farklı tabanlar var – 5 ve 0,2.” Ama gücü 0,2 tabanına dönüştürmeyi deneyelim. Örneğin ondalık kesri normal kesre indirerek kurtulalım:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((\left(\frac(1)(5) \sağ))^(-\left(x+1 \sağ)) )\]

Gördüğünüz gibi paydada da olsa 5 sayısı hala görünüyordu. Aynı zamanda gösterge negatif olarak yeniden yazıldı. Şimdi bunlardan birini hatırlayalım en önemli kurallar derecelerle çalışın:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz yalan söylüyordum. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şu şekilde yazılması gerekiyordu:

\[(((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan hiçbir şey bizi sadece kesirlerle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))=((\left(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\left(x+1 \sağ))))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda bir gücü başka bir güce yükseltebilmeniz gerekiyor (hatırlatayım: bu durumda göstergeler birbirine eklenir). Ancak kesirleri "tersine çevirmem" gerekmedi - belki bu bazıları için daha kolay olacaktır. :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\bit(hizala)\]

Böylece orijinal denklemin daha önce düşünülenden daha basit bir şekilde çözülebileceği ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine indirgenmiştir. Geriye sadece şunu hatırlamak kalıyor: $1=((5)^(0))$, buradan şunu alıyoruz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu! Son cevabı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir tekniğe dikkat çekmek isterim:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık sayılar, bunları normal olanlara dönüştürün. Bu, aynı derece tabanlarını görmenize ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenize olanak tanır.

Şimdi farklı tabanların bulunduğu ve hiçbir şekilde kuvvetler kullanılarak birbirine indirgenemeyen daha karmaşık denklemlere geçelim.

Degrees Özelliğini Kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz daha olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\bit(hizala)\]

Burada asıl zorluk neye ve neye dayanarak verileceğinin net olmamasıdır. Kararlı ifadeler nerede? Aynı gerekçeler nerede? Bunların hiçbiri yok.

Ama farklı bir yoldan gitmeyi deneyelim. Eğer hazır özdeş bazlar yoksa mevcut bazları çarpanlara ayırarak bulmayı deneyebilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x))). \\\bit(hizala)\]

Ancak tam tersini de yapabilirsiniz - 7 ve 3 sayılarından 21 sayısını yapın. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\bit(hizala)\]

Bu kadar! Üssü çarpımın dışına çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denkleme bakalım. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bu durumda kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabiliyorsa, onu azalttığınızdan emin olun. Çoğu zaman, halihazırda çalışabileceğiniz ilginç nedenler ortaya çıkacaktır.

Ne yazık ki bizim için özel bir şey ortaya çıkmadı. Ancak çarpımda soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size şunu hatırlatmama izin verin: göstergedeki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Peki, orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\bit(hizala)\]

İkinci satırda basitçe gerçekleştirdik genel gösterge$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) kuralına göre parantez dışındaki çarpımdan $ ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarptık.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların bir şekilde benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, çok açık: bunlar aynı sayıdaki kuvvetler! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2)) \\\bit(hizala)\]

Böylece denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\sağ))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\left(x-1 \sağ))))=((\left(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Bu durumda, sağ tarafta aynı tabana sahip bir derece de alabilirsiniz; bunun için kesri basitçe "ters çevirmeniz" yeterlidir:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Denklemimiz sonunda şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Çözüm bu. Ana fikri şu gerçeğine dayanıyor: farklı üsler x Kancayla ya da sahtekarlıkla bu temelleri aynı şeye indirgemeye çalışıyoruz. Kuvvetlerle çalışmaya yönelik denklemlerin ve kuralların temel dönüşümleri bu konuda bize yardımcı olur.

Peki hangi kurallar ve ne zaman kullanılmalı? Bir denklemde her iki tarafı da bir şeye bölmeniz gerektiğini, diğerinde ise üstel fonksiyonun tabanını çarpanlara ayırmanız gerektiğini nasıl anlıyorsunuz?

Bu sorunun cevabı tecrübeyle gelecektir. İlk başta şansınızı deneyin basit denklemler ve ardından görevleri kademeli olarak karmaşıklaştırın - ve çok geçmeden becerileriniz aynı Birleşik Devlet Sınavından veya herhangi bir bağımsız/test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Bu zor konuda size yardımcı olmak için bir dizi denklem indirmenizi öneririm. bağımsız karar. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi test edebilirsiniz.

Final sınavına hazırlık aşamasında lise öğrencilerinin konu ile ilgili bilgilerini geliştirmeleri gerekiyor” Üstel denklemler" Geçmiş yılların deneyimi, bu tür görevlerin okul çocukları için bazı zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle lise öğrencilerinin, hazırlık düzeyleri ne olursa olsun, teoriye iyice hakim olmaları, formülleri hatırlamaları ve bu tür denklemleri çözme ilkesini anlamaları gerekir. Bu tür problemlerle baş etmeyi öğrenen mezunlar, matematikte Birleşik Devlet Sınavını geçerken yüksek puanlara güvenebilirler.

Shkolkovo ile sınav testine hazır olun!

Pek çok öğrenci, kapsadıkları materyalleri incelerken denklemleri çözmek için gereken formülleri bulma sorunuyla karşı karşıya kalıyor. Bir okul ders kitabı her zaman elinizin altında değildir ve internette bir konu hakkında gerekli bilgilerin seçilmesi uzun zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı öğrencileri bilgi tabanımızı kullanmaya davet ediyor. Tamamen uyguluyoruz yeni yöntem son teste hazırlık. Web sitemizde çalışarak bilgi eksikliklerini tespit edebilecek ve en çok zorluğa neden olan görevlere dikkat edebileceksiniz.

Shkolkovo öğretmenleri başarılı olmak için gereken her şeyi topladı, sistemleştirdi ve sundu Birleşik Devlet Sınavını geçmek Malzemeyi en basit ve en erişilebilir biçimde.

Temel tanımlar ve formüller “Teorik Arka Plan” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için ödevleri tamamlayarak pratik yapmanızı öneririz. Hesaplama algoritmasını anlamak için bu sayfada sunulan çözümlerle birlikte üstel denklem örneklerini dikkatlice inceleyin. Bundan sonra “Dizinler” bölümündeki görevleri gerçekleştirmeye devam edin. En kolay görevlerle başlayabilir veya doğrudan birkaç bilinmeyenli karmaşık üstel denklemleri çözmeye geçebilirsiniz. Web sitemizdeki egzersiz veritabanı sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Sizi zora sokan göstergeli örnekleri “Favoriler”e ekleyebilirsiniz. Bu şekilde onları hızlı bir şekilde bulabilir ve çözümü öğretmeninizle tartışabilirsiniz.

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek için her gün Shkolkovo portalında çalışın!

İlk seviye

Üstel denklemler. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Merhaba! Bugün sizinle temel olabilecek (ve bu makaleyi okuduktan sonra neredeyse hepsinin sizin için öyle olacağını umuyorum) ve genellikle "doldurmak için" verilen denklemleri nasıl çözeceğinizi tartışacağız. Görünüşe göre sonunda uykuya dalmak. Ancak artık bu tür denklemlerle karşılaştığınızda başınızın belaya girmemesi için mümkün olan her şeyi yapmaya çalışacağım. Artık lafı uzatmayacağım ama hemen sana küçük bir sır vereceğim: bugün ders çalışacağız üstel denklemler.

Bunları çözmenin yollarını analiz etmeye geçmeden önce, bu konuya saldırmadan önce tekrarlamanız gereken bir dizi soruyu (oldukça küçük) hemen size özetleyeceğim. Yani, almak için en iyi sonuç, Lütfen, tekrarlamak:

1. Özellikler ve
2. Çözüm ve denklemler

Tekrarlandı mı? İnanılmaz! O zaman denklemin kökünün bir sayı olduğunu fark etmeniz sizin için zor olmayacaktır. Bunu tam olarak nasıl yaptığımı anladın mı? Bu doğru mu? O zaman devam edelim. Şimdi soruma cevap verin, üçüncü kuvvete eşit olan nedir? Kesinlikle haklısın: . İkinin hangi kuvveti sekizdir? Bu doğru - üçüncüsü! Çünkü. O halde şimdi şu problemi çözmeye çalışalım: Sayıyı kendisiyle bir kere çarpıp sonucu elde edeyim. Soru şu ki, kendimle kaç kez çarptım? Elbette bunu doğrudan kontrol edebilirsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( hizala)

O zaman kendimle defalarca çarptığım sonucuna varabilirsiniz. Bunu başka nasıl kontrol edebilirsiniz? İşte nasıl: doğrudan derece tanımıyla: . Ama itiraf etmelisiniz ki, diyelim ki ikinin kendisiyle kaç kere çarpılması gerektiğini sorsaydım bana şöyle derdiniz: Kendimi kandırmayacağım ve yüzüm mosmor olana kadar kendisiyle çarpmayacağım. Ve kesinlikle haklı olurdu. Çünkü nasıl tüm adımları kısaca yazın(ve kısalık yeteneğin kız kardeşidir)

nerede - bunlar aynı olanlar "zamanlar", kendisiyle çarptığınızda.

Sanırım biliyorsunuz (ve bilmiyorsanız, acilen, çok acilen dereceleri tekrarlayın!) o zaman sorunum şu şekilde yazılacaktır:

Mantıklı olarak şu sonuca nasıl varabilirsiniz:

Bu yüzden fark edilmeden en basitini yazdım üstel denklem:

Ve hatta onu buldum kök. Her şeyin tamamen önemsiz olduğunu düşünmüyor musun? Tamamen aynısını düşünüyorum. İşte size başka bir örnek:

Peki ne yapmalı? Sonuçta (makul) bir sayının kuvveti olarak yazılamaz. Umutsuzluğa kapılmayalım ve bu sayıların her ikisinin de aynı sayının kuvvetiyle mükemmel bir şekilde ifade edildiğini not edelim. Hangisi? Sağ: . Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Nerede, zaten anladığınız gibi, . Daha fazla geciktirmeyelim ve yazalım. tanım:

Bizim durumumuzda: .

Bu denklemler aşağıdaki forma indirgenerek çözülür:

ardından denklemin çözümü

Aslında önceki örnekte tam da bunu yaptık: şunu elde ettik: Ve en basit denklemi çözdük.

Karmaşık bir şey yok gibi görünüyor, değil mi? Önce en basitleri üzerinde pratik yapalım örnekler:

Denklemin sağ ve sol taraflarının bir sayının kuvvetleri olarak temsil edilmesi gerektiğini bir kez daha görüyoruz. Doğru, solda bu zaten yapıldı, ancak sağda bir sayı var. Ama sorun değil, çünkü denklemim mucizevi bir şekilde şuna dönüşecek:

Burada ne kullanmam gerekiyordu? Hangi kural? "Derece içinde derece" kuralışu şekilde okunur:

Farzedelim:

Bu soruyu yanıtlamadan önce aşağıdaki tabloyu dolduralım:

Ne kadar az olursa o kadar kolay olduğunu fark etmek bizim için kolaydır. daha az değer ancak yine de tüm bu değerler sıfırdan büyüktür. VE HER ZAMAN da öyle olacak!!! Aynı özellik, HERHANGİ BİR GÖSTERGEYİ İÇEREN HERHANGİ BİR TEMEL İÇİN de geçerlidir! (herhangi bir ve için). O halde denklem hakkında ne sonuca varabiliriz? İşte ne olduğu: o kökleri yok! Tıpkı herhangi bir denklemin kökleri olmadığı gibi. Şimdi pratik yapalım ve Basit örnekleri çözelim:

Hadi kontrol edelim:

1. Burada sizden derecelerin özellikleri hakkında bilgi sahibi olmak dışında hiçbir şey istenmeyecektir (bu arada sizden tekrarlamanızı istedim!) Kural olarak, her şey en küçük tabana götürür: , . O zaman orijinal denklem aşağıdakine eşdeğer olacaktır: Tek ihtiyacım olan kuvvetlerin özelliklerini kullanmak: Tabanları aynı olan sayıları çarparken üsleri toplanır, bölerken çıkarılır. O zaman şunu elde edeceğim: Peki, şimdi vicdan rahatlığıyla üstel denklemden doğrusal denkleme geçeceğim: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(hizala)

2. İkinci örnekte, daha dikkatli olmamız gerekiyor: Sorun şu ki, sol tarafta aynı sayının kuvvetini muhtemelen temsil edemiyoruz. Bu durumda bazen yararlı olabilir sayıları farklı tabanlara sahip fakat aynı üslere sahip kuvvetlerin çarpımı olarak temsil eder:

Denklemin sol tarafı şöyle görünecektir: Bu bize ne verdi? İşte şu: Tabanları farklı fakat üsleri aynı olan sayılar çarpılabilir.Bu durumda bazlar çarpılır ancak gösterge değişmez:

Benim durumumda bu şunu verecektir:

\begin(hizala)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(hizala)

Fena değil, değil mi?

3. Denklemin bir tarafında gereksiz yere iki terimin olması, diğer tarafında ise hiç olmamasından hoşlanmıyorum (bazen elbette bu haklı olabilir, ancak şimdi böyle bir durum yok). Eksi terimini sağa taşıyacağım:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, her şeyi üçün kuvvetleri cinsinden yazacağım:

Soldaki dereceleri topluyorum ve eşdeğer bir denklem elde ediyorum

Kökünü kolayca bulabilirsiniz:

4. Üçüncü örnekte olduğu gibi eksi terimin sağ tarafta yeri vardır!

Solumda neredeyse her şey yolunda, ne hariç? Evet ikisinin “yanlış derecesi” beni rahatsız ediyor. Ancak şunu yazarak bunu kolayca düzeltebilirim: . Eureka - solda tüm tabanlar farklı, ancak tüm dereceler aynı! Hemen çoğalalım!

Burada yine her şey açık: (Son eşitliği nasıl sihirli bir şekilde elde ettiğimi anlamıyorsanız, bir dakika ara verin, derin bir nefes alın ve derecenin özelliklerini çok dikkatli bir şekilde tekrar okuyun. Bir atlayabileceğinizi kim söyledi?) Negatif üslü bir derece mi? Eh, burada ben neredeyse hiç kimseyle aynı şey değilim). Şimdi şunu alacağım:

\begin(hizala)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(hizala)

İşte size pratik yapmanız için, yalnızca cevaplarını vereceğim (ancak "karışık" bir biçimde) bazı problemler. Onları çözün, kontrol edin, siz ve ben araştırmamıza devam edeceğiz!

Hazır? Yanıtlar bunlar gibi:

1. herhangi bir numara

Tamam, tamam, şaka yapıyordum! İşte bazı çözüm taslakları (bazıları çok kısa!)

Soldaki kesirlerden birinin "tersine çevrilmiş" olması sizce de tesadüf değil mi? Bundan faydalanmamak günah olur:

Bu kural üstel denklemleri çözerken çok sık kullanılır, bunu iyi unutmayın!

O zaman orijinal denklem şu şekilde olacaktır:

Buna karar verdikten sonra ikinci dereceden denklem, şu kökleri alacaksınız:

2. Başka bir çözüm: Denklemin her iki tarafını da soldaki (veya sağdaki) ifadeye bölmek. Sağdaki sayıya bölersem şunu elde ederim:

Nerede nasıl?!)

3. Kendimi tekrarlamak bile istemiyorum, her şey çoktan "çiğnendi".

4. ikinci dereceden bir denklemin eşdeğeri, kökler

5. İlk problemde verilen formülü kullanmanız gerekiyor, o zaman şunu elde edeceksiniz:

Denklem herkes için geçerli olan önemsiz bir kimliğe dönüştü. O zaman cevap herhangi bir gerçek sayıdır.

Artık çözme pratiği yaptınız basit üstel denklemler.Şimdi size prensipte neden ihtiyaç duyulduğunu anlamanıza yardımcı olacak birkaç yaşam örneği vermek istiyorum. Burada iki örnek vereceğim. Bunlardan biri oldukça gündeliktir, ancak diğerinin pratikten çok bilimsel olması daha olasıdır.

Örnek 1 (ticari) Rubleniz olsun ama onu rubleye çevirmek istiyorsunuz. Banka size bu parayı aylık faiz aktifleştirmesi (aylık tahakkuk) ile yıllık oranda sizden almanızı teklif ediyor. Sorun şu ki, gerekli nihai tutara ulaşmak için kaç ayda bir depozito açmanız gerekiyor? Oldukça sıradan bir görev, değil mi? Bununla birlikte, çözümü karşılık gelen üstel denklemin oluşturulmasıyla ilişkilidir: - başlangıç ​​tutarı, - son tutar, - dönemin faiz oranı, - dönem sayısı olsun. Daha sonra:

Bizim durumumuzda (oran yıllık ise aylık olarak hesaplanır). Neden bölünüyor? Bu sorunun cevabını bilmiyorsanız “” konusunu hatırlayın! O zaman şu denklemi elde ederiz:

Bu üstel denklem yalnızca bir hesap makinesi kullanılarak çözülebilir (onun dış görünüş buna dair ipuçları veriyor ve bu, biraz sonra tanışacağımız logaritma bilgisini gerektiriyor) ki bunu yapacağım: ... Yani bir milyon alabilmek için bir ay boyunca para yatırmamız gerekecek ( çok hızlı değil, değil mi?).

Örnek 2 (oldukça bilimsel). Belli bir "izolasyona" rağmen, ona dikkat etmenizi öneririm: o düzenli olarak "Birleşik Devlet Sınavına giriyor!! (sorun “gerçek” versiyondan alınmıştır) Radyoaktif bir izotopun bozunması sırasında kütlesi kanuna göre azalır; burada (mg), izotopun başlangıç ​​kütlesidir, (min.) bozunmasından itibaren geçen süredir. başlangıç ​​anı (min.) yarılanma ömrüdür. Zamanın ilk anında izotopun kütlesi mg'dır. Yarı ömrü min. Kaç dakika sonra izotopun kütlesi mg'a eşit olur? Sorun değil: tüm verileri alıp bize önerilen formüle yerleştiriyoruz:

Sol tarafta sindirilebilir bir şey elde etmemizi umarak her iki parçayı da bölelim:

Biz çok şanslıyız! Solda, o zaman eşdeğer denkleme geçelim:

Min nerede?

Gördüğünüz gibi üstel denklemlerin pratikte çok gerçek uygulamaları var. Şimdi size üstel denklemleri çözmenin başka (basit) bir yolunu göstermek istiyorum; bu yöntem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarıp terimleri gruplandırmaya dayanır. Sözlerimden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları çalışırken tanışmıştınız. Örneğin, ifadeyi çarpanlarına ayırmanız gerekiyorsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimleri. Birinci ve üçüncünün kareler farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncünün ortak çarpanı üçtür:

O zaman orijinal ifade şuna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden türetileceği artık zor değil:

Buradan,

Üstel denklemleri çözerken kabaca yapacağımız şey budur: terimler arasında "ortaklık" arayın ve bunu parantezlerden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =)) Örneğin:

Sağda yedinin kuvveti olmaktan çok uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi, elbette a faktörünü birinci terimden ikinciden "kesebilir" ve sonra dağıtabilirsiniz. sahip olduklarınla, ama sana karşı daha ihtiyatlı olalım. "Seçerken" kaçınılmaz olarak oluşan kesirlerle uğraşmak istemiyorum, yani onu çıkarmam gerekmez mi? O zaman hiçbir kesirim olmayacak: dedikleri gibi, kurtlar besleniyor ve koyunlar güvende:

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayın. Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde, bu ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne beklemeliyiz ki?).

Daha sonra denklemin her iki tarafını da bu faktör kadar azaltırız. Şunu alıyoruz: , from.

İşte daha karmaşık bir örnek (gerçekten biraz):

Ne sorun! Burada tek bir ortak noktamız yok! Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil. Elimizden geleni yapalım: Önce “dörtlüyü” bir tarafa, “beşliyi” diğer tarafa taşıyın:

Şimdi soldaki ve sağdaki "genel"i çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak? Bu kadar aptal bir grubun ne faydası var? İlk bakışta hiç görünmüyor ama daha derine bakalım:

Şimdi solda yalnızca c ifadesinin ve sağda diğer her şeyin olduğundan emin olacağız. Bunu nasıl yapabiliriz? Şöyle: Denklemin her iki tarafını da önce ikiye bölelim (böylece sağdaki dereceden kurtuluruz), sonra da her iki tarafı da ikiye böleriz (böylece sağdaki dereceden kurtuluruz) sayısal çarpan sol). Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz! Solda bir ifademiz var, sağda ise basit bir ifademiz var. O zaman hemen şu sonuca varırız

İşte pekiştirmeniz için başka bir örnek:

onu getireceğim kısa çözüm(açıklamalarla kendinizi gerçekten rahatsız etmeden), çözümün tüm "inceliklerini" kendiniz anlamaya çalışın.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonuna geçelim. Aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın. sadece vereceğim kısa öneriler ve bunları çözmek için ipuçları:

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım: Nerede:
2. Şeklindeki ilk ifadeyi sunalım: , her iki tarafı da bölüp şunu elde edelim
3. , sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi zaten nerede çözdüğümüze bakın!
4. Nasıl, nasıl, ah, sonra her iki tarafı da böldüğünüzü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezlerden çıkarın.
6. Parantezlerden çıkarın.

ÜSSEL DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

Bahsedilen ilk makaleyi okuduktan sonra sanırım üstel denklemler nedir ve nasıl çözülür, ustalaştın gerekli minimum Basit örnekleri çözmek için gerekli bilgi.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yönteme bakacağım, bu

“yeni bir değişken ekleme yöntemi” (veya değiştirme).Üstel denklemler (sadece denklemler değil) konusundaki çoğu "zor" problemi çözer. Bu yöntem pratikte en sık kullanılan yöntemlerden biridir. Öncelikle konuyu iyice tanımanızı tavsiye ederim.

Adından da anlayacağınız gibi bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliği sağlamaktır. Bu çok "basitleştirilmiş denklemi" çözdükten sonra size geriye kalan tek şey "tersine değiştirme" yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene dönüş. Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Örnek 1:

Bu denklem, matematikçilerin küçümseyici bir şekilde adlandırdığı gibi "basit bir ikame" kullanılarak çözülür. Aslında buradaki değişim en bariz olanıdır. Sadece şunu görmek lazım

Daha sonra orijinal denklem şuna dönüşecektir:

Ayrıca nasıl olduğunu hayal edersek, neyin değiştirilmesi gerektiği kesinlikle açıktır: elbette . O zaman orijinal denklem ne olur? İşte şu:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz: . Şimdi ne yapmalıyız? Orijinal değişkene dönme zamanı geldi. Neyden bahsetmeyi unuttum? Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler! Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz. Yani sen ve ben ilgilenmiyoruz ama ikinci kök bizim için oldukça uygun:

O zaman nereden.

Cevap:

Gördüğünüz gibi önceki örnekte, yerine geçecek kişi sadece bizden izin istiyordu. Ne yazık ki bu her zaman böyle değildir. Ancak, doğrudan üzücü şeylere gitmeyelim, yerine oldukça basit bir örnek daha verelim.

Örnek 2.

Büyük olasılıkla bir değişiklik yapmamız gerekeceği açıktır (bu, denklemimizde yer alan kuvvetlerin en küçüğüdür), ancak bir değişiklik yapmadan önce denklemimizin buna "hazırlanması" gerekir, yani: , . Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederim:

Ah korku: çözmek için kesinlikle berbat formüllere sahip kübik bir denklem (pekala, Genel görünüm). Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim. Hile yapmayı önereceğim: "Güzel" bir cevap almak için bunu üçün bir kuvveti şeklinde almamız gerektiğini biliyoruz (bu neden olsun ki, ha?). Denklemin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (tahmin etmeye üçün kuvvetleriyle başlayacağım).

İlk tahmin. Kök değil. Ne yazık ki ve ah...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !
Yemek yemek! İlk kökü tahmin ettim. Artık işler daha da kolaylaşacak!

“Köşe” bölme şemasını biliyor musunuz? Elbette öyle, bir sayıyı diğerine bölerken bunu kullanırsın. Ancak çok az kişi aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor. Harika bir teorem var:

Benim durumuma uygulanacak olursa, bu bana bunun kalansız bölünebileceğini söylüyor. Bölme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Clearly'yi elde etmek için hangi monomial ile çarpmam gerektiğine bakıyorum, sonra:

Sonuçta ortaya çıkan ifadeyi çıkarırsam şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor? Açıkça görülüyor ki, o zaman şunu alacağım:

ve elde edilen ifadeyi tekrar kalan ifadeden çıkarın:

Son adım, kalan ifadeyle çarpmak ve ondan çıkarmaktır:

Yaşasın, bölünme bitti! Özel olarak ne biriktirdik? Kendi kendine: .

Daha sonra orijinal polinomun aşağıdaki açılımını elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

O halde orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Sıfırdan küçük olduğu için elbette son kökü atacağız. Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi hiç korkutmak istemedim; bunun yerine amacım, oldukça basit bir değişime sahip olmamıza rağmen bunun yine de oldukça yol açtığını göstermekti. karmaşık denklemçözümü bizden bazı özel beceriler gerektiriyordu. Eh, hiç kimse bundan muaf değil. Ancak bu durumda değiştirme oldukça açıktı.

İşte biraz daha az belirgin bir değişime sahip bir örnek:

Ne yapmamız gerektiği hiç de açık değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir tabanın diğerinden herhangi bir (doğal olarak makul) güce yükseltilmesiyle elde edilememesi. Ancak ne görüyoruz? Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir ve çarpımları bire eşit kareler farkıdır:

Tanım:

Dolayısıyla örneğimizde taban olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllı adım şu olacaktır: Denklemin her iki tarafını eşlenik sayıyla çarpın.

Örneğin, denklemin sol tarafı ve sağ tarafı eşit olacaktır. Eğer bir değişiklik yaparsak orijinal denklemimiz şu şekilde olacaktır:

öyleyse kökleri ve bunu hatırlayarak bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi çoğu "okul" üstel denklemini çözmek için yeterlidir. Aşağıdaki görevler Birleşik Devlet Sınavı C1'den alınmıştır ( artan seviye zorluklar). Zaten bu örnekleri kendi başınıza çözebilecek kadar okuryazarsınız. Sadece gerekli değişimi yapacağım.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün: . Bu denklemin segmente ait tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı kısa açıklamalar ve cevaplar:

1. Burada şunu belirtmemiz yeterli... O zaman orijinal denklem şuna eşdeğer olacaktır: Bu denklem şu şekilde çözülebilir: Diğer hesaplamaları kendiniz yapın. Sonunda göreviniz basit trigonometrik problemleri çözmeye indirgenecek (sinüs veya kosinüse bağlı olarak). Benzer örneklerin çözümlerine diğer bölümlerde bakacağız.
2. Burada değiştirme yapmadan da yapabilirsiniz: sadece çıkanı sağa hareket ettirin ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle temsil edin: ve ardından doğrudan ikinci dereceden denkleme gidin.
3. Üçüncü denklem de oldukça standart bir şekilde çözüldü: nasıl olduğunu hayal edelim. Sonra değiştirerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: o zaman,

   Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyorsun, değil mi? HAYIR? O halde acilen konuyu okuyun!

   İlk kökün segmente ait olmadığı açık ama ikincisi belirsiz! Ama çok yakında öğreneceğiz! O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!) Şimdi karşılaştıralım:

   Her iki taraftan da çıkarırsak şunu elde ederiz:

   Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

   her iki tarafı da şununla çarpın:

   ile çarpılabilir, o zaman

   Sonra karşılaştırın:

   o zamandan beri:

   O halde ikinci kök gerekli aralığa aittir

   Cevap:

Gördüğünüz gibi, Üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmanın özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim. Anladığınız gibi matematikte her şey birbirine bağlıdır! Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Tarih gibi matematik de bir gecede okunamaz."

Kural olarak hepsi C1 problemlerini çözmenin zorluğu tam olarak denklemin köklerinin seçilmesidir. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bir değişiklik yaparak orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeyebiliriz:

İlk önce ilk köke bakalım. Hadi karşılaştıralım ve: o zamandan beri. (logaritmik fonksiyonun özelliği, at). O zaman ilk kökün bizim aralığımıza ait olmadığı açıktır. Şimdi ikinci kök: . Bu açıktır (çünkü at fonksiyonu artmaktadır). Karşılaştırmak için kalır ve ...

o zamandan beri aynı zamanda. Bu şekilde ve arasında "bir çivi çakabilirim". Bu çivi bir sayıdır. Birinci ifade küçüktür, ikincisi büyüktür. O halde ikinci ifade birinciden büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Son olarak, ikamenin oldukça standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım:

Hemen ne yapılabileceğiyle ve prensipte ne yapılabileceğiyle başlayalım, ancak bunu yapmamak daha iyidir. Her şeyi üçün, ikinin ve altının kuvvetleri aracılığıyla hayal edebilirsiniz. Nereye gidiyor? Hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir karmakarışık dereceler. O zaman ne gerekiyor? Şunu not edelim: Peki bu bize ne verecek? Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği! Öncelikle denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Şimdi gösteri problemlerini çözme sırası sizde ve yoldan sapmamanız için onlara sadece kısa açıklamalarda bulunacağım! İyi şanlar!

1. En zoru! Burada bir yedek görmek çok zor! Ancak yine de bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir. deşarj tam kare . Bunu çözmek için şunu not etmek yeterlidir:

O zaman işte sizin yerinize:

(Lütfen burada değiştirme sırasında negatif kökü atamayacağımızı unutmayın!!! Neden düşünüyorsunuz?)

Şimdi örneği çözmek için yalnızca iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de “standart değiştirme” ile çözülebilir (ancak bir örnekte ikincisi!)

2. Bunu fark edin ve değiştirin.

3. Sayıyı eş asal faktörlere ayırın ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve yerine veya koyun.

5. ve sayılarının eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSSEL DENKLEMLER. İLERİ DÜZEY

Ayrıca başka bir yola bakalım - logaritma yöntemini kullanarak üstel denklemleri çözme. Üstel denklemleri bu yöntemle çözmenin çok popüler olduğunu söyleyemem ama bazı durumlarda ancak bu bizi sonuca götürebilir. doğru karar bizim denklemimiz. Özellikle “” denilen şeyi çözmek için sıklıkla kullanılır. karışık denklemler": yani, farklı türdeki işlevlerin meydana geldiği yerler.

Örneğin, formun bir denklemi:

genel durumda, yalnızca her iki tarafın (örneğin tabana) logaritmaları alınarak çözülebilir; burada orijinal denklem aşağıdakine dönüşecektir:

Aşağıdaki örneğe bakalım:

Logaritmik fonksiyonun ODZ'sine göre sadece ilgilendiğimiz açıktır. Ancak bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, bir nedenden daha kaynaklanmaktadır. Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi orijinal denklemimizin logaritmasını almak bizi hızla doğru (ve güzel!) cevaba götürdü. Bir örnekle daha pratik yapalım:

Burada da yanlış bir şey yok: Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım, sonra şunu elde ederiz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak bir şeyi atladık! Nerede hata yaptığımı fark ettiniz mi? Sonuçta, o zaman:

bu gereksinimi karşılamıyor (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi kararınızı şununla karşılaştırın:

1. Aşağıdakileri dikkate alarak her iki tarafı tabana göre logaritalım:

(İkinci kök değişim nedeniyle bize uygun değildir)

2. Tabana göre logaritma:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürelim:

ÜSSEL DENKLEMLER. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜLLER

Üstel denklem

Formun denklemi:

isminde en basit üstel denklem.

Derecelerin özellikleri

Çözüm yaklaşımları

• Aynı esasa göre indirim
• Aynı üsse azaltma
• Değişken değiştirme
• İfadeyi basitleştirmek ve yukarıdakilerden birini uygulamak.

Bu derste daha karmaşık üstel denklemlerin çözümüne bakacağız ve üstel fonksiyonla ilgili temel teorik ilkeleri hatırlayacağız.

1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri, en basit üstel denklemleri çözme yöntemleri

Üstel fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayalım. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü bu özelliklere dayanmaktadır.

Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız değişken, argümandır; y bağımlı değişkendir, fonksiyon.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, tabanı sırasıyla birden büyük ve birden küçük ancak sıfırdan büyük olan üstel fonksiyonu gösteren artan ve azalan üsleri göstermektedir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel Fonksiyonun Özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, artar, azalır.

Monotonik bir fonksiyon, değerlerinin her birini tek bir argüman değeri verildiğinde alır.

Argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sıfır dahil artı sonsuza kadar artar. Tersine, argüman eksiden artı sonsuza arttığında fonksiyon sonsuzdan sıfıra azalır, bu kapsayıcı değildir.

2. Standart üstel denklemlerin çözülmesi

En basit üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini size hatırlatalım. Çözümleri üstel fonksiyonun monotonluğuna dayanmaktadır. Hemen hemen tüm karmaşık üstel denklemler bu tür denklemlere indirgenebilir.

Üslerin eşitliği eşit şartlardaüstel fonksiyonun özelliğinden, yani monotonluğundan dolayı.

Çözüm yöntemi:

Derece tabanlarını eşitleyin;

Üsleri eşitleyin.

Daha karmaşık üstel denklemleri ele almaya devam edelim; amacımız her birini en basitine indirgemektir.

Sol taraftaki kökten kurtulup dereceleri aynı tabana getirelim:

Karmaşık bir üstel denklemi en basitine indirgemek için sıklıkla değişkenlerin ikamesi kullanılır.

Power özelliğini kullanalım:

Bir yedek sunuyoruz. Olsun o zaman

Ortaya çıkan denklemi ikiyle çarpalım ve tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İlk kök y değerlerinin aralığını karşılamadığından onu atıyoruz. Şunu elde ederiz:

Dereceleri aynı göstergeye indirelim:

Bir değiştirmeyi tanıtalım:

Olsun o zaman . Böyle bir değiştirmeyle, y'nin kesinlikle pozitif değerler aldığı açıktır. Şunu elde ederiz:

Bu tür ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyoruz, cevabı yazabiliriz:

Köklerin doğru şekilde bulunduğundan emin olmak için Vieta teoremini kullanarak kontrol edebilirsiniz, yani köklerin toplamını ve çarpımını bulabilir ve bunları denklemin karşılık gelen katsayılarıyla karşılaştırabilirsiniz.

Şunu elde ederiz:

3. İkinci dereceden homojen üstel denklemleri çözme metodolojisi

Aşağıdaki önemli üstel denklem türlerini inceleyelim:

Bu tür denklemlere f ve g fonksiyonlarına göre ikinci dereceden homojen denir. Sol tarafında, g parametresi ile f'ye göre kare bir üç terimli veya f parametresi ile g'ye göre bir kare üç terimli vardır.

Çözüm yöntemi:

Bu denklem ikinci dereceden bir denklem olarak çözülebilir, ancak bunu farklı şekilde yapmak daha kolaydır. Göz önünde bulundurulması gereken iki durum vardır:

İlk durumda elde ettiğimiz

İkinci durumda, en yüksek dereceye bölme ve şunu elde etme hakkına sahibiz:

Değişkenlerde bir değişiklik yapmak gerekir, y için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

f ve g fonksiyonlarının herhangi biri olabileceğini belirtelim, ancak bunların üstel fonksiyonlar olduğu durumla ilgileniyoruz.

4. Homojen denklemleri çözme örnekleri

Tüm terimleri denklemin sol tarafına taşıyalım:

Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler aldığından, aşağıdaki durumları dikkate almadan denklemi hemen bölme hakkına sahibiz:

Şunu elde ederiz:

Bir değiştirmeyi tanıtalım: (üstel fonksiyonun özelliklerine göre)

İkinci dereceden bir denklemimiz var:

Vieta teoremini kullanarak kökleri belirliyoruz:

İlk kök, y'nin değer aralığını karşılamıyor, onu atarız ve şunu elde ederiz:

Derecelerin özelliklerini kullanalım ve tüm dereceleri basit tabanlara indirgeyelim:

f ve g işlevlerini fark etmek kolaydır:

Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler elde ettiğinden, durumu dikkate almadan denklemi hemen bölme hakkına sahibiz.