Diskriminant denkleminin kökü 0'dır. Her zaman havanızda olun

İkinci dereceden denklemler gibi diskriminant da 8. sınıfta cebir dersinde işlenmeye başlıyor. İkinci dereceden bir denklemi bir diskriminant aracılığıyla ve Vieta teoremini kullanarak çözebilirsiniz. İkinci dereceden denklemleri ve ayırıcı formülleri inceleme yöntemi, gerçek eğitimdeki birçok şey gibi, okul çocuklarına oldukça başarısız bir şekilde öğretilir. Bu yüzden geçiyorlar okul yılları 9-11. sınıflarda eğitim yerini alıyor " Yüksek öğretim"ve herkes tekrar bakıyor - “İkinci dereceden denklem nasıl çözülür?”, “Denklemin kökleri nasıl bulunur?”, “Ayırt edici nasıl bulunur?” Ve...

Diskriminant formülü

İkinci dereceden a*x^2+bx+c=0 denkleminin diskriminantı D, D=b^2–4*a*c'ye eşittir.
İkinci dereceden bir denklemin kökleri (çözümleri) diskriminantın (D) işaretine bağlıdır:
D>0 – denklemin 2 farklı gerçek kökü vardır;
D=0 - denklemin 1 kökü vardır (2 eşleşen kök):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminant hesaplama formülü oldukça basittir, pek çok web sitesi çevrimiçi bir diskriminant hesaplayıcı sunmaktadır. Bu tür komut dosyalarını henüz çözemedik, dolayısıyla bunun nasıl uygulanacağını bilen varsa lütfen bize e-posta ile yazın. Bu e-posta adresi spambot'lardan korunuyor. Görüntülemek için JavaScript'i etkinleştirmiş olmanız gerekir. .

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için genel formül:

Formülü kullanarak denklemin köklerini buluyoruz
Kare değişkenin katsayısı eşleştirilirse, diskriminantın değil dördüncü kısmının hesaplanması tavsiye edilir.
Bu gibi durumlarda denklemin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Kökleri bulmanın ikinci yolu Vieta Teoremidir.

Teorem yalnızca ikinci dereceden denklemler için değil aynı zamanda polinomlar için de formüle edilmiştir. Bunu Wikipedia'da veya diğer elektronik kaynaklarda okuyabilirsiniz. Ancak basitleştirmek için yukarıdaki ikinci dereceden denklemlerin yani (a=1) formundaki denklemlerin ilgili kısmını ele alalım.
Vieta formüllerinin özü, denklemin köklerinin toplamının, değişkenin ters işaretle alınan katsayısına eşit olmasıdır. Denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Vieta teoremi formüllerle yazılabilir.
Vieta formülünün türetilmesi oldukça basittir. İkinci dereceden denklemi basit faktörlerle yazalım
Gördüğünüz gibi ustaca olan her şey aynı zamanda basittir. Köklerin modülleri arasındaki fark veya köklerin modülleri arasındaki fark 1, 2 olduğunda Vieta formülünü kullanmak etkilidir. Örneğin, Vieta teoremine göre aşağıdaki denklemlerin kökleri vardır




Denklem 4'e kadar analiz şu şekilde görünmelidir. Denklemin köklerinin çarpımı 6 olduğundan kökler (1, 6) ve (2, 3) değerleri veya zıt işaretli çiftler olabilir. Köklerin toplamı 7'dir (karşı işaretli değişkenin katsayısı). Buradan ikinci dereceden denklemin çözümlerinin x=2 olduğu sonucuna varıyoruz; x=3.
Serbest terimin bölenleri arasından denklemin köklerini seçmek, Vieta formüllerini yerine getirmek için işaretlerini ayarlamak daha kolaydır. İlk başta bunu yapmak zor görünebilir, ancak bir dizi ikinci dereceden denklem üzerinde pratik yapıldıkça, bu tekniğin diskriminantı hesaplamaktan ve ikinci dereceden denklemin köklerini klasik yolla bulmaktan daha etkili olduğu ortaya çıkacaktır.
Gördüğünüz gibi, diskriminantın incelenmesine ilişkin okul teorisi ve denkleme çözüm bulma yöntemleri pratik anlamdan yoksundur - “Okul çocukları neden ikinci dereceden bir denkleme ihtiyaç duyuyor?”, “Ayırt edicinin fiziksel anlamı nedir?”

Hadi anlamaya çalışalım Diskriminant neyi tarif ediyor?

Cebir dersinde fonksiyonları, fonksiyonları inceleme şemalarını ve fonksiyonların grafiğini oluşturmayı incelerler. Tüm fonksiyonlar arasında parabol, denklemi şu şekilde yazılabilen önemli bir yer tutar:
Yani ikinci dereceden denklemin fiziksel anlamı parabolün sıfırları, yani fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni Ox ile kesişme noktalarıdır.
Aşağıda anlatılan parabollerin özelliklerini hatırlamanızı rica ediyorum. Sınavlara, testlere veya giriş sınavlarına girmenin zamanı gelecek ve referans materyal için minnettar olacaksınız. Kare değişkeninin işareti, grafikteki parabolün dallarının yukarı çıkıp çıkmayacağına (a>0) karşılık gelir,

veya dalları aşağı doğru olan bir parabol (a<0) .

Parabolün tepe noktası köklerin ortasındadır

Diskriminantın fiziksel anlamı:

Diskriminant sıfırdan büyükse (D>0), parabolün Ox ekseniyle iki kesişme noktası vardır.
Diskriminant sıfırsa (D=0), tepe noktasındaki parabol x eksenine dokunur.
Ve son durum, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu durumdur (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Tüm okul cebir müfredatı arasında en kapsamlı konulardan biri ikinci dereceden denklemler konusudur. Bu durumda ikinci dereceden bir denklem, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde bir denklem olarak anlaşılır; burada a ≠ 0 (okuyun: a ile x kare artı be x artı ce eşittir sıfır, burada a değil) sıfıra eşit). Bu durumda, ana yer, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını veya yokluğunu belirlemeye izin veren bir ifade olarak anlaşılan, belirtilen türdeki ikinci dereceden bir denklemin ayırıcısını bulmak için formüller tarafından işgal edilir. numarası (varsa).

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının formülü (denklemi)

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantının genel kabul görmüş formülü şu şekildedir: D = b 2 – 4ac. Belirtilen formülü kullanarak diskriminantı hesaplayarak, yalnızca ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığını ve sayısını belirlemekle kalmaz, aynı zamanda ikinci dereceden denklemin türüne bağlı olarak birkaç tane bulunan bu kökleri bulmak için bir yöntem de seçebilirsiniz.

Diskriminantın sıfır olması ne anlama gelir \ Diskriminantın sıfır olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

Ayrımcı, formülde aşağıdaki gibi gösterilir Latince harf D. Diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin basitleştirilmiş bir formül kullanılarak hesaplanan tek bir kökü olduğu sonucuna varılmalıdır. . Bu formül yalnızca diskriminant sıfır olduğunda geçerlidir ve şu şekilde görünür: x = –b/2a, burada x ikinci dereceden denklemin köküdür, b ve a ikinci dereceden denklemin karşılık gelen değişkenleridir. İkinci dereceden bir denklemin kökünü bulmak için b değişkeninin negatif değerini a değişkeninin değerinin iki katına bölmeniz gerekir. Ortaya çıkan ifade ikinci dereceden bir denklemin çözümü olacaktır.

Diskriminant kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözme

Yukarıdaki formülü kullanarak diskriminant hesaplanırken pozitif bir değer elde edilirse (D sıfırdan büyüktür), ikinci dereceden denklemin aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanan iki kökü vardır: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Çoğu zaman, diskriminant ayrı olarak hesaplanmaz, ancak diskriminant formülü biçimindeki radikal ifade, kökün çıkarıldığı D değeriyle basitçe ikame edilir. b değişkeninin çift değeri varsa, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerini hesaplamak için aşağıdaki formülleri de kullanabilirsiniz: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, burada k = b/2.

Bazı durumlarda, ikinci dereceden denklemleri pratik olarak çözmek için, x 2 + px + q = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı için x 1 + x 2 = –p değerini belirten Vieta Teoremini kullanabilirsiniz. doğru olacaktır ve belirtilen denklemin köklerinin çarpımı için – ifade x 1 x x 2 = q.

Diskriminant sıfırdan küçük olabilir mi?

Diskriminant değerini hesaplarken, açıklanan durumların hiçbirinin kapsamına girmeyen bir durumla karşılaşabilirsiniz - diskriminantın negatif bir değere sahip olması (yani sıfırdan küçük olması). Bu durumda, a ≠ 0 olmak üzere ax 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri olmadığı genel olarak kabul edilir, bu nedenle çözümü diskriminantın ve yukarıdaki formüllerin hesaplanmasıyla sınırlı olacaktır. İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bu durumda geçerli olmayacaktır. Aynı zamanda ikinci dereceden denklemin cevabında “denklemin gerçek kökleri yoktur” yazmaktadır.

Açıklayıcı video:

İkinci dereceden denklem– çözüm basit! *Bundan sonra “KU” olarak anılacaktır. Arkadaşlar öyle görünüyor ki matematikte böyle bir denklemi çözmekten daha basit bir şey olamaz. Ama içimden bir ses birçok insanın onunla sorunları olduğunu söyledi. Yandex'in ayda kaç tane isteğe bağlı gösterim verdiğini görmeye karar verdim. İşte ne oldu, bakın:

Bu ne anlama geliyor? Bu, ayda yaklaşık 70.000 kişinin bu bilgiyi aradığı anlamına geliyor ve bu yaz ve okul yılı boyunca ne olacak - iki kat daha fazla talep olacak. Bu şaşırtıcı değil, çünkü okuldan uzun zaman önce mezun olan ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan kız ve erkekler bu bilgiyi arıyorlar ve okul çocukları da hafızalarını tazelemeye çalışıyorlar.

Bu denklemin nasıl çözüleceğini anlatan birçok site olmasına rağmen ben de katkıda bulunup materyali yayınlamaya karar verdim. Öncelikle bu isteğe göre ziyaretçilerin siteme gelmesini istiyorum; ikinci olarak diğer yazılarımda “KU” konusu açıldığında bu yazının linkini vereceğim; üçüncü olarak, size çözümü hakkında diğer sitelerde genellikle belirtilenden biraz daha fazlasını anlatacağım. Başlayalım! Makalenin içeriği:

İkinci dereceden bir denklem şu şekilde bir denklemdir:

burada katsayılar a,Bve c, a≠0 olan keyfi sayılardır.

Okul kursunda materyal aşağıdaki biçimde verilmektedir - denklemler üç sınıfa ayrılmıştır:

1. İki kökleri vardır.

2. *Tek bir kökü vardır.

3. Kökleri yoktur. Burada gerçek köklerinin olmadığını özellikle belirtmekte fayda var.

Kökler nasıl hesaplanır? Sadece!

Diskriminant'ı hesaplıyoruz. Bu “korkunç” kelimenin altında çok basit bir formül yatıyor:

Kök formülleri aşağıdaki gibidir:

*Bu formülleri ezbere bilmeniz gerekiyor.

Hemen yazıp çözebilirsiniz:

Örnek:

1. Eğer D > 0 ise denklemin iki kökü vardır.

2. Eğer D = 0 ise denklemin bir kökü vardır.

3. Eğer D ise< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Denkleme bakalım:

Bu bakımdan diskriminant sıfıra eşit olduğunda okul dersi bir kökün elde edildiğini söylüyor, burada dokuza eşit oluyor. Her şey doğru, öyle ama...

Bu fikir biraz yanlıştır. Aslında iki kök var. Evet evet şaşırmayın iki çıkıyor eşit kökler ve matematiksel olarak kesin olmak için yanıtın iki kök içermesi gerekir:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ama bu böyle - küçük bir ara söz. Okulda bunu yazıp tek bir kök olduğunu söyleyebilirsin.

Şimdi bir sonraki örnek:

Bildiğimiz gibi negatif bir sayının kökü alınamadığından bu durumda bir çözüm yoktur.

Bütün karar süreci bundan ibaret.

İkinci dereceden fonksiyon.

Bu, çözümün geometrik olarak neye benzediğini gösterir. Bunu anlamak son derece önemlidir (gelecekte makalelerden birinde ikinci dereceden eşitsizliğin çözümünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz).

Bu formun bir fonksiyonudur:

burada x ve y değişkenlerdir

a, b, c – a ≠ 0 ile verilen sayılar

Grafik bir paraboldür:

Yani, "y" noktasında ikinci dereceden bir denklemin çözülmesi gerektiği ortaya çıktı. sıfıra eşit parabolün x ekseniyle kesişme noktalarını buluyoruz. Bu noktalardan ikisi (ayırıcı pozitiftir), biri (ayırıcı sıfırdır) ve hiçbiri (ayırıcı negatiftir) olabilir. Hakkında ayrıntılar ikinci dereceden fonksiyon Görüntüleyebilirsiniz Inna Feldman'ın makalesi.

Örneklere bakalım:

Örnek 1: Çöz 2 kere 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Cevap: x 1 = 8 x 2 = –12

*Denklemin sol ve sağ taraflarını hemen 2'ye bölmek, yani basitleştirmek mümkündü. Hesaplamalar daha kolay olacaktır.

Örnek 2: Karar vermek x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ve x 2 = 11 olduğunu bulduk

Cevapta x=11 yazmak caizdir.

Cevap: x = 11

Örnek 3: Karar vermek x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant negatiftir, gerçek sayılarda çözüm yoktur.

Cevap: çözüm yok

Diskriminant negatiftir. Bir çözüm var!

Burada negatif bir diskriminantın elde edilmesi durumunda denklemin çözümünden bahsedeceğiz. Karmaşık sayılar hakkında bir şey biliyor musun? Burada neden ve nerede ortaya çıktıklarını ve matematikteki özel rolleri ve gerekliliklerinin ne olduğunu ayrıntılarına girmeyeceğim; bu ayrı bir makalenin konusu.

Karmaşık sayı kavramı.

Küçük bir teori.

Karmaşık sayı z, formdaki bir sayıdır

z = a + bi

a ve b'nin gerçel sayılar olduğu durumlarda, i sanal birim olarak adlandırılır.

a+bi – bu TEK BİR NUMARAdır, toplama değildir.

Sanal birim eksi birin köküne eşittir:

Şimdi denklemi düşünün:

İki eşlenik kök elde ediyoruz.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem.

Özel durumları ele alalım; bu, “b” veya “c” katsayısının sıfıra eşit olduğu (veya her ikisinin de sıfıra eşit olduğu) durumdur. Herhangi bir ayrımcılığa uğramadan kolayca çözülebilirler.

Durum 1. Katsayı b = 0.

Denklem şöyle olur:

Haydi dönüştürelim:

Örnek:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Durum 2. Katsayı c = 0.

Denklem şöyle olur:

Dönüştürüp çarpanlara ayıralım:

*Faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda ürün sıfıra eşittir.

Örnek:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 veya x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Durum 3. Katsayılar b = 0 ve c = 0.

Burada denklemin çözümünün her zaman x = 0 olacağı açıktır.

Faydalı özellikler ve katsayı kalıpları.

Büyük katsayılı denklemleri çözmenizi sağlayan özellikler vardır.

AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A + B+ c = 0, O

- denklemin katsayıları için ise AX 2 + bx+ C=0 eşitlik geçerlidir

A+ ç =B, O

Bu özellikler belirli bir denklem türünün çözülmesine yardımcı olur.

Örnek 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Oranların toplamı 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bunun anlamı

Örnek 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Eşitlik geçerlidir A+ ç =B, Araç

Katsayıların düzenlilikleri.

1. ax 2 + bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak katsayıya eşit"a" ise kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Örnek. 6x 2 + 37x + 6 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 denkleminde “b” katsayısı (a 2 +1)'e eşitse ve “c” katsayısı sayısal olarak “a” katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Örnek. 15x 2 –226x +15 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Denklemde ise. ax 2 + bx – c = 0 katsayısı “b” eşittir (a 2 – 1) ve katsayısı “c” sayısal olarak “a” katsayısına eşittir, o zaman kökleri eşittir

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Örnek. 17x 2 +288x – 17 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Eğer ax 2 - bx - c = 0 denkleminde "b" katsayısı (a 2 - 1)'e eşitse ve c katsayısı sayısal olarak "a" katsayısına eşitse kökleri eşittir

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Örnek. 10x 2 – 99x –10 = 0 denklemini düşünün.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vieta'nın teoremi.

Vieta'nın teoremi, adını ünlü Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır. Vieta teoremini kullanarak, rastgele bir KU'nun köklerinin toplamını ve çarpımını katsayıları cinsinden ifade edebiliriz.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Toplamda 14 sayısı sadece 5 ve 9'u verir. Bunlar köklerdir. Belirli bir beceriyle, sunulan teoremi kullanarak birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak anında çözebilirsiniz.

Ayrıca Vieta teoremi. ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra uygun her zamanki gibi(ayırt edici aracılığıyla) ortaya çıkan kökler kontrol edilebilir. Bunu her zaman yapmanızı öneririm.

ULAŞIM ŞEKLİ

Bu yöntemle “a” katsayısı serbest terimle sanki kendisine “atılmış” gibi çarpılır, bu yüzden buna denir. "aktarma" yöntemi. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Eğer A± b+c≠ 0 ise transfer tekniği kullanılır, örneğin:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Denklem (2)'deki Vieta teoremini kullanarak x 1 = 10 x 2 = 1 olduğunu belirlemek kolaydır.

Denklemin ortaya çıkan kökleri 2'ye bölünmelidir (çünkü ikisi x 2'den "atılmıştır"), şunu elde ederiz:

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Gerekçesi nedir? Bakın neler oluyor.

Denklem (1) ve (2)'nin ayırıcıları eşittir:

Denklemlerin köklerine bakarsanız yalnızca farklı paydalar elde edersiniz ve sonuç tam olarak x 2 katsayısına bağlıdır:

İkincisi (değiştirilmiş) 2 kat daha büyük köklere sahiptir.

Bu nedenle sonucu 2'ye bölüyoruz.

*Üçünü tekrar atarsak sonucu 3'e vb. böleriz.

Cevap: x 1 = 5 x 2 = 0,5

meydan ur-ie ve Birleşik Devlet Sınavı.

Önemini kısaca anlatacağım - Çabuk ve düşünmeden KARAR VERMELİSİNİZ, köklerin ve ayırıcıların formüllerini ezbere bilmeniz gerekiyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde yer alan problemlerin çoğu, ikinci dereceden bir denklemin (geometrik olanlar dahil) çözülmesine indirgenir.

Dikkate değer bir şey!

1. Bir denklemin yazım şekli “örtük” olabilir. Örneğin aşağıdaki giriş mümkündür:

15+ 9x 2 - 45x = 0 veya 15x+42+9x 2 - 45x=0 veya 15 -5x+10x 2 = 0.

Onu yanına getirmelisin standart görünüm(karar verirken kafanız karışmasın diye).

2. X'in bilinmeyen bir miktar olduğunu ve herhangi bir harfle (t, q, p, h ve diğerleri) gösterilebileceğini unutmayın.

İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta çalışılıyor, bu yüzden burada karmaşık bir şey yok. Bunları çözme yeteneği kesinlikle gereklidir.

İkinci dereceden denklem, a, b ve c katsayılarının keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu, ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemdir.

Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini unutmayın:

1. Kökleri yok;
2. Tam olarak bir köke sahip olun;
3. İki farklı kökü var.

Bu, ikinci dereceden denklemler ile kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç kökü olduğu nasıl belirlenir? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

diskriminant

İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denklemi verilse, diskriminant basitçe D = b 2 − 4ac sayısı olur.

Bu formülü ezbere bilmeniz gerekiyor. Artık nereden geldiği önemli değil. Başka bir şey daha önemlidir: Diskriminantın işaretiyle ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

1. Eğer D< 0, корней нет;
2. Eğer D = 0 ise tam olarak bir kök vardır;
3. D > 0 ise iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: Birçok insanın inandığı gibi, ayrımcı, hiçbir şekilde işaretlerini değil, köklerin sayısını gösterir. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

İlk denklemin katsayılarını yazalım ve diskriminantı bulalım:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi de benzer şekilde analiz ediyoruz:
bir = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant negatiftir, kök yoktur. Geriye kalan son denklem:
bir = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfırdır; kök bir olacaktır.

Lütfen her denklem için katsayıların yazıldığını unutmayın. Evet uzun, evet sıkıcı ama olasılıkları karıştırıp aptalca hatalar yapmayacaksınız. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, eğer alışırsanız, bir süre sonra tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür operasyonları kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak o kadar da değil.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri

Şimdi çözümün kendisine geçelim. Diskriminant D > 0 ise kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D = 0 olduğunda bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz; cevap olan aynı sayıyı elde edersiniz. Son olarak eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

İlk denklem:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ Denklemin yine iki kökü vardır. Haydi onları bulalım

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(hizala)\]

Son olarak üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ denklemin tek kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi her şey çok basit. Formülleri biliyorsanız ve sayabiliyorsanız hiçbir sorun yaşanmayacaktır. Çoğu zaman, formülde negatif katsayılar değiştirilirken hatalar meydana gelir. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı yazın - ve çok yakında hatalardan kurtulacaksınız.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu fark etmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözmek standart denklemlerden bile daha kolaydır: diskriminantın hesaplanmasını bile gerektirmezler. O halde yeni bir konsept sunalım:

ax 2 + bx + c = 0 denklemine, b = 0 veya c = 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir; x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfıra eşittir.

Elbette bu katsayıların her ikisinin de sıfıra eşit olması durumunda çok zor bir durum mümkündür: b = c = 0. Bu durumda denklem ax 2 = 0 formunu alır. Böyle bir denklemin tek bir kökü olduğu açıktır: x = 0.

Geri kalan durumları ele alalım. b = 0 olsun, sonra ax 2 + c = 0 formunda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu biraz dönüştürelim:

Aritmetikten beri Kare kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan var olduğundan son eşitlik yalnızca (−c /a) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:

1. Eğer ax 2 + c = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemde (−c /a) ≥ 0 eşitsizliği karşılanıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
2. Eğer (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi bir diskriminant gerekli değildi; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerde hiçbir karmaşık hesaplama yoktur. Aslında (−c /a) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamaya bile gerek yok. x 2 değerini ifade edip eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterli. Pozitif bir sayı varsa iki kökü olacaktır. Negatif ise hiçbir kök kalmayacaktır.

Şimdi serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 formundaki denklemlere bakalım. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacak. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak bu denklemlerden birkaçına bakalım:

Görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kök yok çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.