Parantez içindeki her terimi çarpalım. Doğal derecede braket. Parantez açmaya ne denir?

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısı şu şekilde ortaya çıkıyor: sıfıra eşit. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. Daha sonra benzerlerini birleştirin
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini vermeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu güzel ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit konularda saldırgan hatalar yapabilirler. doğrusal denklemler. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ama sizin de zaten anladığınız gibi, en başından başlayacağız. basit görevler.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Not: Hakkında konuşuyoruz sadece bireysel terimler hakkında. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle, devam edelim dördüncü adım: katsayıya bölünür:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Birkaç parantez var ama hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önüne bir parantez geliyor. çeşitli işaretler. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak, her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• görürseniz endişelenmeyin ikinci dereceden fonksiyonlar büyük olasılıkla, daha sonraki dönüşümler sürecinde azalacaklar.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!

Parantezleri genişletmek bir tür ifade dönüşümüdür. Bu bölümde parantez açma kurallarını açıklayacağız ve ayrıca en yaygın sorun örneklerine bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Parantez açmak nedir?

Parantezler sayısal, değişmez ve değişken ifadelerde eylemlerin gerçekleştirilme sırasını belirtmek için kullanılır. Parantezli bir ifadeden aynı ifadeye geçmek uygundur ifadeye eşit parantez olmadan. Örneğin, 2 · (3 + 4) ifadesini şu formdaki bir ifadeyle değiştirin: 2 3 + 2 4 parantez olmadan. Bu tekniğe açma parantezleri denir.

Tanım 1

Parantezleri genişletmek, parantezlerden kurtulma tekniklerini ifade eder ve genellikle aşağıdakileri içerebilecek ifadelerle ilişkili olarak değerlendirilir:

• toplamları veya farkları içeren parantezlerden önce “+” veya “-” işaretleri;
• parantez içine alınmış bir sayı, harf veya birkaç harf ile bir toplam veya farkın çarpımı.

Okul müfredatında parantez açma sürecini bu şekilde görmeye alışkınız. Ancak kimse bizi bu eyleme daha geniş açıdan bakmaktan alıkoyamıyor. Parantez içinde negatif sayılar içeren bir ifadeden, parantez içermeyen bir ifadeye geçişi parantez açma olarak adlandırabiliriz. Örneğin 5 + (− 3) − (− 7)'den 5 − 3 + 7'ye gidebiliriz. Aslında bu aynı zamanda bir parantez açılmasıdır.

Aynı şekilde, (a + b) · (c + d) biçimindeki parantez içindeki ifadelerin çarpımını a · c + a · d + b · c + b · d toplamı ile değiştirebiliriz. Bu teknik aynı zamanda parantez açmanın anlamı ile de çelişmez.

İşte başka bir örnek. İfadelerde sayı ve değişken yerine herhangi bir ifadenin kullanılabileceğini varsayabiliriz. Örneğin, x 2 · 1 a - x + sin (b) ifadesi, parantezsiz x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) formundaki bir ifadeye karşılık gelecektir.

Parantezleri açarken kararların kaydedilmesinin özellikleriyle ilgili bir nokta daha özel ilgiyi hak ediyor. Parantezli başlangıç ​​ifadesini ve parantez açıldıktan sonra elde edilen sonucu eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin ifade yerine parantezleri genişlettikten sonra 3 − (5 − 7) ifadeyi elde ederiz 3 − 5 + 7 . Bu ifadelerin her ikisini de 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 eşitliği olarak yazabiliriz.

Hantal ifadelerle işlem yapmak, ara sonuçların kaydedilmesini gerektirebilir. O zaman çözüm bir eşitlikler zinciri biçiminde olacaktır. Örneğin, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 veya 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Parantez açma kuralları, örnekler

Parantez açma kurallarına bakmaya başlayalım.

Parantez içindeki tek sayılar için

Parantez içindeki negatif sayılar ifadelerde sıklıkla bulunur. Örneğin, (− 4) ve 3 + (− 4) . Parantez içindeki pozitif sayıların da yeri vardır.

Tek pozitif sayılar içeren parantezleri açmak için bir kural formüle edelim. a'nın herhangi bir pozitif sayı olduğunu varsayalım. Daha sonra (a) yerine a, + (a) yerine + a, - (a) yerine – a koyabiliriz. Eğer a yerine belirli bir sayı alırsak, o zaman kurala göre: (5) sayısı şu şekilde yazılacaktır: 5 , parantezsiz ifade 3 + (5) formunu alacaktır 3 + 5 + (5) ile değiştirildiği için + 5 ve 3 + (− 5) ifadesi şu ifadeye eşdeğerdir: 3 − 5 , Çünkü + (− 5) şununla değiştirilir: − 5 .

Pozitif sayılar genellikle parantez kullanılmadan yazılır, çünkü bu durumda parantez gereksizdir.

Şimdi tek bir parantez içeren parantezleri açma kuralını düşünün. negatif bir sayı. + (− a)şununla değiştiririz - bir, − (− a) + a ile değiştirilir. İfade negatif bir sayıyla başlıyorsa (−a) parantez içinde yazılırsa parantezler çıkarılır ve bunun yerine (−a) kalıntılar - bir.

İşte bazı örnekler: (− 5) − 5 şeklinde yazılabilir, (− 3) + 0, 5 − 3 + 0 olur, 5, 4 + (− 3) olur 4 − 3 , ve − (− 4) − (− 3) parantez açıldıktan sonra 4 + 3 şeklini alır, çünkü − (− 4) ve − (− 3) +4 ve +3 ile değiştirilir.

3 · (− 5) ifadesinin 3 · − 5 şeklinde yazılamayacağı anlaşılmalıdır. Bu, aşağıdaki paragraflarda tartışılacaktır.

Parantez açma kurallarının neye dayandığını görelim.

Kurala göre a − b farkı a + (− b)'ye eşittir. Sayılarla yapılan eylemlerin özelliklerine dayanarak bir eşitlikler zinciri oluşturabiliriz (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a bu adil olacak. Bu eşitlikler zinciri, çıkarma anlamından dolayı a + (− b) ifadesinin fark olduğunu kanıtlar. a - b.

Zıt sayıların özelliklerine ve negatif sayıları çıkarma kurallarına dayanarak − (− a) = a, a − (− b) = a + b olduğunu söyleyebiliriz.

Bir sayı, eksi işareti ve birkaç çift parantezden oluşan ifadeler vardır. Yukarıdaki kuralları kullanmak, içten dışa doğru veya ters yönde hareket ederek parantezlerden sırayla kurtulmanıza olanak tanır. Böyle bir ifadenin örneği − (− ((− (5)))) olabilir. İçeriden dışarıya doğru hareket ederek parantezleri açalım: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Bu örneği ters yönde de incelemek mümkündür: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Altında A ve b yalnızca sayılar olarak değil, aynı zamanda toplam veya fark olmayan, önünde "+" işareti bulunan rastgele sayısal veya alfabetik ifadeler olarak da anlaşılabilir. Tüm bu durumlarda, kuralları parantez içindeki tek sayılar için yaptığımız gibi uygulayabilirsiniz.

Örneğin parantezleri açtıktan sonra ifade − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z formunu alacaktır. Bunu nasıl yaptık? − (− 2 x)'in +2 x olduğunu biliyoruz ve bu ifade önce geldiği için +2 x, 2 x olarak yazılabilir, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x ve − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

İki sayının çarpımlarında

İki sayının çarpımında parantez açma kuralıyla başlayalım.

Öyleymiş gibi yapalım A ve b iki pozitif sayıdır. Bu durumda iki negatif sayının çarpımı - bir ve (− a) · (− b) biçimindeki − b'yi (a · b) ile değiştirebiliriz ve (− a) · b ve a · (− b) biçiminde zıt işaretli iki sayının çarpımları ile değiştirilebilir (− a b). Bir eksiyi bir eksi ile çarpmak bir artı verir ve bir eksiyi bir artı ile çarpmak, tıpkı bir artıyı bir eksi ile çarpmanın eksi vermesi gibi.

Yazılı kuralın ilk bölümünün doğruluğu, negatif sayıları çarpma kuralıyla doğrulanır. Kuralın ikinci kısmını doğrulamak için sayıları çarpma kurallarını kullanabiliriz. farklı işaretler.

Birkaç örneğe bakalım.

örnek 1

(- 2) · - 4 3 5 biçimindeki iki negatif sayının (4 3 5 ve - 2) çarpımında parantez açmak için bir algoritma düşünelim. Bunu yapmak için orijinal ifadeyi 2 · 4 3 5 ile değiştirin. Parantezleri açıp 2 · 4 3 5 elde edelim.

Ve negatif sayıların (− 4) : (− 2) bölümünü alırsak, parantezleri açtıktan sonraki giriş 4: 2 gibi görünecektir.

Negatif sayılar yerine - bir ve - b, toplam veya fark olmayan, önünde eksi işareti bulunan herhangi bir ifade olabilir. Örneğin bunlar çarpımlar, bölümler, kesirler, kuvvetler, kökler, logaritmalar olabilir. trigonometrik fonksiyonlar ve benzeri.

- 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) ifadesindeki parantezleri açalım. Kurala göre şu dönüşümleri yapabiliriz: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

İfade (− 3) 2(− 3 2) ifadesine dönüştürülebilir. Bundan sonra parantezleri genişletebilirsiniz: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Sayıları farklı işaretlerle bölmek aynı zamanda parantezlerin önceden genişletilmesini de gerektirebilir: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 ve 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Kural, farklı işaretli ifadelerin çarpımını ve bölünmesini gerçekleştirmek için kullanılabilir. İki örnek verelim.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2

Üç veya daha fazla sayının çarpımlarında

Daha fazla sayıda sayı içeren çarpımlara ve bölümlere geçelim. Parantez açmak için burada aşağıdaki kural geçerli olacaktır. Çift sayıda negatif sayı varsa parantezleri atlayabilir ve sayıları karşıtlarıyla değiştirebilirsiniz. Bundan sonra ortaya çıkan ifadeyi yeni parantez içine almanız gerekir. Tek sayıda negatif sayı varsa parantezleri çıkarın ve sayıları karşıtlarıyla değiştirin. Bundan sonra ortaya çıkan ifade yeni parantez içine alınmalı ve önüne eksi işareti konulmalıdır.

Örnek 2

Örneğin, üç sayının çarpımı olan 5 · (− 3) · (− 2) ifadesini alın. İki negatif sayı olduğundan ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: (5 · 3 · 2) ve son olarak parantezleri açarak 5 · 3 · 2 ifadesini elde edin.

(− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) çarpımında beş sayı negatiftir. dolayısıyla (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Sonunda parantezleri açtıktan sonra şunu elde ederiz: −2,5 3:2 4:1,25:1.

Yukarıdaki kural şu ​​şekilde gerekçelendirilebilir. Öncelikle bu tür ifadeleri çarpım olarak yeniden yazabiliriz, çarpma yoluyla bölme yerine karşılıklı sayıyı kullanabiliriz. Her negatif sayıyı bir çarpan sayının çarpımı olarak temsil ederiz ve -1 veya -1 yerine (− 1) a.

Çarpmanın değişme özelliğini kullanarak faktörleri değiştiririz ve tüm faktörleri eşit olarak aktarırız − 1 , ifadenin başlangıcına kadar. Çift sayı eksi birin çarpımı 1'e, tek sayının çarpımı ise eşittir − 1 bu da eksi işaretini kullanmamıza olanak sağlar.

Kuralı kullanmasaydık, - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ifadesindeki parantezleri açmak için yapılacak işlemler zinciri şu şekilde görünürdü:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Yukarıdaki kural, toplam veya fark olmayan çarpım ve bölümleri eksi işaretiyle temsil eden ifadelerde parantezlerin açılması sırasında kullanılabilir. Örnek olarak ifadeyi ele alalım

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Parantezsiz x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 ifadesine indirgenebilir.

Önünde + işareti bulunan genişleyen parantez

Başına artı işareti gelen parantezleri genişletmek için uygulanabilecek bir kural düşünün ve bu parantezlerin "içerikleri" herhangi bir sayı veya ifadeyle çarpılmaz veya bölünmez.

Kurala göre parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri korunurken, parantezlerin önündeki işaret de silinir. Parantez içindeki ilk terimden önce işaret yoksa artı işareti koymanız gerekir.

Örnek 3

Örneğin şu ifadeyi veriyoruz (12 − 3 , 5) − 7 . Parantezleri atlayarak parantez içindeki terimlerin işaretlerini tutuyoruz ve ilk terimin önüne artı işareti koyuyoruz. Giriş (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7 gibi görünecektir. Verilen örnekte +12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7 olduğundan ilk terimin önüne işaret koymaya gerek yoktur.

Örnek 4

Başka bir örneğe bakalım. x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ifadesini alalım ve onunla işlemleri gerçekleştirelim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Genişleyen parantezlerin başka bir örneği:

Örnek 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Başında eksi işareti bulunan parantezler nasıl genişletilir?

Parantezlerin önünde eksi işareti bulunan ve herhangi bir sayı veya ifadeyle çarpılmayan (veya bölünmeyen) durumları ele alalım. Başına “-” işareti gelen parantezlerin açılması kuralına göre, “-” işaretli parantezler atlanır ve parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri ters çevrilir.

Örnek 6

Örneğin:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Değişkenli ifadeler aynı kural kullanılarak dönüştürülebilir:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 elde ederiz.

Bir sayıyı parantezle çarparken parantez açma, parantezle ifadeler

Burada, bir sayı veya ifadeyle çarpılan veya bölünen parantezleri genişletmeniz gereken durumlara bakacağız. Formun formülleri (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) veya b · (a 1 ± a 2 ± … ± an n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · an n), Nerede bir 1, bir 2,…, bir n ve b bazı sayılar veya ifadelerdir.

Örnek 7

Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim. (3 − 7) 2. Kurala göre şu dönüşümleri gerçekleştirebiliriz: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . 3 · 2 − 7 · 2 elde ederiz.

3 x 2 1 - x + 1 x + 2 ifadesindeki parantezleri açtığımızda 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2 elde ederiz.

Parantezleri parantezlerle çarpmak

(a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) formundaki iki parantezin çarpımını düşünün. Bu, parantez içinde çarpma işlemi yaparken parantezlerin açılmasına ilişkin bir kural elde etmemize yardımcı olacaktır.

Verilen örneği çözmek için ifadeyi belirtiyoruz. (b 1 + b 2) b gibi. Bu, parantezi bir ifadeyle çarpma kuralını kullanmamıza izin verecektir. (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b elde ederiz. Ters değiştirme gerçekleştirerek B(b 1 + b 2) ile ifadeyi parantezle çarpma kuralını tekrar uygulayın: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Bir dizi basit teknik sayesinde, birinci parantezdeki terimlerin her birinin, ikinci parantezdeki terimlerin her birinin çarpımlarının toplamına ulaşabiliriz. Kural parantez içindeki herhangi bir sayıda terime genişletilebilir.

Parantezleri parantezlerle çarpma kurallarını formüle edelim: iki toplamı birlikte çarpmak için, ilk toplamın terimlerinden her birini ikinci toplamın terimlerinin her biriyle çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.

Formül şöyle görünecek:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n ++ . . . ++ a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

(1 + x) · (x 2 + x + 6) İfadesindeki parantezleri genişletelim. İki toplamın çarpımıdır. Çözümü yazalım: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Artı işaretlerinin yanı sıra parantez içinde eksi işaretinin bulunduğu durumları ayrı ayrı belirtmekte fayda var. Örneğin, (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) ifadesini alın.

Öncelikle parantez içindeki ifadeleri toplam olarak sunalım: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Şimdi şu kuralı uygulayabiliriz: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Parantezleri açalım: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Birden fazla parantez ve ifadenin çarpımlarında parantezleri genişletme

Bir ifadede parantez içinde üç veya daha fazla ifade varsa parantezlerin sırayla açılması gerekir. İlk iki faktörü parantez içine alarak dönüşüme başlamanız gerekir. Bu parantezler içerisinde yukarıda tartışılan kurallara göre dönüşümler gerçekleştirebiliriz. Örneğin (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) ifadesindeki parantezler.

İfade aynı anda üç faktör içeriyor (2 + 4) , 3 ve (5 + 7 8) . Parantezleri sırasıyla açacağız. İlk iki faktörü, netlik sağlamak için kırmızıya çevireceğimiz başka bir parantez içine alalım: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Parantezi bir sayıyla çarpma kuralına uygun olarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirebiliriz: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Parantezi parantezle çarpın: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Ayni braket

Tabanları parantez içinde yazılan bazı ifadelerden oluşan, doğal üslü dereceler, birkaç parantezin çarpımı olarak düşünülebilir. Üstelik önceki iki paragraftaki kurallara göre bu parantez olmadan da yazılabilirler.

İfadeyi dönüştürme sürecini düşünün (a + b + c) 2 . İki parantez çarpımı olarak yazılabilir (a + b + c) · (a + b + c). Parantezi parantezle çarpalım ve a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c elde edelim.

Başka bir örneğe bakalım:

Örnek 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Parantezleri sayıya ve parantezleri parantezlere bölme

Bir parantezin bir sayıya bölünmesi, parantez içindeki tüm terimlerin sayıya bölünmesini gerektirir. Örneğin, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Bölme ilk önce çarpma ile değiştirilebilir, ardından bir çarpımdaki parantezleri açmak için uygun kuralı kullanabilirsiniz. Bir parantez parantezle bölünürken de aynı kural geçerlidir.

Örneğin (x + 2) : 2 3 ifadesinde parantezleri açmamız gerekiyor. Bunu yapmak için önce bölme işlemini karşılıklı sayıyla (x + 2) çarparak değiştirin: 2 3 = (x + 2) · 2 3. Parantezi (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 sayısıyla çarpın.

İşte parantezle bölmeye başka bir örnek:

Örnek 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Bölmeyi yerine çarpmayı koyalım: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Çarpma işlemini yapalım: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Parantezlerin açılma sırası

Şimdi yukarıda ifadelerde tartışılan kuralların uygulanma sırasını düşünün. Genel görünüm yani farkları olan toplamları, bölümleri olan çarpımları, parantezleri içeren ifadelerde doğal derece.

Prosedür:

• ilk adım braketleri doğal bir güce yükseltmektir;
• ikinci aşamada işlerde ve katsayılarda parantez açılması gerçekleştirilir;
• Son adım, toplamlarda ve farklarda parantezleri açmaktır.

(− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) ifadesini kullanarak eylemlerin sırasını ele alalım. Şeklinde olması gereken 3 · (− 2) : (− 4) ve 6 · (− 7) ifadelerinden dönüşüm yapalım. (3 2:4) ve (− 6 · 7) . Elde edilen sonuçları orijinal ifadede yerine koyarken şunu elde ederiz: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Parantezleri açın: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Parantez içinde parantez içeren ifadelerle uğraşırken dönüşümleri içeriden dışarıya doğru yapmak uygundur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin, V sayısal olarak\(5·3+7\) önce çarpma, sonra toplama işlemi hesaplanacaktır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Örnek. Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Örnek. İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi kaldırın - terimlerinin her birini ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Sonra ikincisi.

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Burada parantezlerin üçlü iç içe geçmesi var. En içtekiyle başlayalım (yeşille vurgulanmış). Braketin önünde bir artı var, bu yüzden kolayca çıkıyor.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Şimdi ikinci braketi, ara braketi açmanız gerekiyor. Ancak ondan önce bu ikinci parantez içindeki hayalet benzeri terimlerin anlatımını basitleştireceğiz.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Şimdi ikinci braketi açıyoruz (mavi renkle vurgulanmıştır). Parantez bir faktör olmadan önce - yani parantez içindeki her terim onunla çarpılır.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Ve son parantezi açın. Parantez önünde eksi işareti vardır, dolayısıyla tüm işaretler terstir.

Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıfta C'nin üzerinde not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.

“Açılış parantezleri” - Matematik ders kitabı, 6. sınıf (Vilenkin)

Kısa Açıklama:

Bu bölümde parantezlerin nasıl genişletileceğini örneklerle öğreneceksiniz. Bu ne için? Her şey eskisi gibi aynı şey için - saymayı kolaylaştırmak ve basitleştirmek, daha az hata yapmak ve ideal olarak (matematik öğretmeninizin hayali) her şeyi hatasız çözmek için.
Matematiksel gösterimde eğer arka arkaya iki parantez varsa parantezlerin yerleştirildiğini zaten biliyorsunuz. matematiksel işaret, eğer sayıların birleşimini, yeniden gruplanmalarını göstermek istiyorsak. Parantezleri genişletmek gereksiz karakterlerden kurtulmak anlamına gelir. Örneğin: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğini hatırlıyor musunuz? Aslında bu örnekte hesaplamaları basitleştirmek için parantezlerden de kurtulduk. Adı geçen çarpma özelliği aynı zamanda dört, üç, beş veya daha fazla terime de uygulanabilir. Örneğin: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Parantezleri açtığınızda, parantezlerin önündeki sayı pozitifse içindeki sayıların işaret değiştirmediğini fark ettiniz mi? Sonuçta on beş pozitif bir sayıdır. Ve bu örneği çözerseniz: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Parantezlerin önünde eksi on beş negatif bir sayı vardı, parantezleri açtığımızda tüm sayılar işaretlerini artıdan eksiye değiştirmeye başladı - tam tersi.
Yukarıdaki örneklere dayanarak parantez açmaya ilişkin iki temel kural belirtilebilir:
1. Parantezlerin önünde pozitif bir sayı varsa, parantezleri açtıktan sonra parantez içindeki sayıların tüm işaretleri değişmez, oldukları gibi kalır.
2. Parantezlerin önünde negatif bir sayı varsa, parantez açıldıktan sonra eksi işareti artık yazılmaz ve parantez içindeki tüm mutlak sayıların işaretleri aniden ters yönde değişir.
Örneğin: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Örneklerimizi biraz karmaşıklaştıralım: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. İkinci parantezleri açarken 2 ile çarptığımızı ancak işaretlerin aynı kaldığını fark ettiniz. İşte bir örnek: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, bu örnekte iki rakamı negatiftir, parantezler eksi işaretiyle duruyor, bu yüzden onları açarken sayıların işaretlerini zıt yönlere değiştirdik (dokuz artıydı, eksi oldu, sekiz eksiydi, artı oldu).

MÖ beşinci yüzyılda Antik Yunan filozofu Elea'lı Zenon, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...tartışmalar bugün de devam ediyor; bilim dünyası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı...konunun incelenmesine dahil oldular matematiksel analiz küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla matematiksel uygulama aparatı değişken birimlerölçüm ya henüz geliştirilmemiştir ya da Zeno'nun açmazına uygulanmamıştır. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zaman yavaşlıyor gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama öyle değil tam çözüm Sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...

Ve şimdi en çok şeye sahibim faiz Sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Biz seçiyoruz futbol stadyumları aynı alan alanına sahip. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Aynı dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde edersiniz.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.

Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.

Kapıya imza at Kapıyı açar ve şöyle der:

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası ruhların cennete yükselişleri sırasındaki ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.