Doğrusal denklemler ve çözümleri. Gauss yöntemini kullanarak sistemleri çözme. Sistemleri çözmek için görsel yöntem

vb., diğer türdeki denklemlerle tanışmak mantıklıdır. Sıradakiler doğrusal denklemler 7. sınıfta cebir derslerinde hedeflenen çalışma başlar.

Öncelikle doğrusal bir denklemin ne olduğunu açıklamanız, doğrusal bir denklemin tanımını, katsayılarını vermeniz, göstermeniz gerektiği açıktır. Genel form. Daha sonra katsayıların değerlerine bağlı olarak bir doğrusal denklemin kaç çözümü olduğunu ve köklerinin nasıl bulunduğunu öğrenebilirsiniz. Bu, örnekleri çözmeye devam etmenize ve böylece öğrenilen teoriyi pekiştirmenize olanak sağlayacaktır. Bu yazıda bunu yapacağız: Lineer denklemler ve çözümleriyle ilgili tüm teorik ve pratik noktalar üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.

Hemen söyleyelim ki burada sadece tek değişkenli doğrusal denklemleri ele alacağız ve ayrı bir makalede çözümün ilkelerini inceleyeceğiz. iki değişkenli doğrusal denklemler.

Sayfada gezinme.

Doğrusal denklem nedir?

Doğrusal denklemin tanımı yazılış şekliyle verilir. Ayrıca farklı matematik ve cebir ders kitaplarında doğrusal denklem tanımlarının formülasyonlarında konunun özünü etkilemeyen bazı farklılıklar bulunmaktadır.

Örneğin, Yu.N. Makarychev ve arkadaşlarının 7. sınıf cebir ders kitabında doğrusal bir denklem şu şekilde tanımlanır:

Tanım.

Formun denklemi ax=b x'in bir değişken, a ve b'nin ise bazı sayılar olduğu duruma ne ad verilir? tek değişkenli doğrusal denklem.

Belirtilen tanımı karşılayan doğrusal denklem örnekleri verelim. Örneğin 5 x = 10, tek değişkenli x içeren doğrusal bir denklemdir; burada a katsayısı 5 ve b sayısı 10'dur. Başka bir örnek: −2,3·y=0 da doğrusal bir denklemdir, ancak a=−2,3 ve b=0 olan y değişkenine sahiptir. Ve doğrusal denklemlerde x=−2 ve −x=3,33 a açıkça mevcut değildir ve sırasıyla 1 ve −1'e eşittir; ilk denklemde b=−2 ve ikincisinde - b=3,33.

Ve bir yıl önce, N.Ya.Vilenkin'in matematik ders kitabında, a x = b formundaki denklemlere ek olarak, bir bilinmeyenli doğrusal denklemler, terimlerin bir bölümden aktarılmasıyla bu forma getirilebilecek denklemler olarak da değerlendiriliyordu. Denklemin zıt işaretli bir başkasına dönüştürülmesinin yanı sıra benzer terimlerin azaltılması yoluyla. Bu tanıma göre, 5 x = 2 x + 6 vb. formundaki denklemler. aynı zamanda doğrusal.

Buna karşılık, A. G. Mordkovich'in 7. sınıf cebir ders kitabında aşağıdaki tanım verilmiştir:

Tanım.

Tek değişkenli x ile doğrusal denklem a·x+b=0 biçiminde bir denklemdir; burada a ve b, doğrusal denklemin katsayıları olarak adlandırılan bazı sayılardır.

Örneğin, bu tür doğrusal denklemler 2 x−12=0'dır, burada a katsayısı 2'dir ve b, −12'ye eşittir ve katsayılar a=0,2 ve b =4,6 ile 0,2 y+4,6=0'dır. Ancak aynı zamanda a·x+b=0 değil, a·x=b biçiminde olan doğrusal denklem örnekleri de vardır, örneğin 3·x=12.

Gelecekte herhangi bir tutarsızlıkla karşılaşmamak için, tek değişkenli x ve katsayıları a ve b olan doğrusal bir denklemle a x + b = 0 biçiminde bir denklemi kastetelim. Bu tip lineer denklem en mantıklısı gibi görünüyor çünkü lineer denklemler cebirsel denklemler Birinci derece. Ve yukarıda belirtilen tüm diğer denklemlerin yanı sıra eşdeğer dönüşümler kullanılarak a x + b = 0 formuna indirgenen denklemleri arayacağız doğrusal denklemlere indirgenen denklemler. Bu yaklaşımla, 2 x+6=0 denklemi doğrusal bir denklemdir ve 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 vb. - Bunlar doğrusal olanlara indirgenen denklemlerdir.

Doğrusal denklemler nasıl çözülür?

Şimdi a·x+b=0 doğrusal denklemlerinin nasıl çözüldüğünü bulmanın zamanı geldi. Başka bir deyişle, bir doğrusal denklemin köklerinin olup olmadığını, varsa kaç tanesini ve nasıl bulunacağını öğrenmenin zamanı geldi.

Doğrusal bir denklemin köklerinin varlığı a ve b katsayılarının değerlerine bağlıdır. Bu durumda, a x+b=0 doğrusal denklemi

• a≠0 için tek kök,
• a=0 ve b≠0 için kökleri yoktur,
• a=0 ve b=0 için sonsuz sayıda kökü vardır; bu durumda her sayı bir doğrusal denklemin köküdür.

Bu sonuçların nasıl elde edildiğini açıklayalım.

Denklemleri çözmek için orijinal denklemden eşdeğer denklemlere, yani aynı kökleri olan veya orijinali gibi kökleri olmayan denklemlere geçebileceğimizi biliyoruz. Bunu yapmak için aşağıdaki eşdeğer dönüşümleri kullanabilirsiniz:

• Bir terimi denklemin bir tarafından diğer tarafa zıt işaretle aktarmak,
• bir denklemin her iki tarafını da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak veya bölmek.

Yani, bir ile doğrusal bir denklemde formun değişkeni a·x+b=0 b terimini ters işaretle sol taraftan sağ tarafa taşıyabiliriz. Bu durumda denklem a·x=−b formunu alacaktır.

Ve sonra denklemin her iki tarafını da a sayısına bölme sorusu ortaya çıkıyor. Ancak bir şey var: a sayısı sıfıra eşit olabilir, bu durumda böyle bir bölme mümkün değildir. Bu sorunu çözmek için öncelikle a sayısının sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız, biraz sonra a'nın sıfıra eşit olması durumunu ayrı ayrı ele alacağız.

Yani a, sıfıra eşit olmadığında, a·x=−b denkleminin her iki tarafını da a'ya bölebiliriz, ardından x=(−b):a formuna dönüştürülür, bu sonuç şu şekilde olabilir: kesirli eğik çizgi kullanılarak yazılmıştır.

Dolayısıyla a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemi, kökü görülebilen denkleme eşdeğerdir.

Bu kökün tek olduğunu, yani doğrusal denklemin başka köklerinin olmadığını göstermek kolaydır. Bu, tam tersi yöntemi yapmanızı sağlar.

Kökünü x 1 olarak gösterelim. Doğrusal denklemin x 2 ve x 2 ≠x 1 olarak gösterdiğimiz başka bir kökü olduğunu varsayalım. fark yoluyla eşit sayıları belirleme x 1 −x 2 ≠0 koşuluna eşdeğerdir. x 1 ve x 2, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri olduğundan, a·x 1 +b=0 ve a·x 2 +b=0 sayısal eşitlikleri geçerlidir. Sayısal eşitliklerin özelliklerinin yapmamıza izin verdiği şekilde bu eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarabiliriz, elimizde a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 bulunur, buradan a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 ve sonra a·(x 1 −x 2)=0 . Ancak hem a≠0 hem de x 1 − x 2 ≠0 olduğundan bu eşitlik imkansızdır. Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökünün benzersizliğini kanıtlayan bir çelişkiye geldik.

Böylece a≠0 için a·x+b=0 doğrusal denklemini çözdük. Bu paragrafın başında verilen ilk sonuç haklıdır. a=0 koşulunu karşılayan iki tane daha kaldı.

a=0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denklemi 0·x+b=0 biçimini alır. Bu denklemden ve sayıları sıfırla çarpma özelliğinden, x olarak hangi sayıyı alırsak alalım, 0 x + b=0 denkleminde yerine konulduğunda b=0 sayısal eşitliğinin elde edileceği sonucu çıkar. Bu eşitlik b=0 olduğunda doğrudur, diğer durumlarda b≠0 olduğunda bu eşitlik yanlıştır.

Sonuç olarak, a=0 ve b=0 ile herhangi bir sayı a·x+b=0 doğrusal denkleminin köküdür, çünkü bu koşullar altında x'in yerine herhangi bir sayı koymak doğru sayısal eşitliği 0=0 verir. Ve a=0 ve b≠0 olduğunda, a·x+b=0 doğrusal denkleminin kökleri yoktur, çünkü bu koşullar altında x yerine herhangi bir sayıyı koymak yanlış b=0 sayısal eşitliğine yol açar.

Verilen gerekçeler, herhangi bir doğrusal denklemi çözmemize olanak tanıyan bir dizi eylem formüle etmemize olanak tanır. Bu yüzden, doğrusal denklem çözme algoritması dır-dir:

• Öncelikle doğrusal denklemi yazarak a ve b katsayılarının değerlerini buluyoruz.
• Eğer a=0 ve b=0 ise bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır, yani her sayı bu doğrusal denklemin köküdür.
• Eğer a sıfır değilse, o zaman
• b katsayısı ters işaretle sağ tarafa aktarılır ve doğrusal denklem a·x=−b formuna dönüştürülür,
• bundan sonra ortaya çıkan denklemin her iki tarafı sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; bu, orijinal doğrusal denklemin istenen kökünü verir.

Yazılı algoritma, doğrusal denklemlerin nasıl çözüleceği sorusuna kapsamlı bir cevaptır.

Bu noktanın sonucu olarak, a·x=b formundaki denklemleri çözmek için benzer bir algoritmanın kullanıldığını söylemekte yarar var. Farkı, a≠0 olduğunda denklemin her iki tarafı da hemen bu sayıya bölünür; burada b zaten denklemin gerekli kısmındadır ve onu aktarmaya gerek yoktur.

a x = b formundaki denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma kullanılır:

• Eğer a=0 ve b=0 ise denklemin herhangi bir sayıdan oluşan sonsuz sayıda kökü vardır.
• Eğer a=0 ve b≠0 ise orijinal denklemin kökleri yoktur.
• Eğer a sıfır değilse, denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir a sayısına bölünür; buradan denklemin b/a'ya eşit tek kökü bulunur.

Doğrusal denklem çözme örnekleri

Hadi uygulamaya geçelim. Doğrusal denklemleri çözmek için algoritmanın nasıl kullanıldığına bakalım. Aşağıdakilere karşılık gelen tipik örneklere çözümler verelim Farklı anlamlar Doğrusal denklemlerin katsayıları.

Örnek.

0·x−0=0 doğrusal denklemini çözün.

Çözüm.

Bu doğrusal denklemde a=0 ve b=−0 olup, b=0 ile aynıdır. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda kökü vardır; her sayı bu denklemin köküdür.

Cevap:

x – herhangi bir sayı.

Örnek.

0 x + 2,7 = 0 doğrusal denkleminin çözümleri var mı?

Çözüm.

Bu durumda a katsayısı sıfıra eşit ve bu doğrusal denklemin b katsayısı 2,7'ye eşittir, yani sıfırdan farklıdır. Bu nedenle doğrusal bir denklemin kökleri yoktur.

Denklem çözmeyi öğrenmek cebirin öğrencilere sunduğu temel görevlerden biridir. Bir bilinmeyenden oluştuğunda en basitinden başlayıp giderek daha karmaşık olanlara doğru ilerliyoruz. Birinci gruptaki denklemlerle yapılması gereken işlemlere hakim değilseniz diğerlerini anlamanız zor olacaktır.

Konuşmaya devam etmek için notasyon üzerinde anlaşmanız gerekir.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemin genel formu ve çözüm ilkesi

Bu şekilde yazılabilecek herhangi bir denklem:

a * x = b,

isminde doğrusal. Bu Genel formül. Ancak ödevlerde sıklıkla doğrusal denklemler örtülü biçimde yazılır. O zaman yapmanız gereken kimlik dönüşümleri genel kabul görmüş girişi almak için. Bu eylemler şunları içerir:

• parantez açma;
• değişken değere sahip tüm terimleri eşitliğin sol tarafına, geri kalanını ise sağa taşımak;
• benzer terimlerin azaltılması.

Bir kesrin paydasında bilinmeyen bir miktarın olması durumunda, ifadenin anlam ifade etmeyeceği değerlerini belirlemeniz gerekir. Başka bir deyişle denklemin tanım alanını bilmeniz gerekir.

Tüm doğrusal denklemlerin çözülmesindeki prensip, denklemin sağ tarafındaki değerin değişkenin önündeki katsayıya bölünmesine dayanır. Yani "x" b/a'ya eşit olacaktır.

Lineer denklemlerin özel durumları ve çözümleri

Akıl yürütme sırasında, doğrusal denklemlerin özel biçimlerden birini aldığı anlar ortaya çıkabilir. Her birinin özel bir çözümü var.

İlk durumda:

a * x = 0 ve a ≠ 0.

Böyle bir denklemin çözümü her zaman x = 0 olacaktır.

İkinci durumda “a” sıfıra eşit değeri alır:

0 * x = 0.

Böyle bir denklemin cevabı herhangi bir sayı olacaktır. Yani sonsuz sayıda kökü vardır.

Üçüncü durum şöyle görünür:

0 * x = içinde≠ 0'da.

Bu denklem mantıklı değil. Çünkü onu tatmin edecek kökler yoktur.

İki değişkenli doğrusal denklemin genel görünümü

İsminden, içinde zaten iki bilinmeyen miktarın olduğu anlaşılıyor. İki değişkenli doğrusal denklemler Bunun gibi:

a * x + b * y = c.

Kayıtta iki bilinmeyen olduğundan cevap bir çift sayı gibi görünecektir. Yani tek bir değer belirtmek yeterli değildir. Bu eksik bir cevap olacaktır. Denklemin özdeşlik haline geldiği bir miktar çifti, denklemin bir çözümüdür. Üstelik cevapta alfabede ilk sırada gelen değişken her zaman önce yazılır. Bazen bu rakamların onu tatmin ettiğini söylüyorlar. Üstelik bu tür çiftlerden sonsuz sayıda olabilir.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem nasıl çözülür?

Bunu yapmak için doğru olduğu ortaya çıkan herhangi bir sayı çiftini seçmeniz yeterlidir. Kolaylık sağlamak için, bilinmeyenlerden birini asal sayıya eşit olarak alıp ikinciyi bulabilirsiniz.

Çözerken genellikle denklemi basitleştirecek adımları uygulamanız gerekir. Bunlara kimlik dönüşümleri denir. Ayrıca aşağıdaki özellikler denklemler için her zaman doğrudur:

• her terim, işaretinin tersi ile değiştirilerek eşitliğin karşıt kısmına taşınabilir;
• Sıfıra eşit olmadığı sürece herhangi bir denklemin sol ve sağ taraflarının aynı sayıya bölünmesine izin verilir.

Doğrusal denklemlerle ilgili görev örnekleri

İlk görev. Doğrusal denklemleri çözün: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Bu listede ilk sırada yer alan denklemde 20'yi 4'e bölmeniz yeterlidir. Sonuç 5 olacaktır. Cevap şu: x = 5.

Üçüncü denklem bir kimlik dönüşümünün gerçekleştirilmesini gerektirir. Parantezlerin açılması ve benzer terimlerin getirilmesinden oluşacaktır. İlk adımdan sonra denklem şu şekli alacaktır: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. O zaman tüm bilinmeyenleri denklemin sol tarafına, geri kalanını da sağa taşımanız gerekir. Denklem şu şekilde görünecektir: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Benzer terimleri ekledikten sonra: 14x = 16. Artık ilkiyle aynı görünüyor ve çözümünü bulmak kolay. Cevap x=8/7 olacaktır. Ancak matematikte tam parçayı bileşik kesirden ayırmanız gerekir. Daha sonra sonuç dönüştürülecek ve “x” bir bütüne ve yedide bire eşit olacak.

Geri kalan örneklerde değişkenler paydadadır. Bu, öncelikle denklemlerin hangi değerlerde tanımlandığını bulmanız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için paydaların sıfıra gittiği sayıları hariç tutmanız gerekir. İlk örnekte “-4”, ikinci örnekte “-3”. Yani bu değerlerin cevaptan çıkarılması gerekir. Bundan sonra eşitliğin her iki tarafını da paydadaki ifadelerle çarpmanız gerekiyor.

Parantezleri açıp benzer terimleri bir araya getirdiğimizde bu denklemlerden ilkinde şunu elde ederiz: 5x + 15 = 4x + 16, ikincisinde ise 5x + 15 = 4x + 12. Dönüşümlerden sonra ilk denklemin çözümü x = olacaktır. -1. İkincisi “-3”e eşit çıkıyor, bu da ikincisinin hiçbir çözümü olmadığı anlamına geliyor.

İkinci görev. Denklemi çözün: -7x + 2y = 5.

İlk bilinmeyen x = 1 olsun, o zaman denklem -7 * 1 + 2y = 5 formunu alacaktır. “-7” faktörünü eşitliğin sağ tarafına kaydırıp işaretini artıya çevirdiğimizde şu ortaya çıkıyor: 2y = 12. Bu da y =6 anlamına gelir. Cevap: x = 1, y = 6 denkleminin çözümlerinden biri.

Tek değişkenli eşitsizliğin genel biçimi

Eşitsizliklere ilişkin tüm olası durumlar burada sunulmaktadır:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Genel olarak basit bir doğrusal denklem gibi görünür, yalnızca eşittir işaretinin yerini eşitsizlik alır.

Eşitsizliklerin kimlik dönüşümlerine ilişkin kurallar

Tıpkı doğrusal denklemler gibi eşitsizlikler de belirli yasalara göre değiştirilebilir. Bunlar aşağıdakilere indirgeniyor:

1. eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına herhangi bir harf veya sayısal ifade ve eşitsizlik işareti aynı kalacaktır;
2. Ayrıca aynı şeyle çarpabilir veya bölebilirsiniz pozitif sayı, bu yine işareti değiştirmez;
3. Aynı negatif sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde, eşitsizlik işareti ters çevrildiği sürece eşitlik doğru kalacaktır.

Çifte eşitsizliklere genel bakış

Problemlerde aşağıdaki eşitsizlikler gösterilebilir:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Her iki taraftaki eşitsizlik işaretleriyle sınırlı olduğundan çift olarak adlandırılır. Sıradan eşitsizliklerle aynı kurallar kullanılarak çözülür. Ve cevabı bulmak bir dizi özdeş dönüşümden geçiyor. En basiti elde edilene kadar.

Çift eşitsizlikleri çözmenin özellikleri

Bunlardan ilki koordinat eksenindeki görüntüsüdür. için bu yöntemi kullanın basit eşitsizlikler gerekli değil. Ancak zor durumlarda bu sadece gerekli olabilir.

Bir eşitsizliği tasvir etmek için, akıl yürütme sırasında elde edilen tüm noktaları eksen üzerinde işaretlemeniz gerekir. Bunlar, noktalı noktalarla gösterilen geçersiz değerler ve dönüşümlerden sonra elde edilen eşitsizliklerden elde edilen değerlerdir. Burada da noktaların doğru çizilmesi önemlidir. Eşitsizlik katı ise< или >, daha sonra bu değerler delinir. Kesin olmayan eşitsizliklerde noktalar gölgelendirilmelidir.

Daha sonra eşitsizliklerin anlamını belirtmek gerekir. Bu, gölgeleme veya yaylar kullanılarak yapılabilir. Bunların kesişimi cevabı gösterecektir.

İkinci özellik ise kaydedilmesiyle ilgilidir. Burada sunulan iki seçenek var. Birincisi nihai eşitsizliktir. İkincisi aralıklar şeklindedir. Onunla birlikte zorluklar ortaya çıkıyor. Boşluklardaki cevap her zaman üyelik işaretli ve rakamlı parantezli bir değişkene benzer. Bazen birkaç boşluk olur, o zaman parantezlerin arasına “ve” sembolünü yazmanız gerekir. Bu işaretler şuna benzer: ∈ ve ∩. Ara parantezleri de bir rol oynar. Nokta cevaptan çıkarıldığında yuvarlak olan yerleştirilir ve dikdörtgen olan bu değeri içerir. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içindedir.

Eşitsizlikleri çözme örnekleri

1. 7 - 5x ≥ 37 eşitsizliğini çözün.

Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: -5x ≥ 30. “-5”e bölerek şu ifadeyi elde ederiz: x ≤ -6. Bu zaten cevaptır, ancak başka bir şekilde de yazılabilir: x ∈ (-∞; -6).

2. Çifte eşitsizliği çözün -4< 2x + 6 ≤ 8.

İlk önce her yerden 6 çıkarmanız gerekir, elde ettiğiniz: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

İlk seviye

Doğrusal denklemler. Tam Kılavuz (2019)

"Doğrusal denklemler" nedir

veya içinde sözlü olarak- Vasya'nın sahip olduğu tüm elmalara sahip olması şartıyla üç arkadaşa elma verildi.

Ve şimdi zaten karar verdin Doğrusal Denklem
Şimdi bu terime matematiksel bir tanım verelim.

Doğrusal Denklem - Bu cebirsel denklem, bunun için kendisini oluşturan polinomların toplam derecesi şuna eşittir:. Şuna benziyor:

Herhangi bir sayı nerede ve nerede ve

Vasya ve elmalarla ilgili durumumuz için şunu yazacağız:

- “Vasya üç arkadaşına da aynı sayıda elma verirse elması kalmayacak”

"Gizli" doğrusal denklemler veya kimlik dönüşümlerinin önemi

İlk bakışta her şeyin son derece basit olmasına rağmen, denklemleri çözerken dikkatli olmanız gerekir, çünkü doğrusal denklemlere yalnızca bu türden denklemler değil, aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmelerle bu türe indirgenebilecek denklemler de denir. Örneğin:

Sağda, teorik olarak denklemin doğrusal olmadığını gösteren şeyi görüyoruz. Üstelik parantezleri açarsak iki terim daha elde edeceğiz, ama sonuca varmak için acele etmeyin! Bir denklemin doğrusal olup olmadığına karar vermeden önce tüm dönüşümleri yapmak ve böylece orijinal örneği basitleştirmek gerekir. Bu durumda dönüşümler değişebilir dış görünüş, ancak denklemin özü değil.

Başka bir deyişle, dönüşüm verilerinin birebir aynı veya eş değer. Bu türden yalnızca iki dönüşüm var, ancak çok ama çok oynuyorlar önemli rol sorunları çözerken. Belirli örnekleri kullanarak her iki dönüşüme de bakalım.

Sola - sağa aktarın.

Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Ayrıca ilkokul bize şöyle söylendi: "X'li - sola, X'siz - sağa." Sağda X bulunan hangi ifade var? Bu doğru, ama nasıl olmasın. Ve bu önemlidir, çünkü eğer bu yanlış anlaşılırsa, öyle görünüyor ki basit soru, yanlış cevap çıkıyor. Soldaki X ile hangi ifade var? Sağ, .

Artık bunu anladığımıza göre, bilinmeyenli tüm terimleri sol tarafa, bilinen her şeyi de sağa taşıyoruz; örneğin sayının önünde bir işaret yoksa sayının pozitif olduğunu hatırlıyoruz yani önünde “ " işareti var

Aktarıldı mı? Ne aldın?

Geriye sadece benzer şartları getirmek kalıyor. Sunuyoruz:

Böylece, ilk özdeş dönüşümü başarıyla analiz ettik, ancak bunu bildiğinizden ve ben olmadan aktif olarak kullandığınızdan eminim. Önemli olan sayıların işaretlerini unutmamak ve eşittir işaretiyle aktarırken bunları zıt işaretlerle değiştirmek!

Çarpma-bölme.

Hemen bir örnekle başlayalım

Bakalım ve düşünelim: Bu örnekte neyi sevmiyoruz? Bilinmeyenler bir tarafta, bilinenler başka bir tarafta ama bir şey bizi durduruyor... Ve bu bir şey dört, çünkü o olmasaydı her şey mükemmel olurdu - x bir sayıya eşittir - tam olarak ihtiyacımız olduğu gibi!

Ondan nasıl kurtulabilirsin? Onu sağa taşıyamayız çünkü o zaman çarpanın tamamını hareket ettirmemiz gerekir (bunu alıp koparamayız) ve çarpanın tamamını hareket ettirmek de mantıklı değil...

Bölmeyi hatırlamanın zamanı geldi, o yüzden her şeyi bölelim! Her şey - bu hem sol hem de sağ taraf anlamına gelir. Bu taraftan ve sadece bu taraftan! Biz ne yapıyoruz?

İşte cevap.

Şimdi başka bir örneğe bakalım:

Bu durumda ne yapılması gerektiğini tahmin edebilir misiniz? Aynen öyle, sol ve sağ tarafları çarpın! Hangi cevabı aldın? Sağ. .

Elbette kimlik dönüşümleri hakkında her şeyi zaten biliyordunuz. Bu bilgiyi hafızanızda tazelediğimizi ve artık daha fazlasını yapmanın zamanının geldiğini düşünün - Örneğin, büyük örneğimizi çözmek için:

Daha önce de söylediğimiz gibi bakıldığında bu denklemin doğrusal olduğunu söyleyemeyiz ancak parantezleri açıp aynı dönüşümleri yapmamız gerekiyor. Öyleyse başlayalım!

Başlangıç ​​olarak, kısaltılmış çarpma formüllerini, özellikle de toplamın karesini ve farkın karesini hatırlıyoruz. Ne olduğunu ve parantezlerin nasıl açıldığını hatırlamıyorsanız konuyu okumanızı şiddetle tavsiye ederim çünkü bu beceriler sınavda karşılaşılan örneklerin neredeyse tamamını çözerken işinize yarayacaktır.
Açıklığa kavuşmuş? Hadi karşılaştıralım:

Şimdi benzer terimleri getirmenin zamanı geldi. Aynı ilkokullarda bize “sineklerle pirzolaları bir araya koymayın” dediklerini hatırlıyor musunuz? Burada şunu hatırlatıyorum. Her şeyi ayrı ayrı ekliyoruz - bilinmeyeni olan faktörleri, bilinmeyenleri olan faktörleri ve geri kalan bilinmeyenleri olan faktörleri. Benzer terimleri getirdiğinizde tüm bilinmeyenleri sola, bilinenleri ise sağa taşıyın. Ne aldın?

Gördüğünüz gibi karedeki X'ler ortadan kaybolmuş ve tamamen normal bir şey görüyoruz. Doğrusal Denklem. Geriye kalan tek şey onu bulmak!

Ve son olarak, kimlik dönüşümleri hakkında çok önemli bir şey daha söyleyeceğim - kimlik dönüşümleri yalnızca doğrusal denklemler için değil aynı zamanda ikinci dereceden, kesirli rasyonel ve diğerleri için de geçerlidir. Unutmamanız gereken şey, eşittir işaretiyle çarpanları aktardığımızda işareti ters yönde değiştirdiğimiz, bir sayıyla bölerken veya çarparken denklemin her iki tarafını da AYNI sayıyla çarptığımızı/böldüğümüzü bilmeniz gerekir.

Bu örnekten başka ne çıkardınız? Bir denkleme bakarak onun doğrusal olup olmadığını doğrudan ve doğru bir şekilde belirlemek her zaman mümkün değildir. Önce ifadeyi tamamen basitleştirmek ve ancak o zaman ne olduğuna karar vermek gerekir.

Doğrusal denklemler. Örnekler.

İşte kendi başınıza pratik yapabileceğiniz birkaç örnek daha: Denklemin doğrusal olup olmadığını belirleyin ve eğer öyleyse köklerini bulun:

Yanıtlar:

1. Dır-dir.

2. Değil.

Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - sol ve sağ tarafları şu şekilde bölelim:

Denklemin doğrusal olmadığını görüyoruz, dolayısıyla köklerini aramaya gerek yok.

3. Dır-dir.

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - paydadan kurtulmak için sol ve sağ tarafları çarpalım.

Bunun neden bu kadar önemli olduğunu düşünün. Bu sorunun cevabını biliyorsanız, denklemi çözmeye devam edin; bilmiyorsanız, daha fazla hata yapmamak için konuya baktığınızdan emin olun. karmaşık örnekler. Bu arada gördüğünüz gibi durum imkansız. Neden?
O halde devam edelim ve denklemi yeniden düzenleyelim:

Her şeyi zorlanmadan başardıysanız iki değişkenli doğrusal denklemlerden bahsedelim.

İki değişkenli doğrusal denklemler

Şimdi biraz daha karmaşık iki değişkenli doğrusal denklemlere geçelim.

Doğrusal denklemler iki değişkenli olarak şu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı ve.

Görüldüğü gibi tek fark denkleme bir değişkenin daha eklenmesidir. Ve böylece her şey aynı; x kare yok, bir değişkene bölme yok, vb. ve benzeri.

Size nasıl bir hayat örneği vereyim... Aynı Vasya'yı ele alalım. Diyelim ki 3 arkadaşına da aynı sayıda elma verip elmaları kendisine ayırmaya karar verdi. Her arkadaşına bir elma verirse Vasya'nın kaç elma alması gerekir? Ne dersin? Peki ya sonra?

Her kişinin alacağı elma sayısı ile satın alınması gereken toplam elma sayısı arasındaki ilişki aşağıdaki denklemle ifade edilecektir:

• - bir kişinin alacağı elma sayısı (, veya, veya);
• - Vasya'nın kendisi için alacağı elma sayısı;
• - Kişi başına düşen elma sayısını dikkate alarak Vasya'nın kaç elma alması gerekiyor?

Bu sorunu çözerek, eğer Vasya bir arkadaşına elma verirse, o zaman elma verirse parça satın alması gerektiğini anlıyoruz.

Ve genel olarak konuşursak. İki değişkenimiz var. Neden bu ilişkiyi bir grafik üzerinde çizmiyorsunuz? Değerimizi, yani noktalarımızı koordinatlarla oluşturuyoruz ve işaretliyoruz ve!

Gördüğünüz gibi birbirlerine bağımlılar doğrusal, dolayısıyla denklemlerin adı - “ doğrusal».

Elmalardan soyutlayalım ve çeşitli denklemlere grafiksel olarak bakalım. Oluşturulan iki grafiğe dikkatlice bakın: keyfi işlevlerle belirtilen bir düz çizgi ve bir parabol:

Her iki resimde de karşılık gelen noktaları bulun ve işaretleyin.
Ne aldın?

Bunu ilk fonksiyonun grafiğinde görüyorsunuz. yalnız karşılık gelir bir yani birbirlerine de doğrusal olarak bağlıdırlar ki bu ikinci fonksiyon için söylenemez. Elbette, ikinci grafikte x'in de karşılık geldiğini iddia edebilirsiniz, ancak bu yalnızca bir noktadır, yani özel bir durumdur, çünkü yine de birden fazlasına karşılık gelen bir nokta bulabilirsiniz. Ve oluşturulan grafik hiçbir şekilde bir çizgiye benzemiyor, bir paraboldür.

Bir kez daha tekrar ediyorum: doğrusal bir denklemin grafiği DÜZ bir çizgi olmalıdır.

Herhangi bir dereceye gidersek denklemin doğrusal olmayacağı gerçeğiyle - bu bir parabol örneğini kullanarak açıktır, ancak kendiniz için birkaç basit grafik daha oluşturabilirsiniz, örneğin veya. Ama sizi temin ederim ki hiçbiri DÜZ BİR ÇİZGİ olmayacak.

İnanma? Oluşturun ve sonra sahip olduğum şeyle karşılaştırın:

Bir şeyi örneğin bir sayıya bölersek ne olur? Olacak mı doğrusal bağımlılık Ve? Tartışmayalım ama inşa edelim! Örneğin bir fonksiyonun grafiğini oluşturalım.

Her nasılsa düz bir çizgi gibi inşa edilmiş gibi görünmüyor... dolayısıyla denklem doğrusal değil.
Özetleyelim:

1. Doğrusal Denklem - kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.
2. Doğrusal Denklem bir değişkenle şu forma sahiptir:
   , nerede ve herhangi bir sayı;
   Doğrusal Denklem iki değişkenle:
   , nerede ve herhangi bir sayıdır.
3. Bir denklemin doğrusal olup olmadığını hemen belirlemek her zaman mümkün değildir. Bazen bunu anlamak için aynı dönüşümleri yapmak, benzer terimleri sola/sağa kaydırmak, işaretini değiştirmeyi unutmamak veya denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpmak/bölmek gerekir.

DOĞRUSAL DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Doğrusal denklem

Bu, kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.

2. Tek değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Herhangi bir sayı nerede ve nerede;

3. İki değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı.

4. Kimlik dönüşümleri

Bir denklemin doğrusal olup olmadığını belirlemek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir:

• işareti değiştirmeyi unutmadan benzer terimleri sola/sağa hareket ettirin;
• Denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpın/bölün.

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. Daha sonra benzerlerini birleştirin
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerlerini vermeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ama sizin de zaten anladığınız gibi, en başından başlayacağız. basit görevler.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Not: Hakkında konuşuyoruz sadece bireysel terimler hakkında. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle, devam edelim dördüncü adım: katsayıya bölünür:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Birkaç parantez var ama hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önüne bir parantez geliyor. çeşitli işaretler. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha fazlasına geçelim karmaşık denklemler. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak, her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bu şu kurala göre yapılır: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya yönelik bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• görürseniz endişelenmeyin ikinci dereceden fonksiyonlar büyük olasılıkla, daha sonraki dönüşümler sürecinde azalacaklar.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!

Bu matematik programıyla iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözebilirsiniz. değişken yöntem değiştirme ve ekleme yöntemi.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir. Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır.
Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2

Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli sayılar ondalık sayılar ve sıradan kesirler şeklinde.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Tamsayı ve kesirli kısımlar ondalık sayılar nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.
Payda negatif olamaz.
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &

Örnekler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Denklem sistemini çözme

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. İkame yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin sadece bir değişkeni vardır.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı Özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin