İki fraksiyondan. Kesirlerin karşılaştırılması. Farklı paydalara sahip kesirler nasıl karşılaştırılır?

İki kesirden aynı paydalar payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür. Aslında payda bir tam değerin kaç parçaya bölündüğünü, pay ise bu parçalardan kaç tane alındığını gösterir.

Her daireyi aynı sayıya böldüğümüz ortaya çıktı 5 ama aldılar farklı miktarlar parçalar: daha fazlasını aldılar - daha büyük bir kısım ve ortaya çıktı.

Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyük, paydası daha büyük olan daha küçüktür. Aslında bir daireyi ikiye bölersek 8 parçalar ve diğeri 5 parçalara ayırın ve her daireden bir parça alın. Hangi kısım daha büyük olacak?

Tabii ki, bölünmüş bir daireden 5 parçalar! Şimdi daireleri değil kekleri böldüklerini hayal edin. Hangi parçayı, daha doğrusu hangi payı tercih edersiniz: Beşte biri mi yoksa sekizde biri mi?

Farklı paylara sahip kesirleri karşılaştırmak ve farklı paydalar kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemeniz ve ardından aynı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmanız gerekir.

Örnekler. Karşılaştırmak ortak kesirler:

Bu kesirleri en küçük ortak paydalarına indirelim. NOZ(4 ; 6)=12. Kesirlerin her biri için ek faktörler buluyoruz. 1. fraksiyon için ek bir faktör 3 (12: 4=3 ). 2. fraksiyon için ek bir faktör 2 (12: 6=2 ). Şimdi elde edilen iki kesrin paylarını aynı paydalarla karşılaştırıyoruz. Birinci kesrin payı ikinci kesrin payından küçük olduğundan ( 9<10) , bu durumda ilk kesirin kendisi ikinci kesirden küçüktür.

Bu dersimizde kesirleri birbirleriyle nasıl karşılaştıracağımızı öğreneceğiz. Bu, daha karmaşık problemlerden oluşan bir sınıfın tamamını çözmek için gerekli olan çok yararlı bir beceridir.

Öncelikle kesirlerin eşitliğinin tanımını hatırlatayım:

a /b ve c /d kesirlerinin ad = bc olması durumunda eşit olduğu söylenir.

1. 5/8 = 15/24, çünkü 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18, çünkü 3 18 = 2 27 = 54.

Diğer tüm durumlarda kesirler eşit değildir ve onlar için aşağıdaki ifadelerden biri doğrudur:

1. a/b fraksiyonu c/d fraksiyonundan daha büyüktür;
2. a/b fraksiyonu c/d fraksiyonundan küçüktür.

a /b − c /d > 0 ise, a /b kesrinin c /d kesirinden büyük olduğu söylenir.

Eğer x /y − s /t ise, x /y kesrinin s /t kesirinden küçük olduğu söylenir< 0.

Tanım:

Bu nedenle, kesirleri karşılaştırmak onları çıkarmak anlamına gelir. Soru: “Daha fazla” (>) ve “Daha az” () gösterimleriyle nasıl karıştırılmamalı?<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Küçük karganın genişleyen kısmı her zaman daha büyük sayıya işaret eder;
2. Küçük karganın keskin burnu her zaman daha düşük bir sayıya işaret eder.

Genellikle sayıları karşılaştırmanız gereken problemlerde aralarına “∨” işareti konur. Bu, burnu aşağıda olan bir kargadır ve bu da şunu ima ediyor gibi görünmektedir: Rakamlardan hangisinin daha büyük olduğu henüz belirlenmemiştir.

Görev. Sayıları karşılaştırın:

Tanımı takiben kesirleri birbirinden çıkarın:

Her karşılaştırmada kesirleri ortak bir paydaya indirmemiz gerekiyordu. Özellikle, çaprazlama yöntemini kullanmak ve en küçük ortak katı bulmak. Bu noktalara kasıtlı olarak odaklanmadım, ancak bir şey net değilse, "Kesirlerde toplama ve çıkarma" dersine bir göz atın - bu çok kolaydır.

Ondalık sayıların karşılaştırılması

Ondalık kesirler söz konusu olduğunda her şey çok daha basittir. Burada herhangi bir şey çıkarmaya gerek yok; sadece rakamları karşılaştırın. Bir sayının önemli kısmının ne olduğunu hatırlamak iyi bir fikirdir. Unutanlar için "Ondalık sayıları çarpma ve bölme" dersini tekrarlamanızı öneririm - bu da sadece birkaç dakika sürecektir.

Pozitif bir ondalık X, aşağıdaki gibi bir ondalık basamak içeriyorsa, pozitif bir ondalık Y'den büyüktür:

1. X kesirinde bu basamaktaki rakam, Y kesirinde karşılık gelen rakamdan büyüktür;
2. X ve Y kesirleri için bundan daha yüksek olan tüm rakamlar aynıdır.

1. 12.25 > 12.16. İlk iki rakam aynı (12 = 12), üçüncü rakam ise daha büyük (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Yani ondalık basamakları tek tek geçerek farkı arıyoruz. Bu durumda daha büyük bir sayı, daha büyük bir kesire karşılık gelir.

Ancak bu tanımın açıklığa kavuşturulması gerekmektedir. Örneğin ondalık basamaklar nasıl yazılır ve karşılaştırılır? Unutmayın: Ondalık biçimde yazılan herhangi bir sayının soluna herhangi bir sayıda sıfır eklenebilir. İşte birkaç örnek daha:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (Hakkında konuşuyoruz kıdemli rütbe hakkında).
2. 2300,5 > 0,0025, çünkü 0,0025 = 0000,0025 - sola üç sıfır eklendi. Artık farkın ilk rakamda başladığını görebilirsiniz: 2 > 0.

Elbette, sıfırlarla verilen örneklerde bariz bir aşırılık vardı, ama mesele tam olarak şu: soldaki eksik kısımları doldurun ve sonra karşılaştırın.

Görev. Kesirleri karşılaştırın:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Tanım gereği elimizde:

1. 0,029 > 0,007. İlk iki rakam çakışıyor (00 = 00), sonra fark başlıyor (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Burada sıfırları dikkatlice saymanız gerekir. Her iki kesirdeki ilk 5 rakam sıfırdır, ancak ilk kesirde 3 vardır ve ikincisinde - 0 vardır. Açıkçası, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. İkinci kesri sola 3 sıfır ekleyerek 0000.99501 olarak yeniden yazalım. Artık her şey açık: 1 > 0 - fark ilk hanede tespit ediliyor.

Ne yazık ki, verilen karşılaştırma şeması ondalık sayılar evrensel değil. Bu yöntem yalnızca karşılaştırabilir pozitif sayılar. Genel durumda çalışma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Pozitif bir kesir her zaman negatif bir kesirden daha büyüktür;
2. Yukarıdaki algoritma kullanılarak iki pozitif kesir karşılaştırılır;
3. İki negatif kesir aynı şekilde karşılaştırılır ancak sonunda eşitsizlik işareti ters çevrilir.

Fena değil mi? Şimdi bakalım spesifik örnekler- ve her şey netleşecek.

Görev. Kesirleri karşılaştırın:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0,192 > −0,39. Kesirler negatiftir, 2. rakam farklıdır. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. Pozitif sayı her zaman daha olumsuz;
4. 19,032 > 0,091. Farkın zaten 1. basamakta ortaya çıktığını görmek için ikinci kesri 00.091 biçiminde yeniden yazmak yeterlidir;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Fark ilk kategoridedir.

İki eşit olmayan kesir, hangi kesrin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için daha fazla karşılaştırmaya tabi tutulur. İki kesri karşılaştırmak için, aşağıda formüle edeceğimiz kesirleri karşılaştırmaya yönelik bir kural vardır ve ayrıca paydaları benzer ve olmayan kesirleri karşılaştırırken bu kuralın uygulama örneklerine de bakacağız. Sonuç olarak, payları aynı olan kesirleri ortak bir paydaya düşürmeden nasıl karşılaştıracağımızı göstereceğiz ve ayrıca ortak bir kesri bir doğal sayıyla nasıl karşılaştıracağımıza da bakacağız.

Sayfada gezinme.

Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırma esas itibariyle aynı hisselerin sayısının karşılaştırılmasından ibarettir. Örneğin, ortak kesir 3/7, 3 kısım 1/7'yi belirler ve kesir 8/7, 8 kısım 1/7'ye karşılık gelir, dolayısıyla aynı paydalara sahip kesirleri 3/7 ve 8/7 ile karşılaştırmak, sayıları karşılaştırmak anlamına gelir. 3 ve 8, yani payları karşılaştırmak için.

Bu değerlendirmelerden şu sonuç çıkıyor Paydaları benzer olan kesirleri karşılaştırma kuralı: Paydaları aynı olan iki kesirden payı büyük olan kesir ne kadar büyükse, payı küçük olan kesir o kadar küçüktür.

Belirtilen kural, aynı paydalara sahip kesirlerin nasıl karşılaştırılacağını açıklar. Kesirleri benzer paydalarla karşılaştırma kuralını uygulama örneğine bakalım.

Örnek.

Hangi kesir daha büyük: 65/126 mı yoksa 87/126 mı?

Çözüm.

Karşılaştırılan sıradan kesirlerin paydaları eşittir ve 87/126 kesirinin payı 87, 65/126 kesirinin payı 65'ten daha büyüktür (gerekirse, doğal sayıların karşılaştırmasına bakın). Bu nedenle, aynı paydalara sahip kesirleri karşılaştırma kuralına göre, 87/126 kesiri 65/126 kesirinden daha büyüktür.

Cevap:

Farklı Paydalara Sahip Kesirlerin Karşılaştırılması

Farklı Paydalara Sahip Kesirlerin Karşılaştırılması paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırmaya indirgenebilir. Bunu yapmak için, karşılaştırılan sıradan kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz yeterlidir.

Yani, farklı paydalara sahip iki kesri karşılaştırmak için şunları yapmanız gerekir:

• kesirleri ortak bir paydaya indirgemek;
• Ortaya çıkan kesirleri aynı paydalarla karşılaştırın.

Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

5/12 kesirini 9/16 kesiriyle karşılaştırın.

Çözüm.

Öncelikle farklı paydalara sahip bu kesirleri ortak bir paydaya getirelim (kesirleri ortak paydaya getirme kuralına ve örneklerine bakın). Ortak payda olarak en küçük ortak paydayı LCM(12, 16)=48'e eşit alıyoruz. O halde 5/12 kesrinin ek çarpanı 48:12=4, 9/16 kesrinin ek çarpanı ise 48:16=3 olacaktır. Aldık Ve .

Ortaya çıkan kesirleri karşılaştırırsak, elimizde . Bu nedenle 5/12 kesri 9/16 kesirinden daha küçüktür. Bu, farklı paydalara sahip kesirlerin karşılaştırılmasını tamamlar.

Cevap:

Farklı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmanın başka bir yolunu bulalım; bu, kesirleri ortak bir paydaya düşürmeden ve bu süreçle ilgili tüm zorlukları karşılaştırmanıza olanak tanır.

a/b ve c/d kesirlerini karşılaştırmak için bunlar, karşılaştırılan kesirlerin paydalarının çarpımına eşit olan ortak bir b·d paydasına indirgenebilir. Bu durumda, a/b ve c/d kesirlerinin ek faktörleri sırasıyla d ve b sayılarıdır ve orijinal kesirler, b·d ortak paydasına sahip kesirlere indirgenir. Aynı paydalara sahip kesirleri karşılaştırma kuralını hatırlayarak, orijinal a/b ve c/d kesirlerinin karşılaştırmasının, a·d ve c·b çarpımlarının karşılaştırmasına indirgendiği sonucuna varırız.

Bu, aşağıdakileri ifade eder Farklı paydalara sahip kesirleri karşılaştırma kuralı: eğer a d>b c ise , ve eğer a d ise

Farklı paydalara sahip kesirleri bu şekilde karşılaştırmaya bakalım.

Örnek.

5/18 ve 23/86 ortak kesirlerini karşılaştırın.

Çözüm.

Bu örnekte a=5 , b=18 , c=23 ve d=86 . a·d ve b·c çarpımlarını hesaplayalım. a·d=5·86=430 ve b·c=18·23=414'ümüz var. 430>414 olduğuna göre 5/18 kesri 23/86 kesrinden büyüktür.

Cevap:

Payları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Payları aynı ve paydaları farklı olan kesirler, önceki paragrafta tartışılan kurallar kullanılarak kesinlikle karşılaştırılabilir. Ancak bu kesirlerin karşılaştırılması sonucu, bu kesirlerin paydaları karşılaştırılarak kolaylıkla elde edilebilir.

Böyle bir şey var payları aynı olan kesirleri karşılaştırma kuralı: Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

54/19 ve 54/31 kesirlerini karşılaştırın.

Çözüm.

Karşılaştırılan kesirlerin payları eşit olduğundan ve 54/19 kesirinin paydası 19, 54/31 kesirinin paydasından 31 küçük olduğundan, 54/19, 54/31'den büyüktür.

Dersin Hedefleri:

1. Eğitici: Kesirlerin nasıl karşılaştırılacağını öğretin çeşitli türlerçeşitli tekniklerin kullanılması;
2. Eğitici: temel zihinsel aktivite tekniklerinin geliştirilmesi, karşılaştırmanın genelleştirilmesi, asıl şeyin vurgulanması; hafızanın gelişimi, konuşma.
3. Eğitici: Birbirinizi dinlemeyi öğrenin, karşılıklı yardımlaşmayı, iletişim ve davranış kültürünü geliştirin.

Ders adımları:

1. Organizasyonel.

Derse Fransız yazar A. France'ın şu sözleriyle başlayalım: "Öğrenmek eğlenceli olabilir... Bilgiyi sindirmek için onu iştahla özümsemek gerekir."

Bu tavsiyeye uyalım, dikkatli olmaya çalışalım ve bilgiyi büyük bir istekle özümseyelim, çünkü... gelecekte işimize yarayacaklar.

2. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi.

1.) Öğrencilerin ön sözlü çalışmaları.

Amaç: Yeni şeyler öğrenirken gerekli olan kapsanan materyali tekrarlamak:

A) düzenli ve yanlış kesirler;
B) kesirleri yeni bir paydaya getirmek;
C) en düşük ortak paydayı bulmak;

(Dosyalarla çalışıyoruz. Öğrenciler bunları her derste hazır bulunduruyor. Keçeli kalemle cevaplarını yazıyorlar ve gereksiz bilgiler siliniyor.)

Sözlü çalışma için ödevler.

1. Zincirdeki fazladan kesri adlandırın:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Kesirleri yeni bir paydaya (30) azaltın:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun:

1/5 ve 2/7; 3/4 ve 1/6; 2/9 ve 1/2.

2.) Oyun durumu.

Arkadaşlar, palyaço arkadaşımız (öğrenciler onunla okul yılının başında tanıştılar) benden bir problemin çözümüne yardım etmemi istedi. Ama ben olmadan da dostumuza yardım edebileceğinize inanıyorum. Ve sıradaki görev.

“Kesirleri karşılaştırın:

a) 1/2 ve 1/6;
b) 3/5 ve 1/3;
c) 5/6 ve 1/6;
d) 12/7 ve 4/7;
e) 3 1/7 ve 3 1/5;
e) 7 5/6 ve 3 1/2;
g) 1/10 ve 1;
h) 10/3 ve 1;
i) 7/7 ve 1.”

Beyler, palyaçoya yardım etmek için ne öğrenmeliyiz?

Dersin amacı, görevler (öğrenciler bağımsız olarak formüle eder).

Öğretmen onlara sorular sorarak yardımcı olur:

a) hangi kesir çiftlerini zaten karşılaştırabiliriz?

b) Kesirleri karşılaştırmak için hangi araca ihtiyacımız var?

3. Gruplar halindeki adamlar (kalıcı çok seviyeli gruplarda).

Her gruba bir görev ve onu tamamlama talimatları verilir.

İlk grup : Karışık kesirleri karşılaştırın:

a) 1 1/2 ve 2 5/6;
b) 3 1/2 ve 3 4/5

ve denklem kuralını türetin karışık kesirler aynı ve farklı bütün parçalara sahip.

Talimatlar: Karışık kesirlerin karşılaştırılması (sayı ışınını kullanarak)

1. kesirlerin bütün parçalarını karşılaştırın ve bir sonuç çıkarın;
2. kesirli parçaları karşılaştırın (kesirli parçaları karşılaştırma kuralını görüntülemeyin);
3. bir kural yapın - bir algoritma:

İkinci grup: Paydaları ve payları farklı olan kesirleri karşılaştırın. (sayı ışınını kullanın)

a) 6/7 ve 9/14;
b) 5/11 ve 1/22

Talimatlar

1. Paydaları karşılaştır
2. Kesirleri ortak bir paydaya indirmenin mümkün olup olmadığını düşünün
3. Kurala şu sözlerle başlayın: "Farklı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmak için şunları yapmalısınız..."

Üçüncü grup: Kesirlerin bir ile karşılaştırılması.

a) 2/3 ve 1;
b) 8/7 ve 1;
c) 10/10 ve 1'i bulun ve bir kural oluşturun.

Talimatlar

Tüm durumları göz önünde bulundurun: (sayı ışınını kullanın)

a) Bir kesrin payı paydasına eşitse, ………;
b) Bir kesrin payı paydasından küçükse,………;
c) Bir kesrin payı paydasından büyükse,………. .

Bir kural formüle edin.

Dördüncü grup: Kesirleri karşılaştırın:

a) 5/8 ve 3/8;
b) 1/7 ve 4/7'yi bulun ve aynı paydaya sahip kesirleri karşılaştırmak için bir kural formüle edin.

Talimatlar

Sayı ışınını kullanın.

Payları karşılaştırın ve şu sözlerle başlayarak bir sonuç çıkarın: "Aynı paydalara sahip iki kesirden ....".

Beşinci grup: Kesirleri karşılaştırın:

a) 1/6 ve 1/3;
b) Sayı ışınını kullanarak 4/9 ve 4/3:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Payları aynı olan kesirleri karşılaştırmak için bir kural oluşturun.

Talimatlar

Paydaları karşılaştırın ve şu kelimelerle başlayarak bir sonuç çıkarın:

“Payları aynı olan iki kesirden………..”.

Altıncı grup: Kesirleri karşılaştırın:

a) 4/3 ve 5/6; b) Sayı ışınını kullanarak 7/2 ve 1/2

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Doğru ve yanlış kesirleri karşılaştırmak için bir kural oluşturun.

Talimatlar.

Hangi kesrin her zaman daha büyük, uygun veya yanlış olduğunu düşünün.

4. Çıkarılan sonuçların gruplar halinde tartışılması.

Her gruba bir kelime. Öğrencilerin kurallarının formüle edilmesi ve bunların ilgili kuralların standartlarıyla karşılaştırılması. Daha sonra her öğrenciye farklı türdeki sıradan kesirleri karşılaştırma kurallarının çıktıları verilir.

5. Dersin başında ortaya koyduğumuz göreve dönelim. (Palyaço problemini birlikte çözüyoruz).

6. Defterlerde çalışın. Kesirleri karşılaştırma kurallarını kullanarak, öğrenciler öğretmenin rehberliğinde kesirleri karşılaştırırlar:

a) 8/13 ve 8/25;
b)11/42 ve 3/42;
c)7/5 ve 1/5;
d) 18/21 ve 7/3;
e) 2 1/2 ve 3 1/5;
e) 5 1/2 ve 5 4/3;

(Öğrenciyi tahtaya davet etmek mümkündür).

7. Öğrencilerden kesirleri iki seçenekle karşılaştıran bir test yapmaları istenir.

Seçenek 1.

1) kesirleri karşılaştırın: 1/8 ve 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8=1/12

2) Hangisi daha büyük: 5/13 mü yoksa 7/13 mü?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) eşit

3) Hangisi daha küçüktür: 2\3 mü yoksa 4/6 mı?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) eşit

4) Hangi kesir 1:3/5'ten küçüktür; 17/9; 7/7 mi?

a) 3/5;
b) 17/9;
7/7

5) Hangi kesir 1'den büyüktür: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Kesirleri karşılaştırın: 2 1/5 ve 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 >1 7/9

Seçenek 2.

1) kesirleri karşılaştırın: 3/5 ve 3/10

a) 3/5 > 3/10;
3/5<3/10;
c) 3/5=3/10

2) Hangisi daha büyük: 10/12 mi yoksa 1/12 mi?

a) eşit;
b) 10/12;
1/12

3) Hangisi daha az: 3/5 mi yoksa 1/10 mu?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) eşit

4) Hangi kesir 1: 4/3;1/15;16/16'dan küçüktür?

a) 4/3;
b) 1/15;
16/16

5) Hangi kesir 1'den büyüktür: 2/5;9/8;11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
11/12

6) Kesirleri karşılaştırın: 3 1/4 ve 3 2/3

a) 3 1/4=3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Testin cevapları:

Seçenek 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

Seçenek 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Bir kez daha dersin amacına dönüyoruz.

Karşılaştırma kurallarını kontrol ediyoruz ve farklılaştırılmış ödevler veriyoruz:

Grup 1,2,3 – her kural için iki karşılaştırma örneği bulun ve bunları çözün.

4,5,6 grup - No. 83 a, b, c, No. 84 a, b, c (ders kitabından).