Giriş1 doğru ve ters orantı. Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler
Tamamlayan: Chepkasov Rodion
6. sınıf öğrencisi
MBOU "53 Nolu Ortaokul"
Barnaul
Başkan: Bulykina O.G.
matematik öğretmeni
MBOU "53 Nolu Ortaokul"
Barnaul
Giriiş. 1
İlişkiler ve oranlar. 3
Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler. 4
Doğrudan ve ters orantı uygulamaları 6
çeşitli problemleri çözerken bağımlılıklar.
Çözüm. on bir
Edebiyat. 12
Giriiş.
Oran kelimesi Latince oran kelimesinden gelir ve genel olarak orantılılık, parçaların hizalanması (parçaların birbirine belirli bir oranı) anlamına gelir. Eski zamanlarda oranlar doktrini Pisagorcular tarafından büyük saygı görüyordu. Doğadaki düzen ve güzellik, müzikteki ünsüz akorlar ve evrendeki uyum hakkındaki düşünceleri orantılarla ilişkilendirdiler. Bazı orantı türlerine müzikal veya armonik adını verdiler.
İnsanoğlu çok eski çağlarda bile doğadaki tüm olayların birbiriyle bağlantılı olduğunu, her şeyin sürekli hareket halinde olduğunu, değiştiğini, sayılarla ifade edildiğinde şaşırtıcı desenler ortaya çıkardığını keşfetmişti.
Pisagorcular ve onların takipçileri dünyadaki her şeyi aradılar sayısal ifade. Keşfettiler; müziğin temelinde matematiksel oranların (tel uzunluğunun perdeye oranı, aralıklar arasındaki ilişki, armonik ses veren akorlardaki seslerin oranı) yattığı. Pisagorcular dünyanın birliği fikrini matematiksel olarak doğrulamaya çalıştılar ve evrenin temelinin simetrik geometrik şekiller olduğunu savundular. Pisagorcular güzellik için matematiksel bir temel aradılar.
Pisagorcuları takip eden ortaçağ bilim adamı Augustine, güzelliği "sayısal eşitlik" olarak adlandırdı. Skolastik filozof Bonaventure şöyle yazmıştı: "Orantılılık olmadan güzellik ve zevk olmaz ve orantılılık öncelikle sayılarda vardır. Her şeyin sayılabilir olması gerekir." Leonardo da Vinci, resim üzerine yazdığı incelemesinde sanatta orantı kullanımı hakkında şunları yazmıştı: "Ressam, bilim adamının sayısal yasa biçiminde bildiği, doğada gizli olan aynı kalıpları orantı biçiminde somutlaştırır."
Çözüm için orantı kullanıldı farklı görevler hem antik çağda hem de Orta Çağ'da. Bazı problem türleri artık oranlar kullanılarak kolay ve hızlı bir şekilde çözülüyor. Oranlar ve orantı sadece matematikte değil aynı zamanda mimaride ve sanatta da kullanılmıştır ve kullanılmaktadır. Mimarlıkta ve sanatta orantı, boyutlar arasında belirli ilişkilerin sürdürülmesi anlamına gelir farklı parçalar bina, figür, heykel veya diğer sanat eserleri. Bu gibi durumlarda orantılılık, doğru ve güzel yapım ve tasvirin şartıdır.
Çalışmamda çeşitli alanlarda doğrudan ve ters orantısal ilişkilerin kullanımını dikkate almaya çalıştım. çevreleyen yaşam, temasın izini sür Akademik konular görevler aracılığıyla.
İlişkiler ve oranlar.
İki sayının bölümüne denir davranış bunlar sayılar.
Tutum gösterileri, ilk sayının kaç katı ikinciden daha fazla veya ilk sayının ikinci sayının hangi kısmı olduğu.
Görev.
Mağazaya 2,4 ton armut ve 3,6 ton elma getirildi. Getirilen meyvelerin yüzde kaçı armuttur?
Çözüm . Bakalım ne kadar meyve getirmişler: 2,4+3,6=6(t). Getirilen meyvelerin ne kadarının armut olduğunu bulmak için oranı 2.4:6= yaparız. Cevap aynı zamanda forma da yazılabilir. ondalık veya yüzde olarak: = 0,4 = %40.
Karşılıklı ters isminde sayılar, çarpımları 1'e eşit olan. Bu nedenle ilişkiye ilişkinin tersi denir.
İki eşit oranı düşünün: 4,5:3 ve 6:4. Aralarına eşittir işareti koyup oranı bulalım: 4.5:3=6:4.
Oran iki ilişkinin eşitliğidir: a : b =c :d veya = 
a ve d nerede aşırı orantı koşulları, c ve b – ortalama üyeler(orantının tüm koşulları sıfırdan farklıdır).
Oranın temel özelliği:
doğru oranda aşırı terimlerin çarpımı orta terimlerin çarpımına eşittir.
Çarpmanın değişme özelliğini uyguladığımızda, doğru oranda aşırı terimlerin veya orta terimlerin yerlerinin değiştirilebileceğini görüyoruz. Ortaya çıkan oranlar da doğru olacaktır.
Oranın temel özelliğini kullanarak, diğer tüm terimler biliniyorsa bilinmeyen terimini bulabilirsiniz.
Oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için ortalama terimleri çarpmanız ve bilinen ekstrem terime bölmeniz gerekir. x : b = c : d , x = 
Bir oranın bilinmeyen orta terimini bulmak için uçtaki terimleri çarpmanız ve bilinen orta terime bölmeniz gerekir. a : b =x : d, x = 
.
Doğrudan ve ters orantılı ilişkiler.
İki farklı miktarın değerleri karşılıklı olarak birbirine bağlı olabilir. Yani, karenin alanı kenarının uzunluğuna bağlıdır ve bunun tersi de geçerlidir - karenin kenarının uzunluğu alanına bağlıdır.
Artan oranlarda iki niceliğe orantılı denir
biri birkaç kez (azalır), diğeri aynı sayıda artar (azalır).
İki miktar doğru orantılıysa, bu miktarların karşılık gelen değerlerinin oranları eşittir.
Örnek doğrudan orantılı bağımlılık .
Bir benzin istasyonunda 2 litre benzin 1,6 kg ağırlığındadır. Ne kadar ağır olacaklar 5 litre benzin mi?
Çözüm:
Gazyağının ağırlığı hacmiyle orantılıdır.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Cevap: 4 kg.
Burada ağırlık/hacim oranı değişmeden kalır.
İki nicelikten biri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğeri aynı miktarda azalıyorsa (artıyorsa) ters orantılı olarak adlandırılır.
Miktarlar ters orantılı ise, o zaman bir miktarın değerlerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
P örnekters orantılı ilişki.
İki dikdörtgen aynı alana sahiptir. Birinci dikdörtgenin uzunluğu 3,6 m, genişliği 2,4 m'dir.İkinci dikdörtgenin uzunluğu 4,8 m'dir.İkinci dikdörtgenin genişliğini bulun.
Çözüm:
1 dikdörtgen 3,6 m 2,4 m
2 dikdörtgen 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8m 2,4m
x = 3,6*2,4 = 1,8m
Cevap: 1,8 m.
Gördüğünüz gibi orantısal büyüklüklerle ilgili problemler orantı kullanılarak çözülebilir.
Her iki nicelik doğru orantılı ya da ters orantılı değildir. Örneğin bir çocuğun yaşı arttıkça boyu da artar ancak bu değerler orantılı değildir çünkü yaş iki katına çıktığında çocuğun boyu iki katına çıkmaz.
Pratik kullanım doğrudan ve ters orantılı bağımlılık.
Görev No.1
Okul kütüphanesinde 210 matematik ders kitabı bulunmaktadır; bu, tüm kütüphane koleksiyonunun %15'ini oluşturur. Kütüphane koleksiyonunda kaç kitap var?
Çözüm:
Toplam ders kitabı - ? - 100%
Matematikçiler - 210 -15%
%15 210 akademik.
X = 100* 210 = 1400 ders kitabı
%100 x hesap. 15
Cevap: 1400 ders kitabı.
Sorun No. 2
Bir bisikletçi 3 saatte 75 km yol kat etmektedir. Bir bisikletçi aynı hızla 125 km yol kat etmek ne kadar sürer?
Çözüm:
3 saat – 75 km
Y – 125 km
Zaman ve mesafe doğru orantılı büyüklüklerdir, dolayısıyla
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Cevap: 5 saat içinde.
Sorun No. 3
8 adet aynı boru bir havuzu 25 dakikada dolduruyor. Bir havuzu bu tür 10 boruyla doldurmak kaç dakika sürer?
Çözüm:
8 boru – 25 dakika
10 boru - ? dakika
Boru sayısı zamanla ters orantılı olduğundan
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Cevap: 20 dakika içinde.
Sorun No. 4
8 kişilik bir ekip bu işi 15 günde tamamlıyor. Kaç işçi aynı verimlilikte çalışarak görevi 10 günde tamamlayabilir?
Çözüm:
8 iş günü – 15 gün
İşçiler - 10 gün
Çalışan sayısı gün sayısıyla ters orantılıdır.
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Cevap: 12 işçi.
Sorun No. 5
5,6 kg domatesten 2 litre sos elde edilir. 54 kg domatesten kaç litre sos elde edilebilir?
Çözüm:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? ben
Domatesin kilogram sayısı elde edilen sos miktarıyla doğru orantılıdır, dolayısıyla
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Cevap: 19 l.
Sorun No. 6
Okul binasını ısıtmak için kömür 180 gün boyunca tüketim oranında depolandı.
Günde 0,6 ton kömür. Günde 0,5 ton harcanırsa bu arz kaç gün dayanır?
Çözüm:
Gün sayısı
Tüketim oranı
Gün sayısı kömür tüketim oranıyla ters orantılıdır, dolayısıyla
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Cevap: 216 gün.
Sorun No. 7
İÇİNDE Demir cevheri 7 kısım demir için 3 kısım safsızlık vardır. 73,5 ton demir içeren cevherde kaç ton yabancı madde var?
Çözüm:
Parça sayısı
Ağırlık
Ütü
73,5
Safsızlıklar
Parça sayısı kütleyle doğru orantılıdır, bu nedenle
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Cevap: 31,5 ton
Sorun No. 8
Araba 35 litre benzin kullanarak 500 km yol kat etti. 420 km yol kat etmek için kaç litre benzine ihtiyaç duyulacak?
Çözüm:
Mesafe, km
Benzin, l
Mesafe benzin tüketimiyle doğru orantılıdır, dolayısıyla
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Cevap: 29,4 l
Sorun No. 9
2 saat içinde 12 havuz sazanı yakaladık. 3 saatte kaç tane havuz sazanı yakalanacak?
Çözüm:
Havuz sazanı sayısı zamana bağlı değildir. Bu büyüklükler ne doğru orantılı ne de ters orantılıdır.
Cevap: Cevap yok.
Sorun No. 10
Bir madencilik işletmesinin belirli bir miktar para karşılığında tanesi 12 bin ruble fiyatla 5 yeni makine satın alması gerekiyor. Bir makinenin fiyatı 15 bin ruble olursa, işletme bu makinelerden kaç tane satın alabilir?
Çözüm:
Araba sayısı, adet.
Fiyat, bin ruble
Araç sayısı maliyetle ters orantılıdır.
5: x = 15: 12,
x=5*12:15,
x=4.
Cevap: 4 araba.
Sorun No. 11
Şehirde N, P karesinde, sahibi geç kaldığı için kesinti yapacak kadar katı olan bir mağaza var. ücretler Günde 1 gecikme için 70 ruble. İki kız Yulia ve Natasha bir bölümde çalışıyor. Onların maaş iş günü sayısına bağlıdır. Yulia 20 günde 4.100 ruble aldı ve Natasha'nın 21 günde daha fazlasını alması gerekiyordu, ancak arka arkaya 3 gün gecikti. Natasha kaç ruble alacak?
Çözüm:
Çalışma günleri
Maaş, ovmak.
Julia
4100
Nataşa
Maaş, çalışma günü sayısıyla doğru orantılıdır, bu nedenle
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 ovmak. Natasha'nın bunu almış olması gerekirdi.
4305 – 3 * 70 = 4095 (ovmak)
Cevap: Natasha 4095 ruble alacak.
Sorun No. 12
Haritada iki şehir arası mesafe 6 cm'dir.Harita ölçeği 1:250000 ise bu şehirler arasındaki mesafeyi yerde bulunuz.
Çözüm:
Yerdeki şehirler arasındaki mesafeyi x (santimetre cinsinden) ile gösterelim ve haritadaki parçanın uzunluğunun harita ölçeğine eşit olacak yerdeki mesafeye oranını bulalım: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Cevap: 15 km.
Sorun No. 13
4000 g çözelti 80 g tuz içerir. Bu çözeltideki tuz konsantrasyonu nedir?
Çözüm:
Ağırlık, g
Konsantrasyon, %
Çözüm
4000
Tuz
4000: 80 = 100:x,
x = 
,
x = 2.
Cevap: Tuz konsantrasyonu %2'dir.
Sorun No. 14
Banka yıllık yüzde 10 oranında kredi veriyor. 50.000 ruble kredi aldınız. Bir yılda bankaya ne kadar iade etmelisiniz?
Çözüm:
50.000 ovmak.
100%
x ovmak.
50000: x = 100: 10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 ovmak. %10'dur.
50.000 + 5000=55.000 (rub.)
Cevap: Bir yıl içinde banka 55.000 rubleyi geri alacak.
Çözüm.
Verilen örneklerden de anlaşılacağı üzere doğrudan ve ters orantısal ilişkiler hayatın çeşitli alanlarında uygulanabilir:
Ekonomi,
Ticaret,
Üretimde ve sanayide,
Yemek pişirmek,
İnşaat ve mimarlık.
Spor Dalları,
Hayvancılık,
Topografyalar,
Fizikçiler,
Kimya vb.
Rus dilinde de doğrudan ve ters ilişkiler kuran atasözleri ve sözler vardır:
Geri döndüğünde de karşılık verecektir.
Kütük ne kadar yüksek olursa gölge de o kadar yüksek olur.
Ne kadar çok insan o kadar az oksijen.
Ve hazır ama aptal.
Matematik en eski bilimlerden biridir; insanlığın ihtiyaç ve istekleri temelinde ortaya çıkmıştır. O zamandan bu yana oluşum tarihini yaşamış olan Antik Yunan hala geçerli ve gerekli olmaya devam ediyor Gündelik Yaşam Herhangi bir kişi. Doğrudan ve ters orantı kavramı eski çağlardan beri bilinmektedir, çünkü herhangi bir heykelin inşası veya yaratılması sırasında mimarları motive eden orantı yasalarıdır.
Oranlar hakkındaki bilgi insan yaşamının ve faaliyetinin tüm alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır - resim yaparken onsuz yapamazsınız (manzaralar, natürmortlar, portreler vb.), mimarlar ve mühendisler arasında da yaygındır - genel olarak zordur Oranlar ve bunların ilişkileri hakkındaki bilgiyi kullanmadan herhangi bir şey yarattığınızı hayal edin.
Edebiyat.
Matematik-6, N.Ya. Vilenkin ve ark.
Cebir -7, G.V. Dorofeev ve diğerleri.
Matematik-9, GIA-9, F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
Matematik-6, didaktik materyaller, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov
4-5. Sınıflar için matematik problemleri, I.V. Baranova ve diğerleri, M. "Prosveshchenie" 1988
Matematik 5-6. Sınıflarda problemlerin ve örneklerin toplanması, N.A. Tereshin,
T.N. Tereshina, M. “Akvaryum” 1997
Bugün hangi niceliklerin ters orantılı olarak adlandırıldığına, ters orantı grafiğinin neye benzediğine ve tüm bunların sadece matematik derslerinde değil okul dışında da sizin için nasıl yararlı olabileceğine bakacağız.
Böyle farklı oranlar
Orantılılık Birbirine bağımlı olan iki niceliği adlandırın.
Bağımlılık doğrudan ve ters olabilir. Sonuç olarak, nicelikler arasındaki ilişkiler düz bir çizgiyle tanımlanır ve ters orantı.
Doğrudan orantılılık- Bu, iki nicelik arasında, birinde bir artışın veya azalmanın diğerinde de artışa veya azalmaya yol açtığı bir ilişkidir. Onlar. tavırları değişmiyor.
Örneğin, sınavlara ne kadar çok çalışırsanız notlarınız o kadar yüksek olur. Ya da yürüyüşe çıkarken yanınıza ne kadar çok şey alırsanız sırt çantanız o kadar ağır olur. Onlar. Sınavlara hazırlanmak için harcanan emek, alınan notlarla doğru orantılıdır. Ve bir sırt çantasına konulan eşyaların sayısı, ağırlığıyla doğru orantılıdır.
Ters orantılılık– bu, bağımsız bir değerdeki (buna argüman denir) birkaç kat azalma veya artışın, bağımlı bir değerde orantılı (yani aynı sayıda) artışa veya azalmaya neden olduğu (buna bağımsız değişken denir) fonksiyonel bir bağımlılıktır. işlev).
Basit bir örnekle açıklayalım. Pazardan elma almak istiyorsunuz. Tezgahtaki elmalar ile cüzdanınızdaki para miktarı ters orantılıdır. Onlar. Ne kadar çok elma alırsanız, o kadar az paranız kalır.
Fonksiyon ve grafiği
Ters orantı fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir: y = k/x. hangisinde X≠ 0 ve k≠ 0.
Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Tanım alanı, hariç tüm gerçek sayılar kümesidir. X = 0. D(sen): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Aralığın tamamı gerçek sayılardır, ancak sen= 0. E(y): (-∞; 0) sen (0; +∞) .
- Maksimum veya minimum değerleri yoktur.
- Gariptir ve grafiği orijine göre simetriktir.
- Düzenli olmayan.
- Grafiği koordinat eksenlerini kesmez.
- Sıfırları yoktur.
- Eğer k> 0 (yani argüman artarsa), fonksiyon her aralıkta orantılı olarak azalır. Eğer k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argüman arttıkça ( k> 0) negatif değerler fonksiyonlar (-∞; 0) aralığındadır ve pozitif olanlar (0; +∞)'tır. Argüman azaldığında ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Ters orantı fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
Ters orantı problemleri
Daha açık hale getirmek için birkaç göreve bakalım. Çok karmaşık değiller ve bunları çözmek, ters orantılılığın ne olduğunu ve bu bilginin günlük yaşamınızda nasıl yararlı olabileceğini gözünüzde canlandırmanıza yardımcı olacaktır.
Görev No.1. Bir araba 60 km/saat hızla hareket etmektedir. Hedefine varması 6 saat sürdü. İki katı hızla hareket ederse aynı mesafeyi ne kadar sürede kat eder?
Zaman, mesafe ve hız arasındaki ilişkiyi açıklayan bir formül yazarak başlayabiliriz: t = S/V. Katılıyorum, bize ters orantı fonksiyonunu çok hatırlatıyor. Bu da bir otomobilin yolda geçirdiği süre ile hareket hızının ters orantılı olduğunu gösteriyor.
Bunu doğrulamak için duruma göre 2 kat daha yüksek olan V 2'yi bulalım: V 2 = 60 * 2 = 120 km/saat. Daha sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km formülünü kullanarak mesafeyi hesaplıyoruz. Artık problemin koşullarına göre bizden beklenen t 2 süresini bulmak zor değil: t 2 = 360/120 = 3 saat.
Gördüğünüz gibi yolculuk süresi ve hız aslında ters orantılıdır: Orijinal hızın 2 katı daha yüksek bir hızda araç yolda 2 kat daha az zaman harcayacaktır.
Bu problemin çözümü orantı olarak da yazılabilir. O halde önce bu diyagramı oluşturalım:
↓ 60 km/saat – 6 saat
↓120 km/saat – xsaat
Oklar ters orantılı bir ilişkiyi gösterir. Ayrıca bir orantı kurarken kaydın sağ tarafının ters çevrilmesi gerektiğini de öne sürüyorlar: 60/120 = x/6. X = 60 * 6/120 = 3 saati nereden bulacağız?
Görev No.2. Atölyede belirli bir işi 4 saatte tamamlayabilen 6 işçi çalışıyor. İşçi sayısı yarıya indirilirse kalan işçiler aynı işi ne kadar sürede tamamlar?
Sorunun koşullarını görsel bir şema halinde yazalım:
↓ 6 işçi – 4 saat
↓ 3 işçi – x h
Bunu oran olarak yazalım: 6/3 = x/4. Ve x = 6 * 4/3 = 8 saat elde ederiz.Eğer 2 kat daha az işçi varsa, geri kalanlar tüm işi yaparken 2 kat daha fazla zaman harcayacaklardır.
Görev No.3. Havuza giden iki boru var. Su bir borudan 2 lt/s hızla akıyor ve havuzu 45 dakikada dolduruyor. Başka bir boruyla havuz 75 dakikada dolacak. Su bu borudan havuza hangi hızla giriyor?
Başlangıç olarak problemin koşullarına göre bize verilen tüm büyüklükleri aynı ölçü birimlerine indirgeyelim. Bunun için havuzun dolma hızını dakikada litre cinsinden ifade ediyoruz: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/dak.
Havuzun ikinci borudan daha yavaş dolması durumundan da anlaşılacağı için su akış hızının daha düşük olması anlamına gelir. Orantılılık terstir. Bilinmeyen hızı x üzerinden ifade edelim ve aşağıdaki diyagramı çizelim:
↓ 120 l/dak – 45 dak
↓ x l/dak – 75 dak
Ve sonra şu oranı oluşturuyoruz: 120/x = 75/45, buradan x = 120 * 45/75 = 72 l/dak.
Problemde havuzun doluluk oranı litre/saniye cinsinden ifade ediliyor; aldığımız cevabı aynı forma indirgeyelim: 72/60 = 1,2 l/s.
Görev No.4. Küçük bir özel matbaa, kartvizit basıyor. Bir matbaa çalışanı saatte 42 kartvizit hızında ve tam gün, 8 saat çalışmaktadır. Eğer daha hızlı çalışsaydı ve bir saatte 48 kartvizit bassaydı, eve ne kadar erken gidebilirdi?
Kanıtlanmış yolu takip ediyoruz ve problemin koşullarına göre istenen değeri x olarak belirten bir diyagram çiziyoruz:
↓ 42 kartvizit/saat – 8 saat
↓ 48 kartvizit/saat – x saat
Tekrar önümüze orantılı bağımlılık: Bir matbaa çalışanının saatte kaç kez daha fazla kartvizit bastığı, aynı işi tamamlamak için ihtiyaç duyacağı sürenin aynı sayısı. Bunu bilerek bir orantı oluşturalım:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 saat.
Böylece işi 7 saatte tamamlayan matbaa çalışanı, evine bir saat erken gidebiliyordu.
Çözüm
Bize öyle geliyor ki bu ters orantı problemleri aslında çok basit. Artık sizin de onları bu şekilde düşünmenizi umuyoruz. Ve asıl önemli olan, miktarların ters orantılı bağımlılığı hakkındaki bilginin sizin için gerçekten birden fazla kez yararlı olabileceğidir.
Sadece matematik derslerinde ve sınavlarda değil. Ancak o zaman bile, bir yolculuğa çıkmaya, alışverişe çıkmaya, tatillerde biraz ekstra para kazanmaya karar vermeye vb. hazır olduğunuzda.
Çevrenizde hangi ters ve doğru orantılı ilişki örneklerini fark ettiğinizi yorumlarda bize bildirin. Böyle bir oyun olsun. Ne kadar heyecan verici olduğunu göreceksiniz. Bu yazıyı paylaşmayı unutmayın sosyal ağlarda böylece arkadaşlarınız ve sınıf arkadaşlarınız da oynayabilir.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Örnek
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 vb.Orantılılık faktörü
Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.
Doğrudan orantılılık
Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.
Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:
F(X) = AX,A = CÖNST
Ters orantılılık
Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.
Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:
Fonksiyon özellikleri:
Kaynaklar
Wikimedia Vakfı. 2010.
Örnek
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 vb.Orantılılık faktörü
Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.
Doğrudan orantılılık
Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.
Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:
F(X) = AX,A = CÖNST
Ters orantılılık
Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.
Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:
Fonksiyon özellikleri:
Kaynaklar
Wikimedia Vakfı. 2010.
§ 129. Ön açıklamalar.
Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belirli bir saatte işe gitmeye çalışıyor, bir yaya ise acele ediyor ünlü mekan Kısacası buharlı ısıtıcı stokçusu, kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişe ediyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini düşürmeye yönelik planlar yapıyor vs.
Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi çeşitli büyüklüklerdir. Bu kitabın birinci ve ikinci bölümlerinde özellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.
Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar temsil eder farklı mesafeler trenin kalkış noktasından geçtiği yer. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda niceliği üstlenebilir. Farklı anlamlar.
Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. İki, üç ve Büyük bir sayı miktarları Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, sonra evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; son olarak iki niceliği karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve şu sonuca vardınız: verilen zaman(20 dk.) Yürümek için zamanınız olacak. Bundan basit örnek uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görüyorsunuz.
On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.
Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.
Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti düşündüğümüzde tek bir değerden bahsediyorduk; uzunluk ve 12 m ve 4 m yalnızca iki değerdi. Farklı anlamlar Bu değer.
Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.
§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.
Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.
Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol almaktadır.Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyiniz.
Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.
Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kere. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.
Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.
Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.
Bu tabloyu kullanarak bir ürünün miktarındaki artışa bağlı olarak maliyetinin kademeli olarak nasıl arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.
Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar yer alıyor, her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden rakamlar yer alıyor. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.
Tabloyu sağdan sola incelediğimizde miktarların belirtilen değerlerinin aynı oranda azalacağını göreceğiz. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.
Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılı.
Dolayısıyla iki nicelik, birinin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde birbiriyle ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .
Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.
Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer pek çok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:
1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.
2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu ürün.
§ 131. Doğrudan orantılı büyüklüklerin özelliği.
Aşağıdaki iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: çalışma zamanı ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise 2 günlük kazanç 40 ruble vb. olacaktır. Belirli sayıda günün belirli bir kazanca karşılık geleceği bir tablo oluşturmak en uygunudur.
Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.
İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:
Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğundan yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.
Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;
Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:
60:180 = 1 / 3 .
Yani şunu yazabiliriz:
Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
§ 132. Doğru orantılılık formülü.
1 kg'ı 10,4 ruble ise, çeşitli miktarlarda tatlıların maliyetini gösteren bir tablo yapalım.
Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve bunu ilk satırdaki karşılık gelen sayıya bölün. Örneğin:
Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayıya orantı faktörü denir. Bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.
Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir niceliğin herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.
Bir miktarın bu keyfi değerini harfle gösterelim. en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:
Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü, bölenin bölümle çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:
y = k X
Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.
Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V yani R = D V.
Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; Demirin özgül ağırlığını (7.8) bildiğimizden, bu külçelerin ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
R = 7,8 V.
Bu formülü formülle karşılaştırmak en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.
Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 · 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 × 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:
Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.
§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.
Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.
Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. 64 metreküp hacimli bir boşluğun ağırlığı ne kadar olacaktır? santimetre?
Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani
7,864 = 499,2(g).
Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.
2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.
Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.
(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:
(G).
Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.
§ 134. Değerler ters orantılıdır.
Şu problemi düşünün: “Beş duvar ustası bir evin tuğla duvarlarını 168 günde örebilir. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”
Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.
İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.
Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.
Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst büyüklüğün değerlerinin arttığını, alt büyüklüğün değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu kanuna tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: İşçiler herhangi bir göreve ne kadar çok bağlanırsa, belirli bir işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir. ters orantı.
Böylece, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .
Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.
1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:
Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.
2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise hareket hızına bağlı olarak farklı sürelerde katedilebilir. Var olmak Farklı yollar ulaşım: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:
Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.
§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.
Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Bu büyüklüklerin değer tablosuna soldan sağa bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci (zaman) değerlerinin azaldığını ve Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak, alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:
40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.
Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
§ 136. Ters orantılılık formülü.
Problemi düşünün: “Farklı boyutlarda ve farklı kalitelerde 6 adet ipek kumaş var. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 20 ruble fiyatında 100 m kumaş içerir. Metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:
Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Bu şöyle yapılabilir. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:
Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.
Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz.Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız, fark edeceksiniz. , her zaman 2.000 sayısını alacaksınız.Bu ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).
Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşit.Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken zamandan bahseden önceki problemde, o problem için de sabit bir sayının (1.200) olduğunu kontrol edin.
Her şeyi hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en harfiyle gösterdiğimiz sabit bir değere eşit olmalıdır İLE yani
xy = İLE.
Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan, çarpımın çarpıma bölünmesine eşittir. Araç,
Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.
Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. Denedi farklı varyantlar 96 sayfayla başladı ve daha sonra sayfa başına 2.500 mektup yazdı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”
Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.
2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.
Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):
Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla
Yani sayfada 2.400 harf var.
Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:
Masamız şöyle görünecek:
Kalan hücreleri kendiniz doldurun.
§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.
1. Birliğe indirgeme yöntemi.
Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?
Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.
5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,
1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.
Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.
80: 8 = 10 (gün).
Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.
2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.
İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğundan şunu yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve gerekli sayıları kelimelerle ifade edilen orana değiştirin:
Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.
Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize niceliklerin doğrudan ve ters orantılı bağımlılığının birçok örneğini verir. Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Doğrudan çok uzak. Örneğin geçiş ücretleri demiryolu mesafeye bağlı olarak artar: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla öderiz ancak bu, ödemenin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmez.