Doğal derecenin kökü ve özellikleri. Kare kök. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Bu yazıda tanıtacağız bir sayının kökü kavramı. Sırayla ilerleyeceğiz: Karekökle başlayacağız, oradan kübik kökün tanımına geçeceğiz, ardından kök kavramını genelleştirerek n'inci kökü tanımlayacağız. Aynı zamanda tanımları, notasyonları tanıtacağız, kök örnekleri vereceğiz ve gerekli açıklama ve yorumları vereceğiz.

Karekök, aritmetik karekök

Bir sayının kökünün, özellikle de karekökünün tanımını anlamak için, . Bu noktada bir sayının ikinci kuvvetiyle (bir sayının karesi) sıklıkla karşılaşacağız.

İle başlayalım karekök tanımları.

Tanım

a'nın karekökü karesi a'ya eşit olan bir sayıdır.

getirmek için örnekler Karekök , birkaç sayı alın, örneğin 5, −0,3, 0,3, 0 ve bunların karesini alın, sırasıyla 25, 0,09, 0,09 ve 0 sayılarını elde ederiz (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 ve 0 2 =0·0=0 ). O halde, yukarıda verilen tanıma göre, 5 sayısı 25 sayısının kareköküdür, -0,3 ve 0,3 sayıları 0,09'un karekökleridir ve 0, sıfırın kareköküdür.

Şunu belirtmek gerekir ki, karesi a'ya eşit olan herhangi bir a sayısı için mevcut değildir. Yani herhangi bir negatif a sayısı için karesi a'ya eşit olan bir b gerçek sayısı yoktur. Aslında herhangi bir negatif a için a=b 2 eşitliği imkansızdır çünkü b 2 değildir. negatif bir sayı herhangi bir b için Böylece, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü yoktur. Başka bir deyişle, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir ve hiçbir anlamı yoktur.

Bundan şu sonuç çıkıyor mantıksal soru: "Negatif olmayan herhangi bir a'nın karekökü var mıdır?" Cevap Evet. Bu gerçek, karekökün değerini bulmak için kullanılan yapıcı yöntemle doğrulanabilir.

Sonra bir sonraki mantıksal soru ortaya çıkıyor: "Belirli bir negatif olmayan a sayısının kareköklerinin sayısı nedir - bir, iki, üç veya daha fazla"? Cevap şu: eğer a sıfırsa, sıfırın tek karekökü sıfırdır; a pozitif bir sayıysa, o zaman a sayısının karekök sayısı ikidir ve kökleri . Bunu meşrulaştıralım.

a=0 durumuyla başlayalım. Öncelikle sıfırın aslında sıfırın karekökü olduğunu gösterelim. Bu, 0 2 =0·0=0 açık eşitliğinden ve karekök tanımından kaynaklanır.

Şimdi sıfırın tek karekökünün 0 olduğunu kanıtlayalım. Tam tersi yöntemi kullanalım. Sıfırın karekökü olan sıfırdan farklı bir b sayısının olduğunu varsayalım. O zaman b 2 = 0 koşulunun karşılanması gerekir ki bu imkansızdır, çünkü sıfırdan farklı herhangi bir b için b 2 ifadesinin değeri pozitiftir. Bir çelişkiye ulaştık. Bu, sıfırın tek karekökünün 0 olduğunu kanıtlar.

a'nın pozitif bir sayı olduğu durumlara geçelim. Yukarıda, negatif olmayan herhangi bir sayının karekökünün her zaman olduğunu söylemiştik, a'nın karekökü b sayısı olsun. Diyelim ki aynı zamanda a'nın karekökü olan bir c sayısı var. O halde, karekök tanımına göre, b 2 =a ve c 2 =a eşitlikleri doğrudur, bundan b 2 −c 2 =a−a=0 sonucu çıkar, ancak b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , sonra (b−c)·(b+c)=0 . Ortaya çıkan eşitlik geçerlidir Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri yalnızca b−c=0 veya b+c=0 olduğunda mümkündür. Dolayısıyla b ve c sayıları eşit veya zıttır.

A sayısının bir başka karekökü olan bir d sayısının olduğunu varsayarsak, daha önce verilenlere benzer bir mantıkla d'nin b sayısına veya c sayısına eşit olduğu kanıtlanır. Yani pozitif bir sayının karekök sayısı iki, karekökleri ise zıt sayılardır.

Kareköklerle çalışmanın kolaylığı için, negatif kök pozitif olandan "ayrılır". Bu amaçla tanıtılıyor aritmetik karekök tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının aritmetik karekökü a karesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

a'nın aritmetik karekökünün gösterimi şöyledir. Bu işarete aritmetik karekök işareti denir. Aynı zamanda radikal işareti olarak da adlandırılır. Bu nedenle bazen aynı nesne anlamına gelen “kök” ve “radikal” kelimelerini de duyabilirsiniz.

Aritmetikte karekök işaretinin altındaki sayıya ne denir radikal sayı ve kök işaretinin altındaki ifade şu şekildedir: radikal ifade"Radikal sayı" terimi genellikle "radikal ifade" ile değiştirilir. Örneğin notasyonda 151 sayısı köklü bir sayıdır ve notasyonda a ifadesi köklü bir ifadedir.

Okurken "aritmetik" kelimesi sıklıkla atlanır, örneğin giriş "yedi virgül yirmi dokuzun karekökü" olarak okunur. “Aritmetik” kelimesi yalnızca şunu vurgulamak istediklerinde kullanılır Hakkında konuşuyoruzözellikle bir sayının pozitif karekökü hakkında.

Sunulan gösterim ışığında, aritmetik karekök tanımından, negatif olmayan herhangi bir sayı için a olduğu sonucu çıkar.

Pozitif bir a sayısının karekökleri, aritmetik karekök işareti ve olarak kullanılarak yazılır. Örneğin 13'ün karekökleri ve'dir. Sıfırın aritmetik karekökü sıfıra eşit, yani, . Negatif a sayıları için, çalışmadan notasyona anlam yüklemeyeceğiz. Karışık sayılar. Örneğin ve ifadeleri anlamsızdır.

Karekök tanımına dayanarak, pratikte sıklıkla kullanılan kareköklerin özellikleri kanıtlanmıştır.

Bu noktanın sonucunda, a sayısının kareköklerinin x değişkenine göre x 2 =a formunun çözümleri olduğuna dikkat çekiyoruz.

Bir sayının küp kökü

cube root'un tanımı a sayısının karekök tanımına benzer şekilde verilir. Sadece bir sayının karesi değil küpü kavramına dayanmaktadır.

Tanım

a'nın küp kökü küpü a'ya eşit olan bir sayıdır.

Hadi verelim küp kök örnekleri. Bunu yapmak için birkaç sayı alın, örneğin 7, 0, −2/3 ve bunların küpünü alın: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . O halde küp kökünün tanımına dayanarak 7 sayısının şöyle olduğunu söyleyebiliriz: küp kökü 343'ün 0'ı sıfırın küp köküdür ve −2/3, −8/27'nin küp köküdür.

Bir sayının küp kökünün, karekökten farklı olarak, yalnızca negatif olmayan a için değil, aynı zamanda herhangi bir gerçek sayı a için de her zaman mevcut olduğu gösterilebilir. Bunu yapmak için karekökleri incelerken bahsettiğimiz yöntemin aynısını kullanabilirsiniz.

Üstelik belirli bir a sayısının yalnızca tek bir küp kökü vardır. Son ifadeyi kanıtlayalım. Bunu yapmak için üç durumu ayrı ayrı ele alın: a pozitif bir sayıdır, a=0 ve a negatif bir sayıdır.

Eğer a pozitifse, a'nın küp kökünün ne negatif bir sayı ne de sıfır olabileceğini göstermek kolaydır. Aslında b, a'nın küp kökü olsun, o zaman tanım gereği b 3 =a eşitliğini yazabiliriz. Bu eşitliğin negatif b ve b=0 için doğru olamayacağı açıktır, çünkü bu durumlarda b 3 =b·b·b sırasıyla negatif bir sayı veya sıfır olacaktır. Yani pozitif bir a sayısının küp kökü pozitif bir sayıdır.

Şimdi b sayısının yanı sıra a sayısının bir küp kökü daha olduğunu varsayalım, buna c diyelim. O halde c 3 =a. Dolayısıyla b 3 −c 3 =a−a=0, ancak b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(bu kısaltılmış çarpma formülüdür küp farkı), dolayısıyla (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Ortaya çıkan eşitlik yalnızca b−c=0 veya b 2 +b·c+c 2 =0 olduğunda mümkündür. İlk eşitlikten b=c elde ederiz ve ikinci eşitliğin hiçbir çözümü yoktur, çünkü sol tarafı herhangi bir b ve c pozitif sayısı için üç pozitif terim b 2, b·c ve c 2'nin toplamı olarak pozitif bir sayıdır. Bu, pozitif bir a sayısının küp kökünün benzersizliğini kanıtlar.

a=0 olduğunda a sayısının küp kökü yalnızca sıfır sayısıdır. Aslında, sıfırın sıfır olmayan küp kökü olan bir b sayısının olduğunu varsayarsak, o zaman b 3 = 0 eşitliğinin geçerli olması gerekir ki bu yalnızca b=0 olduğunda mümkündür.

Negatif a için, pozitif a için geçerli olan duruma benzer argümanlar verilebilir. Öncelikle negatif bir sayının küp kökünün pozitif bir sayıya veya sıfıra eşit olamayacağını gösteriyoruz. İkinci olarak, negatif bir sayının ikinci bir küp kökünün olduğunu varsayıyoruz ve bunun mutlaka birinciyle çakışacağını gösteriyoruz.

Yani, verilen herhangi bir a gerçek sayısının her zaman bir küp kökü ve benzersiz bir sayısı vardır.

Hadi verelim aritmetik küp kökü tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının aritmetik küp kökü a küpü a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

Negatif olmayan bir a sayısının aritmetik küp kökü ile gösterilir, işaretine aritmetik küp kökün işareti denir, bu gösterimdeki 3 sayısına denir kök dizini. Kök işaretinin altındaki sayı radikal sayı, kök işaretinin altındaki ifade radikal ifade.

Aritmetik küp kökü yalnızca negatif olmayan a sayıları için tanımlansa da, negatif sayıların aritmetik küp kökü işareti altında bulunduğu gösterimlerin kullanılması da uygundur. Bunları şu şekilde anlayacağız: burada a pozitif bir sayıdır. Örneğin, .

Köklerin özellikleri genel yazımızda küp köklerin özelliklerinden bahsedeceğiz.

Bir küp kökünün değerinin hesaplanmasına küp kökünün çıkarılması denir; bu eylem, köklerin çıkarılması: yöntemler, örnekler, çözümler makalesinde tartışılmaktadır.

Bu noktayı sonuçlandırmak için a sayısının küp kökünün x 3 =a formunun bir çözümü olduğunu varsayalım.

n'inci kök, n derecesinin aritmetik kökü

Bir sayının kökü kavramını genelleştirelim - tanıtıyoruz n'inci kökün tanımı n için.

Tanım

a'nın n'inci kökü n'inci kuvveti a'ya eşit olan bir sayıdır.

İtibaren bu tanım a sayısının birinci derece kökünün a sayısının kendisi olduğu açıktır, çünkü dereceyi doğal bir üsle çalışırken 1 =a aldık.

Yukarıda n=2 ve n=3 - karekök ve küpkök - için n'inci kökün özel durumlarına baktık. Yani, karekök ikinci derecenin köküdür ve küp kök üçüncü derecenin köküdür. N=4, 5, 6, ... için n'inci dereceden kökleri incelemek için bunları iki gruba ayırmak uygundur: birinci grup - çift dereceli kökler (yani n = 4, 6, 8 için) , ...), ikinci grup - tek dereceli kökler (yani n=5, 7, 9, ... ile). Bunun nedeni, çift kuvvetlerin köklerinin kareköklere, tek kuvvetlerin köklerinin ise kübik köklere benzer olmasıdır. Bunları tek tek ele alalım.

Güçleri olan köklerle başlayalım. çift ​​sayılar 4, 6, 8,... Dediğimiz gibi a sayısının kareköküne benzerler. Yani, a sayısının herhangi bir çift derecesinin kökü yalnızca negatif olmayan a için mevcuttur. Üstelik a=0 ise a'nın kökü tektir ve sıfıra eşittir, a>0 ise a sayısının çift dereceli iki kökü vardır ve bunlar zıt sayılardır.

Son ifadeyi kanıtlayalım. B çift dereceli bir kök olsun (bunu 2 m olarak belirtiyoruz, burada m bir miktardır) doğal sayı) a numarasından. Diyelim ki bir c sayısı var - a sayısından 2 m uzaklıkta başka bir derece kökü. O halde b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ama b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) formunu biliyoruz (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), sonra (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Bu eşitlikten b−c=0 veya b+c=0 veya b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. İlk iki eşitlik, b ve c sayılarının eşit olduğu veya b ve c'nin zıt olduğu anlamına gelir. Ve son eşitlik yalnızca b=c=0 için geçerlidir, çünkü sol tarafında negatif olmayan sayıların toplamı olarak herhangi bir b ve c için negatif olmayan bir ifade vardır.

Tek n'nin n'inci derecedeki kökleri ise kübik köke benzer. Yani, a sayısının herhangi bir tek derecesinin kökü, herhangi bir a gerçek sayısı için mevcuttur ve belirli bir a sayısı için benzersizdir.

A sayısının 2·m+1 tek dereceli kökünün benzersizliği, a'nın küp kökünün benzersizliğinin kanıtıyla analoji yoluyla kanıtlanır. Eşitlik yerine sadece burada a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = biçiminde bir eşitlik kullanılır (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Son parantez içindeki ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Örneğin m=2 ile elimizde b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). a ve b'nin her ikisi de pozitif veya her ikisi de negatif olduğunda, çarpımları pozitif bir sayı olur, bu durumda parantez içindeki b 2 +c 2 +b·c ifadesinin kendisi yüksek derece iç içe geçme, pozitif sayıların toplamı kadar pozitiftir. Şimdi önceki iç içe geçme derecelerinin parantez içindeki ifadelerine sırayla geçerek, bunların da pozitif sayıların toplamı olarak pozitif olduğuna ikna olduk. Sonuç olarak b 2 m+1 −c 2 m+1 = eşitliğini elde ederiz. (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 yalnızca b−c=0 olduğunda, yani b sayısı c sayısına eşit olduğunda mümkündür.

N'inci köklerin gösterimini anlamanın zamanı geldi. Bu amaçla verilmiştir n'inci derecenin aritmetik kökü tanımı.

Tanım

Negatif olmayan bir sayının n'inci derecesinin aritmetik kökü a n'inci kuvveti a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.

Formüller ve köklerin özellikleri de dahil olmak üzere kuvvet fonksiyonunun temel özellikleri verilmiştir. Türev, integral, açılım güç serisi ve bir kuvvet fonksiyonunun karmaşık sayılarla temsili.

Tanım

Tanım
p üssüyle kuvvet fonksiyonu f fonksiyonu (x) = xp x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
Ayrıca, f (0) = 0 p = 0 p için > 0 .

İçin doğal değerlerüs, güç fonksiyonu x'e eşit n sayının çarpımıdır:
.
Geçerli olanların tümü için tanımlanır.

Üssün pozitif rasyonel değerleri için güç fonksiyonu, x sayısının m derecesinin n köklerinin çarpımıdır:
.
Tek m için, tüm gerçek x'ler için tanımlanır. Hatta m için, negatif olmayanlar için güç fonksiyonu tanımlanır.

Negatif için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Bu nedenle noktada tanımlanmamıştır.

Üs p'nin irrasyonel değerleri için güç fonksiyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
,
burada a keyfi bir pozitif sayıdır, değil bire eşit: .
Ne zaman için tanımlanır.
Ne zaman, güç fonksiyonu için tanımlanır.

Süreklilik. Bir güç fonksiyonu tanım alanında süreklidir.

x ≥ 0 için kuvvet fonksiyonlarının özellikleri ve formülleri

Burada güç fonksiyonunun özelliklerini ele alacağız. negatif değerler argüman x. Yukarıda belirtildiği gibi p üssünün belirli değerleri için, x'in negatif değerleri için de kuvvet fonksiyonu tanımlanır. Bu durumda özellikleri çift veya tek kullanılarak ’nin özelliklerinden elde edilebilir. Bu durumlar "" sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmakta ve gösterilmektedir.

p üssüne sahip bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
;
(1.2) birçok anlamı var
,
;
(1.3) kesinlikle ile artar,
kesinlikle azalır;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Özelliklerin kanıtı “Güç fonksiyonu (sürekliliğin ve özelliklerin kanıtı)” sayfasında verilmiştir.

Kökler - tanım, formüller, özellikler

Tanım
N dereceli bir x sayısının kökü n üssüne yükseltildiğinde x'i veren sayıdır:
.
burada n = 2, 3, 4, ... - birden büyük bir doğal sayı.

Ayrıca n dereceli bir x sayısının kökünün denklemin kökü (yani çözümü) olduğunu da söyleyebilirsiniz.
.
Fonksiyonun fonksiyonun tersi olduğuna dikkat edin.

x'in karekökü derece 2'nin bir köküdür: .

x'in küp kökü 3. derecenin bir köküdür: .

Çift derece

Eşit kuvvetler için n = 2 m, kök x ≥ için tanımlanır 0 . Sıklıkla kullanılan bir formül hem pozitif hem de negatif x için geçerlidir:
.
Karekök için:
.

Burada işlemlerin gerçekleştirilme sırası önemlidir - yani önce negatif olmayan bir sayı elde edilecek şekilde kare gerçekleştirilir ve ardından bundan kök alınır (negatif olmayan bir sayıdan karekök alınabilir) ). Eğer sırayı değiştirirsek: negatif x için kök tanımsız olur ve bununla birlikte tüm ifade de tanımsız olur.

Tek derece

Tek kuvvetler için kök, tüm x için tanımlanır:
;
.

Köklerin özellikleri ve formülleri

X'in kökü bir kuvvet fonksiyonudur:
.
x ≥ olduğunda 0 aşağıdaki formüller geçerlidir:
;
;
, ;
.

Bu formüller değişkenlerin negatif değerleri için de uygulanabilir. Sadece eşit güçlerin radikal ifadesinin olumsuz olmadığından emin olmanız gerekir.

Özel değerler

0'ın kökü 0: .
Kök 1, 1'e eşittir: .
0'ın karekökü 0: .
1'in karekökü 1: .

Örnek. Köklerin kökü

Köklerin karekökü örneğine bakalım:
.
Yukarıdaki formülleri kullanarak iç karekökü dönüştürelim:
.
Şimdi orijinal kökü dönüştürelim:
.
Bu yüzden,
.

p üssünün farklı değerleri için y = x p.

İşte x argümanının negatif olmayan değerleri için fonksiyonun grafikleri. X'in negatif değerleri için tanımlanan bir güç fonksiyonunun grafikleri “Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri” sayfasında verilmiştir.

Ters fonksiyon

Üssü p olan bir kuvvet fonksiyonunun tersi, üssü 1/p olan bir kuvvet fonksiyonudur.

Eğer öyleyse.

Bir güç fonksiyonunun türevi

N'inci dereceden türev:
;

Formüllerin türetilmesi > > >

Bir güç fonksiyonunun integrali

P ≠ - 1 ;
.

Kuvvet serisi genişletmesi

- 1 < x < 1 aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
F (z) = zt.
Karmaşık değişken z'yi r modülü ve φ (r = |z|) argümanı cinsinden ifade edelim:
z = r e ben φ .
Karmaşık sayı t'yi gerçek ve sanal kısımlar biçiminde temsil ediyoruz:
t = p + ben q.
Sahibiz:

Daha sonra, φ argümanının benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını dikkate alıyoruz:
,

q = olduğu durumu ele alalım. 0 yani üs bir gerçel sayıdır, t = p. Daha sonra
.

Eğer p bir tam sayı ise kp de bir tam sayıdır. Daha sonra trigonometrik fonksiyonların periyodikliği nedeniyle:
.
Yani üstel fonksiyon belirli bir z için bir tamsayı üssü için yalnızca bir değere sahiptir ve bu nedenle kesindir.

Eğer p irrasyonelse, herhangi bir k için kp çarpımları bir tamsayı üretmez. k sonsuz sayıda değerden geçtiği için k = 0, 1, 2, 3, ... ise z p fonksiyonunun sonsuz sayıda değeri vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz.

Eğer p rasyonel ise şu şekilde temsil edilebilir:
, Nerede m, n- ortak bölenler içermeyen tam sayılar. Daha sonra
.
İlk n değerleri, k = k ile 0 = 0, 1, 2, ... n-1 n'yi ver Farklı anlamlar kp:
.
Ancak sonraki değerler öncekilerden bir tam sayı farklılık gösteren değerler verir. Örneğin, k = k olduğunda 0+n sahibiz:
.
Trigonometrik fonksiyonlar argümanları katları olan değerlere göre farklılık gösteren 2π, sahip olmak eşit değerler. Bu nedenle, k'de daha fazla bir artışla, k = k ile aynı z p değerlerini elde ederiz. 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Böylece, rasyonel bir üste sahip bir üstel fonksiyon çok değerlidir ve n değeri (dalları) vardır. z argümanı her artırıldığında 2π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz. Bu tür n sayıda devrimden sonra geri sayımın başladığı ilk şubeye dönüyoruz.

Özellikle, n dereceli bir kökün n değeri vardır. Örnek olarak, z = x gerçek pozitif sayısının n'inci kökünü düşünün. Bu durumda φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Yani karekök için n = 2 ,
.
Hatta k için, (- 1 ) k = 1. Tek k için, (- 1 ) k = - 1.
Yani karekökün iki anlamı vardır: + ve -.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Konuyla ilgili 11. sınıf ders senaryosu:

“Gerçek bir sayının n'inci kökü. »

Dersin amacı:Öğrencilerde kökün bütünsel bir anlayışının oluşumu N-inci derece ve ninci derecenin aritmetik kökü, hesaplama becerilerinin oluşumu, bilinçli ve akılcı kullanım Bir radikal içeren çeşitli problemleri çözerken kökün özellikleri. Öğrencilerin konu sorularını anlama düzeylerini kontrol edin.

Ders:Konuyla ilgili materyale hakim olmak için anlamlı ve organizasyonel koşullar yaratın " Sayısal ve alfabetik ifadeler » algılama, anlama ve temel ezberleme düzeyinde; gerçek bir sayının n'inci kökünü hesaplarken bu bilgiyi kullanma yeteneğini geliştirmek;

Meta-konu: bilgisayar becerilerinin gelişimini teşvik etmek; analiz etme, karşılaştırma, genelleme, sonuç çıkarma yeteneği;

Kişisel: kişinin kendi bakış açısını ifade etme, başkalarının cevaplarını dinleme, diyaloğa katılma ve olumlu işbirliği yeteneğini geliştirme yeteneğini geliştirmek.

Planlanan sonuç.

Ders: Kökleri hesaplarken ve denklemleri çözerken, bir gerçek sayının n'inci kökünün özelliklerini gerçek bir durumda uygulayabilme.

Kişisel: Hesaplamalarda dikkat ve doğruluk geliştirmek, kendine ve işine karşı talepkar bir tutum geliştirmek, karşılıklı yardımlaşma duygusunu geliştirmek.

Ders türü: yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine ilişkin ders

Eğitim faaliyetleri için motivasyon:

Doğu bilgeliği şöyle der: "Bir atı suya götürebilirsin ama onu içmeye zorlayamazsın." Ve eğer kendisi daha fazla öğrenmeye çalışmıyorsa ve zihinsel gelişimi üzerinde çalışma arzusu yoksa, bir kişiyi iyi çalışmaya zorlamak imkansızdır. Sonuçta bilgi, yalnızca hafıza yoluyla değil, kişinin düşüncelerinin çabalarıyla elde edildiğinde bilgidir.

Dersimiz şu sloganla gerçekleştirilecek: "Eğer çabalarsak her zirveyi fethederiz." Ders sırasında, sizin ve benim birkaç zirveyi aşmak için zamana ihtiyacımız var ve her biriniz bu zirveleri fethetmek için tüm çabanızı göstermelisiniz.

“Bugün yeni bir kavramla tanışmamız gereken bir dersimiz var: “N'inci kök” ve bu kavramı çeşitli ifadelerin dönüşümüne nasıl uygulayacağımızı öğrenmemiz.

Hedefiniz şunlara dayanmaktadır: çeşitli formlar Mevcut bilgiyi harekete geçirmek, materyalin çalışmasına katkıda bulunmak ve iyi notlar almak için çalışın"
8. sınıfta bir reel sayının karekökünü çalışmıştık. Karekök formun bir fonksiyonuyla ilgilidir sen=X 2. Arkadaşlar, karekökleri nasıl hesapladığımızı ve bunun hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlıyor musunuz?
a) bireysel araştırma:

bu nasıl bir ifade

karekök denir

aritmetik karekök denir

karekökün özelliklerini listeleyin

b) çiftler halinde çalışın: hesaplayın.

-

2. Bilgiyi güncellemek ve sorun durumu yaratmak: x 4 =1 denklemini çözün. Bunu nasıl çözebiliriz? (Analitik ve grafiksel). Grafiksel olarak çözelim. Bunu yapmak için, bir koordinat sisteminde y = x 4 fonksiyonunun y = 1 düz çizgisinin bir grafiğini oluşturacağız (Şekil 164 a). İki noktada kesişirler: A (-1;1) ve B(1;1). A ve B noktalarının apsisleri, yani. x1 = -1,

x 2 = 1, x 4 = 1 denkleminin kökleridir.
Tamamen aynı şekilde mantık yürüterek x 4 =16 denkleminin köklerini buluyoruz: Şimdi x 4 =5 denklemini çözmeye çalışalım; Şekil 2'de geometrik bir çizim gösterilmektedir. 164b. Denklemin x 1 ve x 2 olmak üzere iki kökü olduğu ve bu sayıların önceki iki durumda olduğu gibi karşılıklı olduğu açıktır. Ancak ilk iki denklem için kökler zorluk çekmeden bulundu (grafik kullanılmadan da bulunabilirler), ancak x 4 = 5 denkleminde sorunlar var: çizimden köklerin değerlerini gösteremiyoruz, ancak biz yalnızca bir kökün sol -1 noktasında, ikincisinin ise 1 noktasının sağında olduğunu tespit edebiliriz.

x 2 = - (okuyun: “beşin dördüncü kökü”).

a 0 olan x 4 = a denkleminden bahsetmiştik. a 0 ve n'nin herhangi bir doğal sayı olduğu x 4 = a denkleminden de aynı şekilde bahsedebiliriz. Örneğin x 5 = 1 denklemini grafiksel olarak çözerek x = 1'i buluruz (Şekil 165); x 5 "= 7 denklemini çözerek, denklemin, x ekseninde 1 noktasının biraz sağında yer alan bir x 1 köküne sahip olduğunu tespit ederiz (bkz. Şekil 165). X 1 sayısı için, notasyon.

Tanım 1. Kök n'inci Negatif olmayan bir sayının kuvvetleri (n = 2, 3,4, 5,...), n kuvvetine yükseltildiğinde a sayısıyla sonuçlanan, negatif olmayan bir sayıdır.

Bu sayı gösterilir, a sayısına radikal sayı denir ve n sayısına kökün üssü denir.
Eğer n=2 ise genellikle “ikinci kök” demezler, “karekök” derler. Bu durumda bunu yazmazlar. Bu, özellikle 8. sınıf cebir dersinde çalıştığınız özel durumdur. .

Eğer n = 3 ise “üçüncü derece kök” yerine sıklıkla “küp kök” derler. Küp kök ile ilk tanışmanız da 8.sınıf cebir dersinde gerçekleşti. 9. sınıf cebir dersinde küp kökleri kullandık.

Yani a ≥0, n= 2,3,4,5,… ise 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Genel olarak =b ve b n =a, negatif olmayan a ve b sayıları arasındaki aynı ilişkidir, ancak yalnızca ikincisi daha fazla açıklanır basit bir dille(ilkinden daha basit karakterler kullanır).

Negatif olmayan bir sayının kökünü bulma işlemine genellikle kök çıkarma adı verilir. Bu işlem uygun güce yükseltmenin tersidir. Karşılaştırmak:

Lütfen tekrar unutmayın: Tabloda yalnızca pozitif sayılar yer almaktadır, çünkü bu Tanım 1'de belirtilmiştir. Ve örneğin (-6) 6 = 36 doğru bir eşitlik olmasına rağmen, bundan karekök kullanarak gösterime geçin, yani. bunun imkansız olduğunu yaz. Tanım gereği pozitif bir sayı = 6 (-6 değil) anlamına gelir. Aynı şekilde 2 4 =16, t (-2) 4 =16 olmasına rağmen köklerin işaretlerine geçerek = 2 (ve aynı zamanda ≠-2) yazmalıyız.

Bazen ifadeye radikal denir (Latince gadix - “kök” kelimesinden gelir). Rusça'da radikal terimi oldukça sık kullanılır, örneğin "radikal değişiklikler" - bu "radikal değişiklikler" anlamına gelir. Bu arada, kökün tanımı gadix kelimesini anımsatıyor: sembol, stilize edilmiş bir r harfidir.

Kök çıkarma işlemi de negatif bir radikal sayı için belirlenir, ancak yalnızca tek bir kök üssü durumunda. Başka bir deyişle, (-2) 5 = -32 eşitliği eşdeğer formda =-2 olarak yeniden yazılabilir. Aşağıdaki tanım kullanılmaktadır.

Tanım 2. Negatif bir a sayısının (n = 3,5,...) tek kökü n, n üssüne yükseltildiğinde a sayısını veren negatif bir sayıdır.

Bu sayı Tanım 1'de olduğu gibi ile gösterilir, a sayısı köklü sayıdır ve n sayısı kökün üssüdür.
Yani, eğer a , n=,5,7,… ise: 1) 0; 2) () n = a.

Dolayısıyla, çift kökün yalnızca negatif olmayan bir radikal ifade için anlamı vardır (yani tanımlanır); tek bir kök herhangi bir radikal ifade için anlamlıdır.

5. Bilginin birincil konsolidasyonu:

1. Hesaplayın: No. 33.5; 33.6; 33,74 33,8 ağızdan a) ; B) ; V) ; G) .

d) Önceki örneklerden farklı olarak sayının tam değerini belirtemiyoruz, 2 4 = 16 (bu 17'den küçük) ve 3 4 = 81 olduğundan sadece 2'den büyük, 3'ten küçük olduğu açıktır. (bu 17'den fazla). 24'ün 17'ye 34'ten çok daha yakın olduğuna dikkat çekiyoruz, dolayısıyla yaklaşık eşitlik işaretini kullanmanın bir nedeni var:
2. Aşağıdaki ifadelerin anlamlarını bulunuz.

İlgili harfi örneğin yanına yerleştirin.

Büyük bilim adamı hakkında küçük bir bilgi. Rene Descartes (1596-1650) Fransız asilzade, matematikçi, filozof, fizyolog, düşünür. Rene Descartes analitik geometrinin temellerini attı ve x 2, y 3 harf gösterimlerini tanıttı. Bir değişkenin fonksiyonunu tanımlayan Kartezyen koordinatları herkes bilir.

3 . Denklemleri çözün: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Çözüm: a) = -2 ise y = -8 olur. Aslında her iki parça verilen denklem küp yapmalıyız. Şunu elde ederiz: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Örnek a)'daki gibi mantık yürüterek denklemin her iki tarafını da dördüncü kuvvete yükseltiriz. Şunu elde ederiz: x=1.

c) Dördüncü kuvvete yükseltmeye gerek yok, bu denklemin çözümü yok. Neden? Çünkü tanım 1'e göre çift kök, negatif olmayan bir sayıdır.
Dikkatinize çeşitli görevler sunulmaktadır. Bu görevleri tamamladığınızda büyük matematikçinin adını ve soyadını öğreneceksiniz. Bu bilim adamı, 1637'de kök işaretini ilk kez tanıtan kişiydi.

6. Biraz dinlenelim.

Sınıf ellerini kaldırıyor - bu “bir”.

Baş döndü - "iki" idi.

Eller aşağı, ileriye bakın - bu "üç".

Eller yanlara doğru genişleyerek “dört”e döndü

Onları kuvvetle ellerinize bastırmak "çak bir beşlik"tir.

Bütün erkeklerin oturması gerekiyor - “altı”.

7. Bağımsız iş:

seçenek: seçenek 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. Denklemi çözün: a) x 4 = -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x 9 – 2,4=0;

c) = -2; c)= 2

8. Tekrarlama: Denklemin kökünü bulun = - x. Denklemin birden fazla kökü varsa cevabı küçük olan kökle yazın.

9. Yansıma: Derste ne öğrendin? İlginç olan neydi? Ne zordu?

Bu makale köklerin özellikleri konusuyla ilgili ayrıntılı bilgilerin bir derlemesidir. Konuyu göz önünde bulundurarak özelliklerle başlayacağız, tüm formülasyonları inceleyeceğiz ve kanıt sunacağız. Konuyu pekiştirmek için n'inci derecenin özelliklerini ele alacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Köklerin özellikleri

Özellikleri hakkında konuşacağız.

1. Mülk çarpılan sayılar A Ve B a · b = a · b eşitliğiyle temsil edilir. Pozitif veya sıfıra eşit faktörler şeklinde temsil edilebilir. a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k olarak;
2. a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 bölümünden a b = a b;
3. Bir sayının kuvvetinden elde edilen özellik Açift ​​üslü a 2 m = herhangi bir sayı için a m Aörneğin bir a sayısının karesinin özelliği 2 = a.

Sunulan denklemlerin herhangi birinde, tire işaretinden önceki ve sonraki kısımları değiştirebilirsiniz; örneğin, a · b = a · b eşitliği a · b = a · b olarak dönüştürülür. Eşitlik özellikleri genellikle karmaşık denklemleri basitleştirmek için kullanılır.

İlk özelliklerin ispatı, karekök tanımına ve doğal üslü kuvvetlerin özelliklerine dayanmaktadır. Üçüncü özelliği doğrulamak için bir sayının modülünün tanımına bakmak gerekir.

Öncelikle a · b = a · b karekökünün özelliklerini kanıtlamak gerekir. Tanıma göre, a b'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu düşünmek gerekir; bu sayı şuna eşit olacaktır: bir b Inşaat sırasında bir kareye. a · b ifadesinin değeri, negatif olmayan sayıların çarpımı olarak pozitif veya sıfıra eşittir. Çarpan sayıların kuvvetleri özelliği, eşitliği (a · b) 2 = a 2 · b 2 biçiminde temsil etmemizi sağlar. Karekök tanımı gereği, a 2 = a ve b 2 = b, bu durumda a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Benzer şekilde üründen bunu kanıtlayabiliriz kçarpanlar a 1 , a 2 , … , a k bu faktörlerin kareköklerinin çarpımına eşit olacaktır. Aslında, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Bu eşitlikten şu sonuç çıkar: a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Konuyu pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

örnek 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ve 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Bölümün aritmetik karekökünün özelliğini kanıtlamak gerekir: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Bu özellik, a: b 2 = a 2: b 2 ve a 2: b 2 = a: b eşitliğini yazmamıza olanak tanır; a: b ise pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir. Bu ifade kanıt olacaktır.

Örneğin, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ve 30,121 = 30,121.

Bir sayının karesinin karekökü özelliğini ele alalım. 2 = a şeklinde bir eşitlik olarak yazılabilir. Bu özelliği kanıtlamak için çeşitli eşitlikleri ayrıntılı olarak ele almak gerekir. a ≥ 0 ve A< 0 .

Açıkçası, a ≥ 0 için a 2 = a eşitliği doğrudur. Şu tarihte: A< 0 a 2 = - a eşitliği doğru olacaktır. Aslında bu durumda - a > 0 ve (− a) 2 = a 2 . a 2 = a, a ≥ 0 - a, a sonucunu çıkarabiliriz< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 2

5 2 = 5 = 5 ve - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Kanıtlanmış özellik, 2 m = a m'nin gerekçelendirilmesine yardımcı olacaktır; A– gerçek ve M-doğal sayı. Gerçekten de, bir gücü yükseltme özelliği, o gücün yerini almamıza olanak sağlar. 2 m ifade (bir m) 2, bu durumda a 2 m = (a m) 2 = a m.

Örnek 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ve (- 8, 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8, 3) ​​7 .

N'inci kökün özellikleri

Öncelikle n'inci köklerin temel özelliklerini dikkate almamız gerekiyor:

1. Sayıların çarpımından elde edilen özellik A Ve B Pozitif veya sıfıra eşit olan , a · b n = a n · b n eşitliği olarak ifade edilebilir, bu özellik çarpım için geçerlidir. k sayılar a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n olarak;
2. itibaren kesirli sayı a b n = a n b n özelliğine sahiptir, burada A pozitif veya sıfıra eşit olan herhangi bir gerçek sayıdır ve B– pozitif gerçek sayı;
3. Herhangi A ve hatta göstergeler n = 2m a 2 · m 2 · m = a doğrudur ve tek sayı için n = 2 m - 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a eşitliği geçerlidir.
4. a m n = a n m'den çıkarma özelliği, burada A– pozitif veya sıfıra eşit herhangi bir sayı, N Ve M doğal sayılardır, bu özellik formda da gösterilebilir. . . bir n k n 2 n 1 = bir n 1 · n 2 . . . · nk ;
5. Negatif olmayan herhangi bir a ve keyfi için N Ve M doğaldır, adil eşitliği a m n · m = a n olarak da tanımlayabiliriz;
6. Derecenin özelliği N bir sayının kuvvetinden A pozitif veya sıfıra eşit olan doğal derece M a m n = a n m eşitliğiyle tanımlanır;
7. Karşılaştırma özellikleri aynı göstergeler: herhangi bir pozitif sayı için A Ve Böyle ki A< b , eşitsizlik a n< b n ;
8. Kök altında aynı sayılara sahip karşılaştırma özelliği: if M Ve N - doğal sayılar m > n, sonra 0 < a < 1 a m > a n eşitsizliği doğrudur ve ne zaman a > 1 bir m idam edildi< a n .

Yukarıda verilen eşitlikler, eşittir işaretinden önceki ve sonraki kısımların yer değiştirmesi durumunda geçerlidir. Bu formda da kullanılabilirler. Bu genellikle ifadeleri basitleştirirken veya dönüştürürken kullanılır.

Bir kökün yukarıdaki özelliklerinin kanıtı, bir sayının tanımına, derecenin özelliklerine ve modülünün tanımına dayanmaktadır. Bu özelliklerin kanıtlanması gerekir. Ama her şey yolunda.

1. Öncelikle a · b n = a n · b n çarpımının n'inci kökünün özelliklerini kanıtlayalım. İçin A Ve b hangisiöyle pozitif veya sıfıra eşit , a n · b n değeri de pozitiftir veya sıfıra eşittir, çünkü negatif olmayan sayıların çarpılmasının bir sonucudur. Bir ürünün doğal güce sahip olması, a n · b n n = a n n · b n n eşitliğini yazmamızı sağlar. Bir kökün tanımı gereği N-'inci derece a n n = a ve b n n = b , dolayısıyla a n · b n n = a · b . Ortaya çıkan eşitlik tam olarak kanıtlanması gereken şeydir.

Bu özellik ürün için de benzer şekilde kanıtlanabilir. kçarpanlar: negatif olmayan sayılar için a 1, a 2, …, an n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Root özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler aşağıda verilmiştir NÇarpımdan gelen -inci kuvvet: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ve 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. a b n = a n b n bölümünün kökünün özelliğini kanıtlayalım. Şu tarihte: a ≥ 0 Ve b > 0 a n b n ≥ 0 koşulu karşılanmıştır ve a n b n n = a n n b n n = a b .

Örnekleri gösterelim:

Örnek 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ve 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Bir sonraki adım için sayıdan dereceye kadar n'inci derecenin özelliklerini kanıtlamak gerekir. N. Bunu herhangi bir gerçek için a 2 m 2 m = a ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği olarak düşünelim. A ve doğal M. Şu tarihte: a ≥ 0 a = a ve a 2 m = a 2 m elde ederiz, bu da a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlar ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği açıktır. Şu tarihte: A< 0 sırasıyla a = - a ve a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m elde ederiz. Bir sayının son dönüşümü kuvvet özelliğine göre geçerlidir. Bu tam olarak a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlayan şeydir ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a doğru olacaktır, çünkü tek derece dikkate alınır - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 herhangi bir sayı için C , pozitif veya sıfıra eşit.

Alınan bilgileri pekiştirmek için özelliği kullanan birkaç örneği ele alalım:

Örnek 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ve (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Aşağıdaki eşitliği kanıtlayalım: a m n = a n m. Bunu yapmak için, eşittir işaretinden önceki ve sonraki sayıların yerini değiştirmeniz gerekir a n · m = a m n . Bu, girişin doğru olduğu anlamına gelecektir. İçin A, hangisi olumlu veya sıfıra eşit , a m n formundaki pozitif veya sıfıra eşit bir sayıdır. Gelelim bir gücü güce yükseltme özelliğine ve tanımına. Onların yardımıyla eşitlikleri a m n n · m = a m n n m = a m m = a biçiminde dönüştürebilirsiniz. Bu, söz konusu kökün kökünün özelliğini kanıtlar.

Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır. Gerçekten mi, . . . an k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · nk = . . . an k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · nk = . . . an k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · nk = . . . = bir n k n k = bir .

Örneğin, 7 3 5 = 7 5 3 ve 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Aşağıdaki a m n · m = a n özelliğini kanıtlayalım. Bunu yapmak için n'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu göstermek gerekir. Nm gücüne yükseltildiğinde eşittir bir m. eğer sayı A pozitif veya sıfıra eşitse, o zaman N-aralarından derece A pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir Bu durumda, a n · m n = a n n m , kanıtlanması gereken şey budur.

Edinilen bilgiyi pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

1. Aşağıdaki özelliği kanıtlayalım: a m n = a n m formundaki bir kuvvetin kökünün özelliği. Açıkça görülüyor ki ne zaman a ≥ 0 a n m derecesi negatif olmayan bir sayıdır. Üstelik onun N inci kuvvet eşittir bir m, aslında, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Bu, söz konusu derecenin özelliğini kanıtlar.

Örneğin, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Herhangi bir pozitif sayı için bunu kanıtlamak gerekir. A ve b koşulu sağlanır A< b . a n eşitsizliğini düşünün< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Bu nedenle, bir n< b n при A< b .

Mesela 12 4'ü verelim< 15 2 3 4 .

1. Kökün özelliğini düşünün N-inci derece. Öncelikle eşitsizliğin ilk kısmını dikkate almak gerekir. Şu tarihte: m > n Ve 0 < a < 1 doğru a m > a n. a m ≤ a n olduğunu varsayalım. Özellikler, ifadeyi bir n m · n ≤ a m m · n şeklinde basitleştirmenize olanak tanır. O halde, doğal üssü olan bir derecenin özelliklerine göre, a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n eşitsizliği geçerlidir, yani, a n ≤ a m. Elde edilen değer m > n Ve 0 < a < 1 yukarıda verilen özelliklere uymuyor.

Aynı şekilde şu da kanıtlanabilir: m > n Ve a > 1 a m koşulu doğrudur< a n .

Yukarıdaki özellikleri birleştirmek için birkaçını göz önünde bulundurun spesifik örnekler. Belirli sayıları kullanarak eşitsizliklere bakalım.

Örnek 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kök derecesi N gerçek bir sayıdan A, Nerede N- doğal sayı, böyle bir gerçek sayıya denir X, N derecesi şuna eşit olan A.

Kök derecesi N numaradan A sembolüyle gösterilir. Bu tanıma göre.

Kök bulma N-aralarından derece A kök çıkarma denir. Sayı A radikal sayı (ifade) olarak adlandırılır, N- kök göstergesi. Tek için N bir kök var N Herhangi bir gerçek sayının -inci kuvveti A. Ne zaman bile N bir kök var N-th kuvveti yalnızca negatif olmayan sayılar için A. Kökü netleştirmek için N-aralarından derece A aritmetik kök kavramı tanıtıldı N-aralarından derece A.

N derecesinin aritmetik kökü kavramı

Eğer N- doğal sayı, daha büyük 1 , o zaman negatif olmayan yalnızca bir sayı vardır X eşitlik sağlanacak şekilde. Bu numara X aritmetik kök denir N Negatif olmayan bir sayının kuvveti A ve belirlenir. Sayı A radikal sayı denir N- kök göstergesi.

Yani, tanıma göre, burada , ilk olarak şunu ve ikinci olarak şunu ifade eder, yani. .

Rasyonel üssü olan derece kavramı

Doğal üslü derece: let A gerçek bir sayıdır ve N- birden büyük bir doğal sayı, N sayının -inci kuvveti A işi aramak N her biri eşit olan faktörler A yani . Sayı A- derecenin temeli, N- üs. Üssü sıfır olan bir kuvvet: tanımı gereği if , o zaman . Bir sayının sıfır kuvveti 0 mantıklı değil. Negatif tamsayı üssü olan bir derece: tanım gereği varsayılırsa ve N o halde bir doğal sayıdır. Kesirli üslü bir derece: tanım gereği, eğer ve N- doğal sayı, M o halde bir tam sayıdır.

Köklerle işlemler.

Aşağıdaki tüm formüllerde sembol, bir aritmetik kök anlamına gelir (kök ifadesi pozitiftir).

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini n kat artırırsanız ve aynı zamanda radikal sayıyı n'inci kuvvete yükseltirseniz, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini n kat azaltırsanız ve aynı anda radikal sayının n'inci kökünü çıkarırsanız, kökün değeri değişmeyecektir:

Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak kuvvetleri ve kökleri olan işlemler aynı zamanda negatif, sıfır ve kesirli üslere de yol açabilir. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.

Negatif üslü bir derece. Negatif (tam sayı) üssü olan belirli bir sayının kuvveti, üssü negatif üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Şimdi a m: a n = a m - n formülü yalnızca n'den büyük m için değil, n'den küçük m için de kullanılabilir.

ÖRNEK a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Eğer a m: a n = a m - n formülünün m = n için geçerli olmasını istiyorsak, sıfır derece tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEKLER. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Bir a gerçek sayısını m/n üssüne çıkarmak için, bu a sayısının m'inci kuvvetinin n'inci kökünü çıkarmanız gerekir:

Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var.

Dava 1.

a ≠ 0'ın bulunmadığı yer.

Aslında x'in belirli bir sayı olduğunu varsayarsak, bölme işleminin tanımına uygun olarak elimizde: a = 0 x, yani. a = 0, şu koşulla çelişiyor: a ≠ 0

Durum 2.

Herhangi bir numara.

Aslında bu ifadenin belirli bir x sayısına eşit olduğunu varsayarsak bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · x olur. Ancak bu eşitlik herhangi bir x sayısı için geçerlidir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Gerçekten mi,

Çözüm: Üç ana durumu ele alalım:

1) x = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor

2) x > 0 için şunu elde ederiz: x / x = 1, yani. 1 = 1, bu da x'in herhangi bir sayı olduğu anlamına gelir; ancak bizim durumumuzda x > 0 olduğunu hesaba katarsak cevap x > 0 olur;

3) x'te< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

bu durumda çözüm yok. Böylece x > 0 olur.