Bilden Vektoren online eine Grundlage? Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Affines Koordinatensystem

Beispiel 8

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass Vektoren eine Basis im dreidimensionalen Raum bilden und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.

Lösung: Befassen wir uns zunächst mit der Erkrankung. Durch die Bedingung sind vier Vektoren gegeben, und wie Sie sehen können, haben sie in gewisser Weise bereits Koordinaten. Was diese Grundlage ist, interessiert uns nicht. Und folgendes ist von Interesse: Drei Vektoren können durchaus eine neue Basis bilden. Und die erste Stufe stimmt vollständig mit der Lösung von Beispiel 6 überein; es muss überprüft werden, ob die Vektoren wirklich linear unabhängig sind:

Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:

, was bedeutet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.

! Wichtig: Vektorkoordinaten Notwendig aufschreiben in Spalten Determinante, nicht in Strings. Andernfalls kommt es zu Verwirrung im weiteren Lösungsalgorithmus.

Erinnern wir uns nun an den theoretischen Teil: Wenn Vektoren eine Basis bilden, dann kann jeder Vektor auf einzigartige Weise in eine gegebene Basis erweitert werden: , wobei die Koordinaten des Vektors in der Basis sind.

Da unsere Vektoren die Basis des dreidimensionalen Raums bilden (dies wurde bereits bewiesen), lässt sich der Vektor über diese Basis auf einzigartige Weise entwickeln:
, wo sind die Koordinaten des Vektors in der Basis.

Je nach Bedingung ist es erforderlich, die Koordinaten zu finden.

Der Einfachheit halber vertausche ich die Teile: . Um es zu finden, sollten Sie diese Gleichheit Koordinate für Koordinate aufschreiben:

Auf welcher Grundlage werden die Koeffizienten festgelegt? Alle Koeffizienten auf der linken Seite werden exakt von der Determinante übernommen , die Koordinaten des Vektors werden auf der rechten Seite geschrieben.

Das Ergebnis ist ein Dreiersystem lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Normalerweise wird es gelöst durch Cramers Formeln, oft gibt es sogar in der Problemstellung eine solche Anforderung.

Die Hauptdeterminante des Systems wurde bereits gefunden:
, was bedeutet, dass das System über eine einzigartige Lösung verfügt.

Was folgt, ist eine Frage der Technik:

Auf diese Weise:
– Zerlegung des Vektors nach der Basis.

Antwort:

Wie ich bereits bemerkt habe, ist das Problem algebraischer Natur. Bei den betrachteten Vektoren handelt es sich nicht unbedingt um solche Vektoren, die im Raum gezeichnet werden können, sondern zunächst einmal um abstrakte Vektoren des Kurses der linearen Algebra. Für den Fall zweidimensionaler Vektoren lässt sich ein ähnliches Problem formulieren und lösen; die Lösung wird viel einfacher sein. Allerdings ist mir eine solche Aufgabe in der Praxis noch nie begegnet, weshalb ich sie im vorherigen Abschnitt übersprungen habe.

Das gleiche Problem mit dreidimensionalen Vektoren für unabhängige Entscheidung:

Beispiel 9

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass die Vektoren eine Basis bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode.

Komplette Lösung und ein ungefähres Muster des endgültigen Entwurfs am Ende der Lektion.

Ebenso können wir vierdimensional, fünfdimensional usw. betrachten. Vektorräume, in denen Vektoren jeweils 4, 5 oder mehr Koordinaten haben. Für diese Vektorräume gibt es auch das Konzept der linearen Abhängigkeit, der linearen Unabhängigkeit von Vektoren, es gibt eine Basis, einschließlich einer Orthonormalbasis, eine Entwicklung eines Vektors bezüglich einer Basis. Ja, solche Räume können nicht geometrisch gezeichnet werden, aber alle Regeln, Eigenschaften und Theoreme zwei- und dreidimensionaler Fälle funktionieren in ihnen – reine Algebra. Eigentlich war ich schon in dem Artikel versucht, über philosophische Themen zu sprechen Partielle Ableitungen einer Funktion von drei Variablen, das vor dieser Lektion erschien.

Liebe Vektoren, und Vektoren werden dich lieben!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Machen wir ein Verhältnis aus den entsprechenden Koordinaten der Vektoren:

Antwort: bei

Beispiel 4: Nachweisen: Trapez Als Viereck bezeichnet man ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind.
1) Überprüfen wir die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und .
Finden wir die Vektoren:


, was bedeutet, dass diese Vektoren nicht kollinear sind und die Seiten nicht parallel sind.
2) Überprüfen Sie die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und .
Finden wir die Vektoren:

Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:
, was bedeutet, dass diese Vektoren kollinear sind, und .
Abschluss: Zwei Seiten eines Vierecks sind parallel, die anderen beiden Seiten sind jedoch nicht parallel, was bedeutet, dass es sich per Definition um ein Trapez handelt. Q.E.D.

Beispiel 5: Lösung:
b) Prüfen wir, ob es einen Proportionalitätskoeffizienten für die entsprechenden Koordinaten der Vektoren gibt:

Das System hat keine Lösung, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.
Einfacheres Design:
– Die zweiten und dritten Koordinaten sind nicht proportional, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.
Antwort: die Vektoren sind nicht kollinear.
c) Wir untersuchen Vektoren auf Kollinearität . Lassen Sie uns ein System erstellen:

Die entsprechenden Koordinaten der Vektoren sind proportional, das heißt
Hier versagt die „foppistische“ Designmethode.
Antwort:

Beispiel 6: Lösung: b) Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten (die Determinante wird in der ersten Zeile angezeigt):

, was bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind und nicht die Grundlage des dreidimensionalen Raums bilden.
Antwort : Diese Vektoren bilden keine Basis

Beispiel 9: Lösung: Berechnen wir die Determinante aus Vektorkoordinaten:


Somit sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.
Stellen wir den Vektor als lineare Kombination von Basisvektoren dar:

Koordinatenmäßig:

Lösen wir das System mit den Formeln von Cramer:
, was bedeutet, dass das System über eine einzigartige Lösung verfügt.

Antwort:Die Vektoren bilden eine Basis,

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Kreuzprodukt von Vektoren.
Gemischtes Produkt von Vektoren

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt Vektoren Und gemischte Arbeit Vektoren. Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt höhere Mathematik Im Allgemeinen gibt es nicht genug Brennholz, vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich gezielt mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in zu finden sind praktische Arbeit

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Testaufgaben

Aufgabe 1 - 10. Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass Vektoren eine Basis des dreidimensionalen Raums bilden und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis:

Gegeben sind die Vektoren ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Zeigen Sie, dass die Vektoren die Basis des dreidimensionalen Raums bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors X in dieser Basis.

Diese Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Zuerst müssen Sie prüfen, ob die Vektoren eine Basis bilden. Vektoren bilden eine Basis, wenn die aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammengesetzte Determinante ungleich Null ist, andernfalls sind die Vektoren nicht basisch und der Vektor X kann nicht über diese Basis erweitert werden.

Berechnen wir die Determinante der Matrix:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Die Determinante der Matrix ist ∆ =37

Da die Determinante ungleich Null ist, bilden die Vektoren eine Basis, daher kann der Vektor X über diese Basis entwickelt werden. Diese. Es gibt Zahlen α 1, α 2, α 3, so dass die Gleichheit gilt:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinatenform:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Unter Verwendung der Eigenschaften von Vektoren erhalten wir die folgende Gleichheit:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Aufgrund der Eigenschaft der Vektorgleichheit gilt:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Wir lösen das Erhaltene Gleichungssystem Gaußsche Methode oder Cramers Methode.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Die Lösung wurde über den Dienst empfangen und verarbeitet:

Vektorkoordinaten in der Basis

Zusammen mit diesem Problem lösen sie auch:

Lösen von Matrixgleichungen

Cramer-Methode

Gauß-Methode

Inverse Matrix mit der Jordano-Gauß-Methode

Inverse Matrix über algebraische Komplemente

Online-Matrixmultiplikation

Die Basis des Raumes Sie nennen ein solches Vektorsystem, in dem alle anderen Vektoren im Raum als lineare Kombination von in der Basis enthaltenen Vektoren dargestellt werden können.
In der Praxis lässt sich das alles ganz einfach umsetzen. Die Basis wird in der Regel in einer Ebene oder im Raum überprüft, und dazu müssen Sie die Determinante einer aus Vektorkoordinaten zusammengesetzten Matrix zweiter und dritter Ordnung finden. Unten sind schematisch geschrieben Bedingungen, unter denen Vektoren eine Basis bilden

Zu Erweitern Sie den Vektor b in Basisvektoren
e,e...,e[n] Es ist notwendig, die Koeffizienten x, ..., x[n] zu finden, für die die Linearkombination der Vektoren e,e...,e[n] gleich ist Vektor B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Dazu sollte die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt und Lösungen gefunden werden. Auch dies ist recht einfach umzusetzen.
Die gefundenen Koeffizienten x, ..., x[n] werden aufgerufen Koordinaten des Vektors b in der Basis e,e...,e[n].
Kommen wir zur praktischen Seite des Themas.

Zerlegung eines Vektors in Basisvektoren

Aufgabe 1. Prüfen Sie, ob die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene bilden

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Lösung: Wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Die Determinante ist es nicht gleich Null , somit Die Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Lösung: Wir berechnen die aus Vektoren bestehende Determinante

Die Determinante ist gleich 13 (ungleich Null) – daraus folgt, dass die Vektoren a1, a2 eine Basis in der Ebene sind.

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Schauen wir uns typische Beispiele aus dem MAUP-Programm in der Disziplin „Höhere Mathematik“ an.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Vektoren a1, a2, a3 die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums bilden, und entwickeln Sie den Vektor b entsprechend dieser Basis (bei der Lösung eines linearen Systems). algebraische Gleichungen verwenden Sie die Cramer-Methode).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Lösung: Betrachten Sie zunächst das Vektorsystem a1, a2, a3 und überprüfen Sie die Determinante der Matrix A

auf Vektoren ungleich Null aufgebaut. Die Matrix enthält ein Nullelement, daher ist es sinnvoller, die Determinante als Diagramm in der ersten Spalte oder dritten Zeile zu berechnen.

Als Ergebnis der Berechnungen haben wir festgestellt, dass die Determinante daher von Null verschieden ist Die Vektoren a1, a2, a3 sind linear unabhängig.
Per Definition bilden Vektoren eine Basis im R3. Schreiben wir den Zeitplan von Vektor b basierend auf auf

Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koordinaten gleich sind.
Daher erhalten wir aus der Vektorgleichung ein System linearer Gleichungen

Lassen Sie uns SLAE lösen Cramers Methode. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in die Form

Die Hauptdeterminante eines SLAE ist immer gleich der aus Basisvektoren zusammengesetzten Determinante

Daher kommt es in der Praxis nicht zu einer Doppelzählung. Um Hilfsdeterminanten zu finden, fügen wir anstelle jeder Spalte der Hauptdeterminante eine Spalte mit freien Termen ein. Determinanten werden nach der Dreiecksregel berechnet



Ersetzen wir die gefundenen Determinanten in Cramers Formel



Die Entwicklung des Vektors b in Bezug auf die Basis hat also die Form b=-4a1+3a2-a3. Die Koordinaten des Vektors b in der Basis a1, a2, a3 sind (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Lösung: Wir prüfen die Vektoren auf eine Basis – wir bilden aus den Koordinaten der Vektoren eine Determinante und berechnen diese

Die Determinante ist also ungleich Null Vektoren bilden eine Basis im Raum. Es bleibt weiterhin, den Zeitplan des Vektors b anhand dieser Basis zu finden. Dazu schreiben wir die Vektorgleichung

und in ein System linearer Gleichungen umwandeln

Wir schreiben die Matrixgleichung

Als nächstes finden wir für Cramers Formeln Hilfsdeterminanten



Wir wenden Cramers Formeln an



Ein gegebener Vektor b hat also einen Zeitplan durch zwei Basisvektoren b=-2a1+5a3, und seine Koordinaten in der Basis sind gleich b(-2,0, 5).