Lee ist nicht exponentiell. Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression und Zenos Paradoxon

Lektion zum Thema „Unendlich abnehmende geometrische Progression“ (Algebra, 10. Klasse)

Der Zweck der Lektion: Einführung der Schüler in eine neue Art von Sequenz – eine unendlich abnehmende geometrische Progression.

Ausrüstung: Leinwand.

Unterrichtsart: Lektion - Lernen neues Thema.

Während des Unterrichts

ICH . Org. Moment. Geben Sie das Thema und den Zweck der Lektion an.

II . Aktualisierung des Wissens der Studierenden.

In der 9. Klasse haben Sie Arithmetik und geometrische Progressionen studiert.

Fragen

1. Definition arithmetische Folge. (Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, addiert zur gleichen Zahl.)

2. Formel N tes Glied der arithmetischen Folge (
)

3. Formel für die Summe der ersten N Terme einer arithmetischen Folge.

(
oder
)

4. Definition geometrischer Verlauf. (Eine geometrische Folge ist eine Folge von Zahlen ungleich Null, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Glied multipliziert mit derselben Zahl ist.)

5. Formel N Term der geometrischen Progression (

)

6. Formel für die Summe der ersten N Mitglieder einer geometrischen Folge. (
)

7. Welche anderen Formeln kennen Sie?

(
, Wo
;
;
;
,
)

5. Für geometrische Progression
Finden Sie den fünften Begriff.

6. Für geometrische Progression
finden N Mitglied.

7. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden B 4 . (4)

8. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden B 1 Und Q .

9. Exponentiell B 3 = 8 Und B 5 = 2 . Finden S 5 . (62)

III . Ein neues Thema lernen(Demonstration der Präsentation).

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seite gleich 1. Zeichnen wir ein weiteres Quadrat, dessen Seite halb so groß ist wie das erste Quadrat, dann ein weiteres, dessen Seite halb so groß ist wie das zweite, dann das nächste usw. Jedes Mal ist die Seite des neuen Quadrats gleich der Hälfte des vorherigen.

Als Ergebnis erhielten wir eine Folge von Quadratseiten mit dem Nenner eine geometrische Folge bilden.

Und was ganz wichtig ist: Je mehr wir solche Quadrate bauen, desto kleiner wird die Seite des Quadrats. Zum Beispiel,

Diese. Mit zunehmender Zahl n nähern sich die Terme der Progression Null.

Anhand dieser Abbildung können Sie eine andere Sequenz betrachten.

Zum Beispiel die Flächenfolge von Quadraten:

. Und noch einmal, wenn N steigt auf unbestimmte Zeit, dann nähert sich der Bereich so nah an Null, wie Sie möchten.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 1 cm. Konstruieren wir das folgende Dreieck mit den Eckpunkten in den Mittelpunkten der Seiten des ersten Dreiecks, gemäß dem Satz über die Mittellinie des Dreiecks – die Seite des zweiten ist gleich der Hälfte der Seite des ersten, die Seite des dritten ist gleich der halben Seite des 2. usw. Wieder erhalten wir eine Folge von Seitenlängen von Dreiecken.

bei
.

Betrachten wir eine geometrische Folge mit negativem Nenner.

Dann wiederum mit steigenden Zahlen N Die Bedingungen der Progression nähern sich Null.

Achten wir auf die Nenner dieser Folgen. Überall waren die Nenner im absoluten Wert kleiner als 1.

Wir können daraus schließen: Eine geometrische Folge nimmt unendlich ab, wenn der Modul ihres Nenners kleiner als 1 ist.

Definition:

Eine geometrische Folge heißt unendlich abnehmend, wenn der Modul ihres Nenners gleich ist Weniger als eins.
.

Anhand der Definition können Sie entscheiden, ob ein geometrischer Verlauf unendlich abnehmend ist oder nicht.

Aufgabe

Ist die Folge eine unendlich abnehmende geometrische Folge, wenn sie durch die Formel gegeben ist:

;
.

Lösung:

. Wir werden finden Q .

;
;
;
.

dieser geometrische Verlauf nimmt unendlich ab.

B) Diese Folge ist keine unendlich abnehmende geometrische Folge.

Betrachten Sie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 1. Teilen Sie es in zwei Hälften, eine der Hälften in zwei Hälften usw. Die Flächen aller resultierenden Rechtecke bilden einen unendlich abnehmenden geometrischen Verlauf:

Die Summe der Flächen aller auf diese Weise erhaltenen Rechtecke ist gleich der Fläche des 1. Quadrats und gleich 1.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenfolgen. Geometrischer Verlauf“

Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Bewertungen und Wünsche zu hinterlassen! Alle Materialien wurden von einem Antivirenprogramm überprüft.

Lernhilfen und Simulatoren im Integral Online-Shop für die 9. Klasse
Potenzen und Wurzeln, Funktionen und Graphen

Leute, heute lernen wir eine andere Art von Fortschritt kennen.
Das Thema der heutigen Lektion ist der geometrische Verlauf.

Geometrischer Verlauf

Definition. Eine numerische Folge, bei der jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem Produkt des vorherigen und einer festen Zahl ist, wird als geometrische Folge bezeichnet.
Definieren wir unsere Sequenz rekursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
wobei b und q bestimmte gegebene Zahlen sind. Die Zahl q wird als Nenner der Progression bezeichnet.

Beispiel. 1,2,4,8,16... Geometrische Progression, in der der erste Term gleich eins und $q=2$.

Beispiel. 8,8,8,8... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich acht ist,
und $q=1$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3... Geometrische Folge, bei der der erste Term gleich drei ist,
und $q=-1$.

Der geometrische Verlauf hat die Eigenschaften der Monotonie.
Wenn $b_(1)>0$, $q>1$,
dann nimmt die Folge zu.
Wenn $b_(1)>0$, $0 Die Sequenz wird normalerweise in der Form $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$ bezeichnet.

Wenn in einer geometrischen Folge die Anzahl der Elemente endlich ist, wird die Folge genau wie bei einer arithmetischen Folge eine endliche geometrische Folge genannt.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Beachten Sie, dass, wenn eine Folge eine geometrische Folge ist, auch die Folge der Termquadrate eine geometrische Folge ist. In der zweiten Sequenz ist der erste Term gleich $b_(1)^2$ und der Nenner ist gleich $q^2$.

Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge

Der geometrische Verlauf kann auch in analytischer Form angegeben werden. Mal sehen, wie das geht:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Wir erkennen leicht das Muster: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Unsere Formel heißt „Formel des n-ten Termes einer geometrischen Folge“.

Kehren wir zu unseren Beispielen zurück.

Beispiel. 1,2,4,8,16... Geometrische Folge, bei der der erste Term gleich eins ist,
und $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Beispiel. 16,8,4,2,1,1/2… Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich sechzehn ist und $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Beispiel. 8,8,8,8... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich acht ist und $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Beispiel. 3,-3,3,-3,3... Eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich drei ist und $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Beispiel. Gegeben ist der geometrische Verlauf $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=3$. Finden Sie $b_(5)$.
b) Es ist bekannt, dass $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Finden Sie n.
c) Es ist bekannt, dass $q=-2, b_(6)=96$. Finden Sie $b_(1)$.
d) Es ist bekannt, dass $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Finden Sie q.

Lösung.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Beispiel. Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Term der geometrischen Folge beträgt 192, die Summe des fünften und sechsten Termes der Folge beträgt 192. Finden Sie den zehnten Term dieser Folge.

Lösung.
Wir wissen: $b_(7)-b_(5)=192$ und $b_(5)+b_(6)=192$.
Wir wissen auch: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Dann:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Wir haben ein Gleichungssystem erhalten:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Wenn wir unsere Gleichungen gleichsetzen, erhalten wir:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Wir haben zwei Lösungen q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Setzen Sie nacheinander in die zweite Gleichung ein:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ keine Lösungen.
Wir haben Folgendes: $b_(1)=4, q=2$.
Finden wir den zehnten Term: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summe einer endlichen geometrischen Folge

Lassen Sie uns eine endliche geometrische Folge haben. Berechnen wir, genau wie bei einer arithmetischen Folge, die Summe ihrer Terme.

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Führen wir die Bezeichnung für die Summe ihrer Terme ein: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Für den Fall, dass $q=1$. Alle Terme der geometrischen Folge sind gleich dem ersten Term, dann ist es offensichtlich, dass $S_(n)=n*b_(1)$.
Betrachten wir nun den Fall $q≠1$.
Lassen Sie uns den obigen Betrag mit q multiplizieren.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notiz:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Wir haben die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Beispiel.
Ermitteln Sie die Summe der ersten sieben Terme einer geometrischen Folge, deren erster Term 4 und deren Nenner 3 ist.

Lösung.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Beispiel.
Finden Sie den fünften Term der bekannten geometrischen Folge: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Lösung.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365q-1365$=1024q-1$.
341q $ = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Charakteristische Eigenschaft des geometrischen Verlaufs

Leute, eine geometrische Progression ist gegeben. Schauen wir uns die drei aufeinanderfolgenden Mitglieder an: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Wir wissen das:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Dann:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Wenn die Progression endlich ist, gilt diese Gleichheit für alle Terme außer dem ersten und dem letzten.
Wenn nicht im Voraus bekannt ist, welche Form die Folge hat, aber bekannt ist: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass es sich um eine geometrische Folge handelt.

Eine Zahlenfolge ist nur dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes Elements gleich dem Produkt der beiden benachbarten Elemente der Folge ist. Vergessen Sie nicht, dass diese Bedingung für eine endliche Progression im ersten und letzten Term nicht erfüllt ist.

Schauen wir uns diese Identität an: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ heißt das geometrische Mittel der Zahlen a und b.

Der Modul jedes Termes einer geometrischen Folge ist gleich dem geometrischen Mittel seiner beiden benachbarten Terme.

Beispiel.
Finden Sie x so, dass $x+2; 2x+2; 3x+3$ waren drei aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge.

Lösung.
Verwenden wir die charakteristische Eigenschaft:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ und $x_(2)=-1$.
Setzen wir unsere Lösungen nacheinander in den ursprünglichen Ausdruck ein:
Mit $x=2$ erhalten wir die Folge: 4;6;9 – eine geometrische Folge mit $q=1,5$.
Für $x=-1$ erhalten wir die Folge: 1;0;0.
Antwort: $x=2.$

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Finden Sie den achten ersten Term der geometrischen Folge 16;-8;4;-2….
2. Finden Sie den zehnten Term der geometrischen Folge 11,22,44….
3. Es ist bekannt, dass $b_(1)=5, q=3$. Finden Sie $b_(7)$.
4. Es ist bekannt, dass $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Finden Sie n.
5. Ermitteln Sie die Summe der ersten 11 Terme der geometrischen Folge 3;12;48….
6. Finden Sie x mit $3x+4; 2x+4; x+5$ sind drei aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge.

Betrachten wir eine bestimmte Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Dies bedeutet, dass diese Serie eine Weiterentwicklung ist.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Zahlenfolge. Hauptmerkmal Das bedeutet, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl ermittelt wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 =a z ·q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel lässt sich der Nenner der Progression wie folgt ermitteln:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Um die nächste Zahl in einer Reihe herauszufinden, müssen Sie dementsprechend die letzte Zahl mit q multiplizieren.

Um diese Progression festzulegen, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, alle nachfolgenden Terme und deren Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird dieser Verlauf in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nachfolgenden Element zunimmt. Ein Beispiel hierfür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 – beide Parameter sind größer als eins.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins ist, das heißt, die Multiplikation damit entspricht der Division, dann ist eine Folge mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Folge. Ein Beispiel hierfür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 – a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

6 2 2/3 ... – jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Wechselzeichen. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3, q = -2 – beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann lässt sich die Zahlenfolge wie folgt schreiben:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Es gibt viele Formeln zur bequemen Verwendung geometrischer Verläufe:

• Formel für den z-ten Term. Ermöglicht die Berechnung eines Elements unter einer bestimmten Zahl, ohne vorherige Zahlen zu berechnen.

Beispiel:Q = 3, A 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu zählen.

Lösung:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Menge gleich ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Sequenz bisein zinklusive.

Seit (1-Q) im Nenner steht, dann ist (1 - q)≠ 0, daher ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q=1, dann wäre die Folge eine Reihe sich unendlich wiederholender Zahlen.

Summe der geometrischen Progression, Beispiele:A 1 = 2, Q= -2. Berechnen Sie S5.

Lösung:S 5 = 22 - Berechnung nach der Formel.

• Betrag, wenn |Q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:A 1 = 2 , Q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Lösung:Gr = 2 · = 4

Gr = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• Charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung vorliegt Funktioniert für jedenz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · Az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl in einer geometrischen Folge durch Addition der Quadrate zweier beliebiger anderer Zahlen in einer bestimmten Reihe ermittelt, sofern diese den gleichen Abstand von diesem Element haben.

ein z 2 = ein z - T 2 + ein z + T 2 , WoT- der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Auch die Logarithmen der Elemente einer Progression bilden eine Progression, allerdings eine arithmetische, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele für einige klassische Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Folge ist, können Beispiele mit Lösungen für Klasse 9 hilfreich sein.

• Bedingungen:A 1 = 3, A 3 = 48. FindenQ.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inQ einmal.Es ist notwendig, einige Elemente mithilfe eines Nenners durch andere auszudrücken.

Somit,A 3 = Q 2 · A 1

Beim AuswechselnQ= 4

• Bedingungen:A 2 = 6, A 3 = 12. Berechnen Sie S 6.

Lösung:Suchen Sie dazu einfach q, das erste Element, und setzen Sie es in die Formel ein.

A 3 = Q· A 2 , somit,Q= 2

a 2 = q · a 1 ,Deshalb a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, Q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Ein Bankkunde hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, wobei dem Kunden jedes Jahr 6 % davon zum Kapitalbetrag hinzugerechnet werden. Wie viel Geld wird nach 4 Jahren auf dem Konto sein?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Dies bedeutet, dass das Konto ein Jahr nach der Investition einen Betrag von 10.000 + 10.000 aufweist · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das bedeutet, dass es ausreicht, das vierte Element der Progression zu ermitteln, das aus dem ersten Element gleich 10.000 und dem Nenner gleich 1,06 besteht, um den Betrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu ermitteln.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Probleme beim Berechnen von Summen:

Geometrische Progression wird in verschiedenen Problemen verwendet. Ein Beispiel für die Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

A 1 = 4, Q= 2, berechnenS 5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur noch in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Lösung:

In Geom. In der Progression ist jedes nächste Element q-mal größer als das vorherige. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennenA 1 und NennerQ.

A 2 · Q = A 3

Q = 3

Ebenso müssen Sie findenA 1 , wissendA 2 UndQ.

A 1 · Q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Mathematik ist wasMenschen kontrollieren die Natur und sich selbst.

Sowjetischer Mathematiker, Akademiker A.N. Kolmogorow

Geometrischer Verlauf.

Neben Problemen zu arithmetischen Progressionen treten bei Aufnahmeprüfungen in Mathematik auch häufig Probleme mit dem Konzept der geometrischen Progression auf. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie die Eigenschaften geometrischer Verläufe kennen und über gute Kenntnisse in deren Anwendung verfügen.

Dieser Artikel widmet sich der Darstellung der grundlegenden Eigenschaften der geometrischen Progression. Hier finden Sie auch Beispiele zur Lösung typischer Probleme., entlehnt aus den Aufgaben der Aufnahmeprüfungen in Mathematik.

Beachten wir zunächst die Grundeigenschaften des geometrischen Verlaufs und erinnern uns an die wichtigsten Formeln und Aussagen, im Zusammenhang mit diesem Konzept.

Definition. Eine Zahlenfolge wird als geometrische Folge bezeichnet, wenn jede Zahl, beginnend mit der zweiten, gleich der vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl. Die Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Für geometrischen VerlaufDie Formeln sind gültig

, (1)

Wo . Formel (1) wird als Formel des allgemeinen Termes einer geometrischen Progression bezeichnet, und Formel (2) stellt die Haupteigenschaft einer geometrischen Progression dar: Jeder Term der Progression stimmt mit dem geometrischen Mittel seiner benachbarten Terme überein und .

Notiz, dass die betreffende Progression gerade wegen dieser Eigenschaft „geometrisch“ genannt wird.

Die obigen Formeln (1) und (2) werden wie folgt verallgemeinert:

, (3)

Um den Betrag zu berechnen Erste Mitglieder einer geometrischen FolgeEs gilt die Formel

Wenn wir bezeichnen, dann

Wo . Da Formel (6) eine Verallgemeinerung von Formel (5) ist.

Für den Fall, dass und geometrischer Verlaufnimmt unendlich ab. Um den Betrag zu berechnenaller Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression wird die Formel verwendet

. (7)

Zum Beispiel , Mit Formel (7) können wir zeigen, Was

Wo . Diese Gleichheiten werden aus Formel (7) unter der Bedingung erhalten, dass , (erste Gleichheit) und , (zweite Gleichheit) gilt.

Satz. Wenn, dann

Nachweisen. Wenn, dann

Der Satz ist bewiesen.

Betrachten wir nun Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema „Geometrische Progression“.

Beispiel 1. Gegeben: , und . Finden .

Lösung. Wenn wir Formel (5) anwenden, dann

Antwort: .

Beispiel 2. Lass es sein. Finden .

Lösung. Da und verwenden wir die Formeln (5), (6) und erhalten ein Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems (9) durch die erste dividiert wird, dann oder . Daraus folgt das . Betrachten wir zwei Fälle.

1. Wenn, dann haben wir aus der ersten Gleichung des Systems (9)..

2. Wenn, dann.

Beispiel 3. Lass , und . Finden .

Lösung. Aus Formel (2) folgt das oder . Seitdem, dann oder.

Nach Bedingung. Aber deshalb. Seit und dann haben wir hier ein Gleichungssystem

Wenn die zweite Gleichung des Systems durch die erste geteilt wird, dann oder .

Seitdem hat die Gleichung eine eindeutig geeignete Wurzel. In diesem Fall folgt es aus der ersten Gleichung des Systems.

Unter Berücksichtigung der Formel (7) erhalten wir.

Antwort: .

Beispiel 4. Gegeben: und . Finden .

Lösung. Seit damals.

Seit , dann oder

Nach Formel (2) gilt . In diesem Zusammenhang erhalten wir aus Gleichung (10) oder .

Allerdings unter der Bedingung, also.

Beispiel 5. Es ist bekannt, dass . Finden .

Lösung. Nach dem Satz haben wir zwei Gleichheiten

Seitdem, dann oder. Weil dann .

Antwort: .

Beispiel 6. Gegeben: und . Finden .

Lösung. Unter Berücksichtigung der Formel (5) erhalten wir

Seit damals. Seit , und , dann .

Beispiel 7. Lass es sein. Finden .

Lösung. Nach Formel (1) können wir schreiben

Deshalb haben wir oder . Es ist bekannt, dass und daher und .

Antwort: .

Beispiel 8. Finden Sie den Nenner einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, wenn

Und .

Lösung. Aus Formel (7) folgt Und . Daraus und aus den Bedingungen des Problems erhalten wir ein Gleichungssystem

Wenn die erste Gleichung des Systems quadriert ist, und dividieren Sie dann die resultierende Gleichung durch die zweite Gleichung, dann bekommen wir

Oder .

Antwort: .

Beispiel 9. Finden Sie alle Werte, für die die Folge , , eine geometrische Folge ist.

Lösung. Lass , und . Gemäß Formel (2), die die Haupteigenschaft einer geometrischen Folge definiert, können wir schreiben oder .

Von hier aus erhalten wir die quadratische Gleichung, deren Wurzeln sind Und .

Lassen Sie uns prüfen: ob, dann , und ; wenn, dann, und.

Im ersten Fall haben wir und , und im zweiten – und .

Antwort: , .

Beispiel 10.Löse die Gleichung

, (11)

wo und .

Lösung. Die linke Seite der Gleichung (11) ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression, in der und , vorbehaltlich: und .

Aus Formel (7) folgt, Was . In dieser Hinsicht nimmt Gleichung (11) die Form an oder . Geeignete Wurzel quadratische Gleichung ist

Antwort: .

Beispiel 11. P Folge positiver Zahlenbildet eine arithmetische Folge, A – geometrischer Verlauf, was hat das damit zu tun. Finden .

Lösung. Als Arithmetische Sequenz, Das (die Haupteigenschaft der arithmetischen Folge). Weil das, dann oder . Dies impliziert, dass der geometrische Verlauf die Form hat. Nach Formel (2), dann schreiben wir das auf.

Seit und , dann . In diesem Fall der Ausdruck hat die Form oder . Durch Bedingung, also aus Gl.Wir erhalten eine einzigartige Lösung für das betrachtete Problem, d.h. .

Antwort: .

Beispiel 12. Summe berechnen

. (12)

Lösung. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichheit (12) mit 5 und erhalten

Wenn wir (12) vom resultierenden Ausdruck subtrahieren, Das

oder .

Zur Berechnung setzen wir die Werte in Formel (7) ein und erhalten . Seit damals.

Antwort: .

Die hier aufgeführten Beispiele zur Problemlösung werden Bewerbern bei der Vorbereitung auf Aufnahmeprüfungen hilfreich sein. Für ein tieferes Studium der Problemlösungsmethoden, im Zusammenhang mit der geometrischen Progression, Sie können Tutorials aus der Liste der empfohlenen Literatur nutzen.

1. Aufgabensammlung der Mathematik für Studienbewerber / Ed. M.I. Skanavi. – M.: Frieden und Bildung, 2013. – 608 S.

2. Suprun V.P. Mathematik für Oberstufenschüler: zusätzliche Abschnitte des Schullehrplans. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 S.

3. Medynsky M.M. Ein vollständiger Kurs der elementaren Mathematik in Problemen und Übungen. Buch 2: Zahlenfolgen und -folgen. – M.: Editus, 2015. – 208 S.

Sie haben noch Fragen?

Um Hilfe von einem Tutor zu erhalten, registrieren Sie sich.

Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Die geometrische Progression ist neben der arithmetischen Progression eine wichtige Zahlenreihe, die im Algebrakurs der Schule in der 9. Klasse studiert wird. In diesem Artikel betrachten wir den Nenner einer geometrischen Folge und wie sich ihr Wert auf ihre Eigenschaften auswirkt.

Definition des geometrischen Verlaufs

Definieren wir dies zunächst Zahlenreihe. Eine solche Reihe nennt man geometrische Folge Rationale Zahlen, das durch sequentielle Multiplikation seines ersten Elements mit einer konstanten Zahl, dem Nenner, gebildet wird.

Beispielsweise sind die Zahlen in der Reihe 3, 6, 12, 24, ... eine geometrische Folge, denn wenn Sie 3 (das erste Element) mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 6. Wenn Sie 6 mit 2 multiplizieren, erhalten Sie 12 und so weiter.

Die Mitglieder der betrachteten Folge werden normalerweise mit dem Symbol ai bezeichnet, wobei i eine ganze Zahl ist, die die Nummer des Elements in der Reihe angibt.

Die obige Definition der Progression kann in mathematischer Sprache wie folgt geschrieben werden: an = bn-1 * a1, wobei b der Nenner ist. Diese Formel lässt sich leicht überprüfen: Wenn n = 1, dann ist b1-1 = 1, und wir erhalten a1 = a1. Wenn n = 2, dann ist an = b * a1, und wir kommen wieder zur Definition der betreffenden Zahlenreihe. Ähnliche Überlegungen können für große Werte von n fortgesetzt werden.

Nenner der geometrischen Progression

Die Zahl b bestimmt vollständig, welchen Charakter die gesamte Zahlenreihe haben wird. Der Nenner b kann positiv, negativ oder größer oder kleiner als eins sein. Alle oben genannten Optionen führen zu unterschiedlichen Abläufen:

• b > 1. Es gibt eine zunehmende Reihe rationaler Zahlen. Zum Beispiel 1, 2, 4, 8, ... Wenn das Element a1 negativ ist, erhöht sich die gesamte Folge nur im absoluten Wert, verringert sich jedoch je nach Vorzeichen der Zahlen.
• b = 1. Dieser Fall wird oft nicht als Progression bezeichnet, da es sich um eine gewöhnliche Reihe identischer rationaler Zahlen handelt. Zum Beispiel -4, -4, -4.

Formel für Menge

Bevor mit der Betrachtung spezifischer Probleme unter Verwendung des Nenners des betrachteten Progressionstyps fortgefahren wird, sollte eine wichtige Formel für die Summe seiner ersten n Elemente angegeben werden. Die Formel sieht so aus: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).

Sie können diesen Ausdruck selbst erhalten, wenn Sie die rekursive Termfolge der Progression berücksichtigen. Beachten Sie auch, dass es in der obigen Formel ausreicht, nur das erste Element und den Nenner zu kennen, um die Summe einer beliebigen Anzahl von Termen zu ermitteln.

Unendlich abnehmende Folge

Oben wurde erklärt, was es ist. Da wir nun die Formel für Sn kennen, wenden wir sie auf diese Zahlenreihe an. Da jede Zahl, deren Modul 1 nicht überschreitet, bei Potenzierung gegen Null tendiert, ist b∞ => 0, wenn -1

Da die Differenz (1 - b) unabhängig vom Wert des Nenners immer positiv ist, wird das Vorzeichen der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge S∞ eindeutig durch das Vorzeichen ihres ersten Elements a1 bestimmt.

Schauen wir uns nun einige Probleme an, bei denen wir zeigen, wie wir das erworbene Wissen auf bestimmte Zahlen anwenden können.

Problem Nr. 1. Berechnung unbekannter Elemente von Progression und Summe

Bei einer gegebenen geometrischen Folge ist der Nenner der Folge 2 und ihr erstes Element ist 3. Wie lauten ihr 7. und 10. Term und wie hoch ist die Summe ihrer sieben Anfangselemente?

Der Zustand des Problems ist recht einfach und geht davon aus direkte Nutzung die oben genannten Formeln. Um die Elementnummer n zu berechnen, verwenden wir den Ausdruck an = bn-1 * a1. Für das 7. Element gilt: a7 = b6 * a1. Wenn wir die bekannten Daten ersetzen, erhalten wir: a7 = 26 * 3 = 192. Dasselbe machen wir für den 10. Term: a10 = 29 * 3 = 1536.

Nutzen wir die bekannte Formel für die Summe und ermitteln wir diesen Wert für die ersten 7 Elemente der Reihe. Wir haben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Aufgabe Nr. 2. Bestimmen der Summe beliebiger Elemente einer Progression

Sei -2 gleich dem Nenner der geometrischen Folge bn-1 * 4, wobei n eine ganze Zahl ist. Es ist notwendig, die Summe vom 5. bis einschließlich 10. Element dieser Reihe zu bestimmen.

Das gestellte Problem lässt sich mit bekannten Formeln nicht direkt lösen. Es kann mit 2 verschiedenen Methoden gelöst werden. Der Vollständigkeit halber stellen wir beide vor.

Methode 1. Die Idee ist einfach: Sie müssen die beiden entsprechenden Summen der ersten Terme berechnen und dann die anderen von einem subtrahieren. Wir berechnen den kleineren Betrag: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Jetzt berechnen wir die größere Summe: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Beachten Sie, dass im letzten Ausdruck nur 4 Terme summiert wurden, da der 5. bereits in dem Betrag enthalten ist, der entsprechend den Bedingungen des Problems berechnet werden muss. Zum Schluss nehmen wir die Differenz: S510 = S10 – S4 = –1364 – (–20) = –1344.

Methode 2. Bevor Sie Zahlen ersetzen und zählen, können Sie eine Formel für die Summe zwischen den m- und n-Termen der betreffenden Reihe erhalten. Wir machen genau das Gleiche wie bei Methode 1, nur arbeiten wir zunächst mit der symbolischen Darstellung des Betrags. Wir haben: Snm = (bn – 1) * a1 / (b – 1) – (bm-1 – 1) * a1 / (b – 1) = a1 * (bn – bm-1) / (b – 1) . Sie können bekannte Zahlen in den resultierenden Ausdruck einsetzen und das Endergebnis berechnen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problem Nr. 3. Was ist der Nenner?

Sei a1 = 2, finde den Nenner der geometrischen Folge, vorausgesetzt, ihre unendliche Summe ist 3, und es ist bekannt, dass es sich um eine abnehmende Zahlenreihe handelt.

Basierend auf den Bedingungen des Problems ist es nicht schwer zu erraten, welche Formel zur Lösung des Problems verwendet werden sollte. Für die Summe ist die Progression natürlich unendlich abnehmend. Es gilt: S∞ = a1 / (1 - b). Von hier aus drücken wir den Nenner aus: b = 1 - a1 / S∞. Es bleibt nur noch der Ersatz bekannte Werte und erhalten Sie die erforderliche Zahl: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 oder -0,333(3). Wir können dieses Ergebnis qualitativ überprüfen, wenn wir bedenken, dass für diese Art von Sequenz der Modul b nicht über 1 hinausgehen sollte. Wie man sieht, gilt |-1 / 3|

Aufgabe Nr. 4. Wiederherstellen einer Zahlenreihe

Gegeben seien 2 Elemente einer Zahlenreihe, zum Beispiel ist das 5. gleich 30 und das 10. gleich 60. Aus diesen Daten muss die gesamte Reihe rekonstruiert werden, wohlwissend, dass sie die Eigenschaften einer geometrischen Folge erfüllt.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie zunächst für jeden bekannten Begriff den entsprechenden Ausdruck aufschreiben. Wir haben: a5 = b4 * a1 und a10 = b9 * a1. Teilen Sie nun den zweiten Ausdruck durch den ersten und erhalten Sie: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Von hier aus bestimmen wir den Nenner, indem wir die fünfte Wurzel des Verhältnisses der aus der Problemstellung bekannten Terme ziehen, b = 1,148698. Setzen wir die resultierende Zahl in einen der Ausdrücke für das bekannte Element ein, erhalten wir: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Somit haben wir den Nenner der Progression bn und die geometrische Progression bn-1 * 17,2304966 = an gefunden, wobei b = 1,148698.

Wo werden geometrische Verläufe verwendet?

Gäbe es keine praktische Anwendung dieser Zahlenreihe, würde ihre Untersuchung auf rein theoretisches Interesse reduziert. Aber eine solche Anwendung existiert.

Nachfolgend die 3 bekanntesten Beispiele:

• Zenos Paradox, dass der flinke Achilles die langsame Schildkröte nicht einholen kann, wird mit dem Konzept einer unendlich abnehmenden Zahlenfolge gelöst.
• Wenn für jede Zelle Schachbrett Legen Sie Weizenkörner so ein, dass Sie in die 1. Zelle 1 Korn, in die 2. - 2, in die 3. - 3 usw. legen. Um alle Zellen der Tafel zu füllen, benötigen Sie 18446744073709551615 Körner!
• Im Spiel „Tower of Hanoi“ müssen zum Bewegen von Scheiben von einem Stab zum anderen 2n – 1 Operationen ausgeführt werden, d. h. ihre Anzahl wächst exponentiell mit der Anzahl n der verwendeten Scheiben.