Vergleich rationaler Zahlen. Zahlen modulo vergleichen

BORIS NIKOLAEVICH PERWUSHKIN

PEI "St. Petersburger Schule "Tete-a-Tete"

Mathematiklehrer der höchsten Kategorie

Zahlen modulo vergleichen

Definition 1. Wenn zwei Zahlen1 ) aundbbeim Teilen durchpdenselben Rest gebenr, dann heißen solche Zahlen äquidistant odermodulo vergleichbar p.

Erklärung 1. Lassenpirgendeine positive Zahl. Dann irgendeine Zahlaimmer und noch dazu einzigartig in der Form darstellbar

a=sp+r,

(1)

wos- Nummer undreine der Zahlen 0,1, ...,p−1.

1 ) In diesem Artikel bedeutet das Wort Zahl eine Ganzzahl.

Wirklich. Wenn einserhält einen Wert von −∞ bis +∞, dann die Zahlenspsind die Summe aller Zahlen, die Vielfache sindp. Betrachten Sie Zahlen dazwischenspund (s+1) p=sp+p. Alsppositive ganze Zahl, dannspundsp+pes gibt Zahlen

Aber diese Zahlen können durch Nachfragen erhalten werdenrgleich 0, 1, 2,...,p-1. Somitsp+r=animmt alle möglichen ganzzahligen Werte an.

Zeigen wir, dass diese Darstellung eindeutig ist. Stellen wir uns das vorpkann auf zwei Arten dargestellt werdena=sp+runda=s1 p+ r1 . Dann

oder

(2)

Alsr1 nimmt eine der Zahlen 0,1, ...,p−1, dann Absolutwert r1 − rkleinerp. Aber aus (2) folgt dasr1 − rmehrerep. Somitr1 = runds1 = s.

AnzahlrnamensMinus- Zahlenamodulop(mit anderen Worten, die Zahlrheißt der Rest der Division einer Zahlaauf derp).

Erklärung 2. Wenn zwei Zahlenaundbvergleichbar modulop, danna-bgeteilt durchp.

Wirklich. Wenn zwei Zahlenaundbvergleichbar modulop, dann wenn geteilt durchpden gleichen Rest habenp. Dann

wosunds1 einige ganze Zahlen.

Der Unterschied zwischen diesen Zahlen

(3)

geteilt durchp, da die rechte Seite von Gleichung (3) wird dividiert durchp.

Erklärung 3. Wenn die Differenz zweier Zahlen durch teilbar istp, dann sind diese Zahlen modulo vergleichbarp.

Nachweisen. Bezeichne mitrundr1 Rest aus der Teilungaundbauf derp. Dann

wo

Entsprechenda-bgeteilt durchp. Somitr− r1 ist auch unterteilt inp. Aber seitrundr1 Zahlen 0,1,...,p−1, dann der Absolutwert |r− r1 |< p. Dann, umr− r1 eingeteilt inpBedingung muss erfüllt seinr= r1 .

Aus der Aussage folgt, dass vergleichbare Zahlen solche Zahlen sind, deren Differenz durch den Betrag teilbar ist.

Wenn Sie das aufschreiben müssen, die Zahlenaundbmodulo miteinander vergleichbarp, dann verwenden Sie die Notation (eingeführt von Gauß):

a≡bmod(p)

Beispiele 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Aus dem ersten Beispiel folgt, dass 25, wenn es durch 7 geteilt wird, denselben Rest wie 39 ergibt. Tatsächlich ist 25=3 7+4 (Rest 4). 39=3 7+4 (Rest 4). Denken Sie bei der Betrachtung des zweiten Beispiels daran, dass der Rest eine nicht negative Zahl kleiner als der Modul sein muss (d. h. 4). Dann können wir schreiben: −18=−5 4+2 (Rest 2), 14=3 4+2 (Rest 2). Daher bleibt −18 bei Division durch 4 einen Rest von 2 und 14 bei Division durch 4 einen Rest von 2.

Eigenschaften von Modulo-Vergleichen

Eigentum 1. Für jedenaundpstets

a≡amod(p).

Eigentum 2. Wenn zwei Zahlenaundcvergleichbar mit der Zahlbmodulop, dannaundcim gleichen Modul miteinander vergleichbar sind, d.h. Wenn

a≡bmod(p), b≡cmod(p).

dann

a≡cmod(p).

Wirklich. Aus dem Zustand von Eigentum 2 folgta-bundb-csind geteilt inp. Dann ihre Summea−b+(b−c)=a−cauch unterteilt inp.

Eigentum 3. Wenn ein

a≡bmod(p) undm≡nmod(p),

dann

a+m≡b+nmod(p) unda−m≡b−nmod(p).

Wirklich. Alsa-bundm-nsind geteilt inp, dann

( a-b)+ ( m-n)=( a+m)−( b+n) ,

( a-b)−( m-n)=( morgens)−( b-n)

auch unterteilt inp.

Diese Eigenschaft kann auf eine beliebige Anzahl von Vergleichen mit demselben Modul erweitert werden.

Eigentum 4. Wenn ein

a≡bmod(p) undm≡nmod(p),

dann

Weiterm-ngeteilt durchp, somitb(m−n)=bm−bnauch unterteilt inp, meint

bm≡Mrdmod(p).

Also zwei NummernbinundMrdvergleichbar im Modul mit der gleichen Nummerbm, daher sind sie miteinander vergleichbar (Eigenschaft 2).

Eigentum 5. Wenn ein

a≡bmod(p).

dann

ak≡bkmod(p).

wokeine nicht negative Ganzzahl.

Wirklich. Wir habena≡bmod(p). Eigenschaft 4 impliziert

.................

ak≡bkmod(p).

Alle Eigenschaften 1-5 sind in der folgenden Anweisung enthalten:

Erklärung 4. Lassenf( x1 , x2 , x3 , ...) ist eine ganze rationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten und let

a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... Mod (p).

dann

f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) Mod (p).

Anders sieht es bei der Teilung aus. Vom Vergleich

Erklärung 5. Lassen

woλ Dasgrößter gemeinsamer TeilerZahlenmundp.

Nachweisen. Lassenλ größter gemeinsamer teiler von zahlenmundp. Dann

Alsm(a−b)geteilt durchk, dann

hat keinen Rest, d.h.m1 ( a-b) geteilt durchk1 . Aber die Zahlenm1 undk1 Zahlen sind teilerfremd. Somita-bgeteilt durchk1 = k/λund dann,p,q,s.

Wirklich. Unterschieda≡bmuss ein Vielfaches von seinp,q,s.und muss daher ein Vielfaches seinh.

Im Einzelfall, wenn die Modulep,q,salso relativ Primzahlen

a≡bmod(h),

woh=pqs.

Beachten Sie, dass wir Vergleiche in negativen Modulen zulassen können, d.h. Vergleicha≡bmod(p) bedeutet in diesem Fall, dass die Differenza-bgeteilt durchp. Alle Vergleichseigenschaften bleiben für negative Module gültig.

Definition 1. Wenn zwei Zahlen 1) a und b beim Teilen durch p denselben Rest geben r, dann heißen solche Zahlen äquidistant oder modulo vergleichbar p.

Erklärung 1. Lassen p irgendeine positive Zahl. Dann irgendeine Zahl a immer und noch dazu einzigartig in der Form darstellbar

Aber diese Zahlen können durch Nachfragen erhalten werden r gleich 0, 1, 2,..., p-1. Somit sp+r=a nimmt alle möglichen ganzzahligen Werte an.

Zeigen wir, dass diese Darstellung eindeutig ist. Stellen wir uns das vor p kann auf zwei Arten dargestellt werden a=sp+r und a=s 1 p+r ein . Dann

(2)

Als r 1 nimmt eine der Zahlen 0,1, ..., p−1, dann der Absolutwert r 1 −r kleiner p. Aber aus (2) folgt das r 1 −r mehrere p. Somit r 1 =r und s 1 =s.

Anzahl r namens Minus- Zahlen a modulo p(mit anderen Worten, die Zahl r heißt der Rest der Division einer Zahl a auf der p).

Erklärung 2. Wenn zwei Zahlen a und b vergleichbar modulo p, dann a-b geteilt durch p.

Wirklich. Wenn zwei Zahlen a und b vergleichbar modulo p, dann wenn geteilt durch p den gleichen Rest haben p. Dann

geteilt durch p, da die rechte Seite von Gleichung (3) wird dividiert durch p.

Erklärung 3. Wenn die Differenz zweier Zahlen durch teilbar ist p, dann sind diese Zahlen modulo vergleichbar p.

Nachweisen. Bezeichne mit r und r 1 Rest von der Division a und b auf der p. Dann

Beispiele 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Aus dem ersten Beispiel folgt, dass 25, wenn es durch 7 geteilt wird, denselben Rest wie 39 ergibt. Tatsächlich ist 25=3 7+4 (Rest 4). 39=3 7+4 (Rest 4). Denken Sie bei der Betrachtung des zweiten Beispiels daran, dass der Rest eine nicht negative Zahl kleiner als der Modul sein muss (d. h. 4). Dann können wir schreiben: −18=−5 4+2 (Rest 2), 14=3 4+2 (Rest 2). Daher bleibt −18 bei Division durch 4 einen Rest von 2 und 14 bei Division durch 4 einen Rest von 2.

Eigenschaften von Modulo-Vergleichen

Eigentum 1. Für jeden a und p stets

Vergleich ist nicht immer notwendig

wo λ ist der größte gemeinsame Teiler von Zahlen m und p.

Nachweisen. Lassen λ größter gemeinsamer teiler von zahlen m und p. Dann

Als m(a−b) geteilt durch k, dann

Somit

und m ist einer der Teiler der Zahl p, dann

wo h=pqs.

Beachten Sie, dass wir Vergleiche in negativen Modulen zulassen können, d.h. Vergleich a≡b mod( p) bedeutet in diesem Fall, dass die Differenz a-b geteilt durch p. Alle Vergleichseigenschaften bleiben für negative Module gültig.

Wir studieren weiterhin rationale Zahlen. In dieser Lektion lernen wir, wie man sie vergleicht.

Aus den vorherigen Lektionen haben wir gelernt, dass die Zahl umso größer ist, je weiter rechts sie auf der Koordinatenlinie liegt. Und je weiter links die Zahl auf der Koordinatenlinie steht, desto kleiner ist sie.

Wenn Sie zum Beispiel die Zahlen 4 und 1 vergleichen, dann können Sie sofort antworten, dass 4 größer als 1 ist. Das ist eine völlig logische Aussage und jeder wird ihr zustimmen.

Der Beweis ist die Koordinatenlinie. Es zeigt, dass die Vier rechts von der Einheit liegt

Für diesen Fall gibt es eine Regel, die Sie verwenden können, wenn Sie möchten. Es sieht aus wie das:

Von zwei positiven Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Modul größer.

Um die Frage zu beantworten, welche Zahl größer und welche kleiner ist, müssen Sie zuerst die Module dieser Zahlen finden, diese Module vergleichen und dann die Frage beantworten.

Vergleichen wir zum Beispiel die gleichen Zahlen 4 und 1, indem wir die obige Regel anwenden

Module von Zahlen finden:

|4| = 4

|1| = 1

Vergleichen Sie die gefundenen Module:

4 > 1

Wir beantworten die Frage:

4 > 1

Für negative Zahlen es gibt noch eine regel, die sieht so aus:

Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner ist.

Vergleichen wir zum Beispiel die Zahlen −3 und −1

Finden Sie Module von Zahlen

|−3| = 3

|−1| = 1

Vergleichen Sie die gefundenen Module:

3 > 1

Wir beantworten die Frage:

−3 < −1

Verwechseln Sie den Modul einer Zahl nicht mit der Zahl selbst. Ein häufiger Fehler, den viele Neulinge machen. Wenn beispielsweise der Modul der Zahl –3 größer ist als der Modul der Zahl –1, bedeutet dies nicht, dass die Zahl –3 größer als die Zahl –1 ist.

Die Zahl -3 ist kleiner als die Zahl -1 . Dies kann anhand der Koordinatenlinie verstanden werden

Es ist ersichtlich, dass die Zahl -3 weiter links liegt als -1. Und wir wissen, je weiter links, desto weniger.

Wenn Sie eine negative Zahl mit einer positiven vergleichen, dann ergibt sich die Antwort von selbst. Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl. Zum Beispiel ist −4 kleiner als 2

Man sieht, dass -4 weiter links liegt als 2. Und wir wissen, dass "je weiter links, desto weniger".

Hier müssen Sie sich zunächst die Vorzeichen der Zahlen ansehen. Ein Minus vor einer Zahl zeigt an, dass die Zahl negativ ist. Wenn die Zahl kein Zeichen hat, ist die Zahl positiv, aber Sie können sie zur Verdeutlichung aufschreiben. Denken Sie daran, dass dies ein Pluszeichen ist

Als Beispiel haben wir ganze Zahlen der Form -4, -3 -1, 2 betrachtet. Es ist nicht schwierig, solche Zahlen zu vergleichen und sie auf einer Koordinatenlinie darzustellen.

Es ist viel schwieriger, andere Arten von Zahlen zu vergleichen, z. B. Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalzahlen, von denen einige negativ sind. Hier müssen Sie hauptsächlich die Regeln anwenden, da es nicht immer möglich ist, solche Zahlen auf der Koordinatenlinie genau darzustellen. In einigen Fällen wird die Nummer benötigt, um den Vergleich und das Verständnis zu erleichtern.

Beispiel 1 Vergleichen Sie rationale Zahlen

Es ist also erforderlich, eine negative Zahl mit einer positiven zu vergleichen. Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl. Deshalb antworten wir, ohne Zeit zu verschwenden, dass es weniger als ist

Beispiel 2

Sie möchten zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist die größere diejenige, deren Modul kleiner ist.

Module von Zahlen finden:

Vergleichen Sie die gefundenen Module:

Beispiel 3 Vergleiche Zahlen 2.34 und

Sie möchten eine positive Zahl mit einer negativen vergleichen. Jede positive Zahl ist größer als jede negative Zahl. Daher antworten wir, ohne Zeit zu verschwenden, dass 2,34 größer als ist

Beispiel 4 Vergleichen Sie rationale Zahlen und

Module von Zahlen finden:

Vergleichen Sie die gefundenen Module. Aber zuerst bringen wir sie auf eine verständliche Form, damit man sie besser vergleichen kann, nämlich wir übersetzen sie in unechte Brüche und bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen diejenige größer, deren Betrag kleiner ist. Das Rationale ist also größer als, weil der Modul der Zahl kleiner ist als der Modul der Zahl

Beispiel 5

Sie möchten Null mit einer negativen Zahl vergleichen. Null ist größer als jede negative Zahl, also antworten wir ohne Zeitverschwendung, dass 0 größer als ist

Beispiel 6 Vergleichen Sie rationale Zahlen 0 und

Es ist erforderlich, Null mit einer positiven Zahl zu vergleichen. Null ist kleiner als jede positive Zahl, also antworten wir ohne Zeitverschwendung, dass 0 kleiner als ist

Beispiel 7. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 4,53 und 4,403

Es ist erforderlich, zwei positive Zahlen zu vergleichen. Von zwei positiven Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Modul größer.

Lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Fügen Sie dazu im Bruch 4,53 am Ende eine Null hinzu

Finden Sie Module von Zahlen

Vergleichen Sie die gefundenen Module:

Nach der Regel ist von zwei positiven Zahlen die größere Zahl diejenige, deren Betrag größer ist. Die rationale Zahl 4,53 ist also größer als 4,403, weil der Modul von 4,53 größer ist als der Modul von 4,403

Beispiel 8 Vergleichen Sie rationale Zahlen und

Sie möchten zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner ist.

Module von Zahlen finden:

Vergleichen Sie die gefundenen Module. Aber zuerst bringen wir sie zur besseren Vergleichbarkeit auf eine verständliche Form, nämlich wir übersetzen die gemischte Zahl in einen unechten Bruch, dann bringen wir beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen diejenige größer, deren Betrag kleiner ist. Das Rationale ist also größer als, weil der Modul der Zahl kleiner ist als der Modul der Zahl

Dezimalzahlen zu vergleichen ist viel einfacher als gewöhnliche Brüche und gemischte Zahlen zu vergleichen. In einigen Fällen können Sie anhand des ganzzahligen Teils eines solchen Bruchs sofort die Frage beantworten, welcher Bruch größer und welcher kleiner ist.

Dazu müssen Sie die Module ganzzahliger Teile vergleichen. Auf diese Weise können Sie die Frage im Problem schnell beantworten. Immerhin sind ja bekanntlich ganze Teile drin Dezimalbrüche haben mehr Gewicht als gebrochene.

Beispiel 9 Vergleichen Sie die rationalen Zahlen 15,4 und 2,1256

Der Modul des ganzzahligen Teils des Bruchs 15,4 ist größer als der Modul des ganzzahligen Teils des Bruchs 2,1256

also ist der Bruch 15,4 größer als der Bruch 2,1256

15,4 > 2,1256

Mit anderen Worten, wir mussten keine Zeit damit verbringen, Nullen zum Bruch 15,4 hinzuzufügen und die resultierenden Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu vergleichen.

154000 > 21256

Die Vergleichsregeln bleiben gleich. In unserem Fall haben wir positive Zahlen verglichen.

Beispiel 10 Vergleichen Sie rationale Zahlen −15,2 und −0,152

Sie möchten zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner ist. Aber wir werden nur Module von ganzzahligen Teilen vergleichen

Wir sehen, dass der Modul des ganzzahligen Teils des Bruchs –15,2 größer ist als der Modul des ganzzahligen Teils des Bruchs –0,152.

Dies bedeutet, dass das rationale –0,152 größer als –15,2 ist, da der Modul des ganzzahligen Teils von –0,152 kleiner als der Modul des ganzzahligen Teils von –15,2 ist

−0,152 > −15,2

Beispiel 11. Vergleichen Sie die rationalen Zahlen −3,4 und −3,7

Sie möchten zwei negative Zahlen vergleichen. Von zwei negativen Zahlen ist diejenige größer, deren Modul kleiner ist. Aber wir werden nur Module von ganzen Teilen vergleichen. Das Problem ist jedoch, dass die Moduli von ganzen Zahlen gleich sind:

In diesem Fall müssen Sie die alte Methode verwenden: Module finden Rationale Zahlen und vergleichen Sie diese Module

Vergleichen Sie die gefundenen Module:

Nach der Regel ist von zwei negativen Zahlen diejenige größer, deren Betrag kleiner ist. Also ist das rationale –3,4 größer als –3,7, weil der Modul von –3,4 kleiner ist als der Modul von –3,7

−3,4 > −3,7

Beispiel 12. Vergleichen Sie rationale Zahlen 0,(3) und

Es ist erforderlich, zwei positive Zahlen zu vergleichen. Und vergleiche einen periodischen Bruch mit einem einfachen Bruch.

Übersetzen wir den periodischen Bruch 0, (3) in gemeinsamer Bruchteil und vergleiche es mit einem Bruch. Nach der Umwandlung des periodischen Bruchs 0, (3) in einen gewöhnlichen Bruch wird er zu einem Bruch

Module von Zahlen finden:

Vergleichen Sie die gefundenen Module. Bringen wir sie aber zunächst auf eine verständliche Form, damit man sie besser vergleichen kann, nämlich auf einen gemeinsamen Nenner:

Nach der Regel ist von zwei positiven Zahlen die größere Zahl diejenige, deren Betrag größer ist. Die rationale Zahl ist also größer als 0,(3) weil der Modul der Zahl größer ist als der Modul der Zahl 0,(3)

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Für zwei ganze Zahlen X und beim Wir führen die Beziehung der Parität Vergleichbarkeit ein, wenn ihre Differenz ist gerade Zahl. Es ist leicht zu überprüfen, dass in diesem Fall alle drei zuvor eingeführten Äquivalenzbedingungen erfüllt sind. Die auf diese Weise eingeführte Äquivalenzrelation teilt die gesamte Menge der ganzen Zahlen in zwei disjunkte Teilmengen: eine Teilmenge gerader Zahlen und eine Teilmenge ungerader Zahlen.

Wenn wir diesen Fall verallgemeinern, werden wir sagen, dass zwei ganze Zahlen, die sich um ein Vielfaches einer festen natürlichen Zahl unterscheiden, äquivalent sind. Dies ist die Grundlage des von Gauß eingeführten Konzepts der Modulo-Vergleichbarkeit.

Anzahl a, vergleichbar mit b modulo m wenn ihre Differenz durch eine feste Zahl teilbar ist natürliche Zahl m, also a - b geteilt durch m. Symbolisch wird dies geschrieben als:

a ≡ b(mod m),

und es liest sich so: a vergleichbar mit b modulo m.

Die auf diese Weise eingeführte Beziehung vereinfacht dank der tiefen Analogie zwischen Vergleichen und Gleichheiten Berechnungen, bei denen sich Zahlen um ein Vielfaches unterscheiden m, unterscheiden sich nicht wirklich (da ein Vergleich bis zu einem Vielfachen von m gleich ist).

Beispielsweise sind die Zahlen 7 und 19 modulo 4 kongruent, aber nicht modulo 5 kongruent, weil 19-7=12 ist durch 4 teilbar und nicht durch 5 teilbar.

Man kann auch sagen, dass die Zahl X modulo m gleich dem Rest der ganzzahligen Division X auf der m, als

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Vergleichbarkeit von Zahlen modulo einer gegebenen Eigenschaft alle Eigenschaften der Äquivalenz hat. Daher wird die Menge der ganzen Zahlen in Zahlenklassen unterteilt, die modulo miteinander vergleichbar sind m. Die Anzahl solcher Klassen ist m, und alle Zahlen derselben Klasse, wenn sie durch geteilt werden m denselben Rest geben. Zum Beispiel, wenn m= 3, dann erhält man drei Klassen: die Klasse der Zahlen, die Vielfache von 3 sind (die bei Division durch 3 einen Rest von 0 ergeben), die Klasse der Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben, und die Klasse der Zahlen die bei Division durch 3 den Rest 2 ergeben.

Beispiele für die Verwendung von Vergleichen liefern bekannte Teilbarkeitskriterien. Die übliche Darstellung einer Zahl n Ziffern im Dezimalsystem hat die Form:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

wo a, b, c, sind die Ziffern der Zahl, geschrieben von rechts nach links, so dass a- Anzahl der Einheiten, b- die Anzahl der Zehner usw. Seit 10k ≡ 1(mod9) für jedes k≥0 folgt aus dem Geschriebenen

n ≡ c + b + a(mod9),

woraus der Test auf Teilbarkeit durch 9 folgt: n ist genau dann durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Dieses Argument gilt auch, wenn 9 durch 3 ersetzt wird.

Wir erhalten das Zeichen der Teilbarkeit durch 11. Vergleiche finden statt:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) und so weiter. So n ≡ c - b + a - ....(mod11).

Somit, n ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die Wechselsumme ihrer Ziffern a - b + c -... durch 11 teilbar ist.

Beispielsweise ist die Quersumme der Ziffern der Zahl 9581 1 - 8 + 5 - 9 = -11, sie ist durch 11 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 9581 auch durch 11 teilbar ist.

Wenn es Vergleiche gibt:, dann können sie Glied für Glied addiert, subtrahiert und multipliziert werden wie Gleichheiten:

Der Vergleich kann immer mit einer ganzen Zahl multipliziert werden:

wenn, dann

Eine Reduktion des Vergleichs um einen Faktor ist jedoch nicht immer möglich. Zum Beispiel ist es jedoch unmöglich, den den Zahlen 42 und 12 gemeinsamen Faktor 6 zu reduzieren; eine solche Kürzung führt zu einem falschen Ergebnis, da .

Aus der Definition der Modulo-Vergleichbarkeit folgt, dass eine Reduktion um einen Faktor zulässig ist, wenn dieser Faktor teilerfremd zum Modul ist.

Es wurde bereits oben angemerkt, dass jede ganze Zahl kongruent mod ist m mit einer der folgenden Zahlen: 0, 1, 2,... , m-1.

Neben dieser Reihe gibt es noch andere Zahlenreihen, die die gleiche Eigenschaft haben; so ist zum Beispiel jede Zahl mod 5 mit einer der folgenden Zahlen vergleichbar: 0, 1, 2, 3, 4, aber auch mit einer der folgenden Zahlen vergleichbar: 0, -4, -3, -2, -1 oder 0, 1, -1, 2, -2. Jede solche Zahlenreihe wird als vollständiges System von Residuen modulo 5 bezeichnet.

Damit ist das komplette Reststoffsystem mod m jede Serie wird aufgerufen m Nummern, von denen keine zwei miteinander unvergleichbar sind. Normalerweise wird ein vollständiges System von Abzügen verwendet, bestehend aus Zahlen: 0, 1, 2, ..., m-ein. Subtrahieren einer Zahl n modulo m ist der Rest der Division n auf der m, was aus der Darstellung folgt n = km + r, 0<r<m- 1.

Zahlen modulo vergleichen

Projekt vorbereitet von: Irina Zutikova

MAOU "Lyzeum №6"

Klasse: 10 "a"

Wissenschaftliche Beraterin: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambow

2016

• Problem
• Ziel des Projekts
• Hypothese
• Projektziele und Plan zu deren Erreichung
• Vergleiche und ihre Eigenschaften
• Beispiele für Aufgaben und deren Lösungen
• Verwendete Seiten und Literatur

Problem:

Die meisten Schüler verwenden den Modulo-Vergleich von Zahlen selten, um Nicht-Standard- und Olympiade-Aufgaben zu lösen.

Ziel des Projekts:

Zeigen Sie, wie Sie durch den Modulo-Zahlenvergleich Nicht-Standard- und Olympiade-Aufgaben lösen können.

Hypothese:

Ein tieferes Studium des Themas "Modulo-Vergleich von Zahlen" wird den Schülern helfen, einige Nicht-Standard- und Olympiade-Aufgaben zu lösen.

Projektziele und Plan zu deren Erreichung:

1. Studieren Sie ausführlich das Thema „Zahlenvergleich modulo“.

2. Lösen Sie mehrere Nicht-Standard- und Olympiade-Aufgaben mithilfe des Modulo-Vergleichs von Zahlen.

3. Erstellen Sie ein Memo für Studierende zum Thema „Zahlenvergleich modulo“.

4. Führen Sie eine Unterrichtsstunde zum Thema „Modulovergleich von Zahlen“ in Klasse 10 „a“ durch.

5. Geben Sie der Klasse eine Hausaufgabe zum Thema „Modulo-Vergleich“.

6. Vergleichen Sie die Aufgabenerledigungszeit vor und nach dem Studium des Themas „Modulo-Vergleich“.

7. Schlussfolgerungen ziehen.

Bevor ich mich mit dem Thema "Zahlen modulo vergleichen" im Detail auseinandergesetzt habe, habe ich mich entschlossen, die Darstellung in verschiedenen Lehrbüchern zu vergleichen.

• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Tiefe Ebene. Klasse 10 (Yu.M. Kolyagin und andere)
• Mathematik: Algebra, Funktionen, Datenanalyse. Klasse 7 (LG Peterson und andere)
• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Profilebene. Klasse 10 (E.P. Nelin und andere)
• Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Profilebene. Klasse 10 (G.K. Muravin und andere)

Wie ich feststellen musste, wird dieses Thema in manchen Lehrbüchern trotz der Vertiefungsebene nicht einmal gestreift. Und das verständlichste und zugänglichste Thema wird im Lehrbuch von L.G. Peterson (Kapitel: Einführung in die Theorie der Teilbarkeit) vorgestellt. Versuchen wir also, den "Zahlenvergleich modulo" zu verstehen, basierend auf der Theorie aus diesem Lehrbuch.

Vergleiche und ihre Eigenschaften.

Definition: Wenn zwei ganze Zahlen a und b denselben Rest haben, wenn sie durch eine ganze Zahl m geteilt werden (m > 0), dann sagen sie dasa und b sind modulo m kongruent, und schreibe:

Satz: genau dann, wenn die Differenz zwischen a und b durch m teilbar ist.

Eigenschaften:

1. Reflexivität von Vergleichen.Jede Zahl a ist mit sich selbst modulo m vergleichbar (m>0; a,m sind ganze Zahlen).
2. Symmetrie von Vergleichen.Wenn die Zahl a mit der Zahl b modulo m kongruent ist, dann ist die Zahl b mit der Zahl a modulo m kongruent (m>0; a,b,m sind ganze Zahlen).
3. Transitivität von Vergleichen.Wenn eine Zahl a zu b modulo m kongruent ist und b zu c modulo m kongruent ist, dann ist a zu c modulo m kongruent (m>0; a,b,c,m sind ganze Zahlen).
4. Wenn die Zahl a mit der Zahl b modulo m kongruent ist, dann ist die Zahl a n vergleichbar mit der Zahl b n modulo m(m>0; a,b,m sind ganze Zahlen; n ist eine natürliche Zahl).

Beispiele für Aufgaben und deren Lösungen.

1. Finden Sie die letzte Ziffer der Zahl 3 999 .

Entscheidung:

weil die letzte Ziffer der Zahl ist dann der Rest der Division durch 10

3 999 = 3 3 * 3 996 = 3 3 * (3 4 ) 249 = 7 * 81 249 7 (mod 10)

(Weil 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (nach Eigenschaft))

Antwort:7.

2. Beweisen Sie, dass 2 4n -1 ist ohne Rest durch 15 teilbar. (Phystech2012)

Entscheidung:

weil 16 1 (mod 15), dann

16n-1 0(mod 15) (nach Eigenschaft); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (mod 15)

3. Beweisen Sie, dass 12 2n+1 +11n+2 ohne Rest durch 133 teilbar.

Entscheidung:

12 2n+1 = 12*144n 12*11n (mod 133) (nach Eigenschaft)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Nummer (11n *133) ist ohne Rest durch 133 teilbar, also (12 2n+1 +11n+2 ) ist ohne Rest durch 133 teilbar.

4. Finde den Rest der Division durch 15 der Zahl 2 2015 .

Entscheidung:

Seit 16 1 (mod 15), also

2 2015 8 (mod 15)

Antwort: 8.

5. Finde den Rest der Division durch 17 der Zahl 2 2015 . (Phystech 2015)

Entscheidung:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Seit 16 -1 (mod 17), also

2 2015-8 (mod 15)

8 9 (mod 17)

Antwort: 9.

6. Beweisen Sie, dass die Zahl 11 ist 100 -1 ist ohne Rest durch 100 teilbar. (Phystech 2015)

Entscheidung:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (nach Eigenschaft)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (nach Eigenschaft)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (nach Eigenschaft)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100) (nach Eigenschaft)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (nach Eigenschaft)

41*21 3 =41*21*441

441 41 (mod 100) (nach Eigenschaft)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (nach Eigenschaft)

21*(-19)=-399

399 1 (mod 100) (nach Eigenschaft)

Also 11 100 1 (mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (nach Eigenschaft)

7. Es werden drei Zahlen angegeben: 1771,1935,2222. Finden Sie die Zahl, durch die der Rest der drei gegebenen Zahlen gleich ist, wenn sie geteilt wird. (HSE2016)

Entscheidung:

Die unbekannte Zahl sei dann gleich a

2222 1935 (mod a); 1935 1771 (mod a); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0(moda) (Eigenschaft); 1935-17710(moda) (nach Eigenschaft); 2222-17710(moda) (nach Eigenschaft)

287 0 (mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0(moda) (nach Eigenschaft); 451-2870(moda)(nach Eigenschaft)

123 0 (mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0(mod a) (Eigenschaft)

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HSE-Olympiade 2016