تقسیم یک چند جمله ای بر نمودار هورنر چند جمله ای. ارائه با موضوع "مدار هورنر"

هنگام حل معادلات و نابرابری ها، اغلب لازم است چند جمله ای را که درجه آن سه یا بیشتر باشد، فاکتور کنیم. در این مقاله به ساده ترین راه برای انجام این کار خواهیم پرداخت.

طبق معمول، بیایید برای کمک به نظریه مراجعه کنیم.

قضیه بزوتبیان می کند که باقیمانده هنگام تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای است.

اما آنچه برای ما مهم است خود قضیه نیست، بلکه نتیجه از آن:

اگر عدد ریشه یک چند جمله ای باشد، آن چند جمله ای بدون باقیمانده بر دو جمله ای بخش پذیر است.

ما با این وظیفه روبرو هستیم که حداقل یک ریشه از چند جمله ای را پیدا کنیم، سپس چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، که ریشه چند جمله ای کجاست. در نتیجه چند جمله ای به دست می آوریم که درجه آن یک درجه کمتر از درجه اصلی است. و سپس، در صورت لزوم، می توانید روند را تکرار کنید.

این وظیفه به دو بخش تقسیم می شود: چگونه ریشه یک چند جمله ای را پیدا کنیم و چگونه یک چند جمله ای را بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم.

بیایید نگاهی دقیق تر به این نکات بیندازیم.

1. چگونه ریشه یک چند جمله ای را پیدا کنیم.

ابتدا بررسی می کنیم که آیا اعداد 1 و -1 ریشه های چند جمله ای هستند یا خیر.

حقایق زیر در اینجا به ما کمک خواهند کرد:

اگر مجموع همه ضرایب یک چند جمله ای صفر باشد، آن عدد ریشه چند جمله ای است.

به عنوان مثال، در یک چند جمله ای مجموع ضرایب صفر است: . به راحتی می توان بررسی کرد که ریشه یک چند جمله ای چیست.

اگر مجموع ضرایب یک چند جمله ای در توان های زوج برابر با مجموع ضرایب در توان های فرد باشد، آن عدد ریشه چند جمله ای است.عبارت آزاد یک ضریب برای یک درجه زوج در نظر گرفته می شود، زیرا a یک عدد زوج است.

به عنوان مثال، در یک چند جمله ای مجموع ضرایب برای توان های زوج برابر است با: و مجموع ضرایب برای توان های فرد برابر است با: . به راحتی می توان بررسی کرد که ریشه یک چند جمله ای چیست.

اگر نه 1 و نه -1 ریشه چند جمله ای نباشند، به جلو می رویم.

برای یک چند جمله ای درجه کاهش یافته (یعنی چند جمله ای که در آن ضریب اصلی ضریب - است - برابر با یک) فرمول Vieta معتبر است:

ریشه های چند جمله ای کجا هستند.

همچنین فرمول های Vieta در مورد ضرایب باقی مانده از چند جمله ای وجود دارد، اما ما به این یکی علاقه مند هستیم.

از این فرمول Vieta نتیجه می شود که اگر ریشه‌های یک چند جمله‌ای اعداد صحیح باشند، آن‌ها مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد آن هستند که آن هم یک عدد صحیح است.

بر این اساس، ما باید عبارت آزاد چند جمله ای را به فاکتورها تبدیل کنیم، و به ترتیب، از کوچکترین به بزرگ ترین، بررسی کنیم که کدام یک از عوامل ریشه چند جمله ای است.

به عنوان مثال، چند جمله ای را در نظر بگیرید

مقسوم کننده های عبارت آزاد: ; ; ;

مجموع همه ضرایب یک چند جمله ای برابر است، بنابراین، عدد 1 ریشه چند جمله ای نیست.

مجموع ضرایب برای توان زوج:

مجموع ضرایب برای توان فرد:

بنابراین، عدد -1 نیز ریشه چند جمله ای نیست.

بیایید بررسی کنیم که آیا عدد 2 ریشه چند جمله ای است یا خیر: بنابراین، عدد 2 ریشه چند جمله ای است. این بدان معناست که طبق قضیه بزوت، چند جمله ای بر یک دوجمله ای بدون باقیمانده بخش پذیر است.

2. چگونه یک چند جمله ای را به دو جمله ای تقسیم کنیم.

یک چند جمله ای را می توان با یک ستون به یک دو جمله ای تقسیم کرد.

چند جمله ای را با استفاده از ستون بر یک دو جمله ای تقسیم کنید:

روش دیگری برای تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای وجود دارد - طرح هورنر.

این ویدیو را تماشا کنید تا متوجه شوید نحوه تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای با یک ستون و با استفاده از نمودار هورنر.

توجه داشته باشم که اگر هنگام تقسیم بر یک ستون، درجاتی از مجهول در چند جمله ای اصلی وجود نداشته باشد، به جای آن 0 می نویسیم - به همان روشی که هنگام جمع آوری جدول برای طرح هورنر.

بنابراین، اگر لازم باشد یک چند جمله ای را بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم و در نتیجه تقسیم یک چند جمله ای به دست آوریم، می توانیم ضرایب چند جمله ای را با استفاده از طرح هورنر پیدا کنیم:

ما نیز می توانیم استفاده کنیم طرح هورنربه منظور بررسی اینکه آیا یک عدد معین ریشه یک چند جمله ای است یا خیر: اگر عدد، ریشه یک چند جمله ای باشد، باقیمانده هنگام تقسیم چند جمله ای بر برابر با صفر، یعنی در آخرین ستون از ردیف دوم طرح هورنر 0 می گیریم.

با استفاده از طرح هورنر، "دو پرنده را با یک سنگ می کشیم": ما به طور همزمان بررسی می کنیم که آیا عدد ریشه یک چند جمله ای است یا خیر و این چند جمله ای را بر یک دو جمله ای تقسیم می کنیم.

مثال.معادله را حل کنید:

1. بیایید مقسوم علیه های جمله آزاد را بنویسیم و در میان مقسوم علیه های جمله آزاد به دنبال ریشه های چند جمله ای بگردیم.

مقسم 24:

2. بیایید بررسی کنیم که آیا عدد 1 ریشه چند جمله ای است یا خیر.

مجموع ضرایب یک چند جمله ای، بنابراین، عدد 1 ریشه چند جمله ای است.

3. چند جمله ای اصلی را با استفاده از طرح هورنر به دو جمله ای تقسیم کنید.

الف) ضرایب چند جمله ای اصلی را در ردیف اول جدول می نویسیم.

از آنجایی که عبارت حاوی وجود ندارد، در ستون جدولی که ضریب باید در آن نوشته شود، 0 می نویسیم. در سمت چپ ریشه یافت شده را می نویسیم: عدد 1.

ب) سطر اول جدول را پر کنید.

در ستون آخر، همانطور که انتظار می‌رفت، به صفر رسیدیم؛ چند جمله‌ای اصلی را بر یک دوجمله‌ای بدون باقیمانده تقسیم کردیم. ضرایب چند جمله ای حاصل از تقسیم به رنگ آبی در ردیف دوم جدول نشان داده شده است:

به راحتی می توان بررسی کرد که اعداد 1 و -1 ریشه های چند جمله ای نیستند

ب) جدول را ادامه می دهیم. بیایید بررسی کنیم که آیا عدد 2 ریشه چند جمله ای است یا خیر:

بنابراین درجه چند جمله ای که در نتیجه تقسیم بر یک به دست می آید از درجه چند جمله ای اصلی کمتر است بنابراین تعداد ضرایب و تعداد ستون ها یک عدد کمتر است.

در ستون آخر ما -40 - عددی به دست آوردیم که برابر با صفر نیست، بنابراین، چند جمله ای بر یک دو جمله ای با یک باقی مانده بخش پذیر است و عدد 2 ریشه چند جمله ای نیست.

ج) بررسی کنیم که آیا عدد -2 ریشه چند جمله ای است یا خیر. از آنجایی که تلاش قبلی ناموفق بود، برای جلوگیری از اشتباه گرفتن با ضرایب، خط مربوط به این تلاش را پاک می کنم:

عالی! ما صفر را به عنوان باقیمانده دریافت کردیم، بنابراین، چند جمله ای بدون باقیمانده به دو جمله ای تقسیم شد، بنابراین، عدد -2 ریشه چند جمله ای است. ضرایب چند جمله ای که از تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای به دست می آید در جدول به رنگ سبز نشان داده شده است.

در نتیجه تقسیم شدیم سه جمله ای درجه دوم ، که ریشه های آن را می توان با استفاده از قضیه Vieta به راحتی پیدا کرد:

بنابراین، ریشه های معادله اصلی عبارتند از:

{}

پاسخ: ( }

طرح هورنر - روشی برای تقسیم چند جمله ای

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

روی دو جمله ای $x-a$. شما باید با جدولی کار کنید که ردیف اول آن شامل ضرایب یک چند جمله ای معین است. اولین عنصر خط دوم عدد $a$ خواهد بود که از دو جمله ای $x-a$ گرفته شده است:

پس از تقسیم یک چند جمله ای درجه n بر یک دو جمله ای $x-a$، چند جمله ای به دست می آوریم که درجه آن یک کمتر از درجه اصلی است، یعنی. برابر n-1$ است. کاربرد مستقیم طرح هورنر با مثال‌هایی ساده‌تر است.

مثال شماره 1

با استفاده از طرح هورنر $5x^4+5x^3+x^2-11$ را بر $x-1$ تقسیم کنید.

بیایید یک جدول دو خطی بسازیم: در خط اول ضرایب چند جمله ای $5x^4+5x^3+x^2-11$ را می نویسیم که به ترتیب نزولی توان های متغیر $x$ مرتب شده اند. توجه داشته باشید که این چند جمله ای حاوی $x$ تا درجه اول نیست، یعنی. ضریب $x$ به توان اول 0 است. از آنجایی که ما بر $x-1$ تقسیم می کنیم، در خط دوم یک می نویسیم:

بیایید شروع به پر کردن سلول های خالی در خط دوم کنیم. در سلول دوم خط دوم، عدد $5$ را می نویسیم، به سادگی آن را از سلول مربوطه خط اول منتقل می کنیم:

بیایید سلول بعدی را طبق این اصل پر کنیم: $1\cdot 5+5=10$:

سلول چهارم خط دوم را به همین ترتیب پر می کنیم: $1\cdot 10+1=11$:

برای سلول پنجم دریافت می کنیم: $1\cdot 11+0=11$:

و در نهایت، برای آخرین سلول ششم، داریم: $1\cdot 11+(-11)=0$:

مشکل حل شد، تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن پاسخ است:

همانطور که می بینید، اعداد واقع در خط دوم (بین یک و صفر) ضرایب چند جمله ای است که پس از تقسیم $5x^4+5x^3+x^2-11$ بر $x-1$ بدست می آید. به طور طبیعی، از آنجایی که درجه چند جمله ای اصلی $5x^4+5x^3+x^2-11$ برابر با چهار بود، درجه چند جمله ای حاصل $5x^3+10x^2+11x+11$ یک است. کمتر، یعنی . برابر با سه آخرین عدد در خط دوم (صفر) به معنای باقیمانده هنگام تقسیم چند جمله‌ای $5x^4+5x^3+x^2-11$ بر $x-1$ است. در مورد ما، باقیمانده صفر است، یعنی. چند جمله ای ها به طور مساوی قابل تقسیم هستند. این نتیجه را می توان به صورت زیر نیز مشخص کرد: مقدار چند جمله ای $5x^4+5x^3+x^2-11$ برای $x=1$ برابر با صفر است.

نتیجه را می توان به این شکل نیز فرموله کرد: از آنجایی که مقدار چند جمله ای $5x^4+5x^3+x^2-11$ در $x=1$ برابر با صفر است، پس واحد ریشه چند جمله ای است. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

مثال شماره 2

با استفاده از طرح هورنر، چند جمله‌ای $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ را بر $x+3$ تقسیم کنید.

اجازه دهید بلافاصله شرط کنیم که عبارت $x+3$ باید به شکل $x-(-3)$ ارائه شود. طرح هورنر دقیقاً 3 دلار را شامل می شود. از آنجایی که درجه چند جمله ای اصلی $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ برابر با چهار است، در نتیجه تقسیم، چند جمله ای درجه سوم به دست می آید:

نتیجه به این معنی است

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

در این وضعیت، باقیمانده هنگام تقسیم $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ بر $x+3$ $4 است. یا همان چیزی است که مقدار چند جمله‌ای $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ برای $x=-3$ برابر است با $4. به هر حال، با جایگزین کردن مستقیم $x=-3$ در چند جمله ای داده شده، می توان آن را دوبار بررسی کرد:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

آن ها اگر بخواهید مقدار یک چند جمله ای را برای مقدار معینی از یک متغیر پیدا کنید، می توان از طرح هورنر استفاده کرد. اگر هدف ما یافتن تمام ریشه‌های یک چند جمله‌ای است، طرح هورنر را می‌توان چندین بار پشت سر هم اعمال کرد تا زمانی که همه ریشه‌ها را تمام کنیم، همانطور که در مثال شماره 3 بحث شد.

مثال شماره 3

با استفاده از طرح هورنر، تمام ریشه های عدد صحیح چند جمله ای $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ را پیدا کنید.

ضرایب چند جمله ای مورد نظر اعداد صحیح هستند و ضریب بالاترین توان متغیر (یعنی $x^6$) برابر با یک است. در این مورد، ریشه های اعداد صحیح چند جمله ای را باید در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد جستجو کرد، یعنی. در میان مقسوم‌کننده‌های عدد 45. برای یک چند جمله‌ای معین، چنین ریشه‌هایی می‌توانند اعداد $45 باشند. \; 15; \; 9; \; 5 \; 3; \; 1 دلار و -45 دلار؛ \; -15; \; -9; \; -5; \; -3؛ \; -1 دلار برای مثال، عدد $1$ را بررسی می کنیم:

همانطور که می بینید، مقدار چند جمله ای $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ با $x=1$ برابر است با $192$ (آخرین عدد در خط دوم)، و نه $0 $، بنابراین وحدت ریشه این چند جمله ای نیست. از آنجایی که بررسی یکی ناموفق بود، اجازه دهید مقدار $x=-1$ را بررسی کنیم. ما جدول جدیدی برای این کار ایجاد نمی کنیم، اما به استفاده از جدول ادامه می دهیم. شماره 1، اضافه کردن یک خط جدید (سوم) به آن. خط دوم که در آن مقدار $1$ بررسی شده است با رنگ قرمز مشخص می شود و در بحث های بعدی استفاده نخواهد شد.

البته می توانید به سادگی جدول را دوباره بنویسید، اما پر کردن آن به صورت دستی زمان زیادی را می برد. علاوه بر این، ممکن است چندین شماره وجود داشته باشد که تأیید آنها با شکست مواجه شود و نوشتن یک جدول جدید هر بار دشوار است. هنگام محاسبه "روی کاغذ"، خطوط قرمز را می توان به سادگی خط زد.

بنابراین، مقدار چند جمله‌ای $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ در $x=-1$ برابر با صفر است، یعنی. عدد $-1$ ریشه این چند جمله ای است. پس از تقسیم چند جمله ای $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ بر دو جمله ای $x-(-1)=x+1$، چند جمله ای $x را به دست می آوریم. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$ که ضرایب آن از ردیف سوم جدول گرفته شده است. شماره 2 (نمونه شماره 1 را ببینید). نتیجه محاسبات را نیز می توان به این شکل ارائه کرد:

\شروع(معادله)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\پایان (معادله)

بیایید به جستجوی ریشه های عدد صحیح ادامه دهیم. اکنون باید به دنبال ریشه های چند جمله ای $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ بگردیم. باز هم، ریشه های اعداد صحیح این چند جمله ای در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد آن، اعداد $45$ جستجو می شود. بیایید سعی کنیم دوباره عدد $-1$ را بررسی کنیم. ما جدول جدیدی ایجاد نمی کنیم، اما به استفاده از جدول قبلی ادامه می دهیم. شماره 2 یعنی. بیایید یک خط دیگر به آن اضافه کنیم:

بنابراین، عدد $-1$ ریشه چند جمله‌ای $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ است. این نتیجه را می توان به صورت زیر نوشت:

\شروع(معادله)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \پایان (معادله)

با در نظر گرفتن برابری (2)، برابری (1) را می توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

\شروع(معادله)\شروع(تراز شده) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\پایان (تراز شده)\پایان (معادله)

اکنون باید به دنبال ریشه های چند جمله ای $x^4-22x^2+24x+45$ باشیم - طبیعتاً در میان مقسوم علیه های عبارت آزاد آن (اعداد $45$). بیایید دوباره عدد $-1$ را بررسی کنیم:

عدد $-1$ ریشه چند جمله ای $x^4-22x^2+24x+45$ است. این نتیجه را می توان به صورت زیر نوشت:

\شروع(معادله)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \پایان (معادله)

با در نظر گرفتن برابری (4)، برابری (3) را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

\begin(معادله)\begin(تراز شده) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end (تراز شده)\پایان (معادله)

اکنون ما به دنبال ریشه های چند جمله ای $x^3-x^2-21x+45$ هستیم. بیایید دوباره عدد $-1$ را بررسی کنیم:

چک با شکست به پایان رسید. بیایید خط ششم را با رنگ قرمز برجسته کنیم و سعی کنیم عدد دیگری را بررسی کنیم، به عنوان مثال، عدد $3$:

باقیمانده صفر است، بنابراین عدد 3$ ریشه چند جمله ای مورد نظر است. بنابراین، $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. اکنون برابری (5) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

با این برنامه ریاضی می توانید چند جمله ای ها را بر ستون تقسیم کنید.
برنامه تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای فقط جواب مسئله را نمی دهد، بلکه می دهد راه حل دقیقبا توضیحات، یعنی. فرآیند حل را برای آزمایش دانش در ریاضیات و/یا جبر نمایش می دهد.

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید. برادران کوچکتریا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

در صورت نیاز یا ساده سازی چند جمله اییا ضرب چند جمله ای ها، سپس برای این ما یک برنامه جداگانه Simplification (ضرب) یک چند جمله ای داریم

چند جمله ای اول (قابل تقسیم - آنچه تقسیم می کنیم):

چند جمله‌ای دوم (مقسم‌ع‌کننده - آنچه ما بر آن تقسیم می‌کنیم):

چند جمله ای ها را تقسیم کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

تقسیم یک چند جمله ای به یک چند جمله ای (دو جمله ای) توسط یک ستون (گوشه)

در جبر تقسیم چند جمله ای ها با یک ستون (گوشه)- الگوریتمی برای تقسیم یک چند جمله ای f(x) بر یک چند جمله ای (دو جمله ای) g(x) که درجه آن کمتر یا مساوی با درجه چند جمله ای f(x) است.

الگوریتم تقسیم چند جمله ای به چند جمله ای شکل تعمیم یافته ای از تقسیم ستونی اعداد است که به راحتی با دست قابل پیاده سازی است.

برای هر چند جمله‌ای \(f(x) \) و \(g(x) \)، \(g(x) \neq 0 \) چند جمله‌ای منحصر به فرد \(q(x) \) و \(r( x) \)، به گونه ای که
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
و \(r(x)\) دارای درجه کمتر از \(g(x)\) است.

هدف الگوریتم برای تقسیم چندجمله‌ای به یک ستون (گوشه) یافتن ضریب \(q(x) \) و باقیمانده \(r(x) \) برای سود معین \(f(x) \) است. و مقسوم علیه غیر صفر \(g(x) \)

مثال

بیایید با استفاده از یک ستون (گوشه) یک چند جمله ای را به چند جمله ای دیگر (دو جمله ای) تقسیم کنیم:
\(\large \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

ضریب و باقیمانده این چند جمله ای ها را می توان با انجام مراحل زیر پیدا کرد:
1. اولین عنصر سود تقسیمی را بر بالاترین عنصر تقسیم کننده تقسیم کنید، نتیجه را زیر خط \((x^3/x = x^2)\) قرار دهید.

\(ایکس\) \(-3 \) \(x^2\)

3. چند جمله ای به دست آمده پس از ضرب را از سود سهام کم کنید، نتیجه را زیر خط \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- بنویسید. 42) \)

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \)

\(ایکس\) \(-3 \) \(x^2\)

4. 3 مرحله قبلی را با استفاده از چند جمله ای نوشته شده در زیر خط به عنوان سود، تکرار کنید.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(ایکس\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\)

5. مرحله 4 را تکرار کنید.

\(x^3\) \(-12x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3\) \(-3x^2\) \(-9x^2\) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2\) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(ایکس\) \(-3 \) \(x^2\) \(-9x\) \(-27 \)

6. پایان الگوریتم.
بنابراین، چند جمله ای \(q(x)=x^2-9x-27\) ضریب تقسیم چندجمله ای ها است و \(r(x)=-123\) باقیمانده تقسیم چند جمله ای ها است.

حاصل تقسیم چند جمله ای ها را می توان به صورت دو برابری نوشت:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
یا
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

وب سایت " مدرس حرفه ای ریاضی " ادامه سلسله مقالات روش شناسی در مورد تدریس را ادامه می دهد. من شرح روش های کارم را با پیچیده ترین و مشکل سازترین موضوعات برنامه درسی مدرسه منتشر می کنم. این مطالب برای معلمان و معلمان ریاضی که با دانش آموزان کلاس های 8-11 کار می کنند هم در برنامه عادی و هم در برنامه کلاس های ریاضی مفید خواهد بود.

معلم ریاضی همیشه نمی تواند مطالبی را که در کتاب درسی ضعیف ارائه شده است توضیح دهد. متأسفانه چنین موضوعاتی روز به روز بیشتر می شود و خطاهای ارائه به دنبال نویسندگان کتابچه ها به طور انبوه ایجاد می شود. این نه تنها در مورد معلمان شروع کننده ریاضی و معلمان پاره وقت (معلمین، دانشجویان و معلمان دانشگاه هستند)، بلکه برای معلمان با تجربه، معلمان خصوصی حرفه ای، معلمان با تجربه و مدارک نیز صدق می کند. همه معلمان ریاضی استعداد درست تصحیح لبه های ناهموار کتاب های درسی مدرسه را ندارند. همه همچنین نمی دانند که این اصلاحات (یا اضافات) ضروری هستند. تعداد کمی از کودکان درگیر تطبیق مطالب برای درک کیفی آن توسط کودکان هستند. متأسفانه زمانی گذشته است که معلمان ریاضیات به همراه متدولوژیست ها و نویسندگان نشریات به طور انبوه در مورد هر حرف از کتاب درسی بحث می کردند. پیش از این، قبل از انتشار یک کتاب درسی در مدارس، تحلیل ها و مطالعات جدی در مورد نتایج یادگیری انجام می شد. زمان آماتورهایی فرا رسیده است که تلاش می کنند کتاب های درسی را جهانی کنند و آنها را با استانداردهای کلاس های قوی ریاضیات تنظیم کنند.

رقابت برای افزایش مقدار اطلاعات تنها منجر به کاهش کیفیت جذب آن و در نتیجه کاهش سطح دانش واقعی در ریاضیات می شود. اما هیچ کس به این توجه نمی کند. و فرزندان ما مجبور هستند، قبلاً در کلاس هشتم، آنچه را که ما در مؤسسه مطالعه کردیم، مطالعه کنند: نظریه احتمال، حل معادلات درجات بالاو چیز دیگری انطباق مطالب موجود در کتابها برای درک کامل کودک چیزهای زیادی را به دنبال دارد و معلم ریاضی مجبور است به نحوی با این موضوع کنار بیاید.

بیایید در مورد روش تدریس چنین موضوع خاصی مانند "تقسیم یک چند جمله ای بر یک چند جمله ای بر یک گوشه" صحبت کنیم که در ریاضیات بزرگسالان به عنوان "قضیه بزوت و طرح هورنر" شناخته می شود. همین چند سال پیش، این سوال برای یک معلم خصوصی ریاضی خیلی مهم نبود، زیرا بخشی از برنامه درسی اصلی مدرسه نبود. اکنون نویسندگان محترم کتاب درسی با ویرایش تلیاکوفسکی تغییراتی در آن ایجاد کرده اند آخرین نسخهبه نظر من بهترین کتاب درسی است و با از بین بردن کامل آن، فقط نگرانی های بی مورد را به معلم اضافه می کند. معلمان مدارس و کلاس هایی که وضعیت ریاضیات را ندارند، با تمرکز بر نوآوری های نویسندگان، اغلب پاراگراف های اضافی را در درس های خود قرار می دهند و کودکان کنجکاو با نگاه کردن به صفحات زیبای کتاب ریاضی خود، به طور فزاینده ای از معلم: «این تقسیم بر یک گوشه چیست؟ آیا قرار است از این مسیر عبور کنیم؟ چگونه یک گوشه را به اشتراک بگذاریم؟ دیگر هیچ پنهانی از چنین سوالات مستقیمی وجود ندارد. مربی باید چیزی به کودک بگوید.

اما به عنوان؟ احتمالاً اگر در کتب درسی به خوبی ارائه می شد، روش کار با موضوع را شرح نمی دادم. همه چیز با ما چگونه پیش می رود؟ کتاب های درسی باید چاپ و فروخته شوند. و برای این کار باید مرتبا به روز شوند. آیا معلمان دانشگاه شکایت دارند که بچه ها با سر خالی و بدون دانش و مهارت به سراغشان می آیند؟ آیا الزامات دانش ریاضی در حال افزایش است؟ عالی! بیایید برخی تمرین ها را حذف کنیم و به جای آن موضوعاتی را که در برنامه های دیگر مطالعه می شود درج کنیم. چرا کتاب درسی ما بدتر است؟ ما چند فصل اضافی را اضافه خواهیم کرد. دانش آموزان قانون تقسیم یک گوشه را نمی دانند؟ این ریاضیات پایه است. این پاراگراف باید اختیاری باشد، با عنوان "برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند." معلمان مخالف آن؟ چرا به طور کلی به معلمان اهمیت می دهیم؟ روش شناسان و معلمان مدرسه هم مخالف هستند؟ ما مواد را پیچیده نخواهیم کرد و ساده ترین بخش آن را در نظر خواهیم گرفت.

و از اینجا شروع می شود. سادگی موضوع و کیفیت یکسان سازی آن، قبل از هر چیز در درک منطق آن نهفته است، نه در انجام، طبق دستورات نویسندگان کتاب درسی، مجموعه خاصی از عملیات که به وضوح به یکدیگر مرتبط نیستند. . در غیر این صورت مه در سر دانش آموز خواهد بود. اگر نویسندگان دانش‌آموزان نسبتاً قوی را هدف قرار می‌دهند (اما در یک برنامه معمولی مطالعه می‌کنند)، پس نباید موضوع را در فرم دستوری ارائه کنید. در کتاب درسی چه می بینیم؟ بچه ها باید طبق این قاعده تقسیم بندی کنیم. چند جمله ای زیر زاویه را بدست آورید. بنابراین، چند جمله ای اصلی فاکتورسازی می شود. با این حال، روشن نیست که چرا عبارت‌های زیر گوشه دقیقاً به این ترتیب انتخاب می‌شوند، چرا باید آنها را در چند جمله‌ای بالای گوشه ضرب کرد و سپس از باقیمانده فعلی کم کرد. و مهمتر از همه، مشخص نیست که چرا تک‌جمله‌های انتخاب شده باید در نهایت اضافه شوند و چرا براکت‌های حاصل بسط چند جمله‌ای اصلی خواهند بود. هر ریاضیدان توانمندی روی توضیحات ارائه شده در کتاب درسی علامت سوال پررنگ می گذارد.

من راه حل خود را برای حل مسئله به اطلاع اساتید راهنما و معلمان ریاضی می رسانم که عملاً هر آنچه در کتاب درسی آمده است برای دانش آموز آشکار می شود. در واقع، قضیه بزوت را ثابت می کنیم: اگر عدد a ریشه یک چند جمله ای باشد، این چند جمله ای را می توان به عواملی تجزیه کرد که یکی از آنها x-a است و دومی به یکی از سه روش از اولی به دست می آید: با جداسازی یک عامل خطی از طریق تبدیل، با تقسیم بر یک گوشه، یا با طرح هورنر. با این فرمول است که کار برای معلم خصوصی ریاضی راحت تر خواهد بود.

روش شناسی تدریس چیست؟ اول از همه، این یک نظم واضح در توالی توضیحات و مثال هایی است که بر اساس آن نتایج ریاضی گرفته می شود. این موضوعاستثنا نیست برای معلم ریاضی بسیار مهم است که کودک را با قضیه بزوت آشنا کند قبل از تقسیم بر یک گوشه. این خیلی مهمه! بهترین راه برای رسیدن به درک این است که مثال خاص. بیایید چند جمله ای را با یک ریشه انتخاب شده برداریم و تکنیک فاکتورسازی آن را با استفاده از روشی که دانش آموزان مدرسه از کلاس هفتم آشنا هستند نشان دهیم. تحولات هویتی. با توضیحات، تاکید و نکات مناسب از معلم ریاضی، می توان مطالب را بدون هیچ گونه محاسبات کلی ریاضی، ضرایب و توان دلخواه منتقل کرد.

توصیه های مهم برای معلم ریاضی- دستورالعمل ها را از ابتدا تا انتها دنبال کنید و این ترتیب را تغییر ندهید.

بنابراین، بیایید بگوییم که ما یک چند جمله ای داریم. اگر عدد 1 را به جای X آن جایگزین کنیم، مقدار چند جمله ای برابر با صفر خواهد بود. بنابراین x=1 ریشه آن است. بیایید سعی کنیم آن را به دو جمله تجزیه کنیم تا یکی از آنها حاصل ضرب یک عبارت خطی و مقداری تک جمله باشد و دومی دارای درجه یک کمتر از . یعنی آن را به شکل بازنمایی کنیم

تک جمله ای را برای فیلد قرمز انتخاب می کنیم تا وقتی در جمله اول ضرب می شود، کاملاً با جمله اول چند جمله ای اصلی منطبق شود. اگر دانش‌آموز ضعیف‌ترین فرد نباشد، کاملاً قادر خواهد بود که عبارت مورد نیاز را به معلم ریاضی بگوید: . باید فوراً از معلم خصوصی خواسته شود تا آن را در قسمت قرمز قرار دهد و نشان دهد که با باز شدن آنها چه اتفاقی خواهد افتاد. بهتر است این چند جمله ای موقت مجازی را در زیر فلش ها (زیر عکس کوچک) امضا کنید، آن را با مقداری رنگ، به عنوان مثال، آبی برجسته کنید. این به شما کمک می کند تا یک عبارت را برای فیلد قرمز انتخاب کنید که باقی مانده انتخاب نامیده می شود. من به معلمان توصیه می کنم در اینجا به این نکته اشاره کنند که این باقیمانده را می توان با تفریق پیدا کرد. با انجام این عملیات دریافت می کنیم:

معلم ریاضی باید توجه دانش‌آموز را به این نکته جلب کند که با جایگزین کردن یک به این برابری، تضمین می‌کنیم که صفر را در سمت چپ آن بدست آوریم (زیرا 1 ریشه چند جمله‌ای اصلی است) و در سمت راست، بدیهی است که ما ترم اول را نیز صفر خواهد کرد. این بدان معنی است که بدون هیچ تأییدی می توان گفت که یکی ریشه "باقیمانده سبز" است.

بیایید با آن به همان شیوه ای که با چند جمله ای اصلی انجام دادیم برخورد کنیم و همان عامل خطی را از آن جدا کنیم. معلم ریاضی دو قاب را جلوی دانش آموز ترسیم می کند و از آنها می خواهد که از چپ به راست پر کنند.

دانش‌آموز یک تک‌جمله برای فیلد قرمز برای معلم انتخاب می‌کند، به طوری که وقتی در جمله اول عبارت خطی ضرب می‌شود، عبارت اول چند جمله‌ای در حال گسترش را به دست می‌دهد. ما آن را در قاب قرار می دهیم، بلافاصله براکت را باز می کنیم و عبارتی را که باید از حالت تاشو کم شود، با رنگ آبی برجسته می کنیم. با انجام این عملیات به دست می آوریم

و در نهایت، همین کار را با آخرین باقیمانده انجام دهید

بالاخره بهش میرسیم

حال بیایید عبارت را از براکت خارج کنیم و شاهد تجزیه چند جمله ای اصلی به عواملی خواهیم بود که یکی از آنها "x منهای ریشه انتخاب شده" است.

برای جلوگیری از اینکه دانش آموز فکر کند که آخرین "باقیمانده سبز" به طور تصادفی به عوامل مورد نیاز تجزیه شده است، معلم ریاضی باید به آن اشاره کند. دارایی مهماز همه باقیمانده های سبز - هر کدام ریشه 1 دارند. از آنجایی که درجات این باقیمانده ها کاهش می یابد، پس هر درجه ای از چند جمله ای اولیه به ما داده شود، دیر یا زود، یک "باقیمانده سبز" خطی با ریشه 1 دریافت خواهیم کرد، و بنابراین لزوماً تعدادی عدد و عبارت را به محصول تجزیه می کند.

پس از چنین کارهای مقدماتی، برای معلم ریاضیات دشوار نخواهد بود که به دانش آموز توضیح دهد که هنگام تقسیم بر یک گوشه چه اتفاقی می افتد. این همان فرآیند است، فقط به شکل کوتاه‌تر و فشرده‌تر، بدون علائم مساوی و بدون بازنویسی همان اصطلاحات برجسته. چند جمله‌ای که از آن ضریب خطی استخراج می‌شود در سمت چپ گوشه نوشته می‌شود، تک‌جمله‌های قرمز انتخاب شده در یک زاویه جمع‌آوری می‌شوند (اکنون مشخص می‌شود که چرا باید جمع شوند)، برای به دست آوردن "چندجمله‌ای آبی"، "قرمز" باید در x-1 ضرب شوند، و سپس از نحوه انجام این کار در تقسیم معمول اعداد به یک ستون، از روش انتخاب شده فعلی کم کرد (در اینجا قیاسی با آنچه قبلاً مطالعه شده است وجود دارد). "بقایای سبز" به دست آمده در معرض جداسازی و انتخاب جدید "مونومی های قرمز" قرار دارند. و به همین ترتیب تا زمانی که "تراز سبز" را به صفر برسانید. مهمترین چیز این است که دانش آموز بفهمد سرنوشت بیشترچند جمله ای های بالا و زیر زاویه نوشته شده است. بدیهی است که اینها براکت هایی هستند که حاصلضرب آنها برابر با چند جمله ای اصلی است.

مرحله بعدی کار معلم خصوصی ریاضیات، فرمول بندی قضیه بزوت است. در واقع، فرمول بندی آن با این رویکرد استاد راهنما آشکار می شود: اگر عدد a ریشه یک چند جمله ای باشد، می توان آن را فاکتور گرفت که یکی از آنها است و دیگری به یکی از سه روش از اولی به دست می آید. :

• تجزیه مستقیم (مشابه با روش گروه بندی)
• تقسیم بر یک گوشه (در یک ستون)
• از طریق مدار هورنر

باید گفت که نه همه معلمان ریاضی نمودار هورنر را به دانش آموزان نشان می دهند و نه همه معلمان مدرسه (خوشبختانه خود معلمان) در طول درس به این موضوع عمیقاً وارد موضوع نمی شوند. با این حال، برای یک دانش آموز کلاس ریاضی، دلیلی برای توقف در تقسیم طولانی نمی بینم. علاوه بر این، راحت ترین و سریعتکنیک تجزیه دقیقاً بر اساس طرح هورنر است. برای اینکه به کودک توضیح دهید از کجا آمده است، کافی است با استفاده از مثال تقسیم بر یک گوشه، ضرایب بالاتر را در باقیمانده های سبز ردیابی کنید. روشن می شود که ضریب پیشرو چند جمله ای اولیه به ضریب اولین "تک جمله ای قرمز" و بیشتر از ضریب دوم چند جمله ای فوقانی فعلی منتقل می شود. کسر شدحاصل ضرب ضریب جاری "تک اسم قرمز" در . بنابراین امکان پذیر است اضافه کردنحاصل ضرب در . پس از تمرکز توجه دانش‌آموز بر روی ویژگی‌های اعمال با ضرایب، معلم ریاضی می‌تواند نحوه انجام این اعمال را بدون ثبت خود متغیرها نشان دهد. برای انجام این کار، به راحتی می توانید ریشه و ضرایب چند جمله ای اصلی را به ترتیب اولویت در جدول زیر وارد کنید:

اگر درجه ای در یک چند جمله ای وجود نداشته باشد، ضریب صفر آن در جدول قرار می گیرد. ضرایب "چند جمله ای های قرمز" به ترتیب در خط پایین مطابق قانون "قلاب" نوشته می شود:

ریشه در آخرین ضریب قرمز ضرب می شود، به ضریب بعدی در خط بالا اضافه می شود و نتیجه تا خط پایین نوشته می شود. در آخرین ستون تضمین شده است که بالاترین ضریب آخرین "باقیمانده سبز" یعنی صفر را بدست آوریم. پس از تکمیل فرآیند، اعداد بین ریشه همسان و باقیمانده صفر قرار می گیردمعلوم می شود که ضرایب عامل دوم (غیرخطی) است.

از آنجایی که ریشه a در انتهای خط پایین یک صفر می دهد، از طرح هورنر می توان برای بررسی اعداد برای عنوان ریشه یک چند جمله ای استفاده کرد. اگر قضیه خاصی در انتخاب ریشه عقلی. تمام نامزدهای این عنوان که با کمک آن به دست آمده اند، به سادگی به نوبه خود از سمت چپ در نمودار هورنر درج می شوند. به محض اینکه به صفر رسیدیم عدد مورد آزمایش یک ریشه خواهد بود و در عین حال ضرایب فاکتورگیری چند جمله ای اصلی را در خط آن بدست می آوریم. خیلی راحت

در خاتمه، مایلم متذکر شوم که برای معرفی دقیق طرح هورنر، و همچنین ادغام عملی موضوع، معلم ریاضیات باید تعداد ساعت کافی در اختیار داشته باشد. معلمی که با رژیم «هفته‌ای یک‌بار» کار می‌کند نباید در بخش گوشه‌ای شرکت کند. در آزمون دولتی واحد در ریاضیات و در آکادمی دولتی ریاضیات در ریاضیات، بعید است که در بخش اول با معادله ای درجه سوم روبرو شوید که بتوان با چنین ابزاری حل کرد. اگر معلمی کودک را برای امتحان ریاضی در دانشگاه دولتی مسکو آماده می کند، مطالعه این موضوع اجباری می شود. معلمان دانشگاه، بر خلاف گردآورندگان آزمون یکپارچه دولتی، واقعاً دوست دارند عمق دانش یک متقاضی را آزمایش کنند.

کولپاکوف الکساندر نیکولاویچ، معلم ریاضیات مسکو، استروگینو

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

نوع درس: درس تسلط و تثبیت دانش اولیه.

هدف از درس:

• دانش آموزان را با مفهوم ریشه های چند جمله ای آشنا کنید و به آنها بیاموزید که چگونه آنها را پیدا کنند. بهبود مهارت در استفاده از طرح هورنر برای بسط یک چند جمله ای با توان و تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای.
• با استفاده از نمودار هورنر ریشه های یک معادله را بیاموزید.
• تفکر انتزاعی را توسعه دهید.
• فرهنگ محاسباتی را تقویت کنید.
• توسعه ارتباطات بین رشته ای

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

موضوع درس را اطلاع رسانی کنید، اهداف را تنظیم کنید.

2. بررسی تکالیف.

3. مطالعه مطالب جدید.

اجازه دهید Fn(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +...+ a 1 x + a 0 - یک چند جمله ای برای x از درجه n، که در آن a 0، a 1،...،a n اعداد داده می شود و a 0 برابر 0 نیست. اگر چند جمله ای F n (x) با باقیمانده بر دو جمله ای x-a تقسیم شود. ، سپس ضریب (نسبت ناقص) چند جمله ای Q n-1 (x) درجه n-1 است، باقیمانده R یک عدد است و برابری درست است. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.چند جمله ای F n (x) فقط در مورد R=0 بر دو جمله ای (x-a) بخش پذیر است.

قضیه بزوت: باقیمانده R هنگام تقسیم یک چند جمله ای F n (x) بر یک دو جمله ای (x-a) برابر با ارزشچند جمله ای F n (x) برای x=a، یعنی. R=Pn(a).

کمی تاریخ قضیه بزوت با وجود سادگی و بدیهی ظاهری، یکی از قضایای اساسی نظریه چند جمله ای ها است. این قضیه خصوصیات جبری چند جمله ای ها (که اجازه می دهد چند جمله ای ها به عنوان اعداد صحیح در نظر گرفته شوند) با ویژگی های عملکردی آنها (که به چندجمله ای ها اجازه می دهد به عنوان توابع در نظر گرفته شوند) مرتبط می کند. یکی از راه‌های حل معادلات درجه بالاتر، فاکتور کردن چند جمله‌ای در سمت چپ معادله است. محاسبه ضرایب چند جمله ای و باقیمانده به صورت جدولی به نام طرح هورنر نوشته می شود.

طرح هورنر الگوریتمی برای تقسیم چندجمله‌ای است که برای حالت خاصی نوشته می‌شود که ضریب برابر با یک دوجمله‌ای باشد. x–a.

هورنر ویلیام جورج (1786 - 1837)، ریاضیدان انگلیسی. تحقیقات پایه به نظریه مربوط می شود معادلات جبری. روشی برای حل تقریبی معادلات با هر درجه ای ابداع کرد. او در سال 1819 روش مهمی را برای جبر برای تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای x - a (طرح هورنر) معرفی کرد.

نتیجه فرمول کلیبرای طرح هورنر

تقسیم یک چند جمله‌ای f(x) با باقیمانده بر یک دو جمله‌ای (x-c) به معنای یافتن چند جمله‌ای q(x) و یک عدد r است به طوری که f(x)=(x-c)q(x)+r

اجازه دهید این برابری را با جزئیات بنویسیم:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

اجازه دهید ضرایب را در همان درجات برابر کنیم:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

نمایش مدار هورنر با استفاده از یک مثال.

تمرین 1.با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 را با باقیمانده بر دو جمله ای x-2 تقسیم می کنیم.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x2 -3x-6)-4، که در آن g(x)= (x 2 -3x-6)، r = -4 باقی مانده است.

بسط یک چند جمله ای در توان های یک دوجمله ای.

با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 را در توان های دو جمله ای (x+2) بسط می دهیم.

در نتیجه، باید بسط f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) را بدست آوریم )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

طرح هورنر اغلب هنگام حل معادلات درجات سوم، چهارم و بالاتر استفاده می شود، زمانی که بسط دادن چند جمله ای به دو جمله ای x-a راحت است. عدد آتماس گرفت ریشه چند جمله ای F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... + f n-1 x + f n، اگر در x=aمقدار چند جمله ای F n (x) برابر با صفر است: F n (a)=0، یعنی. اگر چند جمله ای بر دو جمله ای x-a بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، عدد 2 ریشه چند جمله ای F 3 (x)=3x 3 -2x-20 است، زیرا F 3 (2)=0. به این معنی. که فاکتورگیری این چند جمله ای حاوی یک عامل x-2 است.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).

هر چند جمله ای F n(x) درجه n 1 نمی تواند بیشتر داشته باشد nریشه های واقعی

هر ریشه صحیح یک معادله با ضرایب صحیح، مقسوم علیه جمله آزاد آن است.

اگر ضریب پیشرو معادله 1 باشد، همه ریشه های عقلانیمعادلات، اگر وجود داشته باشند، عدد صحیح هستند.

تلفیق مطالب مورد مطالعه.

برای تجمیع مطالب جدید، از دانش آموزان دعوت می شود تا اعداد کتاب درسی 2.41 و 2.42 را تکمیل کنند (ص 65).

(2 دانش آموز در تخته حل می کنند و بقیه با تصمیم گیری، تکالیف را در دفترچه با پاسخ های روی تخته بررسی می کنند).

خلاصه کردن.

با درک ساختار و اصل عملکرد طرح هورنر، می توان از آن در دروس علوم کامپیوتر نیز استفاده کرد، زمانی که موضوع تبدیل اعداد صحیح از سیستم اعداد اعشاری به سیستم باینری و بالعکس در نظر گرفته شود. مبنای انتقال از یک سیستم عددی به سیستم دیگر قضیه کلی زیر است

قضیه.برای تبدیل یک عدد کامل Apاز جانب پ-سیستم اعداد آری به سیستم اعداد پایه دلازم است Apبه ترتیب با باقی مانده را بر عدد تقسیم کنید د، در همان نوشته شده است پسیستم -ary تا زمانی که ضریب حاصل برابر با صفر شود. باقی مانده از تقسیم خواهد بود د- ارقام عددی آگهی، از جوانترین رده تا ارشدترین. تمام اقدامات باید در انجام شود پ-سیستم اعداد آری برای یک فرد، این قانون فقط زمانی مناسب است پ= 10، یعنی هنگام ترجمه از جانبسیستم اعشاری در مورد رایانه، برعکس، انجام محاسبات در سیستم باینری برای آن "راحت تر" است. بنابراین برای تبدیل "2 به 10" از تقسیم ترتیبی بر ده در سیستم باینری استفاده می شود و "10 به 2" جمع توان های ده است. برای بهینه‌سازی محاسبات رویه «10 در 2»، رایانه از طرح محاسباتی اقتصادی هورنر استفاده می‌کند.

مشق شب. پیشنهاد می شود دو کار را تکمیل کنید.

1. با استفاده از طرح هورنر، چند جمله ای f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 را بر دو جمله ای (x-3) تقسیم کنید.

2. ریشه های عدد صحیح چند جمله ای f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 را بیابید.

ادبیات.

1. کوروش آ.گ. "دوره جبر عالی."
2. نیکولسکی اس. ام.، پوتاپوف م.ک. و دیگران درجه 10 "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.