معادلات لگاریتمی با مدول، نمونه هایی از راه حل ها. معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده

معادلات لگاریتمی از ساده به پیچیده.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادله لگاریتمی چیست؟

این یک معادله با لگاریتم است. تعجب کردم، درست است؟) سپس توضیح خواهم داد. این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها پیدا می شود داخل لگاریتم هاو فقط آنجا! مهم است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است معادلات لگاریتمی :

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg (x+1)

خوب فهمیدی... )

توجه داشته باشید! متنوع ترین عبارات با X قرار دارند منحصراً در لگاریتماگر به طور ناگهانی یک X در جایی از معادله ظاهر شود خارج از، مثلا:

گزارش 2 x = 3 + x،

این یک معادله خواهد بود نوع مختلط. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. به هر حال، معادلاتی در داخل لگاریتم وجود دارد فقط اعداد. مثلا:

چه می توانم بگویم؟ شما خوش شانس هستید اگر با این روبرو شوید! لگاریتم با اعداد است تعدادی عددهمین. برای حل چنین معادله ای، دانستن خواص لگاریتم ها کافی است. دانش قوانین خاص، تکنیک هایی که به طور خاص برای حل اقتباس شده اند معادلات لگاریتمی،اینجا لازم نیست

بنابراین، معادله لگاریتمی چیست- ما متوجه شدیم

چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

راه حل معادلات لگاریتمی- موضوع در واقع خیلی ساده نیست. بنابراین بخش ما چهار ... دانش کافی در مورد انواع موضوعات مرتبط مورد نیاز است. علاوه بر این، ویژگی خاصی در این معادلات وجود دارد. و این ویژگی آنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی نامید. در درس بعدی به طور مفصل به این مشکل خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، نگران نباشید. راه درست را خواهیم رفت از ساده به پیچیدهبر نمونه های خاص. نکته اصلی این است که به چیزهای ساده بپردازید و برای دنبال کردن پیوندها تنبل نباشید، من آنها را به دلیلی در آنجا قرار دادم ... و همه چیز برای شما درست خواهد شد. لزوما.

بیایید با ابتدایی ترین و ساده ترین معادلات شروع کنیم. برای حل آنها، توصیه می شود ایده ای از لگاریتم داشته باشید، اما نه بیشتر. فقط هیچ ایده ای نیست لگاریتم،تصمیم بگیرند لگاریتمیمعادلات - به نوعی حتی ناجور... خیلی جسورانه، من می گویم).

ساده ترین معادلات لگاریتمی

اینها معادلات شکل هستند:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

فرآیند حل هر معادله لگاریتمیعبارت است از انتقال از یک معادله با لگاریتم به یک معادله بدون آنها. در ساده ترین معادلات این انتقال در یک مرحله انجام می شود. به همین دلیل آنها ساده ترین هستند.)

و حل چنین معادلات لگاریتمی به طرز شگفت انگیزی آسان است. خودت ببین.

بیایید مثال اول را حل کنیم:

log 3 x = log 3 9

برای حل این مثال، شما تقریباً نیازی به دانستن چیزی ندارید، بله... کاملاً شهود!) به چه چیزی نیاز داریم بخصوصاین مثال را دوست ندارید؟ چی-چی... لگاریتم رو دوست ندارم! درست. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. ما به دقت به مثال نگاه می کنیم و یک میل طبیعی در ما ایجاد می شود ... کاملاً غیر قابل مقاومت! لگاریتم ها را بردارید و به طور کلی دور بریزید. و آنچه خوب است این است می توانانجام دادن! ریاضیات اجازه می دهد. لگاریتم ها ناپدید می شوندپاسخ این است:

عالیه، درسته؟ این را می توان (و باید) همیشه انجام داد. حذف لگاریتم ها به این روش یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل می گویند تقویتالبته، قوانینی برای چنین انحلال وجود دارد، اما آنها کم هستند. یاد آوردن:

شما می توانید لگاریتم ها را بدون هیچ ترسی حذف کنید اگر دارای موارد زیر باشند:

الف) پایه های عددی یکسان

ج) لگاریتم ها از چپ به راست خالص هستند (بدون هیچ ضرایبی) و در انزوای عالی قرار دارند.

نکته آخر را روشن کنم. در معادله، بیایید بگوییم

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

لگاریتم ها قابل حذف نیستند. دو طرف سمت راست این اجازه را نمی دهند. ضریب می دانید ... در مثال

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

همچنین تقویت معادله غیرممکن است. هیچ لگاریتمی تنها در سمت چپ وجود ندارد. دو تا از آنها موجود است.

به طور خلاصه، اگر معادله شبیه به این باشد و فقط به این شکل باشد، می توانید لگاریتم ها را حذف کنید:

log a (.....) = log a (.....)

در پرانتز، جایی که بیضی وجود دارد، ممکن است وجود داشته باشد هر عباراتیساده، فوق العاده پیچیده، همه نوع. هر چه. نکته مهم این است که پس از حذف لگاریتم ها باقی می ماند معادله ساده ترالبته فرض بر این است که شما قبلاً می دانید چگونه معادلات خطی، درجه دوم، کسری، نمایی و غیره را بدون لگاریتم حل کنید.)

حالا به راحتی می توانید مثال دوم را حل کنید:

log 7 (2x-3) = log 7 x

در واقع، در ذهن تصمیم گرفته شده است. ما تقویت می کنیم، دریافت می کنیم:

خوب، خیلی سخت است؟) همانطور که می بینید، لگاریتمیبخشی از حل معادله است فقط در حذف لگاریتم ...و سپس جواب معادله باقی مانده بدون آنها می آید. یک موضوع بی اهمیت

بیایید مثال سوم را حل کنیم:

log 7 (50x-1) = 2

می بینیم که یک لگاریتم در سمت چپ وجود دارد:

به یاد داشته باشیم که این لگاریتم عددی است که برای بدست آوردن یک عبارت زیر لگاریتمی، پایه باید به آن افزایش یابد (یعنی هفت). (50x-1).

اما این عدد دو است! با توجه به معادله به این معنا که:

اساساً همین است. لگاریتم ناپدید شد،چیزی که باقی می ماند یک معادله بی ضرر است:

ما این معادله لگاریتمی را فقط بر اساس معنی لگاریتم حل کردیم. آیا حذف لگاریتم ها هنوز آسان تر است؟) موافقم. به هر حال، اگر از دو لگاریتم بسازید، می توانید این مثال را از طریق حذف حل کنید. هر عددی را می توان به لگاریتم تبدیل کرد. علاوه بر این، روشی که ما به آن نیاز داریم. یک تکنیک بسیار مفید در حل معادلات لگاریتمی و (به خصوص!) نابرابری ها.

نمیدانید چگونه از یک عدد لگاریتم بسازید!؟ خوبه. بخش 555 این تکنیک را به تفصیل شرح می دهد. می توانید به آن مسلط شوید و از آن نهایت استفاده را ببرید! تعداد خطاها را تا حد زیادی کاهش می دهد.

معادله چهارم به روشی کاملاً مشابه حل شده است (طبق تعریف):

خودشه.

بیایید این درس را خلاصه کنیم. ما حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را با استفاده از مثال بررسی کردیم. این خیلی مهمه. و نه تنها به این دلیل که چنین معادلاتی در آزمون ها و امتحانات ظاهر می شود. واقعیت این است که بدترین و پیچیده ترین معادلات نیز لزوماً به ساده ترین آنها تقلیل می یابد!

در واقع ساده ترین معادلات بخش پایانی راه حل هستند هرمعادلات و این قسمت پایانی را باید به شدت درک کرد! و بیشتر. این صفحه را حتما تا آخر بخوانید. اونجا یه سورپرایز هست...)

حالا خودمون تصمیم میگیریم به اصطلاح بهتر شویم...)

ریشه (یا مجموع ریشه ها، در صورت وجود چند) معادلات را بیابید:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

پاسخ ها (البته به هم ریخته): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2 16.

چه، همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. نگران نباش! بخش 555 راه حل همه این مثال ها را به طور واضح و دقیق توضیح می دهد. شما قطعا آن را در آنجا کشف خواهید کرد. همچنین تکنیک های کاربردی مفیدی را یاد خواهید گرفت.

همه چیز درست شد!؟ همه نمونه های "یکی مانده"؟) تبریک می گویم!

وقت آن رسیده که حقیقت تلخ را برای شما فاش کنیم. حل موفقیت آمیز این مثال ها موفقیت در حل تمام معادلات لگاریتمی دیگر را تضمین نمی کند. حتی ساده ترین ها مثل این ها. افسوس.

واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی (حتی ابتدایی ترین!) شامل دو قسمت مساویحل معادله و کار با ODZ. ما بر یک بخش مسلط شدیم - حل خود معادله. آنقدرها هم سخت نیستدرست؟

برای این درس، من به طور خاص نمونه هایی را انتخاب کردم که در آنها DL به هیچ وجه روی پاسخ تأثیر نمی گذارد. اما همه به اندازه من مهربان نیستند، درست است؟...)

بنابراین تسلط بر قسمت دیگر ضروری است. ODZ. این مشکل اصلی در حل معادلات لگاریتمی است. و نه به این دلیل که دشوار است - این قسمت حتی ساده تر از قسمت اول است. اما چون مردم به سادگی ODZ را فراموش می کنند. یا نمی دانند. یا هر دو). و از آب در می آیند...

در درس بعدی به این مشکل خواهیم پرداخت. سپس می توانید با اطمینان تصمیم بگیرید هرمعادلات لگاریتمی ساده و نزدیک به وظایف کاملا محکم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

خواص اصلی.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.

3.

4. جایی که .

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها نمی توان یک مشکل جدی را حل کرد. مسئله لگاریتمی. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. توجه داشته باشید: لحظه کلیدیاینجا - زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول ها به شما کمک می کند محاسبه کنید بیان لگاریتمیحتی زمانی که تک تک اجزای آن شمارش نشده باشد (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان متوجه آن شد آخرین قانوندو مورد اول را دنبال می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در معمولی یافت می شوند عبارات عددی. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان شامل یک باشد - لگاریتم برابر با صفر! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

معرفی

لگاریتم ها برای سرعت بخشیدن و ساده کردن محاسبات اختراع شدند. ایده لگاریتم، یعنی ایده بیان اعداد به عنوان توان های یک پایه، متعلق به میخائیل استیفل است. اما در زمان استیفل، ریاضیات چندان توسعه نیافته بود و ایده لگاریتم توسعه نیافته بود. لگاریتم ها بعدها به طور همزمان و مستقل از یکدیگر توسط دانشمند اسکاتلندی جان ناپیر (1550-1617) و سوئیسی جابست بورگی (1552-1632) اختراع شدند.ناپیر اولین کسی بود که این اثر را در سال 1614 منتشر کرد. با عنوان "توضیحات" میز شگفت انگیزلگاریتم‌ها، نظریه لگاریتم‌های ناپیر در حجم نسبتاً کاملی ارائه شد، روش محاسبه لگاریتم به عنوان ساده‌ترین روش ارائه شد، بنابراین شایستگی‌های ناپیر در اختراع لگاریتم‌ها بیشتر از بورگی بود. بورگی همزمان با ناپیر روی میزها کار می کرد اما برای مدت طولانیآنها را مخفی نگه داشت و فقط در سال 1620 منتشر کرد. ناپیر در حدود سال 1594 بر ایده لگاریتم تسلط یافت. اگرچه این جداول 20 سال بعد منتشر شد. او ابتدا لگاریتم های خود را "اعداد مصنوعی" نامید و تنها پس از آن پیشنهاد کرد که این "اعداد مصنوعی" را در یک کلمه "لگاریتم" نامیده شود، که از یونانی به معنای "اعداد همبسته" است، یکی از یک پیشرفت حسابی و دیگری از یک پیشروی حسابی گرفته شده است. پیشرفت هندسی که مخصوصاً برای آن انتخاب شده است. اولین جداول به زبان روسی در سال 1703 منتشر شد. با مشارکت معلم فوق العاده قرن هجدهم. L. F. Magnitsky. در توسعه نظریه لگاریتم پراهمیتآثار آکادمیک سن پترزبورگ، لئونارد اویلر را داشت. او اولین کسی بود که لگاریتم ها را معکوس افزایش به توان در نظر گرفت؛ او اصطلاحات «پایه لگاریتم» و «مانتیسا» را معرفی کرد. بریگز جداول لگاریتم ها را با پایه 10 گردآوری کرد. جداول اعشاری برای استفاده عملی راحت تر هستند، نظریه آنها این است. ساده تر از لگاریتم های ناپیر. از همین رو لگاریتم های اعشاریگاهی اوقات بریگ نامیده می شود. اصطلاح «شخصیت‌پردازی» توسط بریگز معرفی شد.

در آن زمان های دور، زمانی که حکما برای اولین بار شروع به فکر کردن در مورد برابری های حاوی مقادیر ناشناخته کردند، احتمالاً هیچ سکه یا کیف پولی وجود نداشت. اما انبوهی و همچنین گلدان ها و سبدهایی وجود داشت که برای نقش انبارهای ذخیره سازی که می توانست تعداد نامعلومی از اقلام را در خود جای دهد عالی بود. در مسائل ریاضی باستانی بین النهرین، هند، چین، یونان، مقادیر ناشناخته تعداد طاووس در باغ، تعداد گاوهای نر در گله و مجموع چیزهایی که هنگام تقسیم دارایی در نظر گرفته می شد را بیان می کرد. دبیران، مقامات و افراد مبتدی که در علم حسابداری به خوبی آموزش دیده اند دانش مخفیکشیش ها با چنین وظایفی کاملاً موفق عمل کردند.

منابعی که به دست ما رسیده است نشان می دهد که دانشمندان باستانی صاحب برخی بوده اند تکنیک های عمومیحل مسائل با مقادیر نامعلوم با این حال، حتی یک پاپیروس یا لوح گلی حاوی شرحی از این تکنیک ها نیست. نویسندگان فقط گاهی اوقات محاسبات عددی خود را با نظرات کوتاهی مانند: "ببین!"، "این کار را انجام بده!"، "شما مناسب را پیدا کردید." از این نظر، استثنا "حساب" ریاضیدان یونانی دیوفانتوس اسکندریه (قرن III) است - مجموعه ای از مسائل برای ترکیب معادلات با ارائه سیستماتیک راه حل های آنها.

با این حال، اولین کتابچه راهنمای حل مسائل که به طور گسترده شناخته شد، کار دانشمند بغدادی قرن نهم بود. محمد بن موسی خوارزمی. کلمه «الجبر» از نام عربی این رساله - «کتاب الجابر والمکابله» («کتاب اعاده و مخالفت») - به مرور زمان به کلمه معروف «جبر» تبدیل شد و ال کار خوارزمی خود نقطه آغازی در توسعه علم حل معادلات بود.

معادلات لگاریتمی و نامساوی

1. معادلات لگاریتمی

معادله ای که در زیر علامت لگاریتمی یا در پایه آن یک مجهول وجود دارد، معادله لگاریتمی نامیده می شود.

ساده ترین معادله لگاریتمی معادله ای از فرم است

ورود به سیستم آ ایکس = ب . (1)

بیانیه 1. اگر آ > 0, آ≠ 1، معادله (1) برای هر واقعی براه حل منحصر به فردی دارد ایکس = a ب .

مثال 1. معادلات را حل کنید:

الف) لاگ 2 ایکس= 3، ب) لاگ 3 ایکس= -1، ج)

راه حل. با استفاده از بیانیه 1، الف) ایکس= 2 3 یا ایکس= 8; ب) ایکس= 3 -1 یا ایکس= 1/3; ج)

یا ایکس = 1.

اجازه دهید ویژگی های اصلی لگاریتم را ارائه دهیم.

P1. هویت لگاریتمی پایه:

جایی که آ > 0, آ≠ 1 و ب > 0.

P2. لگاریتم حاصل ضرب عوامل مثبت برابر با مجموعلگاریتم این عوامل:

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ ن 1 + ورود آ ن 2 (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر ن 1 · ن 2 > 0، سپس ویژگی P2 شکل می گیرد

ورود به سیستم آ ن 1 · ن 2 = ورود به سیستم آ |ن 1 | + ثبت نام آ |ن 2 | (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 · ن 2 > 0).

P3. لگاریتم ضریب دو عدد مثبت برابر است با اختلاف لگاریتم تقسیم کننده و مقسوم علیه

(آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

اظهار نظر. اگر

، (که معادل است ن 1 ن 2 > 0) سپس ویژگی P3 شکل می گیرد (آ > 0, آ ≠ 1, ن 1 ن 2 > 0).

P4. لگاریتم توان یک عدد مثبت برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم این عدد:

ورود به سیستم آ ن ک = کورود به سیستم آ ن (آ > 0, آ ≠ 1, ن > 0).

اظهار نظر. اگر ک - عدد زوج (ک = 2س) آن

ورود به سیستم آ ن 2س = 2سورود به سیستم آ |ن | (آ > 0, آ ≠ 1, ن ≠ 0).

P5. فرمول انتقال به پایگاه دیگر:

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1, ن > 0),

به ویژه اگر ن = ب، ما گرفتیم

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1). (2)

با استفاده از خواص P4 و P5 به راحتی می توان خواص زیر را به دست آورد

(آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (3) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (4) (آ > 0, آ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (5)

و اگر در (5) ج- عدد زوج ( ج = 2n) رخ می دهد

(ب > 0, آ ≠ 0, |آ | ≠ 1). (6)

ما خواص اصلی را لیست می کنیم تابع لگاریتمی f (ایکس) = ورود آ ایکس :

1. دامنه تعریف تابع لگاریتمی مجموعه اعداد مثبت است.

2. محدوده مقادیر تابع لگاریتمی مجموعه اعداد واقعی است.

3. وقتی آ> 1 تابع لگاریتمی به شدت در حال افزایش است (0< ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 < logآ ایکس 2) و در 0< آ < 1, - строго убывает (0 < ایکس 1 < ایکس 2log آ ایکس 1 > ورود آ ایکس 2).

4.log آ 1 = 0 و وارد شوید آ آ = 1 (آ > 0, آ ≠ 1).

5. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی زمانی که منفی است ایکس(0;1) و مثبت در ایکس(1;+∞)، و اگر 0 باشد< آ < 1, то логарифмическая функция положительна при ایکس (0;1) و منفی در ایکس (1;+∞).

6. اگر آ> 1، سپس تابع لگاریتمی به سمت بالا محدب است و اگر آ(0;1) - محدب رو به پایین.

عبارات زیر (به عنوان مثال، را ببینید) هنگام حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.

حل معادلات لگاریتمی قسمت 1.

معادله لگاریتمیمعادله ای است که در آن مجهول در زیر علامت لگاریتم (به ویژه در پایه لگاریتم) قرار می گیرد.

ساده ترین معادله لگاریتمیدارای فرم:

حل هر معادله لگاریتمیشامل انتقال از لگاریتم به عبارات تحت علامت لگاریتم است. با این حال، این اقدام دامنه را گسترش می دهد ارزش های قابل قبولمعادله است و می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود. برای جلوگیری از ظهور ریشه های خارجی، می توانید یکی از سه روش زیر را انجام دهید:

1. یک انتقال معادل انجام دهیداز معادله اصلی به یک سیستم شامل

بسته به اینکه کدام نابرابری یا ساده تر.

اگر معادله دارای یک مجهول در پایه لگاریتم باشد:

سپس به سیستم می رویم:

2. به طور جداگانه محدوده مقادیر قابل قبول معادله را پیدا کنید، سپس معادله را حل کنید و بررسی کنید که آیا راه حل های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر.

3. معادله را حل کنید و سپس بررسی:جواب های پیدا شده را جایگزین معادله اصلی کنید و بررسی کنید که آیا برابری صحیح را بدست آورده ایم یا خیر.

یک معادله لگاریتمی با هر سطح از پیچیدگی همیشه در نهایت به ساده ترین معادله لگاریتمی کاهش می یابد.

تمام معادلات لگاریتمی را می توان به چهار نوع تقسیم کرد:

1 . معادلاتی که دارای لگاریتم فقط به توان اول هستند. با کمک دگرگونی ها و استفاده به فرم می رسند

مثال. بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید عبارات زیر علامت لگاریتم را برابر کنیم:

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه معادله ما برآورده می شود:

بله راضی کننده است.

پاسخ: x=5

2 . معادلاتی که حاوی لگاریتم به توان هایی غیر از 1 (به ویژه در مخرج کسری) هستند. چنین معادلاتی را می توان با استفاده از معرفی تغییر متغیر.

مثال.بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم:

معادله شامل لگاریتم های مربع است، بنابراین می توان آن را با استفاده از تغییر متغیر حل کرد.

مهم! قبل از معرفی جایگزین، باید لگاریتم‌هایی را که بخشی از معادله هستند، با استفاده از ویژگی‌های لگاریتم به «آجر» تقسیم کنید.

هنگام جدا کردن لگاریتم ها، استفاده از خواص لگاریتم ها با دقت بسیار مهم است:

علاوه بر این، یک نکته ظریف دیگر در اینجا وجود دارد و برای جلوگیری از یک اشتباه رایج، از یک برابری متوسط ​​استفاده می کنیم: درجه لگاریتم را به این شکل می نویسیم:

به همین ترتیب،

بیایید عبارات به دست آمده را با معادله اصلی جایگزین کنیم. ما گرفتیم:

اکنون می بینیم که مجهول در معادله به عنوان بخشی از . بیایید جایگزین را معرفی کنیم: . از آنجایی که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد، هیچ محدودیتی برای متغیر اعمال نمی کنیم.

در این درس حقایق نظری اساسی در مورد لگاریتم ها را مرور می کنیم و حل ساده ترین معادلات لگاریتمی را در نظر می گیریم.

بیایید تعریف مرکزی را به یاد بیاوریم - تعریف لگاریتم. مربوط به تصمیم است معادله نمایی. این معادله دارای یک ریشه است که به آن لگاریتم b به پایه a می گویند:

تعریف:

لگاریتم b به پایه a، توانی است که برای بدست آوردن b باید پایه a را به آن افزایش داد.

به شما یادآوری کنیم هویت لگاریتمی پایه.

عبارت (عبارت 1) ریشه معادله (عبارت 2) است. مقدار x را از عبارت 1 به جای x در عبارت 2 جایگزین کنید و هویت لگاریتمی اصلی را بدست آورید:

بنابراین می بینیم که هر مقدار با یک مقدار مرتبط است. b را با x()، c را با y نشان می دهیم و بنابراین یک تابع لگاریتمی بدست می آوریم:

مثلا:

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را به یاد بیاوریم.

اجازه دهید یک بار دیگر در اینجا توجه کنیم، زیرا در زیر لگاریتم می تواند یک عبارت کاملاً مثبت به عنوان پایه لگاریتم وجود داشته باشد.

برنج. 1. نمودار یک تابع لگاریتمی با پایه های مختلف

نمودار تابع at به رنگ مشکی نشان داده شده است. برنج. 1. اگر آرگومان از صفر به بی نهایت افزایش یابد، تابع از منهای به اضافه بی نهایت افزایش می یابد.

نمودار تابع at با رنگ قرمز نشان داده شده است. برنج. 1.

ویژگی های این تابع:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع در کل دامنه تعریف خود یکنواخت است. هنگامی که به طور یکنواخت (به شدت) افزایش می یابد، ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار بزرگتر تابع است. هنگامی که به صورت یکنواخت (به شدت) کاهش می یابد، مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

خواص تابع لگاریتمی کلید حل انواع معادلات لگاریتمی است.

بیایید ساده ترین معادله لگاریتمی را در نظر بگیریم؛ تمام معادلات لگاریتمی دیگر، به عنوان یک قاعده، به این شکل کاهش می یابد.

از آنجایی که پایه لگاریتم ها و خود لگاریتم ها با هم برابر هستند، توابع زیر لگاریتم نیز برابر هستند، اما نباید دامنه تعریف را از دست داد. لگاریتم فقط می تواند بایستد عدد مثبت، ما داریم:

ما متوجه شدیم که توابع f و g برابر هستند، بنابراین کافی است هر نابرابری را برای مطابقت با ODZ انتخاب کنیم.

بنابراین، ما یک سیستم مختلط داریم که در آن یک معادله و یک نابرابری وجود دارد:

به عنوان یک قاعده، نیازی به حل یک نابرابری نیست، کافی است معادله را حل کنید و ریشه های یافت شده را جایگزین نامساوی کنید، بنابراین بررسی انجام می شود.

اجازه دهید روشی برای حل ساده ترین معادلات لگاریتمی فرموله کنیم:

مساوی کردن پایه های لگاریتم؛

معادل سازی توابع زیر لگاریتمی؛

بررسی را انجام دهید.

بیایید به نمونه های خاص نگاه کنیم.

مثال 1 - معادله را حل کنید:

مبانی لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، اولین لگاریتم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

مثال 2 - معادله را حل کنید:

این معادله از نظر پایه لگاریتم با معادله قبلی متفاوت است کمتر از یک، اما این به هیچ وجه بر راه حل تأثیر نمی گذارد:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

ما یک نابرابری نادرست دریافت کردیم، به این معنی که ریشه یافت شده ODZ را برآورده نمی کند.

مثال 3 - معادله را حل کنید:

مبانی لگاریتم ها در ابتدا برابر هستند، ما حق داریم عبارات زیر لگاریتمی را معادل سازی کنیم، ODZ را فراموش نکنید، لگاریتم دوم را برای ایجاد نابرابری انتخاب می کنیم:

بیایید ریشه را پیدا کنیم و آن را با نامساوی جایگزین کنیم:

بدیهی است که تنها ریشه اول ODZ را برآورده می کند.