حل یک معادله درجه دوم کلی. چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. فاکتورگیری یک بیان

"، یعنی معادلات درجه اول. در این درس به بررسی خواهیم پرداخت چیزی که معادله درجه دوم نامیده می شودو نحوه حل آن

معادله درجه دوم چیست؟

مهم!

درجه یک معادله با بالاترین درجه ای که مجهول در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر توانی که مجهول در آن "2" باشد، یک معادله درجه دوم دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

مهم! شکل کلی یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

A x 2 + b x + c = 0

"الف"، "ب" و "ج" اعداد داده می شوند.

• "a" اولین یا بالاترین ضریب است.
• "ب" ضریب دوم است.
• "c" یک عضو رایگان است.

برای یافتن "a"، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c = 0" مقایسه کنید.

بیایید تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x 2 − 14x + 17 = 0 7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

بر خلاف معادلات خطیبرای راه حل ها معادلات درجه دومخاص استفاده می شود فرمول یافتن ریشه.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• استفاده از فرمول برای ریشه:

بیایید به مثالی از نحوه استفاده از فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم نگاه کنیم. بیایید یک معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 − 3x − 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی اضافی ندارد. برای حل آن، فقط باید اعمال کنیم فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید ضرایب "a"، "b" و "c" را برای این معادله تعیین کنیم.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

می توان از آن برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

در فرمول "x 1;2 =" عبارت رادیکال اغلب جایگزین می شود
"b 2 − 4ac" برای حرف "D" و تفکیک نامیده می شود. مفهوم تمایز با جزئیات بیشتری در درس "ممیز چیست" مورد بحث قرار گرفته است.

بیایید مثال دیگری از یک معادله درجه دوم را بررسی کنیم.

x 2 + 9 + x = 7x

در این شکل، تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" بسیار دشوار است. اجازه دهید ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش دهیم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6 x + 9 = 0

حالا می توانید از فرمول برای ریشه ها استفاده کنید.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
پاسخ: x = 3

مواقعی وجود دارد که معادلات درجه دوم ریشه ندارند. این وضعیت زمانی رخ می دهد که فرمول دارای یک عدد منفی در زیر ریشه باشد.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 یا x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

پس از یادگیری حل معادلات درجه یک، البته، شما می خواهید با دیگران کار کنید، به ویژه با معادلات درجه دوم که در غیر این صورت به آنها درجه دوم می گویند.

معادلات درجه دوم معادلاتی هستند مانند ax² + bx + c = 0 که در آن متغیر x است، اعداد a، b، c هستند که a برابر با صفر نیست.

اگر در یک معادله درجه دوم یکی یا آن ضریب (c یا b) برابر با صفر باشد، این معادله به عنوان یک معادله درجه دوم ناقص طبقه بندی می شود.

در صورتی که دانش آموزان تا کنون فقط قادر به حل معادلات درجه یک بوده اند چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟ معادلات درجه دوم ناقص را در نظر بگیرید انواع متفاوتو راه های ساده برای حل آنها

الف) اگر ضریب c برابر 0 باشد و ضریب b نخواهد بود برابر با صفر، سپس ax ² + bx + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² + bx = 0 کاهش می یابد.

برای حل چنین معادله ای باید فرمول حل یک معادله درجه دوم ناقص را بدانید که عبارت است از فاکتورگیری سمت چپ آن و بعداً از شرط مساوی بودن حاصل ضرب.

به عنوان مثال، 5x² - 20x = 0. ما سمت چپ معادله را فاکتور می کنیم، در حالی که عملیات ریاضی معمول را انجام می دهیم: خارج کردن ضریب مشترک از براکت ها

5x (x - 4) = 0

از شرطی استفاده می کنیم که محصولات برابر با صفر باشند.

5 x = 0 یا x - 4 = 0

پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 0 است. ریشه دوم 4 است.

ب) اگر b = 0، و جمله آزاد برابر با صفر نباشد، معادله ax ² + 0x + c = 0 به معادله ای به شکل ax ² + c = 0 کاهش می یابد. معادلات به دو روش حل می شوند. : الف) با فاکتورگیری چند جمله ای معادله سمت چپ . ب) استفاده از خواص جذر حسابی. چنین معادله ای را می توان با استفاده از یکی از روش ها حل کرد، به عنوان مثال:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 5/2 است. ریشه دوم برابر است با - 5/2.

ج) اگر b برابر 0 و c برابر با 0 باشد، ax ² + 0 + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² = 0 تقلیل می یابد. در چنین معادله ای x برابر با 0 خواهد بود.

همانطور که می بینید، معادلات درجه دوم ناقص نمی توانند بیش از دو ریشه داشته باشند.

مدرسه متوسطه روستایی Kopyevskaya

10 روش برای حل معادلات درجه دوم

رئیس: پاتریکیوا گالینا آناتولیونا،

معلم ریاضی

روستای Kopevo، 2007

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد

1.3 معادلات درجه دوم در هند

1.4 معادلات درجه دوم توسط الخوارزمی

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا قرن XIII - XVII

1.6 درباره قضیه ویتا

2. روش های حل معادلات درجه دوم

نتیجه

ادبیات

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در دوران باستان، ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت زمین ها و انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی بوده است. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات. معادلات درجه دوم را می توان در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کرد. ه. بابلی ها

با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها علاوه بر متن های ناقص، معادلات درجه دوم کامل وجود دارد:

ایکس 2 + ایکس = ¾; ایکس 2 - ایکس = 14,5

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها.

با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های عمومیحل معادلات درجه دوم

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد.

حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل یک سری مسائل سیستماتیک است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 11."دو عدد را بیابید، با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است."

دیوفانتوس چنین استدلال می کند: از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز مساوی نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصلضرب آنها برابر با 96 نمی شد، بلکه برابر 100 بود. بنابراین، یکی از آنها بیشتر از نیمی از مجموع آنها، یعنی . 10 + x، دیگری کمتر است، یعنی. دهه 10. تفاوت بین آنها 2 برابر .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

از اینجا x = 2. یکی از اعداد مورد نیاز برابر است با 12 ، دیگر 8 . راه حل x = -2زیرا دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی فقط اعداد مثبت می دانستند.

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنیم، به جواب معادله خواهیم رسید.

y (20 - y) = 96،

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

واضح است که دیوفانتوس با انتخاب نیم تفاضل اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول، راه حل را ساده می کند. او موفق می شود مسئله را به حل یک معادله درجه دوم ناقص تقلیل دهد (1).

1.3 معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم را قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم) به طور خلاصه بیان کرد قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

آه 2 + ب x = c، a > 0. (1)

در رابطه (1)، ضرایب، به جز آ، همچنین می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

که در هند باستانمسابقات عمومی در حل مسائل دشوار رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همانطور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها می‌درخشد، یک مرد دانش‌آموز نیز در مجامع عمومی و طرح و حل مسائل جبری، از شکوه دیگری پیشی می‌گیرد.» مسائل غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

مسئله 13.

گله ای از میمون های دمدمی مزاج و دوازده میمون در کنار تاک ها...

مسئولین پس از خوردن غذا، خوش گذشت. شروع کردند به پریدن، آویزان شدن...

آنها در میدان، قسمت هشتم هستند، چند میمون آنجا بودند؟

در پاکسازی داشتم تفریح ​​می کردم. به من بگو، در این بسته؟

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که او می دانست که ریشه های معادلات درجه دوم دو مقدار هستند (شکل 3).

معادله مربوط به مسئله 13 به صورت زیر است:

( ایکس /8) 2 + 12 = ایکس

باسکارا در پوشش می نویسد:

x 2 - 64x = -768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به یک مربع، به هر دو طرف اضافه می کند 32 2 ، سپس دریافت:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x - 32 = 16 ±،

x 1 = 16، x 2 = 48.

1.4 معادلات درجه دوم در خوارزمی

در رساله جبری خوارزمی طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم آورده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند"، یعنی. تبر 2 = ج.

3) "ریشه ها مساوی عدد هستند" یعنی. ah = s.

4) «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

5) «مربع و ریشه مساوی اعداد هستند» یعنی. آه 2 + bx = s.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی. bx + c = تبر 2 .

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المقابله ارائه می کند. البته تصمیمات او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً هنگام حل یک معادله درجه دوم ناقص نوع اول

الخوارزمی، مانند همه ریاضیدانان قبل از قرن هفدهم، راه حل صفر را در نظر نمی گیرد، احتمالاً به این دلیل که در مسائل عملی خاص مهم نیست. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قوانین حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی تعیین می کند.

مسئله 14.«مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کن" (به معنای ریشه معادله x 2 + 21 = 10x).

راه حل نویسنده چیزی شبیه به این است: تعداد ریشه ها را به نصف تقسیم کنید، 5 بدست می آورید، 5 را در خودش ضرب کنید، 21 را از حاصلضرب کم کنید، آنچه باقی می ماند 4 است. ریشه را از 4 بگیرید، 2 را دریافت می کنید. ، شما 3 دریافت می کنید، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا 2 به 5 اضافه کنید که 7 می شود، این هم ریشه است.

رساله خوارزمی اولین کتابی است که به دست ما رسیده است که به طور سیستماتیک طبقه بندی معادلات درجه دوم را بیان می کند و برای حل آنها فرمول هایی ارائه می دهد.

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا سیزدهم - XVII bb

فرمول های حل معادلات درجه دوم در امتداد خطوط خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، ارائه شد. این اثر حجیم که نشان دهنده تأثیر ریاضیات، هم کشورهای اسلامی و هم یونان باستان، هم از نظر کامل بودن و هم وضوح ارائه متمایز می شود. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از کتاب چرتکه تقریباً در تمام کتابهای درسی اروپایی قرن 16 - 17 استفاده شد. و تا حدودی هجدهم.

قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

x 2 + bx = ج،

برای همه ترکیبات ممکن از علائم ضریب ب , باتنها در سال 1544 توسط M. Stiefel در اروپا فرموله شد.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلی از جمله اولین ریاضیدانان در قرن شانزدهم بودند. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. به لطف کار ژیرار، دکارت، نیوتن و دیگر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرنی به خود می گیرد.

1.6 درباره قضیه ویتا

قضیه بیان کننده رابطه بین ضرایب یک معادله درجه دوم و ریشه های آن به نام ویتا برای اولین بار توسط وی در سال 1591 به صورت زیر فرموله شد: «اگر ب + D، ضربدر آ - آ 2 ، برابر است BD، آن آبرابر است که درو برابر D ».

برای درک ویتا، باید آن را به خاطر بسپاریم آ، مانند هر حرف مصوت به معنای ناشناخته (ما ایکس)، مصوت ها که در، D- ضرایب برای مجهول. در زبان جبر مدرن، فرمول Vieta فوق به معنای: اگر وجود دارد

(a + ب )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + ب )x + a ب = 0,

x 1 = a، x 2 = ب .

ویته با بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های کلی که با استفاده از نمادها نوشته شده اند، یکنواختی را در روش های حل معادلات ایجاد کرد. با این حال، نمادگرایی ویت هنوز دور است ظاهر مدرن. او اعداد منفی را تشخیص نمی داد و بنابراین هنگام حل معادلات فقط مواردی را در نظر می گرفت که همه ریشه ها مثبت بودند.

2. روش های حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم شالوده ای هستند که بنای با شکوه جبر بر آن استوار است. معادلات درجه دوم به طور گسترده ای در حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، غیر منطقی و ماورایی استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم را از مدرسه (کلاس هشتم) تا فارغ التحصیلی حل کنیم.

معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملاً ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. بدون ریشه؛
2. دقیقاً یک ریشه داشته باشد.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و معادلات خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود.سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 − 4ac است.

این فرمول را باید از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری معتقدند. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر به آن دست پیدا کنید، پس از مدتی نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات فاقد یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تفکیک ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته یک مورد بسیار دشوار زمانی امکان پذیر است که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند. = 0.

بیایید موارد باقی مانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از حسابی ریشه دومفقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط برای (−c/a) ≥ 0 معنا دارد. نتیجه‌گیری:

1. اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، نیازی به تفکیک کننده نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر آنجا عدد مثبت- دو ریشه وجود خواهد داشت. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال بیایید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم:

وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا یک مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. تمایز به شما امکان می دهد هر معادله درجه دوم را با استفاده از آن حل کنید فرمول کلی، که به شکل زیر است:

فرمول تفکیک به درجه چند جمله ای بستگی دارد. فرمول فوق برای حل معادلات درجه دوم به شکل زیر مناسب است:

تمایز دارای ویژگی های زیر است که باید بدانید:

* زمانی که چند جمله ای چندین ریشه داشته باشد "D" 0 است ( ریشه های مساوی);

* "D" یک چند جمله ای متقارن با توجه به ریشه های چند جمله ای است و بنابراین در ضرایب آن چند جمله ای است. علاوه بر این، ضرایب این چند جمله ای بدون توجه به پسوندی که ریشه ها در آن گرفته شده اند، اعداد صحیح هستند.

فرض کنید یک معادله درجه دوم به شکل زیر به ما داده می شود:

1 معادله

طبق فرمولی که داریم:

از آنجایی که \، معادله 2 ریشه دارد. بیایید آنها را تعریف کنیم:

کجا می توانم یک معادله را با استفاده از حل کننده آنلاین متمایز حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https://site حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می‌توانید دستورالعمل‌های ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب‌سایت ما بیاموزید و اگر سؤالی دارید، می‌توانید آن‌ها را در گروه VKontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.