تعیین سینوس کسینوس مماس زاویه راست حاد. ادغام مواد جدید. فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

ابتدا دایره ای با شعاع 1 و مرکز آن (0;0) در نظر بگیرید. برای هر αЄR می توان شعاع 0A را طوری رسم کرد که اندازه شعاعی زاویه بین 0A و محور 0x برابر با α باشد. جهت خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته می شود. بگذارید انتهای شعاع A دارای مختصات (a,b) باشد.

تعریف سینوس

تعریف : عدد b برابر با مختصات شعاع واحد ساخته شده به شکل توصیف شده با sinα نشان داده می شود و سینوس زاویه α نامیده می شود.

مثال: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

تعریف کسینوس

تعریف: عدد a برابر با آبسیسا انتهای شعاع واحد ساخته شده به روش توصیف شده با cosα نشان داده می شود و کسینوس زاویه α نامیده می شود.

مثال: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

این مثالها از تعریف سینوس و کسینوس یک زاویه بر حسب مختصات انتهای شعاع واحد و دایره واحد. برای نمایش بصری تر، باید یک دایره واحد رسم کنید و نقاط مربوطه را روی آن رسم کنید و سپس ابسیساهای آنها را برای محاسبه کسینوس و مختصات برای محاسبه سینوس بشمارید.

تعریف مماس

تعریف: تابع tgx=sinx/cosx برای x≠π/2+πk، kЄZ، کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه توابع tgxاینها همه اعداد واقعی هستند، به جز x=π/2+πn، nЄZ.

مثال: tg0 tgπ = 0 0 = 0

این مثال مشابه نمونه قبلی است. برای محاسبه مماس یک زاویه، باید مختصات یک نقطه را بر آبسیس آن تقسیم کنید.

تعریف کوتانژانت

تعریف: تابع ctgx=cosx/sinx برای x≠πk، kЄZ کوتانژانت زاویه x نامیده می شود. دامنه تعریف تابع ctgx = همه اعداد حقیقی به جز نقاط x=πk، kЄZ است.

بیایید به مثالی با استفاده از مثلث قائم الزاویه منظم نگاه کنیم

برای اینکه مشخص شود کسینوس، سینوس، مماس و کوتانژانت چیست. بیایید به مثالی با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه با زاویه y و نگاه کنیم اضلاع a,b,c. هیپوتنوز c، پاهای a و b به ترتیب. زاویه بین هیپوتانوس c و پایه b y.

تعریف:سینوس زاویه y نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس است: siny = a/c

تعریف:کسینوس زاویه y نسبت پای مجاور به هیپوتونوس است: cozy = v/c

تعریف:مماس زاویه y نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است: tgy = a/b

تعریف:کوتانژانت زاویه y نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: ctgy= in/a

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت توابع مثلثاتی نیز نامیده می شوند. هر زاویه سینوس و کسینوس خاص خود را دارد. و تقریباً هرکسی مماس و کتانژانت خاص خود را دارد.

اعتقاد بر این است که اگر یک زاویه به ما داده شود، سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت آن برای ما شناخته شده است! و بالعکس. با توجه به یک سینوس یا هر تابع مثلثاتی دیگر، به ترتیب، زاویه را می دانیم. حتی جداول خاصی ایجاد شده است که توابع مثلثاتی برای هر زاویه نوشته شده است.

سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت یک زاویه به شما کمک می کند تا مثلث قائم الزاویه را درک کنید.

طرفین چه نامیده می شوند؟ راست گوشه? درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این ضلع \(AC\) است). پاها دو طرف باقی مانده \(AB\) و \(BC\) (آنهایی که مجاور هستند زاویه راستو اگر پاها را نسبت به زاویه \(BC\) در نظر بگیریم، ساق \(AB\) ساق مجاور است و ساق \(BC\) برعکس است. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.

در مثلث ما:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به خاطر داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با مشاهده عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس زاویه \(\beta\) را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث \(ABC\): \(\cos \بتا =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)، اما می توانیم کسینوس زاویه \(\beta \) را از مثلث \(AHI \) محاسبه کنیم: \(\cos \بتا =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلث \(ABC \) که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم \(\sin \\alpha,\ \cos \\alpha,\ tg\ \alpha,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(آرایه) \)

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه \(\beta \) محاسبه کنید.

پاسخ ها: \(\sin \ \بتا =0.6;\ \cos \ \بتا =0.8;\ tg\ \بتا =0.75;\ ctg\ \بتا =\dfrac(4)(3) \).

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان، دایره ای با شعاع برابر با \(1\) در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در سیستم مختصات دکارتی ساخته شده است. شعاع دایره برابر با یک، در حالی که مرکز دایره در مبدا قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) ثابت است (در مثال ما، این شعاع \(AB\) است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات در امتداد محور \(x\) و مختصات در امتداد محور \(y\). این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلث \(ACG\) را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است زیرا \(CG\) بر محور \(x\) عمود است.

\(\cos \\alpha \) از مثلث \(ACG \) چیست؟ درست است \(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC) \). علاوه بر این، می دانیم که \(AC\) شعاع دایره واحد است که به معنای \(AC=1\) است. بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

\(\cos \\alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

\(\sin \\alpha \) از مثلث \(ACG \) برابر است با چیست؟ خوب البته، \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! مقدار شعاع \(AC\) را در این فرمول جایگزین کنید و دریافت کنید:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

بنابراین، آیا می توانید بگویید نقطه \(C\) متعلق به دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که \(\cos \\alpha \) و \(\sin \alpha \) فقط اعداد هستند چه؟ \(\cos \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ خوب، البته، مختصات \(x\)! و \(\sin \alpha \) با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، \(y\) را هماهنگ کنید! بنابراین نکته \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

پس \(tg \alpha \) و \(ctg \alpha \) با چه چیزی برابرند؟ درست است، بیایید از تعاریف مربوط به مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و آن را بدست آوریم \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \)، آ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : زاویه (در مجاورت زاویه \(\بتا \)). مقدار سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چقدر است \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ زاویه ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\زاویه ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(آرایه) \)

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات \(y\) مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات \(x\) ; و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور \(x\) است. تاکنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که کل چرخش بردار شعاع اطراف دایره \(360()^\circ \) یا \(2\pi \) است. آیا می توان بردار شعاع را با \(390()^\circ \) یا با \(-1140()^\circ \) چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! در حالت اول، \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)بنابراین، بردار شعاع یک دور کامل ایجاد می کند و در موقعیت \(30()^\circ \) یا \(\dfrac(\pi )(6) \) متوقف می شود.

در مورد دوم، \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می کند و در موقعیت \(-60()^\circ \) یا \(-\dfrac(\pi )(3) \) متوقف می شود.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با \(360()^\circ \cdot m\) یا \(2\pi \cdot m\) متفاوت هستند (که \(m\) هر عدد صحیحی است) با همان موقعیت بردار شعاع مطابقت دارد.

شکل زیر زاویه \(\beta =-60()^\circ \) را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه است \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)و غیره. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی نوشت \(\beta +360()^\circ \cdot m\)یا \(\beta +2\pi \cdot m\) (که در آن \(m\) هر عدد صحیح است)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(آرایه) \)

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی اساسی و با استفاده از دایره واحد سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(آرایه) \)

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\پایان(آرایه)\)

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: گوشه در \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)مربوط به نقطه ای با مختصات \(\left(0;1 \right) \) است، بنابراین:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- وجود ندارد؛

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

در ادامه، با رعایت همین منطق، متوجه می شویم که گوشه ها در \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )با نقاط دارای مختصات مطابقت دارد \(\left(-1;0 \right),\text()\left(0;-1 \right),\text()\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \راست) \)، به ترتیب. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\arrow \text(ctg)\ \pi \)- وجود ندارد

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\nightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\nightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- وجود ندارد

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\arrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- وجود ندارد

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(باید به خاطر بسپارید یا بتوانید آن را نمایش دهید!! \) !}

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6)،\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)در جدول زیر، باید به خاطر داشته باشید:

نترسید، اکنون یک نمونه از حفظ نسبتاً ساده مقادیر مربوطه را به شما نشان خواهیم داد:

برای استفاده از این روش، به خاطر سپردن مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه حیاتی است. \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) و همچنین مقدار مماس زاویه در \(30()^\circ \) . با دانستن این مقادیر \(4\) ، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند ، یعنی:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\پایان(آرایه)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)، با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). عدد "\(1 \)" با \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) و مخرج "\(\sqrt(\text(3)) \)" مطابقت دارد \(\text (tg)\ 60()^\circ \\) . مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است فقط مقادیر \(4\) را از جدول به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی یک دایره

آیا با دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلیبرای یافتن مختصات یک نقطه برای مثال، یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما این نکته داده شده است \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- مرکز دایره شعاع دایره \(1.5\) است. لازم است مختصات نقطه \(P\) را که با چرخش نقطه \(O\) به میزان \(\delta \) درجه بدست می آید پیدا کنید.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات \(x\) نقطه \(P\) با طول قطعه \(TP=UQ=UK+KQ\) مطابقت دارد. طول قطعه \(UK\) مطابق با مختصات \(x\) مرکز دایره است، یعنی برابر است با \(3\). طول قطعه \(KQ\) را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

سپس برای نقطه \(P\) مختصات داریم \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =3+1.5\cdot \cos \\delta \).

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه \(P\) پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(آرایه) \)، جایی که

\(((x)_(0))، ((y)_(0)) \) - مختصات مرکز دایره،

\(r\) - شعاع دایره،

\(\delta \) - زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحد مورد نظر ما، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(آرایه) \)

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

درس با موضوع "سینوس، کسینوس و مماس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه"

اهداف درس:

آموزشی - مفهوم سینوس، کسینوس، مماس زاویه حاد در یک مثلث قائم الزاویه را معرفی کنید، وابستگی ها و روابط بین این مقادیر را بررسی کنید.

در حال توسعه - شکل گیری مفهوم سینوس، کسینوس، مماس به عنوان توابع یک زاویه، حوزه تعریف توابع مثلثاتی، توسعه تفکر منطقی، توسعه گفتار صحیح ریاضی.

آموزشی - توسعه مهارت های کار مستقل، فرهنگ رفتار، دقت در ثبت سوابق.

پیشرفت درس:

1. زمان سازماندهی

«آموزش تعداد دروسی نیست که گرفته می شود، بلکه تعداد درسی است که فهمیده می شود. بنابراین، اگر می‌خواهید جلو بروید، آهسته عجله کنید و مراقب باشید.»

2. انگیزه درس.

حکیمی گفت: بالاترین تجلی روح، ذهن است. بالاترین تجلی عقل هندسه است. سلول هندسی یک مثلث است. به اندازه کائنات تمام نشدنی است. دایره روح هندسه است. دایره را بشناسید و نه تنها روح هندسه را خواهید شناخت، بلکه روح خود را نیز تعالی خواهید بخشید.»

ما سعی می کنیم با شما کمی تحقیق کنیم. بیایید ایده های خود را که به ذهنتان می رسد به اشتراک بگذارید و از اشتباه کردن نترسید، هر فکری می تواند به ما مسیر جدیدی برای جستجو بدهد. دستاوردهای ما ممکن است برای کسی عالی به نظر نرسند، اما آنها دستاوردهای خود ما خواهند بود!

3. به روز رسانی دانش پایه.

چه زوایایی می تواند وجود داشته باشد؟

مثلث ها چیست؟

عناصر اصلی که یک مثلث را تعریف می کنند کدامند؟

بسته به اضلاع چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟

بسته به زوایای آن چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟

پا چیست؟

هیپوتانوز چیست؟

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟

چه رابطه هایی بین اضلاع و زوایای این مثلث می شناسید؟

چرا باید روابط بین اضلاع و زوایا را بدانید؟

چه مشکلاتی در زندگی می تواند منجر به نیاز به محاسبه اضلاع مجهول در مثلث شود؟

اصطلاح "hypotenuse" از کلمه یونانی "hyponeinouse" به معنای "کشش روی چیزی"، "انقباض" گرفته شده است. این کلمه از تصویر چنگ‌های یونان باستان سرچشمه می‌گیرد که روی آن‌ها سیم‌ها در انتهای دو پایه عمود بر هم کشیده شده‌اند. اصطلاح "کاتتوس" از کلمه یونانی "kathetos" گرفته شده است که به معنای آغاز یک "شققچه"، "عمود بر" است.

اقلیدس گفت: "پاها اضلاعی هستند که زاویه قائمه را محصور می کنند."

که در یونان باستانروشی برای ساختن مثلث قائم الزاویه روی زمین قبلاً شناخته شده بود. برای این کار از طنابی استفاده می کردند که 13 گره روی آن بسته می شد، به همان فاصله از یکدیگر. در زمان ساخت اهرام در مصر، مثلث های قائم الزاویه به این صورت ساخته شد. احتمالاً به همین دلیل است که مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3،4،5 را مثلث مصری می نامند.

4. مطالعه مطالب جدید.

در زمان‌های قدیم، مردم ستاره‌ها را تماشا می‌کردند و بر اساس این مشاهدات، تقویم، تاریخ کاشت و زمان طغیان رودخانه‌ها را محاسبه می‌کردند. کشتی ها در دریا و کاروان ها در خشکی سفر خود را با ستاره ها طی می کردند. همه اینها منجر به نیاز به یادگیری نحوه محاسبه اضلاع در یک مثلث شد که دو رأس آن روی زمین است و سومی با نقطه ای در آسمان پرستاره نشان داده می شود. بر اساس این نیاز، علم مثلثات به وجود آمد - علمی که به بررسی اتصالات بین اضلاع یک مثلث می پردازد.

آیا فکر می کنید روابطی که از قبل می شناسیم برای حل چنین مشکلاتی کافی است؟

هدف از درس امروز کشف ارتباطات و وابستگی های جدید، استخراج روابط است که با استفاده از آنها در درس های هندسه بعدی قادر به حل چنین مسائلی خواهید بود.

بیایید خود را در نقش دانشمندان احساس کنیم و با پیروی از نابغه های باستانی تالس، اقلیدس، فیثاغورث، مسیر جستجوی حقیقت را طی کنیم.

برای این ما به یک مبنای نظری نیاز داریم.

زاویه A و پای BC را با رنگ قرمز برجسته کنید.

برجسته سبز AC پا

بیایید محاسبه کنیم که ضلع مقابل یک زاویه تند A نسبت به هیپوتانوز آن کدام قسمت است؛ برای انجام این کار، نسبت ضلع مقابل به هیپوتانوس را می‌سازیم:

این رابطه یک نام خاص دارد - به طوری که هر فردی در هر نقطه از کره زمین آن را درک می کند ما در مورددر مورد عددی که نشان دهنده نسبت طرف مقابل یک زاویه حاد به هیپوتنوز است. این کلمه سینوس است. آن را بنویسید. از آنجایی که کلمه سینوس بدون نام زاویه معنی خود را از دست می دهد، نماد ریاضی به شرح زیر است:

اکنون نسبت پای مجاور به هیپوتنوز را برای زاویه حاد A بنویسید:

این نسبت کسینوس نامیده می شود. نماد ریاضی آن:

بیایید نسبت دیگری را برای یک زاویه حاد A در نظر بگیریم: نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور:

این نسبت مماس نامیده می شود. نماد ریاضی آن:

5. تلفیق مواد جدید.

بیایید اکتشافات میانی خود را تثبیت کنیم.

سینوس است...

کسینوس است ...

مماس است ...

گناه A =	گناه در باره =	گناه A 1 =
cos A =	cos در باره =	cos A 1 =
قهوهای مایل به زرد A =	tg در باره =	قهوهای مایل به زرد A 1 =

حل شفاهی شماره 88، 889، 892 (دو نفره کار کنید).

استفاده از دانش به دست آمده برای حل یک مشکل عملی:

از برج فانوس دریایی به ارتفاع 70 متر، یک کشتی با زاویه 3 درجه نسبت به افق قابل مشاهده است. چه جوریه

فاصله از فانوس دریایی تا کشتی؟

مشکل از جلو حل می شود. در حین بحث، نقاشی و یادداشت های لازم را روی تخته و در دفترچه ها انجام می دهیم.

هنگام حل مشکل از جداول Bradis استفاده می شود.

راه حل مسئله را در نظر بگیرید ص 175.

حل شماره 902 (1).

6. ورزش برای چشم.

بدون اینکه سر خود را بچرخانید، به اطراف دیوار کلاس درس در اطراف محیط در جهت عقربه‌های ساعت، تخته سیاه در اطراف محیط در خلاف جهت عقربه‌های ساعت، مثلث تصویر شده روی پایه در جهت عقربه‌های ساعت و مثلث مساوی در خلاف جهت عقربه‌های ساعت نگاه کنید. سر خود را به سمت چپ بچرخانید و به خط افق و اکنون به نوک بینی خود نگاه کنید. چشمانت را ببند، تا 5 بشمار، چشمانت را باز کن و...

کف دستمان را روی چشمانمان می گذاریم،
بیایید پاهای قوی خود را باز کنیم.
چرخش به سمت راست
بیایید با شکوه به اطراف نگاه کنیم.
و شما نیز باید به سمت چپ بروید
از زیر کف دستت نگاه کن
و - به سمت راست! و بیشتر
بالای شانه چپت!
حالا بیایید کار را ادامه دهیم.

7. کار مستقلدانش آموزان.

حل کنید نه

8. خلاصه درس. انعکاس. D/z.

چه چیزهای جدیدی یاد گرفته اید؟ در درس:

آیا در نظر گرفته ای...

تحلیل کردی...

دریافت کردی…

نتیجه گرفتی...

شما دایره لغات خود را با عبارات زیر گسترش داده اید...

علم جهان با هندسه آغاز شد. اگر انسان در مدرسه هندسه نخوانده باشد، نمی تواند واقعاً از نظر فرهنگی و معنوی رشد کند. هندسه نه تنها از نیازهای عملی، بلکه از نیازهای روحی انسان برخاسته است.

او عشق خود به هندسه را اینگونه بیان کرد

من عاشق هندسه هستم...

هندسه درس می دهم چون دوستش دارم

ما به هندسه نیاز داریم، بدون آن نمی توانیم به جایی برسیم.

سینوس، کسینوس، محیط - همه چیز در اینجا مهم است،

اینجا همه چیز مورد نیاز است

شما فقط باید همه چیز را خیلی واضح یاد بگیرید و درک کنید،

تکالیف و تست ها را به موقع انجام دهید.

کسینوس یک تابع مثلثاتی شناخته شده است که یکی از توابع اصلی مثلثات نیز می باشد. کسینوس یک زاویه در یک مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور مثلث به هیپوتنوز مثلث است. اغلب، تعریف کسینوس با یک مثلث از نوع مستطیلی همراه است. اما همچنین اتفاق می افتد که زاویه ای که برای آن محاسبه کسینوس در یک مثلث مستطیلی لازم است در این مثلث مستطیلی واقع نشده باشد. آن وقت چه باید کرد؟ چگونه کسینوس زاویه یک مثلث را پیدا کنیم؟

اگر نیاز به محاسبه کسینوس یک زاویه در یک مثلث مستطیلی دارید، همه چیز بسیار ساده است. فقط باید تعریف کسینوس را به خاطر بسپارید که حاوی راه حل این مشکل است. شما فقط باید همان رابطه را بین آنها پیدا کنید پای مجاورو همچنین هیپوتنوز مثلث. در واقع، بیان کسینوس زاویه در اینجا دشوار نیست. فرمول به شرح زیر است: - cosα = a/c، در اینجا "a" طول ساق است و سمت "c" به ترتیب طول هیپوتانوس است. برای مثال، کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه را می توان با استفاده از این فرمول پیدا کرد.

اگر علاقه مند هستید که کسینوس یک زاویه در یک مثلث دلخواه با چه چیزی برابر است، قضیه کسینوس به کمک می آید که در چنین مواردی ارزش استفاده از آن را دارد. قضیه کسینوس بیان می کند که مربع ضلع مثلث پیشینی است برابر با مجموعمربع اضلاع باقیمانده از یک مثلث، اما بدون اینکه حاصل ضرب این ضلع ها توسط کسینوس زاویه ای که بین آنها قرار دارد، دو برابر شود.

1. اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس یک زاویه حاد در یک مثلث دارید، باید از فرمول زیر استفاده کنید: cosα = (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. اگر نیاز به پیدا کردن کسینوس یک زاویه منفرد در یک مثلث دارید، باید از فرمول زیر استفاده کنید: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). نامگذاری در فرمول - a و b - طول اضلاع است که در مجاورت زاویه مورد نظر قرار دارند، c - طول ضلعی است که مخالف زاویه مورد نظر است.

کسینوس یک زاویه را می توان با استفاده از قضیه سینوس نیز محاسبه کرد. بیان می کند که تمام ضلع های یک مثلث با سینوس های زوایایی که در مقابل یکدیگر قرار دارند، متناسب هستند. با استفاده از قضیه سینوس ها، می توانید عناصر باقیمانده یک مثلث را محاسبه کنید و فقط اطلاعاتی در مورد دو ضلع و زاویه ای که مخالف یک ضلع یا از دو زاویه و یک ضلع است، داشته باشید. این را با یک مثال در نظر بگیرید. شرایط مشکل: a=1; b=2; c=3. زاویه ای که مقابل ضلع A است با α نشان داده می شود، سپس طبق فرمول ها داریم: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(22+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. پاسخ 1.

اگر کسینوس یک زاویه باید نه در یک مثلث، بلکه در برخی موارد دلخواه دیگر محاسبه شود شکل هندسی، سپس همه چیز کمی پیچیده تر می شود. بزرگی زاویه ابتدا باید بر حسب رادیان یا درجه تعیین شود و تنها پس از آن کسینوس باید از این مقدار محاسبه شود. کسینوس با مقدار عددی با استفاده از جداول Bradis، ماشین حساب های مهندسی یا برنامه های خاص ریاضی تعیین می شود.

کاربردهای ریاضی خاص ممکن است عملکردهایی مانند محاسبه خودکار کسینوس زاویه ها در یک شکل خاص داشته باشند. زیبایی چنین برنامه هایی در این است که پاسخ صحیح می دهند و کاربر وقت خود را برای حل مشکلات گاه بسیار پیچیده تلف نمی کند. از سوی دیگر، با استفاده مداوم منحصراً از برنامه های کاربردی برای حل مسائل، تمام مهارت های کار با حل مسائل ریاضی در یافتن کسینوس زاویه ها در مثلث ها و همچنین سایر اشکال دلخواه از بین می رود.

نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز نامیده می شود سینوس با زاویه حادراست گوشه.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

کسینوس زاویه تند مثلث قائم الزاویه

نسبت پای مجاور به هیپوتنوز نامیده می شود کسینوس با زاویه حادراست گوشه.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه

نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور نامیده می شود مماس زاویه حادراست گوشه.

tg \alpha = \frac(a)(b)

کتانژانت زاویه حاد مثلث قائم الزاویه

نسبت پای مجاور به طرف مقابلتماس گرفت کنتانژانت زاویه حادراست گوشه.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

سینوس زاویه دلخواه

ترتیب نقطه ای از دایره واحدی که زاویه آلفا با آن مطابقت دارد نامیده می شود سینوس زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

\sin \alpha=y

کسینوس یک زاویه دلخواه

ابسیسا نقطه روی واحد دایره ای که زاویه آلفا با آن مطابقت دارد نامیده می شود کسینوس یک زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

\cos \alpha=x

مماس یک زاویه دلخواه

نسبت سینوس یک زاویه چرخش دلخواه \آلفا به کسینوس آن نامیده می شود مماس یک زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

کوتانژانت زاویه دلخواه

نسبت کسینوس یک زاویه چرخش دلخواه \آلفا به سینوس آن نامیده می شود همتابان با زاویه دلخواهچرخش \آلفا .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

نمونه ای از یافتن زاویه دلخواه

اگر \alpha یک زاویه AOM باشد، جایی که M نقطه ای از دایره واحد است، پس

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

به عنوان مثال، اگر \ زاویه AOM = -\frac(\pi) (4)، پس از آن: ترتیب نقطه M برابر است با -\frac(\sqrt(2))(2)، آبسیسا برابر است با \frac(\sqrt(2))(2)و به همین دلیل

\sin \چپ (-\frac(\pi)(4) \راست)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \ چپ (-\frac(\pi)(4) \راست)=-1.

جدول مقادیر سینوس کسینوس مماس کوتانژانت

مقادیر زوایای اصلی اغلب در جدول آورده شده است:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\راست)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\راست)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\راست)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\راست)	180^(\circ)\left(\pi\راست)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\راست)	360^(\circ)\left(2\pi\راست)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—