چگونه معادلات odz را پیدا کنیم. محدوده مقادیر قابل قبول یک راه حل است. دامنه توابع مثلثاتی

چگونه؟
نمونه هایی از راه حل ها

اگر چیزی در جایی گم شده است، به این معنی است که چیزی در جایی وجود دارد

ما به مطالعه بخش "توابع و نمودارها" ادامه می دهیم و ایستگاه بعدی سفر ما است. بحث فعال این مفهومدر مقاله درباره مجموعه ها شروع شد و در درس اول درباره نمودارهای تابع، جایی که من به توابع ابتدایی و به ویژه حوزه های تعریف آنها نگاه کردم. بنابراین، من توصیه می کنم که آدمک ها با اصول مبحث شروع کنند، زیرا دیگر به برخی نکات اساسی نمی پردازم.

فرض بر این است که خواننده دامنه تعریف توابع زیر را می داند: خطی، درجه دوم، تابع مکعب، چند جمله ای، نمایی، سینوس، کسینوس. آنها بر روی تعریف شده اند (مجموعه تمام اعداد واقعی). برای مماس ها، آرکسین ها، همینطور باشد، من شما را می بخشم =) - نمودارهای نادرتر بلافاصله به خاطر نمی آیند.

به نظر می رسد دامنه تعریف چیز ساده ای است و یک سؤال منطقی مطرح می شود: مقاله درباره چه چیزی خواهد بود؟ در این درس به مشکلات رایج در یافتن دامنه یک تابع نگاه خواهم کرد. علاوه بر این، ما تکرار می کنیم نابرابری با یک متغیر، مهارت حل آن در سایر کارها مورد نیاز خواهد بود ریاضیات بالاتر. به هر حال، مطالب تماماً مواد مدرسه است، بنابراین نه تنها برای دانش آموزان، بلکه برای دانش آموزان نیز مفید خواهد بود. اطلاعات، البته، تظاهر به دایره المعارفی بودن ندارند، اما در اینجا نمونه های "مرده" دور از ذهن نیست، بلکه شاه بلوط برشته شده است که از کارهای عملی واقعی گرفته شده است.

بیایید با یک فرو رفتن سریع در موضوع شروع کنیم. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی: ما در مورد تابعی از یک متغیر صحبت می کنیم. حوزه تعریف آن است معانی بسیاری از "x"، برای کدام وجود داشته باشدمعانی "بازیکنان". بیایید به یک مثال فرضی نگاه کنیم:

دامنه تعریف این تابع ترکیبی از فواصل است:
(برای کسانی که فراموش کرده اند: - نماد وحدت). به عبارت دیگر، اگر هر مقدار "x" را از بازه، یا از، یا از، بگیرید، برای هر یک از این "x" یک مقدار "y" وجود خواهد داشت.

به طور کلی، جایی که دامنه تعریف است، یک نمودار از تابع وجود دارد. اما نیم فاصله و نقطه "tse" در ناحیه تعریف گنجانده نشده است و هیچ نموداری در آنجا وجود ندارد.

چگونه دامنه یک تابع را پیدا کنیم؟ بسیاری از مردم قافیه کودکان را به یاد می آورند: "سنگ، کاغذ، قیچی" و در این مورد می توان آن را با خیال راحت ترجمه کرد: "ریشه، کسری و لگاریتم". بنابراین، اگر شما مسیر زندگیبا کسری، ریشه یا لگاریتم مواجه می شود، باید فوراً بسیار بسیار محتاط باشید! مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین بسیار کمتر رایج هستند و ما همچنین در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. اما ابتدا طرح هایی از زندگی مورچه ها:

دامنه تابعی که شامل کسری است

فرض کنید تابعی به ما داده می شود که شامل کسری است. همانطور که می دانید، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید: پس آن ها مقادیر "X" که مخرج را به صفر تبدیل می کند در محدوده این تابع گنجانده نشده است..

من در مورد ساده ترین توابع مانند و غیره، زیرا هر کس کاملاً نکاتی را می بیند که در محدوده تعریف آنها گنجانده نشده است. بیایید به کسرهای معنادارتر نگاه کنیم:

مثال 1

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: هیچ چیز خاصی در صورت وجود ندارد، اما مخرج باید غیر صفر باشد. بیایید آن را برابر با صفر قرار دهیم و سعی کنیم نقاط "بد" را پیدا کنیم:

معادله حاصل دو ریشه دارد: . مقادیر داده ها در محدوده عملکرد نیستند. در واقع، تابع یا را جایگزین کنید و خواهید دید که مخرج به صفر می رسد.

پاسخ: دامنه:

مدخل به این صورت است: «حوزه تعریف همه اعداد حقیقی است به استثنای مجموعه ای که از مقادیر تشکیل شده است. " اجازه دهید یادآوری کنم که علامت بک اسلش در ریاضیات نشان دهنده تفریق منطقی است و براکت های فرفری نشان دهنده مجموعه هستند. پاسخ را می توان به طور معادل به صورت اتحاد سه بازه نوشت:

هر کی دوست داره

در نقاط عملکرد را تحمل می کند استراحت های بی پایانو خطوط مستقیم، توسط معادلات داده شده است هستند مجانب عمودیبرای نمودار این تابع با این حال، این یک موضوع کمی متفاوت است، و من بیشتر به این موضوع توجه نمی کنم.

مثال 2

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این کار اساساً شفاهی است و بسیاری از شما تقریباً بلافاصله منطقه تعریف را پیدا خواهید کرد. پاسخ در پایان درس است.

آیا یک کسری همیشه "بد" خواهد بود؟ خیر به عنوان مثال، یک تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. مهم نیست که چه مقدار "x" را بگیریم، مخرج به صفر نمی رسد، علاوه بر این، همیشه مثبت خواهد بود: . بنابراین، دامنه این تابع عبارت است از: .

همه توابع مانند تعریف شده و مداومبر .

وقتی مخرج اشغال می شود، وضعیت کمی پیچیده تر می شود سه جمله ای درجه دوم:

مثال 3

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیایید سعی کنیم نقاطی را پیدا کنیم که مخرج در آنها به صفر می رسد. برای این ما تصمیم خواهیم گرفت معادله درجه دوم:

ممیز منفی بود، به این معنی که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، و تابع ما در کل محور اعداد تعریف شده است.

پاسخ: دامنه:

مثال 4

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل و پاسخ در پایان درس است. من به شما توصیه می کنم در مورد مشکلات ساده تنبل نباشید، زیرا با مثال های بعدی سوء تفاهم ها جمع می شود.

دامنه یک تابع با ریشه

تابع ریشه مربع فقط برای آن دسته از مقادیر "x" تعریف می شود که بیان رادیکال غیر منفی است: . اگر ریشه در مخرج قرار گیرد، آنگاه شرط واضح است: . محاسبات مشابه برای هر ریشه با درجه زوج مثبت معتبر است: ، با این حال، ریشه در حال حاضر از درجه 4 در است مطالعات عملکردیادم نمیاد

مثال 5

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد:

قبل از ادامه راه حل، اجازه دهید قوانین اساسی کار با نابرابری ها را که از مدرسه شناخته شده است، یادآوری کنم.

لطفا توجه داشته باشید توجه ویژه! اکنون نابرابری ها را در نظر می گیریم با یک متغیر- یعنی برای ما فقط وجود دارد یک بعدی در امتداد محور. لطفا اشتباه نگیرید نابرابری های دو متغیر، که در آن کل صفحه مختصات از نظر هندسی درگیر است. با این حال، اتفاقات خوشایندی نیز وجود دارد! بنابراین، برای نابرابری، تبدیل‌های زیر معادل هستند:

1) شرایط را می توان با تغییر (شرایط) آنها از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کرد. نشانه ها

2) هر دو طرف نابرابری را می توان در یک عدد مثبت ضرب کرد.

3) اگر دو طرف نامساوی ضرب شود منفیشماره، سپس شما باید تغییر دهید خود نشانه نابرابری. به عنوان مثال، اگر "بیشتر" بود، "کمتر" می شود. اگر «کمتر یا مساوی» بود، «بزرگتر یا مساوی» می‌شود.

در نابرابری، "سه" را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم (قانون شماره 1):

بیایید هر دو طرف نابرابری را در -1 ضرب کنیم (قانون شماره 3):

بیایید هر دو طرف نابرابری را در (قانون شماره 2) ضرب کنیم:

پاسخ: دامنه:

پاسخ را می توان در یک عبارت معادل نیز نوشت: "تابع در تعریف شده است."
از نظر هندسی، ناحیه تعریف با سایه زدن فواصل مربوطه در محور آبسیسا به تصویر کشیده می شود. در این مورد:

من یک بار دیگر به شما یادآوری می کنم معنی هندسیدامنه تعریف - نمودار یک تابع فقط در ناحیه سایه دار وجود دارد و در وجود ندارد.

در بیشتر موارد، یک تعیین کاملاً تحلیلی دامنه تعریف مناسب است، اما زمانی که تابع بسیار پیچیده است، باید یک محور ترسیم کنید و یادداشت برداری کنید.

مثال 6

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

هنگامی که یک دوجمله ای یا سه جمله ای مربعی در زیر ریشه مربع وجود دارد، وضعیت کمی پیچیده تر می شود و اکنون روش حل را با جزئیات تجزیه و تحلیل می کنیم:

مثال 7

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: عبارت رادیکال باید کاملاً مثبت باشد، یعنی باید نابرابری را حل کنیم. در مرحله اول سعی می کنیم سه جمله درجه دوم را فاکتور بگیریم:

تمایز مثبت است، ما به دنبال ریشه ها هستیم:

پس سهمی محور آبسیسا را ​​در دو نقطه قطع می کند، به این معنی که بخشی از سهمی در زیر محور (نابرابری) و بخشی از سهمی در بالای محور قرار دارد (نابرابری که ما نیاز داریم).

از آنجایی که ضریب برابر است، شاخه های سهمی به سمت بالا هستند. از موارد فوق چنین استنباط می شود که نابرابری در بازه ها برآورده می شود (شاخه های سهمی به سمت بالا تا بی نهایت می روند) و راس سهمی در بازه زیر محور x قرار دارد که با نابرابری مطابقت دارد:

! توجه داشته باشید: اگر توضیحات را کامل متوجه نشدید لطفا محور دوم و کل سهمی را بکشید! توصیه می شود به مقاله و کتابچه راهنمای کاربر بازگردید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه.

لطفاً توجه داشته باشید که خود امتیازها حذف می شوند (در راه حل گنجانده نمی شوند)، زیرا نابرابری ما شدید است.

پاسخ: دامنه:

به طور کلی، بسیاری از نابرابری ها (از جمله نابرابری در نظر گرفته شده) توسط جهانی حل می شوند روش فاصله، دوباره از برنامه درسی مدرسه شناخته شده است. اما در مورد دوجمله ای ها و سه جمله ای های مربعی، به نظر من، تحلیل موقعیت سهمی نسبت به محور بسیار راحت تر و سریعتر است. و روش اصلی - روش فاصله - را به طور مفصل در مقاله تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تابع صفرها فواصل ثابت.

مثال 8

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نظرات نمونه به تفصیل در مورد منطق استدلال + روش دوم حل و تبدیل مهم دیگر نابرابری که دانش آموز بدون آگاهی از آن می لنگد روی یک پا...، ...هوم... شاید هیجان زده شدم. در مورد پا، به احتمال زیاد روی یک انگشت. شست.

آیا می توان تابع جذر را روی کل خط اعداد تعریف کرد؟ قطعا. همه چهره های آشنا: . یا جمع مشابه با توان: . در واقع، برای هر مقدار "x" و "ka": ، بنابراین همچنین و .

در اینجا یک مثال کمتر واضح آورده شده است: . در اینجا تفکیک کننده منفی است (پارابولا محور x را قطع نمی کند)، در حالی که شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، بنابراین دامنه تعریف: .

سوال مقابل: آیا دامنه تعریف تابع می تواند باشد خالی? بله، و یک مثال ابتدایی بلافاصله خود را نشان می دهد ، که در آن عبارت رادیکال برای هر مقدار "x" منفی است، و دامنه تعریف: (نماد مجموعه خالی). چنین تابعی اصلاً تعریف نشده است (البته نمودار هم توهمی است).

با ریشه های عجیب و غریب و غیره. همه چیز خیلی بهتر است - اینجا بیان رادیکال می تواند منفی باشد. به عنوان مثال، یک تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. با این حال، تابع دارای یک نقطه واحد است که هنوز در دامنه تعریف گنجانده نشده است، زیرا مخرج آن صفر است. به همین دلیل برای عملکرد امتیاز حذف شده است.

دامنه یک تابع با لگاریتم

سومین تابع رایج لگاریتم است. به عنوان نمونه می کشم لگاریتم طبیعی، که تقریباً در 99 مثال از 100 مورد رخ می دهد. اگر یک تابع خاص حاوی یک لگاریتم باشد، دامنه تعریف آن باید فقط مقادیر "x" را شامل شود که نابرابری را برآورده می کند. اگر لگاریتم در مخرج باشد:، پس علاوه بر اینشرط تحمیل می شود (از ).

مثال 9

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: مطابق با موارد فوق، سیستم را تنظیم و حل می کنیم:

راه حل گرافیکیبرای Dummies:

پاسخ: دامنه:

من در مورد یک نکته فنی دیگر صحبت خواهم کرد - من مقیاس نشان داده نشده است و تقسیمات در امتداد محور مشخص نشده اند. این سوال مطرح می شود: چگونه می توان چنین نقاشی هایی را در یک دفترچه روی کاغذ شطرنجی انجام داد؟ آیا فاصله بین نقاط باید توسط سلول ها دقیقاً بر اساس مقیاس اندازه گیری شود؟ البته مقیاس بندی آن متعارف تر و سخت گیرانه تر است، اما ترسیم شماتیکی که اساساً وضعیت را منعکس می کند نیز کاملاً قابل قبول است.

مثال 10

دامنه یک تابع را پیدا کنید

برای حل مشکل، می توانید از روش پاراگراف قبلی استفاده کنید - تجزیه و تحلیل کنید که سهمی نسبت به محور x چگونه قرار دارد. پاسخ در پایان درس است.

همانطور که می بینید، در حوزه لگاریتم همه چیز بسیار شبیه به وضعیت ریشه های مربع است: تابع (مثلثی مربع از مثال شماره 7) بر روی بازه ها و تابع تعریف شده است. (دوجمله ای مربع از مثال شماره 6) در بازه . حتی اگر بگوییم توابع نوع در کل خط اعداد تعریف شده اند، ناخوشایند است.

اطلاعات مفید : تابع معمولی جالب است، در کل خط اعداد به جز نقطه تعریف شده است. با توجه به خاصیت لگاریتم، "دو" را می توان در خارج از لگاریتم ضرب کرد، اما برای اینکه تابع تغییر نکند، "x" باید زیر علامت مدول محصور شود: . اینم یکی دیگه برای شما" استفاده عملی» ماژول =). این همان کاری است که در بیشتر موارد هنگام تخریب باید انجام دهید زوجمدرک، به عنوان مثال: . اگر مثلاً پایه درجه مشخصاً مثبت باشد، دیگر نیازی به علامت مدول نیست و کافی است از پرانتز استفاده کنید: .

برای جلوگیری از تکرار، بیایید کار را پیچیده کنیم:

مثال 11

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این تابع هم ریشه داریم و هم لگاریتم.

عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد: و عبارت زیر علامت لگاریتم باید کاملاً مثبت باشد: . بنابراین، حل سیستم ضروری است:

بسیاری از شما به خوبی می دانید یا به طور شهودی حدس می زنید که راه حل سیستم باید راضی کننده باشد به هروضعیت.

با بررسی موقعیت سهمی نسبت به محور، به این نتیجه می رسیم که نابرابری با فاصله (سایه آبی) برآورده می شود:

نابرابری آشکارا با نیم فاصله "قرمز" مطابقت دارد.

از آنجایی که هر دو شرط باید رعایت شود همزمان، سپس راه حل سیستم تقاطع این فواصل است. "منافع مشترک" در نیمه وقت برآورده می شود.

پاسخ: دامنه:

نابرابری معمولی، همانطور که در مثال شماره 8 نشان داده شده است، حل تحلیلی دشوار نیست.

دامنه یافت شده برای "عملکردهای مشابه" تغییر نمی کند، به عنوان مثال. یا . همچنین می توانید برخی از توابع پیوسته را اضافه کنید، به عنوان مثال: یا مانند این: ، یا حتی مانند این: . همانطور که می گویند ریشه و لگاریتم چیزهای سرسختی هستند. تنها چیزی که وجود دارد این است که اگر یکی از توابع به مخرج "بازنشانی" شود، دامنه تعریف تغییر خواهد کرد (اگرچه در حالت کلی این همیشه درست نیست). خب در نظریه ماتان در مورد این لفظی ... اوه ... قضایایی وجود دارد.

مثال 12

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. استفاده از نقاشی کاملاً مناسب است، زیرا عملکرد ساده ترین نیست.

چند مثال دیگر برای تقویت مطالب:

مثال 13

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

همه اقدامات قبلاً در سراسر مقاله مورد بحث قرار گرفته است. بیایید فاصله مربوط به نابرابری روی خط اعداد را به تصویر بکشیم و طبق شرط دوم، دو نقطه را حذف کنیم:

معنی کاملاً بی ربط بود.

پاسخ: دامنه

یک جناس ریاضی کوچک در مورد نمونه سیزدهم:

مثال 14

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. اونایی که از دست دادن شانسشون نیست ;-)

بخش پایانی درس به عملکردهای کمیاب تر، اما همچنین "کار" اختصاص دارد:

مناطق تعریف تابع
با مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین

اگر تابعی شامل , از دامنه تعریف آن است مستثنی شده استنکته ها ، جایی که ز- مجموعه ای از اعداد صحیح به طور خاص، همانطور که در مقاله ذکر شد نمودارها و خواص توابع ابتدایی، عملکرد سوراخ شده است مقادیر زیر:

یعنی دامنه تعریف مماس: .

زیاد نکشیم:

مثال 15

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این صورت موارد زیر در محدوده تعریف لحاظ نخواهد شد:

بیایید "دو" سمت چپ را به مخرج سمت راست بیندازیم:

در نتیجه :

پاسخ: دامنه: .

در اصل، پاسخ را می توان به صورت اتحاد تعداد نامتناهی از بازه ها نوشت، اما ساخت بسیار دشوار خواهد بود:

راه حل تحلیلی کاملاً مطابقت دارد تبدیل هندسی نمودار: اگر آرگومان یک تابع در 2 ضرب شود، نمودار آن دو بار به محور کوچک می شود. توجه کنید که چگونه دوره تابع به نصف کاهش یافته است، و نقاط شکستفرکانس دو برابر شد تاکی کاردی.

داستان مشابهبا کوتانژانت اگر برخی از تابع ها شامل , آنگاه نقاط از دامنه تعریف آن حذف می شوند. به طور خاص، برای تابع انفجار خودکار مقادیر زیر را می گیریم:

به عبارت دیگر:

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

هر عبارت با یک متغیر، در جایی که وجود دارد، محدوده مقادیر معتبر خود را دارد. ODZ باید همیشه در هنگام تصمیم گیری در نظر گرفته شود. اگر وجود نداشته باشد، ممکن است نتیجه نادرستی دریافت کنید.

این مقاله نحوه صحیح یافتن ODZ و استفاده از مثال ها را نشان می دهد. اهمیت نشان دادن DZ هنگام تصمیم گیری نیز مورد بحث قرار خواهد گرفت.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مقادیر متغیر معتبر و نامعتبر

این تعریف مربوط به مقادیر مجاز متغیر است. وقتی تعریف را معرفی می کنیم، ببینیم به چه نتیجه ای می رسد.

با شروع از کلاس 7، ما شروع به کار با اعداد و عبارات عددی. تعاریف اولیه با متغیرها به سمت معنای عبارات با متغیرهای انتخاب شده می روند.

وقتی عباراتی با متغیرهای انتخاب شده وجود دارد، ممکن است برخی از آنها راضی نباشند. به عنوان مثال، عبارتی از شکل 1: a، اگر a = 0 باشد، معنی ندارد، زیرا تقسیم بر صفر غیرممکن است. یعنی عبارت باید دارای مقادیری باشد که در هر صورت مناسب باشد و جواب بدهد. به عبارت دیگر با متغیرهای موجود معنا پیدا می کنند.

تعریف 1

اگر عبارتی با متغیرها وجود داشته باشد، تنها در صورتی منطقی است که بتوان مقدار را با جایگزین کردن آنها محاسبه کرد.

تعریف 2

اگر عبارتی با متغیرها وجود داشته باشد، زمانی که در هنگام جایگزینی آنها، مقدار قابل محاسبه نباشد، معنی ندارد.

یعنی این دلالت بر یک تعریف کامل دارد

تعریف 3

متغیرهای قابل قبول موجود، مقادیری هستند که عبارت برای آنها منطقی است. و اگر منطقی نباشد، غیرقابل قبول تلقی می شوند.

برای روشن شدن مطلب فوق: اگر بیش از یک متغیر وجود داشته باشد، ممکن است یک جفت مقدار مناسب وجود داشته باشد.

مثال 1

به عنوان مثال، عبارتی از فرم 1 x - y + z را در نظر بگیرید که در آن سه متغیر وجود دارد. در غیر این صورت، می توانید آن را به صورت x = 0، y = 1، z = 2 بنویسید، در حالی که ورودی دیگری به شکل (0، 1، 2) است. این مقادیر معتبر نامیده می شوند، به این معنی که مقدار عبارت را می توان یافت. دریافت می کنیم که 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. از اینجا می بینیم که (1، 1، 2) غیر قابل قبول هستند. این تعویض منجر به تقسیم بر صفر می شود، یعنی 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ چیست؟

محدوده مقادیر قابل قبول – عنصر مهمهنگام ارزیابی عبارات جبری بنابراین، هنگام انجام محاسبات ارزش توجه به این امر را دارد.

تعریف 4

منطقه ODZمجموعه ای از مقادیر مجاز برای یک عبارت معین است.

بیایید به یک عبارت مثال نگاه کنیم.

مثال 2

اگر عبارتی از شکل 5 z - 3 داشته باشیم، ODZ شکل (-∞، 3) ∪ (3، + ∞) را دارد. این محدوده ای از مقادیر معتبر است که متغیر z را برای یک عبارت معین برآورده می کند.

اگر عباراتی از شکل z x - y وجود داشته باشد، واضح است که x ≠ y، z هر مقداری را می گیرد. این اصطلاحات ODZ نامیده می شود. باید در نظر گرفته شود تا هنگام جایگزینی تقسیم بر صفر حاصل نشود.

محدوده مقادیر مجاز و محدوده تعریف به یک معنا هستند. فقط دومی از آنها برای عبارات استفاده می شود و اولی برای معادلات یا نامساوی ها استفاده می شود. با کمک DL، بیان یا نابرابری معنا پیدا می کند. دامنه تعریف تابع با محدوده مقادیر مجاز متغیر x برای عبارت f (x) منطبق است.

چگونه ODZ را پیدا کنیم؟ مثال ها، راه حل ها

یافتن ODZ به معنای یافتن تمام مقادیر معتبر مناسب برای عملکرد داده شدهیا نابرابری عدم رعایت این شرایط ممکن است منجر به نتایج نادرست شود. برای یافتن ODZ، اغلب لازم است که در یک عبارت داده شده از طریق تبدیل ها عبور کنیم.

عباراتی وجود دارد که محاسبه آنها غیرممکن است:

• اگر تقسیم بر صفر وجود داشته باشد؛
• ریشه گرفتن یک عدد منفی؛
• وجود یک نشانگر عدد صحیح منفی - فقط برای اعداد مثبت.
• محاسبه لگاریتم یک عدد منفی؛
• دامنه تعریف مماس π 2 + π · k، k ∈ Z و کتانژانت π · k، k ∈ Z.
• یافتن مقدار آرکسین و آرکوزین یک عدد برای مقداری که به [-1 تعلق ندارد. 1 ] .

همه اینها نشان می دهد که داشتن ODZ چقدر مهم است.

مثال 3

عبارت ODZ x 3 + 2 x y − 4 را پیدا کنید .

راه حل

هر عددی را می توان مکعب کرد. این عبارت کسری ندارد، بنابراین مقادیر x و y می توانند هر کدام باشند. یعنی ODZ هر عددی است.

پاسخ: x و y - هر مقدار.

مثال 4

ODZ عبارت 1 3 - x + 1 0 را پیدا کنید.

راه حل

می توان دید که یک کسری وجود دارد که مخرج آن صفر است. این بدان معناست که برای هر مقدار x تقسیم بر صفر خواهیم داشت. یعنی می توان نتیجه گرفت که این عبارت تعریف نشده تلقی می شود، یعنی مسئولیت اضافی ندارد.

پاسخ: ∅ .

مثال 5

ODZ عبارت داده شده x + 2 · y + 3 - 5 · x را بیابید.

راه حل

وجود جذر به این معنی است که این عبارت باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. در ارزش منفیمعنی ندارد این بدان معنی است که لازم است یک نامعادله به شکل x + 2 · y + 3 ≥ 0 بنویسیم. یعنی این محدوده مورد نظر از مقادیر قابل قبول است.

پاسخ:مجموعه ای از x و y، که در آن x + 2 y + 3 ≥ 0.

مثال 6

بیان ODZ شکل 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، کسری داریم، پس مخرج آن نباید برابر با صفر باشد. دریافت می کنیم که x + 1 - 1 ≠ 0. عبارت رادیکال همیشه زمانی معنا دارد که بزرگتر یا مساوی صفر باشد، یعنی x + 1 ≥ 0. از آنجایی که لگاریتم دارد، بیان آن باید کاملاً مثبت باشد، یعنی x 2 + 3 > 0. پایه لگاریتم نیز باید مقدار مثبت و متفاوت از 1 داشته باشد، سپس شرایط x + 8 > 0 و x + 8 ≠ 1 را اضافه می کنیم. بدین ترتیب ODZ مورد نظر به شکل زیر خواهد بود:

x + 1 - 1 ≠ 0، x + 1 ≥ 0، x 2 + 3 > 0، x + 8 > 0، x + 8 ≠ 1

به عبارت دیگر، سیستم نابرابری با یک متغیر نامیده می شود. راه حل به نماد ODZ زیر منجر می شود [- 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

پاسخ: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

چرا مهم است که DPD را هنگام ایجاد تغییر در نظر بگیریم؟

در طول تحولات هویت، یافتن ODZ مهم است. مواردی وجود دارد که وجود ODZ رخ نمی دهد. برای درک اینکه آیا یک عبارت داده شده راه حل دارد یا خیر، باید VA متغیرهای عبارت اصلی و VA یک عبارت حاصل را با هم مقایسه کنید.

تحولات هویتی:

• ممکن است DL را تحت تاثیر قرار ندهد.
• ممکن است منجر به گسترش یا اضافه شدن DZ شود.
• می تواند DZ را باریک کند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 7

اگر عبارتی به شکل x 2 + x + 3 · x داشته باشیم، ODZ آن در کل دامنه تعریف تعریف می شود. حتی هنگام آوردن اصطلاحات مشابه و ساده کردن عبارت، ODZ تغییر نمی کند.

مثال 8

اگر عبارت x + 3 x − 3 x را مثال بزنیم، آنگاه همه چیز متفاوت است. ما یک عبارت کسری داریم. و می دانیم که تقسیم بر صفر غیرقابل قبول است. سپس ODZ شکل (-∞، 0) ∪ (0، + ∞) را دارد. مشاهده می شود که صفر راه حل نیست، بنابراین آن را با پرانتز اضافه می کنیم.

بیایید مثالی را با حضور یک عبارت رادیکال در نظر بگیریم.

مثال 9

اگر x - 1 · x - 3 وجود دارد، باید به ODZ توجه کنید، زیرا باید به صورت نابرابری (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 نوشته شود. می توان با روش فاصله حل کرد، سپس متوجه می شویم که ODZ به شکل (-∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) خواهد بود. پس از تبدیل x - 1 · x - 3 و اعمال خاصیت ریشه ها، داریم که می توان ODZ را تکمیل کرد و همه چیز را می توان به شکل یک سیستم نابرابری به شکل x - 1 ≥ 0، x - 3 ≥ نوشت. 0. هنگام حل آن، در می یابیم که [ 3، + ∞) . این بدان معنی است که ODZ به طور کامل به صورت زیر نوشته می شود: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

از تغییر شکل هایی که DZ را باریک می کند باید اجتناب شود.

مثال 10

بیایید مثالی از عبارت x - 1 · x - 3 را در نظر بگیریم، زمانی که x = - 1. هنگام تعویض، دریافت می کنیم که - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . اگر این عبارت را تبدیل کنیم و آن را به شکل x - 1 · x - 3 بیاوریم، هنگام محاسبه متوجه می‌شویم که 2 - 1 · 2 - 3 این عبارت معنی ندارد، زیرا عبارت رادیکال نباید منفی باشد.

باید رعایت شود تحولات هویتی، که ODZ تغییر نخواهد کرد.

اگر نمونه هایی وجود دارد که آن را گسترش می دهند، باید به DL اضافه شود.

مثال 11

بیایید به مثال کسری از شکل x x 3 + x نگاه کنیم. اگر با x لغو کنیم، آن 1 x 2 + 1 را می گیریم. سپس ODZ منبسط می شود و (-∞ 0) ∪ (0 , + ∞) می شود. علاوه بر این، هنگام محاسبه، ما قبلاً با کسر ساده شده دوم کار می کنیم.

در حضور لگاریتم، وضعیت کمی متفاوت است.

مثال 12

اگر عبارتی از شکل ln x + ln (x + 3) وجود داشته باشد، بر اساس ویژگی لگاریتم با ln (x · (x + 3) جایگزین می شود. از اینجا می توانیم ببینیم که ODZ از (0 , + ∞) به (- ∞ , - 3) ∪ (0 , + ∞) . بنابراین برای تعاریف ADL ln (x · (x + 3)) لازم است محاسبات را روی ODZ انجام دهید، یعنی مجموعه (0، + ∞).

هنگام حل، همیشه باید به ساختار و نوع عبارتی که شرط می دهد توجه کرد. اگر ناحیه تعریف به درستی پیدا شود، نتیجه مثبت خواهد بود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

تابع یک مدل است. بیایید X را به عنوان مجموعه ای از مقادیر یک متغیر مستقل تعریف کنیم // مستقل یعنی هر.

تابع قاعده ای است که به کمک آن برای هر مقدار یک متغیر مستقل از مجموعه X می توان مقدار منحصر به فردی از متغیر وابسته را پیدا کرد. // یعنی برای هر x یک y وجود دارد.

از تعریف به دست می آید که دو مفهوم وجود دارد - یک متغیر مستقل (که آن را با x نشان می دهیم و می تواند هر مقداری را بگیرد) و یک متغیر وابسته (که آن را با y یا f (x) نشان می دهیم و از تابع زمانی محاسبه می شود که x را جایگزین می کنیم).

برای مثال y=5+x

1. مستقل x است، یعنی هر مقداری را می گیریم، اجازه دهید x=3 باشد

2. حالا بیایید y را محاسبه کنیم که به معنای y=5+x=5+3=8 است. (y به x بستگی دارد، زیرا هر x را جایگزین کنیم، همان y را می گیریم)

متغیر y به طور تابعی به متغیر x بستگی دارد و به صورت زیر نشان داده می شود: y = f (x).

مثلا.

1.y=1/x. (به نام هایپربولی)

2. y=x^2. (به نام سهمی)

3.y=3x+7. (به نام خط مستقیم)

4. y= √ x. (به نام شاخه سهمی)

متغیر مستقل (که آن را با x نشان می دهیم) آرگومان تابع نامیده می شود.

دامنه تابع

مجموعه تمام مقادیری که یک آرگومان تابع می گیرد، دامنه تابع نامیده می شود و D(f) یا D(y) نشان داده می شود.

D(y) را برای 1.،2.3.4 در نظر بگیرید.

1. D (y)= (∞; 0) و (0;+∞) //کل مجموعه اعداد حقیقی به جز صفر.

2. D (y)= (∞؛ +∞)//همه تعداد اعداد حقیقی

3. D (y)= (∞؛ +∞)//همه تعداد اعداد حقیقی

4. D (y) = )